Serie_Ciencias Naturales_19_a Historias de la Ciencia - Asimov Arquímedes y Eureka

¿Problemas? Muchas veces nos encontramos frente a un problema y a veces nos “atascamos”...

Muchas veces nos encontramos frente a un problema y a veces nos “atascamos”...

¿Problemas? ¡Es decir por más vueltas que le damos al problema no damos con la solución!

¡Es decir por más vueltas que le damos al problema no damos con la solución!

¿Problemas? Entonces lo más conveniente es dejar el trabajo y hacer otra actividad (como ver una película) y no pensar, para nada, en el asunto.

Entonces lo más conveniente es dejar el trabajo y hacer otra actividad (como ver una película) y no pensar, para nada, en el asunto.

¿Problemas? O podemos dejar el problema para el día siguiente.

O podemos dejar el problema para el día siguiente.

Relajar el pensamiento En otras palabras tenemos que relajar el pensamiento realizando otra actividad.

En otras palabras tenemos que relajar el pensamiento realizando otra actividad.

Relajar el pensamiento Si hacemos esto, lo más probable es que demos con la solución del problema.

Si hacemos esto, lo más probable es que demos con la solución del problema.

Relajar el pensamiento Esto es posible por que hemos dejado a nuestra mente relajarse deliberadamente.

Esto es posible por que hemos dejado a nuestra mente relajarse deliberadamente.

Creatividad ¡de golpe! Yo le llamo a esto un golpe de creatividad .

Yo le llamo a esto un golpe de creatividad .

Siracusa Quizás el más famoso golpe de creatividad de toda la historia de la ciencia tuvo lugar en la ciudad de Siracusa, Sicilia, en el siglo III antes de Cristo. http://es.wikipedia.org/wiki/Siracusa

Quizás el más famoso golpe de creatividad de toda la historia de la ciencia tuvo lugar en la ciudad de Siracusa, Sicilia, en el siglo III antes de Cristo.

Siracusa Hacia el año 250 antes de Cristo, la ciudad de Siracusa estaba atravesando una especie de Edad de Oro.

Hacia el año 250 antes de Cristo, la ciudad de Siracusa estaba atravesando una especie de Edad de Oro.

Siracusa Siracusa se hallaba bajo la protección de Roma, pero conservaba un rey propio y una gran autonomía política; era próspera y poseía una floreciente vida intelectual.

Siracusa se hallaba bajo la protección de Roma, pero conservaba un rey propio y una gran autonomía política; era próspera y poseía una floreciente vida intelectual.

La corona de Hierón El rey era Hierón II, y había encargado una nueva corona de oro a un orfebre, al que había entregado un lingote de oro como materia prima.

El rey era Hierón II, y había encargado una nueva corona de oro a un orfebre, al que había entregado un lingote de oro como materia prima.

La corona de Hierón Hierón, que era un hombre práctico, había pesado cuidadosamente el lingote y pesó luego la corona que recibió. Los dos pesos eran exactamente iguales. Perfecto.

Hierón, que era un hombre práctico, había pesado cuidadosamente el lingote y pesó luego la corona que recibió. Los dos pesos eran exactamente iguales. Perfecto.

La corona de Hierón Pero luego Hierón II se puso a reflexionar el asunto.

Pero luego Hierón II se puso a reflexionar el asunto.

La corona de Hierón Supongamos que el orfebre hubiese sustraído un poco de oro, no demasiado, y lo hubiera sustituido por un peso igual de cobre, considerablemente más barato.

Supongamos que el orfebre hubiese sustraído un poco de oro, no demasiado, y lo hubiera sustituido por un peso igual de cobre, considerablemente más barato.

La corona de Hierón La aleación resultante seguiría teniendo la apariencia de oro puro, pero el orfebre dispondría de una cantidad de oro además de su remuneración. Hierón estaría comprando oro con cobre. Sería una estafa.

