2. План
1. Из истории конструктивной геометрии
2. Общие аксиомы конструктивной геометрии
3. Инструменты геометрических построений
4. Понятие задачи на построение и её решения
5. Элементарные геометрические задачи на построение
6. Основные этапы решения задачи на построение
7. Примеры решения геометрических задач на построение
Рекомендуемая литература
1. Адлер А. Теория геометрических построений. – М.: Учпедгиз, 1940.
2. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. – М.:
ГУПИ, 1957.
3. Блинков А.Д., Блинков Ю.А. Геометрические задачи на построение. –
М.:МЦНМО, 2010.
3. 1. Из истории конструктивной геометрии: древние
Пифагор Евклид Архимед
Аполлоний Папп
Гиппократ
4. 1. Из истории конструктивной геометрии: Новое время
Р. Декарт И. Ньютон Б. Паскаль
Л. Эйлер К.Ф. Гаусс
П. Ферма
6. 2. Общие аксиомы конструктивной геометрии
Д/з: Выписать в конспекты следствия из этих аксиом (с док.) [2. С.17-
Основная плоскость считается построенной.
Если построены две фигуры, то считается известным,
является ли их разность пустым множеством или нет.
Если разность двух фигур не является пустым множеством,
то эта разность также считается построенной фигурой.
Если построены две фигуры, пересечение которых не пусто, то
можно построить по крайней мере одну точку,
принадлежащую этому пересечению
8. 3. Инструменты геометрических построений
А. Аксиома линейки
Линейка позволяет выполнить следующие
геометрические построения:
а) построить отрезок, соединяющий две построенные
точки;
б) построить прямую, проходящую через две
построенные точки;
в) построить луч, исходящий из построенной точки и
проходящий через другую построенную точку.
9. 3. Инструменты геометрических построений
Б. Аксиома циркуля
Циркуль позволяет выполнить следующие
геометрические построения:
а) построить окружность, если построены центр
окружности и концы отрезка, равного радиусу
окружности;
б) построить любую из двух дополнительных дуг
окружности, если построен центр окружности и концы
дуги.
10. 3. Инструменты геометрических построений
В. Аксиома двусторонней линейки
Двусторонняя линейка позволяет:
а) выполнить любое из построений, перечисленных в аксиоме А;
б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной
прямой, построить прямую, параллельную данной прямой и
проходящую от неё на расстоянии h, где h – фиксированный для
данной линейки отрезок;
в) если построены две точки А и В,
то установить, будет ли АВ больше
некоторого фиксированного
отрезка, и если АВ>h, то
построить две пары параллельных
прямых, проходящих
соответственно через точки А и В
и отстоящих одна от другой на
расстоянии h.
11. 3. Инструменты геометрических построений
Г. Аксиома прямого угла
Прямой угол позволяет выполнить следующие построения:
а) выполнить любое из построений, перечисленных в
аксиоме А;
б) через данную точку плоскости провести прямую,
перпендикулярную некоторой построенной прямой;
в) если построены отрезок АВ и
некоторая фигура Ф, то установить,
содержит ли фигура Ф точку, из
которой отрезок виден под прямым
углом, и если такая точка
существует, то построить её.
12. 4. Понятие задачи на построение и её решения
Задача на построение состоит в том, что требуется
построить указанным набором инструментов некоторую
фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны
некоторые соотношения между элементами искомой фигуры
и элементами данной фигуры.
Решением задачи на построение является каждая
фигура, удовлетворяющая условиям задачи.
Найти решение задачи на построение – значит свести
её к конечному числу основных построений, т.е. указать
конечную последовательность основных построений, после
выполнения которых искомая фигура будет построенной.
13. 4. Понятие задачи на построение и её решения
Пример: Построить середину отрезка,
заданного своими концами А и В.
Решением задачи
циркулем и линейкой
1. АВ
2. w1(А, АВ)
3. w2(В, ВА)
4. w1∩w2≡ {M, N}
5. MN
6. AB ∩ MN≡ {O}
O – искомая точка, т.к. АО=ОВ
14. 4. Понятие задачи на построение и её решения
Пример: Построить середину отрезка, заданного своими
концами А и В.
Решением задачи
циркулем
1. w(В, ВА)
2. w1(А, АВ)
3. w∩w1≡ {С}
4. w2(С, СА)
5. w∩w2≡ {D} (≠{A})
6. w3(D, DB)
7. w∩w3≡ {E} (≠{C})
8. w4(Е, ЕА)
9. w1∩w4≡ {M, N}
10. w5(М, МА)
11. w6(N, NА)
12. w5∩w6≡ {X} (≠{A}) X – искомая точка
15. 4. Понятие задачи на построение и её решения
Пример: Построить середину отрезка, заданного своими
концами А и В.
Решением задачи
двусторонней линейкой
1. АВ
2. а║АВ
3. b ║a
4. {C}∈ b
5. AC, BC
6. a∩AC≡ {D}, a∩BC≡ {E}
7. AE, BD
8. AE∩BD≡ {P}
9. CP
10. CP∩AB≡ {X}
X – искомая точка
16. 4. Понятие задачи на построение и её решения
Пример: Построить середину отрезка, заданного своими
концами А и В.
