Cap. 6 Funciones TrigonoméTri

Prof.Juan Serrano, MA MA Prof. Juan Serrano, © copywriter 1

 Medida angular  Trigonometría de ángulos rectos  Funciones trigonométricas de ángulo  Ley de senos  Ley de cosenos © copywriter 2

Las funciones trigonométricas se pueden dividir en dos maneras distintas pero equivalentes; como funciones de números reales o como funciones de ángulos. © copywriter 3

Un ángulo de medida 1 se forma al rotar el lado inicial 1/360 de una revolución completa. En cálculo y otras ramas de la matemáticas, se usa un modo más natural de medir ángulos, la medida en radianes. La cantidad que se abre un ángulo se mide a largo del arco de un círculo de radio 1 con su centro en el vértice del ángulo. © copywriter 4

R2 B Lado terminal Lado inicial A O R1 R1 A O Lado inicial ángulo positivo Lado terminal B ángulo negativo R2 La medida de un ángulo es la cantidad de rotación respecto al vértice requerido para mover R1 sobre R2 . Esto es cuando se abre el ángulo. © copywriter 5

 Si un círculo de radio 1 se traza con el vértice de un ángulo en un centro, entonces la medida de este ángulo en radianes (rad) es la longitud del arco que subtiende el ángulo. θ Medida de θ en radianes 1 © copywriter 6

 La circunferencia de radio 1 es 2π y, por lo tanto, una revolución completa tiene 2π rad, un ángulo llano tiene medida de π rad y un ángulo recto tiene medida de π/2 rad. π/2 rad π rad 1 rad o 1 o 1 o 1 1 1 2 rad Puesto que una revolución completa medida en grados es 3600 y medida en radianes 2π, se obtiene la siguiente relación entre dos métodos de medición de ángulo. o 1 © copywriter 7

 180   180   rad 1  o 1 rad    rad    180  a) Para convertir grados a radianes, multiplique por 180 180 d) Para convertir radianes a grados, multiplique por  Medida θ = 1 rad ≈ 57.296o 1 Para tener cierta idea del tamaño de un radian, vea: θ 1 1 rad ≈ 57.296o y 1o ≈ 0.01745 rad © copywriter 8

a) Exprese 60o en radianes Cuando no hay mayor     60  60 o rad  rad información, se supone  180  3 que el ángulo se mide en radianes. d) Exprese π/6 rad en grados     180  rad      30 o 6  6    Pág. 474; Ejercicios para realizar en el salón. Valor 10pts. 2, 8, 12, 16, 20 © copywriter 9

De grados a radines: (2, 8, 12)    3 2) 54 0  54  rad   0.942 rad  180  10    8) 3960 0  3960 rad  22 rad  69.115 rad  180     202.5 9 12) 202.5 0  202.5  rad  rad   3.534 rad  180  180 8 De radianes a grados: (16, 20) 3π 3π 180 16) - -   270 0 2 2 π 180 612 20) 3.40  3.4    194.80   © copywriter 10

Un ángulo está en posición estándar si se dibuja en el plano xy con su vertice en el origen y su lado inicial en el eje x positivo. Ejemplo en posición estándar: y c) y y a) b) O x O O x x y d) Dos ángulos son coterminales si coinciden sus lados. O x En las figuras anteriores a) y c) son coterminales. © copywriter 11

 Encuentre ángulos que son coterminales con el ángulo θ = 30o en posición estándar.  Encuentre ángulos que son coterminales con el ángulo θ = π/3 en posición estándar. © copywriter 12

a) Encuentre ángulos que son coterminales con el ángulo θ = 30o en posición estándar. 30o y 30o + 360o = 390o y y 30o 390o O O x x Para hallar ángulos negativos que son coterminales, se resta cualquier multiplo de 360o. 30o – 360 = -330 30o – 720o = -690o y y - 330o - 690o O x O x © copywriter 13

a) Para hallar ángulos positivos que son coterminales con θ, se suma cualquier múltiplo de 2π. Por lo tanto:  7  13  2   4  3 3 3 3 Para hallar ángulos negativos que son coterminales, se resta cualquier multiplo de 2π.  5  11  2    4   3 3 3 3 Veamos en forma de gráfica © copywriter 14

