Repaso de Sistemas Numéricos y Códigos

Tema 2: Representación de la información
Sistemas numéricos
Sistemas de numeración y cambio de base
Aritmética binaria
Sistemas de codificación y representación de los números
Codificación binaria
Representación binaria de datos e instrucciones
Características de los espacios de representación
Aspectos de los sistemas de representación
Sistemas alfanuméricos
Características de los códigos
Principales sistemas d codificación
Códigos redundantes
Características de los códigos
Códigos detectores
Códigos correctores
Contenido v 3.0

Sistemas de numeración y cambio de base
Un sistema de numeración en base b utiliza para representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos o cifras
Ejemplos:
b = 10 ( decimal ) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b = 16 ( hexadecimal ) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
b = 2 ( binario ) {0,1}
El número se expresa mediante una secuencia de cifras:
N  ... n 4 n 3 n 2 n 1 n 0 n -1 n -2 n -3 ...
El valor de cada cifra depende de la cifra en sí y de la posición que ocupa en la secuencia
1. Sistemas numéricos 1/24

El valor del número se calcula mediante el polinomio:
N  ...+ n 3 ·b 3 + n 2 ·b 2 + n 1 ·b 1 +n 0 · b 0 +n -1 ·b -1 ...
Ejemplos:
3278,52 10 = 3 · 10 3 + 2 · 10 2 + 7 · 10 1 +
+ 8 · 10 0 + 5 · 10 -1 + 2 · 10 -2
175,372 8 = 1· 8 2 + 7 · 8 1 + 5 · 8 0 + 3 · 8 -1 +
+ 7 · 8 -2 + 2 · 8 -3 = 125,4882812 10
Sistemas de numeración y cambio de base 1. Sistemas numéricos 2/24 2/4

Conversión decimal - base b
Método de divisiones sucesivas entre la base b
Para números fraccionarios se realizan multiplicaciones sucesivas por la base b.
Consideración de restos mayores que 9 y Error de truncamiento
Ejemplos:
26 10 = 11010 2 0,1875 10 = 0,0011 2 26,1875 10 = 11010,0011 2 1. Sistemas numéricos 3/24 Sistemas de numeración y cambio de base 3/4

b = 2 ( binario ) {0,1} 110100 2 = (1· 2 5 ) + (1· 2 4 ) + (1 · 2 2 ) = = 2 5 + 2 4 + 2 2 = 32 + 16 + 4 = 52 10 0,10100 2 = 2 -1 + 2 -3 = (1/2) + (1/8) = 0,625 10 10100,001 2 = 2 4 + 2 2 + 2 -3 = 16 + 4 +(1/8) = 20,125 10
Ejemplos:
Decimal Binario Números binarios del 0 al 7
Rango de representación : Conjunto de valores representable. Con n cifras en la base b podemos formar b n combinaciones distintas. [0..b n -1]
Sistema de numeración en base dos o binario
1. Sistemas numéricos 4/24 Sistemas de numeración y cambio de base 4/4 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111

Operaciones básicas
1. Sistemas numéricos 5/24 Aritmética binaria A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 (1) A B A*B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B A – B 0 0 0 0 1 1 (1) 1 0 1 1 1 0 A B A/B 0 0 -- 0 1 0 1 0 -- 1 1 1

Ejemplos
Sumas y restas
Multiplicaciones
División
1. Sistemas numéricos 6/24 Aritmética binaria 2/2

Octal
b = 8 ( octal ) {0,1,2,3,4,5,6,7}
Correspondencia con el binario
8 = 2 3  Una cifra en octal corresponde a 3 binarias 10001101100.11010 2 = 2154.64 8
Ejemplos
537.24 8 = 101011111.010100 2
Conversión Decimal - Octal
760.33 10  1370.2507 8 1. Sistemas numéricos 7/24 Sistemas de codificación y representación de números

Hexadecimal
b = 16 ( hexadecimal ) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,}
Correspondencia con el binario
16 = 2 4  Una cifra en hexadecimal corresponde a 4 binarias 1. Sistemas numéricos 8/24 Sistemas de representación y codificación de números 2/18 Hexadecimal Decimal Binario 0 0 0000 1 1 0001 2 2 0010 3 3 0011 4 4 0100 5 5 0101 6 6 0110 7 7 0111 8 8 1000 9 9 1001 A 10 1010 B 11 1011 C 12 1100 D 13 1101 E 14 1110 F 15 1111

Ejemplos
10010111011111.1011101 2 = 25DF.BA H 4373.79 10  1115.CA3D 16
Conversión Decimal - Hexadecimal
1. Sistemas numéricos 9/24 Sistemas de representación y codificación de números 3/18 273 5 53 117 4373 17 113 16 16 1 16 1 1

