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    Lajes Lajes Document Transcript

    • UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVILPROJETO DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO AMÉRICO CAMPOS FILHO 2011
    • SUMÁRIO1 – Introdução............................................................................................................................. 11.1 – Generalidades ................................................................................................................... 11.2 – Classificação das lajes quanto à relação entre os lados .................................................... 11.3 – Vinculação ........................................................................................................................ 21.4 – Vãos efetivos de lajes ....................................................................................................... 51.5 – Cargas nas lajes ................................................................................................................. 61.6 – Determinação da espessura das lajes ................................................................................ 71.7 – Cálculo das solicitações..................................................................................................... 111.8 – Dimensionamento das armaduras ..................................................................................... 122 – Lajes armadas em uma só direção ....................................................................................... 142.1 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares paralelas ao vão .......................... 192.2 – Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares perpendiculares ao vão .............. 202.3 – Exemplo de laje armada em uma só direção com carga linear paralela ao vão ................ 203 – Lajes armadas em duas direções .......................................................................................... 253.1 – Solicitações conforme o regime elástico .......................................................................... 253.2 – Solicitações conforme o regime rígido plástico ................................................................ 253.3 – Dimensionamento e detalhamento das armaduras ............................................................ 303.4 – Reações de apoio .............................................................................................. 313.5 – Exemplo de laje submetida a cargas superficiais ............................................................. 333.6 – Exemplo de laje submetida a carga linear além das cargas superficiais ........................... 354 – Programa para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto armado ...................... 40Anexo – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado (NBR7480:2007) ... 41
    • 1 - Introdução1.1 - Generalidades As lajes são elementos estruturais laminares planos, solicitados predominantementepor cargas normais ao seu plano médio. Elas constituem os pisos dos edifícios correntes deconcreto armado. Nas estruturas laminares planas, predominam duas dimensões,comprimento e largura, sobre a terceira que é a espessura. De mesma forma, que as vigassão representadas pelos seus eixos, as lajes são representadas pelo seu plano médio. Aslajes são diferenciadas pela sua forma, vinculação e relação entre os lados. Geralmente, nasestruturas correntes, as lajes são retangulares, mas podem ter forma trapezoidal ou em L.1.2 - Classificação das lajes quanto à relação entre os lados As lajes retangulares são classificadas como: • lajes armadas em uma só direção: são aquelas em que a relação entre o maior e o menor vão é maior que 2. • lajes armadas em duas direções ou armadas em cruz: em caso contrário. laje armada em uma só direção laje armada em duas direções b/a > 2 1 < b/a < 2 a a b b onde, a é o vão menor e b é o vão maiorDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 1
    • Em função da vinculação das bordas da laje, a classificação acima apresentaexceções. Se a laje for suportada continuamente somente ao longo de duas bordas paralelas(as outras duas forem livres) ou quando tiver três bordas livres (laje em balanço), ela serátambém armada em uma só direção, independentemente da relação entre os lados. engaste livre livre livre livreapoio apoio engaste engaste engaste apoio livre livre livre livre livre1.3 - Vinculação As bordas das lajes podem apresentar os seguintes tipos de vinculação: • apoiada: quando a borda da laje é continuamente suportada por vigas, paredes de alvenaria de tijolos cerâmicos, de blocos de concreto ou de pedras. • livre: quando a borda da laje não tiver nenhuma vinculação ao longo daquele lado. • engastada: quando a borda da laje tem continuidade além do apoio correspondente daquele lado (laje adjacente).Exemplo: B engaste CORTE A-A: apoioA A CORTE B-B: apoio livre BDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 2
    • Observações sobre a continuidade das bordas das lajes: Uma laje não deve ser considerada engastada em outra que tenha uma espessuramais do que 2 cm inferior. < 2 cm > 2 cm engaste engaste engaste apoio Toda a laje que tiver um lado adjacente a uma laje rebaixada tem este lado apoiado;toda a laje rebaixada deve ser considerada apoiada (salvo se tiver outros três lados livres). apoio apoio apoio apoio exceção: laje em balanço apoio engaste Quando em um lado da laje ocorrerem duas situações de vínculo (apoiado eengastado), a favor da segurança considera-se todo o lado apoiado; se o engaste forsuperior a 85% do comprimento do lado, pode-se considerar como engastado.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 3
    • Exemplo: 4,00 2,00 4,00 L1 L2 4,00 h=10 h=8 L3 6,50 h=11 2,00 4,00 L4 L5 2,50 h=8 h=8 L6 1,50 lajes rebaixadas h=12 L1 L2 L3 4,00 4,00 6,50 4,00 2,00 L4 L5 4,00 2,50 2,50 2,00 4,00 L6 1,50 4,00Observação: Normalmente, quando se inicia o cálculo das lajes, não são conhecidas asespessuras; deve-se, então, considerar inicialmente engastados todos os lados que sãoadjacentes a outras lajes não rebaixadas. Somente após a primeira hipótese de vinculação éque será possível determinar as espessuras das lajes e refazer a vinculação, quando aespessura for maior que 2 cm.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 4
