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  • 1. ENSINO OSTENSIVO EM AMBIENTES DE APRENDIZAGEM GERADOS PELO PROCESSO DE MODELAGEM Marcelo de Sousa Oliveira Universidade Federal do Pará - UFPA moliveira@ufpa.brResumoO interesse pela psicologia discursiva na Educação Matemática está consolidado desde os anosnoventa, vindo, recentemente a despertar também interesse entre os pesquisadores emModelagem Matemática. Este trabalho focaliza este tema emergente na agenda de pesquisa emModelagem Matemática, a saber, as práticas discursivas dos alunos e do professor. O temafocalizado busca novas compreensões teóricas para as práticas dos alunos nos ambientes deaprendizagem gerados pelo processo de modelagem. Objetiva-se aqui estudar os fenômenos dalinguagem em termos primitivos, que segundo Wittgenstein, trata-se de um treinamento, pois ascrianças são educadas para executar certas atividades e para reagir às palavras dos outros,ressaltando uma parte importante desse treinamento, que consiste no fato de que quem ensina,mostra os objetos, chama a atenção da criança para eles, pronunciando uma palavra. A esseprocesso ele dá o nome de ensino ostensivo, pois estabelece uma ligação associativa entre apalavra (a representação) e a coisa (o objeto). Esse conceito da filosofia de Wittgensteinconstitui o referencial teórico deste estudo. A pesquisa foi realizada em uma Escola deAplicação da Rede Federal de Ensino – NPI, numa turma de 5ª série composta de 25 alunoscom idade entre 10 e 16 anos e se caracterizou como qualitativa. A discussão empreendida nosaponta que o ensino ostensivo é um recurso utilizado no decorrer do processo de modelagem,como forma de favorecer a comunicação entre o professor e seus alunos, auxiliando naprodução de sentido da linguagem matemática.Palavras-chave: Ensino ostensivo; Modelagem Matemática; Comunicação.1 Introdução Em 2006, Kaiser e Sriramam identificaram a configuração das perspectivaspsicológicas no campo da Modelagem. Desde os anos noventa pode-se observar ointeresse dos pesquisadores em Educação Matemática pela Psicologia Discursiva, vindorecentemente a ter suas repercussões entre os pesquisadores em Modelagem. Estetrabalho enquadra-se nesse movimento. O interesse por essa temática é decorrente, primordialmente, da inquietaçãoprovocada pela dificuldade de comunicação que eu sentia quando trabalhava na
  • 2. Educação Básica, sobretudo nos anos que antecederam o meu ingresso no Curso deMestrado em 2008. A partir do meu trabalho de Dissertação (OLIVEIRA, 2010a) tenhome empenhado em dar continuidade ao estudo realizado naquela pesquisa. Em minha prática docente, outra questão me incomodava além do problema decomunicação: a questão metodológica. A modelagem matemática foi a tendência quemais me chamou a atenção, por isso, passei a utilizá-la de forma bem tímida, em funçãoda inexperiência1, o que me motivou a buscar compreensões teóricas e práticas arespeito. Daí, o interesse pela perspectiva discursiva. A finalidade desta investigação é buscar compreensões a respeito do uso de umrecurso bastante utilizado pelo professor de matemática para facilitar a comunicaçãocom seus alunos, a saber, a prática de ensinar mostrando os objetos e, ao mesmo tempo,pronunciando as palavras ou fazendo gestos com as mãos, com o objetivo de fazer comque a criança ao ouvir a palavra, venha à sua mente a imagem do objeto. Esse processoé denominado por Wittgenstein (1999) de ensino ostensivo, que segundo o filósofoefetiva a compreensão da palavra, evitando obstáculos para a comunicação. Segundo o autor, em oposição ao caráter referencial da linguagem e a umprocesso mental/intuitivo, os jogos de linguagem pressupõem manifestações externas àreferência, tais como: expressões corporais, entonação da voz, olhares,..., ou seja,elementos ligados aos modos do contexto de que participam. Esse recurso pretendefavorecer a máxima de Wittgenstein (1999, p.29), “um parceiro enuncia as palavras, ooutro age de acordo com elas”, ou seja, quando o professor pronunciar as palavras(apontando os objetos), o aluno poderá ter acesso ao sentido que já está previamentefixado pela lógica da matemática, e agir de acordo com a regra. Diante do exposto, apresento a questão a ser respondida pela presente pesquisa:Como o ensino ostensivo pode contribuir com o processo de comunicação emambientes de aprendizagem gerados pelo processo de modelagem matemática?2 A filosofia de Wittgenstein2.1 Jogos de linguagem Para exemplificar o que são os jogos de linguagem, Wittgenstein (1999) recorrea um exemplo em que a significação não se esgota na referência. Quando um construtor 1 O que não me impediu de perceber o potencial pedagógico da modelagem.
