Ondulatória

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Ondulatória

  1. 1. Gráficos Horários do M.H.S. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.) M.H.S. é um movimento periódico (se repeteem intervalos de tempos iguais) e oscilatório(movimento realizado simetricamente em torno de umaposição de equilíbrio). É descrito por funções senoidais ecossenoidais. Definições:Período (T): o menor intervalo de tempo para que ofenômeno se repita.Freqüência (f): o número de vezes que o fenômeno serepete por unidade de tempo. 1 1 T= → f = f TAmplitude (A): elongação máximaÂngulo de fase (θ): θ0 + ωtFase inicial (θ0): t = 0 → θ = θ0Velocidade angular ou pulsação (ω): variação daposição angular por unidade de tempo 2π ω= → ω = 2π.f T Funções Horárias do M.H.S. M.H.S. e M.C.U.a) Função Horária da Elongação: O movimento harmônico simples (M.H.S.) está x = A cos (θ0 + ωt) relacionado com o movimento circular uniforme (M.C.U.). Quando o ponto P descreve um M.C.U. sobreb) Função Horária da Velocidade: a circunferência de raio R, sua projeção P’ descreve um M.H.S. sobre o eixo x de amplitude A, sendo R = A. v = - ω A sen (θ0 + ωt)c) Função Horária da Aceleração: a = - ω2 A cos (θ0 + ωt)Velocidade escalar no M.H.S. em função da elongação: v2 = ω2 ⋅ (A2 – x2)Aceleração escalar no M.H.S. em função da elongação: a = - ω2 ⋅ x x = A cos θ θ = θ0 + ωt Relação entre a elongação, a velocidade e a x = A cos (θ0 + ωt)aceleração no M.H.S.: Os gráficos seguintes relacionam o movimento harmônico simples e o movimento circular uniforme: 1
  2. 2. Posição em função do tempo: Pêndulo Simples Consiste numa partícula de massa m, suspensa por um fio ideal de comprimento L. Velocidade em função do tempo: Desprezando a resistência do ar, se movimentarmos a massa pendular, ela oscila simetricamente em torno da posição de equilíbrio. Aceleração em função do tempo: L Período (T): T = 2π . g Energia Mecânica Dado um sistema massa-mola, pela Massa-Mola Conservação da Energia, sabe-se que a energia mecânica total é a soma das energias cinética (Ec) e Consiste numa partícula de massa m presa a potencial (Ep), ou seja:uma mola ideal de constante elástica k. E = Ec + Ep m . v2 Ec = → energia cinética 2 Considere o sistema massa-mola sobre um K ⋅ x2 E pe = → energia potencial elásticaplano horizontal sem atrito, com a partícula na posição 2O de equilíbrio, isto é, a mola está no seu estado rnatural. Aplicando-se uma força externa F sobre a K ⋅ A2partícula, no sentido de esticar ou comprimir a mola, e E=soltando-o, a mesma começa a executar um M.H.S.. 2 A energia mecânica é constante. Obs.: Ocorrem, seguidamente, transformações de energia cinética em energia potencial, e vice-versa. m Período (T): T = 2π . k 2
  3. 3. Diagrama das energias em função da abscissa x: ONDULATÓRIA Onda Movimento causado por uma perturbação que se propaga através de um meio. A perturbação denomina-se pulso. O movimento do pulso denomina-se onda. Uma onda transmite energia sem o transporte Relação entre massa-mola e pêndulo simples: de matéria. Classificação das Ondas: - Quanto à natureza: Ondas Mecânicas: resultam de deformações provocadas em meios materiais elásticos. As ondas mecânicas não se propagam no vácuo. Exemplos: ondas em cordas, ondas na superfície de um líquido, ondas sonoras, etc. Ondas Eletromagnéticas: resultam de vibrações de cargas elétricas oscilantes. Não necessitam de um meio material para se propagarem, podendo propagar- se no vácuo. Exemplos: ondas luminosas (luz), ondas de rádio e televisão, microondas, raios X, raios gama, etc. - Quanto à direção de vibração: Ondas Transversais: as vibrações são perpendiculares à direção de propagação. Exemplo: ondas eletromagnéticas. Onda eletromagnética: 3