    • 1.4 - Vãos efetivos de lajes Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto àtranslação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão: lef = l0 + a1 + a2com a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h) e a2 igual ao menor valor entre (t2/2 e 0,3h),conforme a figura abaixo. Nas lajes em balanço, o vão efetivo é o comprimento da extremidade até o centrodo apoio, não sendo necessário considerar valores superiores ao comprimento livreacrescido de trinta por cento da espessura da laje junto ao apoio. h t mín(t/2 ; 0,3h)Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 5
    • 1.5 - Cargas nas lajes Em lajes o carregamento, em geral, é considerado como uniformemente distribuído: p (kN/m2), onde: p=g+q onde: g – é a parcela permanente das cargas que atuam sobre a laje (peso próprio, revestimento, reboco, etc.); q – é a parcela variável das cargas que atuam sobre a laje (peso das pessoas, móveis, equipamentos, etc.). Os valores das cargas a serem considerados no cálculo de estruturas de edificações são indicados na NBR6120:1980. Para edifícios residenciais, os valores mais usuais de cargas são: - peso específico do concreto armado = 25 kN/m3 - peso específico do concreto simples = 24 kN/m3 - enchimento de lajes rebaixadas = 14 kN/m3 - reboco (1cm) = 0,2 kN/m2 - revestimento de tacos ou tabuões de madeira = 0,7 kN/m2 - revestimento de material cerâmico = 0,85 kN/m2 - forro falso = 0,5 kN/m2 - carga variável em salas, dormitórios, cozinhas, banheiros = 1,5 kN/m2 - carga variável em despensa, lavanderia, área de serviço = 2,0 kN/m2 - carga variável em corredores, escadas em edifícios: não residenciais = 3,0 kN/m2 residenciais = 2,5 kN/m2 - sacada: mesma carga da peça com a qual se comunica. - carga variável linear nas bordas livres das lajes de 2 kN/m (vertical) e 0,8 kN/m na altura do corrimão (horizontal) Exemplos:* laje de 10cm de espessura de uma sala de estar: peso próprio - 0,10 x 25 = 2,5 kN/m2 revestimento (tacos) = 0,7 kN/m2 reboco = 0,2 kN/m2 q (carga variável) = 1,5 kN/m2 4,9 kN/m2* laje de uma área de serviço, rebaixada de peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m220cm, com 15 cm de enchimento; espessura de 8 enchimento - 0,15 x 14 = 2,1 kN/m2cm: revestimento (cerâmico) = 0,85kN/m2 reboco = 0,2 kN/m2 q (carga variável) = 2,0 kN/m2 7,15kN/m2 Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 6
    • Além da carga superficial, é comum ocorrer cargas lineares, correspondentes aparedes de alvenaria executadas sobre a laje. A carga linear é obtida a partir do peso específico da alvenaria (13 kN/m3- tijolosfurados; 18kN/m3 - tijolos maciços), da espessura da parede e de sua altura.Exemplo: p = 0,15 x 2,60 x 13 = 5,1 kN/m1.6 - Determinação da espessura das lajes Nas lajes maciças de concreto armado devem ser respeitados os seguintes limitesmínimos para a espessura: a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN. Recomenda-se usar espessura mínima de 8 cm, para evitar o aparecimento defissuras pela presença de eletrodutos ou caixas de distribuição embutidas na laje. Por estarazão, os valores mínimos de 5 cm e 7 cm não são aconselhados. As lajes devem ter uma espessura tal que atendam a verificação do estado limite deserviço de deformações excessivas. Desta forma, sugere-se o seguinte procedimento paradeterminar a espessura de uma laje, que esteja submetida exclusivamente a cargasuniformemente distribuídas:(a) arbitrar a espessura da laje como sendo o valor mínimo;(b) fazer a composição de cargas para a laje, determinando os valores da carga permanente e variável;(c) determinar o valor da carga de serviço, correspondente à combinação quase permanente de serviço: pd,ser = Σ gi,k + Σ ψ2j qj,k(d) como a armadura a ser colocada na laje não é conhecida ainda, não é possível determinar a sua rigidez. O momento de inércia da seção, Ieq, pode ser estimado da seguinte forma: se ma ≤ mr Ieq = Ic se ma > mr Ieq = 0,30 Ic ma é o momento fletor na seção crítica, momento máximo no vão para lajes biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para lajes em balanço, para a combinação quase permanente de serviço;Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 7
    • mr é o momento de fissuração da laje, calculado por: mr = 0,25 fctm b h2 onde: fctm = 0,3 fck2/3 Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; A flecha imediata deve ser calculada utilizando o módulo de elasticidade secante do concreto: Ecs = 0,85 x 5600 fck1/2 por pd,ser l 4 f(t = 0) = κ E cs Ieq onde: κ – é um coeficiente que depende da vinculação e da relação entre os vãos da laje (tabelas seguintes); l - é o vão menor da laje; Tabela – Valores de κ para lajes armadas em uma direção 1,30 l 0,53 l 0,26 l 12,5 lDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 8
    • Tabela – Valores de κ para lajes armadas em duas direções a/b 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 b a 0,99 0,85 0,71 0,59 0,48 0,40 b a 0,25 0,23 0,21 0,18 0,15 0,13 b a 0,46 0,41 0,36 0,30 0,25 0,21 b a 0,83 0,63 0,48 0,35 0,26 0,19 b a 0,25 0,25 0,24 0,23 0,21 0,19 b a 0,91 0,73 0,58 0,46 0,35 0,28 b a 0,48 0,44 0,41 0,36 0,31 0,28 b a 0,24 0,24 0,23 0,20 0,18 0,16 b a 0,44 0,38 0,32 0,25 0,20 0,16Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 9
    • (e) calcular a flecha de longa duração, levando em conta as deformações por fluência do concreto: f(t=∞) = (1+αf) f(t=0)Considerando, que as lajes não têm armadura de compressão e, a favor da segurança,tomando-se t=∞ e t0=1 mês, tem-se: α f = ∆ξ = ξ(t = ∞) − ξ( t 0 = 1mês) = 2 - 0,68 = 1,32(f) comparar o valor da flecha de longa duração com o valor da flecha admissível; se a flecha de longa duração for superior à flecha admissível, deve-se incrementar a espessura da laje em 1 cm e voltar ao passo (b); em caso contrário, adota-se a espessura corrente para a laje.Exemplo de determinação de espessura de uma laje: A laje, da figura abaixo, corresponde a um dormitório e apresenta revestimento detacos de madeira na face superior e reboco de 1cm de espessura na face inferior. A lajeserá executada para um concreto C20. b=5m a=4m - arbitra-se, inicialmente, que a espessura h=8 cm (valor mínimo); - calcula-se a carga permanente, que atua na laje: peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2 revestimento (tacos) = 0,7 kN/m2 reboco = 0,2 kN/m2 g = 2,9 kN/m2 - a carga variável a ser considerada é de 1,5 kN/m2; - a carga de serviço, correspondente a combinação quase permanente é de: pd,ser = Σ gi,k + Σ ψ2j qj,k = 2,9 + 0,3 x 1,5 = 3,35 kN/m2 - o módulo de elasticidade secante do concreto é de:Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 10
