• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Transformada de Laplace ejercicios resueltos
 

Transformada de Laplace ejercicios resueltos

on

  • 169,056 views

estos documentos, son creados para que sean de divulgación pública

estos documentos, son creados para que sean de divulgación pública

Statistics

Views

Total Views
169,056
Views on SlideShare
169,023
Embed Views
33

Actions

Likes
23
Downloads
4,597
Comments
14

5 Embeds 33

http://algebrapdf.blogspot.com 20
http://algebrapdf.blogspot.mx 7
http://algebrapdf.blogspot.com.ar 3
http://algebrapdf.blogspot.com.br 2
http://www.slideshare.net 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

110 of 14 previous next Post a comment

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…

110 of 14 previous next

Post Comment
Edit your comment

    Transformada de Laplace ejercicios resueltos Transformada de Laplace ejercicios resueltos Document Transcript

    • TRANSFORMADAS DE LAPLACERecopilado y publicado por: Pedro GonzálezEJERCICIOS RESUELTOS 1. Transformadas de Laplace por definición 2. Transformadas de Laplace utilizando teoremas 3. Transformadas inversas 4. Derivada de transformada 5. Teorema de convolución 6. Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales (transformada) 7. Ecuaciones integrales 8. Ecuaciones integrodiferenciales 9. Circuitos 10. Sistemas de ecuaciones diferenciales(método de la transformada)TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN:1) f ( T ) = 1 − ST ∞ − e −∞ e 0 1 (1) dT = − e ∞L {1} = ∫ − ST e = + = 0 S 0 S S S2) f ( T ) = T ∞ − ST − ST  − ST − ST  ( T ) dT = − Te − ∫0 − e dT =  − Te − e 2  = 12 ∞ ∞L {T } = ∫ − ST e 0 S S  S S 0 S
    • u = T ⇒ du = dT − e − STdv = e − ST dT ⇒ v = S3) f ( T ) = e aT ∞  − e −T ( S − a )  { }=∫L e aT ∞ e − ST ( e )dT = ∫ aT ∞ e − ST + aT ∞ dT = ∫ e −T ( S − a ) dT =   = 1 0 0 0  S − a 0 S − aTRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILIZANDO TEOREMAS:1) f ( T ) = sen2T + cos 2T 2 SL { sen 2T + cos 2T } = L { sen2T } + L { cos 2T } = + 2 S +4 S +4 22) f ( T ) = T + 6T − 3 2 {L T + 6T − 3 = L T 2 } { } + 6 L {T } - 3 L {1} = S2 2 3 + 6 3 − S2 S3) f ( T ) = ( T + 1) = T 3 + 3T 2 + 3T + 1 3 {L T + 3T + 3T + 1 = L T 3 2 } { } + 3 L {T } + 3 L {T } + L {1} = S6 3 2 4 + S 6 3 S 3 1 + 2 + S (4) f ( T ) = 1 + e 2T ) 2 = 1 + 2e 2T + e 4T {L 1 + 2e 2T + e 4T } = L {1} + 2 L {e 2T } + L {e 4T } = 1 + 2 + 1 S S −2 S −4 (5) f ( T ) = e T − e −T ) 5 = e 5T − 5e 3T + 10e T − 10e −T + 5e −3T − e −5T {L e 5T − 5e 3T + 10e T − 10e −T + 5e −3T − e −5T } = L {e 5T } - 5 L {e 3T } + 10 L {e T } - 10 L {e −T } + 5 {e −3T } - L{e −5T } = S 1 5 − S 5 3 + S10 1 − S10 1 + S 5 3 − S 1 5 − − − + + +TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):1) f ( T ) = e 2T cos 2T
