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Appunti di Elaborazione automatica dei dati: matematica finanziaria
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Appunti universitari per l'esame di Elaborazione automatica dei dati: matematica finanziaria (elementi)

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Appunti di Elaborazione automatica dei dati: matematica finanziaria Appunti di Elaborazione automatica dei dati: matematica finanziaria Document Transcript

  • Il Mache-Mazz - Elementi di Matematica FinanziariaAutori: *||
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: Profland Si ricorda che: • luso degli appunti qui presenti è consentito per solo uso personale e di studio; • la consultazione è gratuita ed ogni forma atta a ricavarne lucro è vietata! • gli appunti sono fatti da studenti che non possono assumersi nessuna responsabilità in merito; • il materiale qui presente non è sostitutivo ma complementare ai libri di testo: - devi (e ti consiglio) di consultare e comprare i libri di testo; • il materiale qui presente è distribuito con licenza Creative Commons Ti ricordo che se vuoi contribuire mandando degli appunti o quantaltro possa essere utile ad altri puoi farlo inviando il materiale tramite: http://profland.altervista.org/mail.htm Spero che ciò che hai scaricato ti possa essere utile. Profman Il file è stato scaricato/visualizzato in forma gratuita da Profland: http://profland.altervista.org sezione Profstudio http://profland.altervista.org/profstudio/profstudio.htm oppure da qualche mirror, come: www.profland.cjb.net www.profland.135.it o dalla pagina dedicata su slideshare.net: www.slideshare.net/profman 2/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: ProflandOperazione di investimentoUn soggetto rinuncia al tempo t0 ad una somma C per ottenere al tempo tfuna nuova somma MLa somma C è chiamata CAPITALELa somma M è chiamata MONTANTE• Il tempo tf e il montante M possono o meno essere predefiniti, pertantoun’operazione può definirsi certa o incerta.  È PIÙ RISCHIOSA UN’OPERAZIONE CERTA O UN’OPERAZIONE INCERTA? DIPENDE.UN’OPERAZIONE CERTA CON UN SOGGETTO AD ALTISSIMO RISCHIO POTREBBERISULTARE PIÙ RISCHIOSA DI UN’OPERAZIONE INCERTA CHE, PER CONTRATTO, HA UNMARGINE DI VARIABILITÀ MOLTO BASSO.AD ES, L’INVESTIMENTO IN BOT È UN’OPERAZIONE CERTA, MENTRE L’INVESTIMENTOIN CCT È UN’OPERAZIONE INCERTA; MA L’INVESTIMENTO IN CCT PUÒ RISULTAREMENO RISCHIOSO.OCCORRE TENERE BEN DISTINTO IL CONCETTO DI INCERTEZZA DELL’OPERAZIONEFINANZIARIA DALLA MISURA DEL RISCHIO INSITA NELLA STESSA OPERAZIONE.La differenza I = M - C è chiamata INTERESSEIl rapporto i = I/C è chiamato TASSO DI INTERESSE: I=CiIl rapporto r = M/C è chiamatoFATTORE DI CAPITALIZZAZIONE: M=Cr; si ha: r = 1 + i i=I/c → i=(M-C)/C → i=M/C-C/C → i= M/C-1 → i= r-1→ r=I+1r≥1⇔M≥Ci≥0⇔I≥0⇔M≥COperazione di scontoUn soggetto rinuncia ad una somma futura K (al tempo tf) per avere ora (altempo t0) una somma PLa somma K è chiamata CAPITALELa somma P è chiamata VALORE ATTUALE di K• Il tempo tf e il capitale K possono o meno essere predefiniti, pertantoun’operazione può definirsi certa o incerta.La differenza D=K-P è chiamata SCONTOIl rapporto d=D/K è chiamato TASSO di SCONTO: D=KdIl rapporto v=P/K è chiamato FATTORE DI SCONTO: K=P v; si ha: v = 1 – d 3/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: ProflandGrandezze equivalentiDal punto di vista finanziario, due somme esigibili a tempi diversi, sonoequivalenti se esiste una relazione che le lega:  Il capitale C ed il montante M:Da un certo punto di vista, appare equivalente avere C subito o avere M altempo tf.  