Transformada de Laplace ejercicios resueltos

171,470 views
171,751 views

Published on

estos documentos, son creados para que sean de divulgación pública

Published in: Education
14 Comments
24 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
171,470
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
35
Actions
Shares
0
Downloads
4,723
Comments
14
Likes
24
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transformada de Laplace ejercicios resueltos

  1. 1. TRANSFORMADAS DE LAPLACERecopilado y publicado por: Pedro GonzálezEJERCICIOS RESUELTOS 1. Transformadas de Laplace por definición 2. Transformadas de Laplace utilizando teoremas 3. Transformadas inversas 4. Derivada de transformada 5. Teorema de convolución 6. Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales (transformada) 7. Ecuaciones integrales 8. Ecuaciones integrodiferenciales 9. Circuitos 10. Sistemas de ecuaciones diferenciales(método de la transformada)TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN:1) f ( T ) = 1 − ST ∞ − e −∞ e 0 1 (1) dT = − e ∞L {1} = ∫ − ST e = + = 0 S 0 S S S2) f ( T ) = T ∞ − ST − ST  − ST − ST  ( T ) dT = − Te − ∫0 − e dT =  − Te − e 2  = 12 ∞ ∞L {T } = ∫ − ST e 0 S S  S S 0 S
  2. 2. u = T ⇒ du = dT − e − STdv = e − ST dT ⇒ v = S3) f ( T ) = e aT ∞  − e −T ( S − a )  { }=∫L e aT ∞ e − ST ( e )dT = ∫ aT ∞ e − ST + aT ∞ dT = ∫ e −T ( S − a ) dT =   = 1 0 0 0  S − a 0 S − aTRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILIZANDO TEOREMAS:1) f ( T ) = sen2T + cos 2T 2 SL { sen 2T + cos 2T } = L { sen2T } + L { cos 2T } = + 2 S +4 S +4 22) f ( T ) = T + 6T − 3 2 {L T + 6T − 3 = L T 2 } { } + 6 L {T } - 3 L {1} = S2 2 3 + 6 3 − S2 S3) f ( T ) = ( T + 1) = T 3 + 3T 2 + 3T + 1 3 {L T + 3T + 3T + 1 = L T 3 2 } { } + 3 L {T } + 3 L {T } + L {1} = S6 3 2 4 + S 6 3 S 3 1 + 2 + S (4) f ( T ) = 1 + e 2T ) 2 = 1 + 2e 2T + e 4T {L 1 + 2e 2T + e 4T } = L {1} + 2 L {e 2T } + L {e 4T } = 1 + 2 + 1 S S −2 S −4 (5) f ( T ) = e T − e −T ) 5 = e 5T − 5e 3T + 10e T − 10e −T + 5e −3T − e −5T {L e 5T − 5e 3T + 10e T − 10e −T + 5e −3T − e −5T } = L {e 5T } - 5 L {e 3T } + 10 L {e T } - 10 L {e −T } + 5 {e −3T } - L{e −5T } = S 1 5 − S 5 3 + S10 1 − S10 1 + S 5 3 − S 1 5 − − − + + +TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):1) f ( T ) = e 2T cos 2T