  • 3. grita ao seu ajudante, “lajota”, este entende “traga-me uma lajota”, a linguagemenquanto recurso que os indivíduos utilizam para viabilizar a comunicação vai além damera referência do objeto e de seu referente lingüístico. O ajudante, ao interpretar as palavras emitidas pelo construtor, produz o sentidoque coincide com o sentido implícito na frase. Pode-se afirmar que eles participam deum mesmo universo discursivo ou, que a linguagem não se desvincula das atividadesque fazem parte da forma de vida dos sujeitos que estão inseridos no jogo de linguagem. Em situações de ensino-aprendizagem de matemática, constantemente perde-seo sentido das proposições, pois, apesar de algumas expressões fazerem parte desseuniverso, nem sempre as proposições fazem sentido, ou pelo menos não podemosreconhecê-lo imediatamente. Daí, a ruptura na comunicação entre o professor e seusalunos ao dialogarem a respeito da matemática, com sua linguagem específica. A comparação da linguagem a um jogo é bastante pertinente. Participa de umjogo, quem conhece suas regras e as pratica jogando. Na práxis do uso da linguagem,um sujeito pronuncia as palavras e o seu interlocutor age de acordo com elas(WITTGENSTEIN, 1999). A comunicação acontece de acordo com o uso que se faz dalinguagem no contexto social em que ela se encontra. Por exemplo, os numerais podem assumir variadas significações conforme osjogos de linguagem de que participam: podem representar quantidades, umcódigo/número de telefone, uma data, a idade de uma pessoa, etc., aqui o número nãodeve assumir um significado unívoco, em que se tenta fazer um uso relacional dele, masseus usos de diferentes e variadas maneiras (OLIVEIRA, 2010a). No entanto, ao participar de um jogo de linguagem, o aluno usa palavras dedomínio público, porém carregadas de sentidos seus, que estão de acordo com seussentimentos, percepções, sensações e experiências vivenciadas. Esses sentidos sópodem ser conhecidos se o aluno externá-los através da fala.2.2 Ruptura comunicacional Não raramente podemos observar em situações de ensino-aprendizagem,exemplos de quebra na comunicação. Possivelmente a linguagem utilizada temdificultado uma comunicação mais efetiva causando momentos de ruptura no processocomunicativo. Por outro lado, os interlocutores da interação buscam sentido no discursouns dos outros, no caso educacional, os alunos buscam esse entendimento da fala do
  • 4. professor e o professor por sua vez busca interpretar os sentidos externados pelosalunos. É nesse ponto de discussão que queremos focalizar as idéias de Wittgenstein.Porto (2002) apresenta um exemplo de intercâmbio lingüístico envolvendo os sujeitosJoão e Maria em torno da situação em que João perde seus óculos. Ao ser indagada porJoão sobre o paradeiro de seus óculos, Maria poderia dar respostas que João poderiaclassificar como afirmações falsas (mas com sentido) ou afirmações absurdas (quepoderiam ser descartadas imediatamente). Se Maria respondesse “os óculos estão dentro do armário”, João poderiainterpretar que ainda que os óculos não estivessem naquele momento dentro do armário,eles poderiam ter estado lá. A afirmação poderia ser falsa, no entanto, por ter sentido,poderia ser considerada. No caso de afirmações absurdas, João poderia ouvir de Maria que: “seus óculosestão dentro da caixa de fósforos”. E nesse caso estaria muito inclinado em descartar asituação proposta por Maria como sendo impossível. Numa terceira situação, Maria responde a João que: “seus óculos estão noprego”. João estranha a resposta, mas num esforço em compreender o sentido daafirmação pergunta a Maria se ela quis dizer “na loja de penhores”, rejeitando ainterpretação de “prego” como sendo “um utensílio pontiagudo usado para a fixação demadeira e, tomando a afirmação de Maria como absurda, teve outro desfecho. Nestecaso, a situação de ruptura comunicacional foi evitada por que João tentou adentrar nocampo intersubjetivo do intercâmbio lingüístico, tendo acesso ao sentido da afirmaçãode Maria. Segundo Porto (2002), apoiado em Quine (1969), muitas vezes, no interesse derestaurar a comunicação com os parceiros de linguagem, o sujeito aplica um “princípiode caridade interpretativa” e altera a estrutura dos enunciados de seus interlocutores,com o interesse de não romper a comunicação. No caso de João, no interesse de salvar osentido do enunciado de Maria, bem como a comunicação entre os dois, se permitiureestruturar sua resposta. Para ele, tudo acabou como se realmente Maria tivesse dito:“seus óculos foram levados à loja de penhores”. Wittgenstein (1999) afirma que, no sentido de manter a comunicação, devesempre perguntar: esta palavra é realmente sempre usada assim na linguagem na qual
