Ing. dip.Ramiz Kastrati                                       Detyra të Zgjidhura me Programin                            ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                        Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                  Përmbajtja:       ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                                  L...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Vërejtje:           ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                        Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shembulli 2:         ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                        Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               % llogaritja e shpreh...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                        Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               >> ~4                ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                        Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               >> 5<3               ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                        Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Moduli, argumenti, pj...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               » c2=sqrt ( -2 )    ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                       deg_c1 =    ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                               Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                          E= ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                                   ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                   Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                         ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shembulli 22:       ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Të llogaritet prodhi...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Numri max i vektorit...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               >> magu = sqrt(b)   ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                       A=          ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                                   ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               >> X3=magic(3)      ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                            Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                      zbritja  ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shumëzimi i m...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                            ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                          Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Tek matricat e tran...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                          Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                  1  5i 2  6i ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               >> A(2 , 3)         ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                          Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                                A=...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                          Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                       C=         ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shembull 52.g:      ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Caktimi i anëtarit t...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                               Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                             ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                            Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                       M=       ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                          3   2   -...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Të pjesëtohet matric...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                          Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shumëzimi i matricë...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                     >> syms x     ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                     >> solve(eq2) ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                              Paraq...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                             Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shembull 66:    ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shembull 67:        ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                        Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Vrejt...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Forma e paraqitjes d...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                            Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                           Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                       0         ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                             Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                               ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                                      Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB      ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shënimet në boshtet ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                                 Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB           ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Me shfrytëzim...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Paraqitjet grafike e...