Presentación de la axiomática de papiroflexia en 2 dimensiones y su ventaja por sobre la geometría euclidiana

1. “Plegando la regla y el compás”
Matemáticas del Origami
Pierre-Paul Romagnoli
promagnoli@unab.cl
Facultad de Ingenier´a
ı
´
Departamento de Matematicas
´
Universidad Nacional Andres Bello
Papiroflexia– p. 1/2

2. Geometría Plana
La Geometría Plana estudia figuras en un plano
bidimensional como la pantalla en la que se ve
esta presentación. En matemáticas lo notamos
como R2 .
Papiroflexia– p. 2/2

3. Geometría Plana
La Geometría Plana estudia figuras en un plano
bidimensional como la pantalla en la que se ve
esta presentación. En matemáticas lo notamos
como R2 .
En este taller vamos a utilizar 2 Geometrías
Planas diferentes, una de las cuales es conocida
por todos.
Papiroflexia– p. 2/2

4. Geometría Plana
La Geometría Plana estudia figuras en un plano
bidimensional como la pantalla en la que se ve
esta presentación. En matemáticas lo notamos
como R2 .
En este taller vamos a utilizar 2 Geometrías
Planas diferentes, una de las cuales es conocida
por todos.
Geometría Euclidiana
Papiroflexia– p. 2/2

5. Geometría Plana
La Geometría Plana estudia figuras en un plano
bidimensional como la pantalla en la que se ve
esta presentación. En matemáticas lo notamos
como R2 .
En este taller vamos a utilizar 2 Geometrías
Planas diferentes, una de las cuales es conocida
por todos.
Geometría Euclidiana
Geometría del Origami.
Papiroflexia– p. 2/2

6. Un poco de Historia
La Geometría Euclidiana comienza con la obra
“Los Elementos” de Euclides impresa por
primera vez en el año
Papiroflexia– p. 3/2

7. Un poco de Historia
La Geometría Euclidiana comienza con la obra
“Los Elementos” de Euclides impresa por
primera vez en el año 1492!.
Papiroflexia– p. 3/2

8. Un poco de Historia
La Geometría Euclidiana comienza con la obra
“Los Elementos” de Euclides impresa por
primera vez en el año 1492!. Actualmente esta
obra tiene más de 1000 ediciones.
Papiroflexia– p. 3/2

9. Un poco de Historia
La Geometría Euclidiana comienza con la obra
“Los Elementos” de Euclides impresa por
primera vez en el año 1492!. Actualmente esta
obra tiene más de 1000 ediciones.
Euclides se basa en un conjunto de 6
Axiomas.
Papiroflexia– p. 3/2

10. Un poco de Historia
La Geometría Euclidiana comienza con la obra
“Los Elementos” de Euclides impresa por
primera vez en el año 1492!. Actualmente esta
obra tiene más de 1000 ediciones.
Euclides se basa en un conjunto de 6
Axiomas.
Axioma=
Papiroflexia– p. 3/2

11. Un poco de Historia
La Geometría Euclidiana comienza con la obra
“Los Elementos” de Euclides impresa por
primera vez en el año 1492!. Actualmente esta
obra tiene más de 1000 ediciones.
Euclides se basa en un conjunto de 6
Axiomas.
Axioma= Principio o propiedad que se asume y
que es la base de deducción.
Papiroflexia– p. 3/2

12. Un poco de Historia
La Geometría Euclidiana comienza con la obra
“Los Elementos” de Euclides impresa por
primera vez en el año 1492!. Actualmente esta
obra tiene más de 1000 ediciones.
Euclides se basa en un conjunto de 6
Axiomas.
Axioma= Principio o propiedad que se asume y
que es la base de deducción.
Euclides los llamó postulados.
Papiroflexia– p. 3/2