Código no ponderado, contínuo y cíclico
Basado en un sistema binario
Dos números sucesivos sólo varían en un bit
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 3 1 1 0 0 1 1 0 4 1 1 1 0 1 1 1 5 1 0 1 0 1 0 1 6 1 0 0 0 1 0 0 7 1 1 0 0 8 1 1 0 1 9 1 1 1 1 10 1 1 1 0 11 1 0 1 0 12 1 0 1 1 13 1 0 0 1 14 1 0 0 0 15 2 bits 3 bits 4 bits Decimal 1. Sistemas numéricos 10/24 Sistemas de representación y codificación de números 4/18
Código Gray

Conversión Binario - Gray
A partir del primer bit sumamos el bit binario que queremos obtener con el de su izquierda
Conversión Gray - Binario 1. Sistemas numéricos 11/24 Sistemas de representación y codificación de números 5/18 1 1 0 1 1 + + + + 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 Binario  1 1 + 0 1 1 0  1 1 1 0 + 1 1 0  1 1 1 1 0 1 + 1 0  1 1 1 0 1 0 1 1 + 0  1 1 1 0 1 Gray

Código BCD - Binary Coded Decimal
Dígitos decimales codificados en binario
Ejemplo
9 8 3 2 5 10 = 1001 1000 0011 0010 0101 BCD -natural
BCD natural tiene pesos 8421
BCD Aiken tiene pesos 2421
9 8 3 2 5 10 = 1111 1110 0011 0010 1011 BCD -Aiken 1. Sistemas numéricos 12/24 Sistemas de representación y codificación de números 6/18

Representación de números enteros
Es necesario la representación del signo
Se utiliza una cantidad determinada de bits (n)
Signo y magnitud (SM)
El signo se representa en el bit más a la izquierda del dato. Bit (n-1)
En el resto de los bits se representa el valor del número en binario natural. Bits (n-2)..0
Doble representación del 0.
n = 6 10 10 = 001010 SM -4 10 = 100100 SM n = 4 -7 10 = 1111 SM -14 10 = no representable 0 10 = 000000 SM 0 10 = 100000 SM 1. Sistemas numéricos 13/24 Sistemas de representación y codificación de números 7/18

Complemento a la base menos uno
Los valores positivos se representan en SM.
Los valores negativos se obtienen restando la magnitud del número a la base menos uno.
Convierte las restas en sumas.
Doble representación del 0.
Ejemplos Base 10
-63 10 = 9 3 6 C9  9 36 = 9 99 - 63 -16 10 = 9 83 C9  9 83 = 9 99 - 16 -16 10 = 9983 C9  9983 = 9999 - 16 n = 3 n = 4 Operación: 77 - 63 + 936 C9 077 C9 014 C9 (1)013 + 1 1. Sistemas numéricos 14/24 Sistemas de representación y codificación de números 8/18 14 77 -63

Base 2 C 1 de -10010 2 = 1 01101 C1 C 1 de -100111 2 = no representable C 1 de 0 = {00 0 000 C1 , 1 1 1111 C1 } n = 6 Operación: 1000111 2 - 10010 2
Se intercambian ceros por unos y unos por ceros
Rango : [-2 n-1 + 1, 2 n-1 - 1]
Ejemplos:
Restando en binario natural Sumando en C1 (n=8)c 1. Sistemas numéricos 15/24 Sistemas de representación y codificación de números 9/18 111111 - 010010 101101 1000111 2 - 0010010 2 0110101 2 01000111 C1 (1)00110100 11101101 C1 + 1 + 00110101 C1

Complemento a la base
Los valores positivos se representan en SM.
Los valores negativos se obtienen restando la magnitud del número a la base menos uno y posteriormente sumar uno a la dicha cantidad
Convierte las restas en sumas.
Ejemplos Base 10
-63 10 = 9 37 C10  9 37 = ( 9 99 - 63) + 1 - 16 10 = 9 84 C10  9 84 = ( 9 99 - 16) + 1 -16 10 = 9984 C10  9984 = (9999 - 16) + 1 n = 3 n = 4 Operación: 77 - 63 El acarreo , si existe, no se considera 1. Sistemas numéricos 16/24 Sistemas de representación y codificación de números 10/18 + 937 077 ( 1)014

