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Números irracionales (ensayo final)
 

Números irracionales (ensayo final)

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    Números irracionales (ensayo final) Números irracionales (ensayo final) Document Transcript

    • BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Licenciatura en Matemáticas Otoño 2012 Alumno: Ricardo Vázquez Prisco Matrícula: 201137891 Profesor: Aureliano J. Jiménez M. Materia/Sección: DHTIC/303 Código/NRC: FGUM/70649-003 Ensayo. Taller 04: TEMA: NÚMEROS IRRACIONALES Lunes, 10 de diciembre del 2012.
    • ÍNDICEINTRODUCCIÓN. ................................................................................................................. 3 CAPÍTULO 1: NÚMEROS NATURALES. ...................................................................... 4 1.1 NÚMEROS PRIMOS. .............................................................................................. 4 1.2 NÚMEROS NEGATIVOS. .................................................................................... 8 1.3 NÚMEROS ENTEROS. ......................................................................................... 8 CAPÍTULO 2. NÚMEROS RACIONALES. .................................................................... 9 2.1 NÚMEROS FRACCIONARIOS. ........................................................................... 9 2.2 FRACCIONES IRREDUCIBLES. ......................................................................... 9 CAPÍTULO 3. NÚMEROS IRRACIONALES. .............................................................. 10 3.1 TIPOS DE IRRACIONALES. ............................................................................... 10CONCLUSIÓN. ................................................................................................................... 17BIBLIOGRAFÍA. ................................................................................................................. 18 2
    • INTRODUCCIÓN. “En matemáticas, un Número Irracional es un número que no puede serexpresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente de ceroy ésta fracción es irreducible, cualquier Número Real que no es Racional. Notación: No existe una notación universal para indicarlos, como , que esgeneralmente aceptada. Ya que es tan apropiada para designar al conjunto deNúmeros Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cualpuede crear confusión. es la denotación del conjunto por definición. Clasificación: Tras distinguir los números componentes de la recta real entres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminadola clasificación de los números, pero aún quedan "huecos" por rellenar en la rectade los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha rectaque cubren los vacíos que dejan los números racionales. Los números irracionales son los elementos de la recta real que nopueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan porposeer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse alnúmero irracional como un decimal infinito no periódico. En general, todaexpresión en números decimales es solo una aproximación en números racionalesal número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solouna aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, elcual posee infinitas cifras decimales no periódicas. Entonces, decimos con todapropiedad que el número es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia alos infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificadosmediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes: , , .” 3
    • CAPÍTULO 1: NÚMEROS NATURALES. Para comprender la idea que involucra un número irracional, es necesarioiniciar con los Números Naturales, dependiendo del autor el conjunto de losnúmeros naturales puede o no incluir al CERO es decir o bien . Partiendo de ésta idea se define el conjunto de los Números Naturalescomo:1.1 NÚMEROS PRIMOS. Los Números Primos son los Números Naturales que tienen la “propiedad”de ser divisibles únicamente por sí mismo además de la unidad, es decir el 1. Aúnno existe la forma de determinar la primalidad de un Número Natural. Aun así laCriba de Eratóstenes muestra claramente la forma de ubicarlos. Se inicia con una tabla que contiene por ejemplo los enteros del intervalodel 1 al 100, ordenado en columnas de la siguiente manera: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 … … … … … … … … … … 4
