Caro Professor,Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes darede estadual de ensino....
GABARITO                     Caderno do Aluno de Matemática – 3ª série – Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 A GEOMETRIA E...
1     b) m = –       eh=5                  27.     a) concorrentes (m1 ≠ m2)     b) paralelas (m1 = m2)8.     a) A(–5; –5 ...
10.  a) Calculando as inclinações dos segmentos AB e CD, notamos que elas são iguais:             82                     ...
Basta lembrar que as diagonais do paralelogramo se cruzam no ponto médio de cada     uma delas, e achar o ponto médio de A...
c) d AB  (3  0) 2  (7  0) 2  9  49  58 u                        2             2                  13   1        ...
inclinações dos segmentos determinados por esses quatro pontos médios, e verificar   que elas são iguais duas a duas. Conv...
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2     A RETA, A INCLINAÇÃO CONSTANTE E A     PROPORCIONALIDADEPáginas 16 - 211. O aumento de y se...
3.     y  mx  h  5  3.2  h  h  1 , a reta terá equação: y = 3x – 1.4.                  7  m.1  h     y  mx  h...
OM: y  3 x6.        A             (0 ; 0 )        (0 ; 4 )          (0 ; – 3 )          (0 ; 7 )           (1 ; 2 )      ...
c) Os pares (x; y) do plano cartesiano que correspondem ao atendimento àprescrição da dieta são os pontos da reta y = 0,15...
Páginas 21 - 231.     a) Sabendo que existe a opção de não plantar todos os 18 alqueires, devemos ter,     então, a soma x...
plano, trata-se da região acima da ou na reta y = 3, à direita da ou na reta x = 5, eabaixo da ou na reta x + y = 18.     ...
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3     PROBLEMAS LINEARES – MÁXIMOS E MÍNIMOSPáginas 24 - 281.     a)     b) O custo fixo é 3 000 ...
c) O custo fixo passará a corresponder a 10% do custo total quando 3 000 = 10%     de (3 000 + 150x), ou seja, quando 3 00...
c) Teremos o custo C menor ou igual a 3 200 na região do primeiro quadrante     situada na reta 5x + 8y = 3 200 ou abaixo ...
4.     a) Como cada pacote de I custa R$ 5,00 e cada pacote de II custa R$ 2,00, o custo     C será igual a 5x + 2y, ou se...
e) Recordemos da Atividade 3 que, para a dieta ser satisfeita, os pares (x; y) devempertencer à região do primeiro quadran...
Todos esses fatos estão reunidos na figura a seguir:Páginas 28 - 301.     a) Cada alqueire de milho renderá 20 000; logo, ...
c) Como cada alqueire de milho requer 20 000 L de água, x alqueires requererão20 000x L; da mesma forma, y alqueires de ca...
e) Os pontos (x; y) que correspondem ao rendimento R1 = 75 000 reais são ospontos da reta r1 de equação 75 000 = 20 000x +...
ponto (4; 4), portanto, o valor de R é o maior possível, respeitadas as condições de x   + y ≤ 8 e 2x + y ≤ 12. Calculando...
b) Analogamente ao item anterior, cada unidade de P1 utiliza 2h de M2 e cada unidade  de P2 utiliza 4h de M2. Logo, x unid...
d) O lucro total L, que resulta da venda de todas as x unidades produzidas de P1 e y  unidades produzidas de P2, é igual a...
                                                                              Para cada valor de L, a expressão L = 40x + ...
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4     CIRCUNFERÊNCIAS E CÔNICAS: SIGNIFICADOS, EQUAÇÕES,     APLICAÇÕESPáginas 35 - 361.     a)  ...
d) A distância entre P1 e P2 é o diâmetro da circunferência, visto que a reta s passa     pelo centro da circunferência. P...
b) Como c =      a 2  b 2 , notamos que, sendo fixado o valor de a, quanto maior for o     valor de b, menor será c, e, p...
2.          x2   y2     a)          1          9    16     b)                               4                        4  ...
Em relação ao sistema ortogonal xOy, é possível mostrar que ao produto x.y = k                                            ...
Página 481.     a) Consideremos a parábola y = k . x2.     Se o foco for o ponto F(0; c), então a diretriz r será a reta y...
1b) Analogamente, se a parábola fosse x = ky2, teríamos: foco (      ;0) e diretriz                                       ...
Página 48Experiência Pessoal.                                      AJUSTES                 Caderno do Professor de Matemát...
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Matemática – 3ª série, 1o bimestre                                                                                        ...
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a existência de dois pontos simetricamente               Um coador de café de plástico pode ilus-     opostos em relação a...
entre as distâncias de um ponto qualquer da hi-                      b2        Ou seja, y – 2 x2 = k.                     ...
Matemática – 3ª série, 1o bimestre                                                                                    -   ...
Parábola        Em geral, quando representamos grafica-            A parábola tem certas propriedades carac-     mente par...
1                                    1                                                            Considerações sobre a av...
