Your SlideShare is downloading. ×
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

2.4.tich phan ham_luong_giac_co_ban

5,208

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
5,208
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
81
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCA. CÔNG THỨC SỬ DỤNG1. K H A I T R I Ể N N HỊ TH Ứ C N E W T O N ( a + b ) n = Cn a n + Cn a n −1b + ... + Cn a n −k b k + ... + Cn −1ab n −1 + Cn b n 0 1 k n n k n! trong đó Cn = và m! = 1.2.... ( m − 1) m với qui ước 0! = 1 k !( n − k ) !2. C Á C CÔ N G T HỨ C N G UY Ê N H À M L Ư Ợ N G G I Á C 1 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c dx 1 dx 1 ∫ cos 2 = tg ( ax + b ) + c ( ax + b ) a ∫ sin 2 ( ax + b ) = − cotg ( ax + b ) + c aB. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ∫I. Dạng 1: A1.1 = ( sinx ) dx ; A1.2 ( cosx ) dx ∫ n n1. Công thức hạ bậc 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x − sin 3x + 3 sin x cos 3x + 3 cos xsin 2 x = ; cos 2 x = ; sin3 x = ; cos 3 x = 2 2 4 42. Phương pháp2.1. Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc2.2. Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3.2.3. Nếu 3 ≤ n lẻ (n = 2p +1) thì thực hiện biến đổi: dx = ( sin x ) sin xdx = − ( 1 − cos 2 x ) d ( cos x ) p ∫A1.1 = ( sinx ) dx = ( sinx ) ∫ ∫ ∫ n 2p+1 2p = −  Cp − Cp cos x + ... + ( − 1) C p ( cos x ) + ... + ( − 1) C p ( cos x )  d ( cos x )  0 k p  ∫ 1 2 k k 2 p p 2    0 1 1 ( − 1) k k 2k +1 ( − 1) p p 2p +1  Cp ( cos x ) C p ( cos x ) 3 = −  Cp cos x − C p cos x + ... + + ... + +c   3 2k + 1 2p + 1   25
  • 2. ∫ ( 1 − sin x ) d ( sin x ) p ∫A1.2 = ( cosx ) dx = ( cosx ) ∫ dx = ( cos x ) cos xdx = ∫ n 2p+1 2p 2= C0 − C1 sin 2 x + ... + ( −1) Cp ( sin 2 x ) + ... + ( −1) C p ( sin 2 x )  d ( sin x ) k p ∫ k k p p  p p   1 ( −1) k k 2k +1 ( −1) p p 2p +1 =  C0 sin x − C1 sin 3 x + ... + p p C p ( sin x ) + ... + C p ( sin x ) +c  3 2k + 1 2p + 1  3  1 + cos 2 x  ∫ ( cos x ) dx = ∫  3 ∫• A1 = cos 6 xdx = 2 ÷ dx  2  ∫ ( 1 + 3cos 2x + 3cos 2x + cos 2x ) dx 1 ( 1 + cos 2x ) 3 dx = 1 ∫ 2 3 = 4 4 1  3 ( 1 + 2 cos 4x ) cos 3x + 3cos x  = 4  ∫ 1 + 3cos 2x + 2 + 4 ÷dx  1  1  =  7x + 6 sin 2x + 3sin 4x + sin 3x + 3sin x ÷ + c 16  3  1 ∫ ( 1 − cos 5 x ) d ( cos 5 x ) 4 ∫ ∫• A2 = ( sin5x ) dx = ( sin 5 x ) ( sin 5 x ) dx = − 9 8 2 5 ∫ [ 1 − 4 cos 5x + 6 cos 5x − 4 cos 5x + cos 5x ] d ( cos 5x ) 1 2 4 6 8 =− 5 1 4 3 6 5 4 7 1 9  = −  cos 5x − cos 5x + cos 5x − cos 5x + cos 5x ÷ + c 5 3 5 7 9  ∫ m nII. Dạng 2: B = sin x cos x dx (m, n∈N)1. Phương pháp:1.1. Trường hợp 1: m, n là các số nguyêna. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.b. Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi: dx = ( sin x ) ( cos x ) cos xdx = ( sin x ) ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x ) p ∫B = ( sinx ) ( cosx ) ∫ ∫ m 2p+1 m 2p m= ( sin x )  Cp − Cp sin x + ... + ( − 1) Cp ( sin x ) + ... + ( −1) Cp ( sin x )  d ( sin x ) = m  0 k p  ∫ 1 2 k k 2 p p 2   0 ( sin x ) m +1 1 ( sin x ) m+ 3 ( ) 2k +1+ m ( ) 2p +1+ m  Cp − Cp + ... + ( −1) k C k sin x p + ... + ( −1) p C p sin x p +c m +1 m+3 2k + 1 + m 2p + 1 + m  c. Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:26
  • 3. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác ( cosx ) n dx = ( cos x ) n ( sin x ) 2 p sin xdx = − ( cos x ) n ( 1 − cos 2 x ) d ( cos x ) p ∫B = ( sinx ) ∫ ∫ 2p+1= − ( cos x )  C p − C p cos x + ... + ( −1) C p ( cos x ) + ... + ( −1) C p ( cos x )  d ( cos x ) = n 0 k p  ∫ 1 2 k k 2 p p 2    0 ( cos x ) n +1 1 ( cos x ) n+3 k k ( cos x ) 2k +1+ n p p ( cos x ) 2p +1+ n −  Cp − Cp + ... + ( − 1) C p + ... + ( − 1) C p +c   n +1 n+3 2k + 1 + n 2p + 1 + n  d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.1.2. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sinx ta có: n −1 m −1B = sin m x cos n xdx = ( sin x ) ( cos 2 x ) ∫ ∫ cos xdx = u m ( 1 − u 2 ) ∫ m 2 2 du (*) m +1 n −1 m + k• Tích phân (*) tính được ⇔ 1 trong 3 số ; ; là số nguyên 2 2 22. Các bài tập mẫu minh họa 1 ∫• B1 = ( sinx ) ( cosx ) dx = ∫ ( sin 2 x ) 2 ( cos x ) 2 dx 2 4 4 1 1= 16 ∫ ( 1 − cos 4x ) ( 1 + cos 2x ) dx = 16 ∫ ( 1 + cos 2x − cos 4x − cos 2x cos 4x ) dx 1  1 = 16 ∫ 1 + cos 2x − cos 4x − 2 ( cos 6x + cos 2x )  dx   1 1  sin 2x sin 4x sin 6x = 32 ∫ ( 2 + cos 2x − 2 cos 4x − cos 6x ) dx = 32  2x +  2 − 2 − 6  ÷+ c ∫ ∫• B2 = ( sin5x ) ( cos5x ) dx = ( cos 5 x ) ( sin 5 x ) sin 5 x dx 9 111 111 8 −1 ( cos 5x ) 111 ( 1 − cos 2 5x ) d ( cos 5x ) 4= 5 ∫ 1 ( cos 5x ) 111 ( 1 − 4 cos 2 5x + 6 cos 4 5x − 4 cos 6 5x + cos 8 5x ) d ( cos 5x )=− 5 ∫ 1  ( cos 5x ) 4 ( cos 5x ) 6 ( cos 5x ) 4 ( cos 5x ) ( cos 5x ) 120  112 114 116 118=−  − + − + +c 5  112 114 116 118 120  ( sin3x ) 7 −4 −1 −4 ( cos3x ) 5 ( 1 − cos 2 3x ) d ( cos3 x ) 3 ∫ ∫ dx = ( cos3x ) 5 ( sin3 x ) sin3 xdx = ∫ 6• B3 = 5 cos 4 3x 3 −4 −1 ( cos 3x ) 5 ( 1 − 3cos 2 3x + 3cos 4 3x − cos 6 3x ) d ( cos 3x ) = 3 ∫ −1  1 15 11 15 21 5 31  = 5 ( cos 3x ) − 11 ( cos 3x ) + 21 ( cos 3x ) − 31 ( cos 3x )  + c 5 5 5 5 3   27