Il capitale K ed il valore attuale PIl futuro credito K appare equivalente alla disponibilità immediata dellasomma P Equivalenza non vuol dire indifferenza → Per i singoli soggetti non èaffatto indifferente avere C subito o M al tempo tf ; altrimenti il contrattofinanziario non verrebbe stipulato Il capitale C si può interpretare come il valore attuale del montante M Il capitale K si può interpretare come il montante del valore attuale PRisulta: v = C/M = P/K = 1/r ovvero: vr = 1 d = i/(1+i)Le grandezze finora prese in considerazione sono interrelateContratto finanziario elementareDecidere, al tempo tc, di scambiare due somme, A e B, disponibili in istantidiversi (tA < tB, non necessariamente predefiniti) ritenute finanziariamenteequivalenti: esiste una qualche relazione < (tc, tA, tB) che lega le somme A e BA = R(tc, tA, tB)B dove tc, tA, tB sono grandezze indipendenti tra loro.Funzione valore di scontoLa funzione < (tc, tA, tB) esprime il valore all’istante tA e pattuito all’istante tc,di una unità monetaria (un euro) esigile all’istante tB:se al tempo tc = 0, si definiscono equivalenti un euro disponibile dopo dueanni ed 0,8 euro disponibili dopo sei mesi, si scrive: (0, 0,5, 2) = 0,8In molte situazioni, il tempo di stipula, tc, e il tempo di esigibilità della sommaA, tA, coincidono: tc = tA = t 4/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: Profland  (tc, tA, tB) =  (t, t, tB) =  (t, s) Si parla di istante iniziale e istante successivo, identificando con 0 il tempoiniziale, in modo da ragionare meramente in termini di durata; possiamooperare questa semplificazione se non abbiamo bisogno di collocaretemporalmente l’inizio e la fine dell’operazione. (tc, tA, tB) >=0, tc < tA < tB (tc, tA, tB) <=  (tc, tC, tB) , tc <= tA <= tC <= tB (tc, tA, tC) >=  (tc, tA, tB) , tc <= tA £<= tC <= tB ? (tc, tB, tB) = 1Regimi finanziari La conoscenza del meccanismo generatore permette di esprimere, conopportuni passaggi, tutte le altre espressioni.Interesse sempliceL’interesse è una funzione lineare, cioè viene generata moltiplicando C per untasso i costante nel tempo I(t) = i.C.t con i costante = tasso di interesse periodale r(t) = 1 + i.t d(t) = i.t/(1+i.t)Generalmente il periodo di riferimento è l’anno. Quando il tempo è definito in giorni, in fase contrattuale occorre stabilire sefare riferimento all’anno solare oppure all’anno commercialeSconto commercialeLo sconto è una funzione lineare, cioè viene generato moltiplicanda K per untasso d costante nel tempo D(t) = dKt con d costante = tasso di sconto periodale v(t) = 1 – dt i(t) = dt/(1 - dt)Generalmente il periodo di riferimento è l’anno. Quando il tempo è definito in giorni, in fase contrattuale occorre stabilire sefare riferimento all’anno solare oppure all’anno commerciale.Interesse composto 5/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: ProflandGli interessi maturati vengono immediatamente capitalizzati (generano ulterioriinteressi). È il regime che entra nella stragrande maggioranza dei contratti. r(t) = (1+i)t dove i costante è il tasso di interesse periodale v(t) = (1 + i)-tTasso nominale e tasso istantaneoSupponiamo che gli interessi prodotti da un capitale C in regime di interessecomposto al tasso i vengano corrisposti con predefinita cadenza (m volte nelperiodo)La somma di tali interessi viene chiamata TASSO NOMINALE rinnovabile mvolte nel periodo: NmSi dimostra che limm Nm = log(1+i) = δ;Tale valore è detto TASSO ISTANTANEO d’interessela conoscenza del tasso istantaneo δ permette di determinare i,da cui si ricavano le altre grandezze.i = exp(δ) – 1M(t) = C exp(δt)P(t) = K exp(-δt) 6/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: Profland Strumenti finanziari con cui effettuare investimenti essenzialmente sono:AZIONI OBBLIGAZIONI OPZIONILe obbligazioni sono contratti finanziari attraverso i quali l’emittente(generalmente un ente pubblico) acquista la disponibilità di una somma didenaro per un certo tempo, verso il corrispettivo di un prezzo. interesse investitore