  4. 4. Como a propagação de um pulso é um movimento uniforme, tem-se: ∆s v= ∆t λ v= → v = λ⋅f TOndas Longitudinais: as vibrações ocorrem na mesma Observação:direção de propagação. Exemplo: ondas sonoras. A freqüência de uma onda é a freqüência da fonte que a produziu, e não depende do meio de propagação da onda, enquanto o comprimento de onda λ e a velocidade propagação v variam com a mudança do meio de propagação. Exemplo: Uma onda de raio X muda de comprimento Onda sonora: de onda e de velocidade quando entra no corpo humano, mas não altera a sua freqüência. Velocidade de propagação de uma onda em uma corda tracionada- Quanto à direção de propagação: Seja µ a densidade linear de massa da corda: mOndas Unidimensionais: se propagam em uma direção µ = , onde m é a massa da corda e L é o L(comprimento), como as ondas em corda, que é um comprimento da corda.meio unidimensional. A velocidade de propagação v é dada por:Ondas Bidimensionais: se propagam em duas direções(superfície), como as ondas na superfície de umlíquido, que é um meio bidimensional. FOndas Tridimensionais: se propagam em três direções v= , µ(espaço), como as ondas sonoras e as ondasluminosas. onde F é a força de tração exercida na corda. Ondas Periódicas Conclusões: Sucessão de pulsos iguais, que se propagam • A onde se propaga com maior velocidade naem espaços e tempos iguais (se repetem corda de menor densidade linear.periodicamente). • A onda se propaga com maior velocidade na corda mais tracionada. Reflexão de Pulsos • Extremidade fixa: A reflexão ocorre com inversão de fase. A parte mais alta denomina-se crista e a partemais baixa denomina-se vale. Definições:Comprimento de onda (λ): distância entre duas cristasconsecutivas ou dois vales consecutivos.Amplitude (A): valor máximo da elongação.Período (T): intervalo de tempo de uma oscilaçãocompleta.Freqüência (f): número de oscilações por unidade detempo. 4
  5. 5. • Quando o pulso passa de uma corda mais grossa para uma corda mais fina, parte do pulso se refrata e a outra parte se reflete sem inversão de fase.• Extremidade livre: A reflexão ocorre sem inversão de Fenômenos Ondulatórios fase. Reflexão Mudança na direção de propagação, mantendo-se a mesma velocidade de propagação. Leis da reflexão: 1a) O raio incidente, o raio refletido e a normal são coplanares. 2a) O ângulo de incidência é igual ao ângulo de Refração de Pulsos reflexão.• Quando o pulso passa de uma corda mais fina para Obs.: Na reflexão, a freqüência, a velocidade de uma corda mais grossa, parte do pulso se refrata e a propagação e o comprimento de onda não variam. outra parte se reflete com inversão de fase. Refração Mudança na direção de propagação, variando- se a velocidade de propagação. 5
  6. 6. Se as duas ondas de fases opostas tivessem a mesma amplitude em módulo, uma iria destruir a outra Leis da refração: e a onda resultante seria nula no momento do cruzamento.1a) O raio incidente, o raio refratado e a normal são Após a superposição, cada onda se propagacoplanares. independentemente da outra, com as mesmas2a) Lei de Snell – Descartes: características que tinham anteriormente. sen i n 2 λ1 v1 = = = sen r n 1 λ 2 v 2 Observação: No caso de interferência de ondas luminosas,n1 e n2 → índices de refração absoluta dos meios 1 e 2. os pontos onde a interferência é construtiva aparecemAplicando a Lei de Snell, temos: brilhantes e os pontos onde a interferência é destrutiva • n2 > n1 ⇒ λ2 < λ1 ⇒ v2 < v1 ⇒ r < i aparecem escuros. No caso de ondas sonoras, a • n2 < n1 ⇒ λ2 > λ1 ⇒ v2 > v1 ⇒ r > i interferência construtiva ou destrutiva é evidenciada por um aumento ou uma diminuição, respectivamente, daObs.: Na refração, a freqüência não varia, mas a intensidade do som ouvido.velocidade de propagação e o comprimento de ondavariam. Ondas Estacionárias Ondas resultantes da superposição de duas Superposição ou Interferência de Ondas ondas de mesma freqüência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção e Encontro ou cruzamento de duas ou mais sentidos opostos.ondas que se propagam, simultaneamente, num Pode-se obter uma onda estacionária atravésmesmo meio. de uma corda fixa numa das extremidades. No ponto em que ocorre a superposição deduas ou mais ondas, o efeito resultante é a soma dosefeitos individuais de cada onda.