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Temas e problemas elon lages
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Temas e problemas elon lages

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  • 1. Cap´tulo 1 ıProporcionalidade e ¸˜Funcoes Afins ´Em seu livro “Elementos de Algebra”, publicado em S˜ Peters- aoburgo em 1770, o grande matem´ atico Leonardo Euler prop˜ e o oseguinte problema: ´ ` Uma lebre esta 50 pulos a frente de um cachorro, o qual ´ da 3 pulos no tempo que ela leva para dar 4. Sabendo que 2 pulos do cachorro valem 3 da lebre, quantos pulos ele deve dar para peg´ a-la? ´ ˜Este e um exemplo de questao que se refere a proporcionalidade,assunto que exporemos a seguir.1 ProporcionalidadeDiz-se que duas grandezas s˜ proporcionais quando existe uma aocorrespondˆ ncia x → y, que associa a cada valor x de uma delas eum valor y bem definido da outra, de tal modo que sejam cumpri- ¸˜das as seguintes condicoes: ´ ´ 1) Quanto maior for x, maior sera y. Em termos matematicos: se x → y e x → y entao x < x implica y < y . ˜ 2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x ent˜ o valor ao ´ correspondente de y sera dobrado, triplicado, etc. Na lingua- gem matematica: se x → y entao nx → ny para todo n ∈ N. ´ ˜ Nas condicoes acima, a correspondˆ ncia x → y chama-se uma ¸˜ eproporcionalidade. 3
  • 2. 4 Temas e Problemas ¸˜Exemplo 1. Sejam x o volume e y o peso de uma porcao de uml´quido homogˆ neo. A correspondˆ ncia x → y cumpre claramente ı e e ¸˜ ´as duas condicoes acima, logo o volume e proporcional ao peso.Exemplo 2. Sejam r e s retas paralelas. Dado qualquer retˆ anguloque tenha dois lados contidos nessas retas, chamemos de x o com- ´ ˆprimento de um desses lados e z a area do retangulo. s z r Figura 1 A correspondˆ ncia x → z e uma proporcionalidade. Ou seja: e ´quando a altura de um retˆ ´ ´ ´ angulo e fixada, sua area z e proporcio- `nal a base x. ˜ ´ Com efeito, em primeiro lugar, se x < x entao a area z do ˆ ´ ` ´ ˆretangulo de base x e igual a area z do retangulo de base x maisa area de um retangulo de base x − x, logo z < z . ´ ˆ Em segundo lugar, um retangulo de base n · x pode ser expres- ˆ ˜ ˆso como reuniao de n retangulos justapostos de base x (e mesmaarea z) logo sua area e n · z.´ ´ ´ ¸˜ ´Observacao. A afirmacao contida no Exemplo 2 e uma conse- ¸˜ ¨e ´ ˆquˆ ncia imediata da f´ rmula que exprime a area de um retangulo o ´como o produto da base pela altura. Esta e, entretanto, uma justi- ao ´ ´ficativa a posteriori. N˜ e conveniente usa-la no presente contex- ¸˜to pois, na verdade, o primeiro passo da deducao daquela f´ rmula o´ ¸˜e a verificacao da proporcionalidade acima. ˆExemplo 3. Consideremos no plano um angulo AOB e uma re- ˜ ´ta r que nao e paralela ao lado OA nem a OB (Figura 2). Dadoqualquer segmento de reta de comprimento x, contido em OA, asparalelas a r tracadas por suas extremidades determinam sobre o ¸lado OB um segmento de comprimento y.
  • 3. ¸˜ Proporcionalidade e Func oes Afins 5 r B y O A x Figura 2 Afirmamos que a correspondˆ ncia x → y e uma proporcionali- e ´dade. ¸˜ Antes de justificar esta afirmacao devemos mostrar que o com- ˜primento y depende apenas do comprimento x mas nao da posicao ¸˜do segmento tomado sobre o lado OA. (Isto significa que a corres-pondˆ ncia x → y esta bem definida.) e ´ Ora, se tomarmos sobre o lado OA dois segmentos de mesmo ˜ ˜comprimento x entao na Figura 3, onde MN e M N sao paralelos ˆa OA, os triangulos MNP e M N P tˆ m, cada um, um lado de emesmo comprimento x, compreendido entre dois angulos M = M ˆe N = N . Logo sao triangulos congruentes e da´ MP = M P = y. ˜ ˆ ı A partir desta observacao inicial, sempre que tivermos x → y e ¸˜x → y , se quisermos comparar y com y podemos supor que x e x ˜ ˜sao medidas de segmentos com origem no v´ rtice O. Entao fica eclaro que se x < x ⇒ y < y e que x = n · x ⇒ y = n · y, comomostra a Figura 4 (onde n = 3).Exemplo 4. Investindo uma quantia x numa caderneta de pou-panca, ap´ s o decurso de um mˆ s obt´ m-se um montante y. A ¸ o e ecorrespondˆ ncia x → y e uma proporcionalidade: o que se recebe e ´ e ´no fim do mˆ s e proporcional ao que se aplicou. Com efeito, e ´claro que aplicando-se mais recebe-se mais e investindo-se uma ¸˜quantia n vezes maior do que x, pode-se considerar essa operacaocomo n investimentos iguais a x, logo o que se recebe e n · y. ´
  • 4. 6 Temas e Problemas B P’ y M’ N’ r x P y M N x O A x x Figura 3 B B y y y y y O A O A x x x x x Figura 4
  • 5. ¸˜ Proporcionalidade e Func oes Afins 7Observacao. Se uma quantia fixa gera, ap´ s um mˆ s de investi- ¸˜ o e ˜ ´mento, um retorno y, nao e verdade que ap´ s n meses essa mesma oquantia gere o retorno n· y, mesmo que a taxa de juros permaneca ¸ ´ como se tivesse sido aplica-constante. Pois ao final de cada mˆ s e e `da novamente uma quantia maior, igual a existente no mˆ s ante- erior mais os juros correspondentes. Assim o retorno (num per´odo ı ´ ao ´fixo) e proporcional ao capital inicial mas n˜ e proporcional aotempo de investimento. ¸˜ Esta observacao mostra que a propriedade “quanto maior for x, ´ ˜maior sera y ” nao assegura a proporcionalidade entre x e y. Outroexemplo disto e a correspondˆ ncia x → y, onde x e o lado de um ´ e ´ ´ ´quadrado e y e sua area. ¸˜ Diante dos exemplos anteriores, podemos formular a definicao ´matematica de proporcionalidade, onde as grandezas s˜ substi- ao ´ ˜ suas medidas.tu´das por numeros reais, que sao ı Estamos considerando apenas grandezas que tˆ m medida po- e ´sitiva, logo o modelo matematico da proporcionalidade leva em ¸˜ ´consideracao apenas numeros reais positivos. Uma proporcionalidade (num´ rica) e uma funcao f : R· → R· e ´ ¸˜com as seguintes propriedades: 1) f e uma funcao crescente, isto e x < x ⇒ f(x) < f(x ) para ´ ¸˜ ´ quaisquer x, x ∈ R . · 2) Para todo x ∈ R· e todo n ∈ N tem-se f(nx) = n · f(x). Numa proporcionalidade a propriedade 2), acima admitida ape-nas quando n ∈ N, vale para um numero real positivo qualquer. ´ ´ ´Este e o conteudo doTeorema Fundamental da Proporcionalidade.Se f : R· → R· e uma fun¸ ao crescente tal que f(nx) = n · f(x) para ´ c˜todo x ∈ R e todo n ∈ N, entao f(cx) = c · f(x) para quaisquer x e c · ˜em R· . ¸˜ ´A demonstracao do teorema acima esta no Apˆ ndice 1 na p´ 16. e ag.Ver tamb´ m os seguintes livros, publicados pela S.B.M.: “Meu e
  • 6. 8 Temas e Problemas ´ ´ ´Professor de Matematica”, pag. 129, e “A Matematica do Ensino ´M´ dio, vol. 1”, pag. 94. e Na pratica, e bem mais facil mostrar que f(nx) = n · f(x) para ´ ´ ´n ∈ N do√ que verificar que f(cx) = c · f(x) para todo c ∈ R· . (Penseem c = 2 ou c = π.) Por outro lado, o fato de que uma propor-cionalidade f satisfaz esta igualdade para qualquer n´ umero real ¨epositivo c tem importantes consequˆ ncias, como veremos agora.Corolario. Se f : R· → R· e uma proporcionalidade entao tem-se, ´ ´ ˜para todo x > 0, f(x) = ax, onde a = f(1).Com efeito, pelo Teorema Fundamental, para quaisquer x, c ∈ R· ,vale f(xc) = x · f(c) = f(c) · x. Em particular, tomando c = 1,obtemos f(x) = a · x, onde a = f(1). Uma funcao f : R → R definida por f(x) = ax, onde a ∈ R e ¸˜ ´uma constante, chama-se uma fun¸ ao linear. Quando a > 0, a c˜funcao linear f(x) = ax transforma um numero real positivo x no ¸˜ ´ ´ ¸˜numero positivo ax, logo define, por restricao, uma proporciona-lidade f : R → R . Acabamos de ver que, reciprocamente, toda · ·proporcionalidade e a restricao de uma funcao linear a R· . O coe- ´ ¸˜ ¸˜ficiente a chama-se o fator de proporcionalidade. ´ ¸˜ Esta ultima observacao nos permite concluir que sef : R → R e uma proporcionalidade ent˜ para quaisquer x½ , x¾ · · ´ ao,com f(x½ ) = y½ , f(x¾ ) = y¾ , tem-se y½ /x½ = y¾ /x¾ . Com efeito, am- ˜bos esses quocientes sao iguais ao fator de proporcionalidade a.A igualdade y½ /x½ = y¾ /x¾ chama-se uma propor¸ ao. c˜ Chama-se regra de trˆ s ao problema que consiste em, conhe- ecendo trˆ s dos numeros x½ , y½ , x¾ , y¾ , determinar o quarto. e ´ ´ Ha duas maneiras tradicionais de resolver esse problema. Su-ponhamos dados x½ , y½ e x¾ . O quarto elemento da proporcao ¸˜sera chamado y. Entao deve ser y½ /x½ = y/x¾ , donde se tira ´ ˜y = x¾ y½ /x½ . Esta e uma forma de resolver a regra de trˆ s. ´ e O outro m´ todo de resolver a regra de trˆ s chama-se “reducao e e ¸˜a unidade”. Sabendo que f(x½ ) = y½ , ou seja, ax½ = y½ , obtemos`a = y½ /x½ e da´ vem o valor do termo y que falta na proporcao ı ¸˜y½ /x½ = y/x¾ : y = f(x¾ ) = ax¾ = y½ x¾ /x½ . O nome “reducao a ¸˜ `
  • 7. ¸˜ Proporcionalidade e Func oes Afins 9unidade” prov´ m do fato de que a = f(1) e o valor de f(x) quando e ´x = 1. Deve-se ressaltar enfaticamente que a regra de trˆ s, prove- eniente da proporcao y½ /x½ = y/x¾ , s´ pode ser legitimamente em- ¸˜ opregada quando se tem uma proporcionalidade f, sendo y½ = f(x½ )e y = f(x¾ ). ¸˜ ´ ¸˜ Outra observacao a ser feita e que, em diversas situacoes ondese usa a proporcionalidade (ou a regra de trˆ s), o fator de propor- e ´cionalidade a e irrelevante e/ou complicado de se obter. No Exemplo 1, o fator de proporcionalidade a = peso / volume,chamado a densidade do l´quido (ou, mais precisamente, o peso ıespec´fico), e um conceito util. Assim, peso = densidade × volume. ı ´ ´ No Exemplo 3, o fator de proporcionalidade n˜ tem a menor ao ˆ ´importancia. (Por acaso ele e o quociente dos senos dos angulos ˆque a reta r forma com os lados OA e OB, mas esta informacao e ¸˜ ´uma mera curiosidade.) ´ No Exemplo 4, e costume escrever o fator de proporcionalidadesob a forma a = 1 + i, portanto tem-se y = (1 + i)x. O numero i ´chama-se o juro. Se o investimento inicial x for mantido duranten mˆ ses e os juros se mantiverem fixos, tem-se ao final do n-´ simo e emˆ s y = (1 + i) e Ò x. ´ Quanto ao Exemplo 2, ele nos diz que a area z de um retangulo ˆde altura fixa y (= distˆ ´ ancia entre as paralelas r e s) e proporcionala base x, logo z = A · x, onde o fator de proporcionalidade A e a` ´´ ˆ ´area do retangulo de mesma altura y e base 1. Mas e claro que oque vale para a base vale tamb´ m para a altura. Logo, a area A e ´ ˆ ´de um retangulo de base 1 e altura y e proporcional a y, ou seja,A = B · y, onde B e a area do retangulo de base 1 e altura 1. Ora, ´ ´ ˆeste e o quadrado unitario logo, por definicao, B = 1. Assim A = y ´ ´ ¸˜e a area z do retangulo de base x e altura y e dada por z = xy. ´ ˆ ´(Veja o livro “Medida e Forma em Geometria”, p´ 17.) ag. ¸˜ Existe tamb´ m a nocao de proporcionalidade inversa. Diz-se eque duas grandezas s˜ inversamente proporcionais quando existe aouma correspondˆ ncia x → y que associa a cada valor x de uma edelas um valor bem definido y da outra, de tal modo que sejamcumpridas as seguintes condicoes: ¸˜
  • 8. 10 Temas e Problemas ´ ´ 1) Quanto maior for x, menor sera y. Em termos matematicos: se x → y e x → y entao x < x ⇒ y < y. ˜ 2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x ent˜ o valor ao ´ correspondente de y sera dividido por dois, por trˆ s, etc. Em e linguagem matematica: se x → y entao nx → y/n, para todo ´ ˜ n ∈ N. ´ Portanto, dizer que y e inversamente proporcional a x equivale ´ ˜a dizer que y e proporcional a 1/x. Segue-se entao do Teorema ´Fundamental da Proporcionalidade que se y e inversamente pro-porcional a x ent˜ tem-se y = a/x, onde o fator de proporcionali- aodade a e o valor de y que corresponde a x = 1. ´ ˆ ´Exemplo 5. Entre os retangulos de base x, altura y e area iguala 1, tem-se y inversamente proporcional a x, com y = 1/x. ´2 Grandeza proporcional a varias outras ¸˜Em muitas situacoes tem-se uma grandeza z, de tal modo rela-cionada com outras, digamos x, y, u, v, w, que a cada escolha de ´valores para estas ultimas corresponde um valor bem determina- ˜do para z. Entao z chama-se uma fun¸ ao das vari´ c˜ aveis x, y, u, v, we escreve-se z = f(x, y, u, v, w). ¸˜ ´ Nestas condicoes, diz-se que z e (diretamente) proporcional a xquando: 1) Para quaisquer valores fixados de y, u, v, w, a grandeza z ´ ¸˜ ´ e uma funcao crescente de x, isto e, a desigualdade x < x implica f(x, y, u, v, w) < f(x , y, u, v, w). 2) Para n ∈ N e x, y, u, v, w quaisquer tem-se f(nx, y, u, v, w) = n · f(x, y, u, v, w). ´ Analogamente, diz-se que z e inversamente proporcional a xquando: 1’) Para quaisquer valores fixados de y, u, v e w, a grandeza z ´ ¸˜ ´ e uma funcao decrescente de x, isto e, a desigualdade x < x implica f(x, y, u, v, w) > f(x , y, u, v, w).
  • 9. ¸˜ Proporcionalidade e Func oes Afins 11 2’) Para n ∈ N e x, y, u, v, w quaisquer tem-se f(nx, y, u, v, w) = 1 · f(x, y, u, v, w). n Segue-se do Teorema Fundamental da Proporcionalidade queas propriedades 2) e 2’) acima valem para c > 0 real qualquer emlugar de n ∈ N. Isto tem a seguinte consequˆ ncia: ¨e Se z = f(x, y, u, v, w) e (diretamente) proporcional a ´ x e y e inversamente proporcional a u, v e w entao,˜ tomando-se a = f(1, 1, 1, 1), tem-se x·y f(x, y, u, v, w) = a · · u·v·wCom efeito, f(x, y, u, v, w) = f(x · 1, y, u, v, w) = x · f(1, y, u, v, w) xy = xy · f(1, 1, u, v, w) = · f(1, 1, 1, v, w) u xy xy = · f(1, 1, 1, 1, w) = · f(1, 1, 1, 1, 1) uv uvw xy = a· · uvw ¸˜Exemplo 6. A lei da gravitacao universal, de Newton, afirma quedois corpos, de massas m e m respectivamente, situados a uma ˆdistancia d um do outro, se atraem segundo uma forca cuja in- ¸ ´tensidade F e proporcional a essas massas e inversamente propor-cional ao quadrado d¾ da distˆ ancia entre eles. Resulta do acima mmexposto que F = c · , onde a constante c depende do sistema d¾de unidades utilizado. ¸˜Exemplo 7. A nocao de grandeza proporcional a v´ arias outraspermite deduzir a f´ rmula do volume de um bloco retangular. O o o e ´volume de um s´ lido geom´ trico X, que se escreve vol(X), e um ´numero real com as seguintes propriedades: ´ ˜ 1) Se o s´ lido X esta contido propriamente no s´ lido X entao o o vol(X) < vol(X ).
  • 10. 12 Temas e Problemas ´ ˜ 2) Se o s´ lido Y e a reuniao de dois s´ lidos adjacentes X e X o o entao vol(Y) = vol(X) + vol(X ). ˜ ¸˜Dessas duas propriedades do volume, e da definicao de proporcio- ´nalidade acima dada, resulta que se X e um bloco retangular cujas ˜ ´arestas medem x, y e z respectivamente entao o volume de X e pro-porcional a x, y e z. Portanto vol(X) = a · xyz, onde a e o volume ´do bloco retangular cujas trˆ s arestas medem 1. Mas tal bloco e e ´ ¸˜ ´o cubo de aresta 1 e, por definicao, seu volume e igual a 1. Logovol(X) = xyz. ¸˜3 Funcoes afinsExemplo 8. As escalas termom´ tricas assinalam valores posi- etivos e negativos. Elas se baseiam na altura de uma coluna de ´mercurio, a qual aumenta ou diminui conforme a temperatura so- `be ou desce. Na escala Celsius, o valor 0 corresponde a tempe-ratura em que o gelo comeca a fundir-se e o valor 100 assinala a ¸ ´ ¸˜ ` ˜temperatura em que a agua entra em ebulicao (a pressao do n´vel ıdo mar). Na escala Fahrenheit esses valores s˜ 32 e 212 respec- aotivamente. Assim, 0◦ C = 32◦ F e 100◦ C = 212◦F. Os demais valo-res na escala Celsius s˜ marcados dividindo-se o intervalo entre aoaquelas duas temperaturas em 100 partes de igual comprimentoe, na escala Fahrenheit, em 180 partes tamb´ m de comprimentos eiguais. Usando-se esses comprimentos em cada caso, as escalas ˜sao estendidas para assinalarem valores de temperaturas supe- ` ¸˜ ´ `riores a da ebulicao da agua e inferiores a da fus˜ do gelo. Isso ao ´requer o uso de numeros negativos. Pergunta-se: em que tempe-ratura as escalas Celsius e Fahrenheit assinalam o mesmo valor? ´Qual a temperatura Celsius que e a metade do valor correspon-dente em graus Fahrenheit? ¸˜ O exemplo acima ilustra uma situacao em que se emprega a ¸˜funcao afim, conforme veremos a seguir. Uma funcao f : R → R chama-se afim quando, para todo x ∈ R, ¸˜o valor f(x) e dado por uma express˜ do tipo f(x) = ax + b, onde ´ ao ˜a e b sao constantes.
  • 11. ¸˜ Proporcionalidade e Func oes Afins 13Exemplo 9. Uma corrida de t´ custa a reais por km rodado aximais uma taxa fixa de b reais, chamada a “bandeirada”. Ent˜ o aopreco de uma corrida de x km e f(x) = ax + b reais. ¸ ´ Numa funcao afim f(x) = ax + b, o numero b = f(0) chama- ¸˜ ´se o valor inicial e o coeficiente a = f(1) − f(0) e chamado a taxa ´ ¸˜ ´de varia¸ ao de f. O motivo para esta denominacao e que, para c˜quaisquer x, h ∈ R, com h = 0, tem-se a = [f(x + h) − f(x)]/h,donde a = f(x + 1) − f(x), logo a e a variacao de f(x) por unidade ´ ¸˜ ¸˜de variacao de x. (Compare com o exemplo acima.) Uma funcao linear f(x) = ax e um caso particular de funcao ¸˜ ´ ¸˜ ¸˜ ´ ¸˜afim. Outro caso particular de funcao afim e o das funcoes cons-tantes f(x) = b. Quando a > 0, a funcao afim f(x) = ax + b e crescente, isto e, ¸˜ ´ ´x½ < x¾ ⇒ f(x½ ) < f(x¾ ). Com efeito se x½ < x¾ entao x¾ − x½ > 0 ˜logo f(x¾ ) − f(x½ ) = ax¾ + b − (ax½ + b) = a(x¾ − x½ ) > 0,ou seja, f(x½ ) < f(x¾ ). Analogamente, se a < 0 entao x½ < x¾ ⇒ f(x½ ) > f(x¾ ), e a ˜funcao afim f(x) = ax + b e, neste caso, decrescente. ¸˜ ´Teorema de Caracterizacao das Funcoes Afins. ¸˜ ¸˜Seja f : R → R uma fun¸ ao crescente ou decrescente. Se a diferen¸ a c˜ cf(x + h) − f(x) depender apenas de h, mas nao de x, entao f e uma ˜ ˜ ´fun¸ ao afim. c˜ ¸˜(Ver demonstracao no Apˆ ndice 2 na p´ 17.) e ag. ´Exemplo 10. Retomemos o Exemplo 8. Em ultima analise, os ´graus C e F s˜ diferentes unidades de comprimento, com as quais ao ´se mede a altura de uma coluna de mercurio. Assim, a mudanca ¸de escala, de Celsius para Fahrenheit e uma funcao f : R → R ´ ¸˜ `que associa a medida x, segundo C, a medida f(x), segundo F, da ´ ´mesma coluna de mercurio. Evidentemente, f e crescente. Al´ m e ´disso, a diferenca f(x+h)−f(x) e a medida, segundo F, do segmento ¸de reta de extremos f(x) e f(x+h) o qual, segundo C, tem extremos
  • 12. 14 Temas e Problemasx e x + h, logo seu C-comprimento e igual a h. Ora, a medida deste ´ ˜segmento depende apenas de h mas nao de x e o mesmo se da ´com a diferenca f(x + h) − f(x). Pelo Teorema de Caracterizacao, ¸ ¸˜conclu´mos que f e ı ´ uma funcao afim: f(x) = ax + b. Sabemos que ¸ ˜f(0) = 32 e f(100) = 212. Entao b = 32 e 100a + 32 = 212, donde ˜a = 1,8. Portanto f(x) = 1,8x + 32 e a f´ rmula que permite passar ´ oda temperatura x na escala Celsius para a temperatura f(x) emgraus Fahrenheit. A primeira pergunta do Exemplo 8 era: paraqual valor de x tem-se f(x) = x ? Deve-se ter 1,8x + 32 = x, dondex = −40. A resposta e: −40 graus Celsius e o mesmo que −40 graus ´ ´Fahrenheit. A segunda pergunta era: para qual valor de x tem-sef(x) = 2x ? Entao 1,8x + 32 = 2x e da´ x = 160. Assim 160 graus ˜ ıCelsius equivalem a 320 graus Fahrenheit. Provaremos a seguir que o gr´ ¸˜ afico de uma funcao afim e uma ´reta. Para isso, usaremos a f´ rmula da distˆ o ancia entre dois pon-tos P = (x½ , y½ ) e Q = (x¾ , y¾ ), segundo a qual se tem d(P, Q) = (x¾ − x½ )¾ + (y¾ − y½ )¾ . Dada a funcao afim f : R → R, f(x) = ax + b, seu grafico G ¸˜ ´e o conjunto dos pontos (x, ax + b) ∈ R´ ¾ , onde x ∈ R. SejamM = (x½ , ax½ + b), N = (x¾ , ax¾ + b) e P = (x¿ , ax¿ + b) trˆ s pontos equaisquer de G. Sem perda de generalidade, podemos admitir quex½ < x¾ < x¿ . Mostraremos que d(M, N) + d(N, P) = d(M, P). Defato, temos d(M, N) = (x¾ − x½ )¾ + a¾ (x¾ − x½ )¾ = (x¾ − x½ ) 1 + a¾ . √Analogamente, d(N, P) = (x¿ − x¾ ) 1 + a¾ , logod(M, N)+d(N, P) = (x¾ −x½ +x¿ −x¾ ) 1 + a¾ = (x¿ −x½ ) 1 + a¾ = d(M, P). Portanto trˆ s pontos quaisquer do gr´ e ˜ afico G sao colineares. Co- ´mo G possui pontos com quaisquer abscissa, segue-se que G e umareta. O numero b e a ordenada do ponto em que o grafico de f(x) = ´ ´ ´ax + b corta o eixo OY. Na Figura 5 vˆ -se como aos acr´ scimos e eiguais x → x + h e x → x + h dados a x e x correspondem
  • 13. ¸˜ Proporcionalidade e Func oes Afins 15acr´ scimos iguais f(x + h) − f(x) = f(x + h) − f(x ). A inclinacao e ¸˜da reta G em relacao ao eixo horizontal e [f(x + h) − f(x)]/h = ¸˜ ´[a(x + h) − ax]/h = a. Portanto, para valores maiores ou meno-res de a, o grafico da funcao afim f(x) = ax + b e mais ou menos ´ ¸˜ ´ ¸˜inclinado em relacao a OX. G f(x’+h) – f(x’) h f(x+h) – f(x) b h x x+h x x+h Figura 5
  • 14. 16 Temas e Problemas ˆ APENDICE 1Teorema Fundamental da Proporcionalidade.Seja f : R· → R· uma fun¸ ao com as seguintes propriedades: c˜ 1) x < x ⇒ f(x) < f(x ); 2) f(nx) = n · f(x) para todo n ∈ N e todo x ∈ R· .Entao f(cx) = c · f(x) para todo c ∈ R· e todo x ∈ R· . ˜Consequentemente, f(x) = ax para todo x ∈ R· , com a = f(1). ¨ ´Demonstracao: Em primeiro lugar, para todo numero racional ¸˜r = m/n, com m, n ∈ N, e todo x ∈ R vale · n · f(rx) = f(n · rx) = f(mx) = m · f(x), mpor 2), logo f(rx) = f(x) = r · f(x). Assim, a igualdade f(cx) = nc · f(x) e valida quando c e racional. Suponhamos, por absurdo, ´ ´ ´que exista c > 0 irracional tal que f(cx) = c · f(x) para algumx ∈ R· . Entao ou f(cx) < c · f(x) ou f(cx) > c · f(x). Considere- ˜ ˜mos o primeiro caso. Temos entao f(cx)/f(x) < c. Seja r um valorracional aproximado de c, de modo que f(cx)/f(x) < r < c, logof(cx) < r · f(x) < c · f(x). Como r e racional, vale r · f(x) = f(rx). ´Assim, podemos escrever f(cx) < f(rx) < c · f(x). Em particu-lar f(cx) < f(rx). Mas, como r < c, tem-se rx < cx e, pela pro-priedade 1), isso obriga f(rx) < f(cx) e n˜ f(cx) < f(rx). Esta aocontradicao mostra que nao e poss´vel ter-se f(cx) < c · f(x). De ¸˜ ˜ ´ ımodo inteiramente analogo se vˆ que f(cx) > c · f(x) e imposs´vel. ´ e ´ ıPortanto deve ser f(x) = c · f(x) para quaisquer c, x ∈ R .· ´Observacao. Um teorema analogo, com a mesma demonstracao, ¸˜ ¸˜vale para f : R → R, escrevendo, na propriedade 2), n ∈ Z em vezde n ∈ N.