  • 5. tem o seu torrão natal? A indagação nos induz a reconduzir as palavras do seu empregometafísico de volta ao seu emprego cotidiano. Para Wittgenstein, quando: Alguém me diz: “Você compreende esta expressão? Ora, eu também a uso na significação que você conhece”. Como se a significação fosse uma espécie de halo que a palavra leva consigo e que fica com ela em qualquer emprego. Quando, por exemplo, alguém diz que a frase “isto está aqui (e, pronunciando-a, aponta para um objeto) tem sentido para ele, então se deveria perguntar em que circunstâncias particulares emprega-se de fato essa frase. Nestas ela tem sentido. (p. 66, § 117). A busca desses sentidos (intersubjetivos) é condição essencial para se evitar aruptura comunicacional entre os sujeitos da interação.2.3 Ensino ostensivo Nas Investigações Filosóficas, Wittgenstein faz uma crítica ao sistemareferencial da linguagem, afirmando que esse sistema não é tudo o que chamamos delinguagem. Argumenta: Quem descreve o aprendizado da linguagem desse modo, pensa, pelo menos acredito, primeiramente em substantivos tais como ‘mesa’, ‘cadeira’, ‘pão’, em nomes de pessoas, e apenas em segundo lugar em nomes de certas atividades e qualidades, e nas restantes espécies de palavras como algo que se terminará por encontrar. (WITTGENSTEIN, 1999, §1, p.28-29). Para o filósofo, a concepção referencial é um modelo no qual as palavras temsignificação porque se colam como etiquetas às suas referências, ou por outras palavras, asignificação seria o objeto que a palavra substitui. Evidentemente, esse processo de etiquetagemdos objetos não basta para que se possa dar conta de tudo o que pode ser feito através dalinguagem. Wittgenstein assevera que se trata de uma forma primitiva de linguagem. Wittgenstein, então, discute o processo que ele denomina de ensino ostensivo, queconforme suas descrições trata-se do ato de pronunciar uma palavra e apontar para um objeto.Nesse processo, são ensinadas as regras em geral, e em particular, quais são as regras quepermitem introduzir os modelos para as aplicações das palavras.
  • 6. Em sala de aula, é muito utilizada pelo professor, uma ação acompanhada pela fala. Elemostra por meio de gestos o que é difícil mostrar somente por meio de palavras. Por serdesprovida de oralidade, a linguagem formal da matemática pode criar obstáculos para acompreensão, por exemplo, quando o professor fala “x mais y ao quadrado”, os alunos podempensar nas expressões ou , pois a expressão na oralidade é ambígua, logonecessita do ato de mostrar por meio da escrita. Segundo o autor, por ser recorrente esse processo entre os homens, o ensino ostensivose configura como uma parte importante do treinamento, pois estabelece uma ligaçãoassociativa entre a palavra e a coisa, ou seja, “quando a criança ouve a palavra, a imagem dacoisa surge perante seu espírito” (WITTGENSTEIN, 1999), no entanto, essa associação éapenas uma preparação para formas mais complexas de uso das palavras. Conforme Moreno (2000, p.69), quando partimos para além de apenas ensinarostensivamente, passando a definir ostensivamente uma palavra, se faz necessário umconhecimento suplementar: “é preciso que se conheça o suporte, o aspecto da referência sobre aqual é colocada a etiqueta”. E exemplifica: Quando quero definir um nome para o número dois, mostrando duas nozes e dizendo “isto se chama dois” se aplica apenas a esse conjunto de nozes, ou à sua forma. É preciso que o aprendiz possa perguntar: “O que é dois? Esse conjunto de objetos, sua forma ou sua cor?” É preciso que o aprendiz já saiba que se trata de definir uma palavra, e uma palavra para tal aspecto do objeto e não para outro; ou seja, ele já deve dominar um jogo de linguagem mais primitivo, que é o jogo puramente referencial, dado pelo processo de ensino ostensivo. (ibid. id). Ou seja, o ensino ostensivo é fundamental para que o aluno aprenda um jogo delinguagem mais elementar, necessário para que o processo de aprendizagem caminhe na direçãodesejada. No entanto, apesar de se tratar de um jogo puramente referencial, dentro do processode ensino ostensivo, deve se fazer presente o diálogo, como forma de que os sujeitos participemdo mesmo universo discursivo.3 A prática da Modelagem Matemática à luz da filosofia de Wittgenstein Em função do grande número de experiências e de pesquisas que procuramadequar a prática da modelagem ao contexto escolar, muitas concepções1 a respeitodesse recurso pedagógico podem ser encontradas na literatura. 1 Outras concepções de Modelagem podem ser vistas em Ripardo, Oliveira e Silva (2009).