emittente Disponibilità attuale di una somma di denaroGestire un portafoglio obbligazionario significa muovere il pacchetto neltempo al fine di massimizzare il guadagno o minimizzare il rischio dove ilrischio attiene all’insolvenza (per i titoli emessi dai Paesi come l’Argentina) ealle fluttuazioni dei valori di mercato, dovute all’andamento generale dei tassid’interesse. Se, ad esempio, io acquisto un’obbligazione a tasso molto basso e poi itassi tendono al rialzo, il mio titolo perde appetibilità sul mercato. Viceversa,se io acquisto un’obbligazione a tasso alto e poi i tassi tendono al ribasso, ilmio titolo acquista appetibilità sul mercato.Poiché le obbligazioni vengono scambiate in appositi mercati, la gestione di unportafoglio obbligazionario implica la ricerca di titoli che presentano un valoreopportuno, in modo da massimizzare il guadagno o minimizzare il rischio.Sul mercato obbligazionario sono presenti essenzialmente due tipologie dioperatori: quelli interessati a massimizzare i guadagni e quelli interessati aminimizzare i rischi. I primi sono disposti ad accettare un rischio alto; i secondi, 7/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: Proflandinvece, desiderano portafogli immunizzati al rischio di variazione del tassod’interesse. I parametri che, nella valutazione di un titolo, corrispondono allamisurazione del rischio, riguardano la variabilità della quotazione rispettoalle variazioni del tasso d’interesse.I problemi della gestione del portafoglio obbligazionario consistono nellacapacità di massimizzare una funzione obiettivo, nel rispetto di vincoli(operativi, di costo, …) Ciò richiede:  esatta formulazione della funzione obiettivo  esatta formulazione dei vincoli  riconoscimento del significato dei coefficienti  capacità di calcolo (utilizzo di software specializzati)Il portafoglio azionario presenta un valore completamente di tipo aleatorio,che fluttua secondo leggi più complicate, che non dipendono solo dal tassod’interesse.La gestione del portafoglio obbligazionario richiede la capacità di formulareipotesi sull’andamento della logica secondo cui il mercato si muove. Analizzareil passato per prevedere il futuro lascia il tempo che trova; occorre individuarequali sono le motivazioni che hanno determinato certi picchi verso l’alto overso il basso e tenerle in adeguata considerazione.La gestione di un portafoglio azionario implica lo studio di una variabilealeatoria (che rappresenta il valore della singola azione) che si combina conaltre variabili aleatorie, al fine di individuare le situazioni di minimo rischio. NB: Non si giunge ad un modello revisionale, ma ad un modello diminimizzazione del rischio.Un’ipotesi abbastanza diffusa è che le quotazioni variano secondo un criterionon troppo dissimile alla normale; più precisamente, i prezzi, essendo positivi,seguono il logaritmo della normale, ossia si dispongono lungo una curva dettaLogNormale.Il rischio dell’investimento in un’azione è massimizzato dalla varianza. Ilrischio di un portafoglio costituito da più azioni è misurato dalla covarianzaperché dipende dalle interrelazioni tra i titoli. La matrice n*n che contiene lecovarianze di ciascun titolo rispetto agli altri è simmetrica; è l’oggetto sul qualesi basa la gestione del portafoglio azionario, in quanto rappresenta il rischio daminimizzare, sottoposto a certi vincoli (costo, quotazione minima, quotazionemassima, ….). Così come esistono metodi che permettono di risolvere 8/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: Proflandequazioni lineari, del pari esistono metodi che permettono la risoluzione diequazioni quadratiche. Le opzioni Nel settore degli investimenti vi sono strumenti finanziari attraenti e dinamici che stanno acquistando sempre più importanza: Le opzioniUnopzione è un contratto stipulato tra due