  • 15. ¸˜ Proporcionalidade e Func oes Afins 17 ˆ APENDICE 2Teorema de Caracterizacao das Funcoes Afins. ¸˜ ¸˜Seja f : R → R crescente ou decrescente. Se a diferen¸ a f(x+h)−f(x) cdepende apenas de h mas nao de x, entao f e uma fun¸ ao afim. ˜ ˜ ´ c˜ ´Demonstracao: Trataremos apenas do caso em que f e crescen- ¸˜ ´ ´ ¸˜te pois o outro e analogo. Pela hip´ tese feita sobre f, a funcao oϕ : R → R, dada por ϕ(h) = f(x + h) − f(x), esta bem definida. ´Evidentemente ϕ e crescente. Al´ m disso, para todo h ∈ R vale ´ e ϕ(2h) = f(x + 2h) − f(x) = [f((x + h) + h) − f(x + h)] + [f(x + h) − f(x)] = ϕ(h) + ϕ(h) = 2 · ϕ(h).Analogamente se vˆ que ϕ(nh) = n· ϕ(h) para todo n ∈ N. Tem-se eainda ϕ(−h) = f(x − h) − f(x) = −[f(x) − f(x − h)] = −ϕ(h)pois x = (x − h) + h. Segue-se que, para todo n ∈ N e todo h ∈ Rvale ϕ((−n)h) = ϕ(−nh) = −ϕ(nh) = −[n · ϕ(h)] = (−n)ϕ(h).Como e obvio que ϕ(0) = 0, vemos que ϕ(nh) = n · ϕ(h) para todo ´ ´n ∈ Z. Pela Observacao ao final do Apˆ ndice 1, conclu´mos que ¸˜ e ıϕ(ch) = c · ϕ(h) para quaisquer c, h ∈ R, logo ϕ e linear. Assim, ´pondo a = ϕ(1) = f(x + 1) − f(x), tem-se ϕ(h) = a · h para todoh ∈ R. Entao, para quaisquer x, h ∈ R vale f(x + h) − f(x) = a · h. ˜Trocando h por x, vem: f(h + x) − f(h) = ax. Fazendo h = 0 eescrevendo b = f(0), obtemos f(x) − b = ax, donde f(x) = ax + b e ´o teorema esta demonstrado.
  • 16. 18 Temas e Problemas Problemas Propostos∗1. Sejam r, s retas coplanares. Para cada segmento de reta AB ¸˜contido em r, seja A B sua projecao ortogonal sobre s. Prove queo comprimento de A B e ´ proporcional ao de AB. ˜2. Seja P um ponto fora da reta r. Se X e Y sao pontos distintos ´em r, prove que a area do triˆ ´ angulo PXY e proporcional ao compri- ´mento de XY. Qual e o fator de proporcionalidade?3. Dado o angulo α = AOB, para cada par de pontos X em OA e ˆY em OB, sejam x e y as medidas dos segmentos OX e OY respec- ´tivamente. Prove que a area do paralelogramo que tem OX e OY ´ ´como dois de seus lados e proporcional a x e y. Qual e o fator de ´ ´proporcionalidade? Sabendo que a area desse paralelogramo e de29 cm¾ quando x = 6 cm e y = 7 cm, qual o valor dessa area para ´x = 2 cm e y = 3 cm? ˜4. Sejam OA, OB e OC semi-retas nao coplanares e x, y, z asmedidas dos segmentos OX, OY e OZ, respectivamente contidosem OA, OB e OC. Prove que o volume do paralelep´pedo que tem ı ´OX, OY e OC como trˆ s das suas arestas e proporcional a x, y e z. e5. O movimento de um ponto sobre um eixo chama-se uniformequando ele percorre espacos iguais em tempos iguais. Sua velo- ¸ ´ ¸˜cidade e, por definicao, o espaco percorrido na unidade de tempo. ¸ ¸˜Formule estas definicoes matematicamente e obtenha a abscissa ¸˜f(t) do ponto no instante t explicitamente como funcao de t e doponto de partida. ´6. Por dois pontos dados no plano passa uma unica reta. Como ¸˜ ¸˜se traduz esta afirmacao em termos de funcoes afins? Prove-aalgebricamente. ∗ ¸˜ ´ Solucoes na pagina 133.
  • 17. ¸˜ Proporcionalidade e Func oes Afins 19 ¸˜7. Um fazendeiro possui racao suficiente para alimentar suas16 vacas durante 62 dias. Ap´ s 14 dias, ele vende 4 vacas. Pas- osados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quantos dias, no total, ¸˜durou sua reserva de racao?8. Uma caravana com 7 pessoas deve atravessar o Sahara em 42 ´dias. Seu suprimento de agua permite que cada pessoa disponhade 3,5 litros por dia. Ap´ s 12 dias, a caravana encontra 3 be- odu´nos sedentos, v´timas de uma tempestade de areia, e os acolhe. ı ıPergunta-se: ´ a) Quantos litros de agua por dia caber˜ a cada pessoa se a ao caravana prosseguir sua rota como planejado? b) Se os membros da caravana (bedu´nos inclusive) continua- ı ´ ´ rem consumindo agua como antes, em quantos dias, no ma- ´ ´ ´ ximo, sera necessario encontrar um oasis?9. Numa estrada retil´nea, dois carros partem, ao mesmo tempo, ıde dois pontos A e B, com d(A, B) = d, dirigindo-se no mesmosentido. O que partiu de A vai a v quilˆ metros por hora e o que o ˆsaiu de B roda a w quilˆ metros por hora. A que distancia de A oeles se encontram?10. Dois trens de carga, na mesma linha f´ rrea, seguem uma erota de colis˜ Um deles vai a 46 km/h e o outro a 58 km/h. No ao.instante em que eles se encontram a 260 km um do outro, um ´passaro, que voa a 60 km/h, parte de um ponto entre os dois, at´ e ˜encontrar um deles e entao volta para o outro e continua nessevai-e-vem at´ morrer esmagado no momento em que os trens se e ´chocam. Quantos quilˆ metros voou o pobre passaro? o11. Na loja A, um aparelho custa 3800 reais mais uma taxa men- ¸˜sal de manutencao de 20 reais. Na loja B, o mesmo aparelho custa e ¸˜ ´2500 reais por´ m a taxa de manutencao e de 50 reais por mˆ s. e ¸˜ ´Qual das duas opcoes e a mais vantajosa? ¸˜12. Na situacao do Exemplo 3, a cada ponto X da semi-reta OA `facamos corresponder o ponto Z em OB, tal que XZ seja paralelo a ¸
  • 18. 20 Temas e Problemasreta r. Chamando de x e z os comprimentos de OX e XZ respecti-vamente, mostre que a correspondˆ ncia x → z e uma proporciona- e ´ ¸˜ ´lidade. Em que condicoes o fator de proporcionalidade e o mesmoque o da correspondˆ ncia x → y do Exemplo 3? e
  • 19. Cap´tulo 2 ı ¸˜ ´Funcoes QuadraticasUm restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reaiso quilo. Uma pesquisa de opini˜ revelou que, por cada real de au- aomento no preco, o restaurante perderia 10 clientes, com o consumo ¸m´ dio de 500 gramas cada um. Qual deve ser o preco do quilo de e ¸comida para que o restaurante tenha a maior receita poss´vel? ı ¸˜ Este problema recai numa equacao do segundo grau, ou seja, ¸˜na busca dos zeros de uma funcao quadr´ atica.1 ˆ A forma canonicaUma funcao f : R → R chama-se quadratica quando, para todo ¸˜ ´x ∈ R, tem-se f(x) = ax¾ + bx + c, onde a, b, c ∈ R sao constantes, ˜com a = 0. Diversos problemas interessantes recaem na consideracao de ¸˜ ¸˜ ´funcoes quadraticas. Um dos mais antigos consiste em achar dois ´numeros conhecendo sua soma s e seu produto p. Se um dessesnumeros e x, o outro sera s − x, logo x · (s − x) = p. Efetuando a ´ ´ ´multiplicacao, vem sx − x¾ = p ou seja, x¾ − sx + p = 0. Encon- ¸˜trar x (e, portanto, s − x) significa resolver a equacao do segundo ¸˜grau x¾ − sx + p = 0, isto e, achar os valores de x para os quais a ´ ¸˜funcao quadr´ atica f(x) = x¾ − sx + p se anula. Esses valores s˜ aochamados os zeros da funcao ¸ ˜ quadr´atica ou as ra´zes da equacao ı ¸˜correspondente. Note que se x for uma raiz da equacao x¾ − sx + p = 0 entao ¸˜ ˜s − x tamb´ m sera, pois e ´(s − x)¾ − s(s − x) + p = s¾ − 2sx + x¾ − s¾ + sx + p = x¾ − sx + p = 0. ¸˜ ˜ ´ Portanto as duas ra´zes dessa equacao sao os numeros procu- ırados. Deve-se observar entretanto que, dados arbitrariamente os 21
  • 20. 22 Temas e Problemas ´ ´ ´numeros s e p, nem sempre existem dois numeros cuja soma e s e ´cujo produto e p. ˜ ´Exemplo 1. Nao existem dois numeros reais cuja soma seja 2 e ´cujo produto seja 5. Com efeito, como o produto 5 e positivo esses ´numeros teriam o mesmo sinal. E como sua soma 2 tamb´ m e e ´positiva eles dois seriam positivos, logo ambos seriam < 2. Seu ˜produto entao seria menor do que 4, portanto diferente de 5. Os ´ ´numeros procurados podem tamb´ m reduzir-se a um unico, como e ´ ´no caso em que a soma dada e 6 e o produto e 9, pois a equacao ¸˜x ¾ − 6x + 9 = 0, da qual eles s˜ ra´zes, escreve-se como (x − 3)¾ = 0 ao ı ´ ´ ´ ´ ´logo sua unica raiz e 3. Ja os numeros cuja soma e 1 e cujo √ produtoe −1 sao as ra´zes da equacao x¾ − x − 1 = 0, que sao (1 ± 5)/2.´ ˜ ı ¸˜ ˜ ´ ¸˜ Um procedimento util para estudar a funcao quadr´ ´ atica e ocompletamento do quadrado. Basicamente, o m´ todo de comple- e ¸˜tar o quadrado se resume na observacao de que ¾ ¾ x¾ + px = x + p − p . 2 4Exemplo 2. x¾ + 10x = x¾ + 2 · 5 · x + 5¾ − 5¾ = (x + 5)¾ − 25.Exemplo 3. 3x¾ + 12x + 5 = 3(x¾ + 4x) + 5 = 3[(x + 2)¾ − 4] + 5 =3(x + 2)¾ − 7. ¸˜ atica f(x) = ax¾ + bx + c, escre- Em geral, dada a funcao quadr´vemos: ¾ ¾ ¾ ¾f(x) = a x¾ + b x +c = a x+ b − b +c = a x+ b + 4ac − b · a 2a 4a 2a 4a ´ Como veremos logo em seguida, e conveniente escreverm = −b/2a e k = (4ac − b ¾ )/4a. Verifica-se facilmente quek = f(m). Com esta notacao, temos, para todo x ∈ R: ¸˜ f(x) = a(x − m)¾ + k, onde m = −b/2a e k = f(m).Esta e a chamada forma canˆ nica do trinˆ mio f(x) = ax¾ + bx + c. ´ o o
  • 21. ¸˜ ´ Funcoes Quadraticas 23Exemplo 4. Se f(x) = 2x¾ − 5x + 3, temos m = 5/4, k = −1/8, logo o o ´a forma canˆ nica deste trinˆ mio e ¾ 5 1 f(x) = 2 x − − · 4 8 Escrevendo o trinˆ mio f(x) = 2x¾ − 5x + 3 na forma canˆ nica, o opodemos tirar pelo menos duas conclus˜ es: o 1) o menor valor de f(x) para todo x ∈ R e −1/8, obtido quando ´ x = 5/4. 2) as ra´zes da equacao 2x¾ − 5x + 3 = 0 se obtˆ m escrevendo ı ¸˜ e sucessivamente 5 ¾ 1 5 ¾ 1 5 ¾ 1 2 x− − = 0, 2 x − = , x− = , 4 8 4 8 4 16 5 1 5 1 x− =± , x= ± · 4 4 4 4 Logo essas ra´zes sao x = 1 e x = 3/2. ı ˜ De um modo geral, a forma canˆ nica f(x) = a(x − m)¾ + k onos permite concluir que, quando a > 0, o menor valor de f(x) e ´k = f(m) e, quando a < 0, k = f(m) e o maior valor de f(x), para ´qualquer x ∈ R. A forma canˆ nica nos fornece tamb´ m, quando b¾ − 4ac ≥ 0, as o e ¸˜ra´zes da equacao ax ı ¾ + bx + c = 0, pois esta igualdade equivalesucessivamente a a(x − m)¾ = −k, b¾ − 4ac (x − m)¾ = −k/a = , √ 4a¾ b¾ − 4ac x−m = ± , √2a √ b¾ − 4ac −b ± b¾ − 4ac x=m± = , 2a 2auma f´ rmula muito bem conhecida. o
  • 22. 24 Temas e Problemas O numero ∆ = b¾ − 4ac chama-se o discriminante da funcao ´ ¸˜quadr´ atica f(x) = ax¾ + bx + c. Vimos acima que, quando ∆ > 0, aequacao f(x) = 0 tem duas ra´zes reais e quando ∆ = 0, a mesma ¸˜ ıequacao ¸ ˜ possui uma unica raiz, chamada de raiz dupla. Note que ´∆ = −4ak, portanto ∆ = 0 equivale a k = 0. Logo, quando ∆ = 0,a forma canˆ nica se reduz a f(x) = a(x − m)¾ , ficando claro entao o ˜ bque f(x) = 0 somente quando x = m = − · Vemos ainda que, 2aquando ∆ = −4ak e negativo, a e k tˆ m o mesmo sinal, o qual e, ´ e ´neste caso, o sinal de f(x) = a(x − m) ¾ + k para qualquer x ∈ R.Logo ela nunca se anula, ou seja, a equacao ax¾ + bx + c = 0 nao ¸˜ ˜possui raiz real. ¸˜Exemplo 5. Para a funcao quadr´ atica f(x) = 2x¾ −12x+19, tem-sef(x) = 2(x¾ −6x) +19 = 2(x¾ −6x+9) +1 = 2(x−3)¾ +1, logo f(x) > 0para todo x. Em particular, n˜ se tem f(x) = 0 para valor algum aode x ∈ R. √ √ Sejam α = (−b + ∆)/2a e β = (−b − ∆)/2a as ra´zes da ıequacao ax¾ + bx + c = 0. Um calculo imediato nos mostra que ¸˜ ´α + β = −b/a e α · β = (b¾ − ∆)/4a¾ = c/a. Vemos que a m´ dia aritm´ tica das ra´zes, (α + β)/2 = −b/2a, e e e ı ´ ´ ´igual ao numero m tal que f(m) e o menor valor de f(x) (se a > 0)ou o maior (quando a < 0). Vemos tamb´ m que, quando ∆ ≥ 0, isto e, quando a equacao e ´ ¸˜ax ¾ + bx + c = 0 possui as ra´zes reais α, β, tem-se ı ax¾ + bx + c = a x¾ + x + = a x¾ − (α + β)x + αβ . b c a aLogo ax¾ + bx + c = a(x − α)(x − β). ´Esta e a chamada forma fatorada do trinˆ mio do segundo grau. o A forma fatorada fornece imediatamente a seguinte ¸˜ ¸˜ atica f(x) = ax¾ + bx + c :informacao sobre o sinal da funcao quadr´ Se x esta situado entre duas ra´zes da equa¸ ao f(x) = 0 ´ ı c˜ entao f(x) tem sinal oposto ao sinal de a. Caso con- ˜ trario, ou x e raiz ou f(x) tem o mesmo sinal de a. ´ ´
  • 23. ¸˜ ´ Funcoes Quadraticas 25Com efeito, o produto (x − α)(x − β) e negativo se, e somente se, x ´ ´esta entre α e β. A afirmacao acima inclui o caso em que a equacao f(x) = 0 nao ¸˜ ¸˜ ˜possui raiz real. (Ent˜ f(x) tem o mesmo sinal de a para todo aox ∈ R.) Inclui tamb´ m o caso em que essa equacao possui uma e ¸˜raiz dupla α. (Ent˜ para todo x = α, f(x) tem o mesmo sinal ao,de a.) Vejamos a seguir alguns problemas que envolvem o uso da ¸˜funcao quadr´atica. ´Exemplo 6. Mostrar que se dois numeros positivos tˆ m soma e ´ ´constante, seu produto e maximo quando eles s˜ iguais. ao Sejam x, y os numeros em questao, com x + y = b, logo ´ ˜y = b − x. Seu produto e f(x) = x(b − x) = −x¾ + bx, uma funcao ´ ¸˜quadr´atica de x com coeficiente a = −1 < 0, logo f(x) e maximo ´ ´quando x = −b/2a = −b/(−2) = b/2 e da´ y = b − x = b/2. ıExemplo 7. Tenho material suficiente para erguer 20 m de cerca.Com ele pretendo fazer um cercado retangular de 26 m¾ de area. ´ ˆQuanto devem medir os lados desse retangulo? ˜ Se x e y sao as medidas (em metros) dos lados do cercado re-tangular, temos x + y = 10. Pelo exemplo anterior, o maior valorposs´vel para a area xy e 5 × 5 = 25. Logo, com 20 m de cerca nao ı ´ ´ ˜ ˆposso cercar um retangulo de 26 m ¾ de area. ´ ´Exemplo 8. Mostrar que se o produto de dois numeros positivos´ ´ ıe constante, sua soma e m´nima quando eles s˜ iguais. ao Sejam x, y numeros positivos tais que xy = c. Os valores ´poss´veis para a soma s = x + y s˜ aqueles para os quais a ı ao ¸˜equacao x ¾ − sx + c = 0 possui ra´zes reais, ou seja, o discrimi- ınante ∆ = s ¾ − 4c e ≥ 0. Isto significa s¾ ≥ 4c, isto e, s ≥ 2√c. ´ ´ √O menor valor poss´vel para a soma s e portanto s = 2 c, que tor- ı ´na ∆ = 0 e a equacao x¾ − sx + c = 0 admite a raiz dupla x = s/2, ¸˜portanto y = s/2 e os numeros x, y sao iguais. ´ ˜ e e ´Exemplo 9. Mostrar que a m´ dia aritm´ tica de dois numeros po- ´ ` esitivos e sempre maior do que ou igual a m´ dia geom´ trica, sendo eigual apenas quando eles s˜ iguais. ao
  • 24. 26 Temas e Problemas Sejam a, b os numeros dados. Ponhamos c = ab. Entre todos ´os numeros positivos x, y tais que xy = c, a soma x + y e m´nima ´ √ ´ ıquando x = y, ou seja, x = y = c . (Vide Exemplo 8.) Neste caso, √ ´ ˜ n´a soma m´nima e 2 c . Em particular, como a e b sao √ umeros ıpositivos cujo produto e c, conclu´mos que a + b ≥ 2 c ; nou- ´ ı a+b √tros termos: ≥ ab, com igualdade valendo apenas quando 2a = b. ´Exemplo 10. Na Figura 6, determinar x de modo que a area doparalelogramo inscrito no retˆ angulo seja m´nima. Sup˜ e-se que ı oa ≤ b ≤ 3a. b–x x x a–x a–x x x b–x Figura 6 ´ ´ A area do paralelogramo inscrito e f(x) = ab − x(a − x) − x(b − x) = 2x¾ − (a + b)x + ab. Os dados do problema imp˜ em que 0 ≤ x ≤ a. O m´nimo de f(x) o ıe atingido no ponto m = (a + b)/4 e vale f(m) = ab − (a + b)¾ /8.´A condicao b ≤ 3a equivale a (a + b)/4 ≤ a, logo m ≤ a, portanto ¸˜ ¸˜ ´a solucao obtida e leg´tima. ıExemplo 11. Dois comerciantes formam uma sociedade com ocapital de 100 mil reais. Um deles trabalha 3 dias por semanae o outro 2. Ap´ s algum tempo, desfazem a sociedade e cada um o ¸˜recebe 99 mil reais. Qual foi a contribuicao de cada um para ocapital da sociedade? Um dos s´ cios entrou com x e o outro com 100 − x mil reais. oSeus lucros foram 99 − x e 99 − (100 − x) = x − 1 mil reais res-pectivamente. Sem perda de generalidade, podemos supor que a
  • 25. ¸˜ ´ Funcoes Quadraticas 27sociedade durou 5 dias. Os lucros de cada um por dia de servico ¸foram respectivamente (99 − x)/2 e (x − 1)/3 mil reais. Cada milreais aplicados deu, por dia de servico, o lucro ¸ 99 − x x−1 = . 2x 2(100 − x) ¸˜(Esta equacao exprime a equitatividade da sociedade.) Da´ vem ıa equacao x¾ − 595x + 29700 = 0, cujas ra´zes sao 55 e 540. Como ¸˜ ı ˜540 > 100, a unica raiz que serve e x = 55. Assim, um s´ cio contri- ´ ´ obuiu com o capital inicial de 55 mil reais e o outro com 45 mil. ¸˜ ¸˜Observacao: Se, ao montar a equacao do problema, tivess´ mosechamado de x o capital inicial do s´ cio que trabalhou 3 dias por osemana, ter´amos ı 99 − x x−1 = , 3x 2(100 − x)o que nos levaria a equacao x¾ + 395x − 19800 = 0, cujas ra´zes ` ¸˜ ısao 45 e −440. Desprezando a raiz negativa, concluir´amos ainda ˜ ıque o s´ cio que trabalhou 3 dias por semana entrou com 45 mil oreais e o outro com 55. Obtemos portanto a mesma resposta, a ¸˜partir de uma equacao diferente.2 ´ ¸˜ ´ O grafico de uma funcao quadratica ´ ¸˜O grafico de uma funcao quadr´ atica f : R → R, dada porf(x) = ax ¾ + bx + c, x ∈ R, e o subconjunto G ⊂ R¾ formado ´pelos pontos (x, ax¾ + bx + c), cuja abscissa e um numero real ar- ´ ´ ´ ´ ¸˜bitrario x e cuja ordenada e o valor f(x) que a funcao assume no ´ ´ponto x. Comecaremos mostrando que G e uma parabola. Isto ¸ ¸˜requer a definicao seguinte. Consideremos no plano uma reta d e um ponto F fora dela. A ´parabola de foco F e diretriz d e o conjunto dos pontos do plano ´ ˜que sao equidistantes do ponto F e da reta d (Figura 7). ˆ ´ Lembremos que a distancia de um ponto a uma reta e o compri-mento do segmento perpendicular baixado do ponto sobre a reta.
  • 26. 28 Temas e Problemas P F V d D Q Figura 7 ´ ` A reta que cont´ m o foco e e perpendicular a diretriz chama-se eo eixo da par´ abola. Chama-se v´ rtice da par´ e abola ao ponto dessa ´ ´curva que esta mais pr´ ximo da diretriz. Ele e o ponto m´ dio do o e ¸˜segmento cujas extremidades s˜ o foco e a intersecao do eixo com aoa diretriz. ` Se o ponto P pertence a par´ ´ abola e P e o seu sim´ trico em erelacao ao eixo, entao d(P , F) = d(P, F) e d(P , d) = d(P, d), logo ¸˜ ˜P tamb´ m pertence a par´ e ` abola. Isto significa que o que denomi- ´namos eixo e, de fato, um eixo de simetria da par´ abola. Mostraremos inicialmente que o gr´ ¸˜ afico da funcao quadr´aticaf(x) = ax ´¾ e a parabola em R¾ cujo foco e o ponto F = (0, 1/4a) e ´ ´cuja diretriz e a reta horizontal y = −1/4a. ´ Para nos convencermos disso, verificamos primeiro que, paratodo x ∈ R, vale a igualdade ¾ ¾ x¾ + ax¾ − ¾+ 1 , 1 = ax 4a 4a ´onde o primeiro membro e o quadrado da distˆ ancia do ponto gen´ - erico P = (x, ax¾ ) do grafico de f(x) = ax¾ ao foco F = (0, 1/4a) e o ´ ´segundo membro e o quadrado da distˆ ` ancia do mesmo ponto a retay = −1/4a. Isto mostra que todo ponto do grafico de f pertence a ´ `parabola em questao. Reciprocamente, se P = (x, y) e um ponto ´ ˜ ´qualquer dessa par´ abola, o ponto P = (x, ax ¾), como acabamos de `ver, tamb´ m pertence a par´ e abola, logo y = ax¾ pois essa curva ˜nao cont´ m dois pontos distintos com a mesma abscissa. Portanto e ´todo ponto da parabola pertence ao gr´ afico de f.