  • 7. Uma das formas de conceituar Modelagem na Educação Matemática é comorecurso pedagógico gerador de ambientes de aprendizagem. Por outras palavras, amodelagem refere-se à prática que possibilite que os alunos possam circular pordiferentes ambientes de aprendizagem, e que, ao trilhar o caminho entre os ambientes,possam aprender matemática por meio da investigação de temas não-matemáticos oriundos darealidade ou de outras ciências (OLIVEIRA, 2010a; 2010b). Segundo Bean (2001) a variedade de concepções decorre da dificuldade deadaptar o método científico da modelagem matemática praticada no campo daMatemática Aplicada (onde atua o matemático profissional) ao campo das práticaspedagógicas onde atua o professor de matemática (BEAN, 2001). Em Oliveira (2010b) argumento que as concepções podem também estarrelacionadas aos aspectos que vem sendo enfatizado nas pesquisas em modelagem, porexemplo, em Bassanezi (2006), enfatiza-se a obtenção dos modelos matemáticos, daí aconcepção de que se trata de uma metodologia, com etapas pré-estabelecidassemelhante ao processo da matemática aplicada. Ao contrário da visão do fazer modelagem como um caminho idealizadopreviamente, Borromeo Ferri (2006) propõe a noção de rotas de modelagem paradenotar os passos dos alunos durante as atividades de modelagem, por identificardificuldade de antever as ações dos alunos quando são convidados a participar deatividades de modelagem. A concepção aqui discutida está em consonância com essanoção. Outros pesquisadores focalizam outros aspectos, tais como a participação doaluno no processo de aprendizagem conduzido por modelagem (BORBA,MENEGHETTI e HEMINI, (1997), a compreensão crítica pelo aluno do papel dosmodelos matemáticos na sociedade (BARBOSA, 2006a; 2006b), o desenvolvimento doconteúdo programático mediante o uso de modelos matemáticos conhecidos, trazidospelo professor à sala de aula para estimular os alunos a criarem seus próprios modelos(BIEMBENGUT, 2004; BIEMBENGUT e HEIN, 2007), dentre outros. Compartilho de algumas das preocupações enfatizadas, levando em consideraçãoque para o ensino-aprendizagem de matemática, o processo de modelagem se diferenciasignificativamente do processo utilizado pelo matemático aplicado, uma vez que muitosdos argumentos para a inclusão da modelagem nos currículos escolares referem-se maisas competências e habilidades que podem ser desenvolvidas pelos alunos durante oprocesso do que ao resultado final obtido – o modelo.