    • En primer lugar se descarta la unidad. En segundo lugar se eliminan losmúltiplos de 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 … … … … … … … … … …En tercer lugar buscamos el menor número mayor que 2 no eliminado. En éstecaso es el 3, ahora eliminamos sus múltiplos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 … … … … … … … … … …Nuevamente se localiza el menor número mayor a 3 no eliminado. Que es el 5 yeliminamos sus múltiplos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 … … … … … … … … … … 5
    • Nuevamente se localiza el menor número mayor a 5 no eliminado. Que esel 7 y eliminamos sus múltiplos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 … … … … … … … … … …El mismo proceso ahora para el 11. Que en éste caso no se eliminó alguno“nuevo” en el intervalo del ejemplo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 … … … … … … … … … …El mismo proceso, pero ahora con el 13. También es éste caso no se eliminóalgún número “nuevo” en el intervalo del ejemplo.El proceso ahora con el 17, que tampoco elimina algún número de los restantes.El proceso ahora con el 19, que tampoco elimina algún número de los restantes.El proceso ahora con el 23, que tampoco elimina algún número de los restantes.El proceso ahora con el 29, que tampoco elimina algún número de los restantes.El proceso ahora con el 31, que tampoco elimina algún número de los restantes. 6
    • El proceso ahora con el 41, que tampoco elimina algún número de los restantes.El proceso ahora con el 43, que tampoco elimina algún número de los restantes.El proceso ahora con el 47, que tampoco elimina algún número de los restantes.El proceso ahora con el 53, que tampoco elimina algún número de los restantes. Cabe mencionar que aunque en el intervalo del ejemplo [1,100] no se vaneliminando para algunos números, en general en los números naturales si seeliminan. Bastaría con hacer el proceso completo con un intervalo mayor, porejemplo… del 1 al 1000. Además al eliminar los múltiplos del 53 se evidencia lapropiedad de Número Primo de los Naturales presentes aún: es decir {59, 61, 67,71, 73, 79, 83, 89, 97}, ya que al no ser eliminados como múltiplos de 53, tampocoserán eliminados por ser múltiplos de 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ó 97. Así. Los primeros 25 números primos, que por cierto son TODOS menoresque 100, son:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,89, 97 } o bien de diez en diez con la CRIBA DE ERATÓSTENES. 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 … … … … … … … … … … De éste modo se puede apreciar claramente que los Números Primosmayores a 100, tendrán como digito de las unidades 1, 3, 7 ó 9. O bien, dicho deotro modo, terminarán en 1, 3, 7 ó 9. De lo contrario serían múltiplos de 2 o 5. 7
    • 1.1.1 PRIMOS ENTRE SI. Se dice que dos números a y b al tener como único divisor común la unidadson primos entre sí. De modo contrario no son primos entre si cuando además de la unidadtienen otro divisor en común.1.2 NÚMEROS NEGATIVOS. Se pude formar el conjunto de los Números Enteros a partir de losNúmeros Naturales pero antes de ello se definen los Números Negativos como losNúmeros Naturales precedidos de un signo menos, es decir: Además se hace la observación de que los Números Naturales sonpositivos es decir1.3 NÚMEROS ENTEROS. Los Números Enteros se definen como la unión de los Números Naturales,el cero y los Números Negativos es decir el conjunto de los Números Enteros es:ó bien 8
    • CAPÍTULO 2. NÚMEROS RACIONALES. Los Números Racionales son aquellos que se escriben de la forma dondep y q son enteros, y es una fracción irreducible. Además de la forma , también pueden expresarse como un número condecimales periódicos, es decir: Con una regla de 3 se expresa nuevamente a la forma de la siguientemanera: (i) (ii) Así: Restándole a (ii) la expresión (i) .2.1 NÚMEROS FRACCIONARIOS. Los números fraccionarios son aquellos de la forma que constan denumerador “a” y denominador “b” y una línea divisoria entre ambos (barrahorizontal u oblicua) con y Números Enteros y .2.2 FRACCIONES IRREDUCIBLES. Son aquellos números de la forma que además de ser fraccionarios tienenla particularidad de que a y b son primos entre si. 9