  • 27. ¸˜ ´ Funcoes Quadraticas 29 Se a > 0, a parabola y = ax¾ tem a concavidade voltada para ´ ´cima e seu v´ rtice (0,0) e o ponto de menor ordenada. Se a < 0, ea concavidade da par´ abola y = ax¾ e voltada para baixo e seu ´ ´ o ponto de maior ordenada (Figura 8).v´ rtice (a origem) e e æ 1 ö Y F = ç 0, ÷ Y è 4a ø 1 y= 4a X X 1 y=- 4a æ 1 ö F = ç 0,- ÷ è 4a ø Figura 8 ´ ¸˜ Em seguida, examinemos o grafico da funcao quadr´ atica f(x) =a(x − m) ¾ . Afirmamos que ele e uma parabola, cujo foco e o ponto ´ ´ ´F = (m, 1/4a) e cuja diretriz e a reta y = −1/4a (Figura 9). ´ y = a ( x - m) 2 Y æ 1 ö F = ç m, ÷ F è 4a ø X m 1 y=- 4a Figura 9 ¸˜ Para chegar a esta conclus˜ tem-se duas opcoes. Ou se veri- ao,fica que, para todo x ∈ R, vale a igualdade ¾ ¾ (x − m)¾ + a(x − m)¾ − ¾+ 1 , 1 = a(x − m) 4a 4a
  • 28. 30 Temas e Problemas ˜ou entao observa-se simplesmente que o gr´ afico de f(x) = a(x−m)¾resulta daquele de g(x) = ax ¾ pela translacao horizontal (x, y) → ¸˜(x + m, y), que leva o eixo vertical x = 0 na reta vertical x = m. ´ ¸˜ Finalmente, o grafico da funcao quadr´ atica f(x) = a(x − m)¾ + ke a parabola cujo foco e o ponto F = (m, k + 1/4a) e cuja diretriz e´ ´ ´ ´a reta horizontal y = k − 1/4a (Figura 10). Y y = a ( x - m) 2 + k æ 1 ö F = ç m, k + ÷ F è 4a ø 1 y=k- 4a m X Figura 10 Com efeito, o grafico de y = a(x − m)¾ + k resulta daquele de ´y = a(x − m) ¾ pela translacao vertical (x, y) → (x, y + k), que leva ¸˜o eixo OX na reta y = k e a reta y = −1/4a na reta y = k − 1/4a. ¸˜ Ora, qualquer funcao quadr´ atica f(x) = ax¾ + bx + c pode serescrita sob a forma f(x) = a(x − m)¾ + k, onde m = −b/2a ek = f(m). Logo, o grafico de uma funcao quadr´ ´ ¸˜ ´ atica e sempre ´uma parabola. Que significado gr´ afico tˆ m os coeficientes a, b, c da funcao e ¸˜quadr´ atica f(x) = ax¾ + bx + c? O mais obvio e o significado de c: o valor c = f(0) e a abscissa ´ ´ ´do ponto em que a parabola y = ax ´ ¾ + bx + c corta o eixo OY. O coeficiente a mede a maior ou menor abertura da parabola. ´Como o grafico de f(x) = ax¾ + bx + c se obt´ m do grafico de g(x) = ´ e ´ax¾ por uma translacao horizontal seguida de uma translacao ver- ¸˜ ¸˜ ˜tical, portanto sao figuras congruentes, basta examinar o signifi-
  • 29. ¸˜ ´ Funcoes Quadraticas 31cado de a no gr´afico de g(x) = ax¾ . Por simplicidade, suponhamosa > 0. Entao a < a ⇒ ax¾ < a x¾ para todo x = 0, logo a par´ ˜ abolay=ax ¾ situa-se no interior de y = ax¾ . Assim, quanto maior fora mais fechada ser´ a par´ a ´ abola e, vice-versa, quanto menor e a ´mais aberta se vˆ a parabola. No caso de a e a negativos, “maior” ee “menor” devem ser tomados no sentido de valor absoluto (Figu-ra 11). y = 2x 2 y = x 2 Y y = ax 2 + bx + c Y 1 2 y= x 2 c X X O O Figura 11 ´ ¸˜ O coeficiente b e a inclinacao da reta tangente a par´` abola noponto P = (0, c), intersecao da par´ ¸˜ abola com o eixo y. Expliquemose provemos esta afirmacao. ¸ ˜ ´ Seja P um ponto de uma parabola. Uma reta que passe por P ´determina dois semiplanos. Diz-se que essa reta e tangente a ` ´parabola no ponto P quando a par´ abola est´ contida inteiramente anum desses semiplanos. A reta que passa pelo ponto P = (0, c) e tem inclinacao b e des- ¸˜ ´crita pela equacao y = bx+c. Os semiplanos por ela determinados ¸˜sao descritos pelas desigualdades y ≥ bx + c (semiplano superior) ˜e y ≤ bx+c (semiplano inferior). Os pontos (x, y) da par´ abola cum-prem y = ax ¾ + bx + c logo estao todos no semiplano superior da ˜reta y = bx + c quando a > 0 ou estao todos no semiplano inferior ˜se for a < 0. Portanto a reta y = bx+c, de inclinacao b, e tangente ¸˜ ´`a par´abola y = ax ¾ + bx + c no ponto P = (0, c) (Figura 12).Exemplo 11 (completando o Exemplo 10). Agora que conhece-mos a forma geom´ trica do gr´ e ¸˜ atica f(x) = afico da funcao quadr´
  • 30. 32 Temas e Problemas Y y = ax 2 + bx + c X O y = bx + c Figura 12ax¾ + bx + c, podemos ver claramente que, se a > 0, entao a ˜funcao, que assume seu valor m´nimo quando x = m = −b/2a, ¸˜ ı´ ` `e decrescente a esquerda de m e crescente a direita de m. NoExemplo 10, independentemente de ser b ≤ 3a ou b > 3a, a area ´do paralelogramo inscrito no retˆ angulo e sempre igual a f(x) = ´2x¾ − (a + b)x + ab. Trata-se de achar, entre os numeros x tais que ´0 ≤ x ≤ a, aquele para o qual o valor f(x) e o menor poss´vel. Como ´ ıestamos supondo 3a < b, temos 4a < a + b, dondea < (a + b)/4 = m. Assim, o intervalo [0, a] esta a esquerda do ´ ` ¸˜ponto m no qual a funcao quadr´ atica assume seu m´nimo. Logo ıf e decrescente no intervalo [0, a] e, consequentemente, seu menor ´ ¨valor nesse intervalo e f(a). Portanto, x = a e a resposta do pro- ´ ´ ´blema no caso em que b > 3a. O paralelogramo de area m´nima eı ´ ˜entao aquele hachurado na Figura 13. b–a a a a a b–a Figura 13
  • 31. ¸˜ ´ Funcoes Quadraticas 33 A reta vertical x = −b/2a cont´ m o v´ rtice (−b/2a, f(−b/2a)) e eda par´ abola y = ax¾ + bx + c, logo e o eixo de simetria dessa ´curva, gr´ afico da funcao f(x) = ax¾ + bx + c. Portanto dois pon- ¸˜tos (x , y) e (x , y) da par´ abola tˆ m a mesma ordenada, ou seja, ef(x ) = f(x ) se, e somente se, −b/2a e o ponto m´ dio do intervalo ´ e ˜cujos extremos sao x e x . Noutras palavras, b x +x f(x ) = f(x ) ⇔ − = ⇔ x + x = −b/a. 2a 2 Este fato pode ser verificado sem o gr´ afico, a partir da formacanˆ nica f(x) = (x − m)¾ + k, onde m = −b/2a e k = f(m). Com oefeito, f(x ) = f(x ) ⇔ (x − m)¾ + k = (x − m)¾ + k ⇔ (x − m)¾ = (x − m)¾ ⇔ x − m = ±(x − m).Ora x −m = x −m equivale a x = x , enquanto x −m = −(x −m)equivale a m = (x + x )/2.3 Movimento uniformemente variadoUm dos exemplos mais relevantes em que se aplicam as funcoes ¸˜quadr´ ´ aticas e o movimento uniformemente variado. Aqui se tem ¸˜um ponto m´ vel, que se desloca ao longo de um eixo. Sua posicao o ´no instante t e determinada pela abscissa f(t). O que caracteriza ´o movimento uniformemente variado e o fato de f ser uma funcao¸˜quadr´atica, que se escreve usualmente sob a forma 1 ¾ f(t) = at + bt + c. 2 ao, c˜ ´Nesta express˜ a constante a chama-se a acelera¸ ao, b e a velo-cidade inicial (no instante t = 0) e c e a posi¸ ao inicial do ponto. ´ c˜ Em qualquer movimento retil´neo, dado por uma funcao arbi- ı ¸˜ ´traria f(t), o quociente f(t + h) − f(t) espaco percorrido ¸ = h tempo de percurso
  • 32. 34 Temas e Problemaschama-se a velocidade m´ dia do ponto no intervalo cujos extremos e 1sao t e t + h. No caso em que f(t) = at¾ + bt + c, a velocidade ˜ 2 ahm´ dia nesse intervalo e igual a at + b + e ´ · Para valores cada vez 2menores de h, este numero vale aproximadamente at + b. Por isso ´dizemos que v(t) = at + b´e a velocidade (no movimento uniformemente variado) do pontono instante t. Quando t = 0, tem-se v(0) = b. Por isso b se cha-ma a velocidade inicial. Al´ m disso, para t e h quaisquer, tem-se e[v(t + h) − v(t)]/h = a, logo a aceleracao constante a e a taxa de ¸˜ ´ ¸˜variacao da velocidade. Um importante exemplo de movimento uniformemente varia- ´ ´ ` ¸˜do e a queda livre de um corpo, isto e, sujeito apenas a acao da gra-vidade, desprezada a resistˆ ncia do ar. Neste caso, a aceleracao e ¸˜ ´da gravidade e representada por g e seu valor, determinado expe-rimentalmente, e g = 9,81 m/seg ¾ . ´ ´ Se o corpo e simplesmente deixado cair de uma altura (que con-sideramos de coordenada zero num eixo vertical, orientado para ˜ ´baixo) sem ser empurrado, entao sua velocidade inicial e zero esua posicao inicial e dada por c = 0, logo sua coordenada, ap´ s ¸˜ ´ o 1 ¾t segundos de queda, e gt = x. Reciprocamente, esse corpo ´ 2percorre x metros em t = 2x/g segundos. ¸˜ Nosso conhecimento da funcao quadr´ atica permite responder`as mais diversas quest˜ es a respeito do movimento uniformemen- o ´te variado. Por exemplo, se uma part´cula e posta em movimento ısobre um eixo a partir de um ponto de abscissa −6 com velocida-de inicial de 5 m/seg e aceleracao constante de −2 m/seg ¾ , quanto ¸˜tempo se passa at´ sua trajet´ ria mude de sentido e ela comece a e ovoltar para o ponto de partida? Resposta: temos f(t) = −t¾ +5t−6.Logo o valor m´ aximo de f e obtido quando t = −5(−2) = 2,5 seg. ´Podemos ainda dizer que o ponto comeca a voltar quando v(t) = 0. ¸Como v(t) = −2t + 5 isto nos da novamente t = 2,5 seg. ´ O movimento uniformemente variado pode ocorrer tamb´ m no e ´plano. Um exemplo disso e o movimento de um proj´ til (uma bala, e
  • 33. ¸˜ ´ Funcoes Quadraticas 35uma bola, uma pedra, etc.) lancado por uma forca instantˆ ¸ ¸ anea e, a ` ¸˜partir da´, sujeito apenas a acao da gravidade, sendo desprezada a ı ´resistˆ ncia do ar (movimento no vacuo). Embora o processo ocorra e ¸ o e ´no espaco tridimensional, a trajet´ ria do proj´ til esta contida noplano determinado pela reta vertical no ponto de partida e pela ¸˜direcao da velocidade inicial. Quanto se tem um movimento retil´neo (sobre um eixo), a ve- ı ´ ´locidade do m´ vel e expressa por um numero. Mas quando o mo- o ´vimento ocorre no plano ou no espaco, a velocidade e expressa por ¸um vetor (segmento de reta orientado), cujo comprimento se cha-ma a velocidade escalar do m´ vel (tantos metros por segundo). A o ¸˜ ¸˜direcao e o sentido desse vetor indicam a direcao e o sentido domovimento. ´ No plano em que se da o movimento, tomemos um sistema de ´coordenadas cuja origem e o ponto de partida do proj´ til e cujo e ´eixo OY e a vertical que passa por esse ponto. A velocidade inicial do proj´ til e o vetor v = (v½ , v¾ ) cuja primei- e ´ra coordenada v½ fornece a velocidade da componente horizontal ¸˜do movimento (deslocamento da sombra, ou projecao do proj´ til esobre o eixo horizontal OX). ´ e ´ Como a unica forca atuando sobre o proj´ til e a gravidade, a ¸ ˜qual nao possui componente horizontal, nenhuma forca atua so- ¸ ´bre este movimento horizontal, que e portanto um movimento uni-forme. Assim, se P = (x, y) e ´ a posicao do proj´ til no instante t, ¸˜ etem-se x = v½ t. ¸˜ ´ Por sua vez, a aceleracao (= forca) da gravidade e constante, ¸vertical, igual a −g. (O sinal menos se deve ao sentido da gra- ` ¸˜vidade ser oposto a orientacao do eixo vertical OY.) Portanto, a ´componente vertical do movimento de P e um movimento unifor-memente acelerado sobre o eixo OY, com aceleracao igual a −g e ¸˜velocidade inicial v¾ . Logo, em cada instante t, a ordenada y do ponto P = (x, y) e ´ 1 ¾dada por y = − gt + v¾ t. (Nao ha termo constante porque y = 0 ˜ ´ 2quando t = 0.) Veja a Figura 14.
  • 34. 36 Temas e Problemas Y 1 2 P = (x, y) y= gt + v2t 2 v2 X O v1 x = v1t Figura 14 Se v½ = 0 entao, para todo t, tem-se x = v½ t = 0, logo P = (0, y), ˜com y = − gt¾ + v¾ t . 1 2 e ´Neste caso, a trajet´ ria do proj´ til e vertical. o Suponhamos agora v½ = 0. Entao, de x = v½ t vem t = x/v½ . ˜Substituindo t por este valor na express˜ de y, obtemos ao y = ax¾ + bx, onde a = −g/1v¾ e b = v¾ /v½ . ½ e ´ ´Isto mostra que a trajet´ ria do proj´ til e uma parabola. o ´4 A propriedade refletora da parabola ¸˜ ¸˜Outra aplicacao bastante difundida da funcao quadr´ atica, ou me-lhor, da par´ abola que lhe serve de gr´ ` afico, diz respeito a proprie-dade refletora dessa curva. Se girarmos uma par´ abola em torno do seu eixo, ela vai ge-rar uma superf´cie chamada parabol´ ide de revolu¸ ao, tamb´ m ı o c˜ e ı o ı ´conhecida como superf´cie parab´ lica. Esta superf´cie possui inu- ¸˜meras aplicacoes interessantes, todas elas decorrentes de umapropriedade geom´ trica da par´ e ¸˜ abola, que veremos nesta secao. ı o ` A fama das superf´cies parab´ licas remonta a Antiguidade. ´Ha uma lenda segundo a qual o extraordin´ ´ ario matematico grego
  • 35. ¸˜ ´ Funcoes Quadraticas 37Arquimedes, que viveu em Siracusa em torno do ano 250 A.C.,destruiu a frota que sitiava aquela cidade incendiando os navioscom os raios de sol refletidos em espelhos parab´ licos. Embora o ´ s´ rias duvidas hist´ ricas so-isto seja teoricamente poss´vel, ha e ı ´ o ´bre a capacidade tecnol´ gica da epoca para fabricar tais espelhos. oMas a lenda sobreviveu, e com ela a id´ ia de que ondas (de luz, e ´de calor, de radio ou de outra qualquer natureza), quando refleti-das numa superf´cie parab´ lica, concentram-se sobre o foco, assim ı oampliando grandemente a intensidade do sinal recebido. Da lenda de Arquimedes restam hoje um interessante acen-dedor solar de cigarros e outros artefatos que provocam ignicao ¸˜fazendo convergir os raios de sol para o foco de uma superf´cie ıparab´ lica polida. o Outros instrumentos atuam inversamente, concentrando na ¸˜direcao paralela ao eixo os raios de luz que emanam do foco. Comoexemplos, citamos os holofotes, os far´ is de autom´ veis e as sim- o o ˜ `ples lanternas de mao, que tˆ m fontes luminosas a frente de uma esuperf´cie parab´ lica refletora. ı o xo ei F Figura 15 ´ Um importante uso recente destas superf´cies e dado pelas an- ıtenas parab´ licas, empregadas na r´ o adio-astronomia, bem como nodia-a-dia dos aparelhos de televis˜ refletindo os d´ beis sinais ao, eprovenientes de um sat´ lite sobre sua superf´cie, fazendo-os con- e ı ´vergir para um unico ponto, o foco, deste modo tornando-os consi-deravelmente mais n´tidos. ı ¸˜ Se a antena parab´ lica estiver voltada para a posicao (esta- o ´cionaria) do sat´ lite, a grande distˆ e ancia far´ com que os sinais por a
  • 36. 38 Temas e Problemasele emitidos que atingem a antena sigam trajet´ rias praticamen- ote paralelas ao eixo da superf´cie da antena, logo eles se refletir˜ ı aona superf´cie e convergir˜ para o foco. Para a demonstracao da ı ao ¸˜propriedade refletora da par´ abola, vide o livro “A Matem´ atica do ´Ensino M´ dio”, vol. 1, paginas 135 a 141. e
  • 37. ¸˜ ´ Funcoes Quadraticas 39 Problemas Propostos∗ 11. Se x > 0, mostre que x + ≥ 2, valendo a igualdade somente xquando x = 1. ´2. Sejam a e b numeros positivos. Prove que, para x > 0 e y > 0com xy = c (constante), a soma ax + by assume seu valor m´nimo √ ıquando ax = by = abc.3. Deseja-se cavar um buraco retangular com 1 m de largura demodo que o volume cavado tenha 300 m¿ . Sabendo que cada metro ´quadrado de area cavada custa 10 reais e cada metro de profundi-dade custa 30 reais, determinar o comprimento e a profundidadedo buraco a fim de que seu custo seja o menor poss´vel. ı4. Duas torneiras juntas enchem um tanque em 12 horas. Umadelas sozinha levaria 10 horas mais do que a outra para enchˆ - elo. Quantas horas leva cada uma das torneiras para encher essetanque?5. Se uma torneira enche um tanque em x horas e outra em y ho-ras, quanto tempo levariam as duas juntas para encher esse mes-mo tanque?6. Usar a f´ rmula que serve de resposta ao exerc´cio anterior para o ıresolver o seguinte problema: Dois guindastes levam juntos 6 ho-ras para descarregar um navio. Se os dois operassem sozinhos,um deles levaria 5 horas a menos do que o outro para efetuar adescarga. Em quanto tempo cada um dos guindastes descarrega-ria o navio?7. Dois comerciantes vendem um certo tecido. O segundo vendeu3 metros mais do que o primeiro. No fim do dia, os dois recebemjuntos o total de 35 reais pela venda daquele tecido. O primeirodiz: “Se eu tivesse vendido a meu preco a quantidade que vocˆ ¸ e ∗ ¸˜ ´ Solucoes na pagina 138.
  • 38. 40 Temas e Problemasvendeu, teria apurado 24 reais”. O segundo responde: “E eu teriarecebido R$ 12,50 pelo tecido que vocˆ vendeu”. Quantos metros evendeu cada um e a que preco? ¸ √8. Mostre que a equacao m + x = x tem uma unica solucao quan- ¸˜ ´ ¸˜do m > 0 ou m = −1/4, tem duas solucoes quando −1/4 < m ≤ 0 ¸˜e nenhuma solucao quando m < −1/4. Interprete graficamente ¸˜este resultado. ´9. Um professor comprou varios exemplares de um livro parapresentear seus alunos, gastando 180 reais. Ganhou 3 livros a ¸˜mais de bonificacao e com isso cada livro ficou 3 reais mais bara-to. Quantos livros comprou e a que preco? ¸10. Quantos lados tem um pol´gono convexo que possui 405 dia- ıgonais? ´11. Um campeonato e disputado em 2 turnos, cada clube jogando ´duas vezes com cada um dos outros. O total de partidas e 306. ˜Quantos clubes estao no campeonato?12. Um grupo de amigos, numa excurs˜ aluga uma van por ao,342 reais. Findo o passeio, trˆ s deles estavam sem dinheiro e eos outros tiveram que completar o total, pagando cada um deles19 reais a mais. Quantos eram os amigos?13. Desprezando a resistˆ ncia do ar, determinar a profundidade ede um poco, sabendo que decorreram t segundos entre o instante ¸em que se deixou cair uma pedra e o momento em que se ouviu ´o som do seu choque com a agua no fundo. (Dar a resposta em ¸˜ ¸˜funcao da aceleracao da gravidade g e da velocidade do som v.Tem-se g = 9,8 m/seg ¾ e v = 340 m/seg, mas estes numeros nao ´ ˜precisam ser usados.) ´14. Nas aguas paradas de um lago, um remador rema seu barcoa 12 km por hora. Num certo rio, com o mesmo barco e a mesmaforca nas remadas, ele percorreu 12 km a favor da corrente e 8 km ¸
  • 39. ¸˜ ´ Funcoes Quadraticas 41contra a corrente, num tempo total de 2 horas. Qual era a veloci-dade do rio, quanto tempo ele levou para ir e quanto tempo paravoltar? ˆ15. Um triangulo is´ sceles mede 4 cm de base e 5 cm de altu- ora. Nele deve-se inscrever outro triˆ angulo is´ sceles invertido, cu- o ´ ` ´ja base e paralela a base do maior e cujo v´ rtice e o ponto m´ dio e e ´ ´ ´da base do primeiro. Qual e a area maxima poss´vel do triˆ ı anguloinvertido? Qual a altura desse triˆ ´ ´ angulo de area maxima? ´ ´ ¸˜ ´16. Qual e o valor maximo (ou m´nimo) das funcoes quadraticas ıf(x) = 2(x − 2)(x + 3), g(x) = 3(2 − x)(5 + x)? ˆ17. Retiramos de um dos extremos da base b de um retangulo dealtura a (com a < b) um segmento de comprimento x e o acrescen- `tamos a altura. Para qual valor de x este novo retˆ ´ angulo tem area ´maxima? ´18. A soma das medidas das diagonais de um losango e 8 cm. Qual ´o maior valor poss´vel da area desse losango? ı ˜ ´19. Quais sao os valores poss´veis para o produto de dois numeros ı ¸ ´ ´reais cuja diferenca e 8 ? Ha um menor valor poss´vel? Um maior? ı ¸˜20. Seja m o ponto onde a funcao quadr´ atica f assume seu va-lor m´nimo k = f(m). Exprima algebricamente a funcao inversa ı ¸˜ ¹½f : [k, +∞) → [m, +∞). Trate explicitamente o caso particularf(x) = x¾ − 6x + 10. ˆ21. A partir de dois v´ rtices opostos de um retangulo de lados a, b emarquemos quatro segmentos de comprimento x (Figura 16). Asextremidades desses segmentos formam um paralelogramo. Para ´ ´qual valor de x a area desse paralelogramo e a maior poss´vel? ı ´22. Quais numeros: ˜ a) Sao pelo menos 16% maiores do que seus quadrados? ˜ ´ b) Sao no maximo 22% menores do que o quadrado de suas me- tades?
  • 40. 42 Temas e Problemas x x b x x a Figura 16 c) Tˆ m o quadrado de sua metade 30% maior do que sua quinta e parte?23. Se p, q e r sao inteiros ´mpares, prove que a equacao ˜ ı ¸˜px¾ + qx + r = 0 nao pode ter raiz racional. ˜ ¸˜24. Dois digitadores, A e B, se alternam na preparacao de ummanuscrito de 354 laudas. A trabalhou 3 horas a mais do que B.Se A tivesse trabalhado durante o mesmo tempo que B trabalhou,teria digitado 120 laudas. Se B tivesse digitado durante o mesmotempo que A trabalhou, teria completado 252 laudas. Durantequanto tempo cada um trabalhou e quantas laudas cada um digi-tou?25. De um tonel de vinho, algu´ m retira uma certa quantidade e e ´a substitui por um volume igual de agua. Ap´ s repetida a mesma o ¸˜ ´operacao, o l´quido que restou no tonel e metade vinho, metade ı´ ´agua. Quanta agua foi colocada no tonel cada uma das duas vezes? ´ ¸˜ atica f tal que f(1) = 2, f(2) = 5 e26. Qual e a funcao quadr´f(3) = 4 ? ¸˜27. A funcao quadr´atica f(x) = ax¾ + bx + c e tal que seu grafico ´ ´tangencia o eixo das abscissas. Sabendo que f(1) = f(3) = 2, de-termine a, b e c.