La aleación resultante seguiría teniendo la apariencia de oro puro, pero el orfebre dispondría de una cantidad de oro además de su remuneración. Hierón estaría comprando oro con cobre. Sería una estafa.

La corona de Hierón A Hierón la idea de ser estafado no le agradaba, pero no sabía cómo averiguar con certeza si lo había sido. No podía castigar al orfebre sobre la base de meras sospechas. ¿Qué hacer?

A Hierón la idea de ser estafado no le agradaba, pero no sabía cómo averiguar con certeza si lo había sido. No podía castigar al orfebre sobre la base de meras sospechas. ¿Qué hacer?

La corona de Hierón Afortunadamente, Hierón tenía una ventaja de la que pocos gobernantes en toda la historia del mundo podían alardear. Tenía un pariente de considerable talento.

Afortunadamente, Hierón tenía una ventaja de la que pocos gobernantes en toda la historia del mundo podían alardear. Tenía un pariente de considerable talento.

Arquímedes El pariente se llamaba Arquímedes y poseía probablemente la inteligencia más grande que jamás vería el mundo hasta el nacimiento de Newton.

El pariente se llamaba Arquímedes y poseía probablemente la inteligencia más grande que jamás vería el mundo hasta el nacimiento de Newton.

Arquímedes El rey Hierón II mandó llamar a Arquímedes y le planteó el problema.

El rey Hierón II mandó llamar a Arquímedes y le planteó el problema.

Arquímedes Debía determinar si la corona que Hierón le mostraba era de oro puro o estaba hecha con un oro al que se hubiera añadido una cantidad pequeña pero significativa de cobre.

Debía determinar si la corona que Hierón le mostraba era de oro puro o estaba hecha con un oro al que se hubiera añadido una cantidad pequeña pero significativa de cobre.

El oro Si tuviéramos que reconstruir el pensamiento de Arquímedes podríamos presentarlo así:

Si tuviéramos que reconstruir el pensamiento de Arquímedes podríamos presentarlo así:

El oro El oro era la sustancia más densa conocida (en la época).

El oro era la sustancia más densa conocida (en la época).

El oro La densidad del oro es de 19,3 gramos por centímetro cúbico. Esto significa que un determinado peso de oro ocupa menos volumen que el mismo peso de cualquier otra sustancia.

La densidad del oro es de 19,3 gramos por centímetro cúbico. Esto significa que un determinado peso de oro ocupa menos volumen que el mismo peso de cualquier otra sustancia.

El oro De hecho, un determinado peso de oro puro ocupa menos volumen que el mismo peso de cualquier clase de oro impuro.

De hecho, un determinado peso de oro puro ocupa menos volumen que el mismo peso de cualquier clase de oro impuro.

El cobre La densidad del cobre es de 8,92 gramos por centímetro cúbico, la mitad aproximadamente que la del oro.

La densidad del cobre es de 8,92 gramos por centímetro cúbico, la mitad aproximadamente que la del oro.

Densidades La densidad del oro es de 19,3 gramos por centímetro cúbico. La densidad del cobre es de 8,92 gramos por centímetro cúbico.

La densidad del oro es de 19,3 gramos por centímetro cúbico.

La densidad del cobre es de 8,92 gramos por centímetro cúbico.

El volumen Si consideramos 100 gramos de oro puro, por ejemplo, es fácil calcular que tendrán un volumen de 5,18 centímetros cúbicos.

Si consideramos 100 gramos de oro puro, por ejemplo, es fácil calcular que tendrán un volumen de 5,18 centímetros cúbicos.

El volumen Pero supongamos que 100 gramos de lo que parecía oro puro fuesen realmente sólo 90 gramos de oro y 10 gramos de cobre.

Pero supongamos que 100 gramos de lo que parecía oro puro fuesen realmente sólo 90 gramos de oro y 10 gramos de cobre.