En forma de gráfica: y  3 y O x O x 5 y  7 3 3 O x © copywriter 15

 Encuentre un ángulo con medida entre 0o y 360o que coterminal con el ángulo de medida 1290o en posición estándar.  Solución: Se puede restar 360 cuantas veces desees, el ángulo que resulte, será el coterminal con 1290. 3 360 1290 y 210o 1080 210  Por lo tanto, 210o O x es el ángulo deseado. © copywriter 16

 Un ángulo cuya medida en radianes es θ está subtendido por un arco que es la fracción θ/(2π) de la circunferencia de un círculo. Así un círculo de radio r, la longitud s de un arco que subtiende el ángulo θ es;  s  circunferencia 2  s (2  r )   r 2 s θ r s  r © copywriter 17

 En un círculo de radio r, la longitud s de un arco que subtiende un ángulo central de θ radianes es; r s  r θ 1 rad  Cuando despejas θ, se obtiene la fórmula r importante; s  r r  Esta formula permite definir la medida en radianes por medio de un círculo de cualquier r. La medida en radianes de un 2 rad ángulo θ es s/r, donde s es la longitud del θ r arco circular que subtiene θ en un círculo de radio r. © copywriter 18

 Encuentre la longitud de un arco de un círculo con radio 10m que subtiende un ábgulo central de 300.  Un ángulo central θ es un círculo de radio 4m es subtendido por un arco de longitud 6m. © copywriter 19

a) Ya sabemos que: 30 0   6  5 longitud de un arco s  r  (10)  m 6 3 h) Por la fórmula: s se tiene lo siguiente:  r s longitud del arco 6 3     rad r radio 4 2 o) Ejercicios pág. 475, 49 - 58 © copywriter 20

Area de un círculo; A  π r 2 Un sector de este círculo con ángulo central θ tiene un área que es la fracción:  A  área del círculo  2   θ A   2  π r2  1 2 r A rθ 2 Ejercicios pág. 475; 59 - 66 © copywriter 21

Ejercicio 59; pág. 475 1 2 A rθ 2 80o A 1 A (64)(80 o )  cambia grados a radianes 2 8     32 80   180   4   32   9   4  128  32   1.70 pies  9  9 © copywriter 22

Un niño hace girar una piedra en una honda de 3 pies de largo a una velocidad de 15 revoluciones cada 10 segundos. Encuentre las velocidades angular y lineal de la piedra. Solución; En 10s, el ángulo θ cambia en 15 (2π) = 30π radianes:  ángulo Velocidad angular : w   t tiempo  30 rad w   3  9.42 rad / s t 10 s Solución; La distancia recorrida por la piedra en 10s es s = 15 (2πr) = 15 (2π) (3) = 90π pies. La velocidad lineal es: s distancia recorrida 15 (2 ) 3 pies Velocidad lineal : v    t tiempo 10 s 90 π pies  10 s  9π  28.27pies/ s Ejercicios pág. 476; 67 – 84: Asign: 68, 70, 72, 74, 76 © copywriter 23

Ejercicio 67: Pág. 476 Distancia recorrida Las ruedas de un automovil miden 28 pulgadas de diámetro. ¿Qué tan lejos viajará el automovil (en millas) si sus ruedas giran 10 000 veces sin deslizamiento? s distancia recorrida Velocidad lineal : v   t tiempo 1 pies 1 millas  10000 (28 )  12 pul 5280 pies 1 millas  10000 (28 ) 12 (5280)pulg 28000  millas  63360 pulg 879645.943 millas   13.88 millas 63360 pulg © copywriter 24

3 2 θ 5 Encuentra las seis relaciones trigonométricas: hipotenusa 3 cateto opuesto 2 csc    sen   cateto opuesto 2 hipotenusa 3 cateto adyacente 5 hipotenusa 3 cos    sec    hipotenusa 3 cateto adyacente 5 cateto opuesto 2 cateto adyacente  5 tan    cot θ  cateto opuesto 2 cateto adyacente 5 © copywriter 26

3 Si cos   , halla otras cinco relaciones trigonométricas. 4 4 adyacente 7 cos   hipotenusa θ 3 Hay que hallar el lado que falta: se conoce como opuesto. Se utiliza el Teorema de Pitágoras. El lado que falta es: 7 3 7 7 cos   tan   sen  4 3 4 4 3 4 sec   cot θ  csc   3 7 7 © copywriter 27