  • 41. Cap´tulo 3 ı ¸˜Funcoes Exponenciais eLogar´tmicas ıProblema 1. Uma piscina tem capacidade para 100 m¿ de agua. ´ ´Quando a piscina est´ completamente cheia, e colocado 1 kg de a ´cloro na piscina. Agua pura (sem cloro) continua a ser colocada na ´piscina a uma vaz˜ constante, sendo o excesso de agua eliminado ao ˜atrav´ s de um ladrao. Depois de 1 hora, um teste revela que ainda erestam 900 g de cloro na piscina. a) Que quantidade de cloro restar´ na piscina 10 horas ap´ s a o ¸˜ sua colocacao? ¸˜ b) E ap´ s meia hora da aplicacao? o c) E ap´ s t horas? o Uma resposta muitas vezes dada para a primeira pergunta e ´ ˜ ´que, ap´ s 10 horas, nao ha mais cloro na piscina. Esta resposta o ¸˜ ¸˜resulta da aplicacao do modelo mais simples de variacao de uma ¸˜grandeza, expresso por uma funcao afim. Segundo este modelo, ¸˜ ´a variacao sofrida em cada intervalo de 1 hora e sempre a mes-ma. Assim, se na primeira hora foram eliminados 100 g de cloro,o mesmo deveria ocorrer em cada uma das 10 horas seguintes,fazendo com que todo o cloro seja eliminado nestas 10 horas. O ´grafico da Figura 17 ilustra este racioc´nio. ı ¸˜ ˜ ´ ˜ ´ ´ A solucao acima, entretanto, nao esta correta. Nao e razoavel ¸˜admitir-se que a eliminacao de cloro se dˆ a uma taxa constante. e ´ ´De fato, e muito mais razoavel que esta taxa dependa da quanti-dade de cloro presente na piscina: quanto maior a quantidade de 43
  • 42. 44 Temas e Problemas Cloro (g) 1000 900 Tempo (h) 1 10 Figura 17 ´cloro, mais cloro e eliminado por unidade de tempo. Na verdade,parece intuitivo que a quantidade eliminada por unidade de tem- `po seja proporcional a quantidade existente de cloro. Para veri- ¨ficarmos esta conjetura, utilizaremos um recurso frequentementeutilizado para analisar problemas envolvendo grandezas que va-riam continuamente: vamos discretizar o problema. Ao inv´ s de e ´ ´considerar que a agua ingressa na piscina e e dela eliminada demodo cont´nuo, vamos dividir o tempo em pequenos intervalos de ıcomprimento ∆t e imaginar que, em cada um destes intervalos,o processo ocorra da forma descrita a seguir. Primeiro, ingressana piscina, cujo volume representaremos por V, uma quantidade ´ ´ ˜de agua pura igual a v∆t, onde v e a vazao (expressa, por exem-plo, em m ¿ por hora); esta agua e adicionada a mistura existente ´ ´ ` ´ ´de cloro e agua. A seguir, um volume igual a v∆t e retirado damistura, restaurando o volume inicial (veja a Figura 18). Vejamos o que ocorre com a quantidade c(t) de cloro em ca-da um destes intervalos. No in´cio do processo, esta massa est´ ı auniformemente distribu´da em um volume V de l´quido. Ap´ s o ı ı o ´ingresso de agua pura, a quantidade de cloro n˜ se altera, mas aopassa a estar distribu´da em um volume igual a V + v∆t. Deste ıvolume, retira-se v∆t , retendo-se um volume igual a V. Como o
  • 43. ¸˜ Funcoes Exponenciais e Logar´tmicas ı 45 Piscina no Água pura é Água pura se Volume vDt instante t acrescentada mistura à é retirado (volume V) (volume V+vDt) água da piscina (volume V) Figura 18 ´cloro esta distribu´do uniformemente, a quantidade de cloro que ı ´ ´permanece na piscina e proporcional ao volume retido. Isto e, te-mos, o seguinte quadro: Volume de l´quido ı Quantidade de cloro Antes da sa´da ı V + v∆t c(t) Depois da sa´da ı V ? ´ ˜ Î O valor desconhecido e, entao, dado por c(t + ∆t) = c(t) Î ·Ú¡Ø . ´ ¸˜ Î ´O mais importante a observar e que a fracao Î ·Ú¡Ø e constantepara cada intervalo de comprimento ∆t. Assim, em cada um des- ´tes intervalos, a quantidade de cloro e multiplicada por um valor ´constante. Note que o mesmo ocorrera em um intervalo maior, ¸˜formado pela justaposicao de n intervalos de comprimento ∆t:a quantidade de cloro em um intervalo de tamanho n∆t e mul-´ Î Ò ¸˜tiplicada por Î ·Ú¡Ø . A variacao da quantidade de cloro, por sua ´ ¸˜vez, e obtida da equacao acima subtraindo-se a quantidade ini-cial c(t) em cada lado, o que fornece V v∆t c(t + ∆t) − c(t) = c(t) −1 = c(t) − . V + v∆t V + v∆t ´Uma outra forma de expressar o mesmo fato e dizer que a variacao¸˜relativa ´Ø·¡Øص¹ ´Øµ e constante e igual a − ÎÚ¡Ø . Isto confirma o ´ µ ´ ·Ú¡Øcomportamento que t´nhamos intu´do anteriormente: a variacao ı ı ¸˜
  • 44. 46 Temas e Problemasda quantidade de cloro em intervalos de mesmo comprimento e ´ `proporcional a quantidade existente no in´cio do intervalo. ı ´ Voltemos ao nosso problema. A analise acima mostra a inade- ¸˜ ¸˜ ¸˜quacao da primeira tentativa de solucao e aponta a solucao cor-reta. A perda de cloro, nos per´odos consecutivos de 1 hora, n˜ ı ao´ ´e a mesma. O que e constante, em cada um destes per´odos, e a ı ´ ¸˜variacao relativa: se 10% do cloro foi eliminado na primeira hora,o mesmo ocorre em cada hora a seguir. Equivalentemente, se 90%do cloro permanece ap´ s a primeira hora, o mesmo ocorre em cada o ¸˜hora a seguir. Logo, ap´ s 10 horas da aplicacao, a quantidade de ocloro tera sido multiplicada por (0,9)½¼ = 0,349. Portanto, neste ´ ´instante havera 349 gramas de cloro na piscina. De modo geral,podemos expressar a quantidade de cloro ao final de n horas (onde ´n e natural) por: c(n) = 1000 · (0,9)Ò , para n = 0, 1, 2, . . .A Figura 19 ilustra este comportamento. 1200 1000 800 Cloro (g) 600 400 200 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo (h) Figura 19 Observe que estas quantidades formam uma progress˜ geo- aom´ trica. Na verdade, ao se considerar a quantidade de cloro em e
  • 45. ¸˜ Funcoes Exponenciais e Logar´tmicas ı 47instantes igualmente espacados, obt´ m-se sempre uma progressao ¸ e ˜ ´ ´geom´ trica, ja que aquela quantidade e multiplicada pela mesma econstante em cada intervalo. Podemos usar este fato para res- `ponder a segunda pergunta do problema, subdividindo o per´odo ı o ¸˜de uma hora ap´ s a aplicacao de cloro em dois per´odos de meia ıhora cada. Em cada um destes per´odos, a quantidade de cloro e ı ´multiplicada por uma constante k (Figura 20). Como ao final dos ı √ ´dois per´odos de meia hora a quantidade de cloro e multiplicadapor 0,9, temos k · k = 0,9 e, da´, k = 0,9 = 0,948. Logo, a quanti- ıdade de cloro ap´ s 6 horas e igual a 1000 × 0,948 = 948 g. Note que, o ´se tiv´ ssemos usado o modelo afim da Figura 17, ter´amos obtido e ı950 g para a quantidade de cloro neste instante. ´ 0,9 ´k 0 ½ 1 Figura 20 ¸˜ Podemos generalizar a solucao acima e calcular a quantidadede cloro a intervalos constantes de meia hora. De fato, para uminstante da forma t = ½ n, com n natural, temos c(t) = c ½ n = ¾ ¾c(0)kÒ , onde k e a constante calculada acima. Assim, ´ √ Ò 0,9 = 1000 (0,9)Ò ¾ , para n = 0, 1, 2, . . . 1 c(t) = c( n) = 1000 2 ˜ Novamente, estes valores formam uma progressao geom´ trica, e ao ´ilustrada na Figura 21. Esta progress˜ e obtida a partir da pro- ˜gressao da Figura 19 “interpolando um meio geom´ trico” entre ecada par de termos consecutivos. Observe que, substituindo Ò por t, temos c(t) = 1000 · (0,9)Ø ¾para todo t da forma Ò . Na verdade, podemos mostrar que a ex- ¾ ˜pressao acima vale para todo t racional, aplicando o mesmo pro-cesso acima. De fato, seja t = p/q. Como este intervalo e formado ´
  • 46. 48 Temas e Problemas 1200 1000 800 Cloro (g) 600 400 200 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo (h) Figura 21 ¸˜pela justaposicao de p intervalos de comprimento 1/q, a quanti-dade de cloro restante neste instante e dada por c(p/q) = c(0)kÔ , ´ ´ ´onde k e a constante pela qual a quantidade de cloro e multipli-cada em intervalos de tempo de comprimento 1/q. Mas q destesintervalos formam um intervalo de comprimento 1, em que c(t) e ´multiplicado por 0,9. Assim, k Õ = 0,9 e k = 0,9½ Õ (veja a Figu-ra 22). ´ 0,9 ´k 0 1/q 1 p/q Figura 22 ¸˜ Substituindo na equacao acima, obtemos Ô c(t) = c(p/q) = c(0). 0,9½ Ô = 1000 · 0,9Ô Õ = 1000 · 0,9Ø . ´ E para valores irracionais de t? A resposta e que todo t ir-racional pode ser aproximado, com precis˜ arbitr´ ao aria, por uma
  • 47. ¸˜ Funcoes Exponenciais e Logar´tmicas ı 49valores racionais. Os valores correspondentes de c fornecem, por ¸˜ ´sua vez, aproximacoes para c(t). Este e exatamente o mecanismo ¸˜atrav´ s do qual se define uma funcao exponencial, como veremos emais adiante. Assim, a funcao ¸ ˜ que fornece a quantidade de cloroque resta no instante t e dada por c(t) = 1000 · 0,9Ø , para todo t ´ ´ ¸˜ ´real. O grafico desta funcao e dado na Figura 23. 1200 1000 800 Cloro (g) 600 400 200 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo (h) Figura 23 ´ O exemplo acima ilustra um modelo matematico de variacao ¸˜ ´ ˜que e tao importante quanto o modelo dado por uma funcao afim.¸˜ ¸˜As situacoes em que ele se aplica s˜ aquelas em que, ao inv´ s ao eda variacao absoluta f(x + h) − f(x) n˜ depender de x (depender, ¸˜ ao ´portanto, apenas de h), quem tem esta propriedade e a variacao ¸˜ ´Ü· µ¹ ´Üµrelativa ´Üµ ¸˜ . Funcoes crescentes (ou decrescentes) com estapropriedade s˜ necessariamente da forma f(x) = baÜ . Os valores ao ¸˜de a e b, a exemplo do que ocorre nas funcoes afins, pode ser facil-mente interpretado em termos dos valores de f nos pontos x = 0 ex = 1. Temos f(0) = b · a¼ = b. Logo, b corresponde ao valor inicialf(0). Ja no ponto x = 1, temos f(1) = b · a½ = f(0)a. Portanto, ´a = f(1)/f(0) e corresponde a constante pela qual f e multiplicada ` ´em todo intervalo de comprimento 1. Em resumo, temos o teorema abaixo, discutido em mais deta- ´lhes em “A Matematica do Ensino M´ dio”, vol. 1. e
  • 48. 50 Temas e ProblemasTeorema. Seja f : R → R uma fun¸ ao mon´ tona injetiva (isto e, c˜ o ´crescente ou decrescente) tal que, para cada x e h, a varia¸ ao relati- c˜va [f(x+h)−f(x)]/f(x) (ou, equivalentemente, a razao f(x+h)/f(x)) ˜depende apenas de h e nao de x. Entao, se b = f(0) e a = f(1)/f(0), ˜ ˜tem-se f(x) = baÜ para todo x ∈ R.Problema 2. Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicacao. ¸˜A bula do rem´ dio informava que sua meia-vida era de seis ho- e ˜ras. Como o paciente nao sabia o significado da palavra, foi a um ´ ¸˜dicionario e encontrou a seguinte definicao: ´ Meia-vida: tempo necessario para que uma grandeza (f´sica, biol´ gica) atinja metade de seu valor inicial. ı o o ao e ´ a) Ap´ s 12 horas da ingest˜ do rem´ dio, qual e a quantidade do rem´ dio ainda presente no organismo? e b) E ap´ s 3 horas da ingest˜ do rem´ dio? o ao e ˜ c) E ap´ s t horas de sua ingestao? o ` Para respondermos a primeira pergunta, basta aplicar a defi- ¸˜ ¸˜ ´nicao de meia-vida. Na verdade, esta definicao da uma importante ¸˜informacao a respeito do fenˆ meno a que se refere: em qualquer oper´odo de 6 horas, a quantidade da droga presente no organismo ı `se reduz a metade do seu valor no in´cio deste per´odo. Deste ı ımodo, ap´ s as primeiras 6 horas, haver´ ¾ o a ½ × 60 = 30 mg. Em mais `6 horas, este valor se reduz novamente a metade, passando a serigual a ¾ ½ × 30 = 15 mg. ˜ ´ Note que, como no problema anterior, nao e apropriado utilizar- ¸˜ ¸˜se uma funcao afim para modelar a variacao da medicacao. Tal ¸˜ ` ˜modelo conduziria a conclusao equivocada de que, ao final das ˜12 horas, nao haveria mais droga presente no organismo (por esteracioc´nio, a quantidade de droga eliminada no segundo per´odo ı ı `de seis horas seria igual a quantidade eliminada no primeiro, le- ` ¸˜vando a eliminacao total em 12 horas). Mas por que este mode- ´ ¸˜lo e inadequado para esta situacao? Na verdade, o processo de ¸˜ ´ ´eliminacao de uma droga do organismo e analogo ao processo de
  • 49. ¸˜ Funcoes Exponenciais e Logar´tmicas ı 51 ¸˜eliminacao do cloro na piscina do problema anterior. Pode-se pen- ¨ısar na corrente sangu´nea como sendo a piscina, na qual a droga ´esta presente. A ` medida que mais agua e ingerida, ela e adicio- ´ ´ ´nada a ` corrente sangu´nea, sendo o excesso de l´quido eliminado ¨ı ı ´ ˜atrav´ s dos orgaos excretores. Como no caso da piscina, a quan- e ´tidade de droga eliminada e maior quando a quantidade de droga ´ ´ ´presente e maior. Assim, e razoavel adotar-se, para a quantida-de de droga no organismo, um modelo segundo o qual a variacao ¸˜ ¸˜ ´relativa em intervalos de tempo de mesma duracao e sempre amesma, o que nos leva a um modelo expresso por uma funcao da ¸˜forma f(x) = ba Ü. Para calcular a quantidade de droga no instante t = 3, basta ¸˜observar, mais uma vez, que em cada intervalo de duracao 3 horas, ´a quantidade de droga e multiplicada por uma constante k. Comoem 6 horas a droga se reduz a metade, temos k · k = ½ e, portanto, ` ¾ √k = ½ = ¾ = 0,707. Logo, ap´ s 3 horas da ingest˜ a massa o ao, ¾ ¾restante de droga e igual a 60 × 0,707 = 42 g, aproximadamente ´(compare com o valor que obter´amos com o modelo afim, que seria ıigual a 45 g). Para obter a quantidade de droga em um instante qualquer t,utilizaremos os valores f(0) = 60 e f(6) = 30 para calcular os coefi-cientes a e b de f(x) = baÜ . A primeira igualdade fornece b = 60 ea segunda d´ 60a = 30, de onde obtemos a = ½ = 2¹ . Logo, a ½ a ¾ ao ´quantidade de droga ap´ s t horas da ingest˜ e dada por o ½ Ø Ø f(t) = 60 2¹ = 60 · 2¹ .Problema 3. Um banco afirma que empresta dinheiro a juros de100% ao ano. Na hora de pagar a sua d´vida, um ano depois, um ıcliente observa que os juros cobrados s˜ mais altos. Ele procu- aora o gerente do banco que explica que, na verdade, os juros s˜ ao ` ½capitalizados mensalmente, a taxa de ½¾ × 100% = 8,333% ao mˆ s. e
  • 50. 52 Temas e Problemas ´ a) Qual e a taxa anual efetivamente cobrada pelo banco? b) E se o banco resolve considerar que os juros s˜ capitalizados ao a cada dia? c) E se o banco considerar que os juros s˜ capitalizados conti- ao nuamente? ¸˜ ´ Problemas de capitalizacao monetaria s˜ modelados por fun- ao¸˜ ´coes do tipo exponencial, j´ que o valor e multiplicado, em cada aper´odo, pelo fator (1 + i), onde i e a taxa de juros corresponden- ı ´ ´te ao per´odo. Na pratica, por´ m, o processo de capitalizacao e ı e ¸˜ ´discreto (como descrito nas duas primeiras perguntas). No pri- ´meiro caso, o intervalo de 1 ano e dividido em 12 intervalos com ¸˜um mˆ s de duracao. Em cada um desses intervalos, a d´vida e e ı ´multiplicada por (1 + 1/12). Logo, ao fim dos 12 meses, a d´vida ıe multiplicada por (1 + 1/12)½ 2 = 2,613. Assim, a taxa anual de´ ´juros e igual a 161,3% (e n˜ 100%). ao ´ No segundo caso, o per´odo de um ano e subdividido em 365 ı ı ı ı ´per´odos de 1 dia. Em cada per´odo, a d´vida e multiplicada por(1+1/365) e, ao fim do ano, tera sido multiplicada por (1+1/365)¿ ´= 2,714. Assim, segundo este esquema de capitalizacao, a taxa ¸˜anual ser´ igual a 171,4%. a Finalmente, admitir que os juros s˜ capitalizados continua- aomente corresponde a tomar o valor limite dos processos descritosacima. Se dividirmos o per´odo de 1 ano em n per´odos e capitali- ı ı ½zarmos a quantia em cada um deles a juros de Ò , o o capital inicial ´ ½ Òsera multiplicado por 1 + Ò . A resposta a terceira pergunte e ` ´obtida tomando o limite quando n → +∞ desta express˜ O valorao. ´ ´ ´deste limite e denotado pela letra e e e um numero fundamental ´ ´na Matematica. Seu valor e aproximadamente igual a 2,718, o queleva a uma taxa anual de 171,8% em nosso problema. Alguns dos ´ ˜usos do numero e serao discutidos mais adiante.Problema 4. Voltando ao Problema 1, quanto tempo deve trans- `correr para que a quantidade de cloro na piscina se reduza a me-tade?
  • 51. ¸˜ Funcoes Exponenciais e Logar´tmicas ı 53 ´ Como vimos, a quantidade de cloro no instante t e dada porc(t) = 1000 × 0,9Ø . Logo, o instante t em que esta quantidadese reduz a metade satisfaz a equacao 500 = 1000 × 0,9Ø , ou seja, ` ¸˜0,9 Ø = 0,5. Como resolver esta equacao? Existe um tal valor de t? ¸˜ Para responder a estas perguntas, precisamos olhar com mais ¸˜cuidado as propriedades das funcoes exponenciais (para maiores ´detalhes veja “A Matematica do Ensino M´ dio”, vol. 1). Lembra- emos que uma funcao exponencial de base a (onde a > 0 e a = 1) ¸˜e uma funcao f : R → R definida por f(x) = aÜ . Mas sera que a´ ¸˜ ´f´ rmula aÜ tem sentido para todo numero real? o ´ Certamente, aÜ esta bem definido quando x e natural: aÒ e ´ ´ ´definido como o produto a · a · a · a · · · a (com n fatores). Maisprecisamente, o valor de aÒ e definido recursivamente: a½ = a e ´a Ò·½ = aÒ · a, para todo n natural. A partir desta definicao, podem ¸˜ser demonstradas as propriedades fundamentais das potˆ ncias de e Òexpoente natural: aÑ·Ò = aÑ · aÒ e aÑ = aÑÒ , para quaisquernaturais m e n; al´ m disso, se m < n, entao aÑ < aÒ quando a > 1 e ˜e aÑ > aÒ quando 0 < a < 1. ¸˜ As definicoes das potˆ ncias de expoente real de a s˜ feitas e aode modo que estas propriedades sejam v´ alidas para quaisquer ex-poentes. Assim, a¼ e definido como sendo 1, de modo que a iden- ´tidade a¼·Ò = a¼ aÒ seja v´ alida para todo n natural. A seguir,a¹Ò , para n natural, e definido como ½ , para que a identidade ´ ÒaÒ · a¹Ò = aÒ¹Ò = a¼ = 1 se cumpra para todo n. ´ ¸˜ Um pouco mais delicada e a definicao das potˆ ncias de expoen- ete racional. Basta, por´ m, proceder como fizemos ao resolver o eProblema 1. Inicialmente, dado um natural q, desejamos defi- Õnir a½ Õ de modo que a½ Õ = a½ = a. Portanto, a½ Õ deve serraiz da equacao xÕ = a. Mas, para todo q natural, a funcao ¸˜ ¸˜g : [0, +∞] → [0, +∞] tal que g(x) = x ´ Õ e cont´nua, estritamente ıcrescente e ilimitada (veja a Figura 24). Em conseq¨ encia, para uˆ n´todo a positivo, existe exatamente um √umero real positivo x talque a Õ = 1, que e denotado por a½ Õ ou Õ a. ´ Agora, podemos definir aÜ para todo x racional: se x = p/q,definimos Ô aÜ = aÔ Õ = a½ Õ .
  • 52. 54 Temas e Problemas Y g(x) = xq a X 1/q a Figura 24As potˆ ncias de expoente racional assim definidas preservam as epropriedades fundamentais das potˆ ncias de expoente natural: ea Ü·Ý = aÜ · aÝ, aÜ Ý = aÜÝ e, se x < y, entao aÜ < aÝ quando ˜a > 1 e aÜ > aÝ quando 0 < a < 1. Consideremos, finalmente, potˆ ncias de expoente irracional. e √Por exemplo, qual e o significado de a ¾ ? A id´ ia basica e que todo ´ e ´ ´ ´numero irracional pode ser aproximado, com precis˜ arbitr´ ao aria, ´por numeros √ racionais. Por exemplo, as melhores aproximacoes¸˜por falta, de 2 com 1, 2 e 3 casas decimais s˜ 1,4, 1,41 e 1,414. aoOs valores de a Ü para tais aproximacoes conduzem, por sua vez, ¸˜ √a aproximacoes cada vez melhores para a ¾ . Devido a monoto- ¸˜ `nicidade das potˆ ncias de expoente racional, estas aproximacoes e ¸˜ ˜serao por falta (quando a > 1) ou por excesso (quando 0 < a < 1). ¸˜Em qualquer caso, o valor limite destas aproximacoes (definido ´como o menor numero real maior que ou igual a todas estas apro- ¸˜ ´ximacoes, no caso a > 1, ou o maior numero real menor que ou √igual a elas, no caso 0 < a < 1) e tomado como definicao de a ¾ ´ ¸˜ ´(veja “A Matematica do Ensino M´ dio”, vol. 1, para maiores deta- elhes). Assim, definimos os valores de aÜ para todos os valores reais ´de x, com o resultado sendo sempre um numero positivo. Comisso, constru´mos uma funcao f : R → (0, ∞) tal que f(x) = aÜ , ı ¸˜ ¸˜chamada de funcao exponencial de base a, que tem as seguintespropriedades:
  • 53. ¸˜ Funcoes Exponenciais e Logar´tmicas ı 55 a) f(x + y) = f(x)f(y) para quaisquer reais x e y; b) f e crescente (isto e, x > y ⇒ f(x) > f(y)) quando a > 1 ´ ´ e e decrescente (x > y ⇒ f(x) < f(y)) quando a < 1; em ´ consequˆ ncia, f e sempre injetiva, ou seja, f(x) = f(y) ⇒ ¨e ´ x = y; ´ c) f e cont´nua; ı lim f(x) = 0 lim f(x) = +∞; d) se a > 1, Ü ¹½ e Ü ·½ e) f e sobrejetiva (isto e, para todo y > 0 existe x tal que aÜ = y). ´ ´ afico de f(x) = aÜ nos casos a > 1 e A Figura 25 mostra o gr´0 < a < 1. Y Y f(x) = ax (a >1) 1 1 f(x) = ax (0<a<1) X X Figura 25 ` Podemos voltar agora a pergunta que abriu esta discuss˜ ao(“existe um valor real de x para o qual 0,9Ü = 0,5?”) e respondˆ -la e ¸˜afirmativamente. Como as funcoes exponenciais (em particular, a ˜de base 0,9) sao injetivas e tˆ m por imagem o conjunto dos reais epositivos, existe exatamente um numero real x tal que 0,9Ü = 0,5 ´(veja a Figura 26). ´ ´ De modo geral, dado um numero y > 0, o unico real x tal quea Ü = y (onde y > 0) e chamado de logaritmo de y na base a e re- ´ ¸˜presentado por log y. A funcao logar´tmica de base a, que associa ı
  • 54. 56 Temas e Problemas Y 1 f(x) = 0,9x 0,5 X x Figura 26 ´ ´a cada numero real positivo o seu logaritmo na base a, e, portan- ¸˜to, a inversa da funcao exponencial de base a e suas propriedadesdecorrem das propriedades da exponencial. Assim, a funcao log : (0, +∞) → R tem as seguintes proprieda- ¸˜des (veja os gr´ aficos da Figura 27): a) log (xy) = log (x) + log (y), para quaisquer x, y > 0. b) log (xÖ ) = r log (x), para qualquer r e qualquer x > 0. c) log (aÜ ) = x, para todo x, e alog Ü = x, para todo x > 0. ´ d) log e crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. lim log (x) = −∞ e lim log (x) = +∞; Ü ·½ e) se a > 1, Ü ¼· se 0 < a < 1, lim log (x) = +∞ e lim log (x) = −∞. Ü ¼· Ü ·½ ´ f) log e sobrejetiva. Assim, para resolver o Problema 4 devemos obter log¼ 0,5. Co- ´mo obter este valor? Ha algumas d´ cadas, a resposta seria con- esultar uma tabela de logaritmos, que eram usadas n˜ s´ para ao o
  • 55. ¸˜ Funcoes Exponenciais e Logar´tmicas ı 57 Y Y f(x) = log a x (a >1) f(x) = log a x (0<a<1) X X 1 1 Figura 27obter a resposta a problemas como estes, mas tamb´ m para faci- elitar c´ alculos, explorando o fato de que logaritmos transformam ´ ´produtos em somas. Hoje em dia, e mais provavel que a respostaseja obtida com uma calculadora cient´fica. Em ambos os casos, o ı ´usuario de primeira viagem depara-se com uma dificuldade: n˜ ao ´ha tabelas de logaritmos na base 0,9, nem teclas na calculadorapara calcular tais logaritmos. As bases em que valores de logarit- ˜mos estao usualmente tabeladas ou dispon´veis em calculadoras ı ˜sao as bases 10 e e (a base dos logaritmos naturais ou neperianos).Mas, na verdade, qualquer base de logaritmos pode ser usada pa-ra calcular um logaritmo em qualquer outra base. ´ ¸˜ De fato, como vimos, log¼ 0,5 e a solucao da equacao ¸˜0,9Ü = 0,5. Aplicando as propriedades dos logaritmos em umabase qualquer a, temos, sucessivamente log 0,9Ü = log 0,5 x log 0,9 = log 0,5 x = log 0,5/ log 0,9Logo, obtemos log¼ 0,5 = log 0,5/ log 0,9.
  • 56. 58 Temas e ProblemasSe usamos logaritmos na base 10, obtemos x = −0,30103/0,04576 = 6,57881.Se preferimos logaritmos na base e, resulta x = −0,69315 / − 0,10356 = 6,57881. ´ ˜ ´A resposta, naturalmente, e a mesma: sao necessarias 6,57881horas (aproximadamente 6 horas e 35 minutos) para que a quan- `tidade de cloro se reduza a metade.Problema 5. Uma pessoa deposita uma quantia em um banco, `que a remunera a taxa de 1% ao mˆ s. Em quantos meses a quan- etia depositada dobra? Ap´ s n meses, a quantia depositada ter´ sido multiplicada o apor (1 + 0.01) Ò = 1,01Ò. Para que a quantia dobre, devemos ter1,01Ò = 2. Tomando logaritmos em uma base qualquer (por exem-plo, na base 10), temos n log 1,01 = log 2.Com aux´lio de uma tabela ou de uma calculadora, obtemos ılog 1,01 = 0,00432 e log 2 = 0,30103 e da´ ı n = 0,30103/0,00432 = 69,68. ´Assim, seria necessario esperar 70 meses para que a quantia do-bre. No final da resolucao do Problema 4, conclu´mos que log¼ 0,5 = ¸˜ ı ´log 0,5/ log 0,9, onde a e qualquer real positivo e diferente de 1.De modo geral log x = log x/ log b,para quaisquer numeros positivos a, b, c (com a = 1 e b = 1). ´ ´ ´ Esta ultima identidade e bem conhecida como a “f´ rmula de o ao ´mudanca de base” dos logaritmos. O que n˜ e muito destaca- ¸ ´ ¸˜do e que ela mostra que duas funcoes logar´tmicas quaisquer s˜ ı ao
  • 57. ¸˜ Funcoes Exponenciais e Logar´tmicas ı 59 log b x Y B B log a x = log b a A A X Figura 28 ´sempre multiplas uma da outra. De fato, a f´ rmula nos diz que olog x = k log x, onde a constante k e igual a 1/ log b. A Figura 28 ´ilustra este fato. ¨e ´ ¸˜ Uma consequˆ ncia da discuss˜ acima e que as funcoes expo- ao ˜nenciais tamb´ m estao todas relacionadas entre si. De fato, se a e ˜ ´e b sao numeros positivos e diferentes de 1, temos aÜ = blog = b´log µÜ . ÜLogo, existe uma constante k = log a tal que aÜ = b Ü . Portanto, a exemplo do que ocorre com os logaritmos, quando ¸˜trabalhamos com funcoes exponenciais podemos sempre express´ a-las usando nossas bases favoritas. Na maior parte dos casos, pre-ferimos trabalhar com a base e, pelas raz˜ es explicadas a seguir. o ¸˜Assim, ao inv´ s de caracterizarmos as funcoes do tipo exponencial ecomo sendo aquelas da forma f(x) = baÜ , poder´amos, equivalen- ıtemente, caracteriza-las como sendo da forma f(x) = be Ü . ´ A preferˆ ncia pela base e se deve ao fato de que o coeficien- ete k na expressao be Ü tem uma importante interpretacao. Como ˜ ¸˜ ¸˜vimos, funcoes do tipo exponencial tˆ m a propriedade fundamen- e ¸˜tal de que sua variacao relativa em intervalos de comprimento
  • 58. 60 Temas e Problemas ´ ¸˜constante e constante. Em particular, sua taxa de variacao ins- ˆ ´ ¸˜tantanea (que e o valor da derivada da funcao no instante conside- ´rado) e proporcional ao seu valor naquele instante. Mas a funcao ¸˜derivada de f(x) = be Ü e f (x) = bke Ü = kf (x). Portanto, k = ´Üµ ´ ´Üµ ´ ˜para todo x. Ou seja, k e a razao constante entre o valor da taxa de ¸˜ ˆ ¸˜variacao instantanea de uma funcao do tipo exponencial e o seuvalor no ponto considerado.Problema 6. No Problema 1, vimos que a quantidade de cloro napiscina ap´ s t horas e dada por c(t) = 1000 × 0,9Ø . o ´ a) Escreva esta funcao na forma c(t) = be Ø . ¸˜ ´ b) Qual e a taxa instantˆ anea de escoamento de cloro no instan- te inicial? Repetindo o processo acima, temos 0,9Ø = elog ¼ = eØ log ¼ = e¹¼ ½¼ ¿ Ø . ØLogo, c(t) = 1000 · e¹¼ ½¼ ¿ Ø . ¸˜ ´A taxa de variacao de cloro no instante inicial e obtida multi-plicando a quantidade ent˜ existente (1000) multiplicada pela aoconstante k (−0,10536). Logo, o cloro esta se escoando a taxa ´ ` ˆinstantanea de 105 g por hora. Note que isto n˜ significa que ao105 g de cloro ser˜ eliminadas na primeira hora, pois a taxa ins- ao ˆ ˜ ´tantanea nao e constante.
  • 59. ¸˜ Funcoes Exponenciais e Logar´tmicas ı 61 Problemas Propostos∗ ¸˜1. Estima-se que a populacao de uma cidade cresca 2% a cada 5 ¸anos. ´ a) Qual e o crescimento estimado para um per´odo de 20 anos? ı b) E em um per´odo de t anos? ı2. As bact´ rias em um recipiente se reproduzem de forma tal que o e ´aumento do seu numero em um intervalo de tempo de comprimen- ´ ´to fixo e proporcional ao numero de bact´ rias presentes no in´cio e ıdo intervalo. Suponhamos que, inicialmente, haja 1000 bact´ rias e ´no recipiente e que, ap´ s 1 hora, este numero tenha aumentado opara 1500. Quantas bact´ rias haver´ cinco horas ap´ s o in´cio do e a o ıexperimento?3. A lei do resfriamento de Newton estabelece que, quando um ´ `corpo e colocado em um ambiente mantido a temperatura cons-tante, sua temperatura varia de modo a ser a mesma do ambien- `te, a uma taxa proporcional a diferenca de temperatura entre o ¸corpo e o ambiente. Uma peca de metal a 120◦ e colocada sobre a ¸ ´bancada do laborat´ rio, mantido a temperatura constante de 20◦ . o `Dez minutos depois, verificou-se que a temperatura da peca tinha ¸se reduzido para 80◦ . ´ a) Qual sera a temperatura da peca uma hora depois de ter sido ¸ colocada na bancada? b) Esboce o gr´ afico que exprime a temperatura da peca ao longo ¸ do tempo.4. A meia vida do is´ topo radioativo do carbono (C½ ) e de 5500 o ´anos. Que percentual da massa original de C½ restara em uma ´amostra ap´ s 10000 anos? o ∗ ¸˜ ´ Solucoes na pagina 148.
  • 60. 62 Temas e Problemas ´5. Qual e a meia vida de um material radioativo que sofre ¸˜desintegracao de 20% de sua massa em um per´odo de 1 ano? ı `6. O corpo de uma v´tima de assassinato foi descoberto as 23 ho- ı e ı `ras. O m´ dico da pol´cia chegou as 23:30 e imediatamente tomoua temperatura do cad´ aver, que era de 34,8◦ . Uma hora mais tardeele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1◦ . A tempe-ratura do quarto era mantida constante a 20◦ . Use a lei do res-friamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte.Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva e 36,5◦ . ´ ´ `7. A agua de um reservat´ rio se evapora a taxa de 10% ao mˆ s. o e ´Em quanto tempo ela se reduzira a um terco do que era no in´cio? ¸ ı8. Em uma caverna da Franca, famosa pelas pinturas feitas por ¸homens pr´ -hist´ ricos, foram encontrados pedacos de carv˜ ve- e o ¸ aogetal, nos quais a radioatividade de C½ era 0,145 vezes a radioati-vidade num pedaco de carv˜ feito hoje. Calcule a idade do carv˜ ¸ ao ao ´e dˆ uma estimativa para a epoca em que as pinturas foram feitas. e9. Foram injetadas 20 mg de uma certa droga em um paciente. Ataxa instantˆ ¸˜ anea de eliminacao da droga, imediatamente ap´ s a o ¸˜ ´ ´injecao, e de 5 mg por hora. Qual e a meia-vida da droga? (Cuida- ˜ ´do! A resposta nao e 2 horas.) ´ ¸˜10. O grafico da funcao da Figura 29 foi desenhado utilizando-seuma escala logar´tmica para o eixo Y (ou seja, as ordenadas no ı ´ ¸˜grafico representam o logaritmo decimal dos valores da funcao). ´ ¸˜ a) Mostre que o grafico de uma funcao f neste tipo de represen- ¸˜ ´ ´ tacao e uma reta se e somente se ela e do tipo exponencial (f(x) = baÜ ). ´ ¸˜ b) Qual e a funcao representada pelo gr´ afico da figura?11. No problema da piscina (Problema 1), verifique que a taxa ˆ ¸˜instantanea de variacao da quantidade de cloro no instante t e ´ Úigual a −c(t) · Î . Utilizando este fato e o resultado do Problema 6, ˜ ´determine com que vazao a agua pura ingressa na piscina.
