Notas de aula

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  • 1.  Professor: Edenilson Macedo Meneguel E-mail: edenilson_guns@hotmail.com Blog: professoredenilson.blogspot.com
  • 2. ▬ Notas e médias: Profª Edenilson Macedo Meneguel – Notas de aula ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬ Números naturais: É o mais simples entre os conjuntos Prova iremos estudar. O Peso geral considerado como que mesmo é  a = é o número de números para contar. Os números naturais são provas do bimestre. representados pela letra N. Sendo um conjunto de  b = número de cardinal infinito. trabalhos do bimestre. N = {0, 1, 2, 3, ... } prova Cada  Nota histórica: Não se pode precisar a data de seu surgimento. Sabe-se Nota do aluno que ele surgiu de forma  E = acertos do implícita ao ato depor prova Os pastores, por contar. aluno. exemplo, guardavam suas ovelhas estabelecendo  Q = número de uma correspondência biunívoca entre o conjunto de questões da prova. ovelhas e o conjunto de geral Trabalho Peso pedrinhas, pois cada  a = é o número de pedrinha correspondia a uma ovelha. Desde então provas do bimestre. vários matemáticos estudaram suas características  b = número de e padrões. trabalhos do  Subconjuntos: é a divisão do conjunto em outros bimestre. conjuntos que são Cada trabalho critérios de definidos por existência.  Propriedades: são regras gerais válida para qualquer número natural; do aluno Nota  F é o número de Operação Propriedades trabalhos entregues. Adição Média do bimestre Comutativa 1. 2. Associativa 3. Elemento neutro Média com recuperação operação a – b será possível Subtração Obs.: A somente se a > b. Não admitindo as operações da soma. Produto 1. Comutativa Obs.: A recuperação será realizada para todos os alunos da sala. 2. Associativa 3. Elemento neutro Planejamento de Trabalho Docente das Aulas de Matemática 4. Distributiva Divisão Obs.: A operação a / b será possível somente se a for múltiplo de b.  Potência: Chama – se de potencia ao produto sucessivo de um número a (a diferente de zero). Onde, n é o número de vezes que o fator a deve ser repetido.  Em símbolos:  Propriedades: seja a, b, m e n pertencentes aos naturais, com a e b diferentes de zero, temos: Produto Divisão Potência da potência
  • 3. Potencia da base distinta Potência inversa Potência nula  Porcentagem: é o valor Potência obtido ao aplicarmos uma unitária taxa percentual a outro determinado valor. Obs.: 1 - Os números naturais obedecem à  Taxa percentual: é propriedade do fechamento somente para as representada por i %, operações de adição e subtração. onde  Obs.: 2 – Trabalhar com as potências decimais.  Radiciação: (conteúdo do 7ª ano)  Em símbolos: 1. Exprima, sob forma de taxa percentual, cada  Propriedades: seja a, b, m e n pertencentes aos uma das seguintes razões; naturais, com a e b diferentes de zero, temos: a. Produto de b. radicais Divisão de c. radicais 2. Meio representa quantos Potência de por cento de ·? radicais Potência inversaObs.: 2 – Trabalhar com a adição e subtração de radicais. Unidade de superfície: é a área tomada como padrão de medida de outras superfícies;  A unidade fundamental é o metro quadrado (m²), que representa a superfície de um quadrado de 1 m de lado. Km² hm² dam² m² dm² cm² mm² ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬  Para a medida de superfícies de campos, as unidades conhecidas são o are, seus submúltiplos e múltiplos. Unidades de Comprimento: A unidade fundamental é o metro (m), com seus múltiplos e submúltiplos; Nomes Símbolos Valores Múltiplo Quilômetro Km 1000 m Hectômetro hm 100 m Decâmetro dam 10 m Unidade Metro m 1m Decímetro dm 0,1 m