Base 2 C 2 de -10010 2 = 1 01110 C2 n = 6 Operación: 11001 2 - 10010 2 = 111 2
Se intercambian los ceros y los unos y se suma uno
Rango : [-2 n-1 , 2 n-1 - 1]
Ejemplos:
C 2 de -1110010 2 = no representable El acarreo no se considera Operando en C2 (n=6) 1. Sistemas numéricos 17/24 Sistemas de representación y codificación de números 11/18 111111 - 010010 101101 C1 + 1 101101 101110 C2 011001 C2 101110 C2 (1)000111 C2 +

Representación sesgada
La representación se obtiene sumando un sesgo o cantidad al valor del número
El sesgo suele ser: 2 n-1
Rango : [-2 n-1 , 2 n-1 - 1]
Ejemplos Base 2
n = 8  Sesgo = 2 8-1 = 128 10 = 1000 0000 2 11010 2 = 10011010 S - 11010 2 = 01100110 S 0 2 = 1000 0000 S n = 4  Sesgo = 2 4-1 = 8 10 = 1000 2 1 2 = 1001 S -1 2 = 0111 1. Sistemas numéricos 18/24 Sistemas de representación y codificación de números 12/18

Estándar IEEE 754
B = 2
Representación s e m
n = ns + ne + nm
Ejemplos:
Representación de los números reales
Representación en coma fija
Representación en coma flotante
N = (-1) s M · B E N  Valor numérico M  Mantisa s  signo B  Base E  Exponente 1.234535 · 10 3 = 1234.535 · 10 0 = 0.1234535 · 10 4 = 123453.5 · 10 -2 = 0.0001234535 · 10 7 ns : cantidad de bits para el signo ne : cantidad de bits para el exponente nm : cantidad de bits para la mantisa 1. Sistemas numéricos 19/24 Sistemas de representación y codificación de números 13/18

Estándar IEEE 754
Campo de signo
0  + 1  -
Representación sesgada
Sesgo S = 2 ne-1 -1
Ejemplos:
ne = 8  S = 2 ne-1 -1 = 127 = 0111 1111
Campo de l exponente
1. Sistemas numéricos 20/24 Sistemas de representación y codificación de números 14/18

Estándar IEEE 754
Campo de mantisa
Normalización 1  M < 2
M = [1.m ] donde m es el valor que se almacena
Ejemplos de normalización
N1 = 1001.1100110 · 2 -5 1. 0011100110 · 2 -2 N2 = 0.000001101101 · 2 34 1. 101101 · 2 28
Ejercicio
n = 16 bits ne = 8 bits N = 1001 1111 0001 1101 s = 1  N<0 e = 0011 1110  E = -65 m = 001 1101  M = 1.0011101 2 N = -1.2265625 · 2 -65 = -3,32440346980633 · 10 -20 1. Sistemas numéricos 21/24 Sistemas de representación y codificación de números 15/18

Situaciones especiales
e = 0  mantisa denormalizada
Sesgo = 2 ne-1 -2 E = e - S = -2 ne-1 + 2
(e = 0)  (m = 0)  N = 0
(e = 11...1)  (m = 0)  N = 
(e = 11...1)  (m  0)  N = NaN
Redondeo
Exceso, defecto, más cercano, al par
Ejemplo redondeo al par

Valores límite
Números normalizados
|b| = M max 2 Emax M max = 2 - 2 -nm E max = 2 ne-1 -1 |a| = M min 2 Emin M min = 1 E min = -(2 ne-1 -2)
Números denormalizados
|a’| = M’ min 2 E’min M’ min = 2 -nm E’ min = -(2 ne-1 -2) 1. Sistemas numéricos 23/24 Sistemas de representación y codificación de números 17/18

Valores límite
Si |N| > |b|  desbordamiento a infinito OVERFLOW
Si |N| < |a’|  desbordamiento a cero UNDERFLOW
Precisión
Simple precisión
n = 32 bits, ne = 8 bits, nm = 23 bits
Doble precisión
Doble precisión extendida
Consideraciones
Números excesivamente pequeños
Números excesivamente grandes
Comparación de números

Representación binaria de datos e instrucciones 2. Codificación binaria 1/10
Magnitudes
Analógicas : toma valores continuos
Digitales : toma un conjunto de valores discreto
Ventajas sistemas digitales frente sistemas analógicos
Más sencillos y económicos
Más seguridad y precisión
Fácil almacenamiento de la información
Más resistentes al ruido e interferencias
Posibilidad de tratar información no numérica
Inconvenientes sistemas digitales frente sistemas analógicos
La mayoría de las magnitudes físicas son de tipo analógico
Necesidad de etapas CAD/CDA

