Cap

Cap. 5 Funciones trigonométricas de números reales Precálculo Quinta edición Prof. Juan Serrano, MA © copywriter

Bosquejo

Círculo unitario

Funciones trigonométricas de números reales

Gráficas trigonométricas

Más gráficas trigonométricas

5.1 Círculo unitario

En esta sección se estudian algunas propiedades del círculo unitario con radio 1 con centro en el origen.

Círculo unitario

El conjunto de puntos a una distancia de 1 a partir del origen es un círculo de radio 1.

Ejemplo: Un punto en el círculo unitario

Demuestre que el punto está en el círculo unitario.

Solución:

P está en el círculo unitario.

Ejemplo: Localización de un punto en el círculo unitario

El punto P está en el círculo unitario en IV. Encuentre su coordenada en y.

Solución: Puesto que el punto está en el círculo unitario, entonces;

Puntos sobre la circunferencia del círculo unitario

Suponga que t es un número real. Recorramos una distancia t a lo largo del círculo unitario, empezando en el punto (1, 0) y desplazándonos en sentido contrario al de las manecillas del reloj si t es positiva. Por otro lado si t es negativa, es a favor de las manecillas del reloj.

Puntos sobre la circunferencia:

Determinación de los puntos sobre la circunferencia

Calcule el punto sobre la circunferencia del círculo unitario determinado por cada número real.

a) t = 3 π b) t = - π c) t =

Solución:

a) El punto determinado por 3 π : b) El punto determinado

por t = - π :

Determinación de puntos sobre la circunferencia

Calcule el punto sobre la circunferencia determinada por cada número real dado t.

Uso de los números de referencia para los puntos sobre la circunferencia

Para determinar el punto P definido por cualquier valor de t, seguimos los pasos siguientes.

Encontrar el número de referencia.

Encontrar el punto sobre la circunferencia Q(a, b) definido por t.

El punto determinado por t es P(+ - a, + - b), donde los signos se eligen de acuerdo con el cuadrante en el cual está este puno sobre la circunferencia.

Determinación de los números de referencias

Encuentre el número de referencia para cada valor de t:

Ejercicios 5.1:

Página 406 y 407

5.2 Funciones trigonométricas de números reales

Ya estudiamos que una función es una regla que asigna a cada número real otro número real.

Como las funciones trigométricas se pueden definir en términos del círculo unitario, en ocaciones se les llama funciones circulares .

© copywriter DEFINICION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Sea t un número real y sea P(x, y) el punto del círculo unitario determinado por t. Definimos sen t = y cos t = x tan t = y / x (x ≠ 0) csc t = 1 / y (y ≠ 0) sec t = 1 / x (x ≠ 0) cot t = x / y (y ≠ 0)

Ejemplo:

Evaluación de las funciones trigonométricas

Calcule las seis funciones trigonométricas de cada número real.

a) t = π /3

Calcule las seis funciones trigonométricas de cada número real.

b) t = π /2

© copywriter Se puede observar que algunas de las funciones trigonométricas no están definidas para ciertos números reales. Así que necesitamos determinar sus dominios. DOMINIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS FUNCION DOMINIO sen, cos Todos los números reales tan, sec Todos los números reales diferentes de π /2 + n π para cualquier entero n. cot, csc Todos los números reales que no sean n π para cualquier entero n.

© copywriter Valores de funciones trigonométricas Para calcular otros valores de las funciones trigonométricas tenemos que determinar los signos. Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante que se encuentre . VEAMOS : SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS CUADRANTE FUNCIONES POSITIVAS FUNCIONES NEGATIVAS I TODAS NINGUNA II SEN, CSC COS, SEC, TAN, COT III TAN, COT SEN, CSC, COS, SEC IV COS, SEC SEN, CSC, TAN, COT Todas Seno Tangente Coseno

Ejemplo:

Evaluación de las funciones trigonométricas

Determine cada uno de los valores.

Para realizar en el salón:

Pág. 416

Calcule el valor exacto de la función trigonométrica en el número real dado.