  • 4. Centímetro cm 0,01 m Submúltiplo Milímetro mm 0,001 m Unidade de massa: A unidade fundamental é o quilograma (kg). Na prática é utilizada a grama. Nomes Símbolos Valores Múltiplo Tonelada t 1.000.000g 1.000 kg Quintal q 100.000 g 100 kg Quilograma Kg 1.000 g Hectograma hg 100 g Decagrama dag 10 g Unidade Grama g 1g Decigrama dg 0,1 g Centigrama cg 0,01 g Submúltiplo Miligrama mg 0,001 g Unidades de tempo: A unidade fundamental é o segundo (s). O segundo vale aproximadamente do dia solar médio. Nomes Símbolos Valores Segundo s 1s (unidade) Minuto mim 60 s Hora h 60 mim 3.600 s Dia d 24 h 1.440 mim 86.400 s Ano a 365,24 dias Unidades de volume: A unidade fundamental é o metro cúbico (m³). Nomes Símbolos Valores (cúbico) Múltiplo Quilômetro Km³ m³ Hectômetro hm³ m³ Decâmetro dam³ m³ Unidade Metro m m³ Decímetro dm m³ Centímetro cm m³
  • 5. Submúltiplo Milímetro mm m³(Onde metro cúbico é igual a mil litros)  Múltiplo  Unidades de mesma origem são os múltiplos e submúltiplos de uma unidade fundamental.  Submúltiplo:  Obs.: Trabalhar alguns exemplos de transformação de unidades Frações: Define-se como fração ao valor resultante da divisão de dois números naturais. Abordar números primos e  Em símbolos: mínimo múltiplo comum  antes do tópico de frações.  Nota histórica: Historicamente as frações surgiram de medições. Pois, ao medir um segmento de reta com uma unidade u de medida 1 observou-se que ocorreria as seguintes possibilidades: 1. A unidade u cabe em um número p de vezes. Vamos supor que u caiba exatamente p vezes em . Então, a medida de unidades, em que p é um número natural. 2. A unidade u não cabe um número exato de vezes em . Nesse caso, procuramos um A u u u u u B segmento v de tal forma que v caiba um número q de vezes em u e um número p de vezes em , ou seja, teremos que a medida de e, consequentemente, . A v v v v v B Surgindo, assim, os números fracionários e, por conseguinte, o surgimento do conjunto dos números racionais absolutos. v v v v  Classificação das frações: As frações poder ser classificada como: próprias, impróprias ou aparentes. As frações denominadas próprias são Os segmentos u e são ditos as frações cujo numerador é menor que o segmentos comensuráveis de denominador, ou seja, . As frações unidade v. impróprias são todas cujo numerador é maior que o denominador, ou seja, . Por sua vez, as frações aparentes são todas as frações que representam uma divisão exata.  Tipos de fração:  Frações equivalentes: são as que possuem o ▬ Exemplo ▬▬▬▬▬▬▬ mesmo valor, isto é, representam a mesma Determine a fração que quantia. representa os números decimais  Fração geratriz: é a fração que gera uma periódicos abaixo: dizima periódica simples ou composta. 1) 0, 1515... Operação com frações: 2) 1, 15252525...