 Ciertos triángulos rectángulares tienen relaciones que se pueden calcular fácilmente a partir del teorema de Pitágoras. Ej. 1: Se dibuja un triángulo de Ej. 2: Se dibuja un triángulo lado 1, y se obtiene la hipotenusa. equilátero de lado 2. B 45o 2 1 30o 45o 2 3 1 60o A C 1 Ejercicios pág. 484; 1-5; Resolver en el salón © copywriter 28

Θ en Θ en grados radianes senΘ cos Θ tan Θ csc Θ sec Θ cot Θ 30  1 3 3 2 2 3 3 6 2 2 3 3 45  2 2 1 1 2 2 4 2 2 60  3 1 2 3 2 3 3 3 2 2 3 3 Hay que recordar estas relaciones trigonométricas especiales porque se presentan con frecuencia En la calculadora solo se proporcionan seno, coseno y tangente las otras relaciones se pueden calcular de este modo, llamadas relaciones recíprocas: 1 1 1 csc t  sec t  cot t  sent cos t tan t Pág. 40 41 © copywriter 29

Colocar la calculadora en modo de grados y escribir los resultados hasta cinco valores decimales: Halla: sen 17 o  0.29237 1 sec 88  o  28.65371 cos 88 Colocar la calculadora en modo de radianes y escribir los resultados hasta cinco valores decimales: Halla: cos 1.2  0.36236 1 cot 1.54   0.03081 tan 1.54 © copywriter 30

Resuelve el triángulo ABC: Solución: B c)Recuerda colocar calculadora en grados: 12 El ángulo B = 60o . a 30o Para hallar a: A b C 30o = a/12 30o = b/12 a  12 sen 30 o b  12 cos 30 o 1  3  12    6 2 b  12    2 6 3   © copywriter 31

 La capacidad para resolver triángulos rectángulos es fundamental en muchos problemas de navegación, levantamiento de planos, astronomía y medición de distancias.  Veamos © copywriter 32

Hallar la altura de un árbol  Un árbol proyecta una sombra de 532 pies de largo. Encuentre la altura del árbol si el ángulo de elevación del Sol es 25.7o. Solución: opuesto  tan  adyacente h h tan 25.7  o 532 25.7o h  532 tan 25.7 o 532 pies h  532(0.48127 ) h  256 pies © copywriter 33

Una escalera de 40 pies está apoyada de un edificio. Si la base de la escalera está separada 6 pies de la base del edificio, ¿cuál es su altura? Solución: Si θ es el ángulo entre la escalera y el edificio, entonces:  40 pies 6 sen   0.15 40 Para hallar el ángulo se usa una calculadora, en modo de grados, usando la tecla sen -1. 6 pies   8. 6 0 © copywriter 34

Halla la altura de la Bandera opuesto  tan  adyacente h  tan 24 0 500 k h  500 tan 24 0 h h  500 0.4452   223 pies Altura del Edificio 223 pies k 27  tan 27 0 500 24 k  500 tan 27 0 500 pies k  500 0.5095   255 pies Altura hasta la parte superior del asta La altura de la bandera es : 255 - 233  32 pies © copywriter 35

Ejercicios pág. 484 – 487; Ejercicios para entregar: 46, 48, 50, 52, 54 (20 pts) Para el salón 1, 23, 26 Encuentre los valores exactos de las seis Evalua la expresión sin usar calculadora relaciones trigonométricas del ángulo   θ en el triángulo. 23) sen  cos 6 6 1) 5 θ   sen  1 cos  3 3 6 2 6 2 1 3 1 3   4 2 2 2 sen  opuesto  4 csc   hipotenusa  5 hipotenusa 5 opuesto 4   26) sen 600  cos 60 0   cos   adyacente hipotenusa  3 5 sec   hipotenusa  5 3 2  3   1 2 adyacente    2   2  1  cot   adyacente      tan   opuesto adyacente 4 3 opuesto 3 4 Círculo unitario © copywriter 36

Ejercicios para entregar: 46, 48, 50, 52, 54 (20 pts)  Ejercicios para entregar. Aclaración de DUDAS: ▪ 46 ▪ 48 ▪ 50 ▪ 52 ▪ 54 © copywriter 37

46) Un avión está volando dentro de la vista del Gateway Arch en San Luis, Missouri, a una altura de 35000 pies. Al piloto le gustaría estimar su distancia desde el Gateway Arch. Encuentra que el ángulo de depresión restecto a un punto sobre el suelo debajo del arco es 22 grados. a) ¿Cuál es la distancia entre el avión y el arco? x 22 0 opuesto y sen   hipotenusa r 35 000 r h 35000 35000 93431 .38 pies sen220   r  r sen 220 b) ¿Cuál es la distancia entre el punto sobre el x suelo directamente abajo del avión y el arco? opuesto y tan    adyacente x 35000 35000 tan 22 0   x  86 628 pies x tan 22 0 © copywriter 38