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                           Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                     4           ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                               Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                       1     ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                          Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                  ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                        Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Forma...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                   Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                     0.5 ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                         Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shembull 87:        ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                             Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shembull 88:    ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                                                       Detyra të zgjidhura në Progr...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                 Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shembull 91:...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                  Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB               Shembull 92...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                           Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                    8            ...
Ing. dip.Ramiz Kastrati                                    Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB                        ...
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
ushtrime matlab
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

ushtrime matlab

5,108

Published on

Libër për MATLAB

0 Comments
5 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
5,108
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
177
Comments
0
Likes
5
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

ushtrime matlab

  1. 1. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të Zgjidhura me Programin MATLAB® (Versioni 7.0.0) Prishtinë Janar 2010Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  2. 2. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Përmbajtja: 1. Llojet e fajllave në programin Matlab 2. Operatorët: Logjikë, Relacionet dhe aritmtikë 3. Numrat komplekës 4. Vektorët dhe Matricat 5. Ekuacionet algjebrike dhe transandente 6. Paraqitjet grafike, funksionet me një të panohur 7. Kushtëzimet dhe unazat 8. Llogaritja e shumës 9. Llogaritja e limitit 10. Ekuacionet Diferenciale 11. Llogaritja e |Integralit 12. Ekuacionet e Laplasit 13. Inversi i Laplasit, Funksionet Transmetuese 14. Ekuacionet e gjendjes 15. Diagrami i Bodeu dhe Nikvistit 16. Simulink 17. S- Function 18. Rrjetat Fuzzy Neurale 2/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  3. 3. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Llojet e fajllave në programin Matlab Gjatë përdorimit të programit Matlab, kemi mundësi ti përdorim dy mënyra të shkrimit të kodit:  Përmes linjës komanduese Command window dhe  M – fajllave. Përdorimi i linjës komanduese ka përparësi e veta por edhe mangësitë sepse me përdorimin e kësaj forme kodet e shkruara dhe rezultatet humben pas përfundimit dhe mbylljes së programit Matlab. Për këtë arsye paraqitet nevoja e formimit të fajllave në të cilët mundemi ti fusim kodet programore , rezultatet numerike , grafikën dhe strukturat etj.të cilat mbesin të ruajtura në këto fajlla dhe mundë të thirren sa herë që na nevojiten. Varësisht se çka dëshirojm të ruajmë programi Matlab gjeneron dhe shfrytëzon këto fajlla me këto ekstensione: M, MAT dhe MEX. Ekzistojnë dy lloje të M fajllave : Komandues (script) dhe funksione (function). Ne për shkuarjen e kodit programor po përdorim formën linjore pra comman windows, por të gjithë shembujt janë të realizuar edhe duke përdor M fajllat. Operatorët Logjikë, Relacionit dhe aritmtikë Në vazhdim po paraqesim tabelat për operacione Logjike, Relacionale dhe aritmetike. & DHE | OSE ~ JO Tabelat me vlerat e operacioneve logjike A B ~A A&V A|B 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 3/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  4. 4. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Vërejtje: MATLAB e trajton çdo vlerë jo zero si vlerë të sakët, kurse vlerën zero si vlerë te pa sakët Operatoret e relacionit janë operator binar dhe shfrytëzohen për krahasimin e shprehjeve. Krahasimi i shprehjeve është i sakët ( true ) me shenjë 1 ose jo i sakët ( false ) me shenjen 0. < Më e vogël <= bartë ose më e vogël se > Më e madhe <= Më e madhe ose e barabartë == E barabartë ~= Jobarabartë Tabelat me vlerat e operacioneve relacionit Shprehjet aritmetike shfrytëzojnë operacionet e zakonshme aritmetike + mbledhja - zbritja * shumëzimi / pjesëtimi ^ fuqizimi Pjesëtim nga ana e djathët Tabelat me vlerat e operacioneve aritmetike Shembull 1: Llogarit vlerën e shprehjes: >> 2+4-6 ans = 0 Vërejtje : Nga ky Shembull shohim se MATLAB- i vet e krijon shprehjen me emër ans (answer- përgjigjeje ) 4/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  5. 5. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shembulli 2:  1 x  2  24   Te llogaritet   . >> x=2+(2*4-pi) x= 27.1327 Vërejtje: Numri  je si madhësi konstante në MATLAB. Mjafton ta shtypim simbolin pi ( e jo 3.14) Shembulli 3: Të llogaritet vlera e shprehjes y=3x për x=32 : >> x=3^2; >> y=3*x y= 27 Vërejtje : Nëse nuk duam menjëherë të paraqitet në ekran, atëherë në fund të komandës vendosim ; (pikëpresje). Shembulli 4: Të llogariten shprehjet : 1. 2 + 4 + 6 2. 4*25+6*22+2*99 3. D=A+B+C për A=2 , B=4 , C=6 4. E=B*25+C*22+A*99 për A=2 , B=4 , C=6 5. D=A+B+C për A=2 , B=4 , C=6 % llogaritja e shprehjes a >> 2 + 4 + 6 Ans = 12 % llogaritja e shprehjes b >> 4*25+6*22+2*99 ans = 430 5/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  6. 6. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB % llogaritja e shprehjes c >> A=2 A= 2 >> B=4; >>C=6 C= 6 >> D=A+B+C D= 12 % Vlerat për A,B,C i marrim nga shembulli nën c: % llogaritja e shprehjes d >> E=B*25+C*22+A*99 E= 430 % llogaritja e shprehjes e % Vrejtje : Vlerat për A,B,C i marrim nga shembulli nën c: >>A=2; >>B=4; >>C=6; >>D=A+B+C D= 12 Shembull 5: >> %shembulli 5.a 6/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  7. 7. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB >> ~4 ans = 0 >> %shembulli 5.b >>5 <=9 ans= 1 >> %shembulli 5.c >>9<=5 ans= 0 >> %shembulli 5.d >> 2*5 ans = 10 >> %shembulli 5.e >> 3*8 ; % për shkak‘;’ rezultati nuk do të paraqitet. ans = 24 shembull 6: >> a=1; b=3; % vlerat për variabla >> if a==b % shprehja logjike për vlerat a dhe b disp (a më e madhe se b) else disp (b më e madhe se a) end Rezultati nga kompjuteri b me e madhe se a Shembulli 7: Llogarit vlerën e shprehjes: 5<3 7/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  8. 8. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB >> 5<3 ans = 0 Numrat komplekës Pjesa Imagjinare është e definuar si vlerë e përhershme. Shfrytëzohet zakonisht shprehja i   1 ose j   1 . >> i=sqrt(-1) i= 0 + 1.0000i Numrat kompleksë munden sikurse në matematikë të definohen në dy mënyra. z  x  iy Forma algjebrike ku x pjesa reale , kurse pjesa imagjinare e numrit kompleks. w  re i Forma eksponenciale. Ku r moduli, kurse b  argumenti i numrit kompleks. Shembulli 8: Të shkruhet numri z  2  3i . >> z=2+3*i z= 2.0000 + 3.0000i Shembulli 9: i 6 Të shkruhet numri w  2e . >> w=2*exp(i*pi/6) w= 1.7321 + 1.0000i Sqarim: 8/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  9. 9. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Moduli, argumenti, pjesa reale dhe imagjinare e numrit kompleks fitohet duke shfrytëzuar urdhërat abs, angle, real, imag, conj. Shembull 10: c=a+b për : a  2  3i dhe b 1- i >> % shprehja për mbledhjen e dy numrave kompleks. >> format short >> a = 2 + 3i; >> b = 1 - i; >> c = a + b c= 3.0000 + 2.0000i Shembull 12: >> c1=1-2i c1 = 1.0000 - 2.0000i Shembull 13: Të llogaritet shprehja c1  3(2  (1) * 3 a. c 2  (  2) b. c. c3  6  i sin( 0.5) d. c4  6  j sin( 0.5) %ekuacioni duke përdor numrat kompleks shprehja a. >> c1= 3*( 2-sqrt ( -1 ) *3 ) c1= 6.0000 - 9.0000i %llogaritja e shprehjës b 9/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  10. 10. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB » c2=sqrt ( -2 ) c2 = 0 + 1.4142i %llogaritja e shprehjes c >> c4=6+sin( .5 )*i c4 = 6.0000 + 0.4794i %llogaritja e shprehjes d >> c5=6+sin( .5 )*j c5 = 6.0000 + 0.4794i Sqarim: Për caktimin e moduli dhe argumentit të numrave kompleks shfrytëzojmë shprehjen: a  ib  Me j ku M-moduli , kurse  - argumenti për shprehjen e më poshtme vlen : M  a 2  b2 b   arctg ( ) a a  M cos  b  M sin  Kalimi nga koordinatat e dekartit në polare dhe anasjelltas i realizojmë duke përdor urdhrat : abs, angle, real i imag : Shembull 14: >>c1=1-2i; % shprehja >>mag_c1=abs(c1) % moduli i numrit kompleks mag_c1 = 2.2361 >>angle_c1=angle(c1) % argumenti i numrit kompleks angle_c1 = -1.1071 >>deg_c1=angle_c1*180/pi % këndi në grad 10/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  11. 11. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB deg_c1 = -63.4349 >>real_c1=real(c1) % pjesa reale real_c1 = 1 >>imag_c1=imag(c1) % pjesa imagjinare imag_c1 = -2 Shembull 15: >> z = 3 + 4 * i % pjesa reale 3, pjesa imagjinare 4 z= 3.0000 + 4.0000i >> z = 3 + 4 * j z= 3.0000 + 4.0000i >> z = 3 + 4 * sqrt(-1) z= 3.0000 + 4.0000i Forma polare >> z=5*exp(i*0.927295218) % kendi i dhene ne radiana z= 3.0000 + 4.0000i Shembull 16: >> E=[1 2; 3 4] + i*[5 6; 7 8]; >> E=[1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i] 11/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  12. 12. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB E= 1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i Funksionet kuadratike ax 2  bx  c  0 Forma m,matematikore e zgjidhjes  b  b 2  4ac x1,2  2a Shembull 17: Për a=1, b=5 dhe c=6, zgjidhja do të jepet në formën e më poshtme . % detyra për funksionin kuadrarik >>a=1; b=5; c=6; >>x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) x1 = -2 >>x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) x2 = -3 >>a*x1^2+b*x1+c % vërtetimi i rezultatit ans = 0 >>a*x2^2+b*x2+c % vërtetimi i rezultatit ans = 0 Shembull 18: 12/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  13. 13. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB 2 Po i zgjedhim vlerën e koeficientet të ekuacionit të detyrës ax  bx  c  0 a=1, b=4 i c=13. atëherë zgjidhjet e ekuacionit do të jenë. %detyra për funksionin kuadrarik për a=1, b=4 i c=13 >>a=1; b=4; c=13; >>x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) x1 = -2.0000+3.0000i >>x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) x2 = -2.0000-3.0000i Vrejtje : Rrënjët janë komplekse të konjuguara me rezultat x1 =-2.0000+3.0000i Dhe x2 =-2.0000-3.0000i 13/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  14. 14. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Vektorët dhe Matricat Shembull 19: Shkruani vektorin x=(1, 2, ... , 10). >> x=1:10 x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Urdhri length llogaritë gjatësinë e vektorit. Shembull 20.a: >> x=1:10 x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> length(x) ans = 10 Shembull 20.b: Shkruani vektorin x=(1, 3, 5,7). >> x=1:2:8 x= 1 3 5 7 Shembull 21: >>A=[1; 4; 5 ]; >>B=[2; 3; 3 ]; >>D=[A; B] D=1 4 5 2 3 3 14/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  15. 15. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shembulli 22: Të gjinden vlerat max dhe min të vektorëve >> A = [8 4 4 1 7 11 2 0]; >> max(A) ans = 11 >> min(A) ans = 0 Shembull 23: Produkti i vektorit me vetveten >>J=[0; 3; 4 ]; >>J.*J a= 25 >>a=sum(J.*J) ans= 0 9 16 Shembulli 24: Të paraqitet matrica A >> A = [-2 2; 4 1 ] A= -2 2 4 1 Shembulli 25: 15/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  16. 16. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Të llogaritet prodhimi i matricës (A )me skalar (2). >> A = [-2 2; 4 1 ] >>C=2*A C= -4 4 8 2 Shembull 26: Matrica e transformuar e matricës A >> A = [-1 2 0; 6 4 1 ] A= -1 2 0 6 4 1 >> B=A’ B= -1 6 2 4 0 1 Shembull 27: Numri i ai antarëve të matricës >> A = [2;3;3;4;5]; >> length(A) ans = 5 >> B = [1;1]; >> length(B) ans = 2 Shembull 28: 16/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  17. 17. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Numri max i vektorit të dhënë >> A = [8 4 4 1 7 11 2 0]; >> max(A) ans = 11 >> min(A) ans = 0 Shembull 29.a: >> u = [i; 1 + 2i; 4]; >> sum(u.*u) ans = 12. Shembull 29.b: Matrica e transformuar e matricës u >> u = [i; 1 + 2i; 4]; >> v = u v= 0 – 1.0000i 1.0000 – 2.0000i 4.0000 Shembull 29.c: >> v = conj(u) v= 0 – 1.0000i 1.0000 – 2.0000i 4.0000 Shembull 29.d: >> b = sum(v.*u) b= 22 17/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  18. 18. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB >> magu = sqrt(b) magu = 4.6904 Shembull 30: Gjetja e antarit ai të vektorit të dhënë A >> A = [12; 17; –2; 0; 4; 4; 11; 19; 27]; >> A(2) ans = 17 >> A(8) ans = 19 Matrica është fushë e numrave e cila definohet me dy indekse mxn, ku indeksi i parë m nënkupton numrin e rreshtit , kurse i dyti n numrin e kolonës. Elementet zakonisht vendosen në rreshta, kurse në kllapa [ , ] vendosen lista e elementeve. Lista e elementeve ndahet me presje apo me pikëpresje. Tasteri Enter ose pikëpresje ( ; ) shfrytëzohet për ndarjen rreshtave të matricës. Shembull 31: shkruaje matricën :  1  2 4 A   6 8 5    7  4 2   >> A=[1 -2 4; -6 8 5; 7 -4 2] A= 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2 Forma e dytë për shkrimin e matricës është : >> A=[1, -2, 4; -6, 8, 5; 7, -4, 2] 18/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  19. 19. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB A= 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2 Matricat me strukturë speciale Urdhri eye na jep matricën njësi (tabela 1). Urdhri Përshkrimi eye(n) Matrica njësi me dimensione nxn eye(m,n) Matrica njësi me dimensione mxn eye(size(A)) Matrica njësi me dimensione të matricës A Shembull 35: Të Formohet matricën me dy rreshta dhe tri kolona elementet e së cilës në diagonalen kryesore janë 1, kurse elementet tjera janë 0 . >> X=eye(2,3) X= 1 0 0 0 1 0 Shembull 32: Të formohet matricën njësi, dimensionet e matricës janë dhënë nga shembulli i latë shënuar. >> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ; >>X=eye(size(A)) X= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Urdhëri ones i jep matricës elementet e së cilës janë të gjithë zero (tabela 2). Urdhëri Përshkrimi Matrica me dimensione nxn ku të gjithë elementet ones(n) janë një 1 19/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  20. 20. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Matrica me dimensione mxn nxn ku të gjithë ones(m,n) elementet janë një 1 Matrica me dimensione të matricës së dhënë A nxn ones(size(A)) ku të gjithë elementet janë një 1 Shembull 33: Të formohet matricën kuadratike të rendit 2 ku të gjithë elementet janë një. >> X=ones(2) X= 1 1 1 1 Urdhëri zeros i jepet matricës ku elementet e së cilës janë zero (tabela 3). Urdhëri Përshkrimi Matrica me dimensione nxn ku të gjithë elementet zeros(n) janë zero Matrica me dimensione mxn ku të gjithë elementet zeros(m,n) janë zero Matrica me dimensione të matricës së dhënë A nxn zeros(size(A)) ku të gjithë elementet janë zero Shembull 34: Të formohet matricën me dy rreshta dhe dy kolona ku të gjithë elementet janë të njëjtë pra . >> X=zeros(2,3) X= 0 0 0 0 0 0 Shembull 35: Të formohet matrica e rendit të tretë duke shfrytëzuar urdhrin magic Urdhri magic(n) i jepen matricës me elemente të plotë në mesë 1 dhe n2, dimensioni nxn, duke marrë parasysh që mbledhja e elementeve në rreshta dhe kolona është konstante 20/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  21. 21. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB >> X3=magic(3) X3= 8 1 6 3 5 7 4 9 2 Shembull 46: Urdhri diag(A) fiton matricën diagonale të matricës së dhënë A. Të formohet matrica duke shfrytëzuar urdhrin diag. >> A , X1=diag(A) , X2=diag(diag(A)) A= 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 X1 = 1 -3 -6 X2 = 1 0 0 0 -3 0 0 0 -6 Në operacionet bazike me matricat hyjnë:  mbledhja 21/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  22. 22. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB  zbritja  shumëzimi  pjesëtimi Mbledhja dhe zbritja e matricave Mbledhja dhe zbritja e matricave realizohet duke u mbledhur respektivisht duke u zbritur elementet e caktua të matricës. Në këto raste duhet të kihet parasysh që matricat të jenë të njëjtit dimension. Shembull 37: Të mblidhen matricat A dhe B, ku matrica C është matrica e fituar. >> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ; >>B=[2, 3,-4; 1, -1, 1; 3, 2, -1] , C=A+B B= 2 3 -4 1 -1 1 3 2 -1 C= 3 5 -1 3 -4 2 -1 -3 -7 Shembull 38: Nga matrica A të zbritet skalari 1 për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> D=A-1 D= 0 1 2 1 -4 0 -5 -6 -7 Vërejtje : Në Shembullin paraprak, skalarin 1 MATLAB-i automatikisht e kupton si matricë me dimensione të njëjta sikurse matrica A me të gjithë elementet e barabartë me 1 22/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  23. 23. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shumëzimi i matricave Shumëzimi i matricave me skalar realizohet ashtu që secili element i matricës e shumëzojmë me vlerën e skalarit të dhënë. Duhet të kihet parasysh që vlen ligji. kA=Ak. Shembull 39. Nëse k=5, cakto F=5A. Për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A , F=5*A A= 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 F= 5 10 15 10 -15 5 -20 -25 -30 a b Shumimi i dy matricave : Prodhimi i matricës A={ i , j } (dimensione mxr) dhe B={ i , j } (dimensione rxn) është matrica e re C (dimensione mxn) elementet e së cilës janë : r cij   ai ,k bk , j k 1 . Shembull 40: Shumëzo matricën A dhe A1, për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A1=[1, 2 ; 2, -3 ; 1, 6] , P=A*A1 A= 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 A1 = 1 2 23/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  24. 24. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB 2 -3 1 6 P= 8 14 -3 19 -20 -29 Shembull 41: Nëse kishim dëshiruar që të shumëzojmë matricën me rend jo të njëjtë A1*A, atëherë do të fitojmë mesazhin >> A1*A ??