○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○   ○                                             ...
Comecemos por verificar como           sentados em frações contínuas, isto             o que implica que                . ...
te que os resultados se aproximam do                Note que as frações obtidas na co-         Novamente, podemos fazer Fn...
apresentado no n-ésimo passo. Assim:                                                       n-ésimo passo:    1° passo:    ...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Fisica jr

3,732
-1

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
3,732
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
1
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Fisica jr

  1. 1. ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ADivaldo P Júnior .F. Física e a Matemática possuem surpresa, nenhum deles conseguiuColégio Classe, Goiânia, GO uma forte relação de interdis- chegar à resposta certa, o mesmoe-mail: portilho_jr@yahoo.com.br ciplinaridade em seus conteú- ocorrendo, posteriormente, com al-○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ dos, principalmente no Ensino Médio. guns colegas nossos, professores deFábio M.S. Lima Isso fica claro para o aluno desde o Física de outras escolas. Após apresen-Instituto de Física, início, quando ele se defronta com os tar a resolução correta do problema eUniversidade de Brasília primeiros problemas de cinemática, conversar com os alunos, constata-e-mail: fabio@fis.unb.br○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ tendo que calcular, tipicamente, mos que isto se deu por falta de conhe- espaços, velocidades e acelerações, o cimento de um pré-requisito mate- que requer conhecimentos matemá- mático que, de fato, raramente tem ticos prévios, relacionados às funções sido ensinado nas aulas de Matemá- de 1° e 2° grau e seus respectivos grá- tica: as frações contínuas. ficos. Em seguida, no estudo da dinâ- O problema em questão é um mica, o conceito de vetor e as noções exercício de eletricidade envolvendo básicas de trigonometria (principal- uma associação mista de resistores mente no cálculo de projeções) serão idênticos, cada um com resistência R, fundamentais para um bom apren- conforme ilustrado na Fig. 1. As reti- dizado das leis de Newton. Na verda- cências horizontais indicam que o de, essa relação interdisciplinar será número de sub-malhas quadradas mantida ao longo de todo o Ensino (malhas menores envolvendo quatro Médio, de forma que cada novo tópico resistores, um em cada lado do qua- de Física vai, em geral, requerer o drado) é muito grande, podendo ser aprendizado de novos pré-requisitos considerado como infinito. O exercício matemáticos por parte do aluno. consiste em determinar a resistência Dessa forma, fica claro que a ausência equivalente entre os terminais do de alguns temas no currículo de circuito (à esquerda da Fig. 1). Matemática pode prejudicar o apren- Antes de resolvê-lo, faremos uma dizado dos tópicos de Física a eles rela- breve introdução às frações contínuas, cionados. Há casos, inclusive, em que uma das mais importantes ferramen-O tema frações contínuas tem recebido pouca o não conhecimento de determinados tas em Análise Numérica, Teoria dosatenção por parte dos professores de Matemá- temas impossibilita os alunos de resol- Números e Matemática Computacio-tica do Ensino Médio, sendo que alguns nem ver problemas correlatos. Neste texto, nal [1]. Isso porque, apesar de ser con-sequer tocam neste assunto em suas aulas. Em vamos relatar um destes casos, o qual ceitualmente simples, esse assuntoconseqüência, a grande maioria dos alunos nãoconsegue resolver problemas usando este im- ocorreu recentemente conosco ao não tem recebido o devido destaqueportante “pré-requisito” matemático. Neste propormos um problema de eletrici- nos livros-texto usualmente adotadosartigo, apresentamos um problema de eletrici- dade aos nossos alunos. Para nossa no Ensino Médio.dade que foi considerado impossível pelos nos-sos alunos, e mesmo por alguns professorescolegas nossos. Após uma breve introdução àsfrações contínuas, mostraremos como elas po-dem ser usadas para representar númerosirracionais, tipo , com r e s sendo nú-meros naturais. Usando a representação emfrações contínuas desses irracionais, o problemaproposto é, então, resolvido de forma simples Figura 1. Associação mista de resistores. Observe que o circuito é formado por ume criativa. número muito grande de sub-malhas quadradas.26 Usando frações contínuas em eletricidade Física na Escola, v. 7, n. 1, 2006