  • 61. ¸˜ Funcoes Exponenciais e Logar´tmicas ı 63 Y100001000 100 10 1 X 0 1 2 3 4 5 Figura 29
  • 62. Cap´tulo 4 ı ¸˜Aplicacoes da TrigonometriaOs livros did´ aticos para o ensino m´ dio dedicam muitas p´ e aginas ˜ao ensino da trigonometria. Entretanto, nao fica claro nem para oaluno, nem para o professor, para que serve este abundante mate- ¸˜rial. Vamos mostrar aqui algumas aplicacoes em situacoes reais ¸˜e, para resolver os problemas, necessitaremos apenas das relacoes ¸˜ ˆ ˆtrigonom´ tricas no triangulo retangulo, da lei dos cossenos e da lei edos senos. ¸˜ Nestas aplicacoes estaremos calculando senos, cossenos e tan- ˆgentes de angulos e cabe aqui um esclarecimento ao leitor. Quan-do escrevemos por exemplo sen 30◦ , queremos dizer seno do angulo ˆ ◦ ´cuja medida e 30 , ou seja, estamos identificando o angulo com ˆ ´ ´ ˆsua medida. Isto e pratico e natural. Para angulos agudos, es- ¸˜tas funcoes trigonom´ tricas s˜ definidas atrav´ s das tradicionais e ao e ˆ ˆraz˜ es entre lados de um triangulo retangulo e, para qualquer oangulo obtuso x (quer dizer: angulo cuja medida x est´ entre 90◦ˆ ˆ ae 180◦ ), definimos sen x = sen(180◦ − x) e cos x = − cos(180◦ − x). ´E isto e tudo o que precisamos. Desde a antiguidade e at´ hoje, o homem sempre teve a neces- esidade de avaliar distˆ ancias inacess´veis. Na verdade, s˜ muito ı aopoucas as distˆ ancias que podem ser medidas diretamente, comuma trena, por exemplo. Praticamente tudo que o desejamos sa-ber sobre distˆ ´ ancias no mundo em que vivemos e calculado com oaux´lio da trigonometria. ı ´ ´ O problema basico, e que estara sempre presente em todas as ¸˜ ´ ¸˜ ˆsituacoes, e o da resolucao de um triangulo. Mas, o que significaisto? Os elementos principais de um triˆ ˜ angulo sao seus lados e ˆseus angulos. Resolver um triˆ angulo significa determinar 3 desses ˜elementos quando os outros 3 sao dados (desde que n˜ sejam os ao e ˆtrˆ s angulos). Este problema b´ asico, dependendo dos dados, pode 64
  • 63. ¸˜ Aplicacoes da Trigonometria 65 ´ ¸˜ter uma unica solucao, pode ser imposs´vel ou pode ter mais de ı ¸˜ ´uma solucao e vocˆ podera verificar isto nos problemas que vamos ediscutir. Para medir uma distˆ ancia inacess´vel necessitaremos de uma ı ´trena, que nada mais e que uma fita m´ trica comprida que possa e ˆmedir distancias relativamente pequenas no plano horizontal e de ´ ˆum teodolito. Um teodolito e um instrumento que mede angulos,tanto no plano horizontal quanto no plano vertical. Trata-se deuma luneta, apoiada em um trip´ que pode fornecer os seguintes edados: a) Se o observador T vˆ um objeto P, ele pode determinar o e ˆ angulo que a reta TP faz com o plano horizontal. P T θ Figura 30
  • 64. 66 Temas e Problemas b) se o observador T vˆ um objeto A e girando a luneta vˆ um e e objeto B, ambos no plano horizontal, ele pode determinar o ˆ angulo ATB. B T θ A Figura 31 ˜ ` e A trena e o teodolito sao instrumentos equivalentes a r´ guagraduada e ao transferidor quando trabalhamos no papel. A tre-na de hoje e a da antiguidade diferem apenas do material em que ˜foram constru´das mas essencialmente, sao o mesmo instrumen- ı ´to. Entretanto, o teodolito de hoje e muito mais sofisticado que ´o equivalente antigo. E neste ponto esta a diferenca. Hoje, po- ¸ ˆdemos medir angulos com uma precis˜ muit´ssimo maior do que ao ıantigamente. ´ ` Varios problemas que vamos abordar fazem referˆ ncia a cida- e ˜de do Rio de Janeiro. O morro do Corcovado, o morro do Pao de ¸´ `Acucar, o aterro do Flamengo e sua vista a cidade de Niter´ i do o ¸˜outro lado da Ba´a de Guanabara forneceram situacoes interes- ısantes de medidas inacess´veis. Nestes problemas as medidas s˜ ı aotodas reais. ¸´Problema 1. Medir a altura do P˜ de Acucar. ao ¸˜ Medir a altura de um morro distante em relacao a um plano o ´horizontal pr´ ximo e um problema permanente em toda a hist´ ria. oEle fica facilitado se o observador puder andar neste plano hori- ¸˜ ´zontal, em direcao ao morro, uma razoavel distˆancia, o que nem
  • 65. ¸˜ Aplicacoes da Trigonometria 67 ´ ¸´sempre e poss´vel. Mas, no caso do P˜ de Acucar o aterro do Fla- ı aomengo fornece um plano horizontal especial para este objetivo. ´Enunciado: Um observador esta em um ponto A do aterro do Fla-mengo e vˆ o Pao de Acucar segundo um angulo de 10◦ com o plano e ˜ ¸´ ˆ ¸˜horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direcao ao seuobjetivo at´ um ponto B distante 650 m de A e agora vˆ o Pao e e ˜de Acucar segundo um angulo de 14◦ . Qual e a altura do P˜ de ¸´ ˆ ´ ao ¸´ ¸˜ ¸˜Acucar em relacao ao plano de observacao? ˆProblema 2. Medir a distancia de um ponto do Rio de Janeiro aum ponto vis´vel de Niter´ i. ı o ´ ˆ O segundo problema importante e o de medir a distancia deum ponto a outro inacess´vel no plano horizontal. Para calcular a ı ˆ ´distancia de um ponto A (onde esta o observador) a um ponto P, ´inacess´vel, e preciso que este observador possa se locomover para ıum ponto B no plano horizontal de onde possa tamb´ m ver P. eEnunciado: De um ponto A na praia do Flamengo no Rio de Ja-neiro, avista-se um ponto P na praia de Icara´ em Niter´ i (estes ı o ˜dois pontos estao em lados opostos do canal de entrada da Ba´a de ıGuanabara). De um ponto B na Praia do Flamengo, distante 1 kmde A tamb´ m se avista o ponto P (Figura 32). Um observador no eRio de Janeiro mediu os angulos BAP = 119◦ e ABP = 52◦ . Qual e ˆ ´ ˆa distancia entre A e P? ˆProblema 3. Medir a distancia entre dois pontos, ambos ina-cess´veis. ı O problema anterior resolveu o caso de medir uma distˆ anciaentre um ponto (acess´vel) a um outro inacess´vel. Vamos ago- ı ıra tratar de medir uma distˆ ancia no plano horizontal entre doispontos inacess´veis ao observador. ı ´Enunciado: De uma praia e poss´vel ver duas ilhas X e Y. Um ob- ıservador assinala nesta praia dois pontos A e B distantes 1 km en-tre si, e com seu instrumento mede os seguintes angulos: ˆ
  • 66. 68 Temas e Problemas Baía de Icaraí RIO DE P Guanabara JANEIRO A Flamengo NITERÓI B Figura 32XAY = 62◦ , YAB = 54◦ , ABX = 46◦ e XBY = 74◦ . Qual e a distancia ´ ˆentre X e Y?Problema 4. Medir o raio da Terra. Desde a antiguidade, este problema esteve presente na cabeca¸ ´dos matematicos. Diversas soluco ¸ ˜ es apareceram mas os resulta- ¨ ˜dos frequentemente nao eram bons pois se exigia a medida entredois pontos muito afastados, o que era muito dif´cil de fazer com ı ˜ ˆprecisao, ou a medida de angulos muito pequenos, o que era mais ı e ´dif´cil ainda. Em meados do s´ culo XX ja havia instrumentos que ˆpodiam medir angulos com precis˜ de 1 cent´ simo de grau, mas ao e o e ˜hoje os instrumentos eletrˆ nicos tˆ m precisao inimagin´ avel. Oproblema a seguir, exige apenas um instrumento relativamenteantigo. ´Enunciado: A montanha onde esta o Cristo Redentor no Rio de ´ ¸˜Janeiro esta a 703 m de altura em relacao ao n´vel do mar. L´ de ı a ˆcima, um observador vˆ o horizonte (no mar) segundo um angulo e
  • 67. ¸˜ Aplicacoes da Trigonometria 69de 0,85◦ com o plano horizontal. Encontre uma medida aproxima-da para o raio da Terra.Problema 5. Ainda o raio da Terra. Uma bela tentativa de medir o raio da Terra deve-se aErat´ stenes no terceiro s´ culo antes de Cristo. Medidas foram fei- o etas nas cidades de Assu˜ e Alexandria, no Egito, que est˜ aproxi- a aomadamente no mesmo meridiano terrestre, e por rara felicidade, ˜ ´ ˆAssua esta quase sobre o tr´ pico de Cancer. Isto quer fizer que no oprimeiro dia do ver˜ ao meio dia, os raios solares s˜ perfeita- ao, aomente verticais. Naquele tempo, uma unidade comum para medir ˆdistancias grandes era o est´ ´ adio. O estadio era o comprimento dapista de corrida utilizada nos jogos ol´mpicos da antiguidade (de ı776 a 394 aC.) e era equivalente a 1/10 de milha, ou seja, aproxi-madamente 161 m.Enunciado: No dia do solst´cio de ver˜ Erat´ stenes verificou ı ao, oque, ao meio dia, o sol brilhava diretamente dentro de um poco¸ ˜profundo em Assua e, em Alexandria, a 5000 est´adios ao norte de ˜ ˆAssua, algu´ m mediu o angulo que os raios solares faziam com ea vertical, encontrando 1/50 do c´rculo. Com base nestes dados, ıcalcule o raio da Terra.Problema 6. O problema da corrida. Os dados e o objetivo deste interessante problema s˜ os se- ao ´guintes. Um corredor A esta sobre uma reta r e corre sobre ela no ˜ ´sentido AX. Um corredor B nao esta em r e, correndo em linha re-ta, pretende alcancar A (Figura 33). Sendo a partida simultˆ ¸ anea, ¸˜que direcao deve tomar B se as velocidades de ambos s˜ conheci- aodas?Enunciado: 1) Considere BAX = 110◦ , velocidade de A igual a 8 m/s e ve- ˆ locidade de B igual a 9 m/s. Determine o angulo que a tra- jet´ ria de B deve fazer com a reta BA para que o encontro o seja poss´vel. ı
  • 68. 70 Temas e Problemas r A X ? B Figura 33 2) Considere BAX = 110◦ , velocidade de A igual a 8 m/s, velo- cidade de B igual a 8,1 m/s e AB = 50 m. Sendo B um cor- ˆ redor inteligente, determine que distancia ele percorreu at´ e alcancar A. ¸Problema 7. Novamente a corrida, mas um fato muito estranhoacontece.Enunciado: Considerando ainda a Figura 33, seja BAX = 60◦ .O corredor A tem velocidade 15% maior que a de B. Por´ m, o e ´corredor B e inteligente, planejou cuidadosamente sua trajet´ ria, o ˆe alcancou o corredor A no ponto C da reta r. Calcule o angulo ¸ABC. c˜ e ˆObserva¸ ao: vocˆ vai encontrar dois valores para o angulo ABC. ˜Ambos sao poss´veis? Por que ocorre isto? ı Problemas Suplementares∗1. No problema da corrida, se os corredores A e B tiverem veloci-dades iguais, como B deve planejar sua trajet´ ria? o2. No problema da corrida, BAX = 50◦ , velocidade de A = 9 m/s evelocidade de B = v. Determine para que valores de v o encontro´e poss´vel. ı ∗ ¸˜ ´ Solucoes na pagina 155.
  • 69. ¸˜ Aplicacoes da Trigonometria 71 ´3. Uma estrada que esta sendo constru´da em um plano horizon- ı ´tal e sera formada pelos trechos retos XP, PQ e QY como mostra a a ı ´Figura 34. No trecho PQ ser´ constru´do um tunel para atraves-sar a montanha. Os engenheiros devem saber tanto em P quanto ¸˜ ´em Q, que direcao devem tomar para construir o tunel AB de for- ˜ma que o trecho PABQ seja reto. Eles entao fixaram um ponto C doplano horizontal, vis´vel tanto de P quanto de Q e determinaram ıas seguintes medidas: CP = 1,2 km, CQ = 1,8 km e PCQ = 27◦ . ˆCalcule os angulos CPQ e CQP. Q Bx P A y C Figura 34 Para calcular a altura do morro do Corcovado no Rio de Janeiro ˜nao foi poss´vel utilizar o m´ todo utilizado no Problema 1, quando ı e ¸´ ˜ ´medimos a altura do P˜ de Acucar. Nao ha como se aproximar do ao ¸˜Corcovado caminhando em sua direcao em um plano horizontal. ˜Temos entao que buscar uma outra solucao. ¸˜4. Na Figura 35, vocˆ vˆ uma pequena parte do bairro do Jar- e e ˆdim Botanico do Rio de Janeiro. Na avenida Borges de Medeiros,`a beira da Lagoa Rodrigo de Freitas, e portanto quase ao n´vel ıdo mar, fixamos dois pontos A e B de onde se avista o ponto C,
  • 70. 72 Temas e Problemas ´cume do Corcovado e p´ da estatua do Cristo Redentor. Sendo e ¸˜P a intersecao da perpendicular tracada por C ao plano horizon- ¸tal que cont´ m A e B, considere os seguintes dados: AB = 660 m, eCAP = 29,7 , CBP = 30,6◦ , PAB = 70,5◦ , PBA = 77,9◦ . Calcule a ◦altura do morro do Corcovado. CRISTO REDENTOR P B A LAGOA RODRIGO DE FREITAS Figura 35
  • 71. Cap´tulo 5 ı ¸˜Uma Introducao ao ´Calculo de VolumesPara introduzir o conceito de volume, o professor deve, antes de ¸˜qualquer tentativa de uma definicao formal, apresentar uma id´ ia eintuitiva e fornecer diversos exemplos para que os alunos possam ´compreender do que vai se falar. E qual e a primeira coisa que ˜devemos dizer? Nao nos ocorre nenhuma outra frase melhor quea seguinte: Volume de um s´ lido e a quantidade de espa¸ o por ele o ´ c ocupada. ´ ¸˜ Com esta id´ ia, inumeras comparacoes provocativas podem ser efeitas. Dadas duas caixas, qual delas tem maior volume? Quemtem maior volume: Maria ou Pedro? Observando uma panela pe-quena e uma garrafa, que objeto parece ter maior volume? Umabola de futebol ou uma caixa de sapatos? ¸˜ ˜ ´ Muitas comparacoes sao obvias, outras n˜ No caso da panela ao. ´e da garrafa, pode-se encher a garrafa com agua e despejar dentroda panela. Para comparar volumes de objetos imperme´ aveis pode- ´mos mergulha-los, um de cada vez, em um reservat´ rio contendo o´ ´agua at´ o bordo e comparar a quantidade de agua que transbor- edou. Se tivermos um reservat´ rio cil´ndrico de vidro, podemos o ıcolar em sua parede uma escala de nossa escolha e, com ela medir ´volumes de pequenos objetos impermeaveis, como uma pedra deformato irregular, por exemplo. ´ Este tipo de experiˆ ncia e um elemento motivador para o estu- edo dos volumes e pode at´ ser eventualmente de alguma utilidade e ´pratica, mas na maioria dos problemas que teremos que enfren- ´ ´tar, e totalmente inutil. Por exemplo, o mestre de obras precisa 73
  • 72. 74 Temas e Problemas ´ ¸˜saber o volume de concreto que sera utilizado na construcao dascolunas, vigas e lajes de um edif´cio. A forma e as dimens˜ es de ı o ˜cada um destes objetos estao na planta e o c´alculo do volume deveser feito antes que o edif´cio exista. Alguns objetos s˜ pequenos ı ao ˜demais, ou grandes demais, ou sao inacess´veis ou, simplesmen- ı ˜ ˜te, nao existem concretamente. Sentimos entao a necessidade de ´obter m´ todos para o calculo de volumes, pelo menos de objetos esimples, conhecendo sua forma e suas dimens˜ es.o Para medir esta grandeza chamada volume, devemos compar´ a-la com uma unidade e, tradicionalmente, a unidade de volume e o ´cubo cuja aresta mede uma unidade de comprimento, denominado ´de cubo unitario. Por exemplo, se um cubo tem 1 cm de aresta, seuvolume e a unidade chamada de cent´metro cubico (cm¿ ). ´ ı ´ 1 unidade de volume1 1 1 Figura 36 ´ Assim, o volume de um s´ lido deve ser um numero que ex- o ´ ´prima quantas vezes ele cont´ m o cubo unitario. Esta e a id´ ia e eque devemos ter para desenvolver o estudo dos volumes mas, con-venhamos que ainda tem um significado muito vago. Por exem- ´plo, quantos cubos unitarios de 1 cm de aresta cabem dentro deuma panela? N˜ saber´amos dizer. Entretanto, esta id´ ia inicial ao ı evai nos permitir calcular precisamente o volume de um parale- ˆlep´pedo retangulo, ou simplesmente, um bloco retangular. ı
  • 73. ¸˜ ´ Uma Introducao ao Calculo de Volumes 751 O volume do bloco retangularImaginemos inicialmente umm bloco retangular com dimens˜ es o ´4 cm, 3 cm e 2 cm. Qual e o seu volume? 2 3 4 Figura 37 ˜ ´ ´ Observando o desenho, nao ha duvida que este bloco pode serdividido em 4×3×2 = 24 cubos unit´ ´ arios e, portanto, seu volume ede 24 cm¿ . A maioria dos livros did´ aticos brasileiros usa um exem-plo como este para “concluir” que o volume de um paralelep´pedo ı ˆ ´retangulo qualquer e o produto de suas dimens˜ es. Este chute e o ´ ı ao ˜dif´cil de aceitar. O que ocorre se as dimens˜ do bloco nao foreminteiras? Continua valendo o produto? Por que? ´ ˜ Esta certo que em muitas ocasi˜ es o professor nao pode fazer o ¸˜em sala de aula uma demonstracao completa de cada um dos con- ´ ˜teudos exigidos no programa do ensino m´ dio. Mas, se nao o fizer, edeve oferecer algo mais que a f´ rmula pronta ou o decreto publi- ocado no livro did´ atico. Vejamos um exemplo.Exemplo. Calcule o volume do bloco retangular de 5,6 cm de com-primento, 4,7 cm de largura e 2,0 cm de altura (Figura 38). Para resolver este problema, dividamos cada aresta do cubo ´unitario (com 1 cm de aresta) em 10 partes iguais (Figura 39). ¸ ao `Tracando pelos pontos de divis˜ planos paralelos as faces, dividi- ´mos esse cubo unitario em 1000 cubinhos de aresta 1/10.
  • 74. 76 Temas e Problemas 2 4,7 5,6 Figura 38 1 _ 1 10 Figura 39 Naturalmente que o volume de cada cubinho e v = 1/1000, e ´´ ´e facil contar quantos destes cubinhos enchem o bloco retangulardado: sao 54 × 47 × 20 cubinhos. Logo, o volume do bloco retan- ˜ ´ ´gular e igual ao numero de cubinhos multiplicado pelo volume de 11 cubinho, ou seja, 56 × 47 × 20 × = 5,6 × 4,7 × 2,0. 1000 Este singelo exemplo confirma o produto das dimens˜ es para o ´o calculo do volume do bloco retangular e cont´ m a essˆ ncia do e e ´ ´ ¸˜que e necessario para a demonstracao no caso em que as medidas ao ´das arestas s˜ numeros racionais (veja o Problema 1 proposto no
  • 75. ¸˜ ´ Uma Introducao ao Calculo de Volumes 77final deste cap´tulo). ı Para o caso geral, onde as medidas das arestas do bloco retan- ao ´ ´gular s˜ numeros reais positivos quaisquer, o volume e ainda oproduto dessas medidas e, para demonstrar, usaremos o teorema ¸˜fundamental da proporcionalidade. O roteiro para a demonstracao ´esta no Problema 2. Consideremos portanto estabelecido que o volume de um blocoretangular cujas arestas medem x, y e z, e dado por V = xyz. ´2 ¸˜ A definicao do volumeChamaremos de poliedro retangular a todo s´ lido formado pela o ˜ ´reuniao de um numero finito de blocos retangulares justapostos. Figura 40 ´ O volume de um poliedro retangular e a soma dos volumes dos ˜blocos retangulares que o constituem. Vamos entao definir o volu-me de um s´ lido S qualquer utilizando os poliedros retangulares ocontidos em S.
  • 76. 78 Temas e Problemas Seja V o volume de S e seja v(P) o volume de um poliedro re- ´ ˜ ´tangular P contido em S. O numero V nao e ainda conhecido masdeve satisfazer a condicao v(P) ≤ V para todo poliedro retangu- ` ¸˜lar P contido em S. Para cada poliedro retangular P contido em S, ˜ ´mas nao igual a S, e poss´vel sempre obter um poliedro retangu- ılar P , maior que P e ainda contido em S. Basta acrescentar a Pnovos blocos retangulares que ainda estejam dentro de S. Portan-to, v(P) < v(P ) ≤ V, o que quer dizer que v(P) e uma aproximacao ´ ¸˜por falta para o volume de S e v(P ) e uma aproximacao melhor ´ ¸˜para este resultado. Continuando este procedimento, obteremos ¸˜aproximacoes cada vez melhores para o volume de S e essa id´ iaeconduz a definicao: V = v(S) e um numero real cujas aproxima¸ oes ` ¸˜ ´ ´ c˜por falta sao os volumes dos poliedros retangulares contidos em S ˜(veja o Problema 3 para coment´ ¸˜ arios sobre esta definicao). ´3 Solidos semelhantesSeja B(x, y, z) um bloco retangular de dimens˜ es x, y e z. Os blocos oB(x, y, z) e B (x , y , z ) sao semelhantes se, e somente se, x = kx, ˜y = ky e z = kz para algum numero real positivo k, chamado ´ ˜ c ¸˜razao de semelhan¸ a (ou fator de ampliacao). Os volumes de Be B sao tais que v(B ) = kx · ky · kz = k ˜ ¿ xyz = k¿ v(B), ou seja,multiplicando as arestas de B por k, seu volume ficou multipli-cado por k¿ (Figura 41). Este resultado vale naturalmente parapoliedros retangulares semelhantes P e P , e levando em conta a ¸˜definicao de volume, vale tamb´ m para dois s´ lidos semelhantes e oquaisquer: A razao entre os volumes de s´ lidos semelhantes e ˜ o ´ o cubo da razao de semelhan¸ a. ˜ c ˜ ˜ Os argumentos acima nao estao demonstrando este importan- ı ˜t´ssimo resultado. Eles estao apenas mostrando as id´ ias neces- e ´ ¸˜sarias para a demonstracao. Para realiz´ a-la, o conceito de seme- ¸ ´lhanca e fundamental e para conhecer ou rever este assunto, reco-mendamos a leitura do livro “Medida e Forma em Geometria” doprof. Elon Lages Lima (p. 33 e 55).
  • 77. ¸˜ ´ Uma Introducao ao Calculo de Volumes 79 S’ S z kz x y ky kx Figura 414 O Princ´pio de Cavalieri ı ´O calculo dos volumes dos diversos s´ lidos s´ vai avancar com o o ¸esta nova ferramenta. Imagine inicialmente um s´ lido qualquer S oapoiado em um plano horizontal H. Imagine tamb´ m que S tenha esido cortado por planos paralelos a H em fatias muito finas, todas ˜de mesma altura. Observe entao que o s´ lido S pode mudar de o ¸˜forma quando deslizamos ligeiramente cada fatia em relacao com ´a que esta abaixo dela. Podemos assim obter um outro s´ lido S , odiferente de S, mas com o mesmo volume de S, uma vez que eles ˜sao constitu´dos das mesmas fatias (Figura 42). ı S S’ H Figura 42
  • 78. 80 Temas e Problemas Esta id´ ia inicial j´ nos conduz a dois importantes resultados. e a a) Dois prismas de mesma base e mesma altura tˆ m mesmo e volume (Figura 43). Figura 43 b) Duas pirˆ amides de mesma base e mesma altura possuem mesmo volume (Figura 44). Figura 44 ¸˜ As situacoes que acabamos de apresentar constituem um casobastante particular do princ´pio que vamos enunciar. Aqui, fatias ı ˜ ˜que estao na mesma altura nos dois s´ lidos sao congruentes. Mas, o ¸˜em uma situacao mais geral, considerando dois s´ lidos quaisquer oA e B (Figura 45), se as duas fatias que estiverem na mesma altu- ´ ˜ra tiverem mesma area entao, como possuem mesma espessura, ˜terao muito aproximadamente volumes iguais. Tanto mais apro-ximadamente quanto mais finas forem. Sendo o volume de cada ¸˜s´ lido a soma dos volumes das respectivas fatias, e a aproximacao oentre os volumes das fatias podendo tornar-se t˜ precisa quanto ao ˜se deseje, conclu´mos que os volumes de A e B sao iguais. ı
  • 79. ¸˜ ´ Uma Introducao ao Calculo de Volumes 81 A B SA SB h Figura 45 ´ O Princ´pio de Cavalieri e enunciado da seguinte forma: ı Sejam A e B dois s´ lidos. Se qualquer plano horizontal o secciona A e B segundo figuras planas de mesma area, ´ entao estes s´ lidos tˆ m volumes iguais. ˜ o e ´ E preciso deixar claro ao leitor que o Princ´pio de Cavalieri ı ˜nao pode ser demonstrado com apenas os recursos da Matem´ atica `elementar. Ele deve ser incorporado a teoria como um axioma, ˜mas os argumentos anteriores sao bastante intuitivos e convin-centes. Os exerc´cios que se seguem, complementam o texto, su- ı ¸˜ ¸˜gerem demonstracoes e algumas aplicacoes.5 ´ Comentario finalNos livros did´ ´ aticos brasileiros, este assunto e apresentado, emgeral, de forma bastante insatisfat´ ria. Muitos sequer dizem o oque significa calcular um volume e v´ arios chutam, sem d´ nem opiedade, todas as f´ rmulas. Alguns citam o Princ´pio de Cavalie- o ı ˜ri, mas nao o utilizam corretamente, e outros nem isto fazem. O ı ¸ ˜ ´important´ssimo conceito de semelhanca nao e abordado por ne- ¨enhum deles e, por consequˆ ncia, a teoria presente nesses livros e´quase inintelig´vel. ı Para referˆ ncias adequadas ao professor do ensino m´ dio reco- e emendamos:
  • 80. 82 Temas e Problemas • “Medida e Forma em Geometria” – Elon Lages Lima – SBM • “A Matematica do Ensino M´ dio”, vol. 2 – 4 autores – SBM ´ e
  • 81. ¸˜ ´ Uma Introducao ao Calculo de Volumes 83 Problemas Propostos∗1. Demonstre que o volume de um bloco retangular cujas medidas ao ´ ´das arestas s˜ numeros racionais e o produto das trˆ s dimens˜ es. e o ˜ e ´Sugestao: Trˆ s numeros racionais sempre podem ser expressos ¸˜ ˜como fracoes de mesmo denominador. Considere entao como di- ´mens˜ es do bloco retangular os numeros a/d, b/d e c/d, e mos- o ´tre que o volume e o produto dessas trˆ s dimens˜ es. e o ´2. Mostre que o volume de qualquer bloco retangular e o produtode suas dimens˜ es. oSugestao: Verifique que se duas dimens˜ es do bloco ficam constan- ˜ o ´ `tes, o volume e proporcional a terceira dimens˜ Use o teorema ao.fundamental da proporcionalidade (Cap´tulo 1 desde livro) para ıconcluir o resultado. ¸˜3. Explique melhor a definicao que demos para o volume V de ums´ lido qualquer S: V = v(S) e o numero real cujas aproxima¸ oes o ´ ´ c˜por falta sao os volumes dos poliedros retangulares contidos em S. ˜ ˜4. Uma questao do vestibular da UFRJ era assim: desmanchandoum brigadeiro (uma bola de massa de chocolate) de raio R, quantosbrigadeiros de raio R/2 podemos formar?5. Uma loja para turistas vende miniaturas da est´ atua do CristoRedentor feitas em gesso, umas com 10 cm de altura e outras com15 cm de altura. Se as menores pesam 120 g, cada uma, quantopesam as maiores? ´6. Demonstre que o volume de um prisma qualquer e o produto ´da area da base pela altura. ˆ7. Divida um prisma triangular em trˆ s piramides triangulares ede mesmo volume (Figura 46). ∗ ¸˜ ´ Solucoes na pagina 165.