parti checonferisce allacquirente il diritto di acquistare o vendere:  un determinato quantitativo di un prodotto (unità di contratto) 1  a un prezzo fisso (prezzo desercizio o strike price)  entro/ad un termine convenuto (data di scadenza)Tipi di opzioniLe opzioni dacquisto sono definite OPZIONI CALL o callLe opzioni di vendita sono definite OPZIONI PUT o put. Affinchè lacquirente possa beneficiare di tale diritto, egli deve pagare alvenditore un prezzo, il cosidetto prezzo dopzione (premio).Qualora lacquirente eserciti lopzione entro il termine convenuto, il venditoreha lobbligo di vendere o acquistare la merce stabilita al prezzo fissato.Il mercato delle opzioniLe opzioni possono essere rivendute o riacquistate → Il prezzo delle opzionivaria nel tempo. Ciò consente allacquirente e al venditore di svincolarsi già prima dellascadenza dai loro diritti e obblighi. Lopzione stessa si estingue soltanto allorchè viene esercitata o giunge ascadenza.♣ Negli ultimi ventanni limpiego di opzioni ha registrato un massiccioincremento su scala mondiale. ♣ Sulle grandi piazze borsistiche vengononegoziati quotidianamente oltre un milione di contratti. ♣ Il commercio delleopzioni trae le sue origini dal commercio delle materie prime.1 Utilizziamo il regime dell’interesse composto sulla base di un tasso d’interesse istantaneo. 9/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: ProflandProduttori che volevano cautelarsi contro un eccesso di produzione (possibilecrollo dei prezzi) acquisirono il diritto di vendere la loro merce aicommercianti a un determinato prezzo e a una determinata scadenza.Per questo specifico diritto di poter vendere qualcosa (opzione di vendita), essierano tenuti a versare un premio ai commercianti.I commercianti che volevano coprirsi contro unascesa dei prezzi acquistaronodai produttori il diritto di poter comprare una determinata merce a undeterminato prezzo e a una determinata scadenza. Per questo diritto di poteracquistare qualcosa (opzione dacquisto), essi dovevano pagare un premio aiproduttori. Perché si stipulano le opzioni?Il principio fondamentale delle operazioni su opzioni:  una parte desidera sottrarsi a un determinato rischio;  unaltra è disposta a correrlo. L’opzione è stipulata tra due soggetti che hanno punti di vista diversi;Dal punto di vista probabilistico è analoga a una scommessa; pertanto il prezzodell’opzione coincide con il valore atteso della variabile aleatoria costituita dalprezzo dell’attività sottostante, salvo altre motivazioni di natura nonmatematica.Opzioni finanziarieAi cereali oppure ai metalli - che un tempo costituivano le basi dei contrattidopzione - sono subentrate: • azioni • obbligazioni • divise • indici di borsaLimpiego preciso di opzioni non soltanto può limitare il rischio, ma ancheaumentare il reddito di un investimentoNota storica Le basi per limportanza attualmente rivestita dalle opzioni sono stateposte solamente nel 1973.Negli Stati Uniti entrarono in vigore delle leggi che creavano le premesse perun commercio di opzioni disciplinato con contratti uniformi. 10/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: ProflandIl successo conseguito dalla CBOE (Chicago Board Options Exchange) - laprincipale borsa delle opzioni – ha tracciato la via alle numerose borse delleopzioni che sorsero in seguito.A cosa servono le opzioni ?I motivi che inducono alla compravendita di opzioni sono diversi: • Un investitore può acquistare opzioni come alternativa ad un investimento diretto nello strumento di base o per trarre profitto dalleffetto leva delle opzioni. • Le opzioni possono essere usate come strumento di copertura per cautelarsi contro movimenti sfavorevoli dei prezzi del bene di base.La vendita di opzioni permette allinvestitore: • di accrescere il rendimento del proprio portafoglio; • di