El volumen Los 90 gramos de oro tendrían un volumen de 4,66 centímetros cúbicos. Mientras que los 10 gramos de cobre tendrían un volumen de 1,12 centímetros cúbicos. Con un valor total de 5,78 centímetros cúbicos.

Los 90 gramos de oro tendrían un volumen de 4,66 centímetros cúbicos.

Mientras que los 10 gramos de cobre tendrían un volumen de 1,12 centímetros cúbicos.

Con un valor total de 5,78 centímetros cúbicos.

El volumen La diferencia entre 5,18 centímetros cúbicos y 5,78 centímetros cúbicos es perfectamente perceptible.

La diferencia entre 5,18 centímetros cúbicos y 5,78 centímetros cúbicos es perfectamente perceptible.

La masa Corona real = 100 gr. Corona bamba = 100 gr.

Corona real = 100 gr.

Corona bamba = 100 gr.

El volumen Corona real = 5, 18 cm3 Corona bamba = 5, 78 cm3

Corona real = 5, 18 cm3

Corona bamba = 5, 78 cm3

Masa y volumen Tienen la misma masa, pero diferente volumen. 100 gr. Corona bamba 100 gr. Corona Real 5,78 cm3 Corona bamba 5,18 cm3 Corona Real

Tienen la misma masa, pero diferente volumen.

El volumen Esta diferencia indicaría al instante si la corona era de oro puro o si contenía un 10 por ciento de cobre (con el desaparecido 10 por ciento en manos del orfebre).

Esta diferencia indicaría al instante si la corona era de oro puro o si contenía un 10 por ciento de cobre (con el desaparecido 10 por ciento en manos del orfebre).

Medir el volumen Todo lo que había que hacer, por consiguiente, era medir el volumen de la corona y compararlo con el volumen del mismo peso de oro puro.

Todo lo que había que hacer, por consiguiente, era medir el volumen de la corona y compararlo con el volumen del mismo peso de oro puro.

Medir Medidas de longitud = largo

Medidas de longitud = largo

Medir Medidas de área = largo X ancho

Medidas de área = largo X ancho

Medir Medidas de volumen = largo X ancho X profundidad

Medidas de volumen = largo X ancho X profundidad

Medir Medidas de longitud = m Medidas de área = m ² Medidas de volumen = m ³ http://w3.cnice.mec.es/recursos/primaria/matematicas/volumen/menu.html

Medidas de longitud = m

Medidas de área = m ²

Medidas de volumen = m ³

Medir Se utiliza el metro (m) para medir las longitudes (una dimensión).

Se utiliza el metro (m) para medir las longitudes (una dimensión).

Medir Se utiliza el metro cuadrado (m2) para medir las áreas (dos dimensiones).

Se utiliza el metro cuadrado (m2) para medir las áreas (dos dimensiones).

Medir Se utiliza el metro cúbico (m3) para medir los volúmenes (tres dimensiones).

Se utiliza el metro cúbico (m3) para medir los volúmenes (tres dimensiones).

Medir el volumen El volumen de un cubo: 3 cm X 3 cm X 3 cm 3 cm X 3 cm X 3 cm = 27 cm³

El volumen de un cubo:

3 cm X 3 cm X 3 cm

3 cm X 3 cm X 3 cm = 27 cm³

Medir el volumen El volumen de un paralelepípedo: 6 cm X 3 cm X 2 cm 6 cm X 3 cm X 2 cm = 36 cm³

El volumen de un paralelepípedo:

6 cm X 3 cm X 2 cm

6 cm X 3 cm X 2 cm = 36 cm³

Medir el volumen El volumen de un cilindro:

El volumen de un cilindro:

Medir el volumen Entonces, repetimos, todo lo que había que hacer era medir el volumen de la corona y compararlo con el volumen del mismo peso de oro puro.

Entonces, repetimos, todo lo que había que hacer era medir el volumen de la corona y compararlo con el volumen del mismo peso de oro puro.