    • Ecs = 0,85 x 5600 fck1/2 = 0,85 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPa - o valor médio da resistência à tração do concreto: fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 (20)2/3 = 2,21 MPa - o momento de fissuração: mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 82 = 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m - o momento de serviço: ma = 0,039 pd,ser l2 = 0,039 x 3,35 x 42 = 2,09 kN.m/m como ma<mr, a seção não está fissurada e deve-se considerar Ieq = Ic. - o valor correspondente ao momento de inércia da seção bruta de concreto: Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 83/12 = 4267 cm4 - a flecha de curta duração é dada por (para a/b=0,8, κ=0,30): p d,ser l 4 0,000335x400 4 f(t = 0) = κ = 0,30 = 0,283 cm E cs I eq 2128,7x4267 - a flecha de longa duração é dada por: f(t=∞) = (1+αf) f(t=0) = 2,32 x 0,283 = 0,657cm - a flecha admissível, para a situação de aceitabilidade visual (deslocamentos visíveis em elementos estruturais), é: fadm = l/250 = 400/250 = 1,60 cm Como a flecha provável é inferior à flecha admissível, pode-se adotar para a laje aespessura de 8 cm.1.7 - Cálculo das solicitações As lajes podem ser calculadas como placas em regime elástico ou em regimerígido-plástico. Considerar o concreto armado um material elástico é uma boa aproximaçãopara o comportamento das lajes submetidas a cargas de serviço (verificação de estadoslimites de serviço). Considerar o concreto armado um material rígido-plástico é uma boaaproximação para o comportamento das lajes na ruptura (verificação de estados limitesúltimos). Para garantir condições apropriadas de dutilidade, quando as solicitações foremdeterminadas no estado limite último através do regime rígido-plástico, a posição da linhaneutra, nas seções sobre apoios, deve ficar limitada em: x d ≤ 0 ,30 No estado limite último, para lajes retangulares, deve ser adotada uma razãomínima de 1,5:1 entre momentos de borda e momentos no vão. Em lajes de estruturas de edifícios correntes, as cargas atuantes são relativamentebaixas e não é necessária a verificação das tensões devidas às forças cortantes e nem odimensionamento de armadura transversal.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 11
    • 1.8 – Dimensionamento das armaduras O dimensionamento das armaduras das lajes deve ser feito para uma seção retangular de largura b = 100 cm e altura útil d = h – c – 0,5cm. Conforme a classe de agressividade ambiental, que a laje se encontra exposta, o cobrimento da armadura é dado pela tabela seguinte: classe de agressividade ambiental I II III IV cobrimento nominal (mm) 20 25 35 45 Para a face superior das lajes, que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por um cobrimento nominal de 15 mm, não podendo ser inferior ao diâmetro das barras de armadura. O dimensionamento da armadura à flexão simples deve ser feito pelas seguintes expressões (armadura simples): ⎛ md ⎞ x = 1,25 d ⎜1 − ⎜ 1− ⎟ ⎟ ⎝ 0,425 f cd b d 2 ⎠ 0,68 f cd b x As = f yd Esta armadura deve atender os valores mínimos indicados na tabela abaixo. Tabela - Valores mínimos para armaduras em lajes de concreto armado Armaduras Armadura positiva Armadura de Armadura Armaduras positivas de lajes (principal) de lajes distribuição nas negativas armadas nas duas armadas em uma lajes armadas em direções direção uma direção Αs/s ≥ 20 % daValores mínimos ρs ≥ ρmin ρs ≥ 0,67ρmin ρs ≥ ρmin armadurapara armaduras principal ρs ≥ 0,5 ρmin Αs/s ≥ 0,9cm2/m A taxa de armadura é calculada ρs = As/(b h) e ρmin deve corresponder a uma taxa mecânica de armadura mínima ωmin = ρmin fyd/fcd = 0,035, não podendo ser inferior a 0,150%. Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 12
    • Tabela – Valores de ρmin em % para o aço CA-50, γc=1,4 e γs=1,15 fck 20 25 30 35 40 45 50 ρmin 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 A NBR-6118:2007 apresenta, ainda, as seguintes prescrições gerais relativas às armaduras das lajes: • As armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu posicionamento durante a concretagem. • Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8. • As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm. • A armadura de distribuição, nas lajes armadas em uma só direção, deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm. Recomendam-se os seguintes critérios para a escolha da bitola e do espaçamento das armaduras das lajes: - para a armadura negativa (colocada junto à face superior da laje): diâmetro mínimo: φ 5 espaçamento: entre 15 e 20cm - para a armadura positiva (colocada na face inferior da laje): diâmetro mínimo: φ 4,2 espaçamento: entre 10 e 15cm Tabela – Áreas de armadura por unidade de comprimento (cm2/m), para diferentes bitolas e espaçamentos 10cm 11cm 12cm 13cm 14cm 15cm 16cm 17cm 18cm 19cm 20cm 21cm 22cm 23cm 24cm 25cmφ4,2 1,39 1,26 1,16 1,07 0,99 0,93 0,87 0,82 0,77 0,73 0,70 0,66 0,63 0,60 0,58 0,56φ4,6 1,66 1,51 1,38 1,28 1,19 1,11 1,04 0,98 0,92 0,87 0,83 0,79 0,75 0,72 0,69 0,66 φ5 1,96 1,78 1,63 1,51 1,40 1,31 1,23 1,15 1,09 1,03 0,98 0,93 0,89 0,85 0,82 0,78φ5,5 2,38 2,16 1,98 1,83 1,70 1,59 1,49 1,40 1,32 1,25 1,19 1,13 1,08 1,03 0,99 0,95 φ6 2,83 2,57 2,36 2,18 2,02 1,89 1,77 1,66 1,57 1,49 1,42 1,35 1,29 1,23 1,18 1,13φ6,3 3,12 2,84 2,60 2,40 2,23 2,08 1,95 1,84 1,73 1,64 1,56 1,49 1,42 1,36 1,30 1,25φ6,4 3,22 2,93 2,68 2,48 2,30 2,15 2,01 1,89 1,79 1,69 1,61 1,53 1,46 1,40 1,34 1,29 φ7 3,85 3,50 3,21 2,96 2,75 2,57 2,41 2,26 2,14 2,03 1,93 1,83 1,75 1,67 1,60 1,54 φ8 5,03 4,57 4,19 3,87 3,59 3,35 3,14 2,96 2,79 2,65 2,52 2,40 2,29 2,19 2,10 2,01φ9,5 7,09 6,45 5,91 5,45 5,06 4,73 4,43 4,17 3,94 3,73 3,55 3,38 3,22 3,08 2,95 2,84φ10 7,85 7,14 6,54 6,04 5,61 5,23 4,91 4,62 4,36 4,13 3,93 3,74 3,57 3,41 3,27 3,14φ12,5 12,27 11,15 10,23 9,44 8,76 8,18 7,67 7,22 6,82 6,46 6,14 5,84 5,58 5,33 5,11 4,91 Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 13