  3. 3. S S −2 S −2 { }L e 2T cos 2T = L { cos 2T } S →S −2 = S +42 = ( S − 2) 2 +4 = S − 4S + 8 2 S →S −22) f ( T ) = e T sen3T 3 3 3 { }L e T sen3T = L { sen3T } S → S −1 = S +92 = ( S − 1) 2 +9 = S − 2S + 10 2 S → S −1TRANSFORMADAS INVERSAS:  1  1 -1  2!  1 21)L-1  3 = L  3 = T  S  2!  S  2  1  1 -1  3!  1 32) L-1  4  = L  4 = T  S  3!  S  6 1 48  1   48 3) L-1  2 + 5  = L-1  2  + L-1  5  = T + 2T 4 S S  S  S   2 1  2    4 4 1  4  1!  4 -1  3!  1 -1  5! 4) L-1  − 3   = L-1  2 − 4 + 6  = L-1  2  − L  + L  6 =  S S     S S S  1!  S  3!  S 4  5! S  2 1 54T − T 3 + T 3 120  ( S + 1) 3  -1  S 3 + 3S 2 + 3S + 1 -1  1 3 3 1 5) L-1  4 = L  4 = L  + 2 + 3 + 4 =  S   S  S S S S  1  1  3 -1  2!  1 -1  3!  3 2 1 3L-1   + 3 L-1  2  + L  3+ L  4  = 1 + 3T + T + T S   S  2!  S  3!  S  2 6 1 1 1 6) L-1  − +  = T −1 + e 2T  S 2 S S − 2  1  -1  14  1 -1  1  1 − 14T7) L-1  = L  = L  = e  4 S + 1  S + 14  4  S + 14  4  1   1  1  1  1 25 T8) L-1   = L-1  5  = L-1  = e  5S − 2   S − 25  5  S − 25  5
  4. 4.  5  5 -1  7  59) L-1  = L  2  = sen7T  S + 49  7  S + 49  7 2  10S   S 10) L-1   = 10 L-1  2  = 10 cos 4T  S + 16   S + 16  2  2S − 6   S  6 -1  3 11) L-1   = 2 L-1  2 − L  2  = 2 cos 3T − 2 sen3T S + 9 S + 9 3 S + 9 2  5 12) L-1    ( S − 2 )( S − 3)( S − 6 )  A B C 5 + + = S − 2 S − 3 S − 6 ( S − 2 )( S − 3)( S − 6 ) A( S − 3)( S − 6 ) + B ( S − 2 )( S − 6 ) + C ( S − 2 )( S − 3) = 5 A( S 2 − 9 S + 18) + B ( S 2 − 8S + 12 ) + C ( S 2 − 5S + 6) = 5 A+ B +C = 0 − 9 A − 8 B − 5C = 0 18 A + 12 B + 6C = 5 A= 1 2 , B = −1 y C = 1 2  5  1 -1  1   1  1 -1  1  1 2T  − L-1  + L  = e −e + 1 e 3T 6TL-1  = L   ( S − 2)( S − 3)( S − 6)  2  S − 2   S − 3 2  S − 6 2 2  1 13) L-1    S ( S + 4)  2A BS + C 1 + 2 =S S + 4 S ( S 2 + 4)A( S 2 + 4 ) + ( BS + C ) S = 1AS 2 + 4 A + BS 2 + CS = 1A+ B = 0C =04 A = 1 ⇒ A = 14 ⇒ B = − A = − 14  1  1 -1  1  1 -1  S  1 1L-1  = L  − L  2  = − cos 2T  S ( S + 4)  4 S  4 S + 4 4 4 2
  5. 5.  1 14) L-1    ( S + 1)( S + 4 )  2 2 AS + B CS + D 1 + 2 = 2 S +1 2 S + 4 ( S + 1)( S 2 + 4 )( AS + B ) ( S 2 + 4) + ( CS + D ) ( S 2 + 1) = 1AS 3 + 4 AS + BS 2 + 4 B + CS 3 + CS + DS 2 + D = 1A+C = 0B+D=04A + C = 04B + D = 1 A=0 , B= 1 3 , C = 0 y D = − 13  1  1 -1  1  1  2  1 1L-1  = L  2 − L-1  2  = senT − sen 2T  ( S + 1)( S + 4 )  3  S + 1 3 * 2 S + 4 3 2 2 6TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):  1  1 -1  2!  1 1 2 − 2T1)L-1  = L  3 = T2 = T e  ( S + 2 )  2!  