• Quando as ondas produzem deslocamentos no mesmo sentido, a amplitude da onda resultante é aumentada, produzindo uma interferência construtiva. N = nós; V= ventres Com uma fonte faz-se a outra extremidade vibrar com movimentos verticais periódicos, produzindo-se pulsos regulares que se propagam pela corda.• Quando as ondas produzem deslocamentos em Ao atingirem a extremidade fixa, as ondas se sentidos opostos, a amplitude da onda resultante é refletem, retornando com sentido de deslocamento diminuída, produzindo uma interferência destrutiva. contrário ao anterior. Dessa forma, as ondas refletidas se superpõem às ondas incidentes, originando ondas estacionárias. Uma onda estacionária se caracteriza pela amplitude variável de ponto para ponto, isto é, há pontos da corda que não se movimentam, pois 6
  7. 7. apresentam amplitude nula (interferência destrutiva), propagação. Polarizar uma onda é fazê-la vibrar emchamados nós, e pontos que vibram com amplitude apenas uma direção, tornando-se uma ondamáxima (interferência construtiva), chamados ventres. polarizada. Entre os nós, os pontos da corda vibram com a Suponha que a mão da pessoa indicada namesma freqüência, mas com amplitudes diferentes. figura realize um movimento circular uniforme em torno do eixo da corda, fixa numa parede por uma de suasObservações: extremidades e a outra, na mão da pessoa. λ- A distância entre dois nós consecutivos vale . 2 λ- A distância entre dois ventres consecutivos vale . 2 Obtemos, neste caso, uma onda que vibra em- A distância entre um nó e um ventre consecutivos planos diferentes, denominada onda não polarizada. A λ corda vibra em todas as direções perpendiculares àvale . 4 direção de propagação da onda.- A onda estacionária não transmite energia de ponto Quando a pessoa realiza um movimentopara ponto da corda, pois as energias cinética e vibratório numa única direção que é perpendicular aopotencial ficam localizadas entre os nós. eixo da corda, isto é, a mão da pessoa se move verticalmente para cima e para baixo, as partículas da corda vibram numa direção perpendicular à direção de propagação da onda. Este tipo de onda é denominado onda polarizada. A polarização das ondas é efetuada por dispositivos chamados polarizadores. Difração Fenômeno pelo qual uma onda tem acapacidade de contornar um obstáculo, ao serparcialmente interrompida por ele, desde que oobstáculo tenha dimensão comparável ao comprimentode onda da onda incidente. Obs.: A polarização é um fenômeno que ocorre exclusivamente com as ondas transversais. Quando os pontos da fenda são atingidos pelafrente de onda, eles se tornam fontes de ondassecundárias, mudando a direção da onda incidente,fazendo com que transponham o obstáculo. Polarização Uma onda não polarizada é aquela que possuivárias direções de vibração, em relação à direção da 7
  8. 8. A velocidade das ondas sonoras depende das características do meio onde se propagam. Sua velocidade é tanto maior quanto mais rígido o meio de propagação: v sólidos > v líquidos > v gases Qualidades fisiológicas do som Altura: qualidade que permite classificar os sons em graves e agudos, estando relacionada com a freqüência do som. graves → freqüência menor agudos → freqüência maior A voz do homem tem freqüência que varia entre 100 Hz e 200 Hz e a da mulher entre 200 Hz e 400 Hz; portanto, a voz do homem é mais grave e a voz da mulher é mais aguda. Intensidade: qualidade que permite classificar os sons em fortes e fracos, estando relacionada com a energia transportada pela onda. fracos → menor amplitude de vibração fortes → maior amplitude de vibração A intensidade mínima audível é chamada limiar da percepção auditiva, e a máxima, limiar da sensação dolorosa. Timbre: qualidade que permite ao ouvido distinguir dois sons de mesma altura e mesma