48) Distancia del mar Desde la parte superior de un faro de 200 pies, el ángulo de depresión respecto a un barco en el océano es de 23 grados. ¿Qué tan lejos está el barco desde la base del faro? opuesto y x tan    adyacente x 23 r h 200 y = 200 tan 23  0 x x 200 x 0  471.17 pies tan 23 © copywriter 39

50) Escalera apoyada Una escalera de 20 pies se apoya sobre un edificio. Si la base de la escalera está a 6 pies de la base del edificio. ¿cuál es el ángulo de elevación de la escalera? ¿Qué altura tiene el edificio? a) ¿cuál es el ángulo de elevación de la escalera? adyacente x cos    hipotenusa r 6 cos    0.3    cos 1 0.3  1.266 rad.  72.50 20 20 pies b) ¿Qué altura tiene el edificio? h2  c2  a2 h  400  36 h 2  20 2  6 2 h  364  19.07 pies  h 2  400  36 6 pies © copywriter 40

52) Altura de una torre Un cable de sujeción de 600 pies se une a la parte superior de una torre de comunicaciones. Si el alambre forma un ángulo de 65 grados con el suelo. ¿Cuál es la altura de la torre de comunicaciones? opuesto h sen   hipotenusa r h sen650  600 600 pies h  600sen650 h  543.78 pies 60 0 © copywriter 41

54) Cálculo de una distancia Una mujer parada sobre un colina ve un asta de bandera que sabe tiene 60 pies de altura. El ángulo de depresión respecto de la parte inferior del asta es 14 grados y el ángulo de elevación de la parte superior del asta es 18 grados. Encuentre la distancia x desde el asta. opuesto h h1 tan    adyacente x 180 140 x h2 h1  h2  60 0.5742 x  60 60 x tan 18  x tan 14  60 0 0 x  104.5 pies 0.5742   x tan 180  tan 14 0  60 x 0.3249  0.2493  60 © copywriter 42

 En la sección se amplían las relaciones trigonométricas a todos los ángulos definiendo las funciones trigonométricas de ángulos. Con estas funciones se pueden resolver problemas prácticos en los que los ángulos NO necesariamente son agudos. P y Cateto P(x, y) Opuesto Hipotenusa r Q y θ θ Cateto Adyacente O x O © copywriter 44

 Sea θ un ángulo en posición estándar y sea P(x, y) un punto sobre el lado terminal. Si r  x 2  y 2 es la distancia del origen al P(x, y), entonces; y r y sen  csc θ  (y  0 ) r y P ( x, y ) r x r cos   sec θ  (x  0 )  r x O x y x tan θ  (x  0 ) cot θ  (y  0 ) x y © copywriter 45

Para ángulos que NO son agudos / Práctica pág. 495, Ejercicios 12, 16 y 26 a) cos 135 y b) tan 390 y 3  4 (  x, y ) 4 (  x, y ) 5 150 ( x, y )  r 135 ( x, y ) 6 r 6 45 30 -x O x -x O x Solución:       cos 1350  135 0   0 tan 3900  390    180   180  3 13   4 6 3 4 14 13     4 4 6 6  2  3  cos 1350    tan 390 0  30 0  4 2 6 3 © copywriter 46

Práctica pág. 496, Ejercicios 12, 16, 26 (Punto de cotejo) cotejo Encuentre el valor exacto de la función trigonométrica       12) cos  600  60    cos 60 0  1  180  3 2    7  cot 30 0  1  3 16) cot 210  210  0  180  6 tan 30 0 tan 5 4 5  3 26)     tan   1   6 6 6 6 3 3 29 © copywriter 47

Angulo de referencia Sea θ un ángulo de referencia en posición estándar. El ángulo de referencia  relacionado con θ es el ángulo formado por el lado terminal de θ y el eje x . y y y y       O x O x  O x  x O ES UTIL CONOCER EL CUADRANTE DE REFERENCIA EN QUE SE LOCALIZA EL LADO TERMINAL DEL ANGULO. © copywriter 48