S  S → S + 2 2 3 S →S +2 2  1   1   1 2) L-1   = L-1  2  = L-1  2 =  S − 6S + 10   S − 6S + 10 − 1 + 1  S − 6S + 9 + 1 2  1  1 L-1   = L-1  2  = e 3T senT  ( S − 3) + 1 2  S + 1 S → S −3  1   1   1  13) L-1   = L-1  2  = L-1  =  S + 2S + 5   S + 2S + 1 + 4   ( S + 1) + 4  2 2 2  2  1L-1   = e −T sen 2T  S + 4  S → S +1 2 2  2S + 5   2S + 5   2S + 5 4) L-1   = L-1  2  = L-1  2 =  S + 6 S + 34   S + 6 S + 34 − 25 + 25   S + 6 S + 9 + 25  2  2 S + 5 + 1 − 1  2S + 6   1   S +3 L-1   = L-1   − L-1   = 2 L-1    ( S + 3) + 25   ( S + 3) + 25   ( S + 3) + 25   ( S + 3) + 25  2 2 2 2
  6. 6. 1 -1  5   S  1  5 − L   = 2 L-1  2  − L-1  2  = 5  ( S + 3) + 25  2  S + 25  S →S +3 5  S + 25  S → S +3 12e −3T cos 5T − e −3T sen5T 5  2S − 1 5) L-1  3  S ( S + 1)  2A B C D E 2S − 1 + + + + =S S 2 S + 1 ( S + 1) 2 ( S + 1) 3 S 2 ( S + 1) 3AS ( S + 1) + B ( S + 1) + CS 2 ( S + 1) + DS 2 ( S + 1) + ES 2 = 2S − 1 3 3 2AS 4 + 3 AS 3 + 3 AS 2 + AS + BS 3 + 3BS 2 + 3BS + B + CS 4 + 2CS 3 + CS 2 + DS 3 + DS 2 + ES 2 = 2S − 1A + C = 0 ⇒ C = − A ⇒ C = −53 A + B + 2C + D = 03 A + 3B + C + D + E = 0A + 3 B = 2 ⇒ A = 2 − 3B = 5B = −1 , D = −4 y E = −3  2 S − 1  -1  5   − 1  −5   − 4  3 -1  2! L-1  3 = L   + L-1  2  + L-1   + L-1  − L  =  S 2 ( S + 1)  S  S   S + 1  ( S + 1) 2  2!  ( S + 1) 3  35 − T − 5e −T − 4Te −T − T 2 e −T 2DERIVADA DE TRANSFORMADA: d d  S   S 2 − 4 − 2S 2 1)L {T cos 2T } = ( − 1) L {T cos 2T } = ( − 1)  2  = ( − 1)  = dS dS  S + 4   ( S 2 + 4) 2     4 − s2  = S −4 2( − 1)   ( S + 4)  ( S + 4)  2 2  2 2 d d  3   − 3( 2S )  6S2) L {Tsenh3T } = ( − 1) L { senh3T } = ( − 1)  2  = ( − 1)  2 =  ( S − 9)  ( S − 9) 2  dS dS  S − 9   2 2  1  d  − 2S  2 2 d { }3) L T 2 senhT = ( − 1) 2 d2 { L senhT } = ( − 1) dS 2  2  =  S − 1  dS  ( S 2 − 1) 2 =  dS 2  
  7. 7. (S 2 − 2 S + 1)( − 2 ) − 8S ( S 2 − 1) = − 2( S 2 − 1) + 8S 2 ( S 2 − 1) 2 = 6S 2 + 2 (S 2 − 1) 2 (S 2 − 1) 4 (S 2 − 1) 3 L {e sen6T } = ( − 1) d  6 4) L Te { 2T sen6T } = ( − 1) d dS 2T   dS  S 2 + 36  S → S −2 = d  6  d  6   − 6( 2 S − 4 ) ( − 1)   = ( − 1)  2  = ( − 1)  2 =  ( S − 4S + 40 ) 2  dS  ( S − 2 ) 2 + 36    dS  S − 4S + 40    12 S − 24(S 2 − 4 S + 40 ) 2 L {e cos 3T } = ( − 1) d  S 5) L Te { −3T cos 3T } = ( − 1) d dS −3T   dS  S 2 + 9  S → S + 3 = d  S +3  d  S +3   S 2 + 6 S + 18 − ( S + 3)( 2 S + 6 ) ( − 1)   = ( − 1)  2  = ( − 1)  = dS  ( S + 3) 2 + 9    dS  S + 6S + 18    ( S + 6S + 18) 2 2    S 2 + 6 S + 18 − 2 S 2 − 12 S − 18  S 2 + 6S( − 1)   =  ( S 2 + 6 