  • 8. Dois aspectos foram importantes para a construção desta concepção. Emdecorrência da minha experiência docente na educação básica, compartilhoparcialmente com a preocupação de Biembengut e Hein em relação ao desenvolvimentodo conteúdo programático, mas procuro levar em consideração a preocupação deBarbosa (2006a; 2006b) com relação à compreensão crítica pelo aluno do papel dosmodelos matemáticos na sociedade. Considero que a atenção a esses dois aspectos (feitauma ressalva em relação aos conteúdos), aproxima a prática da modelagem daspropostas dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998). Em relação ao conteúdo programático, acho importante ressaltar que os PCNsnão apresentam relação de conteúdos a serem trabalhados em cada ciclo ou segmentoescolar. Os conteúdos são instrumentos para o desenvolvimento de competências ehabilidades, portanto, o desenvolvimento do conteúdo programático não deve ser aprincipal preocupação do professor. A orientação é que os conteúdos sejam trabalhadosem blocos (Números e Operações; Espaço e Forma; Grandezas e Medidas; Tratamentoda Informação) através de temas unificadores, preferencialmente de formainterdisciplinar1 (BRASIL, 1998). Procurando situar as fronteiras desse conceito, acrescento que considero comomodelo matemático qualquer representação matemática capaz de descrever com algumgrau de eficiência a situação em estudo: um croqui, uma tabela, um gráfico, umaequação, dentre outras representações podem ser aceitas como modelo matemático. A aceitação desse conceito de modelo matemático decorre da influência dafilosofia de Wittgenstein no que se refere aos jogos de linguagem que, em suma, setraduz como a conjunção da linguagem e das atividades com as quais ela estáinterligada, constituindo múltiplas linguagens que não podem ser hierarquizadas, poispossuem apenas relação de parentesco/semelhança (WITTGENSTEIN, 1999). Segundo Wittgenstein (1999) várias ações podem se caracterizar como jogos delinguagem tais como: comandar, e agir segundo comandos; descrever um objetoconforme a aparência ou conforme medidas; produzir um objeto segundo uma descrição(desenho); relatar um acontecimento; conjecturar sobre o acontecimento; expor umahipótese e prová-la; apresentar os resultados de um experimento por meio de tabelas ediagramas; resolver enigmas; traduzir de uma língua para outra, dentre outros. Os modelos matemáticos interpretados à luz dessa filosofia seriamrepresentações que tem o poder de descrever um fenômeno mediante a sua forma de 1 Os PCNEM (BRASIL, 199) apresentam parâmetros para Ciências da Natureza, Matemática esuas Tecnologias (não somente para Matemática), com orientações para trabalhos que integrem o estudoda Matemática com temas da Física e da Biologia.
  • 9. vida ou às atividades com as quais se relaciona. O poder de descrição do modelo estárelacionado à experiência dos alunos, ao nível acadêmico em que se encontram e aonível de compreensão do papel da representação construída para o contexto social emque estão inseridos, ou seja, o modelo funciona em seus usos, em suas funções práticas,que são múltiplas e variadas, constituindo múltiplas linguagens que são na verdadeformas de vida.4 Metodologia Responder questões de caráter descritivo, requer a escolha de método eprocedimentos capazes de coletar e descrever de forma clara e sucinta as interaçõesentre os sujeitos envolvidos na investigação. Borba e Araújo (2006) afirmam quepesquisas que requerem informações mais descritivas e que primam pelo significadodado às ações, se identificam com a abordagem qualitativa. Esta pesquisa se enquadranesta abordagem. A técnica utilizada foi a observação participante que se baseia no contato direto dopesquisador com o fenômeno a ser investigado, a fim de se recolherem informações/dados dossujeitos que se inserem no ambiente de pesquisa, mediante uma série de ações planejadas eexecutadas pelos participantes no cenário de investigação. A opção pela pesquisa qualitativaestá em consonância com o que vem sendo desenvolvido em termos de pesquisa no campo daEducação Matemática (BORBA e ARAÚJO, 2006; FIORENTINI e LORENZATO, 2009). A investigação foi realizada em uma Escola de Aplicação da rede Federal de ensino, emBelém do Pará – Núcleo Pedagógico Integrado – NPI. A escola apresenta característicaspróprias no desenvolvimento da educação básica, especificamente como campo de estágiovoltado para a experimentação pedagógica, visando à produção, sistematização e socializaçãodo conhecimento por meio do ensino, da pesquisa e extensão, configurando-se como espaço deformação profissional, inovação pedagógica, principalmente no atendimento de alunos daUniversidade Federal do Pará (Resolução nº 661/CONSUN, § 1º). Os dados foram coletados em uma turma de 5ª série do Ensino Fundamental – turma505 – onde estivemos presentes durante quatro meses, de março a junho de 2009. A turma écomposta por 25 alunos, sendo 14 sujeitos do sexo masculino e 11 do sexo feminino, comidades entre 10 e 16 anos. As aulas foram filmadas com intuito de captar os momentos de comunicação entre ossujeitos. Além das filmagens, utilizei um diário de campo, onde foram registradas as descriçõesdo cenário, as características da turma e de alguns alunos que se destacaram por suas ações, paradescrever episódios e alguns diálogos que eventualmente ocorreram antes que a câmera devídeo estivesse ligada ou em momentos de término das aulas.