13. Los Axiomas de Euclides
Los ahora famosos cinco postulados de Euclides
son:
Papiroflexia– p. 4/2

14. Los Axiomas de Euclides
1. Dados dos puntos se puede trazar una recta
que los une.
Papiroflexia– p. 4/2

15. Los Axiomas de Euclides
1. Dados dos puntos se puede trazar una recta
que los une.
2. Un segmento cualquiera puede ser
prolongado tanto como se quiera.
Papiroflexia– p. 4/2

16. Los Axiomas de Euclides
1. Dados dos puntos se puede trazar una recta
que los une.
2. Un segmento cualquiera puede ser
prolongado tanto como se quiera.
3. Se puede trazar una circunferencia de centro
en cualquier punto y radio cualquiera.
Papiroflexia– p. 4/2

17. Los Axiomas de Euclides
1. Dados dos puntos se puede trazar una recta
que los une.
2. Un segmento cualquiera puede ser
prolongado tanto como se quiera.
3. Se puede trazar una circunferencia de centro
en cualquier punto y radio cualquiera.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
Papiroflexia– p. 4/2

18. Los Axiomas de Euclides
1. Dados dos puntos se puede trazar una recta
que los une.
2. Un segmento cualquiera puede ser
prolongado tanto como se quiera.
3. Se puede trazar una circunferencia de centro
en cualquier punto y radio cualquiera.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Por un punto exterior a una recta se puede
trazar una única paralela (versión
modificada).
Papiroflexia– p. 4/2

19. Consecuencias de los Postulados de E
Esto quiere decir que en Geometría Euclidiana
podemos construir las figuras usando una regla
y un compás pero:
Papiroflexia– p. 5/2

20. Consecuencias de los Postulados de E
Esto quiere decir que en Geometría Euclidiana
podemos construir las figuras usando una regla
y un compás pero:
Sólo podemos usar una regla sin marcas
Papiroflexia– p. 5/2

21. Consecuencias de los Postulados de E
Esto quiere decir que en Geometría Euclidiana
podemos construir las figuras usando una regla
y un compás pero:
Sólo podemos usar una regla sin marcas (no
se puede medir).
Papiroflexia– p. 5/2

22. Consecuencias de los Postulados de E
Esto quiere decir que en Geometría Euclidiana
podemos construir las figuras usando una regla
y un compás pero:
Sólo podemos usar una regla sin marcas (no
se puede medir).
No podemos dejar fijo el compás
Papiroflexia– p. 5/2

23. Consecuencias de los Postulados de E
Esto quiere decir que en Geometría Euclidiana
podemos construir las figuras usando una regla
y un compás pero:
Sólo podemos usar una regla sin marcas (no
se puede medir).
No podemos dejar fijo el compás (no se
pueden trasladar distancias).
Papiroflexia– p. 5/2

24. Consecuencias de los Postulados de E
Esto quiere decir que en Geometría Euclidiana
podemos construir las figuras usando una regla
y un compás pero:
Sólo podemos usar una regla sin marcas (no
se puede medir).
No podemos dejar fijo el compás (no se
pueden trasladar distancias).
Por ejemplo,
Papiroflexia– p. 5/2

25. Consecuencias de los Postulados de E
Esto quiere decir que en Geometría Euclidiana
podemos construir las figuras usando una regla
y un compás pero:
Sólo podemos usar una regla sin marcas (no
se puede medir).
No podemos dejar fijo el compás (no se
pueden trasladar distancias).
Por ejemplo, ¿Cómo se construye un punto?.
Papiroflexia– p. 5/2

26. Consecuencias de los Postulados de E
Esto quiere decir que en Geometría Euclidiana
podemos construir las figuras usando una regla
y un compás pero:
Sólo podemos usar una regla sin marcas (no
se puede medir).
No podemos dejar fijo el compás (no se
pueden trasladar distancias).
Por ejemplo, ¿Cómo se construye un punto?.
Un punto se construye como la intersección de
dos rectas.
Papiroflexia– p. 5/2

27. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en
Papiroflexia– p. 6/2

28. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Papiroflexia– p. 6/2

29. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
En esta nueva Geometría, el elemento de base
son los pliegues rectos.
Papiroflexia– p. 6/2

30. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Un pliegue es más que una recta puesto que
además de dibujar la recta “colapsa” dos partes
del plano una sobre otra.
Papiroflexia– p. 6/2

31. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Veamos algunos ejemplos:
Papiroflexia– p. 6/2

32. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Veamos algunos ejemplos:
Papiroflexia– p. 6/2

33. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Veamos algunos ejemplos:
Papiroflexia– p. 6/2

34. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Veamos algunos ejemplos:
Papiroflexia– p. 6/2

35. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Veamos algunos ejemplos:
Papiroflexia– p. 6/2

36. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Veamos algunos ejemplos:
Papiroflexia– p. 6/2

37. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Veamos algunos ejemplos:
Papiroflexia– p. 6/2

38. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Veamos algunos ejemplos:
Papiroflexia– p. 6/2

39. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Veamos algunos ejemplos:
Papiroflexia– p. 6/2

40. Un poco más de Historia
Los axiomas de la “Geometría del Origami”
fueron presentados por Humiaki Huzita en un
encuentro en 1989!.
Veamos algunos ejemplos:
Papiroflexia– p. 6/2

41. Comparando las Geometrías
¿Cuál geometría es la más versatil?.
Papiroflexia– p. 7/2

42. Comparando las Geometrías
¿Cuál geometría es la más versatil?.
La respuesta correcta
Papiroflexia– p. 7/2

43. Comparando las Geometrías
¿Cuál geometría es la más versatil?.
La respuesta correcta (pero sorprendente) es
Papiroflexia– p. 7/2

44. Comparando las Geometrías
¿Cuál geometría es la más versatil?.
La respuesta correcta (pero sorprendente) es la
Geometría del Origami!!!.
Papiroflexia– p. 7/2

45. Comparando las Geometrías
¿Cuál geometría es la más versatil?.
La respuesta correcta (pero sorprendente) es la
Geometría del Origami!!!.
Esto se puede “demostrar” de la manera
siguiente:
Papiroflexia– p. 7/2

46. Comparando las Geometrías
¿Cuál geometría es la más versatil?.
La respuesta correcta (pero sorprendente) es la
Geometría del Origami!!!.
Esto se puede “demostrar” de la manera
siguiente:
La Geometría del Origami se define con 6
Axiomas.
Papiroflexia– p. 7/2

47. Comparando las Geometrías
¿Cuál geometría es la más versatil?.
La respuesta correcta (pero sorprendente) es la
Geometría del Origami!!!.
Esto se puede “demostrar” de la manera
siguiente:
La Geometría del Origami se define con 6
Axiomas.
En Geometría Euclidiana sólo se pueden
deducir 5 de estos 6 Axiomas.
Papiroflexia– p. 7/2

48. Comparando las Geometrías
¿Cuál geometría es la más versatil?.
La respuesta correcta (pero sorprendente) es la
Geometría del Origami!!!.
Esto se puede “demostrar” de la manera
siguiente:
La Geometría del Origami se define con 6
Axiomas.
En Geometría Euclidiana sólo se pueden
deducir 5 de estos 6 Axiomas.
Veamos estos Axiomas y sus deducciones
Euclidianas.
Papiroflexia– p. 7/2

49. Axioma 1
Papiroflexia– p. 8/2

50. Axioma 1
Dados dos puntos P1 y P2 existe un sólo pliegue
(o recta) que contiene ambos puntos.
Papiroflexia– p. 8/2

51. Axioma 1
Dados dos puntos P1 y P2 existe un sólo pliegue
(o recta) que contiene ambos puntos.
Papiroflexia– p. 8/2

52. Axioma 1
Dados dos puntos P1 y P2 existe un sólo pliegue
(o recta) que contiene ambos puntos.
En geometría Euclidiana esto se conoce como
Primer Postulado de Euclides.
Papiroflexia– p. 8/2