    • S S −2 S −2 { }L e 2T cos 2T = L { cos 2T } S →S −2 = S +42 = ( S − 2) 2 +4 = S − 4S + 8 2 S →S −22) f ( T ) = e T sen3T 3 3 3 { }L e T sen3T = L { sen3T } S → S −1 = S +92 = ( S − 1) 2 +9 = S − 2S + 10 2 S → S −1TRANSFORMADAS INVERSAS:  1  1 -1  2!  1 21)L-1  3 = L  3 = T  S  2!  S  2  1  1 -1  3!  1 32) L-1  4  = L  4 = T  S  3!  S  6 1 48  1   48 3) L-1  2 + 5  = L-1  2  + L-1  5  = T + 2T 4 S S  S  S   2 1  2    4 4 1  4  1!  4 -1  3!  1 -1  5! 4) L-1  − 3   = L-1  2 − 4 + 6  = L-1  2  − L  + L  6 =  S S     S S S  1!  S  3!  S 4  5! S  2 1 54T − T 3 + T 3 120  ( S + 1) 3  -1  S 3 + 3S 2 + 3S + 1 -1  1 3 3 1 5) L-1  4 = L  4 = L  + 2 + 3 + 4 =  S   S  S S S S  1  1  3 -1  2!  1 -1  3!  3 2 1 3L-1   + 3 L-1  2  + L  3+ L  4  = 1 + 3T + T + T S   S  2!  S  3!  S  2 6 1 1 1 6) L-1  − +  = T −1 + e 2T  S 2 S S − 2  1  -1  14  1 -1  1  1 − 14T7) L-1  = L  = L  = e  4 S + 1  S + 14  4  S + 14  4  1   1  1  1  1 25 T8) L-1   = L-1  5  = L-1  = e  5S − 2   S − 25  5  S − 25  5
    •  5  5 -1  7  59) L-1  = L  2  = sen7T  S + 49  7  S + 49  7 2  10S   S 10) L-1   = 10 L-1  2  = 10 cos 4T  S + 16   S + 16  2  2S − 6   S  6 -1  3 11) L-1   = 2 L-1  2 − L  2  = 2 cos 3T − 2 sen3T S + 9 S + 9 3 S + 9 2  5 12) L-1    ( S − 2 )( S − 3)( S − 6 )  A B C 5 + + = S − 2 S − 3 S − 6 ( S − 2 )( S − 3)( S − 6 ) A( S − 3)( S − 6 ) + B ( S − 2 )( S − 6 ) + C ( S − 2 )( S − 3) = 5 A( S 2 − 9 S + 18) + B ( S 2 − 8S + 12 ) + C ( S 2 − 5S + 6) = 5 A+ B +C = 0 − 9 A − 8 B − 5C = 0 18 A + 12 B + 6C = 5 A= 1 2 , B = −1 y C = 1 2  5  1 -1  1   1  1 -1  1  1 2T  − L-1  + L  = e −e + 1 e 3T 6TL-1  = L   ( S − 2)( S − 3)( S − 6)  2  S − 2   S − 3 2  S − 6 2 2  1 13) L-1    S ( S + 4)  2A BS + C 1 + 2 =S S + 4 S ( S 2 + 4)A( S 2 + 4 ) + ( BS + C ) S = 1AS 2 + 4 A + BS 2 + CS = 1A+ B = 0C =04 A = 1 ⇒ A = 14 ⇒ B = − A = − 14  1  1 -1  1  1 -1  S  1 1L-1  = L  − L  2  = − cos 2T  S ( S + 4)  4 S  4 S + 4 4 4 2