Medir el volumen Las matemáticas de la época permitían medir con facilidad el volumen de muchas formas simples: un cubo, un paralelepípedo, una esfera, un cono, un cilindro...

Las matemáticas de la época permitían medir con facilidad el volumen de muchas formas simples: un cubo, un paralelepípedo, una esfera, un cono, un cilindro...

Medir el volumen Se podía medir el volumen de cualquier objeto aplastado de forma simple y regular y de espesor conocido, etcétera.

Se podía medir el volumen de cualquier objeto aplastado de forma simple y regular y de espesor conocido, etcétera.

El problema de Arquímedes Pero la matemática griega carecía de medios para determinar el volumen de algo con forma tan irregular como una corona.

Pero la matemática griega carecía de medios para determinar el volumen de algo con forma tan irregular como una corona.

El problema de Arquímedes ... ya que aún no se había inventado el cálculo integral (y tardaría casi dos mil años en inventarse).

... ya que aún no se había inventado el cálculo integral (y tardaría casi dos mil años en inventarse).

El problema de Arquímedes Podemos imaginar a Arquímedes dándole al rey una salida al problema...

Podemos imaginar a Arquímedes dándole al rey una salida al problema...

El problema de Arquímedes «Lo único que hace falta, señor, es reducir esa corona a una masa aplastada, formar con ella un cuadrado de espesor uniforme y podré daros enseguida la solución».

«Lo único que hace falta, señor, es reducir esa corona a una masa aplastada, formar con ella un cuadrado de espesor uniforme y podré daros enseguida la solución».

El problema de Arquímedes Al oírlo, Hierón le arrebataría seguramente la corona y le diría...

Al oírlo, Hierón le arrebataría seguramente la corona y le diría...

El problema de Arquímedes «Ni hablar. Eso también puedo hacerlo yo sin necesidad de recurrir a ti. Yo también he estudiado los principios de las matemáticas.

«Ni hablar. Eso también puedo hacerlo yo sin necesidad de recurrir a ti. Yo también he estudiado los principios de las matemáticas.

El problema de Arquímedes Esta corona es una obra de arte sumamente satisfactoria y no permitiré que sea dañada. Limítate a calcular su volumen sin alterarla de ninguna manera».

Esta corona es una obra de arte sumamente satisfactoria y no permitiré que sea dañada. Limítate a calcular su volumen sin alterarla de ninguna manera».

El problema de Arquímedes Arquímedes habría tenido que decir: «No existe ninguna forma conocida, señor, de calcular el volumen sin destruir la corona».

Arquímedes habría tenido que decir: «No existe ninguna forma conocida, señor, de calcular el volumen sin destruir la corona».

El problema de Arquímedes — Entonces, piensa una —diría obstinadamente Hierón.

— Entonces, piensa una —diría obstinadamente Hierón.

El problema de Arquímedes Y Arquímedes debió de ponerse a pensar en ello, sin resultado. Nadie sabe cuánto tiempo pensó, ni con qué intensidad, ni qué hipótesis consideró y desechó...

Y Arquímedes debió de ponerse a pensar en ello, sin resultado. Nadie sabe cuánto tiempo pensó, ni con qué intensidad, ni qué hipótesis consideró y desechó...

Un poco de relajo Lo que sabemos es que, cansado de pensar, Arquímedes decidió visitar los baños públicos para relajarse.

Lo que sabemos es que, cansado de pensar, Arquímedes decidió visitar los baños públicos para relajarse.

Un poco de relajo Los baños griegos eran un lugar de descanso y distracción. Estaría allí la mitad de la aristocracia de la ciudad.

Los baños griegos eran un lugar de descanso y distracción. Estaría allí la mitad de la aristocracia de la ciudad.

Un poco de relajo Allí uno tomaba un baño de vapor, recibía un masaje, hacía ejercicio y cultivaba en general las relaciones sociales.

Allí uno tomaba un baño de vapor, recibía un masaje, hacía ejercicio y cultivaba en general las relaciones sociales.