  • 10. 5 As práticas discursivas durante o processo de modelagem O processo de coleta de dados aconteceu no mês de abril de 2009, em decorrência deminha pesquisa de Mestrado. Na ocasião, pensei em coletar material para estudos posteriores,uma vez que a observação me permitiu vislumbrar várias possibilidades de investigação que nãopoderiam ser empreendidas naquele momento em virtude do foco daquela pesquisa. Apesar deno referido trabalho (OLIVEIRA, 2010a), o ensino ostensivo tenha sido tratado no capítulo doreferencial teórico, o foco da análise foi a produção de sentidos. No presente texto, procuro analisar o processo de ensino ostensivo nas interações daprofessora da turma com os alunos quando estavam dialogando a respeito dos conteúdosmatemáticos que foram surgindo como recurso para dar solução ao problema “qual embalagemé mais econômica?”. O tema da atividade de modelagem que desenvolvemos foi “Alimentação”. Esse temafoi sugerido pela professora da turma, que promoveu uma interação dos alunos com o temaatravés de um diálogo com a turma a respeito de alimentação saudável. A primeira atividadeque os alunos desenvolveram foi a elaboração de uma tabela em que eles deveriam anotar todosos alimentos industrializados que foram consumidos por eles, individualmente, em casa duranteuma semana (biscoitos, macarrão instantâneo, refrigerantes, etc..). O episódio aqui analisado ocorreu na terceira semana após o início do estudo do temaalimentação e começou com a solicitação da professora na aula anterior, para que os alunostrouxessem embalagens de produtos alimentícios de suas residências. Nesta aula, a professoraentregou um texto que falava sobre embalagens e um roteiro de atividades que culminava com aproposta do problema “Qual é a embalagem mais econômica?”, em que os alunos deveriamanalisar produtos, da mesma marca, mas de quantidades de massa ou capacidade diferentes. A discussão transcrita refere-se à comparação de duas embalagens de refrigerante(latinha de 350 ml e garrafa de 600 ml) da mesma marca que a professora estendeu para toda aturma: Professora: Gente vamos relembrar o que nós deveríamos discutir na aula de hoje? Vitor: Sobre a economia tia! Max: O que era mais econômico. A garrafa ou a latinha de refrigerante... [Vitor complementa]
  • 11. Através desta interação inicial, a professora convida os alunos a participarem deuma discussão em torno do tema, com o objetivo de desenvolver discussões a respeitoda matemática curricular. Professora: Que números apareceram nessa atividade e o que eles significam? Por exemplo? Apareceu o número 600 não foi isso? o que significa o 600? Max: Significa os ml da garrafa. Professora: O que mais? Apareceram também outros valores? Turma: Dois reais, um real e setenta e cinco centavos [a professora anota as informações no quadro]. Após fazer as anotações, a professora conduz as discussões para a questão dadiferença de preço entre os dois produtos: Professora: Vocês me disseram que a diferença de preço era quanto? Vitor: De 600 _____ 600 ml Patrick: ____ A diferença ... era ____ Vinte e cinco centavos Max: É isso, vinte e cinco centavos! Professora: Primeiro o que significa essa diferença de preço... O que significa 25 centavos em relação a 1 real? Vanessa: A quarta parte? ____. Paola: _____Metade da metade...? Professora: E como é que eu vou representar isso de outra forma... Sem ser 25 centavos [escreve por extenso],... Sem ser nessa forma 0,25? Vitor: Em ml? Professora: Não, o valor 0,25 [aponta o valor escrito no quadro enquanto fala] ZERO VÍRGULA VINTE E CINCO... como é que eu represento isso? Patrick: Um quarto! Elaine: Ou a quarta parte. Professora: Como é que eu represento isso? Natália: Um quarto! [gesticula com a mão indicando um traço de fração]