    •  1 14) L-1    ( S + 1)( S + 4 )  2 2 AS + B CS + D 1 + 2 = 2 S +1 2 S + 4 ( S + 1)( S 2 + 4 )( AS + B ) ( S 2 + 4) + ( CS + D ) ( S 2 + 1) = 1AS 3 + 4 AS + BS 2 + 4 B + CS 3 + CS + DS 2 + D = 1A+C = 0B+D=04A + C = 04B + D = 1 A=0 , B= 1 3 , C = 0 y D = − 13  1  1 -1  1  1  2  1 1L-1  = L  2 − L-1  2  = senT − sen 2T  ( S + 1)( S + 4 )  3  S + 1 3 * 2 S + 4 3 2 2 6TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):  1  1 -1  2!  1 1 2 − 2T1)L-1  = L  3 = T2 = T e  ( S + 2 )  2!  S  S → S + 2 2 3 S →S +2 2  1   1   1 2) L-1   = L-1  2  = L-1  2 =  S − 6S + 10   S − 6S + 10 − 1 + 1  S − 6S + 9 + 1 2  1  1 L-1   = L-1  2  = e 3T senT  ( S − 3) + 1 2  S + 1 S → S −3  1   1   1  13) L-1   = L-1  2  = L-1  =  S + 2S + 5   S + 2S + 1 + 4   ( S + 1) + 4  2 2 2  2  1L-1   = e −T sen 2T  S + 4  S → S +1 2 2  2S + 5   2S + 5   2S + 5 4) L-1   = L-1  2  = L-1  2 =  S + 6 S + 34   S + 6 S + 34 − 25 + 25   S + 6 S + 9 + 25  2  2 S + 5 + 1 − 1  2S + 6   1   S +3 L-1   = L-1   − L-1   = 2 L-1    ( S + 3) + 25   ( S + 3) + 25   ( S + 3) + 25   ( S + 3) + 25  2 2 2 2
    • 1 -1  5   S  1  5 − L   = 2 L-1  2  − L-1  2  = 5  ( S + 3) + 25  2  S + 25  S →S +3 5  S + 25  S → S +3 12e −3T cos 5T − e −3T sen5T 5  2S − 1 5) L-1  3  S ( S + 1)  2A B C D E 2S − 1 + + + + =S S 2 S + 1 ( S + 1) 2 ( S + 1) 3 S 2 ( S + 1) 3AS ( S + 1) + B ( S + 1) + CS 2 ( S + 1) + DS 2 ( S + 1) + ES 2 = 2S − 1 3 3 2AS 4 + 3 AS 3 + 3 AS 2 + AS + BS 3 + 3BS 2 + 3BS + B + CS 4 + 2CS 3 + CS 2 + DS 3 + DS 2 + ES 2 = 2S − 1A + C = 0 ⇒ C = − A ⇒ C = −53 A + B + 2C + D = 03 A + 3B + C + D + E = 0A + 3 B = 2 ⇒ A = 2 − 3B = 5B = −1 , D = −4 y E = −3  2 S − 1  -1  5   − 1  −5   − 4  3 -1  2! L-1  3 = L   + L-1  2  + L-1   + L-1  − L  =  S 2 ( S + 1)  S  S   S + 1  ( S + 1) 2  2!  ( S + 1) 3  35 − T − 5e −T − 4Te −T − T 2 e −T 2DERIVADA DE TRANSFORMADA: d d  S   S 2 − 4 − 2S 2 1)L {T cos 2T } = ( − 1) L {T cos 2T } = ( − 1)  2  = ( − 1)  = dS dS  S + 4   ( S 2 + 4) 2     4 − s2  = S −4 2( − 1)   ( S + 4)  ( S + 4)  2 2  2 2 d d  3   − 3( 2S )  6S2) L {Tsenh3T } = ( − 1) L { senh3T } = ( − 1)  2  = ( − 1)  2 =  ( S − 9)  ( S − 9) 2  dS dS  S − 9   2 2  1  d  − 2S  2 2 d { }3) L T 2 senhT = ( − 1) 2 d2 { L senhT } = ( − 1) dS 2  2  =  S − 1  dS  ( S 2 − 1) 2 =  dS 2  