intensidade, emitidos por fontes diferentes, estando relacionado com a forma das vibrações, isto é, com a forma da onda sonora. ACÚSTICA Fenômenos Sonoros O som é uma onda mecânica longitudinal, que Dos fenômenos ondulatórios (reflexão,se propaga através de vibrações e ondas de refração, interferência, difração e polarização), umacompressão e rarefação nos meios materiais; portanto, onda sonora só não sofre polarização, pois é uma ondanão se propaga no vácuo. longitudinal. O ouvido, ao ser atingido por uma onda sonora(o tímpano passa a vibrar com a mesma freqüência), Reflexãoconverte a variação de pressão no ar em estímulonervoso, o qual, ao alcançar o cérebro, produz a Reforço: ocorre quando a diferença entre os instantessensação auditiva. de recebimento do som refletido e do som direto é Elementos do canal auditivo: praticamente nula. O observador ouve o som direto juntamente com o som refletido. Há somente um aumento da intensidade sonora. Reverberação: ocorre quando o som refletido atinge o observador no momento em que o som direto está se extinguindo, ocasionando o prolongamento da sensação auditiva. Eco: ocorre quando uma pessoa emite um som e recebe, além do som direto, o som refletido em um anteparo, após um intervalo de tempo maior que 0,1s. Admitindo a velocidade do som no ar 340m/s, em 0,1s o som percorre 34m, sendo 17m para atingir o anteparo e 17m para voltar. Portanto, a menor distância de um observador a um anteparo para provocar o eco deverá ser 17m. Velocidade do som: 8
  9. 9. Refração portanto, diferentes modos de vibração ou diferentes harmônicos. A onda sonora passa de um meio para outro,mudando sua velocidade de propagação e o n = 1 → 1º harmônico ou som fundamentalcomprimento de onda, mas mantendo constante afreqüência. Interferência Consiste no recebimento de dois ou mais sonsde fontes diferentes. n = 2 → 2º harmônico som forte → interferência construtiva som fraco → interferência destrutivaObs.: Um caso particular de interferência sonora ocorrequando há superposição de ondas sonoras de mesmaamplitude e freqüências ligeiramente diferentes. n = 3 → 3º harmônicoOuvem-se então os denominados batimentos, queconsistem em flutuações periódicas da intensidade dosom resultante ouvido. Difração O som contorna obstáculos, ou seja, as ondassonoras sofrem desvios nas extremidades dosobstáculos que encontram. Desse modo, uma pessoa, n = 4 → 4º harmônicoatrás de uma parede, pode ouvir o som emitido poruma fonte atrás dela. Ressonância n = 5 → 5º harmônico Fenômeno em que um sistema oscilantecomeça a vibrar por influência de outro, que estávibrando na mesma freqüência natural do sistema. Se um sistema físico recebe energiaperiodicamente, com uma freqüência igual à suafreqüência natural de vibração, o sistema passa a O comprimento L da corda e o comprimento devibrar com amplitude crescente, que tende ao maior onda λ são tais que:valor possível. λ 2L No caso do som, a ressonância consiste numa L=n⋅ ou λ =sobreposição de sons, provocando a sensação de que 2 no som foi reforçado. Considerando a velocidade com que as ondas Cordas Vibrantes propagam-se na corda, teremos: v Consideremos uma corda esticada e com suas v = λ. ⋅ f ⇒ f= λduas extremidades fixas. Provocando uma perturbação v vna corda, estabelecem-se nela ondas transversais que, f= ⇒ fn = n ⋅ (n = 1, 2, 3 ...)superpondo-se às ondas refletidas nas extremidades, 2L 2Loriginam ondas estacionárias na corda. n Quando a corda vibra, faz com que o ar ao seu redor vibre também, com a mesma freqüência; assim, a As vibrações da corda transmitem-se para o ar freqüência f é a de vibração dos pontos da corda eda região ao seu redor, dando origem às ondas também é a freqüência da onda sonora.sonoras que terão a mesma freqüência de oscilaçãodos pontos da corda. Freqüência de cada harmônico: As extremidades fixas da corda serão os nós.Entre elas haverá a formação de n ventres. Haverá, 9