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2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito

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2010 volume1 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito

  1. 1. Caro Professor,Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes darede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo detodo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partirde 2010.As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, porleitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, quepostaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Notetambém que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicaçõesmais recentes.Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analiseas diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostasno Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010,utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.Bom trabalho!Equipe São Paulo faz escola. 1
  2. 2. GABARITO Caderno do Aluno de Matemática – 3ª série – Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 A GEOMETRIA E O MÉTODO DAS COORDENADASPáginas 3 - 101. a) d AB  (5  2) 2  (7  3) 2  9  16  25  5 u y 7  3 4 b) m   x 5  2 32. y = 53. x = – 24. Resposta pessoal. Professor, discuta com os alunos as fórmulas e as propriedades que foram envolvidas nos atividades de 1 a 3.5. a) y = x + 3 1 b) y =  x+5 26. a) m = 1 e h = 3 2
  3. 3. 1 b) m = – eh=5 27. a) concorrentes (m1 ≠ m2) b) paralelas (m1 = m2)8. a) A(–5; –5 3 ), B(5; –5 3 ), C(10; 0), D (5; 5 3 ); E(–5; 5 3 ); F (–10; 0); M (0; 0). b) m FE  3 , m DC   3 , m BC  3 , m AM  3 , 3 3 m FA   3 , m ED  0, m AC  , m FB   3 3 5 3 c) AB: (0; –5 3 ), FC: (0; 0); FM: (–5; 0); AE: (–5; 0); BC: (7,5;  ); 2 5 3 DC: (7,5; ); 2 AD: (0; 0)9. a) A(5; 0), B(15; 0), C(20; 5 3 ), D(15; 10 3 ), E(5; 10 3 ), F(0; 5 3 ) b) M(10; 5 3 ) c) m AD  3 , m BE   3 d) AE: (5; 5 3 ), BD: (15; 5 3 ) e) d AD  d BE  d FC  (5  15) 2  (0  10 3 ) 2  100  300  20 u 3
  4. 4. 10. a) Calculando as inclinações dos segmentos AB e CD, notamos que elas são iguais: 82 28 6 mAB = 3 mCD =  3 3 1  4  (2)  2 Logo, AB e CD são paralelos. De modo análogo, mostramos que AD e BC também são paralelos. Resulta, então, que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo. b) d AB  (8  2) 2  (3  1) 2  36  4  2 10 u c) d AC  (8  2) 2  (2  1) 2  36  9  3 5 u d) 4
  5. 5. Basta lembrar que as diagonais do paralelogramo se cruzam no ponto médio de cada uma delas, e achar o ponto médio de AC, por exemplo: x A  xC 1  (2) 1 y A  yC 2  8 1 xM    e yM    5  M ( ; 5) 2 2 2 2 2 2 e) Verificando no desenho, a base de AMD tem comprimento 5 e altura 3; logo a área de AMD é: A b.h 5.3 AMD    7,5 u 2 2 2Páginas 11 - 121. x A  xC 0  (2) y A  y C 0  13 13 13 a) x M    1 e yM     M (1; ) 2 2 2 2 2 2 x B  xC 3  (2) 1 y B  y C 7  13 1 xN    e yN    10  N ( ; 10) 2 2 2 2 2 2 13 10  7 2 7 b) m AB  e m MN  3 1 3  (1) 2 Como as inclinações são iguais, concluímos que os segmentos AB e MN são paralelos. 5
  6. 6. c) d AB  (3  0) 2  (7  0) 2  9  49  58 u 2 2  13   1  49 9 58 d MN  10      (1)     u  2  2  4 4 2 Ou seja, dAB = 2 dMNPáginas 12 - 141. 73 k 7 4 a) Devemos ter mAB = mBC, logo:    k 7  k 9 3 1 4  3 2 b) A área do triângulo ABC será nula quando os três pontos estiverem alinhados, ou seja, quando k = 9. É interessante aproximar essas duas informações: sempre que três pontos estão alinhados, a área do triângulo formado por eles é nula, e vice-versa. c) Vamos construir uma figura para orientar a solução. Por inspeção direta na figura, verificamos que a base AC mede 3 e a altura relativa b  h 3 4 mede 4, logo a área é: AABC    6 u2 2 22. Basta seguir os passos do enunciado: calcular os pontos médios dos quatro segmentos determinados pelos pontos escolhidos arbitrariamente, calcular as 6
  7. 7. inclinações dos segmentos determinados por esses quatro pontos médios, e verificar que elas são iguais duas a duas. Converse com seus colegas e procure verificar que isso vale para qualquer quadrilátero. Em outras palavras, os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer sempre formam um paralelogramo.Desafio!Página 15 Por inspeção direta, notamos que a distância de P até a reta y = 3 é igual a 15 – 3 = 12. Analogamente, notamos que a distância de P até a reta x = 9 é 9 – 2 = 7. Para calcular a distância de P até a reta y = 3x + 1, observando na figura a PB PA semelhança entre os triângulos PAB e MNQ, temos:  QM QN d 8 8 8 10 4 10 Logo,   d   d u 1 3 2  12 10 10 5 7
  8. 8. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 A RETA, A INCLINAÇÃO CONSTANTE E A PROPORCIONALIDADEPáginas 16 - 211. O aumento de y será de 473,5, pois esse valor é a taxa de variação do y para cada unidade do x.2. 8
  9. 9. 3. y  mx  h  5  3.2  h  h  1 , a reta terá equação: y = 3x – 1.4. 7  m.1  h y  mx  h    m  3 e h  4  y  3x  4 16  m.4  h5. a) AB: y = 5, BC: x = 5, CD: y = 0, DA: x = 0, AC: y = -x + 5, BD: y = x b) EF: y = – 3 x + 5 3 , FG: y = 0, GE: y  3 x  5 3 , 9
  10. 10. OM: y  3 x6. A (0 ; 0 ) (0 ; 4 ) (0 ; – 3 ) (0 ; 7 ) (1 ; 2 ) r y = 4 – 3x y = 2x – 5 y = 0,2x + 7 y=– 3x+2 y = 3x + 7 mr 1 –3 2 0,2 = – 3 3 5 mt 1 1 3 1 – –5 – 3 2 3 3 1 A(0; 0) e m = 3 1 1 y= x + h, como a reta passa pela origem (0; 0), h = 0 e temos: y = x 3 3 1 A(0; 4) e m = – 2 1 y= xh, como a reta passa pelo ponto (0; 4), temos: 2 1 1 4   .0  h  h  4  y   x  4 2 2 3 1 7 Nos demais casos, temos, sucessivamente: y = –5x –3, y  x7 e y  x 3 3 37. A: y ≥ 3x + 5 B: y < 5 – 0,5x C: – 3 + 2x ≤ y ≤ 5 + 2x D: 4 – 0,9x ≤ y < 7 – 0,5x E: 4 ≤ y ≤ 4 + x para 0 ≤ x ≤ 7 F:  – 2 x < y ≤  para 0 ≤ x ≤ 58. a) Sendo x a quantidade de gramas de A a ser ingerida, devemos ter x . 0,15 ≥ 75. Concluímos, então, que x ≥ 500, ou seja, devem ser ingeridos no mínimo 500 g do alimento A. b) A quantidade y em gramas de proteína ingerida é uma função da quantidade x em gramas ingerida do alimento A, temos y = 0,15x. 10