Ejemplo:

Uso de la calculadora para evaluar funciones trigonométricas

© copywriter PROPIEDADES DE LOS IMPARES El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares; el coseno y la secante son funciones pares. sen (- t) = - sen t sec (- t) = sec t = - y = - sen t = 1/x = sec t cos (- t) = cos t cot (- t) = - cot t = x = cos t = 1/-y/x = - cot t tan (- t) = - tan t csc (- t) = - csc t = - y/x = - tan t = 1/-y = - csc t

Ejemplo

Funciones trigonométricas pares e impares

Solución: De acuerdo con las funciones pares e impares:

© copywriter Por definición, cos t = x y sen t = y, donde x y y son las coordenadas de unP(x, y) en el círculo unitario. Puesto P(x, y) están sobre el círculo unitario, tenemos x 2 + y 2 = 1. Entonces: Por consiguiente si dividimos por sen 2 t, (siempre que sen t ≠ 0) obtenemos: IDENTIDADES FUNDAMENTALES IDENTIDADES RECIPROCAS IDENTIDADES PITAGORICAS

Ejemplo

Cálculo de todas las funciones trigonométricas a partir del valor de una.

Si cos t = 3/5 y t está en el cuadrante IV, calcule los valores de todas las funciones trigonométricas en t.

Solución: De acuerdo con las identidades pitágoricas tenemos.

Ejemplo

Expresar una función trigonométrica en función de otra.

Escriba tan t en forma de cos t, donde t está en el cuadrante III.

Expresar una función trigonométrica en función de otra. © copywriter Expresar una función trigonométrica en función de otra. Pág. 417

5.3 Gráficas de funciones trigonométricas

Las gráficas de una función nos proporciona un mejor idea de su comportamiento. En esta sección estaremos graficando varias de estas funciones.

© copywriter Significa que las funciones seno y coseno repiten sus valores en cualquier intervalo de longitud 2 π . Tenga presente que sen t es la coordenada y del P(x, y) en el círculo unitario determinado por el número real t. PROPIEDADES PERIODICAS DEL SENO Y EL COSENO Las funciones seno y coseno tienen periodo 2 π ; sen (t + 2 π ) = sen t cos (t + 2 π ) = cos t

Gráficas © copywriter Para trazar la gráfica con mayor exactitud, determinamos otros pocos de valores de sen t y cos t. (Tabla). Se podrían determinar más valores con la ayuda de una calculadora. t o 0

Ejemplo Curvas del coseno © copywriter Trace la gráfica de cada función La gráfica es la misma que la de coseno, pero se desplaza dos lugares hacía arriba 2 unidades. 0

Ejemplo Otras gráficas © copywriter La gráfica de y = 2 sen x, multiplicamos la ordenada por cada pun to por 2. En general, para las funciones y = a sen x y y = a cos x el número Ι a I se llama amplitud y es el valor más grande que alcanzan estas funciones. 0

Ejemplos: se trazarán las gráficas con calculadora gráfica.

Determine la amplitud de y = -3 cos x.

Amplitud y periódo

a) y = 4 cos 3x b) y = - 2 sen ½ x

Una curva seno desplazada

y = 3 sen 2(x – π /4)

Una curva seno desplazada

y = ¾ cos(2x + 2 π /3)

ver texto

Ejercicios 5.3

Pág. 429 y 430

1 al 74

75, 76, 77, 78 (Para entregar. Valor 10pts. )

Con proceso, cada uno de ellos

5.4 Más gráficas trigonométricas

En esta sección se estudian las funciones tangentes, cotangente, secante y cosecante y transformaciones de estas funciones.

© copywriter PROPIEDADES PERIODICAS Las funciones tangente y cotangente tienen periodo en π : tan (x + π ) = tan x cot (x + π ) = cot x Las funciones cosecante y secante tienen periodo en 2 π : csc (x + 2 π ) = csc x sec (x + 2 π ) = sec x