S + 18) 2  ( S 2 + 6S + 18) 2  L {e senhT } = ( − 1) d3  1  {6) L T 3 e −T senhT = ( − 1) } 3 d3 dS 3 −T   dS 3  S 2 − 1  S → S +1 = d3   d3 d2  − 1( 2 S + 2)   = ( − 1) 3  2  1 1( − 1) 3   ( S + 1) 2 − 1    = ( − 1) 2  =  ( S 2 + 2S ) 2  dS   dS  S + 2 S  dS   d  ( S 2 + 2 S ) ( − 2 ) − ( − 2 S − 2 ) 2( S 2 + 2 S ) ( 2 S + 2 )  2( − 1)   = dS  ( S + 2S ) 2 4    =  [d  ( S 2 + 2 S ) ( 2) − 2( 2 S + 2) ( S 2 + 2 S )  d  ( S 2 + 2 S ) 2( S 2 + 2 S ) − 2( 2 S + 2) 2 2 2 ] = dS   ( S 2 + 2S ) 4  dS    ( S 2 + 2S ) 4  d  − 6 S 2 − 12 S − 8  ( S 2 + 2 S ) ( − 12 S − 12 ) − ( − 6 S 2 − 12S − 8)3( S 2 + 2 S ) ( 2 S + 2 ) 3 2  = =dS  ( S 2 + 2 S ) 3    ( S 2 + 2S ) 6
  8. 8. (S 2 + 2S ) 2 [( − 12S − 12) − 3( − 6S 2 − 12 S − 8)( 2 S + 2 ) ] = 36S 3 + 108S 2 + 108S + 36 ( S + 2S ) 2 6 (S 2 + 2S ) 6TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN): e − aS1)L { u ( T − a )} = e − aS L {1} = S 3e −2 S2) L { 3u ( T − 2 )} = e − 2 S L { 3} = S3) L {Tu ( T − a )} = L { ( T − a + a ) u ( T − a ) } = L { ( T − a ) u ( T − a ) } + L { au ( T − a )} = e − aS ae − aSe − aS L {T } + ae −aS L {1} = + S2 S e −S4) L { ( T − 1) u ( T − 1) } = e − S L {T } = S2 e −2 S { } {5) L e 2−T u ( T − 2) = L e −( T − 2 ) u ( T − 2 ) = e − 2 S L e −T =} { } S +16) L { ( 3T + 1) u ( T − 3) } = L { ( 3T + 1 − 10 + 10 ) u ( T − 3)} = L { ( 3T − 9 + 10 ) u ( T − 3) } = 3e −3 S 10e −3 S3 L { ( T − 3) u ( T − 3)} + 10 L { u ( T − 3)} = 3e −3 S L {T } + 10e −3S L {1} = + S2 S { } { }7) L Te T −5 u ( T − 5) = L ( T − 5 + 5) e T −5 u ( T − 5) = L ( T − 5) e T −5 u ( T − 5) + { } e −5 S5e −5 S { u ( T − 5) } = e { } + 5e L {e } = + T −5 −5 S T −5 S TL 5e L Te ( S − 1) 2 S − 1 { }8) L ( T − 1) e T −1u ( T − 1) = e − S L T e 3 { 3 T }= 6e − S ( S − 1) 4TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):  e −2S  1  1 -1  2!  − 2 S 1 2 − 2 S 1 21)L-1  3  = L-1  3 e − 2 S = L  3 e = T e = T u( T − 2) =  S  S  2! S  2 2
  9. 9. 1 ( T − 2) 2 u( T − 2)2  (1 + e −2 S ) 2    1 + 2e −2 S + e − 4 S  -1  1   1  −2 S2) L  -1  = L-1  = L   + 2 L-1  e +  S +2     S +2  S + 2 S + 2  1  −4 SL-1  e = e − 2T + 2e −2T u ( T − 2 ) + e − 2T u ( T − 4 ) =  S + 2e − 2T + 2e −2 ( T − 2 ) u ( T − 2) + e −2 ( T −4 ) u ( T − 4 )  e − S  -1  1  − S3) L  -1 =L  e  S ( S + 1)   S ( S + 1) A B 1 + =S S + 1 S ( S + 1)A( S + 1) + BS = 1A = 1 ⇒ B = −1  1  − S -1  1  −S  1  −S e = u ( T − 1) − e u ( T − 1) − ( T −1)L-1  