    • (S 2 − 2 S + 1)( − 2 ) − 8S ( S 2 − 1) = − 2( S 2 − 1) + 8S 2 ( S 2 − 1) 2 = 6S 2 + 2 (S 2 − 1) 2 (S 2 − 1) 4 (S 2 − 1) 3 L {e sen6T } = ( − 1) d  6 4) L Te { 2T sen6T } = ( − 1) d dS 2T   dS  S 2 + 36  S → S −2 = d  6  d  6   − 6( 2 S − 4 ) ( − 1)   = ( − 1)  2  = ( − 1)  2 =  ( S − 4S + 40 ) 2  dS  ( S − 2 ) 2 + 36    dS  S − 4S + 40    12 S − 24(S 2 − 4 S + 40 ) 2 L {e cos 3T } = ( − 1) d  S 5) L Te { −3T cos 3T } = ( − 1) d dS −3T   dS  S 2 + 9  S → S + 3 = d  S +3  d  S +3   S 2 + 6 S + 18 − ( S + 3)( 2 S + 6 ) ( − 1)   = ( − 1)  2  = ( − 1)  = dS  ( S + 3) 2 + 9    dS  S + 6S + 18    ( S + 6S + 18) 2 2    S 2 + 6 S + 18 − 2 S 2 − 12 S − 18  S 2 + 6S( − 1)   =  ( S 2 + 6 S + 18) 2  ( S 2 + 6S + 18) 2  L {e senhT } = ( − 1) d3  1  {6) L T 3 e −T senhT = ( − 1) } 3 d3 dS 3 −T   dS 3  S 2 − 1  S → S +1 = d3   d3 d2  − 1( 2 S + 2)   = ( − 1) 3  2  1 1( − 1) 3   ( S + 1) 2 − 1    = ( − 1) 2  =  ( S 2 + 2S ) 2  dS   dS  S + 2 S  dS   d  ( S 2 + 2 S ) ( − 2 ) − ( − 2 S − 2 ) 2( S 2 + 2 S ) ( 2 S + 2 )  2( − 1)   = dS  ( S + 2S ) 2 4    =  [d  ( S 2 + 2 S ) ( 2) − 2( 2 S + 2) ( S 2 + 2 S )  d  ( S 2 + 2 S ) 2( S 2 + 2 S ) − 2( 2 S + 2) 2 2 2 ] = dS   ( S 2 + 2S ) 4  dS    ( S 2 + 2S ) 4  d  − 6 S 2 − 12 S − 8  ( S 2 + 2 S ) ( − 12 S − 12 ) − ( − 6 S 2 − 12S − 8)3( S 2 + 2 S ) ( 2 S + 2 ) 3 2  = =dS  ( S 2 + 2 S ) 3    ( S 2 + 2S ) 6
    • (S 2 + 2S ) 2 [( − 12S − 12) − 3( − 6S 2 − 12 S − 8)( 2 S + 2 ) ] = 36S 3 + 108S 2 + 108S + 36 ( S + 2S ) 2 6 (S 2 + 2S ) 6TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN): e − aS1)L { u ( T − a )} = e − aS L {1} = S 3e −2 S2) L { 3u ( T − 2 )} = e − 2 S L { 3} = S3) L {Tu ( T − a )} = L { ( T − a + a ) u ( T − a ) } = L { ( T − a ) u ( T − a ) } + L { au ( T − a )} = e − aS ae − aSe − aS L {T } + ae −aS L {1} = + S2 S e −S4) L { ( T − 1) u ( T − 1) } = e − S L {T } = S2 e −2 S { } {5) L e 2−T u ( T − 2) = L e −( T − 2 ) u ( T − 2 ) = e − 2 S L e −T =} { } S +16) L { ( 3T + 1) u ( T − 3) } = L { ( 3T + 1 − 10 + 10 ) u ( T − 3)} = L { ( 3T − 9 + 10 ) u ( T − 3) } = 3e −3 S 10e −3 S3 L { ( T − 3) u ( T − 3)} + 10 L { u ( T − 3)} = 3e −3 S L {T } + 10e −3S L {1} = + S2 S { } { }7) L Te T −5 u ( T − 5) = L ( T − 5 + 5) e T −5 u ( T − 5) = L ( T − 5) e T −5 u ( T − 5) + { } e −5 S5e −5 S { u ( T − 5) } = e { } + 5e L {e } = + T −5 −5 S T −5 S TL 5e L Te ( S − 1) 2 S − 1 { }8) L ( T − 1) e T −1u ( T − 1) = e − S L T e 3 { 3 T }= 6e − S ( S − 1) 4TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):  e −2S  1  1 -1  2!  − 2 S 1 2 − 2 S 1 21)L-1  3  = L-1  3 e − 2 S = L  3 e = T e = T u( T − 2) =  S  S  2! S  2 2