53. Axioma 2
Papiroflexia– p. 9/2

54. Axioma 2
Dados dos puntos P1 y P2 existe un sólo pliegue
que colapsa ambos puntos (recta que equidista
a los puntos).
Papiroflexia– p. 9/2

55. Axioma 2
Dados dos puntos P1 y P2 existe un sólo pliegue
que colapsa ambos puntos (recta que equidista
a los puntos).
Papiroflexia– p. 9/2

56. Axioma 2
Dados dos puntos P1 y P2 existe un sólo pliegue
que colapsa ambos puntos (recta que equidista
a los puntos).
Basta trazar dos arcos desde los puntos P1 y P2
y aplicar el A1 a las intersecciones de los arcos.
Papiroflexia– p. 9/2

57. Axioma 2
Dados dos puntos P1 y P2 existe un sólo pliegue
que colapsa ambos puntos (recta que equidista
a los puntos).
Papiroflexia– p. 9/2

58. Axioma 3
Papiroflexia– p. 10/2

59. Axioma 3
Dados dos pliegues L1 y L2 existe un sólo
pliegue que colapsa ambos pliegues (recta
bisectriz).
Papiroflexia– p. 10/2

60. Axioma 3
Dados dos pliegues L1 y L2 existe un sólo
pliegue que colapsa ambos pliegues (recta
bisectriz).
Papiroflexia– p. 10/2

61. Axioma 3
Dados dos pliegues L1 y L2 existe un sólo
pliegue que colapsa ambos pliegues (recta
bisectriz).
Sea O la intersección de los pliegues. Desde O
se traza un arco que corta a L1 en A y a L2 en B.
Desde A y B se trazan dos arcos que se
intersectan en C. Aplicando el A1 con O y C se
concluye.
Papiroflexia– p. 10/2

62. Axioma 3
Dados dos pliegues L1 y L2 existe un sólo
pliegue que colapsa ambos pliegues (recta
bisectriz).
Papiroflexia– p. 10/2

63. Axioma 4
Papiroflexia– p. 11/2

64. Axioma 4
Dados un punto P y un pliegue L existe un sólo
pliegue perpendicular a L que contiene a P .
Papiroflexia– p. 11/2

65. Axioma 4
Dados un punto P y un pliegue L existe un sólo
pliegue perpendicular a L que contiene a P .
Papiroflexia– p. 11/2

66. Axioma 4
Dados un punto P y un pliegue L existe un sólo
pliegue perpendicular a L que contiene a P .
Se traza un arco desde P que corta a L en A y
B. Desde A y B se trazan dos arcos del mismo
radio y se aplica el A1 a estas intersecciones.
Papiroflexia– p. 11/2

67. Axioma 4
Dados un punto P y un pliegue L existe un sólo
pliegue perpendicular a L que contiene a P .
Papiroflexia– p. 11/2

68. Axioma 5
Papiroflexia– p. 12/2

69. Axioma 5
Dados dos puntos P1 y P2 y un pliegue L existe
un pliegue que pasa por P1 y colapsa P2 sobre L.
Papiroflexia– p. 12/2

70. Axioma 5
Dados dos puntos P1 y P2 y un pliegue L existe
un pliegue que pasa por P1 y colapsa P2 sobre L.
Papiroflexia– p. 12/2

71. Axioma 5
Dados dos puntos P1 y P2 y un pliegue L existe
un pliegue que pasa por P1 y colapsa P2 sobre L.
Sea A la intersección de un arco de radio P1 P2
con centro P1 con L. Ahora se aplica el Axioma 4
para P1 y la recta que pasa por A y P2 (Axioma
1).
Papiroflexia– p. 12/2

72. Axioma 5
Dados dos puntos P1 y P2 y un pliegue L existe
un pliegue que pasa por P1 y colapsa P2 sobre L.
Papiroflexia– p. 12/2

73. Axioma 6
Papiroflexia– p. 13/2

74. Axioma 6
Dados dos puntos P1 y P2 y dos pliegues L1 y L2
existe un único pliegue que colapsa P1 sobre L1
y P2 sobre L2 .
Papiroflexia– p. 13/2