    • 2 - Lajes armadas em uma só direção As lajes armadas em uma só direção são dimensionadas como se fossem vigas. Avinculação é definida segundo o vão menor “a”. Nas lajes armadas em uma só direção, podem ocorrer os seguintes esquemasestruturais: vinculação regime elástico regime rígido-plástico p mV = pl2/8 mV = pl2/8 r = pl/2 r = pl/2 l p mE = -pl2/8 mE = -pl2/8,88 mV = 9pl2/128 mV = pl2/13,32 rE = pl/2 + |ME|/l rE = pl/2 + |ME|/l l rA = pl/2 - |ME|/l rA = pl/2 - |ME|/l p mE = -pl2/12 mE = -3pl2/40 mV = pl2/24 mV = pl2/20 r = pl/2 r = pl/2 l p mE = -pl2/2 mE = -pl2/2 r = pl r = pl lDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 14
    • Exemplo:* Seja uma laje em balanço, com vão efetivo de 1,50m, correspondente a uma sacada, queestá rebaixada de 20cm, e recebe um enchimento de 15cm além do revestimento cerâmicoe um reboco de 1cm. Considerar concreto C20 e aço CA-50. QV p QH 1m l São três os carregamentos atuantes sobre a laje em balanço:(a) carga permanente uniformemente distribuída: peso próprio: h x 25 kN/m3 enchimento – 0,15m x 14 kN/m3: 2,1 kN/m2 revestimento cerâmico: 0,85kN/m2 reboco: 0,2 kN/m2 g = 3,15kN/m2 + h x 25kN/m3(b) carga variável uniformemente distribuída: q = 1,5 kN/m2(c) carga variável linear na borda livre da laje: QV = 2 kN/m QH = 0,8 kN/m Para o projeto desta laje, devem ser consideradas combinações últimas e de serviço:- combinações últimas: m ⎛ n ⎞ Fd = γ g ∑ FGi,k + γ q ⎜ FQ1,k + ∑ Ψ 0j FQj,k ⎟ i =1 ⎝ j= 2 ⎠- combinação quase-permanente de serviço: m n Fd = ∑ FGi, k + ∑ Ψ 2j FQj, k i =1 j =1 Conforme a norma brasileira, γg = γq = γf = 1,4 e, para edifícios residenciais, Ψ0=0,5e Ψ2=0,3.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 15
    • Para a determinação da espessura da laje, é necessária a verificação do estado limitede deformações excessivas. Arbitra-se, inicialmente, que a espessura da laje é de 8 cm.- as cargas de serviço são: pd,ser = g + 0,3 q = 0,08m x 25kN/m3 + 3,15kN/m2 + 0,3 x 1,5kN/m2 = 5,60kN/m2 PdV,ser = 0,3 x 2kN/m = 0,6 kN/m PdH,ser = 0,3 x 0,8 kN/m = 0,24 kN/m- o módulo de elasticidade secante do concreto é de: Ecs = 0,85 x 5600 fck1/2 = 0,85 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPa- o valor médio da resistência à tração do concreto: fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 (20)2/3 = 2,21 MPa- o momento de fissuração: mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 82 = 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m- o momento de serviço: p d,ser l 2 5,60 x 1,52 ma = + P dV,ser l + P dH,ser (1m) = + 0,6 x 1,5 + 0,24 x 1= 7,44 kN.m/m 2 2como ma>mr , a seção está fissurada e deve-se considerar Ieq = 0,30 Ic.- o valor correspondente ao momento de inércia equivalente da seção: Ieq = 0,30 Ic = 0,30 b h3/12 = 0,30 x 100 x 83/12 = 1280 cm4- a flecha de curta duração é dada por: 1 ⎡ p d, ser l P dV, ser l 3 P dH, ser (1m) l 2 ⎤ 4 f(t = 0) = ⎢ + + ⎥ E cs I eq ⎢ 8/100 ⎣ 3/100 2/100 ⎥ ⎦ 1 ⎡ 0,00056x 150 4 0,006x 150 3 0,0024x100x 150 2 ⎤ f(t = 0) = ⎢ + + ⎥ =1,65 cm 2128,7 x 1280 ⎣ 8/100 3/100 2/100 ⎦- a flecha de longa duração é dada por: f(t=∞) = (1+αf) f(t=0) = 2,32 x 1,65 = 3,82cm- conforme a norma, quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser consideradodeve ser o dobro do comprimento do balanço; a flecha admissível, para a situação deaceitabilidade visual (deslocamentos visíveis em elementos estruturais), será então: fadm = l/250 = (2x150)/250 = 1,20 cm Desta forma, como a flecha provável é maior do que a flecha admissível, torna-senecessário o aumento da espessura da laje, com verificações sucessivas do estado limite dedeformações excessivas. Estas verificações estão resumidas na tabela abaixo.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 16
    • Tabela – Verificação do estado limite de deformações excessivas h pd,ser mr ma Ieq f(t=0) f(t=∞) (cm) (kN/m2) (kN.m/m) (kN.m/m) (cm4) (cm) (cm) 8 5,60 3,54 7,44 1280 1,65 3,82 9 5,85 4,48 7,72 1823 1,20 2,78 10 6,10 5,59 8,00 2500 0,90 2,09 11 6,35 6,69 8,28 3328 0,70 1,63 12 6,60 7,96 8,57 4320 0,56 1,29 13 6,85 9,34 8,85 18308 0,12 0,27 Assim, a menor espessura da laje, que atende o estado limite de deformaçõesexcessivas é de h=13cm. Para esta espessura, a flecha provável de 0,27 cm é inferior aflecha admissível de 1,20 cm. Para o dimensionamento da armadura, no estado limite último, devem seconsideradas duas combinações últimas de carga: a primeira tem a carga variáveldistribuída como ação variável principal e a segunda tem o carregamento linear da bordalivre da laje como ação variável principal.- a carga distribuída q é a ação variável principal: g = 3,15 + 0,13 x 25 = 6,40 kN/m2 p = 6,40 + 1,50 = 7,90 kN/m2 PV = 0,5 x 2,0 = 1,0 kN/m PH = 0,5 x 0,8 = 0,4 kN/m p 2 7,90 x 1,52 m = l + P V l + P H (1m) = +1,0 x 1,5 + 0,4 x 1=10,79 kN.m/m 2 2- o carregamento linear de borda (QV, QH) é a ação variável principal: g = 3,15 + 0,13 x 25 = 6,40 kN/m2 p = 6,40 + 0,5 x 1,50 = 7,15 kN/m2 PV = 2,0 kN/m PH = 0,8 kN/m p l2 7,15 x 1,52 m= + P V l + P H (1m) = + 2,0 x 1,5 + 0,8 x 1=11,84 kN.m/m 2 2 O esforço normal n=PH é pequeno, frente ao momento fletor, e pode ser desprezadopara o dimensionamento da armadura. Deste modo, a armadura deve ser calculada para omomento de 11,84 kN.m/m.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 17
    • - dimensionamento à flexão simples:m = 1184 kN.cm/mfck = 20 MPab = 100 cmh = 13 cmd = h – c – 0,5cm = 13 – 1,5 – 0,5 = 11 cm ⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x1184 ⎞ x = 1,25 d ⎜1 − ⎜ 1− ⎟ =1,25x11⎜1 − 1 − 2 ⎟ ⎜ ⎟ = 1,65 cm 2 ⎟ ⎝ 0,425 f cd b d ⎠ ⎝ 0,425x2/1,4x100x11 ⎠ (x/d = 1,65/11 = 0,15 < 0,30 OK.) 0,68 f cd b x 0,68 x 2 / 1,4 x100 x1,65 AS = = = 3,68 cm 2 /m f yd 43,5- armadura mínima: ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 13 = 1,95 cm2/m < AS armadura adotada: φ8 c/13 cm- armadura de distribuição: ⎧ ASprinc 3,68 ⎪ 5 = 5 = 0,74 cm / m 2 ⎪ ⎪ 1,95 ≥ ⎨ ASmín = = 0,98 cm / m 2 ASdistr ⎪ 2 2 2 ⎪ 0,9 cm / m ⎪ ⎩ ASdistr φ 4,2 c/14cm ou φ 5 c/20cm φ 8 c/13 cm φ 4,2 c/14 cm ou φ 5 c/20 cmDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 18
