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POLINOMIOS

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  • 1. LA CLASE VIRTUAL POLINOMIOS
  • 2. POLINOMIOS
    • Dados el número natural n y los n+1 números reales o complejos a 0 ,a 1 ,…,a n (los llamados coeficientes ) se define el polinomio p en la variable x como la función que hace corresponder al valor que tome x el valor
    • p(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n
    • Se dice que los polinomios p y q son idénticos si
  • 3. POLINOMIOS
    • Se dice que el grado del polinomio p es n cuando a n es distinto de cero. El polinomio idénticamente nulo 0 carece de grado. Todos sus coeficientes valen cero y se verifica que
    • Dos polinomios p y q son idénticos cuando coinciden sus coeficientes, esto es, p-q=0.
    • A veces se habla del polinomio p(x), entendiendo que se refiere al polinomio p
  • 4. POLINOMIOS
    • La suma de los polinomios p y q es el polinomio r de modo que
    • Sumar polinomios equivale sumar los coeficientes que afectan a la misma potencia de x.
  • 5. POLINOMIOS
    • El producto de los polinomios p y q es el polinomio s de modo que
    • Nótese que el grado del polinomio suma r es a lo sumo el máximo de n y m.
  • 6. POLINOMIOS
    • Análogamente el grado del polinomio producto s es a lo sumo m+n.
    • El cociente de dos polinomios no siempre es otro polinomio. Cuando el cociente f/g del polinomio f y el polinomio g es otro polinomio se dice que g divide a f o que f es múltiplo de g.
    • La división por el polinomio nulo no está permitida.
  • 7. POLINOMIOS
    • En general la división de un polinomio f dividendo por un polinomio g divisor origina un polinomio cociente q y un polinomio resto r, de modo que
      • 1º f=qg+r, o lo que es lo mismo,
      • 2º El grado de r es menor que el grado de g o bien r es nulo.
    • Nota: f/g es un polinomio si y sólo si r=0.
  • 8. POLINOMIOS
    • Ejemplo :
  • 9. POLINOMIOS
    • El máximo común divisor de f y g (abreviadamente m.c.d.) es el divisor común de mayor grado con a n =1.
    • El mínimo común múltiplo de f y g (abreviadamente m.c.m.) es el múltiplo común de menor grado con a n =1.
    • Se dice que f y g son primos entre sí si el máximo común divisor es el polinomio constante unidad.
  • 10. POLINOMIOS
    • El algoritmo euclidiano permite obtener el mcd de f y g de un modo sencillo:
    • 1º f=qg+r
    • 2º g=q´r+r´
    • 3º r=q´´r´+r´´ …
    • hasta que el resto sea nulo.
    • El último resto no nulo es el m.c.d. de f y g.
  • 11. POLINOMIOS
    • Ejemplos :
      • El m.c.d. de x 4 -3x 2 +2 y x 4 +x 3 -x-1 es x 2 -1
      • El m.c.m de x 2 -9 y x 2 -5x+6 es (x-3)(x+3)(x+2)
      • Los polinomios 8x 3 -10x 2 -x+3 y 2x 3 -5x 2 -x+6 son primos entre sí.
  • 12. POLINOMIOS
    • El teorema fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio p de grado n tiene al menos un cero, esto es, la ecuación p(x)=0 admite al menos una solución (real o compleja).
    • Teorema : Es  un cero de p si y sólo si p(x) es divisible por x-  .
  • 13. POLINOMIOS
    • Se justifica el teorema ya que siendo p(x)=q(x)(x-  )+r con r polinomio constante o nulo, si p(x) es divisible por x-  debe ser r nulo, esto es, p(x)=q(x)(x-  ) por lo que p(  )=q(  )(  -  ) =0 y  es un cero de p; recíprocamente, si  es un cero de p es p(  )=0, luego 0=q(  )(  -  )+r y de aquí r=0, esto es, p(x) es divisible por x-  .
  • 14. POLINOMIOS
    • Si  es un cero de p el polinomio p se puede factorizar de la forma
    • p(x)=q(x)(x-  )
    • donde (x-  ) es un factor lineal y el grado de q una unidad inferior al grado de p. Se podría volver a factorizar q y así sucesivamente hasta llegar a la descomposición en factores lineales de p p(x)=a n (x-   ) (x-   ) (x-   )... (x-  n )
  • 15. POLINOMIOS
    • Los n ceros obtenidos (repetidos o no)   ,   ,    n son ceros del polinomio p de grado n. Cuando los coeficientes del polinomio p son reales y p posee un cero imaginario de la forma a =a+ib entonces también el conjugado a-ib es un cero de p. En este caso se pueden agrupar los dos factores lineales (x-(a+ib))(x-(a-ib)) en un factor cuadrático de la forma (x 2 +cx+d).
  • 16. POLINOMIOS
    • Si   ,   ,    k son los ceros distintos del polinomio p de grado n, con multiplicidades respectivas m 1 ,m 2 ,m 3 ... m k se puede factorizar p de la forma:
    • Se puede probar que si  es un cero de p de multiplicidad m, mayor que la unidad, también  es un cero de las derivadas sucesivas, hasta el orden de derivación m-1.
  • 17. POLINOMIOS
    • La regla de Ruffini se puede utilizar para:
      • 1º Hallar p(  ), donde p es un polinomio y  un valor numérico cualquiera
      • 2º Hallar el cociente y el resto de la división del polinomio p(x) y el polinomio x- 
      • 3º Transformar un polinomio p(x) en un polinomio q(y), mediante la sustitución y=x-  . En este caso hay que apoyarse en el desarrollo de Taylor.
  • 18. POLINOMIOS
    • Ejemplo : División de p(x)=5x 4 +10x 3 +x-1 por x+2. Aquí se tiene  =-2.
    • El cociente de la división de p(x) por (x+2) es 5x 3 +1 y el resto -3, precisamente el valor de p(-2). Se tiene p(x)= (5x 3 +1 )(x+2)-3
  • 19. POLINOMIOS
    • Ejemplo : El desarrollo de Taylor del polinomio p(x)=5x 4 +10x 3 +x-1 en x=-2 es
    • Los valores de p y de sus derivadas son calculables por Ruffini en x=-2, llegando a
    • p(x)=5(x+2) 4 -30(x+2) 3 +60(x+2) 2 -39(x+2)-3