    • 1 ( T − 2) 2 u( T − 2)2  (1 + e −2 S ) 2    1 + 2e −2 S + e − 4 S  -1  1   1  −2 S2) L  -1  = L-1  = L   + 2 L-1  e +  S +2     S +2  S + 2 S + 2  1  −4 SL-1  e = e − 2T + 2e −2T u ( T − 2 ) + e − 2T u ( T − 4 ) =  S + 2e − 2T + 2e −2 ( T − 2 ) u ( T − 2) + e −2 ( T −4 ) u ( T − 4 )  e − S  -1  1  − S3) L  -1 =L  e  S ( S + 1)   S ( S + 1) A B 1 + =S S + 1 S ( S + 1)A( S + 1) + BS = 1A = 1 ⇒ B = −1  1  − S -1  1  −S  1  −S e = u ( T − 1) − e u ( T − 1) − ( T −1)L-1  e = L  e − L-1   S ( S + 1)  S   S + 1  e −2 S   1  −2 S4) L-1   = L-1  2 e  S ( S − 1)   S ( S − 1)  2A B C 1 + 2 + = 2S S S − 1 S ( S − 1)AS ( S − 1) + B ( S − 1) + CS 2 = 1AS 2 − AS + BS − B + CS 2 = 1A+C = 0− A+ B = 0B = −1 ⇒ A = −1 ⇒ C = 1   −2 S -1  − 1 1 = ( − 1 − T + e T )u ( T − 2 ) = 1 1  −2 SL-1  e = L  − 2 + e  S ( S − 1)  S − 1 2 S S−u ( T − 2 ) − ( T − 2 ) u ( T − 2 ) + e T − 2 u ( T − 2 )TEOREMA DE CONVOLUCIÓN:
    • 1)L {∫ e sen(T − τ ) dτ } o T τf (T ) = e Tg (T ) = senTL {∫ e sen(T − τ ) dτ } = T o τ L eT{ } L { senT } =  S 1 1  S 1+ 1   −   2     = ( e )( e ) = ∫0 e e 1  1  -1  1  T τ − 4 ( T −τ ) T dτ = ∫ − 4T  = L-1  e τ e −4T e 4τ dτ = T2) L-1  L   ( S − 1)( S + 4 )   S −1  S + 4  0 T T  e 5τ   e 5T 1  e T e − 4T ∫ 5τe − 4T e dτ = e − 4T   5  = e − 4T    5 − 5 = 5 − 5  0  0      = ( e )( e ) = ∫0 e e 1  1  -1  1  T −τ 2 ( T −τ )3) L-1   = L-1  L  −T 2T dτ =  ( S + 1)( S − 2 )   S + 1 S − 2 T T T  e −3τ   e −3T 1  e −T e 2T∫ ∫ −τ 2τ − 3τ e e e dτ = e 2T 2T e dτ = e  2T  −3  = e 2T    −3 + 3 = −3 + 3  0 0  0      1  -1  1   = ( e )( e ) = ∫0 e e 1 T −τ − ( T −τ )  = L-1  dτ = −T −T4) L-1  L   ( S + 1)   S + 1  S + 1 2 e −τ e −T eτ dτ = e −T ∫ dτ = e −T (τ ) 0 = Te −T T T∫ T 0 0     S  S  -1  1  1 5) L-1  2  = L-1  2  L  2  = ( cos 2T )  sen2T  =  ( S + 4)   2  S + 4 S + 4 2  1 1 T∫0 ( cos 2τ ) sen( 2T − 2τ )dτ = cos 2τ ( sen 2T cos 2τ − cos 2Tsen 2τ ) dτ = T 2 2 ∫01 T 1 T 1 T  1 + cos 4τ  ∫0 sen2T cos 2τdτ − 2 ∫0 cos 2Tsen2τ cos 2τdτ = 2 ∫0 sen2T  2 dτ − 22  1 T 1  1 T 1 T 1 T2 ∫0 cos 2T  2 sen4τ dτ = 4 sen2T ∫0 dτ + 4 sen2T ∫0 cos 4τdτ − 4 cos 2T ∫0 sen4τdτ =  
    • T T1 1 1  1  −1  sen2T (τ ) 0 + sen 2T  sen 4τ  − cos 2T  cos 4τ  = T4 4 4 0 4  4 o14 Tsen 2T + 16 sen2Tsen 4T + 16 cos 2T cos 4T − 16 cos 2T = 1 Tsen 2T + 16 ( cos( 4T − 2T ) − cos 2T ) = 1 1 1 4 11 Tsen 2T4ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES (TRANSFORMADA):1) y ′ − y = 1 y( 0) = 0Sy s − y ( 0) − y s = L {1} 1 1y s ( S − 1) = ⇒ ys = S S ( S − 1)A B 1 + =S S − 1 S ( S − 1)A( S − 1) + BS = 1A = −1 ⇒ B = 1 1  1 y ( T ) = − L-1   + L-1   = −1 + e T S   S − 12) y ′ + 2 y = T y ( 0 ) = −1Sy s − y ( 0) + 2 y s = L {T } 1Sy s + 1 + 2 y s = S2 1 1− s2y s ( S + 2) = − 1 ⇒ ys = 2 S2 S ( S + 2)A B C 1− s2 + + =S S 2 S + 2 S 2 ( S + 2)AS ( S + 2) + B( S + 2 ) + CS 2 = 1 − S 2AS 2 + 2 AS + BS + 2 B + CS 2 = 1 − S 2A + C = −12A + B = 02 B = 1 ⇒ B = 12 ⇒ A = − 14 ⇒ C = − 3 4
