1. GEOMETRIA ANALÍTICA
“Penso, logo existo”
René Descartes (1596 - 1650)
Pai da Geometria Analítica
Figura 1
Prof. Luiz Gustavo da Silva

2. O Plano Cartesiano
Figura 2

3. Eixos
• X  eixo das abscissas
• Y  eixo das ordenadas
• Z  eixo das cotas (3ª dimensão)
OBS: No momento vamos trabalhar somente
com duas dimensões (x,y).

4. Sinais dos Quadrantes
• 1º Quadrante: x > 0 e y > 0
• 2º Quadrante: x < 0 e y > 0
• 3º Quadrante: x < 0 e y < 0
• 4º Quadrante: x > 0 e y < 0

5. Distância entre dois pontos
Figura 3

6. Razão de Secção
Figura 4

7. Ponto Médio
Figura 5





 ++++
2
,
3
CbaCba yyyxxx
G





 ++
2
,
2
BABA yyxx
P

8. Baricentro de um triângulo
Figura 6





 ++++
3
,
3
CBACBA yyyxxx
G

9. Condições de Alinhamento de 3 pontos
0
1
1
1
=
CC
BB
AA
yx
yx
yx

10. 3 pontos alinhados horizontalmente
Gráfico 1

11. 3 pontos alinhados verticalmente
Gráfico 2

12. 3 pontos numa reta não-paralela aos eixos
Gráfico 3

13. Se 0
1
1
1
≠
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Os pontos A, B e C são vértices de um
triângulo!

14. Gráfico 4

15. Área de um Triângulo
Figura 7
2
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Área =

16. Mediatriz
Figura 8
O coeficiente angular da
mediatriz é igual ao inverso
negativo do coeficiente
angular da reta que contém o
segmento AB.
ABcontémquereta
mediatriz
m
m
___
1
−=

17. Simetria
A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas
geométricas, equações matemáticas ou outros objetos
Figura 9
Figura 10
Figura 11 Figura 12

19. Figura 13
Figura 14
Figura 15 Figura 16

20. Figura 17

21. Figura 18

22. Equações da Reta
Equação Geral da Reta
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
ax+by+c=0

23. Equação Segmentária da Reta
1=+
q
y
p
x

24. q = 3
p = 1
Gráfico 5

25. Equações Paramétricas da Reta
Se y = f(x), temos:
x = f(t)
e
y = g(t)
Rt ∈∀

26. Exemplo
Se ax + by + c = 0 ,
Vamos parametrizá-la!
Escolhendo x = t ,
Teremos,
at + by + c = 0
by + c = -at
by = -at – c
Portanto,
y = (-a/b)t – c/a

27. Equação Reduzida da Reta
y = mx + q
Onde,
m= -a/b
q (o mesmo da equação segmentária) = -c/b

28. Coeficiente angular da reta
x
y
xx
yy
b
a
tgm
AB
AB
∆
∆
−=
−
−
−=−==
)(
)(
θ

29. Equação de uma reta r
(conhecidos o coeficiente angular e um ponto P de r)
)(
)(
P
P
xx
yy
m
−
−
−=

30. Pra que servem essas Equações?
• Usadas na Química;
• Usadas na Física (Sxt no MU, vxt no MUV, etc....)
• Usadas em diversas disciplinas das mais variadas engenharias;
• Usadas em qualquer tipo de problema onde há um constante crescimento ou
decrescimento;
• E muito mais!

31. Representação gráfica de Retas
Basta plotarmos 2 pontos no plano cartesiano!
É aconselhável usarmos a equação Reduzida para isso!
Assim,
Teremos y = f(x) , que é uma função do 1º grau.
E sabemos que toda função do 1º grau gera uma reta!

32. Coordenadas do ponto de intersecção entre duas ou mais retas
Nada mais é do que o ponto comum entre elas!
Basta pegarmos a equação de cada reta e fazermos um sisteminha entre elas!

33. Posições relativas entre retas
• Duas ou mais retas são paralelas, se e somente se, tiverem
coeficientes angulares iguais!
• Duas ou mais retas são concorrentes, se e somente se, tiverem
coeficientes angulares diferentes!
• Duas retas são perpendiculares quando o produto entre seus
coeficientes angulares for ( - 1 )! Você pode dizer também que o
coeficiente angular de uma reta é o inverso negativo do
coeficiente angular da outra reta!

34. Ângulo entre duas Retas
sr
sr
sr
sr
mm
mm
arctg
mm
mm
tg
+
−
=⇒
+
−
=
11
θθ

35. Distância entre um Ponto e uma reta
²²
,
ba
cbyax
d PP
rP
+
++
=

36. Bissetrizes de duas retas
Figura 19

37. EXERCÍCIOS...
Figura 20

38. Referências Bibliográficas
• Figura 1:
http://sumateologica.files.wordpress.com/2010/09/frans_hals_portreit_rene_descartes.jpg
• Figura 2: http://www.brasilescola.com/upload/e/1(25).jpg
• Figuras 3, 4 e 5: http://www.google.com/images
• Figura 6: http://www.somatematica.com.br/emedio/retas/Image36.gif
• Gráficos 1,2,3 e 4: Software Graphmatica
• Figura 7: http://www.mundoeducacao.com.br/upload/conteudo/AREA%20TRI1.JPG
• Figura 8: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/constfundamentais/mediatriz01.gif
• Figuras 9,10,11, 12 e 13: http://www.google.com/images
• Figura 14: http://2.bp.blogspot.com/_vNhEHA-Xo0U/
• Figuras 15 e 16: http://parafernaliaartesanal.blogspot.com/
• Figura 17: http://www.google.com/images
• Figura 18: http://seraksei.blogspot.com/2009/02/simetria.html
• Figura 19: http://alfaconnection.net/images/GAN020117a.gif
• Figura 20: www.dialogocomosfilosofos.com.br/category/metodo/
• VIVEIRO, Tânia, CORRÊA, Marlene. Minimanual Compacto de Matemática. 1. ed. São Paulo,
1999.