  • 6.  Adição de frações: as frações em estudos podem ser homogêneas ou heterogêneas.  Se as frações forem homogêneas, isto é, se os denominadores forem iguais, basta somarmos os numeradores.  Se as frações forem heterogêneas, ou seja, se os denominadores forem diferentes deveremos obter  Sejam a, b, m, n, q e p uma nova fração que será igual à soma das números naturais não- mesmas, ou seja, procederemos da seguinte nulos, temos: forma:  Termo de Determinamos mmc dos denominadores, racionalização: , sendo este o denominador de nossa nova onde p é a diferença fração; entre n e q. Para determinarmos os numeradores  Racionalização: deveremos dividir o mmc pelos denominadores das frações originais e, logo após, multiplicá-los pelos seus respectivos numeradores.  Produto de frações: Para determinarmos o produto entre duas frações, independendo se são frações homogêneas ou não, procedemos da seguinte maneira:  Multiplicamos os numeradores.  Multiplicamos os denominadores. ▬ Exemplo ▬▬▬▬▬▬▬  Comparação de frações: para compararmos duas Expresse a forma racionalizada frações deveremos transformá-las em frações aparentes com mesmo denominador e, logo após de . compararmos os numeradores.  Subtração de frações: Seja a e b duas frações bem Pelas propriedades de racionais definidas. A operação a – b só é possível se, e temos: somente se, a b para o conjunto dos números naturais, em caso contrário não haverá restrições.  Potência de frações: Para determinarmos uma potencia entre duas ou mais frações procedemos da forma que para números naturais. Sendo válidas Além disso, temos: n = 3, q = 15 todas as propriedades vistas. e m = 3.  Radiciação de frações: Para determinarmos a Logo: radiciação entre duas ou mais frações procedemos da forma que para números naturais. Sendo válidas todas as propriedades vistas. Sendo assim:  Obs.: trabalhar racionalização de denominadores com radicais.  Obs.: Ver mmc antes de operações com frações. Múltiplos de um número natural: Diz-se que um número natural a é múltiplo de um natural b se, existir um natural k de tal forma que . Onde k é a constante de multiplicidade.
  • 7.  Um cardinal infinito: O conjunto dos números naturais é infinito. Assim, existem infinitos múltiplos de números naturais.  Representação do conjunto dos múltiplos: Costuma-se representar os múltiplos de um número na forma de conjuntos, ou seja, .  Tabela dos múltiplos de um número natural:X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 92 0 2 4 6 8 10 12 14 16 183 0 3 6 9 12 15 18 21 24 274 0 4 8 12 16 20 24 28 32 365 0 5 10 15 20 25 30 35 40 456 0 6 12 18 24 30 36 42 48 547 0 7 14 21 28 35 42 49 56 638 0 8 16 24 32 40 48 56 64 729 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81  Mínimo múltiplo comum (mmc): para determinarmos o mmc de dois ou mais números devemos decompô-los em fatores primos até obtermos o elemento neutro da multiplicação. O mmc é o produto destes fatores primos. Divisores de números naturais: Os divisores de um número natural é todo número que, ao dividirem o mesmo, resultará em uma divisão exata.  Critérios de divisibilidade: são critérios que possibilitam determinar se o número em estudo é divisível ou não por aquele número.  Divisível por 2: se, e somente se, o número em estudo for par.  Divisível por 3: Um número em estudo será divisível por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos são múltiplos de 3.  Divisível por 4: Um número em estudo será divisível por 4 se, e somente se, os dois últimos algarismos do número for múltiplo de 4.  Divisível por 5: Um número em estudo será divisível por 5 se, e somente se, terminar em 5 ou em 0.  Divisível por 6: Um número em estudo será divisível por 6 se, e somente se, for divisível concomitantemente por 3 e por 2.  Divisível por 7: para determinarmos se um número em estudo é divisível por 7 procedemos da seguinte maneira: Separa-se o último algarismo da direita. Subtrai-se o dobro deste número do número formado pelo restante dos algarismos.
