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P. geométrica

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  • 1. 9 Proporcionalidad geométrica Una de las aplicaciones más frecuentes de la semejanza es la elaboración de planos, mapas, maquetas… INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA ACTIVIDAD
  • 2. Tales de Mileto Busca en la web Enlace al teorema de Tales Enlace a la historia de Tales de Mileto
  • 3. Esquema de contenidos Proporcionalidad geométrica Segmentos en el plano Recta, semirrecta y segmento Segmentos proporcionales Criterios de semejanza Teorema de Tales Definición Aplicaciones Polígonos semejantes Escalas Semejanza de triángulos Triángulos semejantes Triángulos en posición de Tales
  • 4. Una recta es una línea continua formada por infinitos puntos que no tiene principio ni final. Una semirrecta es una recta que tiene principio pero no tiene final. Un segmento es la porción o parte de una recta delimitada por dos puntos (extremos). Recta, semirrecta y segmento
  • 5. Los segmentos AB y CD son proporcionale s a EF y GH, si la razón de AB y CD es igual a la razón de EF y GH. Razón de 2 segmentos: Segmentos proporcionales
  • 6. Comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Tales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como teorema de Tales . Si tres o más rectas paralelas a, b y c son intersecadas por dos transversales r y s, los segmentos de las transversales, determinados por las paralelas, son proporcionales. Teorema de Tales Teorema de Tales SIGUIENTE
  • 7. Pirámide Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Bastón Teorema de Tales Teorema de Tales SIGUIENTE
  • 8. Pirámide Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Rayos del sol Teorema de Tales Teorema de Tales SIGUIENTE
  • 9. Pirámide S (sombra pirámide) s (sombra bastón) Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Rayos del sol Teorema de Tales Teorema de Tales SIGUIENTE
  • 10. Pirámide H S (sombra pirámide) s (sombra bastón) h Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Rayos del sol Teorema de Tales Teorema de Tales SIGUIENTE
  • 11. Pirámide Podemos establecer la proporción H S (sombra pirámide) s (sombra bastón) h Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Rayos del sol Teorema de Tales Teorema de Tales SIGUIENTE
  • 12. Ejemplo: Calcular la medida del segmento x Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Tales Es decir: Teorema de Tales SIGUIENTE
  • 13. Dividiendo un segmento AB en tres partes iguales Aplicaciones del teorema de Tales SIGUIENTE
  • 14. 1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación. Dividiendo un segmento AB en tres partes iguales Aplicaciones del teorema de Tales SIGUIENTE
  • 15. 2. Dibujamos sobre ella, a partir de A , 3 segmentos iguales. Dividiendo un segmento AB en tres partes iguales 1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación. Aplicaciones del teorema de Tales SIGUIENTE
  • 16. 3. Unimos el extremo del último segmento con el punto B , y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones. Dividiendo un segmento AB en tres partes iguales 1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación. 2. Dibujamos sobre ella, a partir de A , 3 segmentos iguales. Aplicaciones del teorema de Tales SIGUIENTE
  • 17. 3. Unimos el extremo del último segmento con el punto B , y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones. Por el teorema de Tales, los segmentos en los que queda dividido el segmento AB son proporcionales a los dibujados sobre la recta, y por lo tanto, son iguales entre sí. Dividiendo un segmento AB en tres partes iguales 1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación. 2. Dibujamos sobre ella, a partir de A , 3 segmentos iguales. Aplicaciones del teorema de Tales
  • 18.
    • Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si:
    • Tienen sus ángulos iguales:
    • Tienen sus lados proporcionales:
    Semejanza de triángulos SIGUIENTE
  • 19. Decimos que dos triángulos ABC y A’B’C’ están en posición de Tales cuando: - Tienen un ángulo en común, - Los lados opuestos a este ángulo, FD y BC, son paralelos. Dos triángulos en posición de Tales son siempre semejantes. Semejanza de triángulos. Triángulos en posición de Tales
  • 20. Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO : Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales. SEGUNDO CRITERIO : Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. TERCER CRITERIO : Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. Criterios de semejanza de triángulos SIGUIENTE
  • 21. ¿Cuál es la altura de la torre? Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo agudo en común. Así, aplicando la proporcionalidad entre sus ángulos: La altura de la torre es 25 m. Aplicaciones de la semejanza de triángulos
  • 22. Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza al cociente de la longitud de un lado de un polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono. Los dos rectángulos son semejantes, con razón de semejanza 0,5. Polígonos semejantes
  • 23. Se llama escala a la razón de semejanza entre la figura representada y la figura original. Escalas
  • 24. Enlaces de interés El pantógrafo IR A ESTA WEB Curso de geometría IR A ESTA WEB
  • 25. Actividad: Proporcionalidad geométrica Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad4b.htm En la sección chilena de la Editorial Santillana, en esta actividad aplicamos una propiedad interesante para cualquier triángulo rectángulo que Euclides descubrió hace muchos siglos. Para desarrollarla, sigue este enlace .