  • 82. 84 Temas e Problemas Figura 46 ˆ ´8. Demonstre que o volume de qualquer piramide e a terca parte ¸ ´do produto da area da base pela altura.9. Por que o volume de um cilindro de base circular com raio R ealtura h e πR¾ h? ´10. Calcule o volume de um cone com base circular de raio R ealtura h.11. Mostre que o volume de um tronco de cone de altura h cujas πh ¾bases sao c´rculos de raios R e r e dado por V = ˜ ı ´ (R + r¾ + Rr). 3 ¨ ´12. Todos n´ s utilizamos frequentemente dois tipos de copos plas- oticos descart´ ´ aveis. Os maiores para agua ou refrigerante e os me-nores para o caf´ . e a) Observe os dois copos e dˆ um chute baseado apenas na e ¸˜ ´ intuicao: quantas vezes o volume do copo grande e maior que o do copo pequeno? b) Com uma r´ gua, meca as dimens˜ es dos copos, calcule os e ¸ o ¸˜ volumes e veja se a sua intuicao estava pr´ xima do resultado o correto.13. Faca uma pesquisa nos livros que vocˆ disp˜ e e mostre como ¸ e ose pode calcular o volume de uma esfera de raio R.
  • 83. Cap´tulo 6 ıCombinat´ ria o1 ´ Princ´pios basicos ıO princ´pio fundamental da contagem diz que se h´ x modos de to- ı amar uma decisao D½ e, tomada a decisao D½ , ha y modos de tomar ˜ ˜ ´a decis˜ D¾ , entao o numero de modos de tomar sucessivamente ao ˜ ´as decis˜ es D½ e D¾ e xy. o ´Exemplo 1. Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos sepode formar um casal?Solu¸ ao: Formar um casal equivale a tomar as decis˜ es: c˜ o D½ : Escolha do homem (5 modos). D¾ : Escolha da mulher (5 modos).Ha 5 × 5 = 25 modos de formar um casal. ´ ´Exemplo 2. Uma bandeira e formada por 7 listras que devemser coloridas usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Secada listra deve ter apenas uma cor e n˜ podem ser usadas cores aoiguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir abandeira?Solu¸ ao: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada lis- c˜ ´tra. Ha 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partirda´, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. ı A resposta e 3 × 2 = 192. ´ ˜ ´Exemplo 3. Quantos sao os numeros de trˆ s d´gitos distintos? e ıSolu¸ ao: O primeiro d´gito pode ser escolhido de 9 modos, pois n˜ c˜ ı aopode ser igual a 0. O segundo d´gito pode ser escolhido de 9 modos, ı ˜pois nao pode ser igual ao primeiro d´gito. O terceiro d´gito pode ı ı 85
  • 84. 86 Temas e Problemas ˜ser escolhido de 8 modos, pois nao pode ser igual nem ao primeironem ao segundo d´gitos. ı A resposta e 9 × 9 × 8 = 648. ´ e ´ ´ Vocˆ ja deve ter percebido nesses exemplos qual e a estrat´ gia epara resolver problemas de Combinat´ ria: o 1) Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa ¸˜ que deve fazer a acao solicitada pelo problema e ver que de- cis˜ es devemos tomar. No Exemplo 3, n´ s nos colocamos o o ´ no papel da pessoa que deveria escrever o numero de trˆ s e d´gitos; no Exemplo 2, n´ s nos colocamos no papel da pes- ı o soa que deveria colorir a bandeira; no Exemplo 1, n´ s nos o colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal. 2) Divisao: Devemos, sempre que poss´vel, dividir as decis˜ es ˜ ı o a serem tomadas em decis˜ es mais simples. Formar um ca- o sal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra; formar ´ um numero de trˆ s d´gitos foi dividido em escolher cada um e ı dos trˆ s d´gitos. e ı ˜ ´ Vamos voltar ao exemplo anterior — Quantos sao os numeros de trˆ s d´gitos distintos? — para ver como algumas pessoas e ı conseguem, por erros de estrat´ gia, tornar complicadas as e coisas mais simples. ¸ ı ´ Comecando a escolha dos d´gitos pelo ultimo d´gito, ha 10 ı ´ ´ ´ modos de escolher o ultimo d´gito. Em seguida, ha 9 modos ı de escolher o d´gito central, pois n˜ podemos repetir o d´gito ı ao ı ´ ja usado. Agora temos um impasse: de quantos modos pode- ´ mos escolher o primeiro d´gito? A resposta e “depende”. Se ı ˜ nao tivermos usado o 0, haver´ 7 modos de escolher o pri- a ˜ meiro d´gito, pois nao poderemos usar nem o 0 nem os dois ı d´gitos j´ usados nas demais casas; se j´ tivermos usado o 0, ı a a ´ havera 8 modos de escolher o primeiro d´gito. ı Um passo importante na estrat´ gia para resolver problemas e ´ de Combinat´ ria e: o
  • 85. ´ Combinatoria 87 3) Nao adiar dificuldades. Pequenas dificuldades adiadas ˜ costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma das decis˜ es a serem tomadas for mais restrita que as de- o ´ ˜ mais, essa e a decisao que deve ser tomada em primeiro lu- gar. No Exemplo 3, a escolha do primeiro d´gito era uma ı ˜ decisao mais restrita do que as outras, pois o primeiro d´gito ı ˜ ´ ˜ nao pode ser igual a 0. Essa e portanto a decisao que deve ser tomada em primeiro lugar e, conforme acabamos de ver, ´ posterga-la s´ serve para causar problemas. oExemplo 4. O c´ digo Morse usa duas letras, ponto e traco, e as o ¸ e ˜palavras tˆ m de 1 a 4 letras. Quantas sao as palavras do c´ digo oMorse?Solu¸ ao: Ha 2 palavras de uma letra; h´ 2 × 2 = 4 palavras de c˜ ´ aduas letras, pois h´ dois modos de escolher a primeira letra e dois amodos de escolher a segunda letra; analogamente, h´ 2 × 2 × 2 = 8 apalavras de trˆ s letras e 2 × 2 × 2 × 2 = 16 palavras de 4 letras. O enumero total de palavras e 2 + 4 + 8 + 16 = 30. ´ ´ ´Exemplo 5. Quantos divisores inteiros e positivos possui o numero360 ? Quantos desses divisores s˜ pares? Quantos sao ´mpares? ao ˜ ı ˜Quantos sao quadrados perfeitos?Solu¸ ao: c˜ a) 360 = 2¿ × 3¾ × 5. Os divisores inteiros e positivos de 360 sao os numeros da forma 2« × 3¬ × 5­ , com α ∈ {0, 1, 2, 3}, ˜ ´ β ∈ {0, 1, 2} e γ ∈ {0, 1}. Ha 4 × 3 × 2 = 24 maneiras de ´ ´ escolher os expoentes α, β e γ. Ha 24 divisores. b) Para o divisor ser par, α n˜ pode ser 0. Ha 3 × 3 × 2 = 18 ao ´ divisores pares. c) Para o divisor ser ´mpar, α deve ser 0. Ha 1 × 3 × 2 = 6 ı ´ divisores ´mpares. Claro que poder´amos ter achado essa ı ı resposta subtraindo (a)−(b). d) Para o divisor ser quadrado perfeito, os expoentes α, β e γ devem ser pares. Ha 2×2×1 = 4 divisores que s˜ quadrados ´ ao perfeitos.
  • 86. 88 Temas e Problemas ˜ ´Exemplo 6. Quantos sao os numeros pares de trˆ s d´gitos distin- e ıtos? ´ ´Solu¸ ao: Ha 5 modos de escolher o ultimo d´gito. Note que come- c˜ ı¸ ´ ı ´camos pelo ultimo d´gito, que e o mais restrito; o ultimo d´gito s´ ´ ı opode ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Em seguida, vamos ao primeiro d´gito. De quantos modos se ı ´pode escolher o primeiro d´gito? A resposta e “depende”: se nao ı ˜ ´tivermos usado o 0, havera 8 modos de escolher o primeiro d´gito, ı ˜pois nao poderemos usar nem o 0 nem o d´gito j´ usado na ultima ı a ´casa; se j´ tivermos usado o 0, haver´ 9 modos de escolher o pri- a a ı ao ´meiro d´gito, pois apenas o 0 n˜ podera ser usado na primeiracasa. ´ ¸˜ Esse tipo de impasse e comum na resolucao de problemas e ha ´dois m´ todos para vencˆ -lo. e e ´ O primeiro m´ todo consiste em voltar atras e contar separa- edamente. Contaremos separadamente os numeros que terminam ´ ˜em 0 e os que nao terminam em 0. Comecemos pelos que termi- ´ ´nam em 0. Ha 1 modo de escolher o ultimo d´gito, 9 modos de ıescolher o primeiro e 8 modos de escolher o d´gito central. H´ ı a1 × 9 × 8 = 72 numeros terminados em 0. ´ ´ Para os que n˜ terminam em 0, ha 4 modos de escolher o ao´ultimo d´gito, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de esco- ılher o d´gito central. H´ 4×8×8 = 256 numeros que nao terminam ı a ´ ˜em 0. A resposta e 72 + 256 = 328. ´ O segundo m´ todo consiste em ignorar uma das restricoes do e ¸˜ ´problema, o que nos fara contar em demasia. Depois descontare-mos o que houver sido contado indevidamente. Primeiramente fazemos de conta que o 0 pode ser usado na pri- ´ ´meira casa do numero. Procedendo assim, ha 5 modos de escolher ´o ultimo d´gito (s´ pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8), 9 modos de escolher ı o ˜o primeiro d´gito (nao podemos repetir o d´gito usado na ultima ı ı ´casa — note que estamos permitindo o uso do 0 na primeira casa)e 8 modos de escolher o d´gito central. H´ 5 × 9 × 8 = 360 numeros, ı a ´a´ inclusos os que comecam por 0. ı ¸ Agora vamos determinar quantos desses numeros comecam ´ ¸
  • 87. ´ Combinatoria 89 ˜ ´por zero; sao esses os numeros que foram contados indevidamente. ´Ha 1 modo de escolher o primeiro d´gito (tem que ser 0), 4 modos ı ´de escolher o ultimo (s´ pode ser 2, 4, 6 ou 8 — lembre-se que os od´gitos s˜ distintos) e 8 modos de escolher o d´gito central (n˜ ı ao ı aopodemos repetir os d´gitos j´ usados). Ha 1 × 4 × 8 = 32 numeros ı a ´ ´comecados por 0. ¸ A resposta e 360 − 32 = 328. ´ ´ E claro que este problema poderia ter sido resolvido com um ao ´truque. Para determinar quantos s˜ os numeros pares de trˆ s e ı ı ´d´gitos distintos, poder´amos fazer os numeros de trˆ s d´gitos me- e ınos os numeros ´mpares de trˆ s d´gitos distintos. ´ ı e ı ´ ´ Para os numeros de trˆ s d´gitos distintos, ha 9 modos de esco- e ılher o primeiro d´gito, 9 modos de escolher o segundo e 8 modos ı ´de escolher o ultimo. Ha 9 × 9 × 8 = 648 numeros de trˆ s d´gitos distintos. ´ ´ e ı Para os numeros ´mpares de trˆ s d´gitos distintos, ha 5 mo- ´ ı e ı ´ ´dos de escolher o ultimo d´gito, 8 modos de escolher o primeiro e ı8 modos de escolher o d´gito central. ı Ha 5 × 8 × 8 = 320 numeros ´mpares de trˆ s d´gitos. ´ ´ ı e ı A resposta e 648 − 320 = 328. ´ Problemas Propostos∗ ˜1. Quantos sao os gabaritos poss´veis de um teste de 10 quest˜ es ı o ´de multipla-escolha, com 5 alternativas por quest˜ ao?2. Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elemen-tos?3. De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras emfila? ∗ ¸˜ ´ Solucoes na pagina 171.
  • 88. 90 Temas e Problemas4. De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homem euma mulher?5. De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas ˜nao-adjacentes de um tabuleiro 8×8? E se os reis fossem iguais?6. De quantos modos podemos colocar 8 torres iguais em um ta- ˜buleiro 8×8, de modo que nao haja duas torres na mesma linhaou na mesma coluna? E se as torres fossem diferentes?7. De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se sucessivamente ¸˜e sem reposicao duas cartas. De quantos modos isso pode ser feitose a primeira carta deve ser de copas e a segunda n˜ deve ser um aorei?8. O conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B, 7 elementos.Quantas funcoes f : A → B existem? Quantas delas sao injetivas? ¸˜ ˜ ´9. a) De quantos modos o numero 720 pode ser decomposto em umproduto de dois inteiros positivos? Aqui consideramos, natural-mente, 8 × 90 como sendo o mesmo que 90 × 8. ´ b) E o numero 144? ´10. Em um corredor ha 900 arm´ arios, numerados de 1 a 900, ini-cialmente todos fechados. 900 pessoas, numeradas de 1 a 900, ´atravessam o corredor. A pessoa de numero k reverte o estado de ´ ´ ˜ ´todos os armarios cujos numeros sao multiplos de k. Por exemplo, ´ ´ ´a pessoa de numero 4 mexe nos armarios de numeros 4, 8, 12, . . . ,abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra aber- ´tos. Ao final, quais armarios ficar˜ abertos? ao11. Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemoscolorir os quatro quadrantes de um c´rculo, cada quadrante com ı ´ ˜uma s´ cor, se quadrantes cuja fronteira e uma linha nao podem oreceber a mesma cor?12. De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras deum alfabeto de 26 letras, se a letra A deve figurar na palavra mas
  • 89. ´ Combinatoria 91 ˜nao pode ser a primeira letra da palavra? E se a palavra devesseter letras distintas? ı ˜13. As placas dos ve´culos sao formadas por trˆ s letras (de um al- efabeto de 26) seguidas por 4 algarismos. Quantas placas poder˜ aoser formadas?14. Um vag˜ do metrˆ tem 10 bancos individuais, sendo 5 de ao ofrente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de fren- ˜ ete, 3 preferem sentar de costas e os demais nao tˆ m preferˆ ncia. eDe quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as preferˆ n-ecias?15. Escrevem-se os inteiros de 1 at´ 2222. Quantas vezes o alga- e ´rismo 0 e escrito? ˜16. Quantos sao os inteiros positivos de 4 d´gitos nos quais o al- ıgarismo 5 figura? ´17. Em uma banca ha 5 exemplares iguais da “Veja”, 6 exempla- ´ ´res iguais da “Epoca” e 4 exemplares iguais da “Isto e”. Quantas ¸˜ ˜colecoes nao-vazias de revistas dessa banca podem ser formadas?18. Uma turma tem aulas as segundas, quartas e sextas, de 13h` ` ´as 14h e de 14h as 15h. As mat´ rias s˜ Matematica, F´sica e e ao ıQu´mica, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. ı ´De quantos modos pode ser feito o horario dessa turma?19. O problema do Exemplo 1 — Com 5 homens e 5 mulheres,de quantos modos se pode formar um casal? — foi resolvido porum aluno do modo a seguir: “A primeira pessoa do casal pode serescolhida de 10 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Esco- ´lhida a primeira pessoa, a segunda pessoa s´ podera ser escolhida ode 5 modos, pois deve ser de sexo diferente do da primeira pessoa.Ha portanto 10 × 5 = 50 modos de formar um casal.” ´ ´ Onde esta o erro?
  • 90. 92 Temas e Problemas ´20. Escrevem-se numeros de 5 d´gitos, inclusive os comecados ı ¸ o ˜em 0, em cart˜ es. Como 0, 1 e 8 nao se alteram de cabeca pa- ¸ra baixo e como 6, de cabeca para baixo, se transforma em 9 e ¸vice-versa, um mesmo cartao˜ pode representar dois numeros (por ´ ´ ´exemplo, 06198 e 86190). Qual e o numero m´nimo de cart˜ es para ı o ´representar todos os numeros de 5 d´gitos? ıSugestoes ˜2. Para formar um subconjunto vocˆ deve perguntar a cada ele- ementos do conjunto se ele deseja participar do subconjunto.5. O tabuleiro de 64 casas possui 4 casas de canto (v´ rtices), 24 ca- e ao ˜sas laterais que n˜ sao v´ rtices e 36 casas centrais. Cada casa ede canto possui 3 casas adjacentes; cada lateral possui 5 casasadjacentes e cada central possui 8 casas adjacentes. Conte sepa-radamente conforme o rei negro ocupe uma casa de canto, lateralou central. ´6. Havera uma torre em cada linha. ´7. Conte separadamente os casos em que a carta de copas e um ao ´rei e em que a carta de copas n˜ e um rei. ¸˜8. Para construir uma funcao, vocˆ deve perguntar a cada elemen- eto de A quem ele deseja flechar em B.9. a) 720 = 2 × 3¾ × 5 tem 30 divisores positivos. b) Note que144 = 12 × 12. ´ ´ ´10. O armario de numero k e mexido pelas pessoas cujos nume- ´ ˜ros sao divisores de k. Um arm´ ario ficar´ aberto se for mexido aum numero ´mpar de vezes. Lembre-se que o numero de divisores ´ ı ´positivos de 2« × 3¬ × 5­ × · · · e igual a (α + 1)(β + 1)(γ + 1) · · · . ´11. Conte separadamente os casos em que os quadrantes 1 e 3tˆ m cores iguais e cores diferentes. e
  • 91. ´ Combinatoria 93 ˜ ¸˜ ¸˜12. Note que no caso em que sao permitidas repeticoes, a condicao ´da letra A figurar na palavra e terr´vel, pois ela pode figurar uma ı ´s´ vez, ou duas, etc. Por isso e melhor contar todas as palavras do oalfabeto e diminuir as que n˜ tˆ m A e as que comecam por A. No ao e ¸ ¸˜caso sem repeticao, vocˆ poderia tamb´ m contar diretamente: ha e e ´ ¸˜4 modos de escolher a posicao do A, 25 modos de escolher a letrada primeira casa restante, 24 para a segunda casa restante, etc.15. Conte quantas vezes o 0 aparece nas unidades, some com o ´numero de vezes que ele aparece nas dezenas, etc. ˜ ¸˜ ¸˜16. Note que como sao permitidas repeticoes, a condicao do 5 fi- ´ ´gurar no numero e terr´vel, pois ele pode figurar uma s´ vez, ou ı o ´ melhor fazer todos os numeros menos aqueles em queduas, etc. E ´ ˜o 5 nao figura. ¸˜17. Para formar uma colecao, vocˆ deve decidir quantas “Veja” e ˜ ¸˜ ˜farao parte da colecao, etc. Nao se esqueca de retirar da sua con- ¸ ¸˜tagem a colecao vazia. ´18. Ha 3 modos de escolher os dias de Matem´ atica; escolhidosos dias, digamos segundas e quartas, h´ 2 modos de escolher o a ´horario da aula de Matem´atica da segunda e 2 modos de escolher o ´horario da aula de Matem´atica da quarta. H´ 2 modos de escolher a ´os dias da F´sica (n˜ podem ser os mesmos da Matematica senao ı ao ˜a Qu´mica ficaria com as aulas no mesmo dia), etc. ı ´ e ˜20. Ha trˆ s tipos de cart˜ es: os que nao podem ser virados de ocabeca para baixo, os que virados de cabeca para baixo continuam ¸ ¸ ´representando o mesmo numero e os que virados de cabeca para ¸ ´ ´baixo passam a representar numeros diferentes. Se ha x, y e z ´cart˜ es de cada um desses tipos, respectivamente, a resposta e o z x+y+ · 2´ ´E facil calcular y, z + y e x + y + z.
  • 92. 94 Temas e Problemas ¸˜ ¸˜2 Permutacoes e combinacoes ´Ha alguns (poucos) problemas de Combinat´ ria que, embora se- o ¸˜jam aplicacoes do princ´pio b´ ı ¨e asico, aparecem com muita frequˆ n-cia. Para esses problemas, vale a pena saber de cor as suas res- ´postas. O primeiro desses problemas e o:Problema das permutacoes simples: De quantos modos pode- ¸˜mos ordenar em fila n objetos distintos? A escolha do objeto que ocupar´ o primeiro lugar pode ser feita ade n modos: a escolha do objeto que ocupar´ o segundo lugar pode aser feita de n − 1 modos; a escolha do objeto que ocupar´ o terceiro alugar pode ser feita de n − 2 modos, etc.; a escolha do objeto que ´ ´ocupara o ultimo lugar pode ser feita de 1 modo.A resposta e n(n − 1)(n − 2) · · · 1 = n! . ´ ´ ´ Cada ordem que se da aos objetos e chamada de uma permu-ta¸ ao simples dos objetos. Assim, por exemplo, as permutacoes c˜ ¸˜simples das letras a, b e c s˜ (abc), (acb), (bac), (bca), (cab) e ao(cba). ´ ¸˜ Portanto, o numero de permutacoes simples de n objetos dis- ´tintos, ou seja, o numero de ordens em que podemos colocar nobjetos distintos e PÒ = n! . ´ ˜Exemplo 1. Quantos sao os anagramas da palavra “PRATO”?Quantos comecam por consoante? ¸Solu¸ ao: Cada anagrama corresponde a uma ordem de colocacao c˜ ¸˜dessas 5 letras. O numero de anagramas e P = 5! = 120. ´ ´ Para formar um anagrama comecado por consoante devemos ¸primeiramente escolher a consoante (3 modos) e, depois, arrumaras quatro letras restantes em seguida a consoante (4! = 24 modos). `Ha 3 × 24 = 72 anagramas comecados por consoante. ´ ¸Exemplo 2. De quantos modos podemos arrumar em fila 5 li- ´vros diferentes de Matematica, 3 livros diferentes de Estat´stica ıe 2 livros diferentes de F´sica, de modo que livros de uma mesma ımat´ ria permanecam juntos? e ¸
  • 93. ´ Combinatoria 95Solu¸ ao: Podemos escolher a ordem das mat´ rias de 3! modos. c˜ e ´Feito isso, ha 5! modos de colocar os livros de Matem´ atica noslugares que lhe foram destinados, 3! modos para os de Estat´stica ıe 2! modos para os de F´sica. ıA resposta e 3! 5! 3! 2! = 6 × 120 × 6 × 2 = 8640. ´Exemplo 3. De quantos modos podemos dividir 7 objetos em umgrupo de 3 objetos e um de 4 objetos? ao ´Solu¸ ao: Um processo de fazer a divis˜ e colocar os objetos em c˜ ´fila; os 3 primeiros formam o grupo de 3 e os 4 ultimos formam ogrupo de 4. ´ Ha 7! modos de colocar os objetos em fila. Entretanto, note que filas como abc · defg e bac · gfde sao filas ˜diferentes e geram a mesma divis˜ em grupos. Cada divis˜ em ao aogrupos foi contada uma vez para cada ordem dos objetos dentro decada grupo. H´ 3! 4! modos de arrumar os objetos em cada grupo. aCada divis˜ em grupos foi contada 3! 4! vezes. ao 7!A resposta e´ = 35. 3! 4! ´ O segundo problema importante e oProblema das combinacoes simples: De quantos modos pode- ¸˜mos selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados? ¸˜ ´ Cada selecao de p objetos e chamada de uma combinacao sim- ¸˜ples de classe p dos n objetos. Assim, por exemplo, as combinacoes ¸˜simples de classe 3 dos objetos a, b, c, d, e s˜ {a, b, c}, {a, b, d}, ao{a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e} e {c, d, e}. ´ ¸˜Representamos o numero de combinacoes simples de classe p den elementos por CÔ ou Ò . Assim, C¿ = ¿ = 10. Ò Ô ¸˜ Para resolver o problema das combinacoes simples basta notarque selecionar p entre os n objetos equivale a dividir os n objetos ˜em um grupo de p objetos, que sao os selecionados, e um grupo den − p objetos, que sao os nao-selecionados. ˜ ˜ n!Esse e o problema do Exemplo 3 e a resposta e CÔ = ´ ´ Ò · p! (n − p)!
  • 94. 96 Temas e ProblemasExemplo 4. Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comiss˜ es de o4 pessoas, com exatamente 2 homens, podem ser formadas?Solu¸ ao: Para formar a comiss˜ devemos escolher 2 dos homens c˜ aoe 2 das mulheres. Ha C¾ · C¾ = 10 × 6 = 60 comiss˜ es. ´ oExemplo 5. Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comiss˜ es de 4 opessoas, com pelo menos 2 homens, podem ser formadas? c˜ ´Solu¸ ao: Ha comiss˜ es com: 2 homens e 2 mulheres, 3 homens e o1 mulher, 4 homens. A resposta e C¾ · C¾ + C¿ · C½ + C = 10 × 6 + ´10 × 4 + 5 = 105. Um erro muito comum aparece no racioc´nio a seguir: Como ı ˜a comissao deve ter pelo menos 2 homens, a primeira coisa a ser ´feita e escolher dois homens para a comiss˜ o que pode ser feito ao,de C ¾ = 10 modos. Em seguida devemos escolher mais duas pes- ˜soas, homens ou mulheres, para a comissao, o que pode ser feitode C ¾ = 21 modos. A resposta e 10 × 21 = 210. ´ ´ Qual e o erro? Algumas comiss˜ es foram contadas mais de uma vez. Por exem- o ˜plo, a comissao Arnaldo, Carlos, Eduardo e Beatriz foi contada 3vezes. Realmente, o processo de contagem usado escolhia, em umaprimeira etapa, dois homens para garantir que fosse satisfeita a ˜exigˆ ncia de pelo menos dois homens na comissao. Foi contada euma vez quando Arnaldo e Carlos s˜ os homens escolhidos na aoprimeira etapa (e Eduardo e Beatriz s˜ escolhidos na segunda aoetapa); outra vez quando na primeira etapa s˜ selecionados Ar- aonaldo e Eduardo e, finalmente, uma terceira vez quando Carlos e ˜Eduardo sao escolhidos na primeira etapa. Se todas as comiss˜ es houvessem sido contadas 3 vezes, nao o ˜haveria grandes problemas: bastaria dividir por 3 o resultado da ´ ´contagem. Mas ha comiss˜ es que foram contadas uma unica vez oe outras que foram contadas 6 vezes. Por exemplo, a comiss˜ Ar- aonaldo, Carlos, Beatriz e Maria s´ foi contada uma vez e a comiss˜ o aoArnaldo, Carlos, Eduardo e Paulo foi contada 6 vezes. ˜Exemplo 6. Quantos sao os anagramas da palavra “BANANA”?