    • 1 1   1  −1 1 3y ( T ) = − 14 L-1   + 12 L-1  2  − 34 L-1  = + T − e − 2T S  S  S + 2 4 2 43) y ′′ − 4 y ′ + 4 y = T 3 e 2T y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = 0S 2 y s − Sy ( 0 ) − y ′( 0 ) − 4Sy s − 4 y ( 0 ) + 4 y s = L {T 3 e 2T } 6S 2 y s − 4Sy s + 4 y s = ( S − 2) 4 6 6 6ys = = = (S 2 − 4 S + 4)( S − 2 ) 4 ( S − 2) ( S − 2) 2 4 ( S − 2) 6 6 -1  5!  1y( T ) = L  6 = T 5 e 2T 5!  S  S → S − 2 204) y ′ + y = f ( T ) y ( 0 ) = 0 , f ( T ) = 5u ( T − 1)Sy s − y ( 0) + y s = L { 5u ( T − 1)} 5e − Sy s ( S + 1) = S 5e − S 5ys = = e −S S ( S + 1) S ( S + 1)A B 5 + = ⇒ A = 5, B = −5S S + 1 S ( S + 1) 1  1  −Sy ( T ) = 5 L-1  e −S − 5 L-1  e = 5u ( T − 1) − 5e u ( T − 1) = −T S   S + 15u ( T − 1) − 5e −( T −1) u ( T − 1)5) y ′′ + 4 y = f ( T ) y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = −1 , ( T ) = 1 − u ( T − 1)S 2 y s − Sy ( 0 ) − y ′( 0 ) + 4 y s = L {1 − u ( T − 1)}
    • 1 e −SS 2 ys + 1 + 4 ys = − S S −Sy S ( S 2 + 4) = − 1 e −1 S S 1 e −SyS = − −1 S ( S 2 + 4 ) S ( S 2 + 4)A BS + C 1 + 2 =S S + 4 S ( S + 4) 2 A= 1 4 , B= −1 4 y C=0 1 1 1  S  1  1  −S 1  S  −S 1 -1  2 y( T ) =L-1   − L-1  2 − L-1  e − L-1  e − L  2  S + 4 4 S + 4 S + 4 2 4 S  4 S  4 2 1 1 1 1 1= − cos 2T − u ( T − 1) + cos 2( T − 1) u ( T − 1) − sen2T 4 4 4 4 26) y ( 4 ) − y = 0 y ( 0 ) = 1 , y ′( 0 ) = 0 , y ′′( 0 ) = −1 , y ′′′( 0 ) = 0S 4 y s − S 3 y ( 0 ) − S 2 y ′( 0) − Sy ′′( 0 ) − y ′′′( 0) − y S = 0S 4 ys − S 3 + S − ys = 0y S ( S 4 − 1) = S 3 − S S ( S 2 − 1) S ( S 2 − 1) SyS = = 2 = 2 ( S − 1) ( S + 1)( S − 1) S + 1 4 2  S y ( T ) = L-1  2  = cos T  S + 1ECUACIONES INTEGRALES:1) f ( T ) + ∫ ( T − τ ) f (τ ) dτ = T T 0L { f ( T )} + L {∫ (T − τ ) f (τ ) dτ } = T 0 L {T } F(S) 1F(S) + 2 = 2 S S S2 1  1  F(S) = 2 2 = 2 ⇒ y ( T ) = L-1  2  = senT  1  1 S ( S + 1) S + 1  S + 1F ( S ) 1 + 2  = 2  S  S