e = L  e − L-1   S ( S + 1)  S   S + 1  e −2 S   1  −2 S4) L-1   = L-1  2 e  S ( S − 1)   S ( S − 1)  2A B C 1 + 2 + = 2S S S − 1 S ( S − 1)AS ( S − 1) + B ( S − 1) + CS 2 = 1AS 2 − AS + BS − B + CS 2 = 1A+C = 0− A+ B = 0B = −1 ⇒ A = −1 ⇒ C = 1   −2 S -1  − 1 1 = ( − 1 − T + e T )u ( T − 2 ) = 1 1  −2 SL-1  e = L  − 2 + e  S ( S − 1)  S − 1 2 S S−u ( T − 2 ) − ( T − 2 ) u ( T − 2 ) + e T − 2 u ( T − 2 )TEOREMA DE CONVOLUCIÓN:
  10. 10. 1)L {∫ e sen(T − τ ) dτ } o T τf (T ) = e Tg (T ) = senTL {∫ e sen(T − τ ) dτ } = T o τ L eT{ } L { senT } =  S 1 1  S 1+ 1   −   2     = ( e )( e ) = ∫0 e e 1  1  -1  1  T τ − 4 ( T −τ ) T dτ = ∫ − 4T  = L-1  e τ e −4T e 4τ dτ = T2) L-1  L   ( S − 1)( S + 4 )   S −1  S + 4  0 T T  e 5τ   e 5T 1  e T e − 4T ∫ 5τe − 4T e dτ = e − 4T   5  = e − 4T    5 − 5 = 5 − 5  0  0      = ( e )( e ) = ∫0 e e 1  1  -1  1  T −τ 2 ( T −τ )3) L-1   = L-1  L  −T 2T dτ =  ( S + 1)( S − 2 )   S + 1 S − 2 T T T  e −3τ   e −3T 1  e −T e 2T∫ ∫ −τ 2τ − 3τ e e e dτ = e 2T 2T e dτ = e  2T  −3  = e 2T    −3 + 3 = −3 + 3  0 0  0      1  -1  1   = ( e )( e ) = ∫0 e e 1 T −τ − ( T −τ )  = L-1  dτ = −T −T4) L-1  L   ( S + 1)   S + 1  S + 1 2 e −τ e −T eτ dτ = e −T ∫ dτ = e −T (τ ) 0 = Te −T T T∫ T 0 0     S  S  -1  1  1 5) L-1  2  = L-1  2  L  2  = ( cos 2T )  sen2T  =  ( S + 4)   2  S + 4 S + 4 2  1 1 T∫0 ( cos 2τ ) sen( 2T − 2τ )dτ = cos 2τ ( sen 2T cos 2τ − cos 2Tsen 2τ ) dτ = T 2 2 ∫01 T 1 T 1 T  1 + cos 4τ  ∫0 sen2T cos 2τdτ − 2 ∫0 cos 2Tsen2τ cos 2τdτ = 2 ∫0 sen2T  2 dτ − 22  1 T 1  1 T 1 T 1 T2 ∫0 cos 2T  2 sen4τ dτ = 4 sen2T ∫0 dτ + 4 sen2T ∫0 cos 4τdτ − 4 cos 2T ∫0 sen4τdτ =  
  11. 11. T T1 1 1  1  −1  sen2T (τ ) 0 + sen 2T  sen 4τ  − cos 2T  cos 4τ  = T4 4 4 0 4  4 o14 Tsen 2T + 16 sen2Tsen 4T + 16 cos 2T cos 4T − 16 cos 2T = 1 Tsen 2T + 16 ( cos( 4T − 2T ) − cos 2T ) = 1 1 1 4 11 Tsen 2T4ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES (TRANSFORMADA):1) y ′ − y = 1 y( 0) = 0Sy s − y ( 0) − y s = L {1} 1 1y s ( S − 1) = ⇒ ys = S S ( S − 1)A B 1 + =S S − 1 S ( S − 1)A( S − 1) + BS = 1A = −1 ⇒ B = 1 1  1 y ( T ) = − L-1   + L-1   = −1 + e T S   S − 12) y ′ + 2 y = T y ( 0 ) = −1Sy s − y ( 0) + 2 y s = L {T } 1Sy s + 1 + 2 y s = S2 1 1− s2y s ( S + 2) = − 1 ⇒ ys = 2 S2 S ( S + 2)A B C 1− s2 + + =S S 2 S + 2 S 2 ( S + 2)AS ( S + 2) + B( S + 2 ) + CS 2 = 1 − S 2AS 2 + 2 AS + BS + 2 B + CS 2 = 1 − S 2A + C = −12A + B = 02 B = 1 ⇒ B = 12 ⇒ A = − 14 ⇒ C = − 3 4