Encuentre el ángulo de referencia para El ángulo de referencia es el ángulo y 5 agudo formado por el lado terminal de 3 5 5 a)   3 3  5  x   2  O 3   3 Los ángulos 870 y 150 son coterminales [porque 870 – 2(360) = 150]. Por lo tanto, el lado terminal de este ángulo en el cuadrante II. b)   870 0 y   180  150 870  30 0   O x © copywriter 49

Práctica pág. 495, Ejercicios 1, 6 y 8. Halla el ángulo de referencia para: 1.a ) 150 0  180  150 1.c) - 30 0    30   30  30 1.b) 330 0  360  330  30 Halla el ángulo de referencia para el ángulo dado: 4 4  3  8.a ) 2.3  2.3  2  0.3 6.a)   3 3 3 33 33  32   8.b) 2.3    2.3  0.84 6.b)  4 4 4 23 24  23  8.c)  10  10  10  0 6.c) -   6 6 6 © copywriter 50

Encuentre: y a) sen 240 240 b) cot 495   O x Solución Este ángulo tiene su lado terminal en el cuadrante III, como vemos en la figura. sen 240 0  240 0  180 0  60 0 Por lo tanto: 3 sen 240 0   sen 60 0   2 SOLUCION SIGNO ANGULO DE REFERENCIA © copywriter 51

Encuentre: y a) sen 240 495 b) cot 495   O x Solución El ángulo 495 es coterminal con el ángulo 135 y el lado terminal de este ángulo está en el cuadrante II. cot 495 0  cot 135 0   cot 450   1 Angulos Coterminales Signo Angulo de Referencia © copywriter 52

Encuentre: 16π a) sen 3 e)El ángulo 16π/3 es coterminal con 4π/3 y estos ángulos están en el cuadrante III. 4  y   3 3 4 16π 4π π 3 3  sen  sen   sen   3 3 3 2 x  O Angulos Coterminales Signo Angulo de Referencia © copywriter 53

Encuentre:  π b) sec    4 El ángulo –π/4 está en el cuadrante IV y su ángulo de referencia es π/4. La secante en este cuadrante es positiva. y  π  2 sec     sec   4 4 2   x O   4 Signo Angulo de Referencia © copywriter 54

Identidades recíprocas 1 1 1 sec   cot   csc   tan  sen cos  y ( x, y ) sen cos  r tan   cot   y cos  sen  Identidades pitagóricas O x sen 2  cos 2   1 tan 2   1  sec 2  1  cos 2   csc 2  © copywriter 55

Ejercicios página 496, 37 – 42 a) Exprese sen θ en términos de cos θ Solución: A partir de la primera identidad pitágorica se obtiene: sen   1 cos 2  donde el signo depende del cuadrante. En este caso θ está en el cuadrante III o IV, sen θ es negativo. sen   1 cos 2  En estos cuadrantes, III o IV los senos son negativos. © copywriter 56

Ejercicios página 496, 37 – 42; Punto de cotejo; Ejercicio 38 b) Exprese tan θ en términos de sen θ, donde θ está en cuadrante II. Solución: Como tan θ = sen θ/cos θ, se necesita escribir cos θ en términos de sen θ. cos    1  sen 2 donde el signo depende del cuadrante. En este caso θ está en el cuadrante II, sen θ es negativo. sen sen tan    cos   1  sen 2 © copywriter 57

Ejercicios práctica 496 – 498 38) cot , sen ;  en el cuadrante II cos  cot  Definición de cotangente sen Identidad pitágorica sen 2  cos 2   1 Despejar para coseno cos 2   1  sen 2 cos 2    1  sen 2 cos  Aplicación; en el cuadrante II, cot     1  sen 2 la cotangentes es negativa. sen  1  sen 2 Solución cot  sen © copywriter 58

Las funciones trigonométricas se pueden usar tambien para resolver triángulos oblicuos, esto significa que son triángulos sin ángulos rectos. Para resolver este tipo de problemas se estudia la ley de los senos y los cosenos mas adelante. Se recomienda al momento de resolver uno de estos problemas, que se haga un bosquejo, para conocer si tenemos información suficiente. C Un triángulo está determinado por tres de sus seis partes. Veamos: b 3.Un lado y sus dos ángulos (LAA) a 4.Dos lados y el ángulo opuesto a uno de esos lados (LLA) 3. Dos lados y el ángulo incluido (LAL) A B c 4. Tres lados (LLL) © copywriter 59