  2. 2. Comecemos por verificar como sentados em frações contínuas, isto o que implica que . Destapodemos usar uma fração contínua é, a fração contínua será do tipo [a0; forma, 2 < y < 3.para representar um número racio- a1, a2,...], conforme mostrado pornal. Por definição, número racional é Moreira [2]. ii) Podemos escrever y como ,todo e qualquer número que pode ser Estamos particularmente interes- com z > 1, logo , o queescrito como uma razão p/q, onde p é sados em obter a fração contínuaum inteiro p e q é um natural (q > 0). equivalente a um irracional do tipo implica em z ser igual a , que éPara obter a representação em fração , com r e s naturais e s ≠ m2contínua de um tal número, basta que (m ∈ ù), assim como em obter o irra- o v do passo i), acima.se façam aplicações sucessivas do cional a partir da sua represen- Note que este processo torna-sealgoritmo de Euclides para a divisão tação em fração contínua infinita. cíclico, indo do passo i) ao ii) e do ii)de inteiros. Assim, fazemos p =a0q + Para tal, comecemos com uma ta- ao i), repetidamente. Isto fornece:r 0 , com r 0 < q, sendo únicos os refa mais simples, qual seja obter a fra-inteiros a0 e r0. Logo, ção contínua equivalente a para o caso em que n e um número natural . (n > 0) porém n ≠ m2 (m ∈ ù), ou seja, um número irracional quadrático. Conforme discutido por Carneiro [3], Usando o mesmo raciocínio para isso pode ser feito seguindo-se um ,a fração q/r0, teremos um único par algoritmo bastante simples. Tomemosde inteiros a1 e r1 tais que q = a1r0 + como exemplo o número . Observer1, com r1 < r0 < q, o que nos leva a que 3 pertence ao intervalo aberto (1, 4), cujos extremos são quadrados per- . Logo, ou seja, = [1; 1, 2, 1, 2,…], a qual feitos. Assim, 12 < < 22 e, con- seqüentemente, 1 < < 2. Portan- é uma fração contínua infinita. Note . que ela é também periódica, pois os to, pode ser escrito na forma 1 + u, . onde u é algum número irracional elementos (com exceção de a0) apare- positivo e menor que 1. Ou seja: cem de forma repetida (neste exemplo, i) Existe um número v > 1 tal que dois a dois). De fato, pode-se mostrarUsando o mesmo tratamento para a que todo irracional quadrático possuifração r0/r1, e assim sucessivamente, . Logo , o que nos representação em fração contínua in-teremos: finita, porém periódica [1]. Vejamos permite acrescentar que v < 2. Usan- . do este fato, podemos escrevê-lo como como esta seqüência converge para analisando os valores numéricos dos , com y > 1. Assim, , quocientes parciais (também chama- dos de convergentes), na Tabela 1. No- Tabela 1. Elementos somados Quocientes parciais Valor numérico Isso mostra que todo número ra- 1 1 1cional possui uma representação emfração contínua que lhe é equivalente. 2 2Os números ai, com i = 0, 1, ..., n,são chamados de elementos da fra- 3ção contínua, os quais podem ser or-ganizados na forma [a0; a1, a2, ..., an]para representar a fração contínua na,assim chamada, notação simplifi- 4cada. As propriedades dos númerosracionais permitem mostrar que todonúmero racional possui uma expan-são em fração contínua com umnúmero finito de elementos (ou se- 5ja, um número finito de somas e divi-sões), como pode ser visto em Moreira . . .[2]. Por outro lado, os números irra- . . .cionais requerem um número infini- . . .to de elementos para serem repre- ∞ [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2,...] 1,73205080...Física na Escola, v. 7, n. 1, 2006 Usando frações contínuas em eletricidade 27