75. Axioma 6
Dados dos puntos P1 y P2 y dos pliegues L1 y L2
existe un único pliegue que colapsa P1 sobre L1
y P2 sobre L2 .
Papiroflexia– p. 13/2

76. Axioma 6
Dados dos puntos P1 y P2 y dos pliegues L1 y L2
existe un único pliegue que colapsa P1 sobre L1
y P2 sobre L2 .
Esto no se puede hacer con regla y compás!!!
Papiroflexia– p. 13/2

77. Consecuencias
Papiroflexia– p. 14/2

78. Consecuencias
Dentro de las construcciones que no se pueden
lograr con Geometría Euclidiana.
Papiroflexia– p. 14/2

79. Consecuencias
Dentro de las construcciones que no se pueden
lograr con Geometría Euclidiana. Hay dos que
son famosas.
Papiroflexia– p. 14/2

80. Consecuencias
Dentro de las construcciones que no se pueden
lograr con Geometría Euclidiana. Hay dos que
son famosas.
Trisectar un ángulo.
Papiroflexia– p. 14/2

81. Consecuencias
Dentro de las construcciones que no se pueden
lograr con Geometría Euclidiana. Hay dos que
son famosas.
Trisectar un ángulo.
Duplicar el volumen de un cubo.
Papiroflexia– p. 14/2

82. Consecuencias
Dentro de las construcciones que no se pueden
lograr con Geometría Euclidiana. Hay dos que
son famosas.
Trisectar un ángulo.
Duplicar el volumen de un cubo.
Vamos a ver que en Geometría del Origami si es
posible hacer ambas cosas.
Papiroflexia– p. 14/2

83. Trisectando Angulos
Papiroflexia– p. 15/2

84. Trisectando Angulos
Veamos un método para trisectar un ángulo del
primer cuadrante.
Papiroflexia– p. 15/2

85. Trisectando Angulos
Veamos un método para trisectar un ángulo del
primer cuadrante. (Teorema de Abe).
Papiroflexia– p. 15/2

86. Trisectando Angulos
Veamos un método para trisectar un ángulo del
primer cuadrante. (Teorema de Abe).
Para simplificar vamos a considerar que el
ángulo α se forma en la esquina inferior
izquierda de una hoja de papel.
Papiroflexia– p. 15/2

87. Trisectando Angulos
Papiroflexia– p. 16/2

88. Trisectando Angulos
Sea P1 la esquina inferior izquierda. Al plegar la
hoja por la mitad horizontalmente obtenemos un
punto P2 .
Papiroflexia– p. 16/2

89. Trisectando Angulos
Papiroflexia– p. 17/2

90. Trisectando Angulos
Por A3 obtenemos la recta L1 .
Papiroflexia– p. 17/2

91. Trisectando Angulos
Por A3 obtenemos la recta L1 . Por A6 plegamos
P1 sobre L1 y P2 sobre L2 .
Papiroflexia– p. 17/2

92. Trisectando Angulos
Por A3 obtenemos la recta L1 . Por A6 plegamos
P1 sobre L1 y P2 sobre L2 . Al marcar el pliegue
formado por la recta L1 desplazada se obtiene
una recta que divide a α en proporción 2 a 1.
Papiroflexia– p. 17/2

93. Trisectando Angulos
Papiroflexia– p. 18/2

94. Trisectando Angulos
Para terminar basta bisectar el segundo ángulo
(A3).
Papiroflexia– p. 18/2

95. Intermedio: Trisectando Segmentos
Papiroflexia– p. 19/2

96. Intermedio: Trisectando Segmentos
Antes de mostrar como duplicar el volumen de
un cubo vamos a ver como resolver un problema
que si se puede resolver con regla y compás.
Papiroflexia– p. 19/2

97. Intermedio: Trisectando Segmentos
Queremos cortar un segmento en tres partes
iguales.
Papiroflexia– p. 19/2

98. Intermedio: Trisectando Segmentos
Queremos cortar un segmento en tres partes
iguales. Por simplicidad vamos a comenzar con
una hoja cuadrada de lado l.
Papiroflexia– p. 19/2