Ley de los senos A En el triángulo ABC se tiene; b c senA senB senC h = b sen c   a b c B C a Ej. 1: Rastreo de un satélite Un satélite que orbita la Tierra pasa directamente arriba de las estaciones de observación en Phoenix y Los Angeles, apartadas a 340 millas. En un instante cuando el satélite está entre estas dos estaciones, su ángulo de elevación es observado de manera simultánea como 60 grados en Phoenix y 75 grados en Los Angeles. ¿Qué tan lejos está el satelite de Los Angeles? En otras palabras encuentre la distancia entre AC. Paso 1 sujerido: Hacer un bosquejo © copywriter 60

C Solución Satélite Siempre que se conozcan dos ángulos de un triángulo, podemos conocer el otro. Por el teorema de ángulos internos. El tercer ángulo mide: 45 grados a b senB senC  b c sen60 sen45 75  A 60 B b 340 Los 340 millas Phoenix Angeles bsen450  340 sen60 0 340 sen600 416 millas b 0  sen 45 Punto de cotejo: Ej. 34 © copywriter 61

Utiliza la ley de los senos para hallar el lado indicado por x o el ángulo θ. C Para hallar b: 0 50 185 88.8 senB senA 102 0  280 b a A x 144.9 a senB B b senA Primero: C  180 0  102 0  280  500 185 sen280 b senC senA sen102 0  c a b  88.8 a senC c senA 185 sen50 0 144.9 c 0  sen102 © copywriter 62

Punto de cotejo: Pág. 507, Ej. 34 B 65.1 a C 25 Segundo hallamos lado b: c = 80.4 senB senC 134.5 b  20 b c c senB A b Primero hallamos <B y luego el lado a: senC 180 – 20 – 25 = 135 80.4 sen135 0 a  134.5 senA senC sen25 0  a c c senA a senC 80.4 sen20 0 a 0  65.1 sen25 © copywriter 63

34) Distancia a través de un lago Los puntos A y B están separados por un lago. Para hallar la distancia entre ellos, un topógrafo localiza un punto C sobre el suelo tal que <CAB = 48.6 grados. También mide CA como 312 pies y CB como 527 pies. Halle la distancia entre A y B. A senA senB  48.6 a b  senA  c senABC  senB  b  b = 312 pies  a  312sen 48.6 senABC  senB   0.444088527 26.4 105 527 B a = 527 pies C B  sen 1  0.444088527  B  26.40 senA senC  a c a senC 527 sen1050 c   678.6 pies  Distancia entre AC  678.6 pies senA sen48.6 © copywriter 64

Considera el siguiente triángulo con sus lados a, b y A. (h = b sen A) Condiciones necesarias: C C C a C b b h a b b a a h a h h A A A B A B A es agudo A es agudo A es agudo A es agudo ah ah hab ab Ninguno Uno Uno Dos a b a b A A A es obtuso A es obtuso ab ab Ninguno Uno © copywriter 65

A = 22 pulg. Halla los lados y los ángulos que faltan: B Para hallar <B: C senB senA b = 12 pulg.  b a c 42  senA  senB  b   a  A  sen42  senB  12  Para hallar el ángulo C:  22  C  180  42  21.410 B  21.410 C  116.59 Para hallar los lados que faltan: senC senA  c a asenC 22 sen116.9 c   29.40 pu lg . senA sen42 © copywriter 66

senB senA  a = 15 b a  senA  b = 25 senB  b   a  h  sen85  85 senB  25   15  A B  1.660 0  1 Este es un caso contradictorio ya que senB  1 . Entonces no es un triángulo. © copywriter 67

senB senA Para B1  64.80  b a a senC c  senA  senA senB  b   a  12 sen94.7 c c  34.15  sen20.5  sen20.5 senB  31   12  B  64.8 Para B2  115.20 B1  64.8 C  180  20.5  64.8  94.7 a senC c senA B2  180  64.8  115.2 Si se restan estos valores a 180 = 0 grados. 12 sen44.3 c c  23.93 sen20.5 C  180  20.5  115.2  44.3 © copywriter 68

Trabajo para realizar en grupos (no más de tres personas, valor 30 pts)  Página 496  61, 64, 66  Página 507  32, 36, 38 Estos problemas se discutirán en clases © copywriter 70