Un poco de relajo Arquímedes se proponía olvidarse durante un rato de aquella estúpida corona.

Arquímedes se proponía olvidarse durante un rato de aquella estúpida corona.

Un poco de relajo Podemos imaginarle sosteniendo animada conversación, comentando las últimas noticias llegadas de Alejandría y Cartago, los últimos escándalos de la ciudad, los últimos chistes a costa de los hacendados romanos...

Podemos imaginarle sosteniendo animada conversación, comentando las últimas noticias llegadas de Alejandría y Cartago, los últimos escándalos de la ciudad, los últimos chistes a costa de los hacendados romanos...

Un poco de relajo ... y, luego, se introdujo en un buen baño caliente que algún inepto ayudante había llenado hasta el borde.

... y, luego, se introdujo en un buen baño caliente que algún inepto ayudante había llenado hasta el borde.

Un poco de relajo El agua del baño se derramó al introducirse Arquímedes en ella. Arquímedes se recostó y estuvo un rato moviendo los pies sin reparar en el agua derramada.

El agua del baño se derramó al introducirse Arquímedes en ella. Arquímedes se recostó y estuvo un rato moviendo los pies sin reparar en el agua derramada.

Un poco de relajo Pero, se dio cuenta de lo que había lo ocurrido...

Pero, se dio cuenta de lo que había lo ocurrido...

Un poco de relajo Ese hecho, junto a los pensamientos en que su cerebro había estado trabajando durante el período de relajación del pensamiento, dio a Arquímedes, en un golpe de creatividad, la solución que había estado buscando.

Ese hecho, junto a los pensamientos en que su cerebro había estado trabajando durante el período de relajación del pensamiento, dio a Arquímedes, en un golpe de creatividad, la solución que había estado buscando.

¡Lo encontré! Saltando del baño, echó a correr a toda velocidad por las calles de Siracusa.

Saltando del baño, echó a correr a toda velocidad por las calles de Siracusa.

¡Lo encontré! Fue corriendo a su casa. Y ni siquiera se molestó en vestirse.

Fue corriendo a su casa. Y ni siquiera se molestó en vestirse.

¡Lo encontré! La idea de Arquímedes corriendo desnudo a través de Siracusa ha sido motivo de burla.

La idea de Arquímedes corriendo desnudo a través de Siracusa ha sido motivo de burla.

¡Lo encontré! Pero los antiguos griegos tenían una actitud muy desenfadada con respecto a la desnudez.

Pero los antiguos griegos tenían una actitud muy desenfadada con respecto a la desnudez.

¡Lo encontré! Mientras corría, Arquímedes gritaba una y otra vez: «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!» En griego: «iEureka! iEureka!»

Mientras corría, Arquímedes gritaba una y otra vez: «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!» En griego: «iEureka! iEureka!»

¡Lo encontré! La solución de Arquímedes era tan sencilla que cualquiera podía comprenderla... una vez que Arquímedes la explicaba.

La solución de Arquímedes era tan sencilla que cualquiera podía comprenderla... una vez que Arquímedes la explicaba.

El principio de Arquímedes Si un objeto (que no es afectado por el agua de ninguna manera) es sumergido en el agua, tiene que desplazar una cantidad de agua igual a su propio volumen, ya que dos objetos no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo.

Si un objeto (que no es afectado por el agua de ninguna manera) es sumergido en el agua, tiene que desplazar una cantidad de agua igual a su propio volumen, ya que dos objetos no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo.

El principio de Arquímedes Aquí tenemos un objeto irregular y un recipiente con 9 centímetros cúbicos de agua. La cantidad de agua debe ser la suficiente para que el objeto pueda ser sumergido en ella.

Aquí tenemos un objeto irregular y un recipiente con 9 centímetros cúbicos de agua. La cantidad de agua debe ser la suficiente para que el objeto pueda ser sumergido en ella.