    • Es muy importante hacer notar que de la misma forma que los NúmerosNaturales están contenidos en los Números Enteros. Así los Números Enterosestán contenidos en los Números Fraccionarios ya que todo Número Entero sepuede escribir de la forma donde a es el entero en cuestión y b es la unidad. Es decir, como… es equivalente a Así también es equivalente a CAPÍTULO 3. NÚMEROS IRRACIONALES. Los Números Irracionales son los Números Reales que no son Racionales obien que solo pueden expresarse como un número con infinitos decimales noperiódicos, por ello se suele agregar “tres puntos” después de varios decimales,para indicar que son infinitos decimales.3.1 TIPOS DE IRRACIONALES. Los Números Reales pueden subdividirse en conjuntos según muchoscriterios de clasificación por ejemplo Algebraicos y Trascendentes. Por lo tantocomo los Irracionales son Reales tenemos también dos tipos de Irracionales: Número Irracional Algebraico. Número Irracional Trascendente (o simplemente Trascendente ya que no hay Racionales Trascendentes). 10
    • 3.1.1 IRRACIONAL ALGEBRAICO. Los números algebraicos son los números reales que son solución dealguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vistade esta definición es fácil comprender que todos los números racionales sonalgebraicos, ya que si es un número racional, entonces es solución de laecuación polinómica . Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo sonmuchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional es algebraico. Bastaver que es solución de la ecuación polinómica para darse cuenta deello. Lo mismo ocurre con, por ejemplo, , que es solución de . Y conmuchos más números irracionales. (Números algebraicos y trascendentes, 2009)“Es interesante añadir que el descubrimiento de la existencia de números irracionales constituyó elinicio de lo que se considera la primera crisis en los fundamentos de las matemáticas.Fue precisamente un desdichado Pitagórico, llamado según se creé, Hipaso de Metaponto, el quedescubrió los números irracionales.…Como era de esperarse, el descubrimiento de la existencia del número irracional, constituyó unaseria conmoción para la escuela Pitagórica y se creé que contribuyó a su destrucción.” (Angoa Amador, Contreras Carreto, Ibarra Contreras, Linares Garcia, & Martinez Garcia, 2008) Es curioso pensar que para descubrir el primer Número Irracional, se hayautilizado precisamente el Teorema de Pitágoras, ( ) concatetos de una unidad como valor. Así 11
    • En general un Número Algebraico son las raíces “n-ésimas” de un polinomiode cualquier grado con coeficientes Reales, que no sea un Número Complejo. Esdecir todas las raíces “enésimas” que no den como resultado un Número Entero oComplejo (por ejemplo ), son Números Irracionales Algebraicos: , , , ,… , , , ,… , , , ,… ……………………. Así también lo son las que dan como resultado de aplicar (ecuación generalde segundo grado), cuando se obtienen resultados como: En particular, éste es un ejemplo de un Número Irracional Algebraico, queademás es conocido como el Número Áureo, proporción áurea, razón dorada onúmero de oro. El número “áureo” ( ) surge de una inquietud de proporcionalidad enciertos rectángulos, como se explica a continuación: Sean y los lados de un rectángulo con . Se “traza” el cuadrado delados dentro de dicho rectángulo 12
    • Se dice que la razón si cumple que Pero por lo tanto En particular con Sustituyendo Despejando apropiadamente, se obtiene: Como y son Números Naturales. Al aplicar la ecuación general desegundo grado, se obtiene dos posibles respuestas una negativa y otra positiva,se descarta la negativa ( ya que ), como se muestra a continuación: Así la raíz positiva nos da: 13
    • La proporción áurea Cabe mencionar que la proporción áurea está estrechamente relacionadacon la Sucesión Fibonacci (recordar que son aquellos que resultan de sumar losdos anteriores y que los primeros 2 son 1 es decir: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…)que se involucra directamente con todo lo que crece en la naturaleza, basta conobservar la siguiente tabla donde la columna A y la columna B tienen los primerosNúmeros de la Sucesión Fibonacci menores a 10,000. Los números de la columna B con respecto a los de la columna A tan soloestán desfasadas por el antecesor de la sucesión, y que los de la columna A/Bcorresponden a el cociente entre A y B. Nótese que mientras mayor sean losnúmeros de la sucesión en A y B, los de A/B se acercan cada vez más a la razónáurea ( ). A B A/B 1 1 1 1 2 1 2 3 2 1.5 5 3 1.666666667 8 5 1.6 13 8 1.625 21 13 1.615384615 34 21 1.619047619 55 34 1.617647059 89 55 1.618181818 144 89 1.617977528 233 144 1.618055556 377 233 1.618025751 610 377 1.618037135 987 610 1.618032787 1597 987 1.618034448 2584 1597 1.618033813 4181 2584 1.618034056 6765 4181 1.618033963 10946 6765 1.618033999 … … … 14