  • 8. Repete-se o procedimento até encontrar, se existir, um múltiplo de 7. Caso exista este múltiplo ao efetuar o procedimento dizemos que o número gerador é múltiplo de 7.  Divisível por 11: para determinarmos se um número em estudo é divisível por 11 procedemos da seguinte maneira: Separa-se o último algarismo da direita. Subtrai-o do número formado pelo restante dos algarismos. Repete-se o procedimento até encontrar, se existir, um múltiplo de 11. Caso exista este múltiplo ao efetuar o procedimento dizemos que o número gerador é múltiplo de 11.  Máximo Divisor Comum: O método que iremos apresentar é conhecido como algoritmo de Euclides e Euclides (c. 330 a. C. - 260 a. C.) é utilizado para determinar o maior (ou máximo) divisor comum de dois números. Nasceu na Síria e estudou em Divisão exata: Para qualquer n, tal que Atenas. Foi um dos primeiros é não nulo vai existir um natural geômetras e é reconhecido como tal que: um dos matemáticos mais importantes da Grécia Clássica e de todos os tempos. Muito pouco se sabe da sua Algoritmo de Euclides: determine o mdc de vida. Sabe-se que foi chamado 125 e 12. para ensinar Matemática na Dividendo Divisor Resto Quociente escola criada por Ptolomeu 125 12 5 10 Soter (306 a. C. - 283 a. C.), em 12 5 2 2 Alexandria, mais conhecida por 5 2 1 2 "Museu". Aí alcançou grande 2 1 0 2 prestígio pela forma brilhante como ensinava Geometria e Obs.:1 : O procedimento deve ser repetido Álgebra, conseguindo atrair enquanto o resto não for nulo. para as suas lições um grande Obs.: 2 : O mdc é o resto dado pela iteração número de discípulos. Diz-se anterior. que tinha grande capacidade e Obs.: 3 : Caso o resto anterior for 1, então habilidade de exposição e os números em estudo são ditos primos algumas lendas caracterizam- entre si. no como um bondoso velho.  Quantidade de divisores de um número natural: seja os índices de repetição dos fatores primos da decomposição de um número natural A, temos que a quantidade de divisores deste número é dada pela formula Números primos: Seja P > 1 e A dois números pertencentes aos naturais e diferentes de zero. Se a razão existir no conjunto dos números naturais e seu
  • 9. resultado for 1 ou P dizemos que P é um número primo.  Crivo de Erastóstenes: L/C I II III IV V VI VII VIII IX X i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ii 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 iii 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 iv 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 v 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 vi 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 vii 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 viii 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 ix 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 x 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Logo, os números primos compreendidos entre 1 e 100 são: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.  Teorema fundamental da aritmética: Todo número natural (diferente de 1) pode ser decomposto como o produto de números primos.  Decomposição de um número natural em fatores primos: Consiste em determinar todos os fatores primos que são divisores deste número.  Exemplo: Determine todos os fatores primos de 1380. 1380 2 690 2 345 5 69 3 23 23 1 ▬ Logo, tendo como fatores primos 2, 3, 5 e 23. Geometria: Estudaremos a seguir os postulados que dá subsídios a existência da geometria.  Notação de ponto, reta e plano:  Ponto ▬ letras maiúsculas latinas: A, B, C, D, E, F, ...  Reta ▬ letras latinas minúsculas: a, b, c, ...  Plano ▬ letras gregas minúsculas:  Postulados da determinação:  Reta: Por dois pontos distintos determinam uma e, somente uma reta que passa por estes dois pontos.  Plano: Por três pontos distintos e não