    • 2.1 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares paralelas ao vão A nova versão da NBR6118:2007 não traz recomendações específicas para ocálculo de lajes armadas em uma só direção submetidas a cargas lineares. Por esta razão,recomenda-se, ainda, o emprego das recomendações constantes na versão anterior danorma. a 45o 45o h b=a+h Conforme a NBR6118:1980, as cargas se distribuem a 45o até o plano médio da lajee se pode calcular a laje armada em uma só direção como uma viga de largura bw, onde: bw = b + ∆sendo ∆ dado por:(a) para momentos fletores positivos: 2. a1. ( l − a1 ) ⎛ b ⎞ ∆= . ⎜1 − ⎟ l ⎝ l⎠(b) para momentos fletores negativos: a . ( 2. l − a1 ) ⎛ b ⎞ ∆= 1 . ⎜1 − ⎟ l ⎝ l⎠(c) para momentos fletores em lajes de balanço: ⎛ b⎞ ∆ = 1,5. a1. ⎜1 − ⎟ ⎝ l⎠onde a1 é a distância do centro da carga ao apoio para cujo lado está a seção que se estuda. Para se adotar estes valores de bw, deve-se cumprir que: B (I) bw ≤ B l (II) bw ≤ 2 C A Sdistr ⎡ b ⎤ A Sprinc (III) ≥ ⎢1 − 0,8 ⎥ s ⎣ bw ⎦ s bw CEsta armadura de distribuição deverá se estender sobre toda a largura bw, acrescida de umcomprimento de 50 φ para cada lado de bw (comprimento de ancoragem).Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 19
    • 2.2 - Lajes armadas em uma só direção com cargas lineares perpendiculares ao vão P l p Para o dimensionamento de lajes armadas em uma só direção, submetidas a cargaslineares na direção perpendicular ao vão, deve-se determinar a solução do problemaespecífico, utilizando o método das rótulas plásticas (regime rígido-plástico).2.3 – Exemplo de laje armada em uma só direção com carga linear paralela ao vão Seja uma laje armada em uma só direção, que recebe uma parede de 12 cm deespessura e 2,60 m de altura (alvenaria com 13kN/m3 de peso específico). Considerar oconcreto C20 e o aço CA-50. 2,80m p bw Arbitra-se, inicialmente, que h = hmín = 8 cm.- cálculo da largura de influência da parede (vão): l 280 a1 = = = 140 cm 2 2 b = a + h = 12 + 8 = 20 cm bw = b + ∆ 2.a 1 .(l − a 1 ) ⎛ b ⎞ 2x140(280 − 140) ⎛ 20 ⎞ ∆V = .⎜1 − ⎟= ⎜1 − ⎟ = 130 cm l ⎝ l⎠ 280 ⎝ 280 ⎠ bw,V = 20 + 130 = 150 cmDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 20
    • - composição de cargas: peso próprio – 0,08m x 25kN/m3: 2,0 kN/m2 revestimento (tacos): 0,7 kN/m2 reboco: 0,2 kN/m2 parede: 0,12mx2,60mx13kN/m3/1,50m: 2,7 kN/m2 g = 5,6 kN/m2 carga variável: q = 1,5 kN/m2- carga de serviço: pd,ser = g + Ψ2 q = 5,6 + 0,3x1,5 = 6,05kN/m2- momentos da seção crítica e de fissuração: 9 pd, ser l 2 9 x 6,05 x 2,82 ma = = = 3,34 kN.m/m (elástico) 128 128 fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 (20)2/3 = 2,21 MPa mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 82 = 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/mcomo ma<mr , a seção não está fissurada e deve-se considerar-se Ieq = Ic.- flecha imediata: Ecs = 0,85 x 5600 fck1/2 = 0,85 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPa Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 83/12 = 4267 cm4 pd,ser l4 4 0,000605 x 280 f(t = 0) = 0,53 = 0,53 = 0,217 cm Ecs Ieq 2128,7 x 4267- flecha provável: f(t=∞) = (1+αf) f(t=0) = 2,32 x 0,217 = 0,503cm- flecha admissível: fadm = l/250 = 280/250 = 1,12 cm Assim, como a flecha provável é menor do que a flecha admissível, a espessuraadotada é suficiente. Conforme as exigências da NBR6118:2007, relativas aos cobrimentos dasarmaduras, admitir-se-á como altura útil da laje, no vão, d=5,5cm e, no engaste, d=6cm.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 21
    • - largura de influência da parede: l 280 a1 = = = 140 cm 2 2 b = a + h = 12 + 8 = 20 cm bw = b + ∆ 2.a 1 .(l − a 1 ) ⎛ b ⎞ 2x140(280 − 140) ⎛ 20 ⎞ ∆V = .⎜1 − ⎟ = ⎜1 − ⎟ = 130 cm l ⎝ l⎠ 280 ⎝ 280 ⎠ a 1 .(2l − a 1 ) ⎛ b ⎞ 140(2x280 − 140) ⎛ 20 ⎞ ∆E = .⎜1 − ⎟= ⎜1 − ⎟ = 195 cm l ⎝ l⎠ 280 ⎝ 280 ⎠ bw,V = 20 + 130 = 150 cm bw,E = 20 + 195 = 215 cm- Trecho fora da faixa de largura bw: peso próprio – 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2 revestimento (tacos) = 0,7 kN/m2 reboco = 0,2 kN/m2 q = 1,5 kN/m2 4,40 kN/m2 2 2 2 2 pl 4,40 x 2,80 pl 4,40x2,80 mV = = = 2,59 kN.m/m ; m E = − =− = − 3,88 kN.m/m 13,32 13,32 8,88 8,88 ⎛ md ⎞ x = 1,25 d ⎜1 − ⎜ 1− ⎟ ⎟ ⎝ 0,425 f cd b d 2 ⎠ 0,68 f cd b x AS = f yd m d x x/d AS ASmín (kN.m/m) (cm) (cm) (cm2) (cm2) vão 2,59 5,5 0,716 - 1,60 1,20 φ5c/12 engaste 3,88 6,0 0,998 0,166 2,23 1,20 φ6,3c/14Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 22
    • armadura de distribuição (no vão): ⎧ A Sprinc 1,60 ⎪ = = 0,32 cm 2 / m ⎪ 5 5 ⎪ A 1,20 A Sdistr ≥ ⎨ Smín = = 0,60 cm 2 / m ⎪ 2 2 ⎪ 0,9 cm 2 / m ⎪ ⎩ adotado: 0,9 cm2/m φ5 c/21- Trecho de largura bw, onde atua a carga de parede, além da carga superficial de 4,4kN/m2.* no vão: bw = 150 cm p = 0,12m x 2,6m x 13kN/m3 = 4,06 kN/m p’= 4,06 kN/m/1,50m = 2,71 kN/m2 (4,40+ 2,71)x2,80 2 2 pl mV = = = 4,18 kN.m/m 13,32 13,32 b = 100 cm; d = 5,5 cm ⎛ ⎞ x = 1,25 d ⎜1 − ⎟ =1,200 cm Md 1− ⎜ 2 ⎟ 0,425 f cd b d ⎠ ⎝ 0,68 f cd b x AS = = 2,68 cm 2 /m > A Smín = 1,20 cm 2 /m φ6,3 c/11 f yd ⎡ b ⎤ ⎛ 0,8x20 ⎞ 2 A Sdistr ≥ ⎢1 − 0,8 ⎥ A Sprinc = 2,68 ⎜1 − ⎟ = 2,39 cm /m ⎣ bw ⎦ ⎝ 150 ⎠ 2,39 cm2/m - 0,93 cm2/m = 1,46 cm2/m (φ6,3 c/21)* no engaste: bw = 215 cm p = 4,06 kN/m p’= 4,06 kN/m/2,15m = 1,89 kN/m2 (4,40+1,89)x2,80 2 2 pl mE = − =− = − 5,55 kN.m/m 8,88 8,88 b = 100 cm; d = 6,0 cmDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 23
    • ⎛ md ⎞ x = 1,25 d ⎜1 − ⎜ 1− ⎟ =1,479 cm (x/d = 0,247<0,30) ⎟ ⎝ 0,425 f cd b d 2 ⎠ 0,68 f cd b x AS = = 3,30 cm 2 /m > A Smín = 1,20 cm 2 /m φ8 c/15 f yd - armadura negativa: 215 cm φ6,3 c/14 φ6,3 c/14 φ8 c/15 - armadura positiva: 150 cm φ5 c/21 φ6,3 c/11 φ5 c/12 φ5 c/12 φ6,3 c/21 213 cmDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 24