  • 4. 3 dx dx 1  1  dx B4 = ∫ ( sinx ) = ∫ = ∫  ÷• ( cosx ) 5 ( cos xx ) 3 3 sin tg 3 x  cos 2 x  cos 2 x cos8 x ( 1 + tg x ) 3 2 2 4 6 1 + 3 tg x + 3 tg x + tg x = ∫ d ( tg x ) = ∫ d ( tg x ) ( tg x ) 3 tg x 3  3 3  −1 3 2 1 4 =  ( tg x ) + −3 ∫ + 3 tg x + tg x  d ( tg x ) = 2 + 3ln tg x + tg x + tg x + c  tg x  2 tg x 2 4 dx cos xdx ( 1 − sin 4 x ) + sin 4 x d ( sin x )• B5 = ∫ sin4 xcosx ∫ sin 4 x cos2 x ∫ sin 4 x ( 1 − sin 2 x ) ∫ sin 4 x ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x ) = = = d ( sinx ) 2 1 + sin x −1 1 1 1 + sin x = ∫ sin x 4 d ( sin x ) + ∫ 1 − sin 2 x = 3 ( sin x ) 3 − + ln sin x 2 1 − sin x +c −5 −1 −5 −4 dx• B6 = ∫ 3 sin5 xcosx ∫ = ( sin x ) 3 ( cos x ) 3 ∫ dx = ( sin x ) 3 ( cos x ) 3 cos x dx −2 −5 −2 −3  1 − u 3 −5 −4 2 ∫ = ( sin x ) 3 ( cos x ) 3 d ( sin x ) = u ∫ 3 (1 − u ) 2 3 ∫ du = u  2  ÷ du ÷  u  13 13 1 − u2  1 − u2   cos 2 x  −2Đặt = v3 ⇒ −2u −3 du = 3v 2 dv ; v =  2  ÷ = ÷  ÷ = ( tg x ) 3 ÷ u2  u  2  sin x  −2  2 3 −2⇒ B = u −3  1 − u −3 3 3 dv = − v + c = − ( tg x ) 3 + c 6  2  u ∫ ÷ du = ÷  2 2 2 ∫ −5 −2 1 dx 3 B7 = ∫ × 2 = ∫ ( tg x ) 3 d ( tg x ) = − ( tg x ) 3 +c ( )Cách 2: sin x 5 cos x 2 3 cos x ∫ ( tg x ) ∫ ( cotg x ) n nIII. Dạng 3: C 3 . 1 = dx ; C 3 . 2 = dx (n∈N)1. Công thức sử dụng dx ∫ ( 1 + tg x ) dx = ∫ cos x = ∫ d ( tg x ) = tg x + c 2 • 2 dx ∫ ( 1 + cotg x ) dx = −∫ sin x = −∫ d ( cotg x ) = − cotg x + c 2 • 2 d ( cos x ) sin x • ∫ tg xdx = ∫ cos x dx = −∫ cos x = − ln cos x + c cos x d ( sin x ) • ∫ cotg xdx = sin x dx = ∫ sin x = ln sin x + c ∫28
  • 5. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác2. Các bài tập mẫu minh họa• C1 = ∫ ( tgx ) 2k dx = ∫ ( tg x ) ( 1 + tg 2 x ) − ( tg x ) 2k − 4 ( 1 + tg 2 x ) + ( tg x ) 2k − 6 ( 1 + tg 2 x ) − 2k − 2 − ( tg x ) 2k − 8 ( 1 + tg 2 x ) + ... + ( −1) k −1 ( tg x ) 0 ( 1 + tg 2 x ) + ( −1) k  dx = ( tg x ) ∫ − ( tg x ) + ( tg x ) − ... + ( −1) ( tg x )  d ( tg x ) + ( −1) dx 2k − 2 2k − 4 2k − 6 k −1 ∫ 0 k   ( tg x ) 2k −1 ( tg x ) 2k −3 ( tg x ) 2k −5 k −1 tg x ( ) k= − + − × ×+ ( −1) × + −1 x + c 2k − 1 2k − 3 2k − 5 1• C2 = ∫ ( tgx ) 2k+1 dx = ∫ ( tg x ) 2 k −1 ( 1 + tg 2 x ) − ( tg x ) 2 k −3 ( 1 + tg 2 x ) + + ( tg x ) 2k − 5 ( 1 + tg 2 x ) − ... + ( −1) k −1 ( tg x ) ( 1 + tg 2 x ) + ( −1) k tg x  dx = ( tg x ) − ( tg x ) + ( tg x ) − ... + ( −1) ( tg x )  d ( tg x ) + ( −1) tg xdx k −1 ∫ ∫ 2k −1 2k − 3 2k −5 k   ( tg x ) 2k ( tg x ) 2k −2 ( tg x ) 2k − 4 k −1 ( tg x ) 2 ( ) k= − + − ×××+ ( −1) − −1 ln cos x +c 2k 2k − 2 2k − 4 2• C3 = ∫ ( cotgx ) 2k dx = ∫ ( cotg x ) 2k −2 ( 1 + co tg 2 x ) − ( cotg x ) 2k −4 ( 1 + co tg 2 x ) + + ( cotg x ) 2k − 6 ( 1 + co tg 2 x ) − ... + ( −1) k −1 ( cotg x ) 0 ( 1 + co tg 2 x ) + ( −1) k  dx = − ( cotg x ) ∫ − ( cotg x ) + ... + ( −1) ( cotg x )  d ( cotg x ) + ( −1) dx ∫ 2k − 2 2k − 4 k −1 0 k    ( cotg x ) 2k −1 ( cotg x ) 2k −3 ( cotg x ) 2k −5 k −1 cotg x  − ×××+ ( −1)  + ( −1) x + c k=− − +  2k − 1 2k − 3 2k − 5 1 • C4 = ∫ ( cotgx ) 2k+1 dx = ( 1 + co tg 2 x ) − ( cotg x ) 2k −3 ( 1 + co tg 2 x ) + ∫ ( cotg x ) 2 k −1 + ( cotg x ) 2k − 5 ( 1 + co tg 2 x ) − ... + ( −1) k −1 ( cotg x ) 1 ( 1 + co tg 2 x ) + ( −1) k cotg x  dx = − ( cotg x ) ∫ − ( cotg x ) + ... + ( −1) ( cotg x )  d ( cotg x ) + ( −1) cotg x dx ∫ 2k −1 2k − 3 k −1 k    ( cotg x ) 2k ( cotg x ) 2k − 2 k −1 ( cotg x ) 2  + ×××+ ( − 1)  + ( −1) ln sin x + c k= − −  2k 2k − 2 2  29