El principio de Arquímedes Se introduce el objeto en el recipiente y se mide el desplazamiento de agua que provoca:

Se introduce el objeto en el recipiente y se mide el desplazamiento de agua que provoca:

El principio de Arquímedes Al introducir el objeto al recipiente el agua subió su nivel marcando un volumen de 11 cm3 .

Al introducir el objeto al recipiente el agua subió su nivel marcando un volumen de 11 cm3 .

El principio de Arquímedes Antes de introducirlo el volumen del agua marcaba 9 cm3 por lo que la diferencia de volumen se debe al objeto.

Antes de introducirlo el volumen del agua marcaba 9 cm3 por lo que la diferencia de volumen se debe al objeto.

El principio de Arquímedes V = 11 cm ³ - 9 cm ³ = 2 cm ³

V = 11 cm ³ - 9 cm ³ = 2 cm ³

El principio de Arquímedes El volumen del objeto irregular es de 2 cm ³.

El volumen del objeto irregular es de 2 cm ³.

El principio de Arquímedes Suponga que tiene usted un recipiente lo bastante grande como para contener la corona...

Suponga que tiene usted un recipiente lo bastante grande como para contener la corona...

El principio de Arquímedes ... y suponga, además, que el recipiente se llena de agua exactamente hasta el borde, de tal modo que si el nivel del agua subiese un poco, por poco que fuese, rebosaría enseguida.

... y suponga, además, que el recipiente se llena de agua exactamente hasta el borde, de tal modo que si el nivel del agua subiese un poco, por poco que fuese, rebosaría enseguida.

El principio de Arquímedes Suponga ahora que introduce cuidadosamente la corona en el agua. El nivel del agua se elevaría en una cantidad igual al volumen de la corona, y ese volumen de agua rebosaría y sería recogido en una pequeña vasija.

Suponga ahora que introduce cuidadosamente la corona en el agua. El nivel del agua se elevaría en una cantidad igual al volumen de la corona, y ese volumen de agua rebosaría y sería recogido en una pequeña vasija.

El principio de Arquímedes Después, se sumerge en el agua un pedazo de oro que se sabe que es puro y que tiene un peso exactamente igual al de la corona, y de nuevo se eleva el nivel y el exceso es recogido en una pequeña vasija.

Después, se sumerge en el agua un pedazo de oro que se sabe que es puro y que tiene un peso exactamente igual al de la corona, y de nuevo se eleva el nivel y el exceso es recogido en una pequeña vasija.

El volumen Corona real = 5, 18 cm3 Corona bamba = 5, 78 cm3

Corona real = 5, 18 cm3

Corona bamba = 5, 78 cm3

El principio de Arquímedes Si la corona fuese de oro puro, la cantidad de agua rebosada sería exactamente la misma en cada caso, y serían iguales los volúmenes de agua recogidos en las dos pequeñas vasijas.

Si la corona fuese de oro puro, la cantidad de agua rebosada sería exactamente la misma en cada caso, y serían iguales los volúmenes de agua recogidos en las dos pequeñas vasijas.

El principio de Arquímedes Pero si la corona fuese de una aleación, produciría un volumen de agua rebosada mayor que el producido por el oro puro, y esto sería fácilmente perceptible.

Pero si la corona fuese de una aleación, produciría un volumen de agua rebosada mayor que el producido por el oro puro, y esto sería fácilmente perceptible.

El principio de Arquímedes Es más, la corona no resultaría dañada ni deformada en absoluto, no sufriría ni el más mínimo arañazo.

Es más, la corona no resultaría dañada ni deformada en absoluto, no sufriría ni el más mínimo arañazo.

El principio de Arquímedes Más importante aún, Arquímedes había descubierto el «principio de flotación».

Más importante aún, Arquímedes había descubierto el «principio de flotación».

La corona ¿Y era de oro puro la corona? Tengo entendido que resultó ser una aleación y que el orfebre fue ejecutado.