    • f ( T ) = 2T − 4∫ senτf ( t − τ ) dτ T2) 0 2  1 F(S) = − 4 2 F ( S )  S +1 2 S  4  2F ( S ) 1 + 2 = 2  S +1 S  S 2 +1+ 4   S2 +5 2 2S 2 + 2F ( S )  = F ( S ) 2  = 2 ⇒ F(S) = 2 2  S 2 +1     S +1  S   S ( S + 5)A B CS + D 2S 2 + 2 + 2 + 2 = 2 2S S S + 5 S ( S + 5)AS ( S 2 + 5) + B ( S 2 + 5) + ( CS + D ) S 2 = 2S 2 + 2AS 3 + 5 AS + BS 2 + 5 B + CS 3 + DS 2 = 2 S 2 + 2A+ B = 0B+D=25A = 0 ⇒ A = 0 ⇒ C = 05B = 2 ⇒ B = 25 ⇒ D = 85 2 -1  1  8  5  2 8y( T ) = L  2 + L-1  2 = T + sen 5T 5 S  5 5 S + 5 5 5 5 f ( T ) + 2 ∫ f (τ )dτc0 s( T − τ ) dτ = 4e −T + senT T3) 0  S  4 1F ( S ) + 2F ( S ) 2 = + 2  S + 1 S + 1 S + 1  S 2 + 2S + 1  4 1  ( S + 1) 2  4 1F ( S )  S 2 + 1  = S + 1 + S 2 + 1 ⇒ F ( S ) S 2 + 1  = S + 1 + S 2 + 1        4( S 2 + 1) S 2 +1 4S 2 + 4 1F(S) = + 2 = + ( S + 1)( S + 1) ( S + 1)( S + 1) ( S + 1) ( S + 1) 2 2 2 3
    • A B C 4S 2 + 4 + + =S + 1 ( S + 1) 2 ( S + 1) 3 ( S + 1) 3A( S + 1) + B( S + 1) + C = 4 S 2 + 4 2A = 4, B = −8, C = 8  4   8   8   1 f ( T ) = L-1   − L-1  2  + L-1  3 + L-1  2  = L1  S + 1  ( S + 1)   ( S + 1)   ( S + 1)  −T −T 2 −T −T4e − 8Te 4T e + TeECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES: dy + 6 y ( T ) + 9 ∫ y (τ ) dτ = 1 y( 0) = 0 T1) dT 0 ys 1Sy s − y ( 0) + 6 y s + 9 = S S  9 1 S 1ys  S + 6 +  = ⇒ ys = =  S S S ( S + 6 S + 9 ) ( S + 3) 2 2  1 y ( T ) = L-1  2  = Te −3T  ( S + 3)  ∫ y(τ ) dτ y( 0) = 0 T2) y ′ = 1 − senT − 0 1 1 ySy s − y ( 0) = − 2 − s S S +1 S  1 1 1 1 Sys  S +  = − 2 ⇒ ys = 2 −  S  S S +1 S + 1 ( S + 1) 2 2 1y ( T ) = senT − TsenT 2CIRCUITOS:1)Determine la corriente I(T) de un circuito ¨LRC¨ en serie, cuando L = 0.005 henrios, R =1Ω y C = 0.02faradios.
    • E ( T ) = 100[1 − u ( T − 1) ] I ( 0) = 0 dI 1 T L + RI + ∫ I (τ ) dτ = 100[1 − u ( T − 1) ] dT C o dI 1 T I (τ ) dτ = 100[1 − u ( T − 1) ] 0.02 ∫o 0.05 +I+ dT 50 I s  1 e −S  0.05( SI s − I ( 0) ) + I s + = 100 − S  S  S  10000 I s  1 e −S  SI s + 200 I s + = 20000 − S   S  S   S 2 + 200 S + 10000   1 e −S   ( S + 100) 2   1 − e −S  Is    = 20000 −  S  ⇒ Is   = 20000   S   S     S    S    20000S  1 − e − S  20000 20000e − SIs =  = − ( S + 100) 2  S  ( S + 100) 2 ( S + 100) 2  I ( T ) = 20000Te −100T − 20000Te −100T e − S = 20000Te −100T − 20000( T − 1) e −100( T −1) u ( T − 1)2)Use la transformada de Laplace para determinar la carga en un capacitor de un circuito en serie (RC)cuando q ( 0 ) = 0 , R = 2.5Ω, C = 0.08 faradios y E(T) = 5u(T-3). dq 1R + q = E(T ) dT c 5e −3 S2.5q ′ + 12.5q = 5u ( T − 3) ⇒ 2.5( Sq s − q( 0 ) ) + 12.5q s = S 5e −3 S 2e −3 S2.5q s ( S + 5) = ⇒ qs = S S ( S + 5)A B 2 + =S S + 5 S ( S + 5)AS + 5 A + BS = 2 ⇒ A = 2 5 ⇒ B = − 2 5 2 -1  1  −3 S 2 -1  1  −3 S 2 2 −5( T − 3 )q( T ) = L  e − L  e = u ( T − 3) − e u ( T − 3) 5 S  5 S + 5 5 53)Aplique la transformada de Laplace para hallar la carga q(T). En el capacitor de un circuito ¨RC¨ enserie cuando q ( 0 ) = 0 , R = 50Ω, C = 0.01 faradios y E(T) = 50u(T-1)-50u(T-3).