  • 6. ∫ ( tgx + cotgx ) dx = ( tg x ) + 5 ( tg x ) cotg x + 10 ( tg x ) ( cotg x ) + ∫ 5 5 4 3 2• C5 =  +10 ( tg x ) ( cotg x ) 3 + 5 tg x ( cotg x ) 4 + ( cotg x ) 5  dx 2 = ( tg x ) + ( cotg x ) + 5 ( tg x ) + 5 ( cotg x ) + 10 tg x + 10 cotg x  dx ∫ 5 5 3 3  = ∫ ( tg x ) + 5 ( tg x ) + 10 tg x  dx + ( cotg x ) + 5 ( cotg x ) + 10 cotg x  dx ∫ 5 3 5 3    =  ( tg x ) ( 1 + tg 2 x ) + 4 tg x ( 1 + tg 2 x ) + 6 tg x  dx ∫ 3   +  ( cotg x ) ( 1 + cotg 2 x ) + 4cotg x ( 1 + cotg 2 x ) + 6cotg x  dx ∫ 3  =  ( tg x ) + 4 tg x  d ( tg x ) + 6 tg x dx −  ( cotg x ) + 4cotg x  d ( cotg x ) + 6 cotg x dx ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3     ( tg x ) 4 2 ( cotg x ) 4 2= + 2 tg x − 6ln cos x − − 2cotg x + 6ln sin x + c 4 4 ( tg x ) m ( cotg x ) mIV. Dạng 4: D 4 . 1 = ∫ ( cos x ) n dx ; D4 . 2 = ∫ ( sin x ) n dx ( tg x ) m1. Phương pháp: Xét đại diện D4.1 = ∫ ( cos x ) n dx1.1. Nếu n chẵn (n = 2k) thì biến đổi: ( tgx ) m m  1  k −1 dx ∫ ( tg x ) ( 1 + tg x ) k −1 ∫ ( cosx ) ∫ ( tg x )  d ( tg x ) m 2D4.1 = 2k dx = ÷ =  cos 2 x  cos 2 x  C0 + C1 ( tg 2 x ) 1 + ... + C p ( tg 2 x ) p + ... + C k −1 ( tg 2 x ) k −1  d tg x ∫ ( tg x )  ( ) m=  k −1 k −1 k −1 k −1 ( tg x ) m +1 ( tg x ) m +3 ( tg x ) m + 2p +1 ( tg x ) m + 2k −1 C0 −1 C1 −1 C p −1 C k −1 k= k + + ... + k + ... + k −1 +c m +1 m+3 m + 2p + 1 m + 2k − 11.2. Nếu m lẻ, n lẻ (m = 2k + 1, n = 2h + 1) thì biến đổi: ( tgx ) 2k+1 2k  1  tg x 2h  1  sin x 2h ∫ ( tg x ) k ∫ ( cosx ) ∫ ( tg x )  2D4 .1 = dx = ÷ dx =  ÷ dx 2h+1  cos x  cosx  cos x  cos 2 x k 2h  1   1   1  1 ∫( u − 1) u 2h du k ∫ 2=  − 1÷  ÷ d ÷= (ở đây u = )   cos x   cos x  2  cos x cos x= u 2h  C0 ( u 2 ) − C1 ( u 2 ) + ... + ( −1) C p ( u 2 ) + ... + ( −1) C k  du k k −1 k −p ∫ p k  k k k k 2k + 2h +1 2k + 2h −1 2k + 2h − 2p +1 2h +1 u u u u + ... + ( − 1) C p + ... + ( − 1) Ck p k= C0 k − C1 k k k +c 2k + 2h + 1 2k + 2h − 1 2k + 2h − 2p + 1 2h + 130