¿Y era de oro puro la corona? Tengo entendido que resultó ser una aleación y que el orfebre fue ejecutado.

Principio de Arquímedes Pocos descubrimientos se realizan con el pensamiento voluntario. El pensamiento voluntario prepara el terreno... pero el toque final lo da el pensamiento involuntario.

Pocos descubrimientos se realizan con el pensamiento voluntario. El pensamiento voluntario prepara el terreno... pero el toque final lo da el pensamiento involuntario.

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Arquímedes

Serie_Ciencias Naturales_19_a Leonardo Sánchez Coello Barranca – Perú – Marzo de 2008

Anexo - 1 Zona del profesor. El Volumen. Capacidad. CONSIDERACIONES. En el currículo de Matemáticas de la enseñanza primaria se tratan los temas de las medidas de volumen y capacidad . La palabra volumen tiene un significado en el lenguaje ordinario y aquí se pretende perfilar ese significado y cuantificarlo. Se parte de una figura geométrica -el cubo- como elemento fundamental, para dar significado y establecer un patrón de medida.

Zona del profesor.

El Volumen. Capacidad.

CONSIDERACIONES.

En el currículo de Matemáticas de la enseñanza primaria se tratan los temas de las medidas de volumen y capacidad . La palabra volumen tiene un significado en el lenguaje ordinario y aquí se pretende perfilar ese significado y cuantificarlo. Se parte de una figura geométrica -el cubo- como elemento fundamental, para dar significado y establecer un patrón de medida.

La capacidad se asocia al volumen y se identifica con la cantidad de líquido que contiene un recipiente. Por todo esto, el primer paso de este programa consiste en hacer patente la importancia del cubo y adquirir un conocimiento de esta figura, sus elementos y los cuerpos de formas distintas que se pueden obtener con cubos. Conocer el cubo unidad, que es un cubo que tiene una unidad de arista y determinar el volumen de cuerpos formados por cubos.

La capacidad se asocia al volumen y se identifica con la cantidad de líquido que contiene un recipiente.

Por todo esto, el primer paso de este programa consiste en hacer patente la importancia del cubo y adquirir un conocimiento de esta figura, sus elementos y los cuerpos de formas distintas que se pueden obtener con cubos. Conocer el cubo unidad, que es un cubo que tiene una unidad de arista y determinar el volumen de cuerpos formados por cubos.

Se pone un énfasis especial en el conocimiento de los patrones -el metro cúbico- y -el litro- y la equivalencia entre el decímetro cúbico y el litro. La medida, medir algo, es establecer de una forma cuantitativa las variaciones de una magnitud. Para determinar la cantidad de una magnitud realizamos una operación que consiste en "medir". Medir es comparar y este proceso tiene al menos, dos tratamientos: uno matemático y otro físico.

Se pone un énfasis especial en el conocimiento de los patrones -el metro cúbico- y -el litro- y la equivalencia entre el decímetro cúbico y el litro. La medida, medir algo, es establecer de una forma cuantitativa las variaciones de una magnitud. Para determinar la cantidad de una magnitud realizamos una operación que consiste en "medir". Medir es comparar y este proceso tiene al menos, dos tratamientos: uno matemático y otro físico.

En cuanto al tratamiento matemático, en este programa y en las actividades que lo conforman, vamos a huir de reducir el proceso numérico de medida al meramente numérico de contar, en este caso cubitos, cosa que suele ocurrir cuando se pierde de vista que la medida -salvo en el caso del dinero- es un proceso continuo en el que la unidad puede, teóricamente, subdividirse más y más según la precisión deseada; tampoco nos limitaremos a aplicar unas formulas de los volúmenes de las figuras geométricas. Medir presupone mucho más. Y esto debe ser considerado como importante en la educación primaria. Las cuestiones a tratar son:

En cuanto al tratamiento matemático, en este programa y en las actividades que lo conforman, vamos a huir de reducir el proceso numérico de medida al meramente numérico de contar, en este caso cubitos, cosa que suele ocurrir cuando se pierde de vista que la medida -salvo en el caso del dinero- es un proceso continuo en el que la unidad puede, teóricamente, subdividirse más y más según la precisión deseada; tampoco nos limitaremos a aplicar unas formulas de los volúmenes de las figuras geométricas. Medir presupone mucho más. Y esto debe ser considerado como importante en la educación primaria.