    • dq 150 + q = 50u ( T − 1) − 50u ( T − 3) dT 0.01 50e − S 50e −3 S50( Sq s − q ( 0 ) ) + 100q s = − S S −S −3 S e eqs = − S ( S + 2) S ( S + 2 )A B 1 + =S S + 2 S ( S + 2)AS + 2 A + BS = 1 ⇒ A = 12 ⇒ B = −12 1  1  − S 1  1  − S 1  1  −3 S 1  1  −3 Sq( T ) =  e −  e −  e +  e 2 S  2 S + 2 2 S  2 S + 2 1 1 1 1q ( T ) = u ( T − 1) − e − 2( T −1) u ( T − 1) − u ( T − 3) + e − 2( T −3 ) u ( T − 3) 2 2 2 2SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES(MÉTODO DE LA TRANSFORMADA): dx = −x + y dT x( 0 ) = 01) dy y( 0) = 1 = 2x dTx′ = − x + y Sx s − x( 0 ) + x s − y s = 0 ⇒y′ = 2x  Sy s − y ( 0) − 2 x s = 0Sx s + x s − y s = 0 ⇒ y s = Sx s + x sSy s − 1 − 2 x s = 0 ⇒ S ( Sx s + x s ) − 1 − 2 x s = 0 = S 2 x s + Sx s − 1 − 2 x sx s ( S 2 + S − 2) = 1 ⇒ x s = 1 1 1 = 2 = ( S + S − 2 ) S + S − 2 + 4 − 4 ( S + 12 ) 2 − 9 4 2 9 9 2  32  2 1 3x( T ) =  2 9  = e − 2T senh T 3  S − 4  S →S + 1 3 2 2
    •  1  1y s = Sx x + x s = S  +  (S + 1 ) − 9  (S + 1 )2 − 9 2  2 4 2 4 S+ 2 21 − 1 1 S+ 21 1 1ys = + = − 2 (S + 2 1 )2 − 9 4 (S + 2 1 )2 − 9 4 (S + 2 1 )2 − 9 4 (S + 2 1 )2 − 9 (S + 1 )2 − 9 4 2 4 3 3 1 3 2 1 3y ( T ) = e − 2T cosh T − e − 2T senh T + e − 2T senh T 1 2 4 2 3 2 2 − 12T 3R/ x( T ) = e senh T y 3 2 3 3 1 3 2 1 3y ( T ) = e − 2T cosh T − e − 2T senh T + e − 2T senh T 1 2 4 2 3 2 dx = x − 2y dT x( 0 ) = −12) dy y( 0) = 2 = 5x − y dTx′ = x − 2 y  Sx s − x( 0 ) = x s − 2 y s  Sx s + 1 = x s − 2 y s  Sx s − x s + 2 y s = −1 ⇒ ⇒ ⇒y′ = 5x − y Sy s − y ( 0) = 5 x s − y s  Sy s − 2 = 5 x s − y s  Sy s + y s − 5 x s = 2 5 x s ( S − 1) + 10 y s = −5 − 5 x s ( S − 1) + y s ( S + 1)( S − 1) = 2( S − 1) 10 y s + y s ( S + 1)( S − 1) = −5 + 2 S − 2[ x s ( S − 1) + 2 y s = −1]( 5) [ − 5 x s + y s ( S + 1) = 2]( S − 1)  y s (102 + S − 1) = 2S − 7 ⇒ 2  y s ( S + 9) = 2S − 7 2S 7 7 ys = − 2 ⇒ y ( T ) = 2 cos 3T − sen3T S +9 S +9 2 3 10 x s − 2 y s ( S + 1) = −4 x s ( S − 1)( S + 1) + 2 y s ( S + 1) = −1( S + 1)[ x s ( S − 1) + 2 y s = −1]( S + 1)  xs ( S − 1)( S + 1) + 10 xs = −1( S + 1) − 4 ⇒[ − 5 x s + y s ( S + 1) = 2]( − 2)  xs ( S 2 − 1 + 10) = − S − 5  −S 5 5 xs = − 2 ⇒ x( T ) = − cos 3T − sen3T S +9 S +9 2 3
    • 7R/ y ( T ) = 2 cos 3T − sen3T 3 5 x( T ) = − cos 3T − sen3T 3