  12. 12. 1 1   1  −1 1 3y ( T ) = − 14 L-1   + 12 L-1  2  − 34 L-1  = + T − e − 2T S  S  S + 2 4 2 43) y ′′ − 4 y ′ + 4 y = T 3 e 2T y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = 0S 2 y s − Sy ( 0 ) − y ′( 0 ) − 4Sy s − 4 y ( 0 ) + 4 y s = L {T 3 e 2T } 6S 2 y s − 4Sy s + 4 y s = ( S − 2) 4 6 6 6ys = = = (S 2 − 4 S + 4)( S − 2 ) 4 ( S − 2) ( S − 2) 2 4 ( S − 2) 6 6 -1  5!  1y( T ) = L  6 = T 5 e 2T 5!  S  S → S − 2 204) y ′ + y = f ( T ) y ( 0 ) = 0 , f ( T ) = 5u ( T − 1)Sy s − y ( 0) + y s = L { 5u ( T − 1)} 5e − Sy s ( S + 1) = S 5e − S 5ys = = e −S S ( S + 1) S ( S + 1)A B 5 + = ⇒ A = 5, B = −5S S + 1 S ( S + 1) 1  1  −Sy ( T ) = 5 L-1  e −S − 5 L-1  e = 5u ( T − 1) − 5e u ( T − 1) = −T S   S + 15u ( T − 1) − 5e −( T −1) u ( T − 1)5) y ′′ + 4 y = f ( T ) y ( 0 ) = 0 , y ′( 0 ) = −1 , ( T ) = 1 − u ( T − 1)S 2 y s − Sy ( 0 ) − y ′( 0 ) + 4 y s = L {1 − u ( T − 1)}
  13. 13. 1 e −SS 2 ys + 1 + 4 ys = − S S −Sy S ( S 2 + 4) = − 1 e −1 S S 1 e −SyS = − −1 S ( S 2 + 4 ) S ( S 2 + 4)A BS + C 1 + 2 =S S + 4 S ( S + 4) 2 A= 1 4 , B= −1 4 y C=0 1 1 1  S  1  1  −S 1  S  −S 1 -1  2 y( T ) =L-1   − L-1  2 − L-1  e − L-1  e − L  2  S + 4 4 S + 4 S + 4 2 4 S  4 S  4 2 1 1 1 1 1= − cos 2T − u ( T − 1) + cos 2( T − 1) u ( T − 1) − sen2T 4 4 4 4 26) y ( 4 ) − y = 0 y ( 0 ) = 1 , y ′( 0 ) = 0 , y ′′( 0 ) = −1 , y ′′′( 0 ) = 0S 4 y s − S 3 y ( 0 ) − S 2 y ′( 0) − Sy ′′( 0 ) − y ′′′( 0) − y S = 0S 4 ys − S 3 + S − ys = 0y S ( S 4 − 1) = S 3 − S S ( S 2 − 1) S ( S 2 − 1) SyS = = 2 = 2 ( S − 1) ( S + 1)( S − 1) S + 1 4 2  S y ( T ) = L-1  2  = cos T  S + 1ECUACIONES INTEGRALES:1) f ( T ) + ∫ ( T − τ ) f (τ ) dτ = T T 0L { f ( T )} + L {∫ (T − τ ) f (τ ) dτ } = T 0 L {T } F(S) 1F(S) + 2 = 2 S S S2 1  1  F(S) = 2 2 = 2 ⇒ y ( T ) = L-1  2  = senT  1  1 S ( S + 1) S + 1  S + 1F ( S ) 1 + 2  = 2  S  S
  14. 14. f ( T ) = 2T − 4∫ senτf ( t − τ ) dτ T2) 0 2  1 F(S) = − 4 2 F ( S )  S +1 2 S  4  2F ( S ) 1 + 2 = 2  S +1 S  S 2 +1+ 4   S2 +5 2 2S 2 + 2F ( S )  = F ( S ) 2  = 2 ⇒ F(S) = 2 2  S 2 +1     S +1  S   S ( S + 5)A B CS + D 2S 2 + 2 + 2 + 2 = 2 2S S S + 5 S ( S + 5)AS ( S 2 + 5) + B ( S 2 + 5) + ( CS + D ) S 2 = 2S 2 + 2AS 3 + 5 AS + BS 2 + 5 B + CS 3 + DS 2 = 2 S 2 + 2A+ B = 0B+D=25A = 0 ⇒ A = 0 ⇒ C = 05B = 2 ⇒ B = 25 ⇒ D = 85 2 -1  1  8  5  2 8y( T ) = L  2 + L-1  2 = T + sen 5T 5 S  5 5 S + 5 5 5 5 f ( T ) + 2 ∫ f (τ )dτc0 s( T − τ ) dτ = 4e −T + senT T3) 0  S  4 1F ( S ) + 2F ( S ) 2 = + 2  S + 1 S + 1 S + 1  S 2 + 2S + 1  4 1  ( S + 1) 2  4 1F ( S )  S 2 + 1  = S + 1 + S 2 + 1 ⇒ F ( S ) S 2 + 1  = S + 1 + S 2 + 1        4( S 2 + 1) S 2 +1 4S 2 + 4 1F(S) = + 2 = + ( S + 1)( S + 1) ( S + 1)( S + 1) ( S + 1) ( S + 1) 2 2 2 3