    • 3 - Lajes armadas em duas direções3.1 – Solicitações conforme o regime elástico Para a verificação de estados limites de serviço, deve-se considerar os momentosfletores determinados pelo regime elástico. No caso das lajes armadas em duas direções,estes valores podem ser calculados pela expressão: m = α p l2onde l é o vão menor da laje e p é a carga superficial atuante na laje. O valor de α deve serretirado de uma tabela, em função da relação entre os vãos e da vinculação da laje.3.2 – Solicitações conforme o regime rígido plástico Para o dimensionamento da armadura das lajes, no estado limite último, devem serempregados os momentos fletores determinados considerando-se o regime rígido-plástico.O método que utiliza este regime para o cálculo dos momentos das lajes é conhecido pormétodo das linhas de ruptura. Conforme este método, em uma laje retangular, engastada nas quatro bordas, vãoaparecer momentos fletores negativos nos engastes, dados por: m’ = - i . monde i é o grau de engastamento e m é o momento do vão.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 25
    • Tabela – Valores de α para lajes armadas em duas direções (regime elástico) a/b 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 b ma 0,099 0,086 0,073 0,061 0,051 0,042 a mb 0,032 0,037 0,040 0,042 0,043 0,042 b ma 0,041 0,038 0,034 0,029 0,025 0,021 mb 0,010 0,013 0,017 0,018 0,020 0,021 a ma ’ 0,084 0,080 0,074 0,067 0,059 0,052 mb ’ 0,058 0,058 0,058 0,057 0,055 0,052 b ma 0,057 0,052 0,045 0,039 0,033 0,027 mb 0,016 0,020 0,024 0,026 0,027 0,027 a ma ’ 0,119 0,111 0,101 0,091 0,080 0,070 mb ’ 0,082 0,082 0,080 0,078 0,074 0,070 b ma 0,084 0,065 0,049 0,037 0,027 0,020 a mb 0,036 0,038 0,039 0,037 0,034 0,031 mb ’ 0,119 0,111 0,102 0,091 0,080 0,070 b ma 0,042 0,041 0,039 0,037 0,034 0,031 a mb 0,008 0,010 0,013 0,016 0,018 0,020 ma ’ 0,084 0,083 0,082 0,078 0,074 0,070 b ma 0,091 0,075 0,060 0,048 0,037 0,030 a mb 0,034 0,038 0,040 0,039 0,038 0,036 mb ’ 0,122 0,117 0,110 0,102 0,093 0,084 b ma 0,060 0,056 0,051 0,046 0,040 0,036 a mb 0,015 0,019 0,023 0,026 0,028 0,030 ma ’ 0,122 0,116 0,109 0,101 0,093 0,084 b ma 0,042 0,040 0,037 0,033 0,029 0,026 mb 0,009 0,012 0,015 0,018 0,019 0,021 a ma ’ 0,085 0,083 0,079 0,074 0,068 0,062 mb ’ 0,056 0,057 0,058 0,058 0,057 0,055 b ma 0,055 0,048 0,040 0,033 0,026 0,021 mb 0,018 0,023 0,025 0,027 0,026 0,026 a ma ’ 0,114 0,102 0,091 0,088 0,066 0,055 mb ’ 0,082 0,081 0,078 0,074 0,068 0,062Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 26
    • Chamando-se de 1, 2, 3, 4 os lados da laje, começando a numeração sempre poruma borda de menor comprimento, os graus de engastamento serão i1, i2, i3 e i4, comvalores: • entre 0,7 e 2,0, para as bordas engastadas (a NBR6118 recomenda que i ≥ 1,5); • igual a 0, para as bordas apoiadas.Sendo: ma: o momento correspondente à armadura Asa, paralela ao vão “a” mb: o momento correspondente à armadura Asb, paralela ao vão “b” Os momentos negativos vão ser: m1’ = - i1 . mb m2’ = - i2 . ma m3’ = - i3 . mb m4’ = - i4 . ma(a) cargas uniformemente distribuídas:(a.1) lajes isótropas: As lajes com 0,8 ≤ a/b ≤ 1 são consideradas lajes isótropas, isto é, ma = mb = m eAsa = Asb. O momento no vão será calculado por: p a r br m= ⎛ a b ⎞ 8 ⎜1 + r + r ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ br a r ⎠onde, p é a carga superficial e ar e br são os vãos reduzidos, que dependem dos graus deengastamento i1, i2, i3, i4.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 27
    • 2a ar = 1+ i2 + 1+ i4 2b br = 1 + i1 + 1 + i 3(a.2) lajes ortótropas: As lajes com 0,5 ≤ a/b < 0,8 são consideradas lajes ortótropas, ou seja, ma ≠ mb eAsa ≠ Asb. O coeficiente de ortotropia é definido por: mb ϕ= mae pode ser calculado por 1,7 12 −i 2 − i 4 ⎛ a ⎞ ϕ= .⎜ ⎟ 12 − i1 − i 3 ⎝ b ⎠ A laje ortótropa é calculada pelas mesmas fórmulas da isótropa, considerando-se bque o lado maior b tem um comprimento . ϕ Assim, br b* = r ϕ p a r b* m= r ⎛ a r b* ⎞ 8 ⎜1 + * + r ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ br a r ⎠com 2a ar = 1+ i2 + 1+ i4 2b br = 1 + i1 + 1 + i 3com ma = m e mb = ϕ m .Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 28
    • Os momentos nos engastes serão: m1’ = - i1 . mb m2’ = - i2 . ma m3’ = - i3 . mb m4’ = - i4 . ma(b) cargas lineares: O formulário do método das linhas de ruptura, para lajes submetidas a cargaslineares, paralelas aos vãos “a” e “b”, sendo as cargas superficiais predominantes, é oseguinte: p* = p (1 + α + 2 β ) pa pb α= β= p. b p. a 2a ar = 1+ i2 + 1+ i4 1 1 + α + 2β 2b br = * . . ϕ 1 + 3β 1 + i1 + 1 + i 3 p* a r b* m= r ⎛ a r b* ⎞ 8 ⎜1 + * + r ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ br a r ⎠com ma = m e mb = ϕ m . Este formulário foi obtido para a pior situação de posição da parede e com umcomprimento ao longo de toda laje. Pode-se usar este mesmo formulário em outrassituações a favor da segurança.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 29
    • 3.3 – Dimensionamento e detalhamento das armaduras Após a determinação dos momentos nos vãos ma e mb e dos momentos nos engastesm1’, m2’, m3’ e m4’, o dimensionamento das armaduras é feito da seguinte maneira: (a) laje isótropa: dados: b = 100 cm; d = h – c – 0,5cm; m=ma=mb calcular: AS = ASa = ASb (b) laje ortótropa: dados: b = 100 cm; da = h – c – 0,5cm; m=ma calcular: AS = ASa dados: b = 100 cm; db = h – c – 1cm; m=mb calcular: AS = ASb Neste cálculo, admite-se que da difere de db de um φ (~5mm). Nas lajes isótropas,usa-se um d único para se ter ASa = ASb. Sempre a armadura do menor vão deve sercolocada por baixo da armadura do vão maior. db da Conforme a NBR6118, quando houver predominância de cargas permanentes, aslajes vizinhas podem ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dosmomentos de continuidade (negativos) de forma aproximada. A compatibilização pode serrealizada mediante alteração dos graus de engastamento, em procedimento iterativo, até aobtenção de valores equilibrados nas bordas. Permite-se, simplificadamente, a adoção domaior valor de momento negativo ao invés de equilibrar os momentos de lajes diferentessobre uma borda comum. Desta forma, as lajes são calculadas separadamente, mas devem ter uma armaduraúnica de continuidade ao longo da borda comum que foi considerada engastada. Para isto,deve-se dimensionar a armadura para o maior entre os dois momentos de engastamento e amenor das alturas úteis. Estas armaduras devem se estender para cada lado do eixo doapoio de um comprimento igual a 1/4 do maior dos vãos menores das duas lajesconsideradas. Nos apoios de borda de piso, onde a laje termina, deve ser colocada uma armadurade contorno de valor igual a 1/4 da armadura máxima do vão, não menor do que φ5 c/20cm, com uma extensão igual a 1/5 do vão menor da laje. A armadura correspondente a uma laje em balanço deve se estender, na lajeadjacente, de um comprimento igual ao da laje em balanço. Quando o comprimento da lajeem balanço ultrapassar 3 m é conveniente colocar uma armadura, nas duas direções,também na face inferior (para limitar as aberturas de fissuras devidas à retração doconcreto e dilatação térmica).Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 30