  • 12. Professora: Um quarto Natália? [escreve no quadro a representação fracionária] Como é chamada essa representação numérica aqui pra matemática? [aponta] Natália: FRAÇÃO. Professora: Fração. Concordam com ela? Álvaro: É um pedaço de uma coisa inteira. Professora: É uma parte ____ Max: ____ E tia!... é 1 dividido... Patrick: É uma representação... [faz gestos com a mão enquanto fala] uma representação de fração é... uma pizza [indica a forma circular e a fatiação com as mãos]6 Análise e Discussão Em relação à atividade de modelagem desenvolvida, da qual extraí o episódioaqui analisado, observei que a modelagem estabeleceu um clima de liberdade discursivaem que o aluno, ao negociar, defender seu ponto vista, problematizar, e expor suasidéias, apresenta ao professor os sentidos que foram projetados por ele na compreensãoda fala da professora e do texto matemático. Isso nos indica que os sentidos produzidospelo professor e pelos alunos devem fazer parte de um mesmo universo discursivo, eessa aproximação pode ocorrer mediante a negociação constante, na busca dos sentidosum do outro. A professora pergunta: O que significa essa diferença de preço... O que significa 25centavos em relação a 1 real? Os alunos respondem: a quarta parte? Metade da metade?As respostas em tom de pergunta (procurando aprovação da professora) evidenciam queos alunos tentam ter acesso ao sentido da pergunta da professora. Na seqüência, nota-setambém um momento de ruptura na comunicação, quando a professora pergunta: Ecomo é que eu vou representar isso de outra forma... Sem ser 25 centavos [escreve porextenso],... Sem ser nessa forma 0,25? A resposta do aluno Vítor evidencia o momentode ruptura comunicacional: em ml? Com a insistência da professora, os alunos Patrick eElaine também evidenciam que não produziram o sentido da palavra representação: Umquarto! A quarta parte? A comunicação é retomada quando a aluna Natália gesticula com a mãoindicando um traço de fração e pronuncia um quarto. Nesse trecho, o gesto da aluna
  • 13. mostrou à professora que ela havia produzido o sentido que já estava previsto. Aprofessora aproveita a fala de Natália para retomar a comunicação com a turmaevidenciando o sentido da pergunta que estava fazendo para a turma: Um quartoNatália? [escreve no quadro a representação fracionária] Como é chamada essarepresentação numérica aqui pra matemática? [aponta]. Observemos que a professora utiliza concomitantemente a fala, a escrita e ogesto de apontar, ou seja, recorre ao que Wittgenstein denomina de ensino ostensivo. Aaluna Natália também faz uso de gesto com a mão para indicar o traço de fração, entãopodemos inferir que a ostensividade perpassa o processo de ensino-aprendizagem. Aqui,o ensino ostensivo foi usado para restabelecer a comunicação. Nesse processo, sãoensinadas as regras em geral, e em particular, quais são as regras que permitemintroduzir os modelos para as aplicações das palavras. Esta pesquisa verificou que quando o aluno aprende a aplicar a regra, por meiodo ensino ostensivo, desenvolvido pelo professor, através de exemplos modelo, que lhemostram como se aplica a regra, isso lhe conduz a produzir o sentido que favorece asignificação, uma vez que a regra matemática tem um sentido único e, para os alunos, aregra pode assumir outros sentidos, por isso os problemas de aprendizagem. Em vários momentos verifica-se que tanto a professora quanto os alunos seutilizam de gestos, da escrita e da fala concomitantemente, do ato mostrar arepresentação e procurar outra correspondente, dentre outros recursos externos àlinguagem formal da matemática para expressar os seus sentidos em relação ao discursode seus interlocutores, evidenciando que a linguagem vai muito além da simplesdenominação do objeto pela sua representação, ou como diria Wittgenstein, que ela (alinguagem) está sempre associada a formas de vida. A prática da professora está de acordo com a filosofia de Wittgenstein (apudSILVEIRA, 2005), pois busca fazer com que os alunos desenvolvam a capacidade deaplicar corretamente as regras do jogo matemático, por meio do ensino ostensivo,tentando fazer com que os sentidos produzidos por eles não criem problemas deaprendizagem, mas, ao invés contribuam para que produzam o sentido (único) da regramatemática.Considerações finais Neste texto, conceituei a modelagem como um recurso gerador de ambientes deaprendizagem. Esse conceito foi esboçado a partir da coleta de dados de minha pesquisade Mestrado, quando comecei a observar a preocupação da professora da turma