  3. 3. te que os resultados se aproximam do Note que as frações obtidas na co- Novamente, podemos fazer Fn-2 =valor exato alternadamente por falta luna da direita são exatamente as ra- Fn-3 + Fn-4 e gerar mais um elementoe por excesso, comportamento este zões Fn/Fn-1, n ≥ 2, entre dois números da fração contínua, e assim sucessi-característico das frações contínuas consecutivos da “seqüência de Fibo- vamente, o que nos leva a:(ver demonstração na seção 10 da nacci”, a qual recebeu especial atenção por parte da Dona Fifi [5]. Lembremos .Ref. [1] e na Ref. [4]). Embora a convergência não seja que essa seqüência é definida de formatão rápida quanto a fornecida por ou- recursiva, tomando-se F1 = F2 = 1 etros métodos numéricos mais com- Fn = Fn-1 + Fn-2, œ n > 2. Note que aplexos, o algoritmo é bem simples e convergência é lenta, fato já observadosempre fornece uma representação pe- por Dona Fifi quando ela afirma que “talvez o número Φ seja o mais irra- Tomando o limite n → ∞ para a razãoriódica para quando esta raiz não cional dos números irracionais” [5],é exata. Pode-se mostrar, inclusive, , temos: referindo-se justamente à lentidãoque, quando n for do tipo m2 + 1 ou com que os quocientes parciais sem2 - 1 (m ∈ ù), a representação em aproximam de Φ, cujo valor exatofração contínua de será e com dez casas decimais é dado na últi- , respectivamente [3]. ma linha da Tabela 2. Usando a fór- Vejamos, agora, como obter o nú- mula recursiva para a seqüência demero irracional , com r e s racio- Fibonacci, temos:nais, correspondente a uma dada fra- ,ção contínua periódica. Tomemos co- .mo exemplo um caso interessante, de-vido a aspectos de convergência, que é e portanto, .o da fração contínua que representa onúmero irracional Φ (proporção áu- Como Fn-1 = Fn-2 + Fn-3, então:rea), o qual foi discutido em detalhesem um artigo recente da Física na Es- . Portanto, , ou, equivalen-cola [5]. Observe, na Tabela 2, os valores 2numéricos dos quocientes parciais. temente, x - x - 1 = 0. Esta equação do 2° grau tem duas raízes reais:Tabela 2. . Como x > 0, pois ,œn≥Elementos somados Quocientes parciais Valor numérico 2, então podemos desprezar a raiz1 1 1 negativa, restando . Esta2 2 solução também pode ser escrita3 como , forma em que ficam evidentes os valores de r e s, os quais desejávamos obter.4 Vejamos, agora, como podemos usar as frações contínuas para resol- ver o problema proposto no início des- te artigo. Lembremos que a associação em série de duas resistências R1 e R25 leva a uma resistência equivalente Rs = R1 + R2, ao passo que a associa- ção em paralelo leva a uma resistência. . .. . . equivalente Rp dada por ,. . .10 [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] ou seja, .. . .. . . Montemos o circuito da Fig. 1. . . gradativamente. Chamaremos de Rn∞ [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...] 1,6180339887... a resistência equivalente do circuito28 Usando frações contínuas em eletricidade Física na Escola, v. 7, n. 1, 2006
  4. 4. apresentado no n-ésimo passo. Assim: n-ésimo passo: 1° passo: Observando o padrão recursivo dos passos anteriores, temos: . Chamando de x o valor da resis- tência equivalente do circuito quando R1 = R + R + R = 3R. n tende ao infinito, temos que: 2° passo: , . 3° passo: logo , o que nos leva a x2 - 2Rx - 2R2 = 0, que é uma equação do 2° grau com duas raízes reais. São elas . Obviamente, x não pode ser negativo, o que nos obriga a , escolher como solução. ou seja, . Esta é a resistência equivalente deseja- da. Por fim, para escrever esta solução na forma de uma fração contínua, basta usar o resultado que obtivemos 4° passo: para no início deste artigo, de modo que , o que nos permite escrever: . Referências [1] A. Ya. Khinchin, Continued Fractions (Dover Science, New York, 1997). , ou seja, [2] C.G. Moreira, Eureka! 3 , 43 (1998). [3] J.P.Q. Carneiro, Revista do Professor de Matemática 34 36 (1997). 34, [4] N. Beskin, Frações Contínuas (Ed.. Unijuí, Ijuí, 2001). [5] M.E.G. Alencar (Dona Fifi), Física na Escola 5 (2), 4 (2004).Física na Escola, v. 7, n. 1, 2006 Usando frações contínuas em eletricidade 29

×