Aproximación de números decimales
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  • 1. APROXIMACIÓN DE UNNÚMERO DECIMALOBJETIVO (TAREAS ESPEFICICAS MATEMÁTICAS):  APROXIMAR NÚMEROS DECIMALES.  RECONOCER CONCEPTO DE NÚEMRO DECIMAL.  ANALIZAR SIGNIFICATIVIDAD DE LAS CIFRAS EN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.  TRUNCAR NÚMEROS DECIMALES.  APROXIMAR NÚMEROS DECIMALES.  ANALIZAR LAS LIMITACIONES DE LAS CALCULADORAS EN RELACIÓN CON TRUNCAR Y APROXIMAR DECIMALES.CONTENIDOS:  NÚMEROS RACIONALES  NÚMEROS DECIMALES  APROXIMACIONES NUMÉRICAS  OPERATORIA CON NÚMEROS RACIONALES NOMBRE: __________________________________ CURSO:______FECHA:_____________
  • 2. LEE EL SIGUIENTE PROBLEMA: Una empresa de productos en conserva debe etiquetar 30.000 tarros para un nuevo producto que lanzará al mercado. Las etiquetas deben quedar a 0,2 cm de las bases del tarro y cubrir de la manera más exacta posible la superficie que muestra la figura. Sí el radio de la base del tarro mide 4 cm y el alto del tarro es 12 cm, ¿qué dimensiones deben tener las etiquetas? Como la etiqueta debe quedar a 0,2 cm de las bases del tarro, elancho debe ser: 12 cm – 2 cm – 0,2 cm = 12 cm – 0,4 cm = 11,6 cmPara saber el largo de las etiquetas, debemos calcular el perímetro de una de las bases:P = 2 ·  · 4 cm = 8 cm. Pero como el número  es igual a 3,14159265... y es un número infinito no periódico, sellama número IRRACIONAL, y aproximaremos su valor a 3,142.Entonces P = 8 cm = 8 · 3,142 cm = 25,136 cm. Entonces, el largo de la etiqueta seráaproximadamente 25,136 cm. En esta y en situaciones que requieren diferentes cálculos y donde debemos utilizarnúmeros decimales que tienen muchas o infinitas cifras decimales, se hace necesarioaproximar. Para no efectuar cálculos engorrosos y siempre que la precisión que requiere lasituación lo permita, se opta por trabajar solamente con algunas cifras decimales. Definición Aproximar un número decimal x por otro número y es sustituir x por y de modo que el reemplazo facilite las operaciones o la comprensión de algún problema matemático, sin que se pierda la esencia del problema.Con esta definición podemos enunciar las condiciones necesarias para que un número sea unaaproximación decimal:Condición necesaria 1 Condición necesaria 2Ser un número que sustituye a un número Continúa con la esencia del númerodecimal. aproximado, pero tiene menos dígitos que el.
  • 3. CARACTERICEMOS A LAS APROXIMACIONESPara aproximar un numero decimal se pueden utilizar dos técnicas una ellas es de truncar elnúmero y al otra es la de redondear el numero Definiciones Truncar un número decimal a una cifra determinada n, es considerar iguales a cero a todas las cifras que siguen hacia la derecha de n. Redondear un número decimal a una cifra determinada n, es considerar una cantidad n de cifras y : Si la cifra que está a la derecha de n es mayor o igual a cinco, se agrega una unidad a n y se elimina el resto de las cifras. Si no, se mantiene igual n y se elimina el resto de las cifras. En ambos casos diremos que x es el valor exacto y que y es el valor aproximado de x. Notación: x y Lo que se lee: “X es aproximadamente y”Observaciones:“Redondear un número con n cifras significativas quiere decir aproximarlo a un número con untotal de n cifras”“Redondear un número con n decimales exactos significativas quiere decir aproximarlo a unnúmero con un total de n cifras después de la coma”
  • 4. ANALICEMOSA continuación se muestran ejemplos de aproximaciones decimales.Caso 1 Es una aproximación de un número decimal En efecto, al redondear 72,36 a una cifra, nos queda 72,4 (porque al 3 le sigue 6 que esmayor que cinco)El cual es un número que sustituye a un número decimal y no modifica laesencia del número aproximado.Caso 2 Es una aproximación de un número decimalEn efecto, al redondear 7,462 a dos cifras, nos queda 7,46 (porque al 6 le sigue 2 que es menorque 5). El cual es un número que sustituye a un número decimal y no modifica la esencia delnúmero aproximadoCaso 3 Es una aproximación de un número decimal En efecto, al truncar 7,462 a una cifra, nos queda 7,4. El cual es un número quesustituye a un número decimal y no modifica la esencia del número aproximado A continuación se presentan dos casos de números que no son aproximaciones denúmeros decimales.Caso 1 7,35689 no es una aproximación del numero decimal 9,8765 Ya que el numero que sustituye al aproximado modifica la esencia de este.Caso 2 7,35869 no es una aproximación del numero decimal 7,3 Ya que el numero que se sustituye debe tener menos números decimales que elaproximado.