Las cuestiones a tratar son:

*El concepto de volumen como un atributo de medida. *La conservación del volumen y su relación con la forma. *El conocimiento del patrón, el metro cúbico. *La forma en la que puede medirse. El alumno quizás asocie la acción de medir a los aparatos de medida y tiene que salvar la dificultad de medir volúmenes con los aparatos que utiliza para medir longitudes. *Confusión entre el volumen, la superficie y la capacidad.

*El concepto de volumen como un atributo de medida.

*La conservación del volumen y su relación con la forma.

*El conocimiento del patrón, el metro cúbico.

*La forma en la que puede medirse. El alumno quizás asocie la acción de medir a los aparatos de medida y tiene que salvar la dificultad de medir volúmenes con los aparatos que utiliza para medir longitudes.

*Confusión entre el volumen, la superficie y la capacidad.

*Las cuestiones derivadas de la aplicación de fórmulas para el cálculo de volúmenes de las figuras geométricas carentes de significado. *Descubrir algún procedimiento para la determinación del volumen de objetos de la vida cotidiana sin forma geométrica, que son una mayoría. En relación al tratamiento físico de la medida, se trata en esta serie de requerimientos tales como: una apreciación previa de la medida, una estimación de ésta, el acto físico de medir y un procedimiento de medida. Esto conlleva el entrenamiento en cada una de estas actividades. http://w3.cnice.mec.es/recursos/primaria/matematicas/volumen/zonaprofesor/ consideraciones.html

*Las cuestiones derivadas de la aplicación de fórmulas para el cálculo de volúmenes de las figuras geométricas carentes de significado.

*Descubrir algún procedimiento para la determinación del volumen de objetos de la vida cotidiana sin forma geométrica, que son una mayoría.

En relación al tratamiento físico de la medida, se trata en esta serie de requerimientos tales como: una apreciación previa de la medida, una estimación de ésta, el acto físico de medir y un procedimiento de medida. Esto conlleva el entrenamiento en cada una de estas actividades.

Anexo 2 ¿Cómo se mide el volumen sumergido y el volumen total? Cuando la botella está en equilibrio, con ayuda de un vaso estrecho o una copa, mantenemos la botella vertical sin ejercer ninguna fuerza hacia abajo. Con un rotulador resistente al agua trazaremos una raya que señale el nivel al que llega el agua. Ahora es fácil medir el volumen sumergido. Después vaciamos la botella, la llenamos de agua hasta la marca que hemos hecho y medimos el volumen de agua en una probeta o vaso graduado. La botella estaba sumergida 0,35 litros = 350 mililitros. Si medimos el volumen de la botella entera podremos cuantificar la relación de ambos volúmenes: volumen sumergido / volumen total http://museovirtual.csic.es/profesores/flotacion/f4.htm

¿Cómo se mide el volumen sumergido y el volumen total?

Cuando la botella está en equilibrio, con ayuda de un vaso estrecho o una copa, mantenemos la botella vertical sin ejercer ninguna fuerza hacia abajo. Con un rotulador resistente al agua trazaremos una raya que señale el nivel al que llega el agua. Ahora es fácil medir el volumen sumergido. Después vaciamos la botella, la llenamos de agua hasta la marca que hemos hecho y medimos el volumen de agua en una probeta o vaso graduado.

La botella estaba sumergida 0,35 litros = 350 mililitros. Si medimos el volumen de la botella entera podremos cuantificar la relación de ambos volúmenes: volumen sumergido / volumen total

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