  11. 11. c) Os pares (x; y) do plano cartesiano que correspondem ao atendimento àprescrição da dieta são os pontos da reta y = 0,15x tais que x ≥ 500, ou seja, são ospontos à direita da reta x = 500.d) Os pares (x: y) que correspondem a alimentos mais ricos em proteínas do que Asão tais quey > 0,15x, ou seja, ingerindo-se x gramas, a quantidade y de proteínas será maior doque 0,15x; trata-se da região acima da reta y = 0,15x. Como devemos ter a ingestãode, no mínimo, 75g de proteína, então y ≥ 75, e devemos considerar apenas os pontosacima da ou na reta y = 75. 11
  12. 12. Páginas 21 - 231. a) Sabendo que existe a opção de não plantar todos os 18 alqueires, devemos ter, então, a soma x + y menor ou igual a 18, ou seja, x + y ≤ 18. b) Representando no plano cartesiano, obtemos o semiplano abaixo da reta x + y = 18, e mais os pontos da reta x + y = 18; naturalmente, somente faz sentido no problema em questão os pares (x; y) em que temos x ≥ 0 e y ≥ 0. c) Sabendo que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho, temos, então, x  5, no plano, teremos a região à direita da reta x = 5, e abaixo da reta x + y = 18. d) Sabendo que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho e no mínimo 3 alqueires de alfafa, devemos ter, simultaneamente, x + y  18, x ≥ 5 e y ≥ 3; no 12
  13. 13. plano, trata-se da região acima da ou na reta y = 3, à direita da ou na reta x = 5, eabaixo da ou na reta x + y = 18. 13
  14. 14. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 PROBLEMAS LINEARES – MÁXIMOS E MÍNIMOSPáginas 24 - 281. a) b) O custo fixo é 3 000 e o custo variável é 150x, eles são iguais quando: 3 000 = 150x, ou seja, quando x = 20 14
  15. 15. c) O custo fixo passará a corresponder a 10% do custo total quando 3 000 = 10% de (3 000 + 150x), ou seja, quando 3 000 = 0,1(3 000 + 150x) e então, x = 180.2. a) Para termos 2 400 = 5x + 8y, podemos ter x = 0 e y = 300, ou então, y = 0 e x = 480, ou ainda x = 400 e y = 50. Existem infinitos pares de valores de x e de y que satisfazem a relação dada: são os correspondentes aos pontos da reta cuja equação 5x + 8y = 2 400 está representada a seguir: b) Sendo C = 3 200, então temos: 5x + 8y = 3 200. Os pares (x; y) correspondentes situam-se sobre a reta 5x + 8y = 3 200. Quando y = 0, x assume o valor máximo possível: x = 640 Quando x = 0, y assume o valor máximo possível: y = 400 15
  16. 16. c) Teremos o custo C menor ou igual a 3 200 na região do primeiro quadrante situada na reta 5x + 8y = 3 200 ou abaixo dela:3. a) Como cada pacote do alimento I fornece 1,2 mg de vitamina B2, x pacotes de I fornecerão x.1,2 mg de vitamina B2; se cada pacote de II fornece 0,15 mg de B2, então y pacotes de II fornecerão 0,15.y mg de vitamina B2. Logo, ingerindo x pacotes de I e y pacotes de II, a quantidade ingerida de B2 será igual a 1,2x + 0,15y. Para a dieta ser satisfeita, devemos ter 1,2x + 0,15y  6. b) Os pontos (x;y) que satisfazem a relação 1,2x + 0,15y  6 são os pontos do primeiro quadrante que se situam acima da ou na reta 1,2x + 0,15y = 6. Essa reta corta o eixo OX no ponto (5;0) e o eixo OY no ponto (0;40): 16
  17. 17. 4. a) Como cada pacote de I custa R$ 5,00 e cada pacote de II custa R$ 2,00, o custo C será igual a 5x + 2y, ou seja: C = 5x + 2y (C em reais). b) Sendo o custo C1 = 40, os pares (x; y) que satisfazem a relação 40 = 5x + 2y são os pontos da reta r1, representada a seguir. Para representar tal reta, basta notar que quando x = 0, y = 20, e que quando y = 0, x = 8, ou seja, os pontos (0;20) e (8;0) pertencem a r1. c) Os pontos que correspondem ao custo C2 = 60 e C3 = 80 são pontos, respectivamente, das retas r2: 5x + 2y = 60 e r3: 5x + 2y = 80, representadas a seguir. Para representar r2, basta notar que: se x = 0 então y = 30 e se y = 0 então x = 12. Para representar r3, analogamente, temos: x = 0, y = 40; y = 0, x = 16. (As retas r2 e r3 são paralelas, pois têm a mesma inclinação m determinada pelos 5 coeficientes 5 e 2: m = – ) 2 d) Para cada valor fixado de C, a reta C = 5x + 2y corta o eixo OY no ponto C C (0; ); assim, quanto menor o custo, menor o valor de . Podemos observar esse 2 2 fato nos exemplos dos itens anteriores, para C igual a 40, 60 e 80 (reais). 17
  18. 18. e) Recordemos da Atividade 3 que, para a dieta ser satisfeita, os pares (x; y) devempertencer à região do primeiro quadrante situada na reta 1,2x + 0,15y = 6 ou acimadela. Estamos, agora, procurando o par (x; y) que corresponde ao custo mínimo,dentre os pontos da região em que 1,2x + 0,15y ≥ 6.Vamos observar como as retas que traduzem os custos da alimentação, representadasanteriormente, situam-se na região que corresponde à satisfação da dieta.Notamos que:• para os diversos valores do custo, as retas representativas são paralelas 5(inclinação igual a – ); 2• quanto mais baixa for a reta que representa o custo, menor é ele(seu valor determina o ponto em que a reta corta o eixo y, que é (0;C/2);• o ponto mais baixo a que se pode chegar SEM SAIR DA REGIÃO QUESATISFAZ A DIETA (acima ou na reta 1,2x + 0,15y = 6) é o ponto (5; 0);• nesse ponto, o custo será C = 5 . 5 + 2 . 0 = 25, que é o custo mínimo. 18
  19. 19. Todos esses fatos estão reunidos na figura a seguir:Páginas 28 - 301. a) Cada alqueire de milho renderá 20 000; logo, se forem plantados x alqueires, o rendimento será 20 000x. Cada alqueire de cana renderá 15 000; logo, ao se plantar y alqueires de cana, o rendimento será 15 000y. O rendimento total será R = 20 000x + 15 000y. b) Sendo x a quantidade de alqueires a serem plantados de milho e y a quantidade de alqueires plantados de cana, a soma x + y não pode ultrapassar os oito alqueires disponíveis, ou seja; x + y ≤ 8. 19