  • 7. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m = 2k, n = 2h + 1) thì sử dụng biến đổi: ( tg x ) 2k ( sin x ) 2k cos x ( sin x ) 2kD 4.1 = ∫ ( cos x ) 2h +1 dx = ∫ ( cos x ) 2( k + h +1) dx = ∫ ( 1 − sin 2 x) k + h +1 d ( sin x ) ; ( u = s inx ) u 2k du u 2k − 2 1 − ( 1 − u 2 )    u 2k − 2 du u 2k − 2 duD 4.1 = ∫ (1− u ) 2 k + h +1 = ∫ ( 1 − u 2 ) k + h +1 du = ∫ (1− u ) 2 k + h +1 − ∫ (1 − u ) 2 k+hHệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữutỉ ta có thể tính được D 4.1.2. Các bài tập mẫu minh họa: ( tg3x ) 7  1  dx 1 2 ∫ ( tg 3x ) ( 1 + tg 3 x ) 2 ∫ dx = ( tg 3 x )  ∫ d ( tg 3 x ) 7 7 2• D1 = 2 = ( cos3x ) 6  ( cos 3 x )  ( cos 3 x ) 2 3   1 + 2 ( tg3x ) 2 + ( tg3x ) 4  d ( tg3x ) = 1  ( tg3x ) + 2 ( tg3x ) + ( tg3x )  + c 8 10 12 1 = ∫ ( tg3x )  7  3 3 8 10 12  ( cotg5x ) 10 10  1  dx 3• D2 = ∫ ( sin5x ) 8 dx = ∫ ( cotg 5 x )  2   ( sin 5 x )  ( sin 5 x ) 2 1 3 =− ( cotg 5x ) 10 1 + cotg 2 5x  d ( cotg 5x ) ∫   5 1  ( cotg 5x ) ( cotg 5x ) 13 ( cotg 5x ) 15 ( cotg 5x ) 17  11 =−  +3 +3 + +c 5 11 13 15 17  ( tg4x ) 7 6  1  tg 4 x 94• D3 = ∫ ( cos4x ) 95 dx = ∫ ( tg 4 x )  ÷  cos 4 x  cos 4 x dx 3 94 1  1   1   1  1 94 ( 2 u u − 1) du 3= ∫ ( 4  cos 4x ) 2 − 1    cos 4x  ÷ d ÷=  cos 4x  4 ∫ 1 94 ( 6 1  u101 u 99 u 97 u 95 = u u − 3u 4 + 3u 2 − 1) du =  ∫ −3 +3 − +c 4 4  101 99 97 95  1 1 1 3 1 =  − + − 95  +c 4 101( cos 4x ) 101 33 ( cos 4x ) 99 97 ( cos 4x ) 97 95 ( cos 4x )  ( cotg3x ) 9 8  1  cotg 3x 40• D4 = ∫ ( sin3x ) 41 dx = ∫ ( cotg 3x )   ÷ sin 3 x  sin 3 x dx 4 40 1  1   1   1  1 40 2 ÷ = − u ( u − 1) du 4 ∫= −  2 − 1÷  ÷ d 3  sin x   sin 3x   sin 3x  3 ∫ 31
  • 8. 1 40 ( 8 1  u 49 u 47 u 45 u 43 u 41  u u − 4u 6 + 6u 4 − 4u 2 + 1) du = −  4=− 3 ∫ 3  49 −4 47 +6 45 −4 + 43 41  +c 1 1 4 2 4 1 =−  − + − + 41  +c 3  49 ( sin 3x ) 49 47 ( sin 3x ) 47 15 ( sin 3x ) 45 43 ( sin 3x ) 43 41 ( sin 3x )  ( tgx ) 2 dx ( sin x ) 2 cos xdx  sin x  ( 2• D5 = ∫ cosx = ∫ ( cos x ) 2 × ( cos x ) 2 =  ∫ ÷ d sin x )  1 − sin 2 x  2  ( 1 + sin x ) − ( 1 − sin x )  2  1 1  ∫=   ( 1 + sin x ) ( 1 − sin x )   d ( sin x ) =  1 − sin x − 1 + sin x ÷ d ( sin x )   ∫  1 1 2  ( 1 1 1 + sin x ∫=   ( 1 − sin x ) 2 + 2 − 2  ( 1 + sin x ) 1 − sin x  d sin x ) = − 1 − sin x 1 + sin x − ln 1 − sin x +c ( tgx ) 4 ( sin x ) 4 cos xdx ( sin x ) 4• D6 = ∫ cosx dx = ∫ ( cos x ) 4 × ( cos x ) 2 = ∫ ( 1 − sin 2 x) 3 d ( sin x ) u 4 du 1 − ( 1 − u4 ) du 1 + u2 = ∫ (1 − u ) 2 3 = ∫ ( 1 − u2 ) 3 du = ∫ (1 − u ) 2 3 − ∫ (1 − u ) 2 2 du = I 2 − I1I1 = ∫ ( 1 + u 2 ) du  u 2 ÷ =∫   =∫ d u− u =−  1 + 1  du 1 +c= u +c ( 1) ( 1 − u2 ) 1 ( u) 2 2 2  1 1 u− 1− u2 u− u−  ÷ u  u du 1 (1 + u) + (1 − u)  3 3I2 = ∫ (1 − u 2 3 ) = ∫ 1  1 1   ( 1 + u ) ( 1 − u )  du = 8 1 − u + 1 + u  du 8    ∫  1  1 1 3  1 1  =  ∫ 8 ( 1 − u) 3 + (1+ u) 3 + 2 1− u (1− u )  + ÷ du 1 + u   1 1 1 du  1  ( 1 + u ) − ( 1 − u ) 2 2 ( 1 + u2 ) + ( 1− u2 )  =  − 8  2( 1 − u ) 2 2( 1 + u ) 2 +6 =  ∫ ( 1 − u2 )  8  2 ( 1 − u 2 ) 2  2 +3 ( 1− u2 ) 2 du   ∫   u 3 ( 1 + u 2 ) du 3 du u 3 3 1+ u = 4( 1 − u2 ) 2 + ∫ 8 ( 1− u ) 2 2 + 8 1− u 2 = 4 ∫ + I1 + ln ( 1 − u ) 8 16 1 − u 2 2 +c32