    • 3.1.2 IRRACIONAL TRASCENDENTE (o simplemente TRASCENDENTE). “Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ningunaecuación polinómica de coeficientes racionales. Por lo que hemos visto antes todos los númerostrascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Como ejemplosmás representativos de este conjunto numérico tenemos al número y al número . Viendo que en primera instancia es mucho más sencillo encontrar números algebraicos quenúmeros trascendentes uno podría pensar que hay muchos más del primer tipo que del segundo.Nada más lejos de la realidad. El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, esdecir, tiene infinitos elementos pero podemos contarlos, mientras que el conjunto de los númerostrascendentes es infinito no numerable, esto es, también tiene infinitos elementos pero no lospodemos contar. Conclusión: hay muchos más Números Reales Trascendentes que Algebraicos. A la vista de este hecho no se entiende demasiado bien que sea tan complicado encontrarnúmeros trascendentes, pero la realidad es esa. Demostrar que un cierto número real estrascendente suele ser bastante complicado. El primero que lo consiguió fue Liouville demostrandoque el número es trascendente. Más adelante Hermite demostró que el número es trascendente y posteriormenteLindemann hizo lo propio con el número .” (Números algebraicos y trascendentes, 2009) Quizá el más conocido por su relación con la circunferencia y su diámetroes el número “pi” comúnmente representado por la letra griega. O bien, relación atribuida a la India. El número , también llamado número de Euler es muy importante para elCÁLCULO. La letra denota al único número real positivo tal que(logaritmo natural). 15
    • AdemásLeonhard Euler 1707-1783 Demostró que es irracional y descubrió la notable relación Lo notable de la expresión de la derecha es ajustar en una sola ecuación( ) 5 de los números de una incuestionable relevancia para lasmatemáticas. O bien. Lo notable de la expresión de la izquierda radica en que losnúmeros irracionales trascendentes ( ) y el número complejo ( ) puro mediantela función exponencial devuelven el número entero negativo ( ). Considerado como una verdadera “Proeza de Alquimia Matemática” porMarcus Du Sautoy. Escritor y presentador de “Los límites del espacio”, 3er capítulode los documentales La historia de la Matemática co-producido por la BBC en2008. (Du Sautoy, 2008) 16
    • CONCLUSIÓN. Es difícil creer que la cantidad de Números Irracionales es MAYOR que lacantidad de Números Racionales, es decir hay mas “huecos” en la recta real quenúmeros de la forma donde y son Números Enteros y . Pero aunque sea difícil de asimilar, es cierto. Así… existe al menos la posibilidad de que los Números Irracionalesdeparen muchas más sorpresas para la Matemática. Ya que la notable importancia que tienen ( también la podrían tenerotros Irracionales en otro aspecto o sentido, que aunque son desconocidos en laactualidad, a medida que se les vaya descubriendo podrían dar apertura a nuevaMatemática en un futuro no muy lejano.Un ave fénix El número irracional aparece a lo largo de las matemáticas, pero su importanciaradica seguramente más en su uso como la base para la función exponencial natural. Pero,¿qué hace a ésta función tan importante?“¿Quién no se ha sorprendido al aprender que la función , como un ave fénix querenace de sus cenizas, es su propia derivada?” Francois Le Lionnais 17
    • BIBLIOGRAFÍA.1 (19-01-2009). Números algebraicos y trascendentes. Recuperado el (12-04-2012), de (http://gaussianos.com/numeros-algebraicos-y-trascendentes-los-15-numeros- trascendentes-mas-famosos/)2 Angoa, J J, Contreras, A, Ibarra, M, Linares, R y Martínez, A. (2008). Matemáticas Elementales, México, Puebla: Dirección de Fomento Editorial.3 Du Sautoy, M. (2008). La historia de las Matemáticas, El lenguaje del Universo, E.U.A: BBC.4 Purcell, E, Varberg, D y Rigdon S. (Copyright 2000). Cálculo. U.S.A Prentice-Hall 18