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Matrica e transponuar Transponimi i matricave me koeficient real është ndërrimi i rreshtave me shtyllat e matricës . Realizohet me përdorimin e operatorit . Shembull 42: Është dhënë matrica e transponuar A, ku E është matrica e fituar për %vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> E=A A= 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 E= 1 2 -4 2 -3 -5 3 1 -6 Shembull 43: 24/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  25. 25. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Tek matricat e transponuar ku si elemente të matricës janë numrat kompleksë, MATLAB-i kryen të ashtu quajturën transponimin kompleksë, ku njëherësh e transponon matricën dhe njëkohësisht e konjugon çdo element të tij. >> Z=[1+2*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i] , W=Z Z= 1.0000 + 2.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i W= 1.0000 - 2.0000i 3.0000 - 7.0000i 2.0000 + 6.0000i 4.0000 - 8.0000i Determinanta Determinanta e matricës kuadratike është numri i cili llogaritet duke përdor operatorin det. Shembull 44: Të llogaritet determinanta A. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> D=det(A) A= 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 D= -27 Nëse është në pyetje matrica me elemente komplekse mundemi njëkohësisht të shfrytëzojmë dy format e shkrimit të matricës . Shembull 45: Shkruani matricën . 25/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  26. 26. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB  1  5i 2  6i  Z   3  7i 4  8i  Matricën e shënojmë ashtu që në formë të veçanta pjesën reale dhe në formë tjetër pjesën , pra i ndajmë pjesën reale nga ajo imagjinare. >> a=[-1, 2; 3, 4] ; b=[5, -6; 7, 8] ; Z=a+b*i Z= -1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i Shembull 46: Shkruaje matricën Z nga shembulli paraprak ashtu që elementet i vendosim menjëherë edhe pjesën reale edhe atë imagjinare. >> Z=[-1+5*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i] Z= -1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i Në shembujt e më sipërm pamë se si bëhet shkruarja e matricave në programin Matlab. Tani do të njihemi me matrica speciale, operacionet me matrica dhe veprimet tjera me matrica Elementet e matricës A të cilat ndodhen në rreshtin e i-së dhe kolonës j-mundë të fitohen me përdorimin e urdhrit A(i,j). Shembull 47: 1 2 3  2 3 1  A    4  5  6   Nga matrica ndaj elementin në rreshtin e dytë dhe kolonën e tretë. >> A=[1 2 3 ; 2 -3 1 ; -4 -5 -6] ; 26/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  27. 27. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB >> A(2 , 3) ans = 1 Nëse dëshirojmë të ndajmë të gjithë rreshtin apo kolonën shfrytëzojmë komandën A(k,:), A(:,k), ku k paraqet rreshtin e kërkuar, ose kolonën. Shembull 48: Të caktohet dimensionet e matricës së dhënë A nga shembulli i më sipërm, duke shfrytëzuar urdhrin size. >> size(A) ans = 3 3 Shembull 49: Të caktohet dimensionet e matricës së dhënë A nga shembulli i më sipërm , duke shfrytëzuar urdhrin [m,n]=size(A). >> [m, n]=size(A) m= 3 n= 3 Shembull 50: >> A = [-1,6; 7, 11]; >>B = [2,0,1;-1,7,4; 3,0,1] >>A = [-2 2; 4 1] B= 2 0 1 -1 7 4 3 0 1 27/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  28. 28. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB A= -2 2 4 1 >> C = 2*A C= -4 4 8 2 Shembull 51.: >> A = [5 1; 0 9]; >> B = [2 –2; 1 1]; >> A + B ans = 7 –1 1 10 >> A – B ans = 3 3 –1 8 Shembull 52.a: >> A = [-1 2 0; 6 4 1] A= –1 2 0 6 4 1 >> B = A B= –1 6 2 4 0 1 Shembull 52.b: >> C = [1 + i, 4 -i; 5 + 2*i, 3 -3*i] 28/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  29. 29. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB C= 1.0000 + 1.0000i 4.0000 – 1.0000i 5.0000 + 2.0000i 3.0000 – 3.0000i >> D = C D= 1.0000 – 1.0000i 5.0000 – 2.0000i 4.0000 + 1.0000i 3.0000 + 3.0000i Shembull 52.c: >> A = [12 3; –1 6]; B = [4 2; 9 1]; >> C = A.*B C= 48 6 –9 6 Shembull 52.d: >> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6]; >> A.*B ans = 6 4 5 12 >> A*B ans = 11 14 13 16 Shembull 52.f: >> A = [1 4; 8 0; –1 3]; B = [–1 7 4; 2 1 –2]; >> C = A*B C= 7 11 –4 –8 56 32 7 –4 –10 29/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  30. 30. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shembull 52.g: >> A = [1 2 3 4]; >> b = 2; >> C = b + A C= 3 4 5 6 Shembull 52.h: >>A = [2 4 6 8]; B = [2 2 3 1]; >> C = A./B C= 1 2 2 8 >> C = A.B C= 1.0000 0.5000 0.5000 0.1250 Shembull 52.i: >> B = [2 4; -1 6] B= 2 4 –1 6 >> B.^2 ans = 4 16 1 36 Shembull 53: 30/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  31. 31. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Caktimi i anëtarit te matricës >> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> A(2,3) ans = 6 >> A(:,2) ans = 2 5 8 >> A(:,2:3) ans = 2 3 5 6 8 9 >> A(2:3,1:2) ans = 4 5 7 8 Matrica inverse 31/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  32. 32. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB 1 A 1  adjA Nga definim matematikë det( A) . 1 Matrica inverse A , matrica e dhënë A në MATLAB caktohet me ndihmën e operatorit inv(A). Shembull 54: Gjeni matricën inverse, të matricës së dhënë A. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A ; Ai=inv(A) Ai = -0.8519 0.1111 -0.4074 -0.2963 -0.2222 -0.1852 0.8148 0.1111 0.2593 Fuqizimi i matricës Nëse A matricë kuadratike , kurse p numër i plotë pozitiv, fuqizimin e matricës mundë A p  1 4 4 2 4 43 AAAAL AAAA p ta definojmë në formën vijuese: . p Për matrica rregullare (determinanta e ndryshueshme prej zeros) A, vlen A  A 1 .  p Fuqizimi i matricave kuadratike realizohet me ndihmën e operatorit ^ , ashtu që ^ ^ shprehja A p dhe A ( p) jep p -në dhe  p -në shkallën e matricës A . Shembull 55: 2 2 Për matricën rregullare A të caktohet A , A dhe të vërtetohet a vlen A  A  I , ku 2 2 I matrica njësi me dimensione të njëjta sikurse matrica A. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> J=A^2 , M=A^(-2) , I=J*M J= -7 -19 -13 -8 8 -3 10 37 19 32/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  33. 33. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB M= 0.3608 -0.1646 0.2209 0.1674 -0.0041 0.1139 -0.5158 0.0947 -0.2853 I= 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 Pjesëtimi i matricave Në llogaritjet për matrica operacioni i pjesëtimit nuk është i definuar kurse në MATLAB ekzistojnë dy operator për pjesëtim: nënkupton “pjesëtim ” nga e majta / nënkupton “pjesëtim ” nga e djathta Le të jetë A matricë rregullare kuadratike A B  A1 * B A / B  B * A1 Rezultati fitohet direkt, pa llogaritjen e matricës inverse. Shembull 56: Në shembullin e ardhshëm mundë të shohim ndryshimin në mesë operatorit “pjesëtimi” nga e majta dhe nga e djathta /. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6], B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6], B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1] >> A , B , K=AB , K1=A/B A= 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 B= 2 3 -4 1 -1 1 33/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  34. 34. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB 3 2 -1 K= -2.8148 -3.4815 3.9259 -1.3704 -1.0370 1.1481 2.5185 2.8519 -3.4074 K1 = -2.2000 -3.0000 2.8000 0.9000 3.5000 -1.1000 4.6000 6.0000 -6.4000 1 Po theksojmë se X=AB (X= A B) paraqet zgjedhjen e ekuacionit AX=B, kurse 1 X=A/B (X=B A ), paraqet zgjedhjen e ekuacionit XA=B. Shembull 57: Të zgjidhet ekuacioni i matricës AX=B. 1 2 3 1  A  2 3 1  B 2       4  5  6   dhe   2  . Ku matricat e dhëna janë: 1 (vërejtje : AX  B  X  A B ) >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>B=[1; 2; -2] >> A ; B ; X=inv(A)*B X= 0.1852 -0.3704 0.5185 %Ose forma tjetër >> X=AB X= 0.1852 -0.3704 0.5185 Shembull 58: 34/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  35. 35. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Të pjesëtohet matrica A me skalarin 2, nga ana e majta dhe e djathta . % pjesëtimi nga ana e majtë >> A2 ??? Error using ==> Matrix dimensions must agree. % pjesëtimi nga ana e djathtë >> A/2 ans = 0.5000 1.0000 1.5000 1.0000 -1.5000 0.5000 -2.0000 -2.5000 -3.0000 Shembull 59.a: Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [12 3; -1 6]; B = [4 2; 9 1]; >> C = A.*B C= 48 6 -9 6 Shembull 59.b: Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6]; >> A.*B ans = 6 4 5 12 Shembull 59.c: 35/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  36. 36. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6]; >> A*B ans = 11 14 13 16 Shembull 60: Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [1 4; 8 0; -1 3]; B = [-1 7 4; 2 1 -2]; >> C = A*B C= 7 11 –4 –8 56 32 7 –4 –10 Ekuacionet algjebrike dhe transandente Shembull 61.a: Të zgjidhet ekuacioni x+5=0 duke përdor urdhrin (solove). % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> eq1=x+5=0; >> solve(eq1) ans = -5 Shembull 61.b: % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> solve(x+5=0) 36/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  37. 37. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB >> syms x ans = -5 Shembull 61.c: >> % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> solve(x+5) ans = -5 Shembull 61.d: >> % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> syms x >> x=solve(x+5) x= -5 Shembull 62: Të zgjidhet ekuacioni e 2 x  3e x  54 >> solve(exp(2*x)+3*exp(x)=54) ans = log(6) log(9)+i*pi Shembull 64: Të zgjidhet ekuacioni y2  3y  2  0 >> eq2=y^2+3*y+2=0; 37/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  38. 38. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB >> solve(eq2) ans = [-2] [-1] Zgjidhja do të jetë për y1=-2 dhe y2=-1 Shembull 65: >> eq3=x^2+9*y^4=0‘; >> solve(eq3) % Note that x is presumed to ve the unknown variable ans = [3*i*y^2] [-3*i*y^2] 38/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  39. 39. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Paraqitjet grafike funksionet me një të panohur Njëra ndër përparësitë ndoshta më të mëdha të programit Matlab është mundësia shumë e madhe e paraqitjeve grafike. Në Programin Matlab ekzistojnë shumë komanda përmes së cilave paraqiten format grafike e të dhënave 2D ose 3D. Forma grafike e fituara mundë të ruhen në formate të tilla ashtu që mundë të ruhen dhe të përdoren ne programet tjera. MATLABI posedon mundësi të mëdha të paraqitjeve grafike. Urdhri bazikë për vizatimin është plot. Mënyra më e lehtë e paraqitjes grafike në boshtin kordinativ është shfrytëzimi i i urdhrit plot(x). Me rastin e vizatimit bëhet hapja e dritarja për grafikë në të cilën vlejnë të gjitha rregullat sikurse edhe në dritaret e sistemit operativ Windows. Lista e urdhrave dhe funksioneve të shfrytëzuar plot vizatimi linear zplot grafiku i funksionit fplot grafiku i funksionit subplot ndarja në pjesë e dritares grafike figure dritarja për vizatim title emërtimi i grafikut xlabel teksti nën boshtin x ylabel teksti nën boshtin y zlabel teksti nën boshtin z text përshkrimi tekstual gtext vendosja e tekstit me prekjen me mi grid rrjeta hold on mbajtja e grafikut (figurës) në dritare hold off heqja e grafikut (figurës ) nga dritarja syms definohet ndryshorja simbolike meshgrid Shfrytëzohet për vizatim tre dimensional 39/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  40. 40. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shembull 66: Të vizatohet vektori me koordinatat e dhëna . >> x=[1,2,4,8,16]; >> plot(x) 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Nga ky shembull mundemi të shohim se MATLABI për vlera të ndryshores x ka fituar shumë vlera, kurse grafiku ka vlerat e x-it njashtu pikat e grafikut të vizatuar kanë koordinatat      1, x 1 , 2, x  2   .... Në rastin e përgjithshëm urdhri plot(x) vizaton grafikë duke i lidhë pikat (i, x(i)), i=1, 2, 3,…, N, ku N gjatësia e vektorit. Vlerat e ndryshores mundë të jepen në formë të pa mvarura. Në këtë rast shfrytëzohet urdhri plot(x,y). 40/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  41. 41. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shembull 67: Të vizatohet vekori me koordinatat e dhëna. x=[1,2,4,8,16]; >> x=[1,2,4,8,16]; >> plot(x) >> x=[1 2 3 4 5]; >> y=[-2,3,4,-5,6]; >> plot(x,y) Figura 7. 1 Shembull 68: 2 Të paraqitet grafikisht funksioni y  x sin xx  në kufijtë e dhënë. - >> x=-4:.1:4; >> y=x.*sin(pi*x).^2; >> plot(x,y) 41/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  42. 42. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Vrejtje: Në sistemin e njëjtë kordinativ mundë të vizatohen më shumë funksione. Shembull 69: x Të paraqitet grafikisht funksioni y  2 x dhe y  xe në sistemin e njëjtë kordinativ >> x1=-1:1:1;y1=2*x1; >> x2=-1:.1:1;y2=x2.*exp(x2); >> plot(x1,y1,x2,y2) 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 42/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  43. 43. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Forma e paraqitjes dhe vijave mundë të përdorin urdhrin plot. Për caktimin e llojit të vijave dhe formën mundë të shfrytëzojmë urdhrin plot(x,y,lloji i vijave). Tabela 7. 1 Mundëson zgjedhjen e llojit të vijave. Simboli I vijave pershkrimi . Pika o rrethi h h-shenja + plusi * ylli - Vija e plotë -. pikë – vijë : dypika -- Vija me ndërprerje Tabela 7. 1 Tabela 7. 2 Mundëson zgjedhjen e llojit të ngjyrës së vijës. Tabela me anën e e së cilës mundemi të caktojm ngjyrat e lakoreve në Matlab. Ngjyra Simboli Bardhe w E zeze k E kalter b E kuqe r E verdhe y vjollce c E gjelber g Tabela 7. 2 Shembull 70: Nëse shfrytëzojmë shembullin 69 dhe vendosim për llojin e vijave dhe ngjyrën e tyre. >> x1=-1:1:1;y1=2*x1; >> x2=-1:.1:1;y2=x2.*exp(x2); >> plot(x1,y1,g,x2,y2,r+) 43/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  44. 44. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Për paraqitje grafike të funksioneve mundemi ta shfrytëzojmë edhe urdhrin fplot(f,xmin,xmax). f  x Funksionin që e vizatojmë ka formën , ku x është vektor ku elementi i parë xmin, kurse elementi i fundit xmax. Në urdhrin fplot funksioni jepet me shkurtesën f . Shembull 71: 2 Të paraqiten grafikisht funksioni y  x  9 në domenin [-3 , 3]. >> f=x^2-9; >> fplot(f,[-3,3]) 44/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  45. 45. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -3 -2 -1 0 1 2 3 Urdhri ezplot mundëson vizatatimin e funksioneve në domenin e definuar: 2  x  2 . f  f  x , y Për vizatimin e funksioneve të dhëna implicite përdorim urdhrin ezplot(f). Me këtë urdhër vizatohet grafiku i funksionit  f x, y  0 në domenin fikës 2  x  2 dhe 2  y  2 . Nëse është e nevojshme të ndërrohet domeni i funksionit atëherë mundë të nderohet dhe urdhri ka formën ezplot(f,[a,b]). Me këtë urdhër vizatohet grafiku i funksionit   në f x intervalin a  x  b . Urdhri ezplot(f,[a,b]) bën vizatimin e grafikut të funksionit  f x, y  0 në domenin a  x  b dhe a  y  b. Shembull 72: x Të vizatohet grafiku i funksionit y  xe . >> y=x*exp(x);ezplot(y) 45/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  46. 46. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB x exp(x) 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 x Vrejtje: Mënyra tjetër që simbolikisht ta paraqesim funksionin është që së pari definojmë ndryshoret e pa varura x si ndryshore simbolike duke shfrytëzuar urdhrin syms. Shfrytëzimin e këtij urdhri mundë ta shohim në shembullin e më poshtëm. Shembull 73: Të vizatohet grafiku i funksionit nga shembulli i më sipërm duke përdor urdhrin sym. >> syms x >> y=x*exp(x);ezplot(y) 46/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  47. 47. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB x exp(x) 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 x Shembull 74: Të vizatohet grafiku i funksionit implicit . x2 y2  1 2 4 . >> ezplot(x^2/2+y^2/4-1) x 2/2+y 2/4-1 = 0 6 4 2 0 y -2 -4 -6 -6 -4 -2 0 2 4 6 x 47/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  48. 48. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shënimet në boshtet e grafikut Programi Matlab mundëson vendosjen e shënimeve në boshte si tekste të ndryshme dhe forma të ndryshme të paraqitjes plotësuese me qëllim të sqarimeve më të mira. Disa nga ato janë paraqitur në tabelën 7. 3. shënjimi përshkrimi title Emri i grafikut xlabel Emri i boshtit x ylabel Emri i boshtit y text Emetimi i tekstit në grafikë Teksti në pozicionin e vendosjes së gtext miut grid Vizatimi i vijave të rrjetës Tabela 7. 3 Teksti në urdhëratë e lartshënuara (tabelë) futet në kllapa dhe mbyllet në shojza . Urdhri hold on e mbanë foton në ekran. E kundërta me atë është urdhri hold off . Shembull 75: Të vizatohet grafiku i funksionit y  sin x dhe të shfrytëzohen urdhëratë nga tabela 3 >> syms x >> y=sin(x); >> ezplot(y) >> hold on >> title(sinus) >> xlabel(boshti x) >> ylabel(boshti y) >> text(0,0,zero) >> gtext(max) >> grid 48/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  49. 49. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB sinus 1 0.5 boshti y 0 zero -0.5 -1 -6 -4 -2 0 2 4 6 boshti x Shembull 76: 2 2 Të vizatohet grafiku i funksionit y  a  x . >> x=-5 : .5 : 5; >> a=1 : 5; >> [xx , aa]=meshgrid(x .^ 2 , a .^ 2); >> plot(x , xx-aa , k) 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 49/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  50. 50. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Me shfrytëzimin e urdhrit meshgrid i cili transformon vektorin x dhe y në fusha dy dimensionale të cilat mundë të shfrytëzohen për vizatimin edhe në fusha tre dimensionale Urdhri subplot(m,n,p) nderon dimensionin e grafikut e cila mundëson në formimin e më shumë grafikeve në dritare. Dritarja ndahet në m  n pjesë, kurse grafiku vizatohet në përpjesën p të ndarjes së dritares. Shembull 77: Me shfrytëzimin e urdhrit subplot të vizatohet grafiku i katër funksioneve: y1=x1 y2=x2*exp(x2) y3=cos(x3) z=exp(x4*i) Zgjidhje >> x1=-1:1:1;y1=x1; >> x2=0:0.5:1;y2=x2.*exp(x2); >> x3=-pi:pi;y3=cos(x3); >> x4=0:pi/8:2*pi;z=exp(x4*i); >> subplot(221), plot(x1,y1) >> subplot(222), plot(x2,y2) >> subplot(223), plot(x3,y3) >> subplot(224), plot(z) 1 3 0.5 2 0 1 -0.5 -1 0 -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -0.5 -1 -1 -4 -2 0 2 4 -1 -0.5 0 0.5 1 50/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  51. 51. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Paraqitjet grafike e funksioneve të ndryshme. Shembull 78: Të paraqesim funksionin y=sin(x) për x prej 0 deri 2  . Së pari duhet të definohet numri i pikave në intervalin 0 dhe 2  . >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> plot ( x, y ) Pas së cilës paraqitet grafiku i më poshtëm. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Shembull 79: 2 y=x në intervalin prej -2 deri 2. >> x = -2 : 0.01 : 2 ; >> y=x.