  • 9. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác u 3 3 1+ u⇒ D6 = I 2 − I1 = + I1 + ln − I1 4(1 − u ) 16 1 − u 2 2 8 u 5 u 3 1+ u 2u − 5u ( 1 − u 2 ) 3 1 + u = − × + ln +c= + ln +c 4 ( 1 − u2 ) 8 1 − u 2 16 1 − u (1 − u2 ) 2 16 1 − u 2 8 5 ( sin x ) − 3sin x 3 3 5u 3 − 3u 3 1+ u 1 + sin x = + ln +c= + ln +c 8( 1 − u2 ) 16 1 − u 8 ( cos x ) 16 1 − sin x 2 43. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( tg 6x ) 20 ( cotg 3x ) 11 ( tg x ) 4 ( cotg 2x ) 6D1 = ∫ ( cos 6x ) 8 dx ; D 2 = ∫ ( sin 3x ) 21 dx; D3 = ∫ ( cos x ) 3 dx ; D 4 = ∫ ( cos 2x ) 5 dx 33
  • 10. V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng1. Phương pháp: E5.1 = ( cos mx ) ( cos nx ) dx = 1 ∫ 2 ∫ [ cos ( m − n ) x + cos ( m + n ) x ] dx E5.2 = ( sin mx ) ( sin nx ) dx = 1 ∫ 2 ∫ [ cos ( m − n ) x − cos ( m + n ) x ] dx E5.3 = ( sin mx ) ( cos nx ) dx = 1 ∫ 2 ∫ [ sin ( m + n ) x + sin ( m − n ) x ] dx E5.4 = ( cos mx ) ( sin nx ) dx = 1 ∫ 2 ∫ [ sin ( m + n ) x − sin ( m − n ) x ] dx2. Các bài tập mẫu minh họa: 1 ∫• E1 = cos2x .cos5x .cos9x dx = ∫ 2 cos 2 x ( cos 14 x + cos 4 x )= 1 ∫ [ ( cos16x + cos12x ) + ( cos6x + cos 2x ) ] dx = 1  sin16x + sin12x + sin 6x + sin 2x  + c  ÷ 4 4  16 12 6 2  ( 3 cos x + cos 3 x ) ∫ = ( cosx ) sin8x dx = ∫ 3• E2 sin 8 x dx 4= 1 ∫ ( 3 cos x sin 8x + cos 3x sin 8x ) dx = 1  3 ( sin 9x + sin 7x ) + 1 ( sin11x + sin 5x )  dx ∫ 4 4 2  2   13 3 1 1 = −  cos 9x + cos 7x + cos11x + cos 5x ÷ + c 89 7 11 5  1 ∫• E 3 = ( sinx ) ( sin3x ) ( cos10x ) dx = ∫ ( 1 − cos 2 x ) 2 ( sin 13 x + sin 7 x ) dx 4 8 1 ( = 1 − 2 cos 2x + cos 2 2x ) ( sin13x + sin 7x ) dx ∫ 8 1  1 + cos 4x  = ∫ 1 − 2cos 2x + 8  2 ÷( sin13x + sin 7x ) dx  1 = 16 ∫ ( 3 − 4cos 2x + cos 4x ) ( sin13x + sin 7x ) dx 1 = 16 ∫ [ 3 ( sin13x + sin 7x ) − 4 cos 2x ( sin13x + sin 7x ) + cos 4x ( sin13x + sin 7x ) ] dx 1  = 16 ∫ 3 ( sin13x + sin 7x ) − 2 ( sin15x + sin11x + sin 9x + sin 5x ) +  1  + ( sin17x + sin 9x + sin11x + sin 3x )  dx 2 34
  • 11. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác 1 = 32 ∫ ( sin17x − 4sin15x + 6sin13x − 3sin11x − 3sin 9x + 6sin 7x − 4sin 5x + sin 3x ) dx − 1  cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x  =  − + − − + − + ÷+ c 32  17 15 13 11 3 7 5 3  ∫ ∫• E 4 = ( cosx ) ( sin5x ) dx = ( cosx ) ( cosx ) ( sin 5 x ) dx 5 3 2 cos3x + 3cos x 1 + cos 2x = ∫ 4 × 2 ×sin 5x dx 1 = 8 ∫ [ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) cos 2x sin 5x ] dx 1  sin 7x + sin 3x  = 8  ∫ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) 2  dx  1 = 16 ∫ [ 2 sin 5x ( cos 3x + 3cos x ) + ( cos 3x + 3cos x ) ( sin 7x + sin 3x ) ] dx 1  = 32   ∫ 2 ( sin 8x + sin 2x ) + 6 ( sin 6x + sin 4x ) + ( sin10x + sin 4x ) +  + 3 ( sin 8x + sin 6x ) + sin 6x + 3 ( sin 4x + sin 2x )  dx  1 = 32 ∫ ( sin10x + 5sin 8x + 10 sin 6x + 10 sin 4x + 5sin 2x ) dx −1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x  =  + + + + ÷+ c 32  10 8 3 2 2  ( sin3x ) ( sin4x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x )• E5 = ∫ tgx + cotg2x dx = ∫ sin x + cos 2 x dx = ∫ cos ( 2 x − x ) dx cos x sin 2 x cosx .sin 2 x 1 ∫ = ( sin 2x ) ( sin 3x ) ( sin 4x ) dx = 2 ∫ ( cos 2x − cos 6x ) sin 3x dx 1 −1  cos5x cos x cos9x cos3x = 4 ∫ [ ( sin 5x + sin x ) − ( sin 9x − sin 3x ) ] dx =  4 5 + 1 − 9 + 3  ÷+ c3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( sin 8x ) 5 dx ∫ ∫E1 = ( sin 3x ) ( cos 2x ) dx ; E 2 = ( sin x ) ( cos 5x ) dx ; E 3 = ∫ ( tg 3x + tg 5x ) 4 3 5 2 2 35
  • 12. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác 1 = 32 ∫ ( sin17x − 4sin15x + 6sin13x − 3sin11x − 3sin 9x + 6sin 7x − 4sin 5x + sin 3x ) dx − 1  cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x  =  − + − − + − + ÷+ c 32  17 15 13 11 3 7 5 3  ∫ ∫• E 4 = ( cosx ) ( sin5x ) dx = ( cosx ) ( cosx ) ( sin 5 x ) dx 5 3 2 cos3x + 3cos x 1 + cos 2x = ∫ 4 × 2 ×sin 5x dx 1 = 8 ∫ [ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) cos 2x sin 5x ] dx 1  sin 7x + sin 3x  = 8  ∫ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) 2  dx  1 = 16 ∫ [ 2 sin 5x ( cos 3x + 3cos x ) + ( cos 3x + 3cos x ) ( sin 7x + sin 3x ) ] dx 1  = 32   ∫ 2 ( sin 8x + sin 2x ) + 6 ( sin 6x + sin 4x ) + ( sin10x + sin 4x ) +  + 3 ( sin 8x + sin 6x ) + sin 6x + 3 ( sin 4x + sin 2x )  dx  1 = 32 ∫ ( sin10x + 5sin 8x + 10 sin 6x + 10 sin 4x + 5sin 2x ) dx −1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x  =  + + + + ÷+ c 32  10 8 3 2 2  ( sin3x ) ( sin4x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x )• E5 = ∫ tgx + cotg2x dx = ∫ sin x + cos 2 x dx = ∫ cos ( 2 x − x ) dx cos x sin 2 x cosx .sin 2 x 1 ∫ = ( sin 2x ) ( sin 3x ) ( sin 4x ) dx = 2 ∫ ( cos 2x − cos 6x ) sin 3x dx 1 −1  cos5x cos x cos9x cos3x = 4 ∫ [ ( sin 5x + sin x ) − ( sin 9x − sin 3x ) ] dx =  4 5 + 1 − 9 + 3  ÷+ c3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( sin 8x ) 5 dx ∫ ∫E1 = ( sin 3x ) ( cos 2x ) dx ; E 2 = ( sin x ) ( cos 5x ) dx ; E 3 = ∫ ( tg 3x + tg 5x ) 4 3 5 2 2 35