  • 14. pesquisada com o desenvolvimento do currículo oficial, o que em minha opinião, temgrande relevância uma vez que temos parâmetros curriculares a considerar. Me subsidiei teoricamente no conceito de ambientes de aprendizagem de(SKOVSMOSE, 2008) e na filosofia de Wittgenstein (1999), especificamente no que serefere aos jogos de linguagem, a partir da concepção de Chaves e Espírito Santo (2008).Essa sugestão não pretende esgotar a discussão em torno desse tema, nem fazer frenteaos conceitos de modelagem correntes na literatura, uma vez que os utilizo comosubsídio nos textos citados em que comecei a conceituar a modelagem como a apresentoneste texto. Em vários momentos nas interações, verifiquei indícios de ensino ostensivo,como o ato de apontar enquanto fala, de escrever no quadro e falar ao mesmo tempo, ouso de gestos indicando aprovação, reprovação, expectativa, encorajamento, etc., queessencialmente contribuíram para o aprendizado da regra e para a produção do sentidoda regra. Como recomendação para a prática docente, o estudo sugere que o professordeve se fazer presente em todas as etapas do processo de modelagem, como orientadordas tarefas e, caso sinta a necessidade de interferir mais ativamente, pode recorrer aoensino ostensivo, como recurso necessário e essencial ao processo de treinamento (quepode ser feito por meio de exemplos e de exercícios) da regra matemática, como formade dotar o aluno dos instrumentos necessários para construção do sentido da regra econstrução de conceitos.ReferênciasBARBOSA, J. C. Mathematical modelling in classroom: a critical and discurseperspective. ZDM. Zentralblatt für Didahtik der Mathematik, Karlruhe, v. 38, n. 3,p.293-301, 2006a.BARBOSA, J. C. A Dinâmica das Discussões dos Alunos no Ambiente de ModelagemMatemática. In: Anais III SIPEM, Águas de Lindóia-SP, 2006b.BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo:Contexto, 2006.BEAN, D. W. O que é Modelagem Matemática? In: Educação Matemática em Revista.São Paulo, SBEM. Ano 8, n. 9/10, abril, 2001.BORBA, M. de C; ARAÚJO, J. de L. (Orgs.). Pesquisa qualitativa em educaçãomatemática. 2ª Ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
  • 15. BORBA, M. de C.; MENEGHETTI, R. C. G.; HERMINI, H. A. Modelagem,Calculadora Gráfica e Interdisciplinaridade na sala de aula de um curso de CiênciasBiológicas. In: Educação Matemática em Revista. São José do Rio Preto, SBEM, nº 3,p. 63-70, 1997.BORROMEO FERRI, R. Theoretical and empirical differentiations of phases in themodelling process. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, v. 38, n. 2, p. 8695, 2006.BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 4ª edição. SãoPaulo: Contexto, 2007.BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática & Implicações no Ensino e naAprendizagem. 2ª Ed. Blumenau: Edfurb, 2004.BRASIL. Parâmetros Curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos. Secretaria deEducação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio. Secretaria de EducaçãoMédia e Tecnológica. Brasília: MEC/SEF, 199.CHAVES, M. I. A.; ESPÍRITO SANTO, A. O. Modelagem Matemática: umaconcepção e várias possibilidades. In: Revista Bolema, Rio Claro, ano 21, número 30,p. 149-161, 2008.FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursosteóricos e metodológicos. 3ª Ed. rev. Campinas, SP: Autores Associados, 2009.MORENO, A. R. Wittgenstein: os labirintos da linguagem: ensaio introdutório. SãoPaulo: Moderna; Campinas, SP: Editora da Universidade de Campinas, 2000.OLIVEIRA, M. S. Interpretação e Comunicação em Ambientes de AprendizagemGerados pelo Processo de Modelagem Matemática. Dissertação (Mestrado emEducação em Ciências e Matemáticas) Universidade Federal do Pará, Belém, 2010a.OLIVEIRA, M. S. Modelagem Matemática: uma concepção baseada na noção deambientes de aprendizagem. Anais do 10º ENEM – Encontro Nacional de EducaçãoMatemática, 2010b.PORTO, A. S. As bases filosóficas do construtivismo matemático de Wittgenstein. 2002.211 f. Tese (Doutorado em Filosofia) – Centro de Teologia e Ciências Humanas,Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2002.RIPARDO, R. B.; OLIVEIRA, M. S.; SILVA, F. H. Modelagem Matemática ePedagogia de Projetos: aspectos comuns. Alexandria Revista de Educação em Ciência
  • 16. e Tecnologia, v.2, n.2, p.87-116, 2009. Disponível emhttp://www.ppgect.ufsc.br/alexandriarevista Acesso em: 10 nov. 2009.SILVEIRA, M. R. A. da. Produção de sentidos e construção de conceitos na relaçãoensino/aprendizagem da matemática. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade deEducação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2005.SKOVSMOSE, O. Desafios da Reflexão em Educação Matemática crítica. Trad.Orlando de Andrade Fegueiredo, Jonei Cerqueira Barbosa. Campinas, SP: Papirus,2008.WITTGENSTEIN, L. Investigações Filosóficas. Trad. José Carlos Bruni. São Paulo:Nova Cultural, 1999.