trarre profitto dalle anticipazioni sullandamento del mercato.A seconda della situazione corrente del mercato e delle anticipazioni sulle sueevoluzioni future, linvestitore può utilizzare anche delle strategie combinate diacquisto e di vendita di opzioni allo scopo di ottimizzare la redditività deipropri investimenti.Come si utilizza e come funziona?Le opzioni si suddividono in:Opzioni di acquisto (Call Option) • Acquisto di Call • Vendita di CallOpzioni di Vendita (Put Option) • Acquisto di Put • Vendita di PutAcquisto di una opzione CallDefinizione:•Lacquirente di unOpzione call ha il diritto di comperare– un determinato numero di azioni– a un prezzo convenuto– entro un termine stabilitoMotivo:•Lacquirente della call prevede un rialzo dei corsi azionari 11/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: ProflandEsempio:• Alla fine di aprile il corso dellazione "ITALIA SPA" è di 3100.• Un investitore si attende entro i prossimi 6 mesi una tendenza al rialzo deicorsi azionari ed acquista unopzione call con scadenza in ottobre (lacostituzione rispetto lapertura di una posizione in opzioni è definita“opening")Linvestitore acquisisce il diritto di comperare entro la scadenza in ottobre 5azioni della ditta "Italia Spa" al prezzo di 3.000. Il prezzo convenuto per tale diritto per azione è 232;•Il prezzo che egli deve pagare per il contratto dopzione ammonta a 1160 (5x 232).Se entro la data di scadenza lazione sale a 3300, lopzione - che dà diritto adacquistare azioni a 3000 - ha un valore di 300.Se il titolare dell’azione call esercita il diritto di acquistare le azioni e le vandecontemporaneamente, realizza un guadagno pari a 300 per ogni azione.Valore dell’opzione = prezzo dell’attività sottostante – strike priceSE prezzo dell’attività sottostante – strike price > 0Se per contro il corso azionario scende al di sotto di 3000, lopzione callgiunge a scadenza priva di valore, poiché in borsa le azioni possono essereacquistate a un prezzo inferiore.Valore dell’opzione = 0SE prezzo dell’attività sottostante – strike price ≤ 0 Valore dell’opzione 12/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: Profland Profitto/ Corso "Italia Corso opzione Profitto/ perdita per Spa" alla call alla perdita per contratto scadenza scadenza azione dopzione 2900 0 - 232 - 1160 3000 0 - 232 - 1160 3100 100 - 132 - 660 3200 200 - 32 - 160 3300 300 + 68 + 340 3400 400 + 168 + 840 3500 500 + 268 + 1340Dalle rappresentazioni emerge chiaramente che con un netto rialzo dei corsiazionari, per lacquirente della call si configura un potenziale di profittoillimitato: maggiore è il rialzo del corso azionario - e quindi del prezzo dellacall - maggiore sarà il profitto.Di norma, in presenza di una determinata variazione del corso dellazionebase, lacquirente della call realizza, in percento rispetto al capitale investito,guadagni superiori a quelli conseguiti dallazionista (effetto leva).Affinché alla data di scadenza lacquirente di una call possa effettivamentebeneficiare di un profitto, il corso azionario deve superare la soglia diguadagno di 3.232 (prezzo desercizio + prezzo dopzione).Se per contro al termine di scadenza il corso azionario è inferiore a 3.232,linvestitore subisce una perdita che può ammontare a un massimo di 1.160 (5x 232).Contrariamente a quello dellazionista, il rischio dellacquirente dellopzione èlimitato verso il basso.Abbiamo sinora ipotizzato che linvestitore conservi lopzione fino allascadenza.Questo accade solamente in casi eccezionali. 