  • 10. colineares pode-se determinar somente um plano que passa por eles.  Postulados da existência:  Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.  Num plano existem infinitos pontos.  Postulado da inclusão: Se uma reta tem dois Onde há mais pontos: no pontos distintos num plano, então esta reta esta segmento , de 2 cm, ou no contida neste plano. segmento , de 3 cm? Conceitos sobre retas:  Retas concorrentes: Duas retas são ditas - Trace as retas e até concorrentes se, e somente se, elas têm um único encontrarem o ponto O. ponto comum.  Segmento de reta: Sejam dois pontos distintos, a O reunião do conjunto destes pontos com o conjunto A B dos pontos internos a eles determinam um segmento P de reta.  Semirreta: Dados dois pontos, a reunião do C Q D segmento de reta com o conjunto de todos os pontos X tais que B esta entre A e X é uma semir Observe que, qualquer que reta e é indicada como . passa por O e corta ,  Obs.: Comentar sobre segmento consecutivo, também encontra em um colineares e adjacentes. ponto. Do mesmo modo toda reta que passa por O e corta , também encontra em um ponto. (R: Em ambos os segmentos há infinitos pontos.) Triângulos: Seja três pontos distintos e dois não colineares. Define-se triângulo como sendo a reunião pelo vértice dos segmentos formados por estes pontos. Classificação dos triângulos: Podemos classificar um triângulo segundo a medida de seu lados ou a medida de seus ângulos. Podendo também fazer ambas as análises ao mesmo tempo.  Classificação segundo os lados ▬ Pode ser classificada de três formas:  Equilátero: É todo triângulo cuja medida dos três lados possui módulos iguais.  Escaleno: É todo triângulo cuja medida dos três A lados possui módulos diferentes.  Isósceles: É todo triângulo que possui as x medidas de dois de seus lados com módulos O B iguais e um com módulo diferente. Ângulos: Chama-se ângulo a reunião de duas Ângulo completo é dado pela semirretas de mesma origem. intersecção dos semiplanos e  Ângulos consecutivos: Dois ângulos são ditos consecutivos se, e somente se, possuem um lado em
  • 11. comum.  Ângulos adjacentes: Dois ângulos são ditos consecutivos se, e somente se, não possuem pontos internos em comum.  Ângulos complementares: A sua soma da 90º.  Ângulos suplementares: A sua soma da 180º.  Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.  Medida de um ângulo: A notação para medida de um ângulo é .  Ângulo agudo: É todo ângulo cuja medida é inferior a 90°.  Ângulo reto: É todo ângulo cuja medida é igual a 90°.  Ângulo obtuso: É todo ângulo cuja medida é superior a 180°. Classificação dos triângulos segundo os ângulos ▬ Pode ser classificada de três formas, e para isso, utilizamos a síntese de Clairault:  Sejam a, b, c as medidas dos lados de um triângulo. Logo: . Onde a é o lado de maior modulo.  Obs.: O último item (3) da síntese de Clairault será estudado detalhadamente nas séries seguintes. Teorema dos números simétricos: Sejam x e y dois Demonstração: números pertencentes aos naturais e diferentes de zero. Vamos supor que , ou A soma x+y será igual a zero se, e somente, se y = -x, seja, vamos supor que: onde y é chamado de simétrico de x. –  Na reta numérica, teremos: Donde temos pelo princípio da -x -1 0 1 x interpolação numérica: ▬I▬▬▬▬I▬▬▬I▬▬▬I▬▬▬▬I▬▬▬ X Donde temos o conjunto dos números simétricos De tal forma que: .  Números inteiros: É o conjunto formado pela . Absurdo, pois para união do conjunto dos números naturais com o que devemos ter conjunto dos números simétricos. . logo, para que x+y = 0,  Subconjuntos: devemos ter y = - x.  Subconjunto dos inteiros maiores que zero A recíproca é imediata. ;  Subconjunto dos inteiros menores que zero ;  Subconjunto dos inteiros positivos ;  Subconjunto dos inteiros negativos ;  Subconjunto dos inteiros diferentes de zero ;  Operações com números inteiros: são válidas
  • 12. todas as propriedades dos naturais.  Existência do número simétrico;  Fechamento com relação à operação de subtração; Produto ▬ Deverá ser verificado os sinais ao efetuar a operação, pois: Equação do 1ª grau: Seja a e b escalares, onde a é diferente de zero. Seja x um número pertencente ao  Inequações do primeiro conjunto dos racionais, define-se como sendo uma grau é toda equação do equação do 1ª grau a toda expressão do tipo . tipo:  Raiz de uma equação: é o valor que x deve assumir  ou para que a equação seja válida.  