    • 3.4 - Reações de apoio Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares, com cargauniforme, podem ser feitas as seguintes aproximações:a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos outrapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análiseefetivada. De maneira aproximada, essas reações podem ser consideradas uniformementedistribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio;b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas porretas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos: • 45o entre dois apoios do mesmo tipo; • 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; • 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. Empregando-se este último critério, os valores das reações podem ser determinadoscom o auxílio da tabela da página seguinte (Vigas continuas, pórticos y placas – J. Hahn,Editora Gustavo Gili - Barcelona – 1966). Seja, por exemplo, a laje da figura abaixo, com a=2,5m e b=5,0m, submetida a umacarga de 5,0 kN/m2. b 30o 45o a 30o 45ob/a = 5,0/2,5 = 2,0da tabela: vae = 0,159; var = 0,091; vbe = 0,476; vbr = 0,274carga total da laje: 5,0 kN/m2 x 2,5 m x 5,0 m = 62,5 kNreação na borda “a”, apoiada: 62,5 kN x 0,091 / 2,5 m = 2,28 kN/mreação na borda “a”, engastada: 62,5 kN x 0,159 / 2,5 m = 3,98 kN/mreação na borda “b”, apoiada: 62,5 kN x 0,274 / 5,0 m = 3,43 kN/mreação na borda “b”, engastada: 62,5 kN x 0,476 / 5,0 m = 5,95 kN/mDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 31
    • Tabela – Reações de apoio em lajes armadas em duas direções b/a 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 b va 250 238 227 217 208 200 192 185 179 173 167 161 156 139 125a vb 250 262 273 283 292 300 308 315 321 327 333 339 344 361 375 b va 183 175 167 160 153 147 141 136 131 126 22 118 115 102 092 vbe 402 412 422 431 440 447 455 461 468 474 479 484 488 504 517a vbr 232 238 244 249 254 259 263 267 270 274 277 280 282 292 299 b vae 402 388 378 366 355 342 331 320 310 300 289 280 272 241 217 var 232 226 218 212 205 198 191 184 179 173 167 161 156 139 125a vb 183 193 202 211 220 230 239 248 256 264 272 280 286 310 329 b va 144 137 131 125 120 115 111 107 103 099 096 093 090 080 072a vb 356 363 369 375 380 385 389 393 397 401 404 407 410 420 428 b va 356 349 341 334 327 320 312 304 297 290 283 275 267 241 217a vb 144 151 159 166 173 180 188 196 203 210 217 225 233 259 283 b vae 317 302 288 276 264 254 244 235 227 219 211 204 198 176 159 var 183 175 167 160 153 147 141 136 131 126 122 118 115 102 091a vbe 317 332 347 359 371 381 391 400 408 416 424 431 437 459 476 vbr 183 191 198 205 212 218 224 229 234 239 243 247 250 263 274 b vae 250 237 227 217 208 200 192 185 179 173 166 161 156 138 125 var 144 137 131 125 120 114 110 107 103 099 096 093 090 080 071a vb 303 313 321 329 336 343 349 354 359 364 369 373 377 391 402 b va 304 294 284 274 264 254 244 235 227 219 211 204 198 176 159 vbe 250 263 275 288 301 314 327 339 350 360 370 378 387 416 437a vbr 142 149 157 164 171 178 185 191 196 202 208 214 217 232 245 b va 250 238 227 217 208 200 192 185 179 173 167 161 156 139 125a vb 250 262 273 283 292 300 308 315 321 327 333 339 344 361 375Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 32
    • 3.5 – Exemplo de laje submetida a cargas superficiais Dimensionar as armaduras para a laje da figura abaixo, correspondente a umdormitório, que apresenta revestimento de tacos de madeira na face superior e reboco de 1cm de espessura na face inferior. A laje será executada com concreto C20 e aço CA-50. b=5m Foi verificado previamente (página 10), que uma espessura de h = 8 cm é a=4m suficiente para esta laje atender o estado limite de serviço de deformações excessivas.- composição de cargas: peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2 revestimento (tacos) = 0,7 kN/m2 reboco = 0,2 kN/m2 q = 1,5 kN/m2 p = 4,4 kN/m2- cálculo das solicitações: a/b = 4/5 = 0,8 laje isótropa i1 = i2 = 1,5 e i3 = i4 = 0 2a 2x4 ar = = = 3,10 m 1 + i2 + 1 + i4 1 + 1,5 + 1 + 0 2b 2x5 br = = = 3,87 m 1 + i1 + 1 + i 3 1 + 1,5 + 1 + 0 p a r br 4,4 x 3,10 x 3,87 m= = = 2,16 kN.m/m ⎛ a r br ⎞ ⎛ 3,10 3,87 ⎞ 8 ⎜1 + + ⎟ 8 ⎜1 + ⎜ ⎟ + ⎟ ⎝ br a r ⎠ ⎝ 3,87 3,10 ⎠ ma = mb = 2,16 kN.m/m; m1’ = m2’ = -1,5 m = 3,24 kN.m/m- armadura positiva: ma = mb = 2,16 kN.m/m d = h –c – 0,5 cmDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 33
    • para classe de agressividade I c = 2 cm d = 8 – 2 –0,5 = 5,5 cm ⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x216 ⎞x = 1,25 d ⎜1 − 1− ⎟ =1,25x5,5 ⎜1 − 1− ⎟ = 0,591cm ⎜ 2 ⎟ 0,425 f cd b d ⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎝ 0,425x2/1,4x100x5,5 ⎠ 0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,591 AS = = =1,32 cm /m 2 f yd 50/1,15 ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m < AS armadura adotada: φ5 c/14 cm- armadura negativa: m1’ = m2’ = -3,24 kN.m/m(supondo que os momentos de engastamento das lajes adjacentes sejam menores que os3,24 kN.m/m) d = h –c – 0,5 cm c = 1,5 cm d = 8 – 1,5 –0,5 = 6,0 cm ⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x324 ⎞x = 1,25 d ⎜1 − 1− ⎟ = 1,25x6,0 ⎜1 − 1 − ⎟ = 0,823 cm ⎜ ⎟ 0,425 f cd b d 2 ⎠ ⎜ 0,425x2/1,4x100x6,0 ⎟ 2 ⎝ ⎝ ⎠ (x/d = 0,137 < 0,30 OK.) 0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,823 AS = = =1,84 cm /m 2 f yd 50/1,15 ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m < AS armadura adotada: φ6 c/15 cmDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 34