61) Altura de un cohete La trayectoria de un cohete en posición recta es seguida por un observador sobre el suelo a milla de distancia. a) Muestre que cuando el ángulo de elevación es θ, la altura del cohete en pies h = 5280 tan θ. b) Complete la tabla para encontrar la altura del cohete a los ángulos de elevación dados. θ 20 60 80 85 h 1922 9145 29944 60350 op h tan     5280 tan  pies hip 1 milla h  5280 tan  pies h h  5280 tan(___ 0 ) pies θ h  ______ pies 1 milla © copywriter 71

64) Resistencia de una viga La resistencia de una viga es prporcinal al ancho y al cuadrado de la profundidad. Se corta un viga de un tronco. Exprese la resistencia de la viga como una función del ángulo θ. ancho 20 cm 20 cm profundidad θ θ fuerza  k (ancho)( profundidad ) 2 opuesto fuerza  k ( 20 cos  )(20 sen ) 2 profundidad   sen  20sen hipotenusa fuerza  k ( 20)(20) 2  cos   sen  adyacente ancho   cos   20 cos  fuerza  8000k cos sen hipotenusa © copywriter 72

66) Transporte en trineo El tiempo en segundos que tarda un trineo en bajar una colina en un ángulo θ es: d t 16 sen θ donde d es la longitud de la pendiente en pies. Encuentra el tiempo que tarda en bajar una pendiente de 2000 pies inclinada a 30 grados. Sustitución: 2000 d 2000 t  16 sen θ 16 sen θ 2000 θ t 8 t  250 t  5 10  15.8 seg © copywriter 73

32) Vuelo de un avión Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determina los ángulos de depresión hasta dos postes de millage apartados a 5 millas, ángulos de 32 grados y 48 grados. d)Encuentra la distancia del avión al punto B: b) Halla la altura D senD senA opuesto  sen  480 d a hipotenusa 32 0 100 0 h d senA sen480  3.77 millas h  2 millas 2.69millas a 2.69 senD 0 h  2.69 sen480 5sen32 32 0 480 a sen100 0 h  1.99millas A B C senC senA d = 5 millas DC  2.69millas h  2 millas  c a a senC 2.69sen48 0 2 AD  c    3.77millas hipot.   3.77 millas senA sen32 0 sen 32 0 © copywriter 74

36) Antena de radio Una antena de radio de onda corta está apoyada por dos cables cuyos longitudes son 165 y 180 pies. Cada alambre está fijo a la parte superior de la antena y anclada al suelo en dos puntos de anclaje en lados opuestos de la antena. El cable más corto forma un ángulo de 67 grados con el suelo. ¿Qué tan apartados están los puntos de anclaje? Para hallar la distancia Para hallar la distancia C desde AC = h: desde BA: senB senA AC 2  BA2  BC 2  165 180 h a  51.9 2  BA2  165 2 h  151.9 pies a senB h h BA2  165    51.9  2 2 senA 165 sen 67 0 BA2  27225  23073 .61 67 0 h B 64 A D sen 90 BA2  4151 .39 h  151.9 pies BA  4151.39 BA  64 Buscar AD, próxima página © copywriter 75

C 165 180 h  151.9 pies h 67 0 B 64 A 96.6 D 160.6 Para hallar la distancia desde AD: Para hallar la distancia desde BD: AD 2  AC 2  DC 2 AB  AD  BD AD  DC  AC 2 2 2 64  96.6  BD AD  180   151.9  2 2 2 160.6  BD AD 2  32400  23073 .61 AD 2  9326 .39 AD  9626 .39 AD  96.6 © copywriter 76

38) Longitud de un cable de sujeción Una torre de comunicaciones se localiza en la cima de una colina. El ángulo de inclinación de la colina es 58 grados. Se fijará un cable de sujeción a la parte superior de la torre y al suelo, 100 millas de colina abajo de la torre. El ángulo α, se determina como12 grados. Encuentre la longitud del cable requerido. C senB sec C 0  20 b c c senB 100 sen 1480 61 pies b   154.9 pies 155 pies senC sen 20 0 155 pies x pies b  155 pies B Encuentre la altura de la Torre: 0 148 0 12 100 pies senA sec B  A a b 580 b senA 155 sen 120 60.81 pies  61 pies a   senB sen 1480 a  61 pies © copywriter 77