  20. 20. c) Como cada alqueire de milho requer 20 000 L de água, x alqueires requererão20 000x L; da mesma forma, y alqueires de cana utilizarão 10 000y L de água.Assim, o total de litros de água utilizados será 20 000x + 10 000y, e não poderáultrapassar o limite de 120 000, ou seja:20 000x + 10 000y  120 000. Isso corresponde aos pontos situados abaixo da ou nareta 20 000x + 10 000y = 120 000. Confira a representação a seguir:d) Os pontos do plano que satisfazem simultaneamente as duas restrições são ospontos situados abaixo ou na reta x + y = 8 e abaixo ou na reta 2x + y = 12. Formamo quadrilátero ABCD indicado na representação a seguir. 20
  21. 21. e) Os pontos (x; y) que correspondem ao rendimento R1 = 75 000 reais são ospontos da reta r1 de equação 75 000 = 20 000x + 15 000y, ou seja, simplificando oscoeficientes, 4x + 3y = 15;Os pontos que correspondem ao rendimento R2 = 120 000 são os pontos da reta r2 deequação 120 000 = 20 000x + 15 000y, ou seja, simplificando os coeficientes, 24 =4x + 3y. As duas retas são paralelas e estão representadas a seguir:f) Para cada valor fixado do rendimento R, a reta R = 20 000x + 15 000y corta o Reixo OY no ponto em que x = 0, ou seja, em que y = . Isso significa que 15 000quanto maior o rendimento, mais alta a ordenada do ponto em que a reta que orepresenta corta o eixo y.g) Buscamos agora o ponto da região de viabilidade do problema, ou seja, a que foideterminada no item d, no qual o rendimento total R era o maior possível. O maisalto possível para a reta R = 20 000x + 15 000y cortar o eixo y SEM SAIR DAREGIÃO DE VIABILIDADE corresponde à reta que passa pelo ponto de interseçãodas retas x + y = 8 e 2x + y = 12. Calculando tal ponto, obtemos x = 4 e y = 4. No 21
  22. 22. ponto (4; 4), portanto, o valor de R é o maior possível, respeitadas as condições de x + y ≤ 8 e 2x + y ≤ 12. Calculando o valor de R nesse ponto, obtemos: R = 20 000.4 + 15 000.4, ou seja, R = 140 000 reais. Acompanhe o raciocínio desenvolvido na figura a seguir:Desafio!Páginas 30 - 32a) Cada unidade de P1 utiliza 2h de M1; cada unidade de P2 utiliza 1h de M1; logo, produzindo-se x unidades de P1 e y unidades de P2, a máquina M1 ficará ocupada x.2 + y.1 horas. Como M1 poderá trabalhar no máximo 10 h, devemos ter 2x + 1y  10. Corresponde à região do plano abaixo da ou na reta 2x + y = 10. Gráfico a seguir: 22
  23. 23. b) Analogamente ao item anterior, cada unidade de P1 utiliza 2h de M2 e cada unidade de P2 utiliza 4h de M2. Logo, x unidades de P1 e y unidades de P2 utilizarão 2x + 4y horas de M2, e devemos ter 2x + 4y  16. O gráfico está representado a seguir.c) Trata-se da região do primeiro quadrante situada abaixo das ou nas retas 2x + y = 10 e 2x + 4y = 16; é o quadrilátero A de vértices (0; 0), (5; 0), (0; 4) e (4; 2). Para encontrar o vértice (4; 2), basta achar a interseção das retas 2x + y = 10 e 2x + 4y = 16. Gráfico a seguir: 23
  24. 24. d) O lucro total L, que resulta da venda de todas as x unidades produzidas de P1 e y unidades produzidas de P2, é igual a 40x + 60y, pois cada unidade de P1 gera um lucro de R$ 40,00 e cada unidade de P2 gera um lucro de R$ 60,00. Assim, temos L = 40x + 60y.e) Se o lucro L for igual a 120 reais, temos: 120 = 40x + 60y. Os pontos que satisfazem a essa relação pertencem a uma reta, representada a seguir:f) Queremos agora encontrar o ponto da região A, indicada no item c para o qual o lucro total L seja máximo. A região A é formada pelos pares (x;y) que obedecem a duas restrições inicialmente apresentadas, constituindo, assim, a região de viabilidade para o problema. Para descobrir tal ponto, vamos relacionar o lucro L com a região A. 24
  25. 25.         Para cada valor de L, a expressão L = 40x + 60y representa uma reta; para valores diferentes de L, as retas correspondentes são todas paralelas. Por exemplo, para L = 240, temos 240 = 40x + 60y, que é uma reta que intercepta o eixo x no ponto (6; 0), e o eixo y no ponto (0; 4). Para encontrar o lucro máximo, basta procurar entre as retas paralelas L = 40x + 60y aquela que corta o eixo y o mais alto possível, sem sair da região de viabilidade do problema. Tal reta é a que passa pelo ponto (4; 2); o valor de L correspondente é L = 40 . 4 + 60 . 2 = 280. O lucro total máximo é, portanto, R$ 280,00. 25
  26. 26. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 CIRCUNFERÊNCIAS E CÔNICAS: SIGNIFICADOS, EQUAÇÕES, APLICAÇÕESPáginas 35 - 361. a) ( x  4) 2  ( y  4) 2  4 2  ( x  4) 2  ( y  4) 2  16 y  s   P1    4 4 P2 O  4  x b) A reta s que passa pela origem e pelo centro da circunferência tem inclinação igual a 1, logo, sua equação é y = x. c) Os pontos de interseção da reta s com a circunferência são as soluções do sistema formado pelas equações y = x e (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16. Substituindo y por x na segunda equação, obtemos: ( x  4) 2  ( x  4) 2  16  2( x  4) 2  16  ( x  4) 2  8  x  4  2 2 P1 (4 + 2 2 ; 4 + 2 2 ) e P2 (4 – 2 2 ; 4 – 2 2 ) 26
  27. 27. d) A distância entre P1 e P2 é o diâmetro da circunferência, visto que a reta s passa pelo centro da circunferência. Portanto d(P1P2) = 8 u.Páginas 38 - 401. De fato, se os pontos (x; y’) de uma circunferência de centro na origem e raio a satisfazem a equação x2 + y´2 = a2, os pontos (x; y) da elipse obtida reduzindo todas y` a as ordenadas na proporção de a para b (a > b > 0) são tais que  , ou seja, y b a y’ = y · . b Substituindo este valor de y na equação da circunferência x2 + y2 = a2, obtemos 2  a x2 y2 x   y .   a 2 , de onde resulta: 2  2  1 , que é a equação da elipse. 2  b a b2. a) Observando o triângulo retângulo formado na figura, de hipotenusa a e catetos b e c, concluímos que a2 = b2 + c2. 27