    • - detalhamento: φ 5 c/20 0,8 1,00 5,00 4,00 φ 6 c/15 2,85 1,00 1,00 φ 5 c/14 4,00 φ 5 c/14 1,00 1,00 φ 6 c/15 1,00 1,40 3,003.6 – Exemplo de laje submetida a carga linear além das cargas superficiais Dimensionar as armaduras para a laje da figura abaixo, correspondente a umbanheiro, que apresenta revestimento cerâmico e forro falso. A laje está submetida a umacarga linear, referente a uma parede de 14 cm de espessura e 2,60 m de altura (pesoespecífico 13 kN/m3), além da carga superficial. A laje será executada com concreto C20 eaço CA-50. pa b/a = 3,70/2,50 = 1,48 laje armada em 3,70 duas direções 2,50Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 35
    • - determinação da espessura da laje: Na falta de um procedimento mais preciso para a determinação da flecha em umalaje armada em duas direções, submetida a carga linear, pode-se considerar, na verificaçãodo estado limite de deformações excessivas, a carga como uniformemente distribuída.- composição de cargas: peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2 revestimento cerâmico = 0,85kN/m2 forro falso = 0,5 kN/m2 parede: 0,14x2,60x13/3,70 = 1,28kN/m2 g = 4,63 kN/m2 carga variável q = 1,5 kN/m2- a carga de serviço, correspondente a combinação quase permanente: pd,ser = Σ gi,k + Σ ψ2j qj,k = 4,63 + 0,3 x 1,5 = 5,08 kN/m2- momento na seção crítica e de fissuração: a/b = 2,50/3,70 = 0,68 ≈ 0,7 ma = 0,040 pd,ser l2 = 0,040 x 5,08 x 2,502 = 1,27 kN.m/m (elástico) fctm = 0,3 fck2/3 = 0,3 x (20)2/3 = 2,21 MPa mr = 0,25 fctm b h2 = 0,25 x 0,221 x 100 x 82 = 354 kN.cm/m = 3,54 kN.m/m Ecs = 0,85 x 5600 fck1/2 = 0,85 x 5600 (20)1/2 = 21287 MPacomo ma<mr, a seção não está fissurada e deve-se considerar Ieq = Ic. Ieq = Ic = b h3/12 = 100 x 83/12 = 4267 cm4- flecha imediata: p d,ser l 4 0,000508x250 4 f(t = 0) = κ = 0,32 = 0,070 cm E cs I eq 2128,7x4267- flecha provável: f(t=∞) = (1+αf) f(t=0) = 2,32 x 0,070 = 0,162 cm- flecha admissível: fadm = l/250 = 250/250 = 1,0 cm Como a flecha provável é inferior à flecha admissível, pode-se adotar para a laje aespessura de 8 cm.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 36
    • - dimensionamento das armaduras:- composição de cargas: • superficial: peso próprio - 0,08 x 25 = 2,0 kN/m2 revestimento cerâmico = 0,85 kN/m2 forro falso = 0,5 kN/m2 q = 1,5 kN/m2 p = 4,85 kN/m2 • linear: p a = 0,14 m x 2,6 m x 13 kN/m3 = 4,73 kN/m- cálculo das solicitações: pa 4,73 α= = = 0,264 p . b 4,85 x 3,70 p β = b =0 p .a p* = p (1 + α + 2 β ) = 4,85(1 + 0,264 + 0) = 6,13 kN/m 2 a/b = 2,50/3,70 = 0,68 < 0,8 laje ortótropa i1 = i3 = i4 = 1,5 e i2 = 0 1,7 1,7 12 −i 2 −i 4 ⎛a⎞ 12 − 0 −1,5 ⎛ 2,50 ⎞ ϕ= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 0,599 12 − i1 − i 3 ⎝b⎠ 12 −1,5 −1,5 ⎝ 3,70 ⎠ 2a 2 x 2,50 ar = = =1,94 m 1 + i2 + 1 + i4 1 + 2,5 1 1 + α + 2β 2b 1 1 + 0,264 + 0 2 x 3,70 br = = = 3,40 m * ϕ 1 + 3β 1 + i1 + 1 + i3 0,599 1+ 0 2,5 + 2,5 * p a r b* 6,13 x 1,94 x 3,40 m= r = =1,52 kN.m/m ⎛ a r b r ⎞ ⎛ 1,94 3,40 ⎞ * 8 ⎜ 1 + * + ⎟ 8 ⎜1 + ⎜ ⎟ + ⎟ ⎝ br a r ⎠ ⎝ 3,40 1,94 ⎠Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 37
    • - armadura positiva: ma = m = 1,52 kN.m/m d = h –c – 0,5 cm = 8 – 2 –0,5 = 5,5 cm ⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x152 ⎞x = 1,25 d ⎜1 − ⎜ 1− ⎟ ⎜ ⎟ =1,25x5,5 ⎜1 − 1− ⎟ = 0,411cm 2 ⎟ ⎝ 0,425 f cd b d 2 ⎠ ⎝ 0,425x2/1,4x100x5,5 ⎠ 0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,411 AS = = = 0,92 cm /m 2 f yd 50/1,15 ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m < AS armadura adotada: φ4,2 c/15 cm mb = φ m = 0,599 x 1,52 = 0,91 kN.m/m d = h –c – 1 cm = 8 – 2 –1 = 5,0 cm ⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x91 ⎞x = 1,25 d ⎜1 − ⎜ 1− ⎟ =1,25x5,0 ⎜1 − ⎟ ⎜ 1− ⎟ = 0,268cm 2 ⎟ ⎝ 0,425 f cd b d 2 ⎠ ⎝ 0,425x2/1,4x100x5,0 ⎠ 0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,268 AS = = = 0,60 cm /m 2 f yd 50/1,15 ASmín = 0,67 x 0,15% bh = 0,67 x 0,15 x 8,0 = 0,80 cm2/m > AS armadura adotada: φ4,2 c/16 cm- armadura negativa:(supondo que os momentos de engastamento sejam maiores que os das lajes adjacentes) m4’ = - 1,5ma = -2,28 kN.m/m d = h –c – 0,5 cm = 8 – 1,5 – 0,5 = 6,0 cmDepartamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 38
    • ⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x228 ⎞ ⎜x = 1,25 d ⎜1 − 1− ⎟ =1,25x6,0 ⎜1 − 1 − 2 ⎟ ⎟ = 0,569 cm 0,425 f cd b d ⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎝ 0,425x2/1,4x100x6,0 ⎠ (x/d = 0,0948<0,30 OK.) 0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,569 AS = = =1,27 cm /m 2 f yd 50/1,15 ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m < AS armadura adotada: φ5 c/15 cm m1’ = m3’ =- 1,5mb = -1,37 kN.m/m d = h –c – 0,5 cm = 8 – 1,5 – 0,5 = 6,0 cm ⎛ md ⎞ ⎛ 1,4x137 ⎞ ⎜x = 1,25 d ⎜1 − 1− ⎟ =1,25x6,0 ⎜1 − 1 − 2 ⎟ ⎟ = 0,337 cm 0,425 f cd b d ⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎝ 0,425x2/1,4x100x6,0 ⎠ (x/d = 0,0562<0,30 OK.) 0,68 f cd b x 0,68x2/1,4x100x0,337 AS = = = 0,75 cm /m 2 f yd 50/1,15 ASmín = 0,15% bh = 0,15 x 8,0 = 1,20 cm2/m > AS armadura adotada: φ5 c/16 cm 0,65 0,65 φ 5 c/16 φ 4,2 c/16 φ 5 c/15 φ 5c/19 φ 4,2 c/15 3,70 3,70 0,65 0,65 0,50 0,65 0,65 φ 5 c/16 2,50 2,50Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 39
    • armadura positiva armadura negativa4 – Programa para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto armado As figuras abaixo apresentam as telas de utilização do programa de cálculo de lajesmaciças para os exemplos analisados nos itens 2.3 e 3.5.Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 40
    • ANEXO – AÇO DESTINADO A ARMADURAS PARA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO (NBR7480:2007) Tabela 1 – Características das barras Diâmetro Área (mm) (cm2) 6,3 0,312 8,0 0,503 10,0 0,785 12,5 1,227 16,0 2,011 20,0 3,142 22,0 3,801 25,0 4,909 32,0 8,042 40,0 12,566 Tabela 2 – Características dos fios Diâmetro Área (mm) (cm2) 2,4 0,045 3,4 0,091 3,8 0,113 4,2 0,139 4,6 0,166 5,0 0,196 5,5 0,238 6,0 0,283 6,4 0,322 7,0 0,385 8,0 0,503 9,5 0,709 10,0 0,785Departamento de Engenharia Civil - DECIV/UFRGS 41