Appunti universitari per l'esame di Elaborazione automatica dei dati: matematica finanziaria (elementi)

1. Il Mache-Mazz
-
Elementi di
Matematica Finanziaria
Autori: *||

2. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Si ricorda che:
• l'uso degli appunti qui presenti è consentito per solo uso personale e di
studio;
• la consultazione è gratuita ed ogni forma atta a ricavarne lucro è vietata!
• gli appunti sono fatti da studenti che non possono assumersi nessuna
responsabilità in merito;
• il materiale qui presente non è sostitutivo ma complementare ai libri di
testo:
- devi (e ti consiglio) di consultare e comprare i libri di testo;
• il materiale qui presente è distribuito con licenza Creative Commons
Ti ricordo che se vuoi contribuire mandando degli appunti o quant'altro possa
essere utile ad altri puoi farlo inviando il materiale tramite:
http://profland.altervista.org/mail.htm
Spero che ciò che hai scaricato ti possa essere utile.
Profman
Il file è stato scaricato/visualizzato in forma gratuita da Profland:
http://profland.altervista.org
sezione Profstudio
http://profland.altervista.org/profstudio/profstudio.htm
oppure da qualche mirror, come:
www.profland.cjb.net www.profland.135.it
o dalla pagina dedicata su slideshare.net:
www.slideshare.net/profman
2/20

3. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Operazione di investimento
Un soggetto rinuncia al tempo t0 ad una somma C per ottenere al tempo tf
una nuova somma M
La somma C è chiamata CAPITALE
La somma M è chiamata MONTANTE
• Il tempo tf e il montante M possono o meno essere predefiniti, pertanto
un’operazione può definirsi certa o incerta.
 È PIÙ RISCHIOSA UN’OPERAZIONE CERTA O UN’OPERAZIONE INCERTA? DIPENDE.
UN’OPERAZIONE CERTA CON UN SOGGETTO AD ALTISSIMO RISCHIO POTREBBE
RISULTARE PIÙ RISCHIOSA DI UN’OPERAZIONE INCERTA CHE, PER CONTRATTO, HA UN
MARGINE DI VARIABILITÀ MOLTO BASSO.
AD ES, L’INVESTIMENTO IN BOT È UN’OPERAZIONE CERTA, MENTRE L’INVESTIMENTO
IN CCT È UN’OPERAZIONE INCERTA; MA L’INVESTIMENTO IN CCT PUÒ RISULTARE
MENO RISCHIOSO.
OCCORRE TENERE BEN DISTINTO IL CONCETTO DI INCERTEZZA DELL’OPERAZIONE
FINANZIARIA DALLA MISURA DEL RISCHIO INSITA NELLA STESSA OPERAZIONE.
La differenza I = M - C è chiamata INTERESSE
Il rapporto i = I/C è chiamato TASSO DI INTERESSE: I=Ci
Il rapporto r = M/C è chiamato
FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE: M=Cr; si ha: r = 1 + i
 i=I/c → i=(M-C)/C → i=M/C-C/C → i= M/C-1 → i= r-1
→ r=I+1
r≥1⇔M≥C
i≥0⇔I≥0⇔M≥C
Operazione di sconto
Un soggetto rinuncia ad una somma futura K (al tempo tf) per avere ora (al
tempo t0) una somma P
La somma K è chiamata CAPITALE
La somma P è chiamata VALORE ATTUALE di K
• Il tempo tf e il capitale K possono o meno essere predefiniti, pertanto
un’operazione può definirsi certa o incerta.
La differenza D=K-P è chiamata SCONTO
Il rapporto d=D/K è chiamato TASSO di SCONTO: D=Kd
Il rapporto v=P/K è chiamato FATTORE DI SCONTO: K=P v; si ha: v = 1 – d
3/20

4. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Grandezze equivalenti
Dal punto di vista finanziario, due somme esigibili a tempi diversi, sono
equivalenti se esiste una relazione che le lega:
 Il capitale C ed il montante M:
Da un certo punto di vista, appare equivalente avere C subito o avere M al
tempo tf.
 Il capitale K ed il valore attuale P
Il futuro credito K appare equivalente alla disponibilità immediata della
somma P
 Equivalenza non vuol dire indifferenza → Per i singoli soggetti non è
affatto indifferente avere C subito o M al tempo tf ; altrimenti il contratto
finanziario non verrebbe stipulato
Il capitale C si può interpretare come il valore attuale del montante M
Il capitale K si può interpretare come il montante del valore attuale P
Risulta: v = C/M = P/K = 1/r ovvero:
vr = 1
d = i/(1+i)
Le grandezze finora prese in considerazione sono interrelate
Contratto finanziario elementare
Decidere, al tempo tc, di scambiare due somme, A e B, disponibili in istanti
diversi (tA < tB, non necessariamente predefiniti) ritenute finanziariamente
equivalenti:
esiste una qualche relazione < (tc, tA, tB) che lega le somme A e B
A = R(tc, tA, tB)B dove tc, tA, tB sono grandezze indipendenti tra loro.
Funzione valore di sconto
La funzione < (tc, tA, tB) esprime il valore all’istante tA e pattuito all’istante tc,
di una unità monetaria (un euro) esigile all’istante tB:
se al tempo tc = 0, si definiscono equivalenti un euro disponibile dopo due
anni ed 0,8 euro disponibili dopo sei mesi, si scrive: (0, 0,5, 2) = 0,8
In molte situazioni, il tempo di stipula, tc, e il tempo di esigibilità della somma
A, tA, coincidono:
tc = tA = t
4/20

5. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
 (tc, tA, tB) =  (t, t, tB) =  (t, s)
 Si parla di istante iniziale e istante successivo, identificando con 0 il tempo
iniziale, in modo da ragionare meramente in termini di durata; possiamo
operare questa semplificazione se non abbiamo bisogno di collocare
temporalmente l’inizio e la fine dell’operazione.
 (tc, tA, tB) >=0, tc < tA < tB
 (tc, tA, tB) <=  (tc, tC, tB) , tc <= tA <= tC <= tB
 (tc, tA, tC) >=  (tc, tA, tB) , tc <= tA £<= tC <= tB ?
 (tc, tB, tB) = 1
Regimi finanziari
 La conoscenza del meccanismo generatore permette di esprimere, con
opportuni passaggi, tutte le altre espressioni.
Interesse semplice
L’interesse è una funzione lineare, cioè viene generata moltiplicando C per un
tasso i costante nel tempo
I(t) = i.C.t con i costante = tasso di interesse periodale
r(t) = 1 + i.t
d(t) = i.t/(1+i.t)
G
eneralmente il periodo di riferimento è l’anno.
Quando il tempo è definito in giorni, in fase contrattuale occorre stabilire se
fare riferimento all’anno solare oppure all’anno commerciale
Sconto commerciale
Lo sconto è una funzione lineare, cioè viene generato moltiplicanda K per un
tasso d costante nel tempo
D(t) = dKt con d costante = tasso di sconto periodale
v(t) = 1 – dt
i(t) = dt/(1 - dt)
G
eneralmente il periodo di riferimento è l’anno.
Quando il tempo è definito in giorni, in fase contrattuale occorre stabilire se
fare riferimento all’anno solare oppure all’anno commerciale.
Interesse composto
5/20

6. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Gli interessi maturati vengono immediatamente capitalizzati (generano ulteriori
interessi). È il regime che entra nella stragrande maggioranza dei contratti.
r(t) = (1+i)t dove i costante è il tasso di interesse periodale
v(t) = (1 + i)-t
Tasso nominale e tasso istantaneo
Supponiamo che gli interessi prodotti da un capitale C in regime di interesse
composto al tasso i vengano corrisposti con predefinita cadenza (m volte nel
periodo)
La somma di tali interessi viene chiamata TASSO NOMINALE rinnovabile m
volte nel periodo: Nm
Si dimostra che limm Nm = log(1+i) = δ;
Tale valore è detto TASSO ISTANTANEO d’interesse
la conoscenza del tasso istantaneo δ permette di determinare i,
da cui si ricavano le altre grandezze.
i = exp(δ) – 1
M(t) = C exp(δt)
P(t) = K exp(-δt)
6/20

7. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Strumenti finanziari
con cui effettuare investimenti
essenzialmente sono:
AZIONI OBBLIGAZIONI OPZIONI
Le obbligazioni sono contratti finanziari attraverso i quali l’emittente
(generalmente un ente pubblico) acquista la disponibilità di una somma di
denaro per un certo tempo, verso il corrispettivo di un prezzo.
interesse
investitore
emittente
Disponibilità attuale di una somma di denaro
Gestire un portafoglio obbligazionario significa muovere il pacchetto nel
tempo al fine di massimizzare il guadagno o minimizzare il rischio dove il
rischio attiene all’insolvenza (per i titoli emessi dai Paesi come l’Argentina) e
alle fluttuazioni dei valori di mercato, dovute all’andamento generale dei tassi
d’interesse.
Se, ad esempio, io acquisto un’obbligazione a tasso molto basso e poi i
tassi tendono al rialzo, il mio titolo perde appetibilità sul mercato. Viceversa,
se io acquisto un’obbligazione a tasso alto e poi i tassi tendono al ribasso, il
mio titolo acquista appetibilità sul mercato.
Poiché le obbligazioni vengono scambiate in appositi mercati, la gestione di un
portafoglio obbligazionario implica la ricerca di titoli che presentano un valore
opportuno, in modo da massimizzare il guadagno o minimizzare il rischio.
Sul mercato obbligazionario sono presenti essenzialmente due tipologie di
operatori: quelli interessati a massimizzare i guadagni e quelli interessati a
minimizzare i rischi. I primi sono disposti ad accettare un rischio alto; i secondi,
7/20

8. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
invece, desiderano portafogli immunizzati al rischio di variazione del tasso
d’interesse.
I parametri che, nella valutazione di un titolo, corrispondono alla
misurazione del rischio, riguardano la variabilità della quotazione rispetto
alle variazioni del tasso d’interesse.
I problemi della gestione del portafoglio obbligazionario consistono nella
capacità di massimizzare una funzione obiettivo, nel rispetto di vincoli
(operativi, di costo, …) Ciò richiede:
 esatta formulazione della funzione obiettivo
 esatta formulazione dei vincoli
 riconoscimento del significato dei coefficienti
 capacità di calcolo (utilizzo di software specializzati)
Il portafoglio azionario presenta un valore completamente di tipo aleatorio,
che fluttua secondo leggi più complicate, che non dipendono solo dal tasso
d’interesse.
La gestione del portafoglio obbligazionario richiede la capacità di formulare
ipotesi sull’andamento della logica secondo cui il mercato si muove. Analizzare
il passato per prevedere il futuro lascia il tempo che trova; occorre individuare
quali sono le motivazioni che hanno determinato certi picchi verso l’alto o
verso il basso e tenerle in adeguata considerazione.
La gestione di un portafoglio azionario implica lo studio di una variabile
aleatoria (che rappresenta il valore della singola azione) che si combina con
altre variabili aleatorie, al fine di individuare le situazioni di minimo rischio.
NB: Non si giunge ad un modello revisionale, ma ad un modello di
minimizzazione del rischio.
Un’ipotesi abbastanza diffusa è che le quotazioni variano secondo un criterio
non troppo dissimile alla normale; più precisamente, i prezzi, essendo positivi,
seguono il logaritmo della normale, ossia si dispongono lungo una curva detta
LogNormale.
Il rischio dell’investimento in un’azione è massimizzato dalla varianza. Il
rischio di un portafoglio costituito da più azioni è misurato dalla covarianza
perché dipende dalle interrelazioni tra i titoli. La matrice n*n che contiene le
covarianze di ciascun titolo rispetto agli altri è simmetrica; è l’oggetto sul quale
si basa la gestione del portafoglio azionario, in quanto rappresenta il rischio da
minimizzare, sottoposto a certi vincoli (costo, quotazione minima, quotazione
massima, ….). Così come esistono metodi che permettono di risolvere
8/20

9. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
equazioni lineari, del pari esistono metodi che permettono la risoluzione di
equazioni quadratiche.
Le opzioni
Nel settore degli investimenti vi sono strumenti finanziari attraenti e dinamici
che stanno acquistando sempre più importanza:
Le opzioni
Un'opzione è un contratto stipulato tra due parti che
conferisce all'acquirente il diritto di acquistare o vendere:
 un determinato quantitativo di un prodotto (unità di contratto)
1
 a un prezzo fisso (prezzo d'esercizio o strike price)
 entro/ad un termine convenuto (data di scadenza)
Tipi di opzioni
Le opzioni d'acquisto sono definite OPZIONI CALL o call
Le opzioni di vendita sono definite OPZIONI PUT o put.
Affinchè l'acquirente possa beneficiare di tale diritto, egli deve pagare al
venditore un prezzo, il cosidetto prezzo d'opzione (premio).
Qualora l'acquirente eserciti l'opzione entro il termine convenuto, il venditore
ha l'obbligo di vendere o acquistare la merce stabilita al prezzo fissato.
Il mercato delle opzioni
Le opzioni possono essere rivendute o riacquistate → Il prezzo delle opzioni
varia nel tempo.
Ciò consente all'acquirente e al venditore di svincolarsi già prima della
scadenza dai loro diritti e obblighi.
L'opzione stessa si estingue soltanto allorchè viene esercitata o giunge a
scadenza.
♣ Negli ultimi vent'anni l'impiego di opzioni ha registrato un massiccio
incremento su scala mondiale. ♣ Sulle grandi piazze borsistiche vengono
negoziati quotidianamente oltre un milione di contratti. ♣ Il commercio delle
opzioni trae le sue origini dal commercio delle materie prime.
1
Utilizziamo il regime dell’interesse composto sulla base di un tasso d’interesse istantaneo.
9/20

10. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Produttori che volevano cautelarsi contro un eccesso di produzione (possibile
crollo dei prezzi) acquisirono il diritto di vendere la loro merce ai
commercianti a un determinato prezzo e a una determinata scadenza.
Per questo specifico diritto di poter vendere qualcosa (opzione di vendita), essi
erano tenuti a versare un premio ai commercianti.
I commercianti che volevano coprirsi contro un'ascesa dei prezzi acquistarono
dai produttori il diritto di poter comprare una determinata merce a un
determinato prezzo e a una determinata scadenza. Per questo diritto di poter
acquistare qualcosa (opzione d'acquisto), essi dovevano pagare un premio ai
produttori.
Perché si stipulano le opzioni?
Il principio fondamentale delle operazioni su opzioni:
 una parte desidera sottrarsi a un determinato rischio;
 un'altra è disposta a correrlo.
L’opzione è stipulata tra due soggetti che hanno punti di vista diversi;
Dal punto di vista probabilistico è analoga a una scommessa; pertanto il prezzo
dell’opzione coincide con il valore atteso della variabile aleatoria costituita dal
prezzo dell’attività sottostante, salvo altre motivazioni di natura non
matematica.
Opzioni finanziarie
Ai cereali oppure ai metalli - che un tempo costituivano le basi dei contratti
d'opzione - sono subentrate:
• azioni
• obbligazioni
• divise
• indici di borsa
L'impiego preciso di opzioni non soltanto può limitare il rischio, ma anche
aumentare il reddito di un investimento
Nota storica
Le basi per l'importanza attualmente rivestita dalle opzioni sono state
poste solamente nel 1973.
Negli Stati Uniti entrarono in vigore delle leggi che creavano le premesse per
un commercio di opzioni disciplinato con contratti uniformi.
10/20

11. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Il successo conseguito dalla CBOE (Chicago Board Options Exchange) - la
principale borsa delle opzioni – ha tracciato la via alle numerose borse delle
opzioni che sorsero in seguito.
A cosa servono le opzioni ?
I motivi che inducono alla compravendita di opzioni sono diversi:
• Un investitore può acquistare opzioni come alternativa ad un
investimento diretto nello strumento di base o per trarre profitto
dall'effetto leva delle opzioni.
• Le opzioni possono essere usate come strumento di copertura per
cautelarsi contro movimenti sfavorevoli dei prezzi del bene di base.
La vendita di opzioni permette all'investitore:
• di accrescere il rendimento del proprio portafoglio;
• di trarre profitto dalle anticipazioni sull'andamento del mercato.
A seconda della situazione corrente del mercato e delle anticipazioni sulle sue
evoluzioni future, l'investitore può utilizzare anche delle strategie combinate di
acquisto e di vendita di opzioni allo scopo di ottimizzare la redditività dei
propri investimenti.
Come si utilizza e come funziona?
Le opzioni si suddividono in:
Opzioni di acquisto (Call Option)
• Acquisto di Call
• Vendita di Call
Opzioni di Vendita (Put Option)
• Acquisto di Put
• Vendita di Put
Acquisto di una opzione Call
Definizione:
•L'acquirente di un'Opzione call ha il diritto di comperare
– un determinato numero di azioni
– a un prezzo convenuto
– entro un termine stabilito
Motivo:
•L'acquirente della call prevede un rialzo dei corsi azionari
11/20

12. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Esempio:
• Alla fine di aprile il corso dell'azione "ITALIA SPA" è di 3100.
• Un investitore si attende entro i prossimi 6 mesi una tendenza al rialzo dei
corsi azionari ed acquista un'opzione call con scadenza in ottobre (la
costituzione rispetto l'apertura di una posizione in opzioni è definita
“opening")
L'investitore acquisisce il diritto di comperare entro la scadenza in ottobre 5
azioni della ditta "Italia Spa" al prezzo di 3.000.
Il prezzo convenuto per tale diritto per azione è 232;
•Il prezzo che egli deve pagare per il contratto d'opzione ammonta a 1160 (5
x 232).
Se entro la data di scadenza l'azione sale a 3300, l'opzione - che dà diritto ad
acquistare azioni a 3000 - ha un valore di 300.
Se il titolare dell’azione call esercita il diritto di acquistare le azioni e le vande
contemporaneamente, realizza un guadagno pari a 300 per ogni azione.
Valore dell’opzione = prezzo dell’attività sottostante – strike price
SE prezzo dell’attività sottostante – strike price > 0
Se per contro il corso azionario scende al di sotto di 3000, l'opzione call
giunge a scadenza priva di valore, poiché in borsa le azioni possono essere
acquistate a un prezzo inferiore.
Valore dell’opzione = 0
SE prezzo dell’attività sottostante – strike price ≤ 0
Valore dell’opzione
12/20

13. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Profitto/
Corso "Italia Corso opzione Profitto/
perdita per
Spa" alla call alla perdita per
contratto
scadenza scadenza azione
d'opzione
2900 0 - 232 - 1160
3000 0 - 232 - 1160
3100 100 - 132 - 660
3200 200 - 32 - 160
3300 300 + 68 + 340
3400 400 + 168 + 840
3500 500 + 268 + 1340
Dalle rappresentazioni emerge chiaramente che con un netto rialzo dei corsi
azionari, per l'acquirente della call si configura un potenziale di profitto
illimitato: maggiore è il rialzo del corso azionario - e quindi del prezzo della
call - maggiore sarà il profitto.
Di norma, in presenza di una determinata variazione del corso dell'azione
base, l'acquirente della call realizza, in percento rispetto al capitale investito,
guadagni superiori a quelli conseguiti dall'azionista (effetto leva).
Affinché alla data di scadenza l'acquirente di una call possa effettivamente
beneficiare di un profitto, il corso azionario deve superare la soglia di
guadagno di 3.232 (prezzo d'esercizio + prezzo d'opzione).
Se per contro al termine di scadenza il corso azionario è inferiore a 3.232,
l'investitore subisce una perdita che può ammontare a un massimo di 1.160 (5
x 232).
Contrariamente a quello dell'azionista, il rischio dell'acquirente dell'opzione è
limitato verso il basso.
Abbiamo sinora ipotizzato che l'investitore conservi l'opzione fino alla
scadenza.
Questo accade solamente in casi eccezionali.
13/20

14. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Supponiamo ora che nel volgere di tre mesi l'azione "ITALIA SPA" sia aumentata
a 3.400.
L'operatore non prevede un ulteriore rialzo dei corsi nel prossimo futuro e
desidera quindi realizzare il suo profitto. (La liquidazione rispetto la chiusura di
una posizione è definita “closing").
All'investitore sono offerte due possibilità:
Vendita dell'opzione call in borsa →
Con una durata restante di tre mesi e un corso attuale di 3.400, la call ottobre
3.000 è negoziato a 419. L'operatore vende la call a 419 e gli sono accreditati
2.095 (5 x 419).
Acquisto 1 call "Italia Spa" ottobre 3000 a 232 -1.160
Vendita 1 call "Italia Spa" ottobre 3000 a 419 +2.095
+935
Esercizio anticipato dell'opzione call (non sempre possibile)
↓ solo per
Opzione di tipo americano (che ovviamente sono più costose)
Un'opzione che può essere esercitata in qualsiasi momento prima della data di
scadenza.
Opzione di tipo europeo
Un'opzione che può essere esercitata soltanto l'ultimo giorno prima della
scadenza.
L'acquirente della call ha il diritto di acquistare le 5 azioni al prezzo
d'esercizio di 3.000
Tenendo conto dei premi d'opzione versati, per l'acquirente della call risulta
un prezzo di costo di 3.232 per azione, che attualmente potrebbe essere
venduta a 3.400
Il profitto (non realizzato) ammonta quindi a 168 per azione o a 840 per
opzione call
Il fatto che alla luce di questa situazione l'investitore conservi o rivenda
subito le azioni, è una pura decisione di investimento
L'utile (non realizzato) ammonta complessivamente a 840 o al 72.4 % del
capitale investito.
14/20

15. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Vendita di opzioni call
Definizione:
Il venditore di un'Opzione call si impegna a vendere:
–un determinato numero di azioni
– a un prezzo convenuto
– entro un termine stabilito
– a condizione che l'acquirente della call eserciti il suo diritto.
Motivo:
Il venditore di call prevede corsi azionari invariati oppure flettenti.
Acquisto di opzioni put
Definizione:
L'acquirente di un'Opzione put ha il diritto di vendere:
– un determinato numero di azioni
– a un prezzo convenuto
– entro un termine stabilito
Motivo:
L'acquirente di una put prevede una flessione dei corsi azionari
Vendita di opzioni PUT
Definizione:
Il venditore di un'Opzione put contrae l'obbligo di acquistare:
– un determinato numero di azioni
– a un prezzo convenuto
– entro un termine stabilito
– sempre che l'acquirente della put eserciti il suo diritto
Motivo:
Il venditore di una put prevede corsi azionari invariati o in rialzo
15/20

16. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Panoramica delle opzioni call e put
CALL Opzione di acquisto PUT Opzione di vendita
Diritto di acquistare azioni al prezzo Diritto di vendere azioni al prezzo
d'esercizio d'esercizio
Acquirente Obbligo di pagare il premio d'opzione Obbligo di pagare il premio d'opzione
Approfitta di corsi in ascesa Approfitta di corsi flettenti
Profitto: illimitato Perdita: limitata Profitto: illimitato Perdita: limitata
Obbligo di vendere azioni al prezzo Obbligo di acquistare
d'esercizio azioni al prezzo d'esercizio
Venditore Diritto di ottenere il premio d'opzione Diritto di ottenere il premio d'opzione
Approfitta di corsi invariati o flettenti Approfitta di corsi invariati o in ascesa
Profitto: limitato Perdita: illimitata Profitto: limitato Perdita: illimitata
Fattori che determinano il prezzo dell’opzione
Un'opzione call presenta un valore intrinseco:
• effettivo se il corso azionario è superiore al prezzo d'esercizio (Opzione in-
the-money)
•nullo se il corso azionario è inferiore al prezzo di esercizio (Opzione out-of-
the-money)
•nullo se il corso azionario è uguale al prezzo di esercizio (Opzioni at-the-
money)
Esempio
In presenza di un corso azionario di 2050:
• una call con prezzo d'opzione di 1800 ha un valore intrinseco di 250.
• una call con prezzo d'opzione di 2200 ha un valore intrinseco nullo.
• una put con prezzo d'opzione di 2200 ha un valore intrinseco di 150.
• una put con prezzo d'opzione di 2050 ha un valore intrinseco nullo.
Oltre al valore intrinseco, un'opzione presenta un valore temporale:
•
16/20

17. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
esprime l'aspettativa che nel corso della durata restante l'opzione acquisti
valore.2
• il giorno di scadenza il valore temporale equivale a zero.
Esempio:
In presenza di un corso azionario di 5700, una call con prezzo d'esercizio di
5500 viene negoziato a 450. Il valore intrinseco ammonta a 200 e il valore
temporale a 250.
prezzo d'opzione = valore intrinseco + valore temporale
I principali fattori che determinano il prezzo d'opzione:
 corso azionario
 prezzo d'esercizio dell'opzione
 durata residua dell'opzione
 volatilità (margine d'oscillazione) dell'azione
cioè la varianza del prezzo dell’attività sottostante.
 dividendi
Il valore dell’opzione di un titolo che non paga dividendi generalmente si
riduce in seguito alle assegnazioni di questi ultimi.
 tassi
 d'
 intere
 ss
 e
Sulla base dello scenario finora delineato, il nostro obiettivo è il calcolo del
valore intrinseco
Come si calcola il valore intrinseco?
Si decide qual è la funzione di distribuzione del valore del bene sottostante,
poi si calcola il valore atteso della variabile guadagno, dato dalla differenza tra
prezzo d’esercizio e prezzo dell’azione.
Se S = il valore del titolo, K = il prezzo d’esercizio
→ S-K = valore intrinseco
Occorre pertanto conoscere l’integrale da 0 a +∞ di (S-K)nei termini della
distribuzione dei prezzi per avere il valore intrinseco dell’opzione call, e
l’integrale da 0 a +∞ di (K-S) nei termini della distribuzione dei prezzi per
avere il valore intrinseco dell’opzione put.
2
Poiché le opzioni sono negoziate in uno specifico mercato, il loro prezzo è determinato dai flussi di domanda
e offerta.
17/20

18. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Nel caso della call, si impone S-K>0 → S>K dove K è una costante e S una
variabile aleatoria; quindi, l’integrale va calcolato da K a + ∞
Nel caso della put, si impone K-S>0 → K>S dove K è una costante e S una
variabile aleatoria; quindi, l’integrale va calcolato da K a + ∞
SCHEMA PER IL CALCOLO DEL VALORE INTRISECO DELLE OPZIONI
EUROPEE
Formula di Black-Scholes
K
Put = ∫ (K-S) dF (x,y,σ)
0
+∞
Call = ∫ (S-K) dF (x,y,σ)
k
con F (x,y,σ) = funzione di distribuzione lognormale
Posto d1= (S/K + δ + σ2/2) σ T ; d2= d1- σ T si ha
Put = Ke-δTΦ(- d2)- SΦ(- d1) ; Call = SΦ(d1) - Ke-δTΦ(d2)
Φ → funzione di distribuzione normale
→→→ calcolo numerico della normale
dove:
S = variabile aleatoria data dal prezzo sottostante
K = prezzo d’esercizio
δ = tasso d’interesse istantaneo
T = il periodo
σ rappresenta la variabilità dell’attività sottostante.
S esprime un prezzo al tempo attuale, al momento in cui si fa il contratto. K
esprime un prezzo al tempo futuro.
Per effettuare i confronti attualizzo o porto S al futuro?
Attualizzo K, perché è allo stato attuale che vengono stipulati i contratti.
------------------------------------------------------------------------------------------------
La formula di Black-Scholes non è utile a calcolare il valore intrinseco delle
opzioni americane; esso non risulta solo dalla differenza tra K e S, ma deve
tener conto di tutta l’evoluzione degli eventi. Il calcolo è pertanto molto più
complesso, perché non richiede solo il valore alla scadenza, ma tutta la storia
dall’inizio alla fine.
Un ulteriore limitazione della formula di Black-Scholes è che essa vale solo per
i titoli puri; non può essere applicata se il titolo, ad es, paga dividendi.
18/20

19. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Inoltre, la formula di Black-Scholes si basa sull’ipotesi che δ (→ tasso d’interesse
dei BOT) non vari nel tempo.
La valutazione di σ è alquanto difficile. σ Può essere stimata analizzando il
passato, ossia la distribuzione statistica del titolo, ma si possono fare anche
altre operazioni basate sullo studio di opzioni analoghe (calcolo volatilità
implicita dell’opzione.
19/20

20. Appunti di
Matematica Finanziaria Visto su: Profland
Il file è stato scaricato/visualizzato in forma gratuita da Profland:
http://profland.altervista.org
sezione Profstudio
http://profland.altervista.org/profstudio/profstudio.htm
oppure da qualche mirror, come:
www.profland.cjb.net www.profland.135.it
o dalla pagina dedicata su slideshare.net:
www.slideshare.net/profman
20/20