  28. 28. b) Como c = a 2  b 2 , notamos que, sendo fixado o valor de a, quanto maior for o valor de b, menor será c, e, portanto, menor a excentricidade, ou seja, a elipse se aproxima de uma circunferência; quanto menor o valor de b, mais próximo de a é o valor de c e, portanto, maior é a excentricidade, que se aproxima do valor 1, ou seja, a elipse aproxima-se de um segmento de reta.3. x2 y2 x2 y2 x2 y2 a)  2 1   2 1   1 a2 b 13 2 5 169 25 c b) A excentricidade da elipse é e = , sendo c = 13 2  5 2 = 12. Calculando o a 12 valor de e, temos: e =  0,923 . 13 c) Os focos da elipse são os pontos de coordenadas (c; 0) e (–c; 0), ou seja, são os pontos (12; 0) e (–12; 0). d) x2 y2 52 k 2 k 2 169 25 k 2 144 60  1   1       k 169 25 169 25 25 169 169 25 169 13 60  60  Sendo P do primeiro quadrante, segue que: k  y   P 5;  . 13  13  60 e) Podemos calcular a soma das distâncias do ponto P (5; ) até os focos obtidos 13 no item (c). f) Mas sabemos, no entanto, que tal valor será igual a 2a, ou seja, a 26.Páginas 42 - 461. Assíntotas: 2x – 3y = 0 e 2x + 3y = 0 28
  29. 29. 2. x2 y2 a)  1 9 16 b) 4 4 y x y x 3 3 x2 y2  1 9 16 b3. Em relação ao sistema de eixos XOY, em que o eixo Y corresponde à reta y = x,e a b o eixo X corresponde à reta y = x , a equação da hipérbole seria: X.Y = K a (constante). 29
  30. 30. Em relação ao sistema ortogonal xOy, é possível mostrar que ao produto x.y = k b b corresponde o produto: (y – x ).(y  x ) = k. Um indício de tal fato é a a a correspondência: b b Y = 0 corresponde a y – x =0 e X = 0 corresponde a y + x =0 a a (eixo X) (assíntota da hipérbole) (eixo Y) (assíntota da hipérbole) Calculando o produto indicado, temos: b b b2 X.Y = K corresponde a (y – x ) . (y + x ) = k, ou seja, y2 – 2 x 2 = k a a a b2 2 Como a curva passa pelo ponto (a; 0), podemos calcular o valor de k: 02 – a = k, a2 ou seja, k = –b2. b2 2 x2 y 2 Logo, a equação da hipérbole é y2 – x = – b2, de onde obtemos: 2  2  1 . a2 a b4. a) Temos a = 4, b = 3; logo, c = a 2  b 2 = 5. Os focos são os pontos (5; 0) e (–5; 0). A diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até os dois focos é igual a 2a, ou seja, 8. b) Analogamente, a = 5, b = 12 e c = 13. Focos: (13; 0) e (–13; 0) A diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até os dois focos é 2a = 10. c) Nesse caso, os eixos estão invertidos e os focos estão no eixo y. Temos c = 5 2 e os focos (0; 5 2 ) e (0; –5 2 ). A diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até os dois focos é 2a = 10. 30
  31. 31. Página 481. a) Consideremos a parábola y = k . x2. Se o foco for o ponto F(0; c), então a diretriz r será a reta y = –c, pois o ponto (0; 0) pertence à parábola e a distância dele ao foco deve ser a mesma que a distância dele à diretriz. Sendo P (x; y) um ponto qualquer da parábola, a distância de P ao foco deve ser igual à distância até a diretriz, ou seja: d(P, F) = x 2  ( y  c) 2 = y + c = d(P, r). Logo, x2 + (y – c)2 = (y + c)2. Substituindo y por kx2 e efetuando os cálculos, obtemos: x2 + (kx2 – c)2 = (kx2 + c)2  x2 + k2x4 + c2 – 2kx2c = k2x4 + c2 + 2kcx2 x2  x2 – x24kc = 0  c= 2 x . 4k 1 Daí segue que, para a igualdade valer para todo x, devemos ter c = 4k 1 1 Logo, o foco é o ponto (0; ) e a diretriz é a reta y = – 4k 4k 31
  32. 32. 1b) Analogamente, se a parábola fosse x = ky2, teríamos: foco ( ;0) e diretriz 4k 1x=– 4kc) Para uma parábola de equação y = kx2 + h, o foco e a diretriz seriamtransladados na direção do eixo OY de um valor h, ou seja, teríamos 1 1F(0; h + ) e r: y = h – 4k 4k 32
  33. 33. Página 48Experiência Pessoal. AJUSTES Caderno do Professor de Matemática – 3ª série – Volume 1 Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cadapágina. 33
  34. 34. y y P r2 yP m1 = 0 r1 d (P, r) r : y = mx + h yp – yr m 1 yr yr = mxp+h não existe m2 x xp x r1 e r2 perpendiculares (caso particular) d( P; r ) 1 = y yp y r  –  1 + m2 r2 y2 = m2x + h2 yp –  y r d( P; r ) = r1 1 + m2 yp – m . xr – h x d( P; r ) = 1 + m2 y1 = m1x + h1 r1 e r2 perpendiculares: m1 . m2 = –1 Para continuar nosso estudo de Geometria Analítica, três lembretes são importantes. Para calcular a distância de um ponto a Em primeiro lugar, trata-se de uma retoma- uma reta, deixando de lado o caso mais sim- da de modo mais sistemático de um uso dos sis- ples, em que a reta é paralela a um dos eixos, temas de coordenadas que, de fato, já se iniciou podemos explorar a semelhança de triângu- bem anteriormente, na solução de sistemas de los indicada na figura: equações lineares e no estudo das funções.14
  35. 35. Matemática – 3ª série, 1o bimestre - É interessante associar esse fato ao resul- y B tado da Atividade 3, notando que os lados do 7 paralelogramo são os segmentos que unem os pontos médios dos lados dos triângulos em que o quadrilátero inicial se divide quando são tra- 3 A C çadas as suas diagonais. x 1 3 4 Atividade 6 Atividade 5 Calcule a distância do ponto P de coor- Em um sistema de coordenadas qualquer, denadas (2; 15) à reta r nos casos indicadosrepresente quatro pontos de modo a forma- a seguir:rem um quadrilátero ABCD. Pode escolher ascoordenadas à vontade. Analisando o quadri- a) r: y = 3 b) r: x = 9 c) y = 3x + 1látero formado: Vamos fazer uma figura para orientar a solução: a) Calcule os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA. y = 3x + 1 b) Mostre que os quatro pontos médios y obtidos formam um paralelogramo.  N 10 Basta seguir os passos do enunciado: calcular os pontos médios dos quatro segmentos determi- P 3 15 nados pelos pontos escolhidos arbitrariamente, Q 1 M calcular as inclinações dos segmentos determi- d nados por esses quatro pontos médios, e veri- B ficar que elas são iguais duas a duas. Converse 15 – 7 = 8  10 com seus colegas e procure verificar que isso vale para qualquer quadrilátero. Em outras palavras, x=9 os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer sempre formam um paralelogramo. A D 7 y2 = 3 . 2 + 1 = 7 y=3 3 A 1 C 0 2 9 x B 19