ou  Método da falsa posição: consiste em supor  ou um valor qualquer para x e, logo após,  calcular o valor que o mesmo resulta no lado  Cuja solução será escrito da direito da equação, obtendo assim um resultado seguinte forma: falso. Para determinar o valor verdadeiro de x resolvemos a seguinte proporção: X5 + + Método das operações inversas: consiste em efetuar todas as operações inversas apresentadas pela equação, ou seja, -2 suponhamos que queremos determinar para qual x a equação 2x +1 = 5 é válida, logo Superior P fazemos: esquerdo 2x +1 -1=5-1 (subtraindo 1 de ambos os Superior 5P membros, pois a operação inversa da soma direito é a subtração) Inferior 2x = 4 (pois -1 e 1 são simétricos, logo sua direito soma 0 ) Inferior X = 2 (dividindo ambos os membros da esquerdo equação por 2, pois a operação inversa do Superior produto é a divisão). esquerdo  Aplicação das equações do 1ª grau:  Regara de três simples  Regra de três composta Como o superior esquerdo éPe temos:
  • 13.  Proporção: define-se como proporção a igualdade entre No deserto, um matemático e duas ou mais razões, ou seja: seu amigo socorreram um viajante que morria de fome. O matemático têm 5 pães e o Onde k é dito constante de proporcionalidade. amigo têm 3. Eles juntaram os  Propriedades: pães, divide em três partes iguais, e cada um come os até chegarem a uma cidade. O viajante era, na verdade, um rico príncipe. Para recompensar  Diretamente proporcional seus salvadores, deu 5 barras  Inversamente proporcional de ouro ao matemático e 3 ao  Aplicação das proporções: seu amigo, dizendo:  Regara de três simples ▬ Estas recompensas são  Regra de três compostas proporcionais ao que voes me deram. ▬ Então, o senhor se enganou Dados 1 Dados 2 Dados 3 disse o matemático. Essas A B C recompensas são proporcionais D E X ao que tínhamos e não ao que lhe demos. Dados 1 Dados 2 Obs.: deve-se verificar se as razões são A B diretamente ou inversamente proporcionais. C X Onde temos: A – Investigue o que é grandezas proporcionais. B – Resolver, junto com os alunos o problema do príncipe. E Distância: é a medida do afastamento que dois objetos se encontram um do outro no espaço;  Distância entre dois pontos.  Distância entre reta e ponto.  Distância entre duas retas. Retas concorrentes: Duas retas distintas são ditas concorrentes se, e somente se, possuir um único ponto em Comum. Retas perpendiculares: Duas retas distintas são ditas perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e os ângulos suplementares forem congruentes, ou seja, sua medida for 90º.  Num plano, por um ponto P de uma reta r existe uma única reta s perpendicular à r.
  • 14.  Por um ponto dado fora de uma reta dada existe uma e somente uma perpendicular a reta dada. Retas paralelas: Duas retas distintas são ditas paralelas se, e somente se, não possuem nenhum ponto em comum.  Sejam a e b duas retas distintas, paralelas ou não, e t uma reta concorrente (transversal) com a e b, temos: t  Alternos: 1 e 7, 2 e 8, 3 e 5, 4 e 6 b 1 2  Correspondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8  Colaterais: 1 e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5 4 3  Se duas retas distintas interceptam uma transversal, então os ângulos alternos (ou ângulos a 5 6 correspondentes) são congruentes. (vale recíproca) 8 7  Por um ponto passa uma única reta paralela a reta dada. Produtos notáveis: São operações algébricas que auxiliam a outros cálculos.  Quadrado de uma soma: É o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo termo.  Quadrado de uma diferença: É o quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo termo.  O produto da soma pela diferença: É a diferença entre o quadrado do primeiro pelo segundo. Congruência de triângulos: Um triângulo é congruente ( ) a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma relação entre seus vértices de modo que:  LAL ▬ Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes.  ALA ▬ Se dois triângulos têm congruentes um lado e os dois ângulos adjacentes a ele, então esses triângulos são congruentes.  LLL ▬ Se dois triângulos possuem ordenadamente congruentes seus lados, então esses triângulos são congruentes.  LA ▬ Se dois triângulos têm ordenadamente um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a este lado, então esses triângulos são congruentes.  Caso especial ▬ Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes. Teoremas dos triângulos  Se um triângulo é isósceles, então os ângulos de sua base são congruentes.  Um ângulo esterno de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.