La ley de los senos no se pueden usar de manera directa para resolver triángulos si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos o si se conocen los tres lados. En estos dos casos, se aplica la ley de los cosenos. Ley de los cosenos C En cualquier triángulo ABC se tiene; b a a 2  b 2  c 2  2bc cos A A B b 2  a 2  c 2  2ac cos B c c 2  a 2  b 2  2ab cos C La ley de los cosenos dice que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos del doble producto de esos dos lados por el coseno del ángulo incluido. Si uno de los ángulos de un triángulo, por ejemplo <C, es un ángulo recto, entonces cosC = 0 y la ley de los cosenos se reduce al teorema de Pitágoras, a 2  b 2  c 2 . Así el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos. © copywriter 78

Se construirá un túnel por una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo hace las mediciones mostradas. Use los datos del topógrafo para aproximar la longitud del túnel. Para aproximar la longitud c del túnel, se usa la ley de los cosenos: c 2  a 2  b 2  2ab cos C B 417 c 2  388 2  212 2  2 388  212  cos 82.40 A 82.4 0 212 pies c 2  173730 .2367 388 pies c  173730 .2367 C c  416.8 El túnel medirá alrededor de 417 pies de largo. © copywriter 79

Los lados de un triángulo son a = 5, b = 8 y c = 12. Encuentre los ángulos del triángulo. C Se encuentra el <A, primero. De la ley de los cosenos, se tiene; b=8 a=5 a 2  b 2  c 2  2bc cos A 180 b2  c2  a2 cos A  A c = 12 B 2bc El uso de calculadora: 82  12 2  52  cos 1 2 812  ó 183  inv cos 192 1 ó cos A  0.953125 / cos  0.953125 arc cos A  180 continúa... © copywriter 81

Los lados de un triángulo son a = 5, b = 8 y c = 12. Encuentre los ángulos del triángulo. C De la misma forma los demás; 133 0 a 2  c2  b2 b=8 a=5 cos B  2ac 180 29 0 52  12 2  82  A c = 12 B 2 512  a2  b2  c2 105 cos C    0.875 / cos 1  0.875 B  29 0 2ab 120 52  82  12 2  2 5 8  55   0.6875 / cos 1  0.6875 C  1330 80 A  180  B  29 0  C  133  180 0 © copywriter 82

C Se puede hallar a por la ley de los cosenos 13.2 a= b= 10.5 98.2 0 a 2  b 2  c 2  2bc cos A a 2  (10.5) 2  (18) 2  2(10.5)(18) cos 46.50 46.50 350 A c = 18 B a 2  174.05  a  174.05  a  13.2 Se puede hallar <B y <C por la ley de los cosenos a 2  c 2  b 2 13.2 2  18 2  10.5 2 387.99 cos B     0.816477 2ac 213.2 18 475.20 cos 1  0.816477 B  35 0 a 2  b 2  c 2 13.2 2  10.5 2  18 2  39.51 cos C     0.1425324 2ab 213.2 10.5 277.20 cos 1  0.1425324 C  98.20 46.50  350  98.20  180 0 © copywriter 83

Se podría haber usado la ley de los senos en el ejemplo anterior para hallar el <B y el <C, ya que se conocen los tres lados y un ángulo del triángulo. Se conoce que el seno de un ángulo no especifica la manera única al ángulo, ya que un ángulo y su complemento es 180 – θ tienen el mismo seno. Hay cierta ambiguedad, por lo tanto se usa la ley de los cosenos, ya que esta ley no representa esta ambiguedad. Todo ángulo entre θ y 180 tienen un coseno único. Por lo tanto, la ley de los cosenos es útil para los ejemplo como el anterior. © copywriter 84

Dato biográfico: Se conocía como Herón el viejo de Alejandría. Fue un ingeniero griego, que destacó en Alejandría en la provincia de romana de Egipto. Después de que desapareció el Imperio Alejandrino y con él la ciencia griega, todavía existieron algunos destellos de genialidad. Uno de estos genios fue Herón, que desplegó una actitud casi moderna para la mecánica. Fórmula de Herón El área A de un triángulo ABC está dada por:   s s  a  s  b  s  c  1 donde s   a  b  c  es el semiperímetro del triángulo; es 2 decir s es la mitad del perímetro. © copywriter 85

abc El semiperímetro del lote es: s 2 125  280  315 s 2 720 s 2 280 pies s s  360 pie 315 Por la fórmula de Herón el área es: 125 pies A  s ( s  a)( s  b)( s  c) A  360(360  125)(360  280)(360  315) A  17 451.6 Así, el área aproximada es: 17 451.6 pies 2 © copywriter 86

Cap. 6 Funciones TrigonoméTri

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