  10. 10. v • som fundamental: f1 = 2L • n-ésimo harmônico: f n = n ⋅ f1Obs.: A freqüência de qualquer harmônico é sempre i = 5 → 5º harmônicoum múltiplo inteiro do som fundamental. Tubos Sonoros Um tubo sonoro é uma coluna de ar na qual se 4L vestabelecem ondas estacionárias longitudinais (através λ= → fi = i ⋅da vibração do ar no interior do tubo), determinadas i 4Lpela superposição de ondas geradas numa f i = i ⋅ f 1 ; (i = 1, 3, 5 ...)extremidade com as ondas refletidas na outraextremidade. As ondas estacionárias fazem vibrar o arque envolve o tubo, dando origem a uma onda sonora. Obs.: No tubo fechado, obtêm-se freqüências naturais Existem dois tipos de tubos sonoros: abertos e apenas dos harmônicos ímpares.fechados. Nas extremidades abertas, formam-seventres (interferência construtiva); nas extremidadesfechadas, formam-se nós (interferência destrutiva). Efeito Doppler Considere os tubos sonoros de comprimento L O efeito Doppler ocorre quando há umae a velocidade de propagação das ondas v: aproximação ou um afastamento entre o observador e a fonte sonora, fazendo com que a freqüência da ondaTubo aberto: possui as duas extremidades abertas. sonora percebida pelo observador seja diferente da freqüência real da onda emitida pela fonte, devido ao A distância entre dois ventres consecutivos é movimento relativo entre eles. λigual a meio comprimento de onda: . 1º caso: observador em repouso e fonte em 2 movimento: Quando a fonte sonora se aproxima de umn = 1 → 1º harmônico ou som fundamental observador parado, este recebe mais ondas do que receberia se a fonte estivesse parada (encurtamento aparente do comprimento de onda). Nesta situação, a freqüência percebida pelo observador (fO) é maior que a freqüência do som emitido pela fonte (fF).n = 2 → 2º harmônico Quando a fonte sonora se afasta de um observador parado, este recebe menos ondas do que receberia se a fonte estivesse parada (alongamento aparente do comprimento de onda). Nesta situação, a freqüência percebida pelo observador (fO) é menor quen = 3 → 3º harmônico a freqüência do som emitido pela fonte (fF). 2º caso: fonte em repouso e observador em movimento: Ao se aproximar da fonte sonora, o observador encontra uma maior quantidade de ondas do que 2⋅L v λ = → fn = n ⋅ encontraria se estivesse parado; assim ele percebe n 2L uma freqüência (f0) maior que a freqüência do som emitido pela fonte (fF). f n = n ⋅ f1 (n = 1, 2, 3 ...); n é o número de nós Ao se afastar da fonte sonora, o observador encontra uma menor quantidade de ondas do queTubo fechado: possui uma extremidade fechada e outra encontraria se estivesse parado; assim ele percebeaberta. uma freqüência (f0) menor que a freqüência do som A distância entre um ventre e o nó consecutivo emitido pela fonte (fF). λequivale a um quarto do comprimento de onda: . 3º caso: observador e fonte em movimento relativo 4 sobre a mesma reta.i = 1 → 1º harmônico ou som fundamental De acordo com a altura do som, maior freqüência significa som mais agudo e menor freqüência significa som mais grave.i = 3 → 3º harmônico 10
  11. 11. Aproximação ⇒ f0 > fF ⇒ o som que o observadorrecebe é mais agudo que o som da fonte.Afastamento ⇒ f0 < fF ⇒ o som que o observadorrecebe é mais grave que o som da fonte. Para qualquer caso, vale a seguinte relação: ⎛ v ± vo ⎞ fo = fF ⋅ ⎜ S ⎜v ±v ⎟ ⎟ ⎝ S F⎠f0 : freqüência percebida pelo observador (freqüênciaaparente)fF : freqüência emitida pela fonte (freqüência real)vS : velocidade do somv0 : velocidade do observadorvF : velocidade da fonte Convenção de Sinais: Orienta-se um eixo positivamente doobservador (O) para a fonte (F).• vO e vF estão no sentido positivo: adota-se o sinal +• vO e vF estão no sentido negativo: adota-se o sinal – ⎧→ + observador se aproxima da fonte vo ⎨ ⎩← − observador se afasta da fonte ⎧→ + fonte se afasta do observador vF ⎨ ⎩← − fonte se aproxima do observador vO = 0 → observador parado vF = 0 → fonte parada 11

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