13/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: ProflandSupponiamo ora che nel volgere di tre mesi lazione "ITALIA SPA" sia aumentataa 3.400.Loperatore non prevede un ulteriore rialzo dei corsi nel prossimo futuro edesidera quindi realizzare il suo profitto. (La liquidazione rispetto la chiusura diuna posizione è definita “closing").Allinvestitore sono offerte due possibilità:Vendita dellopzione call in borsa →Con una durata restante di tre mesi e un corso attuale di 3.400, la call ottobre3.000 è negoziato a 419. Loperatore vende la call a 419 e gli sono accreditati2.095 (5 x 419). Acquisto 1 call "Italia Spa" ottobre 3000 a 232 -1.160 Vendita 1 call "Italia Spa" ottobre 3000 a 419 +2.095 +935Esercizio anticipato dellopzione call (non sempre possibile) ↓ solo perOpzione di tipo americano (che ovviamente sono più costose) Unopzione che può essere esercitata in qualsiasi momento prima della data discadenza.Opzione di tipo europeo Unopzione che può essere esercitata soltanto lultimo giorno prima dellascadenza. Lacquirente della call ha il diritto di acquistare le 5 azioni al prezzodesercizio di 3.000 Tenendo conto dei premi dopzione versati, per lacquirente della call risultaun prezzo di costo di 3.232 per azione, che attualmente potrebbe esserevenduta a 3.400 Il profitto (non realizzato) ammonta quindi a 168 per azione o a 840 peropzione call Il fatto che alla luce di questa situazione linvestitore conservi o rivendasubito le azioni, è una pura decisione di investimento Lutile (non realizzato) ammonta complessivamente a 840 o al 72.4 % delcapitale investito. 14/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: ProflandVendita di opzioni call Definizione:Il venditore di unOpzione call si impegna a vendere:–un determinato numero di azioni– a un prezzo convenuto– entro un termine stabilito– a condizione che lacquirente della call eserciti il suo diritto.Motivo:Il venditore di call prevede corsi azionari invariati oppure flettenti.Acquisto di opzioni put Definizione:Lacquirente di unOpzione put ha il diritto di vendere:– un determinato numero di azioni– a un prezzo convenuto– entro un termine stabilitoMotivo:Lacquirente di una put prevede una flessione dei corsi azionariVendita di opzioni PUT Definizione:Il venditore di unOpzione put contrae lobbligo di acquistare:– un determinato numero di azioni– a un prezzo convenuto– entro un termine stabilito– sempre che lacquirente della put eserciti il suo dirittoMotivo:Il venditore di una put prevede corsi azionari invariati o in rialzo 15/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: Profland Panoramica delle opzioni call e put CALL Opzione di acquisto PUT Opzione di vendita Diritto di acquistare azioni al prezzo Diritto di vendere azioni al prezzo desercizio desercizio Acquirente Obbligo di pagare il premio dopzione Obbligo di pagare il premio dopzione Approfitta di corsi in ascesa Approfitta di corsi flettenti Profitto: illimitato Perdita: limitata Profitto: illimitato Perdita: limitata Obbligo di vendere azioni al prezzo Obbligo di acquistare desercizio azioni al prezzo desercizio Venditore Diritto di ottenere il premio dopzione Diritto di ottenere il premio dopzione Approfitta di corsi invariati o flettenti Approfitta di corsi invariati o in ascesa Profitto: limitato Perdita: illimitata Profitto: limitato Perdita: illimitata Fattori che determinano il prezzo dell’opzioneUnopzione call presenta un valore intrinseco:• effettivo se il corso azionario è superiore al prezzo desercizio (Opzione in-the-money)•nullo se il corso azionario è inferiore al prezzo di esercizio (Opzione out-of-the-money)•nullo se il corso azionario è uguale al prezzo di esercizio (Opzioni at-the-money)EsempioIn presenza di un corso azionario di 2050: • una call con prezzo dopzione di 1800 ha un valore intrinseco di 250. • una call con prezzo dopzione di 2200 ha un valore intrinseco nullo.• una put con prezzo dopzione di 2200 ha un valore intrinseco di 150.