  15. 15. A B C 4S 2 + 4 + + =S + 1 ( S + 1) 2 ( S + 1) 3 ( S + 1) 3A( S + 1) + B( S + 1) + C = 4 S 2 + 4 2A = 4, B = −8, C = 8  4   8   8   1 f ( T ) = L-1   − L-1  2  + L-1  3 + L-1  2  = L1  S + 1  ( S + 1)   ( S + 1)   ( S + 1)  −T −T 2 −T −T4e − 8Te 4T e + TeECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES: dy + 6 y ( T ) + 9 ∫ y (τ ) dτ = 1 y( 0) = 0 T1) dT 0 ys 1Sy s − y ( 0) + 6 y s + 9 = S S  9 1 S 1ys  S + 6 +  = ⇒ ys = =  S S S ( S + 6 S + 9 ) ( S + 3) 2 2  1 y ( T ) = L-1  2  = Te −3T  ( S + 3)  ∫ y(τ ) dτ y( 0) = 0 T2) y ′ = 1 − senT − 0 1 1 ySy s − y ( 0) = − 2 − s S S +1 S  1 1 1 1 Sys  S +  = − 2 ⇒ ys = 2 −  S  S S +1 S + 1 ( S + 1) 2 2 1y ( T ) = senT − TsenT 2CIRCUITOS:1)Determine la corriente I(T) de un circuito ¨LRC¨ en serie, cuando L = 0.005 henrios, R =1Ω y C = 0.02faradios.
  16. 16. E ( T ) = 100[1 − u ( T − 1) ] I ( 0) = 0 dI 1 T L + RI + ∫ I (τ ) dτ = 100[1 − u ( T − 1) ] dT C o dI 1 T I (τ ) dτ = 100[1 − u ( T − 1) ] 0.02 ∫o 0.05 +I+ dT 50 I s  1 e −S  0.05( SI s − I ( 0) ) + I s + = 100 − S  S  S  10000 I s  1 e −S  SI s + 200 I s + = 20000 − S   S  S   S 2 + 200 S + 10000   1 e −S   ( S + 100) 2   1 − e −S  Is    = 20000 −  S  ⇒ Is   = 20000   S   S     S    S    20000S  1 − e − S  20000 20000e − SIs =  = − ( S + 100) 2  S  ( S + 100) 2 ( S + 100) 2  I ( T ) = 20000Te −100T − 20000Te −100T e − S = 20000Te −100T − 20000( T − 1) e −100( T −1) u ( T − 1)2)Use la transformada de Laplace para determinar la carga en un capacitor de un circuito en serie (RC)cuando q ( 0 ) = 0 , R = 2.5Ω, C = 0.08 faradios y E(T) = 5u(T-3). dq 1R + q = E(T ) dT c 5e −3 S2.5q ′ + 12.5q = 5u ( T − 3) ⇒ 2.5( Sq s − q( 0 ) ) + 12.5q s = S 5e −3 S 2e −3 S2.5q s ( S + 5) = ⇒ qs = S S ( S + 5)A B 2 + =S S + 5 S ( S + 5)AS + 5 A + BS = 2 ⇒ A = 2 5 ⇒ B = − 2 5 2 -1  1  −3 S 2 -1  1  −3 S 2 2 −5( T − 3 )q( T ) = L  e − L  e = u ( T − 3) − e u ( T − 3) 5 S  5 S + 5 5 53)Aplique la transformada de Laplace para hallar la carga q(T). En el capacitor de un circuito ¨RC¨ enserie cuando q ( 0 ) = 0 , R = 50Ω, C = 0.01 faradios y E(T) = 50u(T-1)-50u(T-3).