  36. 36. Matemática – 3ª série, 1o bimestre - r1 y y = m1 . x + h1 h m r3 –3 –2 y = m2 . x + h2 r2 r4 –1 5 ∙∙∙ r5 3 ∙∙∙ –7 0 x r6 – ∙∙∙ 5 6,4 m1 ≠ m2 r1 e r2 concorrentes r7 π 0 r8 –0,5 – ∙∙∙ 7 Para a familiarização com tais fatos sãoapresentados a seguir alguns exercícios. Asquestões formuladas são simples, mas repre- r9 –0,8 πsentam conhecimentos fundamentais. Comos valores de h e m, podemos escrever direta- Um esboço das nove retas, destacando-se osmente a equação da reta (Atividade 1). Tam- valores relativos dos coeficientes m e h, ébém podemos facilmente escrever a equação indicado a seguir:da reta que passa por um ponto dado, com r6inclinação dada, ou que passa por dois pontos y y = –  + 6,4x 5dados (Atividades 2 e 3). r9 y = – 0,8 + πx y = –1 +  x 5 Atividade 1 r4 Represente no plano cartesiano as retasr1 a r9 correspondentes aos valores de h e m r7 y=πtabelados abaixo: x r3 y = – 3 – 2x h m r2 y = 3 – 2x r1 0 5 r1 r5 y = 5x y =  – 7x 3 r2 3 –2 y = – 0,5 –  x 7 r8 23
  37. 37. c) Qual a relação entre x e y que traduz a Os pontos do plano que satisfazem simulta- exigência de que o total de água a ser neamente as duas restrições são os pontos utilizado não pode superar os 120 000L? situados abaixo ou na reta x + y = 8, e abai- Represente no plano cartesiano os pon- tos (x; y) que satisfazem essa relação. xo ou na reta 2x + y = 12. Formam o qua- drilátero ABCD indicado na representação Como cada alqueire de milho requer 20 000L a seguir. de água, x alqueires requererão 20 000x L; da mesma forma, y alqueires de cana utilizarão 10 000y L de água. Assim, o total de litros y de água utilizados será 20 000x + 10 000y, e 12 não poderá ultrapassar o limite de 120 000, ou seja: 20 000x + 10 000y ≤ 120 000. Isso corresponde aos pontos situados abaixo da 2x + y = 12 reta ou na reta 20 000x + 10 000y = 120 000. 8A Confira a representação: y B 12 x+y=8 2x + y = 12 D C 0 6 8 x e) Determine o conjunto dos pontos 2x + y ≤ 12 (x; y) do plano que correspondem ao rendimento R1 = 75 000 reais e os que correspondem ao rendimento 0 6 8 x R2 = 120 000 reais. Os pontos (x; y) que correspondem ao rendi- Para representar a reta, podemos simplificar mento R1 = 75 000 reais são os pontos da reta os coeficientes, obtendo 2x + y = 12. r1 de equação 75 000 = 20 000x + 15 000y, ou seja, simplificando os coeficientes, ff para x = 0, temos y = 12; 4x + 3y = 15. ff para y = 0, temos x = 6. Os pontos que correspondem ao rendimento R2 = 120 000 são os pontos da reta r2 de equa- d) Represente no plano cartesiano o con- ção 120 000 = 20 000x + 15 000y, ou seja, junto dos pontos que satisfazem simul- taneamente as duas exigências expressas simplificando os coeficientes, 24 = 4x + 3y. nos itens b e c (lembrando que devemos As duas retas são paralelas e estão represen- ter x ≥ 0, y ≥ 0). tadas a seguir:38
  38. 38. Matemática – 3ª série, 1o bimestre - sem sair da região de viabilidade corresponde y à reta que passa pelo ponto de interseção das 12 retas x + y = 8 e 2x + y = 12. Calculando tal ponto, obtemos x = 4 e y = 4. No ponto (4; 4), 2x + y = 12 R2 = 120 000 portanto, o valor de R é o maior possível, res- A peitadas as condições de x + y ≤ 8 e 2x + y ≤ 12.R1 = 75 000 Calculando o valor de R nesse ponto, obtemos: R = 20 000.4 + 15 000.4, ou seja, R = 140 000 5 B reais. Acompanhe o raciocínio que foi feito na figura abaixo: x+y=8 D C 0 15   ​  4 ​ ___    6 8 x fora da região y da viabilidade Rmáximo 12 r1: 4x + 3y = 15 r2: 4x + 3y = 24 x = 0 ⇒ y = 5 x=0⇒y=8 R2 = 120 000 15 A 2x + y = 12 y=0⇒x= y=0⇒x=6 4 R1 = 75 000 f) Mostre que, quanto maior o rendimento R, maior a ordenada do ponto em que a 5 B reta que o representa corta o eixo OY. 4 x+y=8 Para cada valor fixado do rendimento R, a D 4 C reta R = 20 000x + 15 000y corta o eixo 0 15   ​  4 ​ ___    6 8 x OY no ponto em que x = 0, ou seja, em que R y= . Isso significa que quanto maior o 15 000 Atividade 6 rendimento, mais alta a ordenada do ponto em Uma fábrica utiliza dois tipos de máquinas, que a reta que o representa corta o eixo y. M1 e M2, para produzir dois tipos de produtos, g) Determine o ponto da região do item P1 e P2. Cada unidade de P1 exige 2 h de tra- d que corresponde ao rendimento total balho de M1 e 2 h de M2; cada unidade de P2 máximo. exige 1 h de trabalho de M1 e 4 h de M2. Sabe- Buscamos agora o ponto da região de viabi- se que as máquinas M1 e M2 podem trabalhar lidade do problema, ou seja, que foi deter- no máximo 10 h por dia e 16 h por dia, respec- minado no item d, no qual o rendimento total tivamente, e que o lucro unitário, na venda de R é o maior possível. O mais alto possível para P1, é igual a 40 reais, enquanto na venda de P2, a reta R = 20 000x + 15 000y cortar o eixo y o lucro unitário é de 60 reais. Representando 39
