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Integrales indefinidas reducibles a inmediatas por el método de sustitución algebraica
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Integrales indefinidas reducibles a inmediatas por el método de sustitución algebraica

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  • 1. SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO industrial y de servicios No. 209INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POREL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ALGEBRAICAIntegrales Indefinidas que producen funciones trigonométricas inversas RECUPERACION DE CONOCIMIENTOS PREVIOSEcuaciones cuadráticasCompletando el cuadrado C de un trinomio cuadrado perfecto de unaecuación cuadrática de la forma x 2 + bx + c, cuando c no es un términocuadráticoCompletar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfectocuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x2 + bx + cRegla para hallar el último término de x2 + bx + c El último término de un trinomio cuadrado perfecto (con a = 1) es el cuadrado de la mitaddel coeficiente del término lineal. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dosprimeros términos son es: 2 + bx + ( )2 – ( )2 +c 2 2 ec. (1)Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomiocuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número quecompleta el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.Para su estudio se presentan los siguientes casos:Caso 1: Cuando a=1:Ejemplo:Completar el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática:
  • 2. X2 +2x - 3=0Sean los coeficientes:a =1b=2c=3 a=1 ⇒ √1 = 1: es un factorAnálisis: cuadrático X2 + 2x – 3 = 0 c=3 ⇒ √3 , no es un término cuadráticoCompletando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1), seobtiene: 2 2 2 2 X2 +2x + ( )2 - ( )2 – 3 = 0 X2 +2x + 1 – 1 - 3 = 0Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomiocuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuacióncuadrática resulta: Suma de términos independientes (X2 +2x + 1) – 1 - 3 =0 Trinomio cuadrado perfecto (x +1)2 - 4 = 0 u2 - a2 = 0Comprobación (x +1)2 - 4 = 0 X2 +2x +1- 4 = 0 X2 +2x – 3 = 0
  • 3. Caso 2: Cuando a≠1Ejemplo:Completa el trinomio cuadrado perfecto de la siguiente ecuación cuadrática. 4x2 + 4x + 5 = 0 √4 = 2; es un factorAnálisis: a= 4 ⇒ cuadrático 4x2 + 4x + 5 = 0 c = 5 ⇒ √5 ; no es un factor cuadráticoCompletando el trinomio cuadrado perfecto, aplicando el modelo matemático o ec. (1) seobtiene: 4x2 + 4x + 1 – 1 + 5 = 0Aplicando la propiedad asociativa y agrupando términos para obtener un trinomiocuadrado perfecto y la suma de dos términos independientes, resolviendo la ecuacióncuadrática resulta: (4x2 + 4x + 1) – 1 + 5 = 0 (2x + 1)2 + 4 = 0 u2 + a2Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método decompletar el cuadrado:1) x2 + 6x + 7 = 02) x2 – 10x + 5 = 03) 2x2 - 3x - 4 = 0INTEGRALES INDEFINIDAS REDUCIBLES A INMEDIATAS POR EL MÉTODOIntegral inmediata de la forma ∫ DE SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA + .
  • 4. du 1 u 1 uFórmula � = arctan + C = tan−1 + C u2 +a 2 a a a aIntegrar la expresión ∫ . 2Ejemplo: 4 2 +4+5SoluciónFactorizando la ecuación cuadrática del denominador del integrando y 2 2 2completando el trinomio cuadrado perfecto, se obtiene: � =� = � 4 2 + 4 + 5 5 2 + + �1� − �1� + 5) 4( 2 + + ) 2 2 4 4( 2 2 4 2 2 = � =� 4( 2 + + 1 − 1 + 5) 1 1 5 4[( 2 + + ) − + ] 4 4 4 4 4 4 2 2 =� = � 1 2 1 5 1 2 4 4[� + � − + )] 4[� + � + )] 2 4 4 2 4 2 2 = � = � 1 2 1 2 4[� + � + 1] 4 � + � + 4 2 2 u2 + a2Análisis 1 2 1u2 = 4(x + )2 a2 = 4 2 1 2u = 2(x + ) a=2 2 2du = d[2(x + )] = d(2x) + d( )= 2dx + 0 = 2dx∫ + = + = − + Fórmula
  • 5. Resolución∫ 4 2+4+5 = ∫ = + = � + 1 2 2 1 2�+ � 1 2 1 2 4�+ � +4 2 2 2 2 � + = 2 −1 � + 2� + 1 1 12∫ 4x2+4x+5 = � + � + = −1 � + � + 2dx 1 1 1 1Resultado 2 2 2 2
  • 6. ∫+ = arctanua + C = 1−1 +Fórmula∫242+ 4x +5= 122+122 = 12+12= 12−1 +12 +CResolución