• una put con prezzo dopzione di 2050 ha un valore intrinseco nullo.Oltre al valore intrinseco, unopzione presenta un valore temporale:• 16/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: Proflandesprime laspettativa che nel corso della durata restante lopzione acquistivalore.2• il giorno di scadenza il valore temporale equivale a zero.Esempio:In presenza di un corso azionario di 5700, una call con prezzo desercizio di5500 viene negoziato a 450. Il valore intrinseco ammonta a 200 e il valoretemporale a 250. prezzo dopzione = valore intrinseco + valore temporaleI principali fattori che determinano il prezzo dopzione:  corso azionario  prezzo desercizio dellopzione  durata residua dellopzione  volatilità (margine doscillazione) dellazionecioè la varianza del prezzo dell’attività sottostante.  dividendiIl valore dell’opzione di un titolo che non paga dividendi generalmente siriduce in seguito alle assegnazioni di questi ultimi.  tassi  d  intere  ss  eSulla base dello scenario finora delineato, il nostro obiettivo è il calcolo delvalore intrinsecoCome si calcola il valore intrinseco?Si decide qual è la funzione di distribuzione del valore del bene sottostante,poi si calcola il valore atteso della variabile guadagno, dato dalla differenza traprezzo d’esercizio e prezzo dell’azione. Se S = il valore del titolo, K = il prezzo d’esercizio → S-K = valore intrinsecoOccorre pertanto conoscere l’integrale da 0 a +∞ di (S-K)nei termini delladistribuzione dei prezzi per avere il valore intrinseco dell’opzione call, el’integrale da 0 a +∞ di (K-S) nei termini della distribuzione dei prezzi peravere il valore intrinseco dell’opzione put.2 Poiché le opzioni sono negoziate in uno specifico mercato, il loro prezzo è determinato dai flussi di domandae offerta. 17/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: ProflandNel caso della call, si impone S-K>0 → S>K dove K è una costante e S unavariabile aleatoria; quindi, l’integrale va calcolato da K a + ∞Nel caso della put, si impone K-S>0 → K>S dove K è una costante e S unavariabile aleatoria; quindi, l’integrale va calcolato da K a + ∞SCHEMA PER IL CALCOLO DEL VALORE INTRISECO DELLE OPZIONIEUROPEEFormula di Black-Scholes KPut = ∫ (K-S) dF (x,y,σ) 0 +∞Call = ∫ (S-K) dF (x,y,σ) kcon F (x,y,σ) = funzione di distribuzione lognormalePosto d1= (S/K + δ + σ2/2) σ T ; d2= d1- σ T si haPut = Ke-δTΦ(- d2)- SΦ(- d1) ; Call = SΦ(d1) - Ke-δTΦ(d2) Φ → funzione di distribuzione normale →→→ calcolo numerico della normaledove:S = variabile aleatoria data dal prezzo sottostanteK = prezzo d’esercizioδ = tasso d’interesse istantaneoT = il periodoσ rappresenta la variabilità dell’attività sottostante.S esprime un prezzo al tempo attuale, al momento in cui si fa il contratto. Kesprime un prezzo al tempo futuro. Per effettuare i confronti attualizzo o porto S al futuro?Attualizzo K, perché è allo stato attuale che vengono stipulati i contratti.------------------------------------------------------------------------------------------------La formula di Black-Scholes non è utile a calcolare il valore intrinseco delleopzioni americane; esso non risulta solo dalla differenza tra K e S, ma devetener conto di tutta l’evoluzione degli eventi. Il calcolo è pertanto molto piùcomplesso, perché non richiede solo il valore alla scadenza, ma tutta la storiadall’inizio alla fine.Un ulteriore limitazione della formula di Black-Scholes è che essa vale solo peri titoli puri; non può essere applicata se il titolo, ad es, paga dividendi. 18/20
  • Appunti diMatematica Finanziaria Visto su: ProflandInoltre, la formula di Black-Scholes si basa sull’ipotesi che δ (→ tasso d’interessedei BOT) non vari nel tempo.La valutazione di σ è alquanto difficile. σ Può essere stimata analizzando ilpassato, ossia la distribuzione statistica del titolo, ma si possono fare anchealtre operazioni basate sullo studio di opzioni analoghe (calcolo volatilitàimplicita dell’opzione. 19/20
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