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  • 1. Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta) ( ) baxxf += baxy += x ( )xf x y 0>a 0<a CrescenteCrescente DecrescenteDecrescente 30/01/15 1Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 2. Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta) ( ) baxxf += baxy += x ( )xf x y bb a b− a b− Raiz daRaiz da funçãofunção Raiz daRaiz da funçãofunção 30/01/15 2Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 3. Função de 1º Grau – Linear (b = 0)Função de 1º Grau – Linear (b = 0) ( ) xxf = xy −= x ( )xf IdentidadeIdentidade B.Q.I.B.Q.I. x y B.Q.P.B.Q.P. 30/01/15 3Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 4. Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta) ( ) baxxf += baxy += x ( )xf x y 0=a ConstanteConstante ConstanteConstante ( ) byxf == b b 0>b 0=a 0<b 30/01/15 4Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 5. Função de 2º Grau – (Parábola)Função de 2º Grau – (Parábola) ( ) cbxaxxf ++= 2 cbxaxy ++= 2 x ( )xf 0>a 0<a Concavidade voltadaConcavidade voltada para cimapara cima x y Concavidade voltadaConcavidade voltada para baixopara baixo 30/01/15 5Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 6. Função de 2º Grau – (Parábola)Função de 2º Grau – (Parábola) ( ) cbxaxxf ++= 2 cbxaxy ++= 2 x ( )xf x y c c Raiz daRaiz da funçãofunção Raiz daRaiz da funçãofunção Raiz daRaiz da funçãofunção Raiz daRaiz da funçãofunção 30/01/15 6Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 7. Função de 2º Grau – RaízesFunção de 2º Grau – Raízes cbxaxy ++= 2 0=y cbxax ++= 2 0 02 =++ cbxax acb 42 −=∆ a b x 2 ∆±− = 30/01/15 7Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 8. 0∆ < 0∆ = 0∆ > não existem raízes reais (a parábola não toca o eixo das abscissas). possui duas raízes reais iguais (a parábola toca em único ponto no eixo das abscissas). possui duas raízes reais distintas ( a parábola toca em dois pontos no eixo das abscissas. 30/01/15 8Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 9. Função de 2º GrauFunção de 2º Grau x x x1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21 0>a 0>∆ 0>a 0=∆ 0>a 0<∆ x x x 1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21 0<a 0>∆ 0<a 0=∆ 0<a 0<∆ Raízes reaisRaízes reais distintasdistintas Raízes reaisRaízes reais iguaisiguais Não existemNão existem raízes reaisraízes reais 30/01/15 9Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 10. Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice x y VérticeVértice eixo deeixo de simetriasimetria a yV 4 ∆− = a b xV 2 − = ( )VV yxV ,=       ∆−− = aa b V 4 , 2 30/01/15 10Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 11. Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice x y VérticeVértice x y Ponto dePonto de máximomáximo VérticeVértice Ponto dePonto de mínimomínimo 0>a 0<a 30/01/15 11Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 12. Função de 2º Grau – pontos notáveisFunção de 2º Grau – pontos notáveis x y c Raiz daRaiz da funçãofunção Raiz daRaiz da funçãofunção VérticeVérticea yV 4 ∆− = a b xV 2 − = 30/01/15 12Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 13. Função de 2º Grau – ImagemFunção de 2º Grau – Imagem x y VérticeVértice x y VérticeVértice Se a >0, então: { }vyyRy ≥∈= /Im Se a < 0, então: { }vyyRy ≤∈= /Im 30/01/15 13Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 14. Função de 2º Grau – Forma fatoradaFunção de 2º Grau – Forma fatorada ( ) cbxaxxf ++= 2 ( ) ( ) ( )21 xxxxaxf −⋅−⋅= raízessãoxex 21 30/01/15 14Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 15. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras INJETORAINJETORA Para uma função ser classificada como injetora, devemosPara uma função ser classificada como injetora, devemos lembrar que, paralembrar que, para DOMÍNIOSDOMÍNIOS diferentes devem gerardiferentes devem gerar IMAGENSIMAGENS diferentes, ou seja:diferentes, ou seja: ( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠ Ex.:Ex.: ( ) 63 −= xxf ( ) ( ) ( ) ( ) 91 631 6131 −=− −−=− −−=− f f f ( ) ( ) ( ) ( ) 60 600 6030 −= −= −= f f f 30/01/15 15Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 16. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras Para uma função ser classificada como sobrejetora,Para uma função ser classificada como sobrejetora, devemos lembrar que, odevemos lembrar que, o CONTRADOMÍNIOCONTRADOMÍNIO deve ser igualdeve ser igual aa IMAGEMIMAGEM da função dada, ou seja:da função dada, ou seja: Im=CD Ex.:Ex.: +→ RRf : ( ) 2 xxf = x y SOBREJETORASOBREJETORA 30/01/15 16Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 17. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras Para uma função ser classificada como bijetora, devemosPara uma função ser classificada como bijetora, devemos lembrar que ela deve serlembrar que ela deve ser INJETORAINJETORA ee SOBREJETORASOBREJETORA aoao mesmo tempo, ou seja:mesmo tempo, ou seja: Im=CD Ex.:Ex.: ++ → RRf : ( ) 2 xxf = x y BIJETORABIJETORA 30/01/15 17Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 18. x y -2-2 22 - 4- 4 f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 44 30/01/15 18Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 19. x y -2-2 22-2-2 22 44 f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 f : D → CD xx 30/01/15 19Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 20. x y 2222 44 22 44 f : D → CD f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 xx yy NãoéInjetora NãoéInjetora 30/01/15 20Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 21. x y 2222 44 22 44 Não é InjetoraNão é Injetora 00 Im(f) = [0, +∞) CD = R NãoéSobrejetora NãoéSobrejetora Im(f) ≠ CD f : D → CD f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 xx yy 30/01/15 21Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 22. x y 2222 44 22 44 Não é InjetoraNão é Injetora f : D → CD f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 xx yy Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora 30/01/15 22Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 23. x y 2222 44 22 44 Não é InjetoraNão é Injetora f : D → CD f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 xx yy Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora 30/01/15 23Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 24. x y 2222 44 22 44 É uma função SimplesÉ uma função Simples Não é InjetoraNão é Injetora f : D → CD f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R f(x) = x2 - 4 xx yy Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora 30/01/15 24Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 25. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função inversaFunção inversa ( ) 12 −= xxf A 4 3 2 1 B 7 5 3 1 { }4,3,2,1=A { }7,5,3,1=B BAf →: 30/01/15 25Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 26. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta { }4,3,2,1=A Função inversaFunção inversa { }7,5,3,1=B ABg →: ( ) 2 1+ = x xg A 4 3 2 1 B 7 5 3 1 ( ) ( )xfxg 1− = 30/01/15 26Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 27. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função inversaFunção inversa A inversa de uma função f só existirá se f forA inversa de uma função f só existirá se f for bijetora.bijetora. Lei de Formação da inversaLei de Formação da inversa 1º – Troca1º – Troca xx porpor yy ee yy porpor xx.. 2º – Isola a variável2º – Isola a variável yy.. 30/01/15 27Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 28. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função inversaFunção inversa ( ) 12 −= xxf 12 −= xy 12 −= yx yx 21=+ y x = + 2 1 2 1+ = x y 2 11 + =− x y ( ) 2 11 + =− x xf 30/01/15 28Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 29. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função inversaFunção inversa (representação gráfica)(representação gráfica) 2−= xy 21 +=− xy x y 2 2 2− 2− B.Q.I.B.Q.I. 30/01/15 29Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 30. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função inversaFunção inversa (representação gráfica)(representação gráfica) f 1− f x y B.Q.I.B.Q.I. 30/01/15 30Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 31. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função compostaFunção composta A 4 3 2 1 B 6 5 4 3 ( ) 2+= xxf BAf →: B 6 5 4 3 C 11 9 7 5 ( ) 12 −= xxg CBg →: 30/01/15 31Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 32. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função compostaFunção composta ( ) ( )[ ]xfgxh =CAh →: ( ) ( ) 12 −⋅= xfxh ( ) ( ) 122 −+⋅= xxh ( ) 142 −+= xxh ( ) 32 += xxh ( ) 12 −= xxg ( ) 2+= xxf ( ) ( ) 32 +== xxfgxh  30/01/15 32Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 33. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função compostaFunção composta A 4 3 2 1 B 6 5 4 3 ( ) 2+= xxf BAf →: B 6 5 4 3 C 11 9 7 5 ( ) 32 += xxh ( ) 32 += xxfg  ( ) 12 −= xxg CBg →: 30/01/15 33Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 34. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função compostaFunção composta A B Cf g fgh = ( ) ( )[ ]xfgxh = ( ) ( )xfgxh = fgh = x f 30/01/15 34Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 35. Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta Função compostaFunção composta A composta de uma função com sua inversa é aA composta de uma função com sua inversa é a função identidade. (função identidade. (foffof-1-1 = f= f-1-1 of = xof = x)) 2−= xy 21 +=− xy ( ) 221 −+=− xff  xff =−1  ( ) 221 +−=− xff  xff =− 1 30/01/15 35Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 36. Função ExponencialFunção Exponencial RRf →: DefiniçãoDefinição RDomínioDomínio ( ) ] [+∞= ,0Im f ImagemImagem ( ) x axf = 10 ≠< a * +R ( ) ( )+∞= ,0Im f ( ) RfD = 30/01/15 36Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 37. Função ExponencialFunção Exponencial Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) x xf 2= x 1 2 3 4 ... .. x x y 2= 221 ==y 422 ==y 823 ==y 1624 ==y x y 2= y 1 21−2−3− x 1 2 4 0 30/01/15 37Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 38. Função ExponencialFunção Exponencial Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) x xg       = 2 1 1 22− x y 1 4 0 30/01/15 38Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 39. Função ExponencialFunção Exponencial Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) x xf 2= 1 21−2−3− x y 1 2 4 1 22− x y 1 4 ( ) x xg       = 2 1 1− 1>a Crescente 10 << a eDecrescent 00 30/01/15 39Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 40. Equação exponencialEquação exponencial 322 =x 81 9 1 =      x 171333 112 =−+ +−+ xxx 093109 =+⋅− xx 30/01/15 40Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 41. Equação exponencialEquação exponencial kxaa kx =⇔= 322 =x 5 22 =x 5=x ( ) 42 33 =− x 42 33 =− x 81 9 1 =      x 42 =− x 2−=x 30/01/15 41Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 42. Equação exponencialEquação exponencial 63933 1212 =−+ −+ xxx ( ) 633 3 3 33 2 2 2 =−+⋅ x x x 633 3 3 33 2 2 2 =−+⋅ x x x yx =2 3 63 3 3 =−+ y y y 3 18939 =−+ yyy 1897 =y 27=y 32 33 =x 2 3 =∴x 30/01/15 42Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 43. Equação exponencialEquação exponencial 224 =− xx ( ) 02222 =−− xx ( ) 0222 2 =−− xx yx =2 11 −=y 12 −=x 1=x 022 =−− yy 22 =y 22 =x 30/01/15 43Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 44. Inequação exponencialInequação exponencial 322 >x 81 9 1 ≤      x 64,08,0 2 <+x 093109 ≤+⋅− xx 30/01/15 44Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 45. Inequação exponencialInequação exponencial kx aa ≥ 322 >x 5 22 >x 5>x ( ) 21 99 ≤− x 2 99 ≤−x 2≤− x 2−≥x 1, >≥ asekx 10, <<≤ asekx 81 9 1 ≤      x 30/01/15 45Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 46. Inequação exponencialInequação exponencial 1−>x 64,08,0 2 <+x 100 64 8,0 2 <+x 100 64 8,0 2 <+x 10 8 8,0 2 <+x 8,08,0 2 <+x 12 >+x 30/01/15 46Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 47. LogaritmosLogaritmos xab =log Base do logaritmoBase do logaritmo LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo 0>a 01 >≠ b Condição de ExistênciaCondição de Existência 30/01/15 47Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 48. LogaritmosLogaritmos xab =log Base do logaritmoBase do logaritmo LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo xab =log ⇔ abx = 30/01/15 48Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 49. LogaritmosLogaritmos xab =log Base do logaritmoBase do logaritmo LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo x=8log2 ⇔ 82 =x 3=x 8log2 38log2 = 30/01/15 49Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 50. LogaritmosLogaritmos Sistema de LogaritmosSistema de Logaritmos aa loglog10 = 2100log100log10 == 30/01/15 50Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 51. LogaritmosLogaritmos Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural) bae =log ...718281828,2=e 2 log ee 2ln 2 =e 5loge e 55ln =e ba =ln 30/01/15 51Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 52. LogaritmosLogaritmos Propriedades operátóriasPropriedades operátórias ( ) babaP ccc logloglog1 +=⋅⇒ ba b a P ccc logloglog2 −=      ⇒ ( ) anaP b n b loglog3 ⋅=⇒ 30/01/15 52Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 53. LogaritmosLogaritmos Mudança de BaseMudança de Base b a a c c b log log log = ba b a a cc c c b loglog log log log −≠= 30/01/15 53Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 54. Função LogarítmicaFunção Logarítmica DefiniçãoDefinição RRf →+ * : ( ) xxf blog= * +RDomínioDomínio ( ) Rf =Im ImagemImagem R ( ) * += RfD 30/01/15 54Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 55. Função LogarítmicaFunção Logarítmica Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) xxf 2log= 1 x y 1 2 1− 2 1 0 30/01/15 55Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 56. Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) xxg 2 1log= 1 2 x y 1− 1 0 Função LogarítmicaFunção Logarítmica 30/01/15 56Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 57. Representação GráficaRepresentação Gráfica ( ) xxg 2 1log= 1 2 x y 1− 1 1 x y 1 2 1− 2 1 0 0 ( ) xxf 2log= 1>b Crescente 10 << b eDecrescent Função LogarítmicaFunção Logarítmica 30/01/15 57Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 58. Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica x y ( ) xxf blog= 1 1 ( ) x bxf = 1>b Crescente xy = Função LogarítmicaFunção Logarítmica 30/01/15 58Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 59. Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica x y ( ) xxf blog= 1 1 ( ) x bxf = 10 << b eDecrescent xy = Função LogarítmicaFunção Logarítmica 30/01/15 59Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 60. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog ( ) 53log2 =−x 325 −= x x=+ 332 35=x 03 >−x 3>x { }35=S 30/01/15 60Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 61. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog ( ) ( ) 295log 1 =−− xx ( ) 951 2 −=− xx 95122 −=+− xxx 095 >−x 5 9 >⇒ x 01>−x 1>⇒ x 11≠−x 2≠⇒ x 01072 =+− xx 21 =x 51 =x { }5=S 30/01/15 61Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 62. Equação LogarítmicaEquação Logarítmica ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog ( ) ( ) 8log4log3log 555 =++− xx 03 >−x 3>⇒ x 04 >+x 4−>⇒ x 41 =x 3>⇒ x { }4=S ( ) ( ) 8log43log 55 =+⋅− xx 8122 =−+ xx 0202 =−+ xx 52 −=x 0202 =−+ xx 30/01/15 62Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 63. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( )xgxf bb loglog ≥ 1>b ( ) ( )xgxf ≥ 10 << b ( ) ( )xgxf ≤ ( ) 5log3log 22 >−x 53 >−x 8>x 03 >−x C.EC.E 3>x { }8/ >∈= xRxS ] [+∞= ,8S 30/01/15 63Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 64. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( )xgxf bb loglog ≥ 1>b ( ) ( )xgxf ≥ 10 << b ( ) ( )xgxf ≤ ( ) ( )2log82log 3 2 3 2 −<− xx 282 −>− xx 6>x 082 >−x C.EC.E 4>x 02 >−x 2>x I II 4>=∩ xIII 30/01/15 64Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 65. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx 8122 <−+ xx ( ) ( ) 3 22 2log43log <+⋅− xx ( ) ( ) 3 22 2log43log <+⋅− xx 0202 <−+ xx 51 −=x 42 =x x5− – – – – – –– – – – – – + + ++ + + 4 + + ++ + + 45 <<− x 30/01/15 65Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 66. Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica ( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx x5− – – – – – –– – – – – – + + ++ + + 4 + + ++ + + 45 <<− x 03 >−x C.EC.E 3>x 04 >+x 4−>x 3>∴x { }43/ <<∈= xRxS 0202 <−+ xx 30/01/15 66Professor: Osmar da Silva Pereira
  • 67. 30/01/15 67Professor: Osmar da Silva Pereira

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