99. Intermedio: Trisectando Segmentos
Queremos cortar un segmento en tres partes
iguales. Por simplicidad vamos a comenzar con
una hoja cuadrada de lado l.
Papiroflexia– p. 19/2

100. Intermedio: Trisectando Segmentos
Queremos cortar un segmento en tres partes
iguales. Por simplicidad vamos a comenzar con
una hoja cuadrada de lado l.
Si llevamos la esquina inferior derecha al punto
medio del lado superior del cuadrado.
Papiroflexia– p. 19/2

101. Intermedio: Trisectando Segmentos
Papiroflexia– p. 20/2

102. Intermedio: Trisectando Segmentos
Tenemos que el trazo del lado izquierdo del
cuadrado que no quedo cubierto es 2 del lado
3
del cuadrado. Papiroflexia– p. 20/2

103. Intermedio: Trisectando Segmentos
Papiroflexia– p. 21/2

104. Intermedio: Trisectando Segmentos
Un esquema de la demostración viene dado por
la siguiente figura
Papiroflexia– p. 21/2

105. Intermedio: Trisectando Segmentos
Un esquema de la demostración viene dado por
la siguiente figura
Papiroflexia– p. 21/2

106. Duplicando el Volumen del Cubo
Papiroflexia– p. 22/2

107. Duplicando el Volumen del Cubo
Como antes comenzamos con una hoja
cuadrada que representa la base de un cubo.
Papiroflexia– p. 22/2

108. Duplicando el Volumen del Cubo
Sabemos como dividir en tres segmentos iguales
un lado del cuadrado.
Papiroflexia– p. 22/2

109. Duplicando el Volumen del Cubo
Sabemos como dividir en tres segmentos iguales
un lado del cuadrado.
Papiroflexia– p. 22/2

110. Duplicando el Volumen del Cubo
Sabemos como dividir en tres segmentos iguales
un lado del cuadrado.
Sean P1 , P2 , L1 y L2 como en la figura. Si
plegamos P1 sobre L1 y P2 sobre L2 .
Papiroflexia– p. 22/2

111. Duplicando el Volumen del Cubo
Papiroflexia– p. 23/2

112. Duplicando el Volumen del Cubo
Obtenemos lo siguiente:
Papiroflexia– p. 23/2

113. Duplicando el Volumen del Cubo
Obtenemos lo siguiente:
Papiroflexia– p. 23/2

114. El Teorema de Pitágoras
Papiroflexia– p. 24/2

115. El Teorema de Pitágoras
No podemos terminar sin demostrar el Teorema
de Pitágoras.
Papiroflexia– p. 24/2

116. El Teorema de Pitágoras
Comenzamos con una hoja cuadrada y un punto
A cualquiera del lado superior.
Papiroflexia– p. 24/2

117. El Teorema de Pitágoras
Comenzamos con una hoja cuadrada y un punto
A cualquiera del lado superior.
Papiroflexia– p. 24/2

118. El Teorema de Pitágoras
Comenzamos con una hoja cuadrada y un punto
A cualquiera del lado superior.
Marcamos los puntos donde colapsa A al
realizar los pliegues indicados.
Papiroflexia– p. 24/2

119. El Teorema de Pitágoras
Papiroflexia– p. 25/2

120. El Teorema de Pitágoras
Esto nos la siguiente figura:
Papiroflexia– p. 25/2

121. El Teorema de Pitágoras
Esto nos la siguiente figura:
Papiroflexia– p. 25/2

122. El Teorema de Pitágoras
Esto nos la siguiente figura:
Al plegar las esquinas del cuadrado con los
pliegues azules tendremos finalmente.
Papiroflexia– p. 25/2

123. El Teorema de Pitágoras
Papiroflexia– p. 26/2

124. El Teorema de Pitágoras
FIN
Papiroflexia– p. 26/2