  • 95. ´ Combinatoria 97 A resposta nao e 6! = 720. O fato de haver letras repetidas faz ˜ ´ ´com que o numero de anagramas seja menor do que seria se asletras fossem diferentes.Solu¸ ao 1: Para formar um anagrama de “BANANA” devemos co- c˜ ao ˜locar as seis letras (que n˜ sao todas diferentes) em 6 lugares.Para isso devemos escolher 3 dos 6 lugares para colocar as le-tras A, o que pode ser feito de C¿ = 20 modos; em seguida deve-mos escolher 1 dos 3 lugares restantes para colocar a letra B, o ´que pode ser feito de 3 modos; finalmente, ha apenas um modo de ´colocar as duas letras A nos dois lugares restantes. A resposta e20 × 3 × 1 = 60.Solu¸ ao 2: Se as letras fossem diferentes a resposta seria 6! . Co- c˜ ˜mo as trˆ s letras A sao iguais, quando as trocamos entre si obte- e ˜mos o mesmo anagrama e nao um anagrama distinto, o que acon-teceria se fossem diferentes. Isso faz com que na nossa contagem ´de 6! tenhamos contado o mesmo anagrama varias vezes, 3! ve- ´zes precisamente, pois ha 3! modos de trocar as letras A entresi. Problema an´ alogo ocorre com as duas letras N, que podem ser 6!trocadas entre si de 2! modos. A resposta e´ = 60. 3! 2! ´ ¸˜ De modo geral, o numero de permutacoes de n objetos, dosquais α s˜ iguais a A, β s˜ iguais a B, γ s˜ iguais a C, etc., ao ao ao «¬­ = n!´e PÒ · α! β! γ! . . . O exemplo a seguir mostra um tipo de racioc´nio que, apesar ıde inesperado, pode ser muito eficiente. ˜Exemplo 7. Quantos sao os anagramas da palavra “ANAGRA- ˜MA” que nao possuem duas vogais adjacentes?Solu¸ ao: Vamos primeiramente arrumar as consoantes e, depois, c˜ ´vamos entremear as vogais. O numero de modos de arrumar emfila as consoantes N, G, R e M e P = 4! = 24. Arrumadas as con- ´soantes, por exemplo na ordem NGRM, devemos colocar as 4 vo-gais nos 5 espacos da figura: ¸ N G R M
  • 96. 98 Temas e Problemas ˜ Como nao podemos colocar duas vogais no mesmo espaco, qua- ¸ ˜tro dos espacos serao ocupados, cada um com uma letra A, e um ¸espaco ficar´ vazio. Temos C = 5 modos de escolher os quatro ¸ aespacos que ser˜ ocupados. ¸ aoA resposta e 24 × 5 = 120. ´ ´Exemplo 8. Ha 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma ao ˆreta R paralela a R. Quantos s˜ os triangulos e os quadril´ aterosconvexos com v´ rtices nesses pontos? eSolu¸ ao: Para formar um triˆ c˜ angulo ou vocˆ toma um ponto em R ee dois pontos em R , ou toma um ponto em R e dois pontos em R.O numero de triangulos e 5 · C¾ + 8 · C¾ = 140 + 80 = 220. ´ ˆ ´ Tamb´ m poder´amos tomar 3 dos 12 pontos e excluir dessa con- e ıtagem as escolhas de pontos colineares, o que daria C¿ −C¿ −C¿ = ½¿286 − 56 − 10 = 220. Para formar um quadril´atero convexo, devemos tomar dois pon-tos em R e dois pontos em R , o que pode ser feito de C¾ · C¾ =10 · 28 = 280 modos.Exemplo 9. De um baralho de pˆ quer (7, 8, 9, 10, valete, dama, o ´rei e as, cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes: copas,ouros, paus, espadas), sacam-se simultaneamente 5 cartas. Quan- ˜ ¸˜tas sao as extracoes: a) poss´veis? ı b) nas quais se forma um par (duas cartas em um mesmo grupo e as outras trˆ s em trˆ s outros grupos diferentes)? e e c) nas quais se formam dois pares (duas cartas em um grupo, duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)? d) nas quais se forma uma trinca (trˆ s cartas em um grupo e as e outras duas em dois outros grupos diferentes)? e) nas quais se forma um “four” (quatro cartas em um grupo e uma em outro grupo)? f) nas quais se forma um “full hand” (trˆ s cartas em um grupo e e duas em outro grupo)?
  • 97. ´ Combinatoria 99 ¨e g) nas quais se forma uma sequˆ ncia (5 cartas de grupos con- ˜ secutivos, nao sendo todas do mesmo naipe)? h) nas quais se forma um “flush” (5 cartas do mesmo naipe, n˜ ao sendo elas de 5 grupos consecutivos)? i) nas quais se forma um “straight flush” (5 cartas de grupos consecutivos, todas do mesmo naipe)? j) nas quais se forma um “royal straight flush” (10, valete, da- ´ ma, rei e as de um mesmo naipe)?Solu¸ ao: c˜ a) C¿¾ = 201 376. ´ b) Ha 8 modos de escolher o grupo das duas cartas que for- marao o par propriamente dito; ha C¾ = 6 modos de esco- ˜ ´ lher os naipes dessas cartas; h´ C a ¿ = 35 modos de escolher os grupos das outras trˆ s cartas e 4¿ = 64 modos de escolher e seus naipes. A resposta e 8 × 6 × 35 × 64 = 107520. ´ c) Ha C¾ = 28 modos de escolher os grupos dos dois pares (por ´ exemplo 7 e valete), ha [C¾ ]¾ = 36 modos de escolher os nai- ´ pes dessas cartas; h´ 6 modos de escolher o grupo da ou- a tra carta e 4 modos de escolher seu naipe. A resposta e´ 28 × 36 × 6 × 4 = 24192. ´ Um erro muito comum e o seguinte: Ha 8 modos de escolher o grupo do primeiro par, h´ C¾ = 6 ´ a modos de escolher os naipes do primeiro par, h´ 7 modos de a escolher o grupo do segundo par, h´ C¾ = 6 modos de escolher a os naipes do segundo par, h´ 6 modos de escolher o grupo da a outra carta e 4 modos de escolher o seu naipe. A resposta e´ 8 × 6 × 7 × 6 × 6 × 4 = 48384. O erro consiste em termos contado cada jogo duas vezes. O ˜ jogo em que os pares sao de setes e valetes, por exemplo, foi contado uma vez quando os setes formam o primeiro par e os valetes, o segundo e foi contado novamente quando os valetes formam o primeiro par e os setes, o segundo.
  • 98. 100 Temas e Problemas ´ d) Ha 8 modos de escolher o grupo das trˆ s cartas que formar˜ e ao a trinca propriamente dita; h´ C¿ = 4 modos de escolher a os naipes dessas cartas; h´ C¾ = 21 modos de escolher os a grupos das outras duas cartas e 4¾ = 16 modos de escolher seus naipes. A resposta e 8 × 4 × 21 × 16 = 10752. ´ ´ e) Ha 8 modos de escolher o grupo das quatro cartas que for- marao o “four” propriamente dito; ha C = 1 modo de esco- ˜ ´ lher os naipes dessas cartas; h´ 7 modos de escolher o grupo a ´ da outra carta e 4 modos de escolher seu naipe. A resposta e 8 × 1 × 7 × 4 = 224. ´ f) Ha 8 modos de escolher o grupo das cartas que formar˜ a ao trinca; ha C¿ = 4 modos de escolher os naipes desas trˆ s car- ´ e ´ tas; ha 7 modos de escolher o grupo ds cartas que formar˜ ao ´ o par e ha C ¾ = 6 modos de escolher os naipes dessas duas cartas. A resposta e 8 × 4 × 7 × 6 = 1344. ´ ´ g) Ha 4 modos de escolher os grupos das cartas que formar˜ a ao ¨e ` sequˆ ncia: do 7 ao valete, do 8 a dama, do 9 ao rei, do 10 ao ´ as. Se todas as escolhas de naipes fossem l´citas, os naipes ı dessas cartas poderiam ser escolhidos de 4 = 1024 modos. ´ Ha entretanto 4 escolhas il´citas para os naipes: todas de ı outros, todas de copas, todas de espadas e todas de paus. A resposta e 4 × 1020 = 4080. ´ ´ ´ h) Ha 4 modos de escolher o naipe unico das cartas. Se todas as escolhas de grupos fossem l´citas, haveria C = 56 modos ı de escolher os grupos das cartas. Entretanto, 4 escolhas s˜ ao ` ´ il´citas: do 7 ao valete, do 8 a dama, do 9 ao rei, do 10 ao as. ı A resposta e 4 × 52 = 208. ´ ´ i) Ha 4 modos de escolher os grupos das cartas (do 7 ao valete, ` ´ do 8 a dama, do 9 ao rei, do 10 ao as) e 4 modos de escolher o naipe unico. A resposta e 4 × 4 = 16. ´ ´ ´ j) Ha um s´ modo de escolher os grupos das cartas e 4 modos o ´ ´ de escolher o naipe unico. A resposta e 4.Exemplo 10. De quantos modos 5 criancas podem formar uma ¸roda de ciranda?
  • 99. ´ Combinatoria 101 c˜ `Solu¸ ao: A primeira vista parece que, para formar uma roda comas cinco criancas, basta escolher uma ordem para elas, o que po- ¸deria ser feito de 5! = 120 modos. Entretanto, as rodas ABCDE e ˜ ´ ¸˜EABCD sao iguais, pois na roda o que importa e a posicao relativadas criancas entre si e a roda ABCDE pode ser “virada” na roda ¸EABCD. Como cada roda pode ser “virada” de cinco modos, a nos-sa contagem de 120 rodas contou cada roda 5 vezes e a resposta e´120/5 = 24. ´ De modo geral, o numero de modos de colocar n objetos em ¸˜ ¸˜c´rculo, de modo que disposicoes que possam coincidir por rotacao ı ´ ´ ¸˜sejam consideradas iguais, isto e, o numero de permutacoes circu- n!lares de n objetos e (PC)Ò = ´ = (n − 1)! . n ˜ ¸˜ ˜Exemplo 11. Quantas sao as solucoes inteiras e nao-negativasda equacao x½ + x¾ + · · · + xÒ = p? ¸˜Solu¸ ao: A resposta deste problema e representada por CRÔ . c˜ ´ Ò Para determinar o valor de CRÒ Ô , vamos representar cada so-lucao da equacao por uma fila de sinais, + e | . Por exemplo, para ¸˜ ¸˜a equacao x + y + z = 5, as solucoes (2,2,1) e (5,0,0) seriam repre- ¸˜ ¸˜sentadas por ++ | ++ | + e + + + + + | |, respectivamente. Nessa ¸˜representacao, as barras s˜ usadas para separar as inc´ gnitas e ao oa quantidade de sinais + indica o valor de cada inc´ gnita. o Para a equacao x½ + x¾ + · · · + xÒ = p, cada solucao seria repre- ¸˜ ¸˜sentada por uma fila com n − 1 barras (as barras s˜ para separar aoas inc´ gnitas; para separar n inc´ gnitas, usamos n − 1 barras) e o op sinais +. Ora, para formar uma fila com n − 1 barras e p si-nais +, basta escolher dos n + p − 1 lugares da fila os p lugaresonde serao colocados os sinais +, o que pode ser feito de CÔ ·Ô¹½ ˜ Òmodos.Exemplo 12. De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes emum bar que os oferece em 6 sabores distintos?Solu¸ ao: A resposta nao e C¿ = 20. C¿ seria o numero de modos c˜ ˜ ´ ´de comprar 3 sorvetes diferentes.
  • 100. 102 Temas e Problemas ´ Chamando de x o numero de sorvetes do k-´ simo sabor que va- emos comprar, devemos determinar valores inteiros e n˜ ao-negativospara x , k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, tais que x½ + x¾ + · · · + x = 3. Isso podeser feito de CR¿ = C¿ = 56 modos. Problemas Propostos∗ ˜ ´1. Quantos sao os anagramas da palavra “CAPITULO”: a) poss´veis? ı b) que comecam e terminam por vogal? ¸ c) que tˆ m as vogais e as consoantes intercaladas? e d) que tˆ m as letras C, A, P juntas nessa ordem? e e) que tˆ m as letras C, A, P juntas em qualquer ordem? e f) que tˆ m a letra P em primeiro lugar e a letra A em segundo? e g) que tˆ m a letra P em primeiro lugar ou a letra A em segun- e do? h) que tˆ m P em primeiro lugar ou A em segundo ou C em ter- e ceiro? ´ ` i) nos quais a letra A e uma das letras a esquerda de P e a ´ ` letra C e uma da letras a direita de P? j) que tˆ m as vogais em ordem alfab´ tica? e e ´ ˜ ¸˜2. Se A e um conjunto de n elementos, quantas sao as funcoesf : A → A bijetoras? ´3. De quantos modos e poss´vel colocar 8 pessoas em fila de modo ıque duas dessas pessoas, Vera e Paulo, n˜ fiquem juntas? ao ∗ ¸˜ ´ Solucoes na pagina 176.
  • 101. ´ Combinatoria 103 ´4. De quantos modos e poss´vel colocar 8 pessoas em fila de modo ıque duas dessas pessoas, Vera e Paulo, n˜ fiquem juntas e duas aooutras, Helena e Pedro, permanecam juntas? ¸ ´5. De quantos modos e poss´vel dividir 15 atletas em trˆ s times ı ede 5 atletas, denominados Esporte, Tupi e Minas? ´6. De quantos modos e poss´vel dividir 15 atletas em trˆ s times ı ede 5 atletas? ´7. De quantos modos e poss´vel dividir 20 objetos em 4 grupos de ı3 e 2 grupos de 4? ´8. Um campeonato e disputado por 12 clubes em rodadas de 6 ´jogos cada. De quantos modos e poss´vel selecionar os jogos da ıprimeira rodada?9. Permutam-se de todas as formas poss´veis os algarismos 1, 2, ı ´4, 6, 7 e escrevem-se os numeros formados em ordem crescente.Determine: ´ a) que lugar ocupa o numero 62 417. b) que numero ocupa o 66o lugar. ´ ¯ c) qual o 166o algarismo escrito. ¯ ´ d) a soma dos numeros assim formados. ´10. De quantos modos e poss´vel colocar r rapazes e m mocas em ı ¸fila de modo que as mocas permanecam juntas? ¸ ¸ ´ ´11. Quantos dados diferentes e poss´vel formar gravando numeros ıde 1 a 6 sobre as faces de um cubo? a) Suponha uma face de cada cor. b) Suponha as faces iguais. c) Suponha que as faces s˜ iguais e que a soma dos pontos de ao faces opostas deva ser igual a 7.
  • 102. 104 Temas e Problemas12. Resolva o problema anterior, no caso b), para os outros 4 po- ´liedros regulares (naturalmente, numeros de 1 a 4, de 1 a 8, de1 a 12 e de 1 a 20 para o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e oicosaedro, respectivamente). ˜13. Quantos sao os anagramas da palavra “ESTRELADA”? ˜14. O conjunto A possui n elementos. Quantos sao os seus sub-conjuntos com p elementos?15. Uma faculdade realiza seu vestibular em 2 dias de provas,com provas de 4 mat´ rias em cada dia. Este ano a divis˜ foi: e ao ´Matematica, Portuguˆ s, Biologia e Inglˆ s no primeiro dia e Geo- e egrafia, Hist´ ria, F´sica e Qu´mica no segundo dia. De quantos o ı ı ´modos pode ser feito o calendario de provas?16. Quantas diagonais possui: a) um octaedro regular? b) um icosaedro regular? c) um dodecaedro regular? d) um cubo? e) um prisma hexagonal regular?17. Sejam IÑ = {1, 2, . . . , m} e IÒ = {1, 2, . . . , n}, com m ≤ n. Quan-tas sao as funcoes f : IÑ → IÒ estritamente crescentes? ˜ ¸˜ ˜ ´18. Quantos sao os numeros naturais de 7 d´gitos nos quais o ıd´gito 4 figura exatamente 3 vezes e o d´gito 8 exatamente 2 vezes? ı ı19. Quantos sao os subconjuntos de {a½ , a¾ , . . . , aÒ }, com p elemen- ˜tos, nos quais: a) a½ figura; b) a½ nao figura; ˜ c) a½ e a¾ figuram;
  • 103. ´ Combinatoria 105 d) pelo menos um dos elementos a½ , a¾ figura; e) exatamente um dos elementos a½ e a¾ figura.20. O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n ele-mentos. Determine o numero de funcoes f : A → B sobrejetivas ´ ¸˜para: a) p = n; b) p = n + 1; c) p = n + 2.21. Considere um conjunto C de 20 pontos do espaco que tem ¸um subconjunto C½ formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se que ˜ ˜ ˜toda vez que 4 pontos de C sao coplanares, entao eles sao pontosde C½ . Quantos sao os planos que contˆ m pelo menos trˆ s pontos ˜ e ede C?22. Uma fila de cadeiras no cinema tem 10 poltronas. De quan-tos modos 3 casais podem nelas se sentar de modo que nenhummarido se sente separado de sua mulher? ˜23. Quantos sao os anagramas da palavra “PARAGUAIO” que n˜ aopossuem consoantes adjacentes?24. De quantos modos podemos selecionar p elementos do conjun-to {1, 2, . . . , n} sem selecionar dois numeros consecutivos? ´25. Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por quest˜ es ode seguranca, os planos s˜ guardados em um cofre protegido por ¸ ao o´muitos cadeados de modo que s´ e poss´vel abri-los todos se houver ıpelo menos 5 cientistas presentes. ´ ´ a) Qual e o numero m´nimo poss´vel de cadeados? ı ı ¸˜ b) Na situacao do item a), quantas chaves cada cientista deve ter?
  • 104. 106 Temas e Problemas26. Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas exa-minadoras de modo que cada professor participa de exatamenteduas bancas e cada duas bancas tˆ m exatamente um professor eem comum. a) Calcule x. ´ b) Determine quantos professores ha em cada banca.27. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com6 criancas, de modo que duas delas, Vera e Isadora, n˜ fiquem ¸ aojuntas?29. Quantas sao as solucoes inteiras e positivas de x + y + z = 7? ˜ ¸˜30. Quantas sao as solucoes inteiras e nao-negativas de x+y+z ≤ ˜ ¸˜ ˜6? ´31. Uma industria fabrica 5 tipos de balas que s˜ vendidas em aocaixas de 20 balas, de um s´ tipo ou sortidas. Quantos tipos de ocaixas podem ser montados?Sugestoes ˜1. c) Os anagramas podem comecar por vogal ou por consoante. ¸ d) Tudo se passa como se cap fosse uma letra s´ . o e) Escolha inicialmente a ordem das letras c, a, p. Recai-se no item anterior. g) Ao somar os que tˆ m p em primeiro com os que tˆ m a em e e ˜ segundo, os que tˆ m p em primeiro e a em segundo sao con- e tados duas vezes. Fazer um diagrama de conjuntos ajuda. h) Um diagrama de conjuntos ajuda. 1 i) Ha 3! = 6 ordens poss´veis para essas letras. A resposta e ´ ı ´ 6 do total de anagramas.
  • 105. ´ Combinatoria 1073. Faca o total menos aquelas nas quais elas ficam juntas. N˜ se ¸ aoesqueca que elas podem ficar juntas em 2! ordens poss´veis. ¸ ı4. Faca todas com Helena e Pedro juntos menos aquelas nas quais ¸ ˜ ˜Helena e Pedro estao juntos e Vera e Paulo tamb´ m estao juntos. e5. Vocˆ deve escolher 5 jogadores para o Esporte, depois escolher 5 edos que sobraram para o Tupi e formar o Minas com os restantes. ˜Ou entao, ponha os 15 jogadores em fila: os 5 primeiros formam ´o Esporte, os 5 seguintes o Tupi, os 5 ultimos o Minas. Note que,trocando a ordem dentro de cada bloco, vocˆ muda a fila, mas nao e ˜muda a divis˜ em times. ao ´6. A resposta e a anterior dividida por 3!, pois agora, trocando os ao ´times entre si, a divis˜ e a mesma.8. Vocˆ pode colocar os 12 times em uma matriz 6 × 2. Note que etrocar as linhas entre si, ou trocar em uma linha a ordem dos ˜ ¸˜elementos, nao altera a selecao dos jogos. Vocˆ tamb´ m poderia pensar assim: Tenho 11 modos de esco- e elher o advers´ ario do Botafogo; depois tenho 9 modos de escolhero advers´ario do primeiro (em ordem alfab´ tica) time que sobrou; edepois tenho 7 . . .9. a) Para descobrir o lugar do 62 417 vocˆ tem que contar quan- e ´ ´ tos numeros o antecedem. Antecedem-no todos os n umeros comecados em 1, em 2, em 4, em 61, etc. ¸ c) O 166o algarismo escrito e o 1o algarismo do 34o numero. ¯ ´ ¯ ¯ ´ d) A soma das unidades dos numeros e (1 + 2 + 4 + 6 + 7) · 4!, pois ´ ´ cada um dos algarismos 1, 2, 4, 6, 7 aparece como algarismo ´ das unidades em 4! numeros. Determine analogamente a soma das dezenas, etc.Um truque, bonito mas truque, e grupar os 5! = 120 numeros em ´ ´ ´ ´ ´60 casais do seguinte modo: o cˆ njuge de cada numero e o numero o
  • 106. 108 Temas e Problemas ¸˜ ¸˜que dele se obt´ m trocando a posicao do 1 com o 7 e a posicao do e ´2 com o 6. Teremos 60 casais e a soma em cada casal e 88 888. Aresposta e 88 888 × 60. ´ ´ ´11. a) Devemos colocar 6 numeros em 6 lugares. A resposta e 6!. ¸˜ b) Agora, quando mudamos o cubo de posicao obtemos o mesmo dado. Por exemplo, um dado que tem o 1 e o 6 em faces opostas. Antes, colocar o 1 em cima, na face preta, e o 6 em baixo, na face branca, era diferente de colocar o 6 em cima e o ao, ´ 1 embaixo. Agora n˜ e o mesmo dado de cabeca para baixo. ¸ A resposta e´ a anterior dividida pelo numero de posicoes de ´ ¸˜ ´ colocar um cubo. Ha 6 modos de escolher a face que fica em baixo e 4 modos de escolher nessa face a aresta que fica de frente. ˜16. Os segmentos que ligam dois v´ rtices sao diagonais, arestas eou diagonais de faces. ¸˜17. A funcao fica determinada quando se escolhem os m elementosde IÒ que formarao a imagem. ˜18. Ignore o problema do 0 na primeira casa. Escolha os lugares ´dos 4, dos 8, preencha as casas restantes. Desconte os numeroscomecados em 0. ¸ ¸˜ ˜20. a) Essas funcoes sao bijetoras. b) Um elemento de B tem sua imagem inversa formada por dois elementos e os demais tˆ m imagens inversas unit´ e arias. ´ c) Ha duas possibilidades: um elemento de B tem sua imagem inversa formada por trˆ s elementos e os demais tˆ m ima- e e gens inversas unit´ arias ou dois elementos de B tˆ m imagens e inversas formadas por dois elementos e os demais tˆ m ima- e gens inversas unit´ arias.
  • 107. ´ Combinatoria 10922. Escolhida a ordem em que cada casal vai se sentar (marido` `a direita, mulher a esquerda ou vice-versa), vocˆ tem que formar euma fila com 3 casais e 4 lugares vazios.23. Arrume primeiramente apenas as vogais e depois entremeieas consoantes.24. Marque, no conjunto {1, 2, . . . , n} com o sinal + os elementosselecionados para o subconjunto e com o sinal − os elementos n˜ aoselecionados. Vocˆ tem que formar uma fila com p sinais + e n−p esinais − , sem que haja dois sinais + adjacentes. ´25. Um grupo de 4 cientistas, ABCD, e barrado por pelo menos ¸˜ ´um cadeado. Na situacao do numero m´nimo de cadeados, por ıexatamente um cadeado. Batizemos esse cadeado de ABCD. A, ˜ eB, C, D nao tˆ m a chave desse cadeado e todos os outros cientistas ˜a tˆ m. Nao pense mais nos cadeados e sim nos seus nomes. e ` ´26. Um bom nome para o professor que pertence as bancas 1 e 2 eprofessor 1 − 2.29. Chamando x de 1 + a, y de 1 + b e z de 1 + c, vocˆ tem de edeterminar solucoes inteiras e nao-negativas para a + b + c = 4. ¸˜ ˜ ¸˜ ´30. Defina, para cada solucao, a folga, que e a diferenca entre o ¸valor maximo que x + y + z poderia atingir e o valor que x + y + z ´realmente atinge. Por exemplo, a solucao x = 1 y = 2, z = 1 tem ¸˜folga 2. Cada solucao da inequacao x + y + z ≤ 6 corresponde a ¸˜ ¸˜uma solucao da equacao x + y + z + f = 6 e vice-versa. ¸˜ ¸˜
  • 108. Cap´tulo 7 ı ¸˜Nocoes de ´Matematica Financeira1 O valor do dinheiro no tempo ¸˜ ´A operacao basica da matem´ ´ ¸˜ atica financeira e a operacao de em-pr´ stimo. Algu´ m que disp˜ e de um capital C (chamado de prin- e e ocipal), empresta-o a outrem por um certo per´odo de tempo. Ap´ s ı oesse per´odo, ele recebe o seu capital C de volta, acrescido de uma ı ¸˜ ¸˜ ´remuneracao J pelo empr´ stimo. Essa remuneracao e chamada de ejuro. A soma C + J e chamada de montante e sera representada ´ ´por M. A razao i = J/C, que e a taxa de crescimento do capital, ˜ ´´ ¸˜e sempre referida ao per´odo da operacao e chamada de taxa de ıjuros.Exemplo 1. Pedro tomou um empr´ stimo de R$100,00. Dois emeses depois, pagou R$140,00. Os juros pagos por Pedro s˜ de ao 40R$40,00 e a taxa de juros e ´ = 0,40 = 40% ao bimestre. O prin- 100 ´ ´cipal, que e a d´vida inicial de Pedro, e igual a R$100,00 e o mon- ı ´ ´ ´tante, que e a d´vida de Pedro na epoca do pagamento, e igual a ıR$140,00. O leitor deve ficar atento para o fato que Pedro e quem lhe em-prestou o dinheiro concordaram que R$100,00 no in´cio do referi- ıdo bimestre tˆ m o mesmo valor que R$140,00 no final do referido ebimestre. E ´ importante perceber que o valor de uma quantia de- ´ `pende da epoca a qual ela est´ referida. Neste exemplo, quantias a ´diferentes (R$100,00 e R$140,00), referidas a epocas diferentes,tˆ m o mesmo valor. e 110
  • 109. ¸˜ ´ Nocoes de Matem atica Financeira 111 ˜Sao exemplos de erros comuns em racioc´nios financeiros: ı a) Achar que R$140,00 tˆ m valor maior que R$100,00. e ` R$140,00 tˆ m maior valor que R$100,00, se referidos a mes- e ´ ´ ma epoca. Referidos a epocas diferentes, R$140,00 podem ter o mesmo valor que R$100,00 (veja o exemplo anterior) ou at´ mesmo um valor inferior. e Todos n´ s preferir´amos receber R$100 000,00 agora do que o ı R$140 000,00 daqui a seis anos. Com efeito, R$100 000,00 colocados em uma caderneta de poupanca, a juros de 0,5% ¸ e ` ao mˆ s, cresceriam a taxa de 0,5% ao mˆ s e transformar- e se-iam, depois de 72 meses, em 100 000,00 · (1 + 0,005) ¾ = R$143 204,43. b) Achar que R$100,00 tˆ m sempre o mesmo valor que R$100,00. e Na verdade, R$100,00 hoje valem mais que R$100,00 daqui a um ano. ´ ˜ c) Somar quantias referidas a epocas diferentes. Pode nao ser ´ verdade, como mostrara o Exemplo 5, que comprar em trˆ se ¸˜ prestacoes de R$50,00 seja melhor que comprar em cinco prestacoes de R$31,00, apesar de 50 + 50 + 50 < 31 + 31 + ¸˜ 31 + 31 + 31.Exemplo 2. Pedro tomou um empr´ stimo de R$100,00, a juros ede taxa 10% ao mˆ s. Ap´ s um mˆ s, a d´vida de Pedro ser´ acres- e o e ı acida de 0,10 × 100 reais = 10 reais de juros (pois J = iC), pas-sando a 110 reais. Se Pedro e seu credor concordarem em adiar ¸˜a liquidacao da d´vida por mais um mˆ s, mantida a mesma taxa ı e ´de juros, o empr´ stimo sera quitado, dois meses depois de con- e ı e ˜tra´do, por 121 reais, pois os juros relativos ao segundo mˆ s seraode 0,10 × 110 = 11 reais. Esses juros assim calculados s˜ cha- aomados de juros compostos. Mais precisamente, no regime de juros ˜compostos os juros em cada per´odo sao calculados, conforme e ı ´natural, sobre a d´vida do in´cio desse per´odo. ı ı ıNo regime de juros compostos de taxa i, um principal C¼ transforma-se, ap´ s n per´odos de tempo, em um montante CÒ = C¼ (1 + i)Ò . o ı
  • 110. 112 Temas e ProblemasPara cada k, seja C a d´vida ap´ s k per´odos de tempo. Ora, ı o ıC ·½ = C + iC = (1 + i)C . Portanto, a cada per´odo de tem- ıpo a d´vida sofre uma multiplicacao por 1 + i. Ap´ s n per´odos ı ¸˜ o ıde tempo a d´vida sofrer´ n multiplicaco ı a ¸ ˜ es por 1 + i, ou seja, sera ´multiplicada por (1 + i)Ò . Logo, CÒ = C¼ (1 + i)Ò.Exemplo 3. Pedro toma um empr´ stimo de R$1 500,00 a juros de e e ´12% ao mˆ s. Qual sera a d´vida de Pedro trˆ s meses depois? ı e C¿ = C¼ (1 + i)¿ = 1500(1 + 0,12)¿ = 2107,39. Outro modo de ler a f´ rmula CÒ = C¼ (1 + i)Ò e: uma quantia, o ´hoje igual a C¼ , transformar-se-a, depois de n per´odos de tempo, ´ ıem uma quantia CÒ = C¼ (1 + i) Ò . Isto e, uma quantia, cujo valor ´ ´atual e A, equivaler´ no futuro, depois de n per´odos de tempo, a a ıF = A(1 + i) Ò. ´Essa e a f´ rmula fundamental da equivalˆ ncia de capitais: o e• Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i)Ò .• Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (1 + i)Ò .Exemplo 4. Pedro tomou um empr´ stimo de R$300,00 a juros ede 15% ao mˆ s. Um mˆ s ap´ s, Pedro pagou R$150,00 e, dois me- e e oses ap´ s esse pagamento, Pedro liquidou seu d´ bito. Qual o valor o e ´desse ultimo pagamento? Os esquemas de pagamento abaixo s˜ equivalentes. Logo, aoR$300,00, na data 0, tˆ m o mesmo valor de R$150,00, um mˆ s e eap´ s, mais um pagamento igual a P, na data 3. o 0 1 3 300 150 P Figura 47
  • 111. ¸˜ ´ Nocoes de Matem atica Financeira 113 ´ Igualando os valores, na mesma epoca (0, por exemplo), dospagamentos nos dois esquemas, obtemos: , ou seja, 300 = 150 · 1,15¹½ + P · 1,15¹¿ . 150 P300 = + 1 + 0,15 (1 + 0,15)¿Finalmente, P = [300 − 150 · 1,15¹½ ] · 1,15¹¿ = 257,89 reais. ¸˜Exemplo 5. Pedro tem duas opcoes de pagamento na compra e e ¸˜de um eletrodom´ stico: trˆ s prestacoes mensais de R$50,00 cada, ¸˜ou cinco prestacoes mensais de R$31,00. Em qualquer caso, a ¸˜ ´primeira prestacao e paga no ato da compra. Se o dinheiro vale ´ ¸˜5% ao mˆ s para Pedro, qual e a melhor opcao que Pedro possui? e 0 1 2 0 1 2 3 4 50 50 50 31 31 31 31 31 Figura 48 Para comparar, determinaremos o valor das duas s´ ries de pa- e ´ ´gamentos na mesma epoca, por exemplo na epoca 2. TemosV½ = 50(1 + 0,05)¾ + 50(1 + 0,05) + 50 = 157,63V¾ = 31(1 + 0,05)¾ + 31(1 + 0,05) + 31 + 31/(1 + 0,05) + 31/(1 + 0,05)¾ = 155,37. ¸˜Pedro deve preferir o pagamento em cinco prestacoes. ¸˜Exemplo 6. Pedro tem trˆ s opcoes de pagamento na compra de e ´vestuario. ` a) A vista, com 3% de desconto. ¸˜ b) Em duas prestacoes mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mˆ s ap´ s a compra. e o
  • 112. 114 Temas e Problemas ¸˜ c) Em trˆ s prestacoes mensais iguais, sem desconto, vencendo e a primeira no ato da compra. ¸˜Qual a melhor opcao para Pedro, se o dinheiro vale, para ele,2,5% ao mˆ s? e 0 1 2 0 1 2 291 150 150 100 100 100 Figura 49 Fixando o preco do bem em 300, temos os trˆ s esquemas acima. ¸ e ´ Comparando os valores na epoca 0, obtemos: V½ = 291 150 150 V¾ = + = 289,11 1,025 1,025¾ 100 100 V¿ = 100 + + = 292,74 1,025 1,025¾ ´ A melhor alternativa para Pedro e a compra em dois pagamen- ´ ¸˜tos, e a pior e a compra em trˆ s prestacoes. e ´ E interessante observar que a melhor alternativa para Joa- ˜quim pode nao ser a melhor alternativa para Jo˜ ao. ´ Se Joaquim e pessoa de poucas posses e decide comprar a pra- ` ´ ´zo, tendo dinheiro para comprar a vista, e provavel que ele invistao dinheiro que sobrou, em uma caderneta de poupanca que lhe ¸ ˜renderia, digamos, 1,5% ao mˆ s. Entao, para ele seria indiferente e `comprar a vista ou a prazo com juros de 1,5% ao mˆ s.e ˜ Se Joao tiver acesso a investimentos melhores, ele poderia fa-zer render a sobra de dinheiro a, digamos, 2,5% ao mˆ s. Entao, e ˜seria atrativo para Jo˜ comprar a prazo com juros de 1,5% ao aomˆ s. e
  • 113. ¸˜ ´ Nocoes de Matem atica Financeira 115 Logo, o dinheiro tem valores diferentes para Jo˜ e Joaquim. aoEssa taxa de juros que representa o valor do dinheiro para cada ´ `pessoa e que e, em suma, a taxa a qual a pessoa consegue fazerrender seu dinheiro, e ´ chamada de taxa m´nima de atratividade. ı ´O motivo do nome e claro: para essa pessoa, um investimento s´o´e atrativo se render, no m´nimo, a essa taxa. ı ¸˜Exemplo 7. Uma loja oferece duas opcoes de pagamento: ` a) A vista, com 30% de desconto. ¸˜ b) Em duas prestacoes mensais iguais, sem desconto, a primei- ¸˜ ra prestacao sendo paga no ato da compra.Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo? Fixando o valor do bem em 100, temos os esquemas de paga-mento abaixo: 0 0 1 70 50 50 Figura 50 50 Igualando os valores na epoca 0, obtemos 70 = 50 + ´ · Da´, ı 1+i1 + i = 2,5 e i = 1, 5 = 150%. A loja cobra juros de 150% ao mˆ s nas vendas a prazo. eExemplo 8. Investindo seu capital a juros mensais de 8%, emquanto tempo vocˆ dobrar´ o seu capital inicial? e a ln 2 ∼ Temos C¼ (1 + 0,008)Ò = 2 C¼ . Da´, 1,08Ò = 2 e n = ı = 9. ln 1,08 ´Aqui ln esta representando o logaritmo natural. Em aproximadamente nove meses vocˆ dobrar´ o seu capital e ainicial.