  • 13. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác 1 = 32 ∫ ( sin17x − 4sin15x + 6sin13x − 3sin11x − 3sin 9x + 6sin 7x − 4sin 5x + sin 3x ) dx − 1  cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x  =  − + − − + − + ÷+ c 32  17 15 13 11 3 7 5 3  ∫ ∫• E 4 = ( cosx ) ( sin5x ) dx = ( cosx ) ( cosx ) ( sin 5 x ) dx 5 3 2 cos3x + 3cos x 1 + cos 2x = ∫ 4 × 2 ×sin 5x dx 1 = 8 ∫ [ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) cos 2x sin 5x ] dx 1  sin 7x + sin 3x  = 8  ∫ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) 2  dx  1 = 16 ∫ [ 2 sin 5x ( cos 3x + 3cos x ) + ( cos 3x + 3cos x ) ( sin 7x + sin 3x ) ] dx 1  = 32   ∫ 2 ( sin 8x + sin 2x ) + 6 ( sin 6x + sin 4x ) + ( sin10x + sin 4x ) +  + 3 ( sin 8x + sin 6x ) + sin 6x + 3 ( sin 4x + sin 2x )  dx  1 = 32 ∫ ( sin10x + 5sin 8x + 10 sin 6x + 10 sin 4x + 5sin 2x ) dx −1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x  =  + + + + ÷+ c 32  10 8 3 2 2  ( sin3x ) ( sin4x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x )• E5 = ∫ tgx + cotg2x dx = ∫ sin x + cos 2 x dx = ∫ cos ( 2 x − x ) dx cos x sin 2 x cosx .sin 2 x 1 ∫ = ( sin 2x ) ( sin 3x ) ( sin 4x ) dx = 2 ∫ ( cos 2x − cos 6x ) sin 3x dx 1 −1  cos5x cos x cos9x cos3x = 4 ∫ [ ( sin 5x + sin x ) − ( sin 9x − sin 3x ) ] dx =  4 5 + 1 − 9 + 3  ÷+ c3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( sin 8x ) 5 dx ∫ ∫E1 = ( sin 3x ) ( cos 2x ) dx ; E 2 = ( sin x ) ( cos 5x ) dx ; E 3 = ∫ ( tg 3x + tg 5x ) 4 3 5 2 2 35
  • 14. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác 1 = 32 ∫ ( sin17x − 4sin15x + 6sin13x − 3sin11x − 3sin 9x + 6sin 7x − 4sin 5x + sin 3x ) dx − 1  cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x  =  − + − − + − + ÷+ c 32  17 15 13 11 3 7 5 3  ∫ ∫• E 4 = ( cosx ) ( sin5x ) dx = ( cosx ) ( cosx ) ( sin 5 x ) dx 5 3 2 cos3x + 3cos x 1 + cos 2x = ∫ 4 × 2 ×sin 5x dx 1 = 8 ∫ [ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) cos 2x sin 5x ] dx 1  sin 7x + sin 3x  = 8  ∫ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) 2  dx  1 = 16 ∫ [ 2 sin 5x ( cos 3x + 3cos x ) + ( cos 3x + 3cos x ) ( sin 7x + sin 3x ) ] dx 1  = 32   ∫ 2 ( sin 8x + sin 2x ) + 6 ( sin 6x + sin 4x ) + ( sin10x + sin 4x ) +  + 3 ( sin 8x + sin 6x ) + sin 6x + 3 ( sin 4x + sin 2x )  dx  1 = 32 ∫ ( sin10x + 5sin 8x + 10 sin 6x + 10 sin 4x + 5sin 2x ) dx −1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x  =  + + + + ÷+ c 32  10 8 3 2 2  ( sin3x ) ( sin4x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x )• E5 = ∫ tgx + cotg2x dx = ∫ sin x + cos 2 x dx = ∫ cos ( 2 x − x ) dx cos x sin 2 x cosx .sin 2 x 1 ∫ = ( sin 2x ) ( sin 3x ) ( sin 4x ) dx = 2 ∫ ( cos 2x − cos 6x ) sin 3x dx 1 −1  cos5x cos x cos9x cos3x = 4 ∫ [ ( sin 5x + sin x ) − ( sin 9x − sin 3x ) ] dx =  4 5 + 1 − 9 + 3  ÷+ c3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( sin 8x ) 5 dx ∫ ∫E1 = ( sin 3x ) ( cos 2x ) dx ; E 2 = ( sin x ) ( cos 5x ) dx ; E 3 = ∫ ( tg 3x + tg 5x ) 4 3 5 2 2 35

×