  39. 39. Matemática – 3ª série, 1o bimestre - d) Qual a expressão do lucro total L que viabilidade para o problema. Para desco- resulta da venda de todas as unidades brir tal ponto, vamos relacionar o lucro L produzidas de P1 e P2? com a região A. O lucro total L, que resulta da venda de todas as x unidades produzidas de P1 e y unidades produzidas de P2, é igual a 40x + 60y, pois y cada unidade de P1 gera um lucro de 40, e cada unidade de P2 gera um lucro de 60. As- sim, temos L = 40x + 60y. Lucro crescente e) Represente os pontos do plano que cor- 10 respondem a um lucro total igual a 120 reais. 2x + y ≤ 10 Se o lucro L for igual a 120 reais, temos: Lmáximo 120 = 40x + 60y. Os pontos que satisfazem L = 240 a essa relação pertencem a uma reta, repre- sentada a seguir: L = 120 2 A 2x + 4y ≤ 16 y x 3 4 5 6 82 Para cada valor de L, a expressão L = 40x 120 = 40x + 60y + 60y representa uma reta; para valores diferentes de L, as retas correspondentes são todas paralelas. Por exemplo, para0 3 x L = 240, temos 240 = 40x + 60y, que é uma reta que intercepta o eixo x no ponto (6; 0), e o eixo y no ponto (0; 4). f) Qual o ponto da região do item c que Para encontrar o lucro máximo, basta corresponde ao lucro total máximo? procurar entre as retas paralelas L = 40x + Queremos agora encontrar o ponto da re- 60 . y aquela que corta o eixo y o mais alto gião A, indicada no item c, para o qual o possível, sem sair da região de viabilidade lucro total L seja máximo. A região A é do problema. Tal reta é a que passa pelo formada pelos pares (x; y), que obede- ponto (4; 2); o valor de L correspondente é cem às duas restrições inicialmente apre- L = 40 . 4 + 60 . 2 = 280. O lucro total má- sentadas, constituindo, assim, a região de ximo é, portanto, 280 reais. 41
  40. 40. Matemática – 3ª série, 1o bimestre - Atividade 1 d) Calcule a distância entre P1 e P2. Considere a circunferência de centro (4; 4) Calculando a distância entre P1 e P2, encon-e de raio 4. tramos 8, que é o diâmetro da circunferência. a) Represente-a no plano cartesiano e de- termine sua equação. Professor: A equação da circunferência é Outros exercícios poderiam ser propos- (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16; ver figura a seguir. tos, articulando o reconhecimento da equação da circunferência e os resulta- dos já conhecidos sobre retas. Em virtu- de da limitação do espaço do Caderno, y deixamos tal tarefa para o discernimento e a disponibilidade do professor. P1 S Elipse 4 As curvas chamadas cônicas – a elipse, a P2 4 hipérbole e a parábola – ocorrem com muita frequência na natureza e no dia-a-dia. Vamos conhecer suas principais características, ini- 0 4 x ciando pela elipse. b) Determine a equação da reta s que pas- Quando inclinamos um recipiente cilíndri- sa pela origem e pelo centro da circun- co aberto, de seção circular, contendo água em ferência. repouso, o contorno da superfície da água é A reta s que passa pela origem e pelo centro uma elipse. Também é uma elipse a sombra da circunferência tem inclinação igual a 1; projetada de uma circunferência situada em logo, sua equação é y = x. um plano vertical, quando a luz do Sol, ou outra luz qualquer, incide obliquamente. c) Calcule as coordenadas dos pontos P1 e P2, de interseção da reta s com a circun- ferência dada. Os pontos de interseção da reta s com a circun- ferência são as soluções do sistema formado pelas equações y = x e (x – 4)2 + (y – 4)2 = Foi Kepler (1571-1630), em seus estudos de 16. Substituindo y por x na segunda equa- Astronomia, quem associou às trajetórias dos ção, obtemos x1 = 4 + 2∙∙∙ e x2 = 4 – 2∙∙∙. 2 2 planetas ao redor do Sol não mais circunferên- Logo, P1 = (4 + 2∙∙∙ ; 4 + 2∙∙∙ ) e 2 2 cias, mas sim elipses, ou seja, circunferências P2 = (4 – 2∙∙∙; 4 – 2∙∙∙). 2 2 “achatadas”. Nessas elipses, Kepler destacou 45
  41. 41. a existência de dois pontos simetricamente Um coador de café de plástico pode ilus- opostos em relação ao centro, chamados fo- trar o fato de que as elipses podem ser con- cos, em um dos quais o Sol se situava. sideradas como curvas intermediárias entre a circunferência e o segmento de reta: A partir desses dois pontos, uma proprieda- de fundamental pode ser utilizada para caracte- rizar uma elipse: qualquer ponto da elipse é tal que a soma das distâncias até esses dois pontos fixados, que são os focos, é constante. Jardineiros utilizam frequentemente essa propriedade para construir canteiros elípticos: fincando-se duas estacas, uma em cada foco, e deslocando-se um estilete, com um barbante de comprimento L (maior do que a distância entre os focos) estica- do, obtém-se uma elipse. Uma elipse apresenta dois eixos de sime- tria: o semieixo maior costuma ser represen- tado por a, o menor por b. Assim, os dois eixos são 2a e 2b. Como já foi dito anteriormente, a elipse é como uma circunferência "achatada". Com isso em mente, vamos obter a equação da elipse com centro na origem na atividade seguinte. y � Semieixos b F1 F2 –a 0 a x –b d(P, F1) + d(P, F2) = constante46
  42. 42. entre as distâncias de um ponto qualquer da hi- b2 Ou seja, y – 2 x2 = k. 2 pérbole até F1 e até F2 é constante e igual a 2a. a Como a curva passa pelo ponto (a; 0), pode- mos calcular o valor de k: y b2 b y= a x 02 – 2 a2 = k, ou seja, k = – b2 a Logo, a equação da hipérbole é b2 b y2 – 2 x2 = – b2, de onde obtemos: a c x2 y2 F2 0 5 F1 – 2 =1 – c – a a c x a2 b Exemplo ilustrativo x2 y2 A curva de equação – = 1 é uma hi- 9 16 – b pérbole que passa pelo ponto (3; 0) e tem como y= a x 4 4 assíntotas as retas y = xey=– x. 3 3 Para cada uma das hipérboles a seguir, deter- mine os focos e calcule o valor constante da di- Professor: ferença das distâncias entre um ponto qualquer da hipérbole e os focos. Confira o valor obtido Neste ponto, seria interessante apresen- fazendo os cálculos diretamente para um ponto tar diversos exercícios de representação no plano cartesiano de hipérboles da- da hipérbole arbitrariamente escolhido. das por equações na forma apresentada acima, sempre destacando as assínto- a) y tas, que podem ser obtidas pela simples fatoração da diferença de quadrados, característica da equação da hipérbole 3 nessa forma. 0 4 x Atividade 6 b –b Sendo y = xey= x , com a e b posi- a   a   tivos, as assíntotas de uma hipérbole que passa Temos a = 4, b = 3; logo, c = ∙∙∙∙∙∙∙ = 5. a2 + b2 por (a; 0), os pontos F1: (c; 0) e F2: (–c; 0), tais Os focos são os pontos (5; 0) e (–5; 0). que c2 = a2 + b2, são chamados focos da hipérbole. A diferença entre as distâncias de um pon- Na figura a seguir, são mostrados os focos da to qualquer da hipérbole até os dois focos é hipérbole. É possível mostrar que a diferença igual a 2a, ou seja, é 8.52