  • 114. 116 Temas e Problemas Problemas Propostos∗1. Investindo R$450,00 vocˆ retira, ap´ s 3 meses, R$600,00. A e oque taxa mensal de juros rendeu o seu investimento?2. Investindo a 8% ao mˆ s, vocˆ obt´ m, depois de 6 meses um e e emontante de R$1 480,00. Quanto havia sido investido?3. Qual o montante produzido em 3 meses por um principal deR$2 000,00 a juros de 10% ao mˆ s? e4. Em que prazo um principal de R$1 400,00 gera um montantede R$4 490,00 a juros de 6% ao mˆ s? e5. Laura quer comprar um viol˜ em uma loja que oferece um des- ao `conto de 30% nas compras a vista ou pagamento em trˆ s presta- e¸˜coes mensais, sem juros e sem desconto. Determine a taxa mensalde juros embutida nas vendas a prazo, supondo o primeiro paga-mento no ato da compra.6. Malu contraiu um empr´ stimo de R$9 000,00 para ser pago em e ¸˜duas prestacoes, com vencimentos trˆ s e cinco meses depois do e ¸˜ ´empr´ stimo. Se a segunda prestacao e o dobro da primeira e os e ˜ ¸˜juros sao de 2% ao mˆ s, determine as prestacoes. e ¸˜7. Regina tem duas opcoes de pagamento: ` a) a vista, com x% de desconto. ¸˜ b) em duas prestacoes mensais iguais, sem juros, vencendo a primeira um mˆ s ap´ s a compra. e o ı ´Se a taxa m´nima de atratividade de Regina e de 5% ao mˆ s, para eque valores de x ela preferir´ a primeira alternativa? a8. Certa loja, no natal de 1992, oferecia a seus clientes duas alter-nativas de pagamento: ∗ ¸˜ ´ Solucoes na pagina 189.
  • 115. ¸˜ ´ Nocoes de Matem atica Financeira 117 a) pagamento de uma s´ vez, um mˆ s ap´ s a compra. o e o ¸˜ b) pagamento em trˆ s prestacoes mensais iguais, vencendo a e primeira no ato da compra. ¸˜Se vocˆ fosse cliente dessa loja, qual seria a sua opcao? e9. Certa loja convidou, em dezembro de 1992, os seus clientes ¸˜a liquidarem suas prestacoes mensais vincendas, oferecendo-lhesem troca um desconto. O desconto seria dado aos que pagassem, ¸˜de uma s´ vez, todas as prestacoes a vencer em mais de 30 dias o ¸˜e seria de 40% para os que pagassem duas prestacoes. Supondouma taxa m´nima de atratividade de 27% ao mˆ s, a oferta era ı evantajosa? ´10. Lucia comprou um exaustor, pagando R$180,00, um mˆ s ap´ s e o ˜a compra, e R$200,00, dois meses ap´ s a compra. Se os juros sao o ´ ¸ `de 2,5% ao mˆ s, qual e o preco a vista? e2 Taxas de jurosOs leigos costumam achar que juros de 10% ao mˆ s equivalem a ejuros de 20% ao bimestre, de 30% ao trimestre, de 120% ao anoetc. ˜ ´ Isso nao e verdade, como mostra a tabela a seguir, que d´ a a ¸˜evolucao de um principal igual a 100, a juros de 10% ao mˆ s. e Mˆ s e 0 1 2 3 Capital 100 110 121 133,1Observe que juros de 10% ao mˆ s equivalem a juros de 21% ao ebimestre e de 33,1% ao trimestre.Se a taxa de juros relativamente a um determinado per´odo de ıtempo e igual a i, a taxa de juros relativamente a n per´odos de ´ ıtempo e I tal que 1 + I = (1 + i)Ò . ´Basta calcular quanto valer´ no futuro, depois de n per´odos de a ıtempo, um principal igual a A. Se usamos a taxa i, devemos avan-car n per´odos de tempo e, se usamos a taxa I, devemos avancar¸ ı ¸1 per´odo de tempo. Logo, A(1 + I)½ = A(1 + i)Ò e 1 + I = (1 + i)Ò . ı
  • 116. 118 Temas e ProblemasExemplo 1. A taxa anual de juros equivalente a 12% ao mˆ s e I e ´tal que 1 + I = (1 + 0,12)½¾ . Da´, I = 1,12½¾ − 1 = 2,90 = 290%. ıExemplo 2. A taxa mensal de juros equivalente a 40% ao ano e i ´tal que 1 + 0,40 = (1 + i)½¾ . Da´, 1 + i = 1,4½ ½¾ e i = 1,4½ ½¾ − 1 = ı0,0284 = 2,84%. ´ Um erro muito comum e achar que juros de 12% ao mˆ s equi- evalem a juros anuais de 12 × 12% = 144% ao ano. Taxas como 12%ao mˆ s e 144% ao ano s˜ chamadas de taxas proporcionais, pois e ao ˜ ´ ` ˜a razao entre elas e igual a razao dos per´odos aos quais elas se ıreferem. Taxas proporcionais nao sao equivalentes. ˜ ˜Exemplo 3. As taxas de 20% ao mˆ s, 60% ao trimestre e 240% ao e ˜ano sao taxas proporcionais. ´ ´ ´ Um (p´ ssimo) habito em Matematica Financeira e o de anun- eciar taxas proporcionais como se fossem equivalentes. Uma ex- ˜ ¸˜pressao como “12% ao ano, com capitalizacao mensal” significa ¸˜ ˜ ´que a taxa usada na operacao nao e a taxa de 12% anunciada e ´sim a taxa mensal que lhe e proporcional. Portanto, a tradu¸ ao da c˜expressao “12% ao ano, com capitaliza¸ ao mensal” e “1% ao mˆ s”. ˜ c˜ ´ e ¸˜Exemplo 4. “24% ao ano com capitalizacao trimestral” significa ¸˜“6% ao trimestre”; “1% ao mˆ s com capitalizacao semestral” sig- e ¸˜nifica “6% ao semestre” e “6% ao ano com capitalizacao mensal”significa “0,5% ao mˆ s”. eExemplo 5. Verˆ nica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano o ¸˜ `com capitalizacao mensal. Qual a taxa anual de juros a qual est´ ainvestido o capital de Verˆ nica? o ´Ora, o dinheiro de Verˆ nica esta, na realidade, investido a juros ode taxa i = 6% ÷ 12 = 0,5% ao mˆ s. A taxa anual equivalente e I e ´tal que 1 + I = (1 + 0,005)½¾. Da´, I = 1,005½¾ − 1 = 0,061 7 = 6,17% ıao ano. ´ A (falsa) taxa de 6% ao ano e dita nominal. A taxa (verdadeira) ´de 6,17% ao ano e dita taxa efetiva.
  • 117. ¸˜ ´ Nocoes de Matem atica Financeira 119Exemplo 6. A taxa efetiva semestral correspondente a 24% aosemestre com capitalizacao mensal e I tal que 1 + I = (1 + 0,04) . ¸˜ ´Da´, I = 1,04 − 1 = 26,53% ao semestre. ı Problemas Propostos∗1. Determine as taxas mensais equivalentes a 100% ao ano e a39% ao trimestre.2. Determine as taxas anuais equivalentes a 6% ao mˆ s e a 12% eao trimestre.3. Determine as taxas efetivas anuais equivalentes a: ¸˜ a) 30% ao ano, com capitalizacao mensal. ¸˜ b) 30% ao ano, com capitalizacao trimestral. c) i ao ano, capitalizados k vezes ao ano.3 AnuidadesUma lista de quantias (chamadas usualmente de pagamentos ou ´ ´termos), referidas a epocas diversas, e chamada de s´ rie ou anui- edade ou, ainda, renda certa. Se esses pagamentos forem iguais eigualmente espacados no tempo, a s´ rie diz-se uniforme. ¸ eO valor atual (isto e, o valor da s´ rie uma unidade de tempo antes ´ edo primeiro pagamento) de uma s´ rie uniforme de n pagamentos e 1 − (1 + i)¹Òiguais a P, e, sendo i a taxa de juros, igual a A = P ´ . i ¸˜ ´ Atencao ao significado das letras na f´ rmula acima: i e a taxa o ` ´de juros (referida a unidade de tempo, a qual e o tempo entre ¸˜ ´ ´ ¸˜ ´prestacoes consecutivas), n e o numero de prestacoes, P e o valor ¸˜ ´de cada prestacao e A e o valor da s´ rie uma unidade de tempo eantes do primeiro pagamento. ∗ ¸˜ ´ Solucoes na pagina 190.
  • 118. 120 Temas e Problemas Com efeito, para determinar o valor da s´ rie um tempo antes edo primeiro pagamento, devemos retroceder um tempo com o pri-meiro pagamento, dois tempos com o segundo, . . . , n tempos como n-´ simo pagamento. Logo, e P P P P A= + ¾ + · · · + (1 + i)¾ + · · · + (1 + i)Ò · 1 + i (1 + i)Multiplicando por (1 + i), obtemos P P P A(1 + i) = P + + ¾ + · · · + (1 + i)Ò¹½ · 1 + i (1 + i)Subtraindo, obtemos P A(1 + i) − A = P − (1 + i)Ò Ai = P − P(1 + i)¹Ò 1 − (1 + i)¹Ò A=P i ¸ ` ´ ´Exemplo 1. Um bem, cujo preco a vista e R$1 200,00, e vendido ¸˜ ´em 8 prestacoes mensais iguais, postecipadas (isto e, a primeira´ e o ˜e paga um mˆ s ap´ s a compra). Se os juros sao de 8% ao mˆ s, e ¸˜determine o valor das prestacoes.Temos A = 1 200, n = 8, i = 0,08. Aplicando a f´ rmula, A = o 1 − (1 + i)¹ÒP , obtemos: i 1 − 1,08¹ 0,08 1200 = P ; P = 1200 = 208,82. 0,08 1 − 1,08¹ ¸˜ ˜ As prestacoes sao de R$208,82. ¸ ` ´ ´Exemplo 2. Um bem, cujo preco a vista e R$1 200,00, e vendido ¸˜ ´ ´em 6 prestacoes mensais iguais, antecipadas (isto e, a primeira epaga no ato da compra). Se os juros s˜ de 8% ao mˆ s, determine ao e ¸˜o valor das prestacoes.
  • 119. ¸˜ ´ Nocoes de Matem atica Financeira 121 e ¸˜O valor da s´ rie de prestacoes um mˆ s antes do pagamento da eprimeira prestacao (ou seja, um mˆ s antes da compra) e A = ¸˜ e ´ 1 − (1 + i) Ò 1 − 1,08 ¹P =P · Esse valor e igual ao preco a vista, ´ ¸ ` i 0,08 1200 ´ ´ ´um mˆ s atras, isto e, e igual a e · Logo, 1,08 1 − 1,08¹ 1200 1200 0,08 P = e P= = 240,35. 0,08 1,08 1,08 1 − 1,08¹ ¸˜ ˜ As prestacoes sao de R$240,35. ` As vezes necessitamos calcular o valor futuro (ou montante) ´ ´ ´de uma s´ rie uniforme, isto e, o valor da s´ rie na epoca do ultimo e epagamento. Para isso, basta avancar n tempos o valor A, isto e, ¸ ´ 1 − (1 + i)¹Ò (1 + i)Ò − 1 F = A(1 + i)Ò = P (1 + i)Ò = P · i iO valor de uma s´ rie uniforme na epoca do ultimo pagamento e e ´ ´ ´ (1 + i)Ò − 1F=P . iExemplo 3. Investindo mensalmente R$150,00 em um fundo de ´investimentos que rende 0,5% ao mˆ s, qual e o montante imedia- e otamente ap´ s o 120 ¯ dep´ sito? o o O montante da s´ rie e e ´ (1 + i)Ò − 1 1,005½¾¼ − 1 F=P = 150 = 24 581,90. i 0,005 Trataremos agora de rendas perp´ tuas. Rendas perp´ tuas apa- e e ¸˜recem em locacoes. Com efeito, quando se aluga um bem, cede-se aposse do mesmo em troca de um aluguel, digamos, mensal. Entao, ˜a s´ rie dos alugu´ is constitui uma renda perp´ tua ou perpetuida- e e ede. Para obter o valor atual de uma renda perp´ tua, basta fazer n etender para infinito na f´ rmula o 1 − (1 + i)¹Ò A=P · i
  • 120. 122 Temas e ProblemasO valor de uma perpetuidade de termos iguais a P, um tempo antes Pdo primeiro pagamento, e, sendo i a taxa de juros, A = . ´ iExemplo 4. Se o dinheiro vale 1% ao mˆ s, por quanto deve ser ealugado um im´ vel que vale R$40 00,00? o Quando vocˆ aluga um im´ vel, vocˆ cede a posse do im´ vel em e o e o ˜troca de uma renda perp´ tua cujos termos sao iguais ao valor do e ˜aluguel. Entao, o valor do im´ vel deve ser igual ao valor da s´ rie o ede alugu´ is. e P Logo, como A = , temos P = Ai = 40 00 × 0,01 = 400. i Deve ser alugado por R$400,00.Exemplo 5. Helena tem duas alternativas para obter uma copia-dora: a) Alug´ a-la por R$480,00 por mˆ s. Nesse caso, o locador se res- e ¸˜ ponsabiliza pelas despesas de manutencao. ´ b) Compra-la por R$8 000,00. Nesse caso, j´ que a vida econˆ - a o ´ ´ mica da copiadora e de 2 anos, Helena vendera a copiadora ¸˜ ˜ ap´ s 2 anos, por R$1 000,00. As despesas de manutencao sao o de responsabilidade de Helena e s˜ de R$100,00 por mˆ s no ao e primeiro ano e de R$150,00 por mˆ s, no ano seguinte: e ¸˜Se o dinheiro vale 1% ao mˆ s, qual a melhor opcao para Helena? e ´ Na alternativa b), vejamos o valor, na epoca da compra, dosgastos de Helena durante esses dois anos. Temos:
  • 121. ¸˜ ´ Nocoes de Matem atica Financeira 123 i) uma parcela de R$8 000,00; ii) o valor atual de uma s´ rie de 12 pagamentos de R$100,00, e 1 − 1,01¹½¾ igual a 100 = R$1 125,51; 0,01 ´ iii) o valor, na epoca da compra, dos gastos no segundo ano. Para ´ determina-lo, calculamos o valor atual dos gastos no segundo 1 − 1,01¹½¾ ano, 150 = 1 688,26, e dividimos esse valor por 0,01 1,01½¾ , para trazˆ -lo um ano para tras, obtendo finalmente e ´ R$1 498,25; ´ iv) o valor, na epoca da compra, da receita auferida com a venda, R$1 000,00 trazidos dois anos para tr´ isto e, 1000÷1,01¾ = as, ´ 787,57.Portanto, os gastos sao de 8 000 + 1 125,51 + 1 498,25 − 787,57 = ˜9 836,19. ´ ´ Na alternativa a), o valor dos gastos na epoca da compra e ovalor atual de uma s´ rie de 24 pagamentos iguais a R$480,00, e 1 − 1,01¹¾480 = R$10 196,83. 0,01 ´ A melhor alternativa e a compra. Problemas Propostos∗ ¸ ` ´ ´1. Um televisor, cujo preco a vista e R$900,00, e vendido em dez ¸˜prestacoes mensais iguais. Se s˜ pagos juros de 4% ao mˆ s, deter- ao e ¸˜ ¸˜mine o valor das prestacoes, supondo a primeira prestacao paga: a) no ato da compra. b) um mˆ s ap´ s a compra. e o c) dois meses ap´ s a compra. o ∗ ¸˜ ´ Solucoes na pagina 191.
  • 122. 124 Temas e Problemas ´2. Se a taxa de juros e de 0,6% ao mˆ s, por quanto se aluga um e ¸ ` ´im´ vel cujo preco a vista e R$80 000,00, supondo o aluguel mensal opago vencido? E se fosse pago adiantadamente?3. Supondo juros de 1% ao mˆ s, quanto vocˆ deve investir men- e esalmente durante 10 anos para obter ao fim desse prazo, por 30anos, uma renda mensal de R$500,00?4. Supondo juros de 1% ao mˆ s, quanto vocˆ deve investir mensal- e emente durante 35 anos para obter, ao fim desse prazo, uma rendaperp´ tua de R$1 000,00? e5. Considere uma renda perp´ tua cujos termos crescem a uma e ´taxa constante j e cujo primeiro termo e igual a P. Supondo jurosde taxa i (i > j), determine o valor da renda na epoca do primeiro ´pagamento.6. Minha mulher acha que devemos vender o carro novo quecompramos por R$18 000,00 quando ele estiver com dois anos deuso. Conseguir´amos vendˆ -lo por R$14 000,00 e comprar´amos ı e ıoutro igual, zero quilˆ metro. Eu acho que seria melhor esperar oquatro anos para vender o carro, caso em que s´ conseguir´amos o ıR$10 000,00 na venda, mesmo levando em conta que gastar´amos ıem consertos cerca de R$1 000,00 no terceiro ano e de R$2 000,00no quarto ano. Supondo que o dinheiro valha 15% ao ano, quem ˜tem razao?
  • 123. ¸˜ ´ Nocoes de Matem atica Financeira 125 ˆ APENDICE Como calcular a taxa de juros utilizando o Excel Para calcular a taxa de juros em s´ ries uniformes de pagamen- etos, inicialmente, deve-se clicar na tecla do menu fÜ . ¸˜ Com esta operacao aparecer´ na tela: a Figura 51 ` Role o cursor no quadro a esquerda e clique em Financeira,como mostra a Figura 52. ` ¸˜ Em seguida no quadro a direita procure a funcao TAXA (Figu-ra 53). Clique OK.
  • 124. 126 Temas e Problemas Figura 52 Figura 53
  • 125. ¸˜ ´ Nocoes de Matem atica Financeira 127 ´ Aparecera uma caixa de di´ ´ ´ alogo e sera necessario preencheralgumas janelas: ´Nper coloque nesta lacuna o numero total de termos da s´ rie euniforme. ´Pgto coloque nesta lacuna o numero total de termos da s´ rie euniforme.VP preencha este quadro com o valor presente (valor atual), com ario ao pagamento. Se o VF e preenchido esta c´ lulasinal contr´ ´ edeve ficar em branco. ´Vf preencha este quadro com o valor futuro, com sinal contrario ´ao pagamento. Se o Vp e preenchido esta c´ lula deve ficar em ebranco. ´ ´Tipo e o numero 0 ou 1, conforme os pagamentos sejam posteci-pados ou antecipados. Se for deixado em branco, o Excel assumir´ a0, considerando os pagamentos postecipados. ´Estimativa e a sua estimativa para a taxa. Deixe em branco.Observacao. O Excel trabalha com a “l´ gica do contador”, na ¸˜ oqual os pagamentos e os recebimentos devem ter sinais contr´ arios. ´ ¸˜Logo, se o valor presente e um valor positivo, o valor das prestacoes´e obrigatoriamente negativo. ´Exemplo 1. Qual e a taxa de juros na compra de um ve´culo cujo ı ¸ ` ´ ´preco a vista e de R$8 000,00 e e pago em 24 pagamentos mensaisde R$400,00, o primeiro sendo efetuado um mˆ s ap´ s a compra? e o Preencha Nper = 24, Pgto = −400 e Vp = 8 000. Aparecer´ aTAXA (24; −400; 8000) = 0,015130844, ou seja, 1,51% ao mˆ s. e ´Exemplo 2. Qual e a taxa de juros na compra de um ve´culo cujo ı ¸ ` ´ ´preco a vista e de R$8 000,00 e e pago em 24 pagamentos mensaisde R$400,00, o primeiro sendo efetuado no ato da compra? Preencha Nper = 24, Pgto = −400, Vp = 8 000, e Tipo = 1.Aparecera TAXA (24; −400, 8000; ; 1) = 0,016550119, ou seja, 1,66% ´ao mˆ s. e
  • 126. 128 Temas e ProblemasExemplo 3. O Excel tamb´ m calcula taxas de juros em s´ ries e e ˜nao-uniformes. Vejamos como calcular a taxa de juros ao ano dofinanciamento a seguir: Ano 0 1 2 3 4 5 6 7 Valor 80 50 50 0 −40 −40 −60 −70 ˜ Os valores estao em milhares de reais, as entradas de capitalforam consideradas positivas e as sa´das, negativas. ı Inicialmente devemos colocar os valores do fluxo em c´ lulas eadjacentes de uma mesma coluna da planilha, por exemplo, nasc´ lulas de B1 a B8. Procedendo como anteriormente, usamos os ecomandos fÜ , Financeira e TIR (encontra-se imediatamente ap´ s oTAXA). ´ Aparecera uma caixa de di´ ˜ alogo. Par preenchˆ -la, nao digite e ˜nada. Com o botao esquerdo do mouse apertado, cubra as c´ lulas enas quais foi colocado o fluxo de caixa, no caso as c´ lulas de B1 a e ˆB8. Elas ficar˜ dentro de um retangulo com efeito de movimento aona borda e a caixa de di´ ´ alogo se preenchera sozinha, aparecendo: VALORES B1:B8 TIR(B1:B8) = 0,031826856 ´A taxa e de 3,18% ao ano. Problemas Propostos∗ ¸ `1. Joelma comprou uma geladeira, cujo preco a vista era R$800,00, ¸˜com uma entrada de R$200,00 e seis prestacoes mensais de ´R$120,00. Qual e a taxa mensal dos juros que ela est´ pagando? a ¸ `2. Manuel comprou um televisor, cujo preco a vista era R$500,00, ¸˜em dez prestacoes mensais de R$60,00 cada, vencendo a primeira ´dois meses ap´ s a compra. Qual e a taxa mensal dos juros que ele o ´esta pagando? ∗ ¸˜ ´ Solucoes na pagina 193.
  • 127. ¸˜ ´ Nocoes de Matem atica Financeira 1293. Uma caixa de funcion´arios de certa empresa empresta dinheiroa seus associados e calcula os juros de modo peculiar. Para umempr´ stimo de R$1 000,00, para pagamento em 5 vezes, os juros e ˜ de “3% ao mˆ s”, isto e, 15% em 5 meses. Portanto, o total asao e ´ ´ ¸˜ser pago e de R$1 150,00, ou seja, 5 prestacoes de R$230,00 cada. ´Qual e na realidade a taxa de juros com que trabalha a caixa?