  17. 17. dq 150 + q = 50u ( T − 1) − 50u ( T − 3) dT 0.01 50e − S 50e −3 S50( Sq s − q ( 0 ) ) + 100q s = − S S −S −3 S e eqs = − S ( S + 2) S ( S + 2 )A B 1 + =S S + 2 S ( S + 2)AS + 2 A + BS = 1 ⇒ A = 12 ⇒ B = −12 1  1  − S 1  1  − S 1  1  −3 S 1  1  −3 Sq( T ) =  e −  e −  e +  e 2 S  2 S + 2 2 S  2 S + 2 1 1 1 1q ( T ) = u ( T − 1) − e − 2( T −1) u ( T − 1) − u ( T − 3) + e − 2( T −3 ) u ( T − 3) 2 2 2 2SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES(MÉTODO DE LA TRANSFORMADA): dx = −x + y dT x( 0 ) = 01) dy y( 0) = 1 = 2x dTx′ = − x + y Sx s − x( 0 ) + x s − y s = 0 ⇒y′ = 2x  Sy s − y ( 0) − 2 x s = 0Sx s + x s − y s = 0 ⇒ y s = Sx s + x sSy s − 1 − 2 x s = 0 ⇒ S ( Sx s + x s ) − 1 − 2 x s = 0 = S 2 x s + Sx s − 1 − 2 x sx s ( S 2 + S − 2) = 1 ⇒ x s = 1 1 1 = 2 = ( S + S − 2 ) S + S − 2 + 4 − 4 ( S + 12 ) 2 − 9 4 2 9 9 2  32  2 1 3x( T ) =  2 9  = e − 2T senh T 3  S − 4  S →S + 1 3 2 2
  18. 18.  1  1y s = Sx x + x s = S  +  (S + 1 ) − 9  (S + 1 )2 − 9 2  2 4 2 4 S+ 2 21 − 1 1 S+ 21 1 1ys = + = − 2 (S + 2 1 )2 − 9 4 (S + 2 1 )2 − 9 4 (S + 2 1 )2 − 9 4 (S + 2 1 )2 − 9 (S + 1 )2 − 9 4 2 4 3 3 1 3 2 1 3y ( T ) = e − 2T cosh T − e − 2T senh T + e − 2T senh T 1 2 4 2 3 2 2 − 12T 3R/ x( T ) = e senh T y 3 2 3 3 1 3 2 1 3y ( T ) = e − 2T cosh T − e − 2T senh T + e − 2T senh T 1 2 4 2 3 2 dx = x − 2y dT x( 0 ) = −12) dy y( 0) = 2 = 5x − y dTx′ = x − 2 y  Sx s − x( 0 ) = x s − 2 y s  Sx s + 1 = x s − 2 y s  Sx s − x s + 2 y s = −1 ⇒ ⇒ ⇒y′ = 5x − y Sy s − y ( 0) = 5 x s − y s  Sy s − 2 = 5 x s − y s  Sy s + y s − 5 x s = 2 5 x s ( S − 1) + 10 y s = −5 − 5 x s ( S − 1) + y s ( S + 1)( S − 1) = 2( S − 1) 10 y s + y s ( S + 1)( S − 1) = −5 + 2 S − 2[ x s ( S − 1) + 2 y s = −1]( 5) [ − 5 x s + y s ( S + 1) = 2]( S − 1)  y s (102 + S − 1) = 2S − 7 ⇒ 2  y s ( S + 9) = 2S − 7 2S 7 7 ys = − 2 ⇒ y ( T ) = 2 cos 3T − sen3T S +9 S +9 2 3 10 x s − 2 y s ( S + 1) = −4 x s ( S − 1)( S + 1) + 2 y s ( S + 1) = −1( S + 1)[ x s ( S − 1) + 2 y s = −1]( S + 1)  xs ( S − 1)( S + 1) + 10 xs = −1( S + 1) − 4 ⇒[ − 5 x s + y s ( S + 1) = 2]( − 2)  xs ( S 2 − 1 + 10) = − S − 5  −S 5 5 xs = − 2 ⇒ x( T ) = − cos 3T − sen3T S +9 S +9 2 3
  19. 19. 7R/ y ( T ) = 2 cos 3T − sen3T 3 5 x( T ) = − cos 3T − sen3T 3

×