  43. 43. Matemática – 3ª série, 1o bimestre - b) y c) y 12 5 x x 5 5 Analogamente, a = 5, b = 12 e c = 13. Focos: (13; 0) e (–13; 0). A diferença entre Neste caso, os eixos estão invertidos, e os fo- as distâncias de um ponto qualquer da hipér- cos estão no eixo y. Temos c = 5∙∙∙e os focos 2 bole até os dois focos é 2a = 10. (0; 5∙∙∙ e (0; –5∙∙∙ A diferença entre as 2) 2). distâncias de um ponto qualquer da hipérbole Um dos sistemas utilizados para a locali- até os dois focos é 2a = 10.zação de automóveis utiliza a propriedade ca-racterística da hipérbole anteriormente referi-da, ou seja, a diferença das distâncias de um H12ponto P qualquer da hipérbole a dois pontosfixados F1 e F2 , que são seus focos, é constan- F1te, ou seja, o valor absoluto da diferença PF1 – PPF2 = constante. Se um auto situado no pontoP enviar um sinal para cada uma das centrais F3F1 e F2, considerando a diferença dos temposde recepção dos sinais, e consequentemente, H12das distâncias entre P e F1 e P e F2, pode-se H32concluir que o ponto P situa-se em um dos F2ramos de uma hipérbole H12. Se outro sinalfor enviado do auto para uma terceira cen- P ??tral F3, combinando-se os dados de F2 e F3 ,pode-se concluir que o ponto P situa-se sobre H32outra hipérbole H32. Os pontos de interseçãodas duas hipérboles fornecem as posições pos-síveis para o auto. 53
  44. 44. Parábola Em geral, quando representamos grafica- A parábola tem certas propriedades carac- mente pares (x; y) de grandezas tais que y é terísticas que podem ser utilizadas para defi- diretamente proporcional ao quadrado de x ni-la. Uma delas é a existência de um ponto (y = kx2, k constante e k ≠ 0), a curva corres- F, fixado, e de uma reta r, fixada, tais que a pondente no plano cartesiano é uma parábola. distância de cada ponto P da parábola até F é igual à distância de P até r. F é o foco da y parábola e r é sua diretriz. PII d(P, F) = d(P,r) y = kx2 d(P, F) = d(P,r) P d(PII, F) = d(PII,r) 0 x P F É o que ocorre, por exemplo, quando uma pedra é abandonada e registramos a relação entre a distância percorrida verticalmente e o tempo de queda livre. Também é uma pará- bola a trajetória de todos os projéteis lança- Outra propriedade interessante das pará- dos obliquamente em relação à superfície da bolas é a seguinte: sendo P um ponto qual- Terra, desconsiderados os efeitos do ar. quer da parábola, a reta que passa pelo foco F Além disso, quando, de um ponto fixado no e por P forma com a tangente à parábola em solo, lançamos projéteis sempre com a mesma P um ângulo igual ao formado pela tangente velocidade inicial vo, em todas as direções pos- com a reta paralela ao eixo da parábola pas- síveis, em um plano vertical dado, o contorno sando por P (ver figura). da região determinada pelos pontos que podem ser atingidos pelos projéteis é também uma pa- rábola, chamada parábola de segurança. Como registramos no início desta Situação de Aprendizagem, quando seccionamos um cone circular reto por um plano que forma com a base um ângulo exatamente igual ao F que uma geratriz do cone forma com a base, obtemos também uma parábola. 054
  45. 45. 1 1 Considerações sobre a avaliação ∙ F 0; h + 4k ∙ e r: y = h – 4k Na grade de conteúdos proposta para as três séries do Ensino Médio, pressupõe- r y se que muitos dos temas se apóiam mutua- mente, sendo mais fácil interessar os alunos quando se apresenta um cenário de conteú- x = ky2 dos mais abrangente do que quando se lhes 0 subtrai a possibilidade de contato com al- 1 x 4k guns dos temas. Na presente proposta, reser- vou-se apenas um bimestre para a Geometria Analítica Plana. Dependendo do número de aulas disponíveis para o professor, nem 1 x=– todos os temas podem ser tratados com a 4k y mesma profundidade, cabendo ao professor y = kx2 + h mesmo selecionar as ideias que serão mais ou menos contempladas. Na apresentação das circunferências e 1 F (0; h + 4k ) das cônicas, buscou-se destacar mais o sig- nificado e as ocorrências de cada uma delas 1 em diferentes contextos do que as manipu- 4k lações algébricas com as equações. Trata-se, naturalmente, de uma escolha, em razão das 1 h 4k limitações do tempo disponível. Sugere-se, r portanto, que a avaliação concentre-se na ca- racterização da circunferência, da elipse, da hipérbole e da parábola em situações simplifi- 0 x cadas, escrevendo as equações das curvas com centro na origem, e adiando-se ou omitindo- Professor: se uma exploração algébrica mais detida dos Em função do tempo disponível, exercícios casos mais gerais. de identificação do foco e da diretriz de di- versas parábolas, expressas por meio de Quanto à forma de avaliação, também equações do tipo y = ax2 + bx + c, podem aqui consideramos que o assunto favorece ser propostos. Para achar o foco, é funda- mental antes achar o vértice; a partir daí, uma utilização de múltiplos instrumentos, determina-se a equação da diretriz. não não devendo se limitar às provas. No caso das cônicas, o reconhecimento destas56

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