  • 5. ANTES DE SEGUIR… ….Dos cosillas a considerar… ¿Qué es mejor redondear o truncar? Nota que en algunos casos, el truncamiento dará el mismoresultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo losdígitos, meramente los corta en el dígito especificado. Cuando hacemos una aproximación numérica por redondeo o truncamiento, siempreexistirá un error, porque los cálculos no son exactos. Pero el error de truncamiento puede serhasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.APROXIMACIÓN POS DEFECTO Y POR EXCESO Una aproximación se llama por defecto, si el valor aproximado es menor que el valorexacto y se llama por por exceso, si es mayor que el valor exacto. ILUSTREMOS LO ANTERIOR CON UN EJEMPLO… Cuando x es un número cercano a cero, 1 2 x es unaaproximación de: (1  x) 2 1  2 x  (1  x) 2  1  2 x  x 2 En este tipo de aproximación se utiliza el hecho que las potencias de exponente enterode un número positivo y menor que 1 son menores que el número. En particular, en este casono se considera x 2. Por lo tanto, la aproximación es menor que el valor exacto por lo tanto es una 2aproximación por defecto y el error es x .
  • 6. ¡Demuestra lo aprendido!Aprendizaje esperado asociado al concepto:“Análisis de la significatividad de las cifras en la resolución de problemas. Conocimiento sobrelas limitaciones de las calculadoras en relación con truncar y aproximar decimales.”Competencia ítem 1:“Analizar las limitaciones de las calculadoras en relación con truncar y aproximar decimales” Ítem 1: Multiplica 0,0056 por 1,3456934 en tu calculadora. Programa tu calculadora en el modo “fix”, e ingresa que el número de decimales entregado sea dos. Vuelve a multiplicar los números y compara los dos resultados. ¿Qué puedes decir? a) Que los resultados entregados son iguales. b) Que coinciden en los dos decimales. c) Que si redondeamos el primer resultado en dos cifras nos resulta el segundo resultado. d) Que si truncamos el primer resultado a dos cifras nos resulta el segundo resultado. e) N. A.Competencia ítem 2:“Distinguen entre truncar y aproximar un numero decimal”Ítem 2:¿Cuál de los siguientes números representa un truncamiento a tres cifras de  ? a) 3,1415 b) 3,141 c) 3,142 d) 3,149 e) 3,14
  • 7. Competencia ítem 3:“Simplifican la resolución de problemas al aproximar las cifras decimales.”Ítem 3:El volumen de un cubo se obtiene elevando al cubo la medida de su arista.Si la arista mide 12,325 cm. Calcula el volumen del cubo redondeando la arista ados decimales. a) 1829,276567 b) 1829,27 c) 1833,76 d) 1833,767424 e) N.A.Competencia ítem 4:“Análisis de la significatividad de las cifras en la resolución de problemas.”Ítem 4:En un torno se requiere gran exactitud para el desgaste de las piezas de aceroque luego formara parte de una maquina o de un vehículo. Se necesita fabricaruna pieza cilíndrica cuyo radio puede medir desde 1,23 a 1,1236 cm. Se deberátrabajar cuidadosamente, pues sí el radio no resulta con las medidas indicadashabrá problemas e la construcción. Según los datos dados, ¿Con cuántas cifras leconviene trabajar al maestro tornero? a) Sin cifras decimales. b) Con una cifra decimal c) Con dos cifras decimales d) Con tres cifras decimales e) Faltan datos RECUERDA NO ALMACENAR TUS DUDAS AMPOLLETIN