^2 ; >> plot ( x , y ) 51/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  52. 52. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Shembull 80: Me shfrytëzimin e komandës plot mundë ti paraqesim funksionet për më shumë funksione. y=sin ( x ); z=cos ( x ); >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> z=cos ( x ); >>plot ( x, y, x, z ) 52/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  53. 53. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Shënimi i grafikës dhe boshteve duke përdor urdhrat : title, xlabel dhe ylabel Shembull 81: >> x=-4*pi : pi/100 : 4*pi ; >> y=sin ( x ); >> plot ( x , y ) >> title ( Grafiku i funksionit y=sin ( x ) ) >> xlabel ( vlera e ndryshores x ) 53/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  54. 54. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Grafiku i funksionit y=sin ( x ) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -15 -10 -5 0 5 10 15 vlera e ndryshores x Shembull 82: Të vizatohet grafiku me pika në vendet e prerjes >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> plot ( x , y , x , y , + ) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Në shembujt e deritanishëm grafiku është paraqitur në një ekran të plotë, por ka mundësi që të paraqiten më shumë forma grafike të ndryshme në më shumë ekrane (maksimalisht 4) për çka përdoret komanda subPLOT. Forma e përgjithshme e kësaj komande është subplot(mnp). 54/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  55. 55. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Forma tre dimensionale e grafikut Siç thamë më lartë funksionet grafike në Matlab mundë të paraqiten edhe në formë 3D Shembull 83: Të paraqitet grafikisht funksioni Z=cos(x)sin(x) >> [x,y] = meshgrid(-2*pi:0.1:2*pi); >> z = cos(x).*sin(y); >> mesh(x,y,z),xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z) 1 0.5 0 z -0.5 -1 10 5 10 0 5 0 -5 -5 y -10 -10 x Shembull 84: Të paraqitet grafikisht funksioni Z  ye  x2  y2 >> [x,y] = meshgrid(-2:0.1:2); >> z = y.*exp(-x.^2-y.^2); >> mesh(x,y,z),xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z) >> surf(x,y,z),xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z) 55/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  56. 56. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB 0.5 0 z -0.5 2 1 2 0 1 0 -1 -1 y -2 -2 x Shembull 85: Të paraqesim funksionin y=sin(x) për x prej 0 deri 2  . Së pari duhet të definohet numri i pikave në intervalin 0 dhe 2  . >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >>y=sin ( x ); >>plot ( x, y ) Pas së cilës paraqitet grafiku i më poshtëm. Shembull 86: 2 Ose për shembull funksioni y=x në interval prej -2 deri 2. >>x =-2 : 0.01 : 2 ; >> y=x.^2 ; >> plot ( x , y ) 56/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  57. 57. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shembull 87: Me shfrytëyimin e komandes plot mundë ti paraqesim funksionet për më shumë funksione. >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> z=cos ( x ); >> plot ( x, y, x, z ) 57/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  58. 58. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shembull 88: f (t )  e  t sin( t ) Per kufijt 0 deri në 4 me hap 0,01 Zgjidhje >> t = [0:0.01:4]; >> f = exp(-2*t).*sin(t); >> plot(t, f) 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Shembull 89: Të vizatohen dy funksione f (t )  e  t g (t )  e 2t për intervalin 0 ≤t≤5: Zgjidhje % se pari definohet intervali i perkufizimit >> t = [0:0.01:5]; % pastaj definohen te dy funksionet : >> f=exp(-t); >> g = exp(-2*t); %paraqitja grafike >> plot(t,f,t,g,--) 58/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  59. 59. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Shembull 90: Të definohen funksionet trigonometrike dhe hiperbollike y = sinh(x); z = cosh(x); per kufijte 0<x<2 për hapin 0,01 Zgjidhje % se pari e definojm vlerat per x: >> x = [0:0.01:2]; >> y = sinh(x); >> z = cosh(x); % po paraqesim formen e paraqitjes grafike >> plot(x,y,x,z,-.),xlabel(x),ylabel(Potenciali),legend(sinh(x),cosh(x)) 4 sinh(x) 3.5 cosh(x) 3 2.5 Potenciali 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 59/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  60. 60. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shembull 91: y = sinh(x); z = cosh(x); Për vlera -5<x<5. Zgjidhje >> x = [-5:0.01:5]; >> y = sinh(x); >> z = cosh(x); %forma e paraqitjes se grafikut permes ngjyrave te kuqe >> plot(x,y,r,x,z,b) %forma e paraqitjes se grafikut me nderprerje permes ngjyrave te kalter >> plot(x,y,r,x,z,b--) 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  61. 61. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB Shembull 92: Të paraqitet grafiku për funksionin y = sin(2x + 3) për 0 <x <5. Zgjidhje >> x = [0:0.01:5]; >> y = sin(2*x + 3); >> plot(x,y), axis([0 5 -1 1]) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Shembull 93: x(t) = t y(t) = t2 z(t) = t3 0 ≤ t ≤ 2.0 Zgjidhje >> t = linspace(0, 2,100) ; >> x = t ; y = t.^2 ; z = t.^3; >> plot3(x, y, z), grid 61/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  62. 62. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB 8 6 4 2 0 4 3 2 2 1.5 1 1 0.5 0 0 Shembull 94: Të vizatohet grafiku i funksionit y ( x)  e 0.7 x sin x Nëse w = 15 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. me hap rritje prej 0.1. Zgjidhje >> x = [0 : 0.1 : 15]; >> w = 15; >> y = exp(- 0.7*x).*sin(w*x); >> plot(x, y) >> title(y(x) = e^-^0^.^7^x sinomega x) >> xlabel(x) >> ylabel(y) 62/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)
  63. 63. Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB y(x) = e-0.7x sin x 1 0.8 0.6 0.4 0.2 y 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 0 5 10 15 x Shembull 95: Të vizatohet grafiku i funksionit y ( x)  e 0.6 x cos x Nëse ω =10 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. me hapë të rritjes prej 0.05. Zgjidhje >> x = [0 : 0.1 : 15]; >> w = 10; >> y = exp(- 0.6*x).*cos(w*x); >> plot(x, y) >> title(y(x) = e^-^0^.^6^x cosomega x) >> xlabel(x) >> ylabel(y) 63/224Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

×