Representación binaria de datos e instrucciones 2. Codificación binaria 2/10 2/2
Sistema digital binario
Representación de las magnitudes en base 2
Estados de un interruptor [ENCENDIDO, APAGADO]
Los dígitos {0, 1} corresponden con niveles de tensión eléctrica.
Nivel alto Nivel bajo Niveles lógicos de la familia tecnológica TTL 0 V 0,8 V 2,4 V 5 V

Características de los espacios de representación 2. Codificación binaria 3/10
Elementos que lo componen
Condicionantes
Cantidad de estados representables
Cantidad de elementos representables
Tamaños predefinidos en las unidades del computador
Tamaños predefinidos en la comunicación entre unidades del computador
BIT Byte = 8 bits Palabra 1 KiloByte (KB) = 2 10 Bytes = 1024 Bytes 1 MegaByte (MB) = 2 20 Bytes = 1024 KB 1 GigaByte (GB) = 2 30 Bytes = 1024 MB 1 TeraByte (TB) = 2 40 Bytes = 1024 GB 1 PetaByte (PB) = 2 50 Bytes = 1024 TB
Unidades de codificación

Aspectos de los sistemas de codificación 2. Codificación binaria 4/10
Coste de traducción
Coste de almacenamiento
Coste de procesamiento
Robustez y tolerancia a fallos

Características de los códigos 3. Sistemas alfanuméricos 5/10
Compuesta por caracteres
Cantidad de bits dedicados a representar cada carácter
Codificación de cada carácter
Separación de cadenas
Cadenas de longitud fija
Cadenas de longitud variable

Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos 6/10
Código ASCII

Código ASCII
2/5

Código EBCDIC
3/5

Código EBCDIC
4/5

Consideración de los distintos alfabetos: griego, latín árabe, ...
Estándar Unicode: emplea 2 bytes por carácter. Abarca los alfabetos de los idiomas escritos de América, Europa, Oriente Medio, África, India, Asia y el Pacífico
Página de códigos especial
Ejemplos:
862 hebreo
1251 cirílio
Principales sistemas de codificación 3. Sistemas alfanuméricos 10/10 5/5

Características de los códigos 4. Códigos redundantes 1/7
Objetivo : salvaguardar la información ante posibles errores
Se añade una información adicional a cada dato
Tipos:
Códigos detectores
Códigos correctores

4. Códigos redundantes 2/7 Códigos detectores
Código de paridad
Añade a cada dato un bit de paridad
Permite detectar un error en un bit
Paridad par, paridad impar
‘ H’ 01001000 0 ‘ O’ 01001111 1 ‘ L’ 01001100 1 ‘ A’ 01000001 0 Bit de paridad

4. Códigos redundantes 3/7 Códigos correctores
Permiten detectar errores en más de un bit
El código debe ser capaz de indicar los bits erróneos
Ejemplos:
Códigos de paridad múltiple
Código Hamming
Códigos polinomiales (CRC)

4. Códigos redundantes 4/7 Códigos correctores
Código Hamming
Distancia Hamming entre dos vectores: es el número de bits en el que toman valores diferentes.
Ej. Distancia Hamming 2
c1=0101 y c2 = 1100
Distancia de un código es la mínima distancia Hamming entre todas las posibles combinaciones distintas del código.
Teorema: Si la distancia de un código es d, entonces podemos detectar errores que afecten a d-1 bit.
Teorema : Si la distancia de un código es d , entonces es posible detectar y corregir los errores que afecten a t bits según la siguiente expresión:
d = 2·t+1
1/4

Números naturales 0..15 codificados en binario con 4 bit.
4. Códigos redundantes 5/7 Códigos correctores Ejemplos:
Distancia del código: 1
No es posible detectar ni corregir ningún error en los bit.
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2/4

4. Códigos redundantes 6/7 Códigos correctores Ejemplos:
Números naturales 0..15 codificados en binario con 4 bit con bit de paridad par.
Es posible detectar errores en un bit.
No es posible corregir ningún error.
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3/4

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4. Códigos redundantes 7/7 Códigos correctores
Código Hamming de los 15 primeros números naturales
Ejemplos: p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 p 1 : paridad par de p 3 , p 5 y p 7 p 2 : paridad par de p 3 , p 6 y p 7 p 4 : paridad par de p 5 , p 6 y p 7
Es posible detectar errores en dos bit.
Es posible corregir errores en un bit.
4/4

http://www.indoamerica.edu.ec	46
http://www.slideshare.net	32
http://educacionvirtual.uta.edu.ec	4
http://campus.profesoresparaelfuturo.com	2
http://www.moodlenet.com.ar	1

Repaso de Sistemas Numéricos y Códigos

by Mario Bressano on Oct 23, 2008

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