Решением задачи
прямым углом
1. АВ
2. АА’┴АВ, BB’┴АВ
3. {C}∈ АА’
4. CC’┴AC
5. CC’ ∩ BB’ ≡ {D}
6. AD, BC
7. AD∩BC≡ {P}
8. PP’┴АВ
9. PP’ ∩AB≡ {X}
X – искомая точка
17. 5. Элементарные задачи на построение
1. Деление данного отрезка пополам
2. Деление данного угла пополам
3. Построение отрезка равного данному
4. Построение угла, равного данному
5. Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно
данной прямой
6. Построение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно к данной прямой
7. Деление отрезка в данном отношении
8. Построение треугольника по трем данным сторонам
9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам
10. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
11. Построение прямой, проходящей через данную точку и
касающейся данной окружности
12. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.
Д/з: выполнить в конспектах эти построения с описанием
18. 6. Основные этапы решения задачи на построение
I
• АНАЛИЗ
II
• ПОСТРОЕНИЕ
III
• ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
IV
• ИССЛЕДОВАНИЕ
Д/з: Выписать в конспекты характеристику этапов [2. С.32-39]
19. 7. Примеры решения задач на построение
Задача 1. Построить треугольник по основанию и двум
медианам, проведенным к боковым сторонам.
20. 7. Примеры решения задач на построение
Задача 2. Построить треугольник, зная биссектрису,
медиану и высоту, проведенные из одной его вершины.
21. 7. Примеры решения задач на построение
Задача 3. Построить треугольник по двум высотам hB и hC и
медиане mA.
Editor's Notes
Конструктивная геометрия – раздел геометрии, изучающий геометрические построения.
Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков еще в 4-5 вв до н.э. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор (4 в до н.э.) и его ученики, Гиппократ (5 в до н.э.), Евклид, Архимед, Аполлоний (3 в до н.э.), Папп (3 в н.э.) и др.
Еще в 4 в до н.э. греческие мыслители разработали ту общую схему решения геометрической задачи на построение (Анализ-Построение-Доказательство-Исследование), которой мы пользуемся и поныне.
Вся история геометрии тесно связана с развитием теории геометрических построений. Даже аксиомы геометрии, сформулированные Евклидом явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних: «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг».
Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени.
Только в Новое время (17-19 вв) теория геометрических построений стала развиваться дальше в трудах Декарта, Ферма, Ньютона, Паскаля, Эйлера, Гаусса и др.
Так, например, Декарт и Ньютон решали задачу о трисекции угла с помощью конических сечений. Независимо от Виета Декарт, Ньютон, Эйлер дали свои решения задачи Аполлония, а Ферма решил аналогичную задачу для пространства. Декарт успешно применял к решению задач на построение созданную им аналитическую геометрию. Гаусс (1777-1855) в 1796 г решил одну из наиболее трудных проблем конструктивной геометрии: каким должно быть натуральное число n, чтобы правильный n-угольник можно было построить циркулем и линейкой?
«Приемы циркуля и линейки» - первая книга, напечатанная в России гражданским шрифтом (1709 г). Одну из её глав написал сам Петр 1. Имеет несомненные методические достоинства и историческую ценность. Хотя некоторые из построений дают приближенные приемы.
Фундаментальные исследования в области геометрических построений принадлежат Мордухай-Болтовскому и его ученикам. Им разработаны специальные методы для построения в пространстве и на плоскости Лобачевского.
Н.Ф. Четверухин заведовал кафедрами высшей математики и начертательной геометрии в ряде вузов Москвы. Основные труды по проективной геометрии и теории геометрических построений. Написал работы: "Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии" (М., 1946), "Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии" (М., 1958) и др. Заслуженный деятель науки РСФСР (1962).
Основным понятием КГ (конструктивной геометрии) является понятие «построить геометрическую фигуру» оно соответствует интуитивному «начертить», «провести» и т.п.
Основные постулаты КГ выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты чертежной практики. Они являются аксиомами, принимаются без доказательства и служат для дальнейшего логического обоснования КГ. Рассмотрим их.
Наиболее употребительными инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя без делений), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями), угольник.
Конструктивные возможности этих инструментов описываются их системой аксиом. Рассмотрим их.
Помимо перечисленных инструментов, используют и другие: произвольный угол, линейку с отметками, пару прямых углов, различные приспособления для вычерчивания специальных кривых. Геометрические построения производятся каждый раз с определенным набором инструментов, которому соответствует определенная система конструктивных аксиом.
Найдем решение этой задачи с помощью различных инструментов.
Заметим, что точки А, В, Е расположены на одной прямой и АЕ=2АВ/
Треугольник АМХ подобен треугольнику АЕМ, т.к. они равнобедренные и имеют общий угол МАЕ при основании. Поэтому АХ:АМ=АМ:АЕ т.е. АХ=1/2 AB.
Т.к. DE – средняя линия АСВ, то АЕ и BD – его медианы, а следовательно, и СР – медиана.
Существует ряд простейших геометрических задач на построение, которые часто входят в качестве составных частей в решение более сложных задач (они рассматривались в школьном курсе геометрии). Их называют элементарными. Ких числу обычно относят:
При решении задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы отыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи, чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т.п. Выделяют две схемы решения задач на построение: историческую и современную. Первая более подходит для целей обучения, вторая – чисто научный подход. Рассмотрим их.
Современная схема:
Устанавливается конечное число случаев, исчерпывающих все возможности в выборе данных.
Для каждого случая дается ответ на вопрос, имеет ли задача решения и сколько.
Для каждого случая, когда задача имеет решение, дается способ нахождения (с помощью данных геометрических инструментов) каждого из возможных решений или устанавливается, что оно не может быть получено данными средствами.
Историческая схема:
Анализ
Построение
Доказательство
Исследование