  • 15.  Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não são congruentes e o maior deles opõe-se o maior lado.  Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a eles não são congruentes e o maior deles opõe-se o maior ângulo.  Em todo triângulo um lado é maior que o modulo da diferença dos outros dois e menor que sua soma. Semelhança de triângulos ▬ Dois triângulos são  Propriedade ▬ Se duas semelhantes se, e somente se, é possível estabelecer uma retas são transversais de um relação entre seus vértices de modo que: feixe de retas paralelas  Se dois triângulos possuem dois ângulos distintas e um segmento de ordenadamente congruentes, então eles são uma delas é dividido em p semelhantes. partes congruentes entre si e  Se dois lados de um triângulo são proporcionais pelos pontos de divisão são aos homólogos de outro triângulo e os ângulos conduzidas retas do feixe, compreendidos entre eles são congruentes, então os então o seguimento triângulos são semelhantes. correspondente da outra  Se dois triângulos têm os lados homólogos transversal será também proporcionais, então eles são semelhantes dividido em p partes  Teorema fundamental ▬ Se uma reta é paralela a congruentes e essas partes um dos lados de um triângulo e intercepta os outros serão congruentes entre si. dois em pontos distintos, então o triângulo que ela  Teorema de tales (ou determina é semelhante ao primeiro. teorema da proporção) ▬ Se duas retas são transversais de um feixe de paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer será igual à razão entre seus segmentos correspondentes. ▬ Desafio ▬▬▬▬▬▬ Peso: 1 ponto MF. Os lados de um triângulo medem 3 cm 5 cm e 7 cm . Perímetro é a soma das medidas Calculem as medidas de um triângulo semelhante a este dos lados de uma figura cujo perímetro é de 42 cm e, classifique-os quanto aos qualquer. ângulos. Resolução: ▬ De (2) vem: ▬ Vamos chamar de a, b e cãs medidas do triângulo que queremos determinar. ▬ Temos que o perímetro deste triângulo deve ser 42 cm, ou seja: ▬ Além disso, este triângulo deve ser Os lados do triângulo semelhante ao triângulo dado de semelhante ao triângulo dado medidas 3, 5 e 7. Logo: serão , e
  • 16. ▬ Triângulo dado: 49 > 9 +25 Obtusângulo. ▬ triângulo semelhante: 384,16 > 70,56 + 196 Obtusângulo Quadriláteros: Sejam quatro pontos distintos, onde três não colineares. Define-se como quadrilátero a reunião Quadriláteros convexos pelo vértice dos seguimentos de retas formadas por estes pontos. Paralelogramo  Paralelogramo: Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.  Em todo paralelogramo dois ângulos opostos são congruentes. (vale recíproca)  Em todo paralelogramo dois lados opostos são Retângulo: Quadrado congruentes. (vale recíproca)  Em todo paralelogramo as diagonais Losango interceptam-se nos respectivos pontos médios. (vale recíproca)  Retângulo: Um quadrilátero plano convexo é um Trapézio retângulo se, e somente se, seus ângulos são congruentes.  Propriedades do paralelogramo.  Em todo retângulo as diagonais são congruentes. (vale recíproca)  Losango: Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui todos os seus lados congruentes.  Propriedades do paralelogramo.  Todo losango tem diagonais perpendiculares. (vale recíproca)  Trapézio: Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui apenas dois de seus lados paralelos.  Em qualquer trapézio ABCD de base e temos:  Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.  As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.  Quadrado: Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os ângulos congruentes assim como os lados congruentes.  Propriedades do paralelogramo.  Todo quadrado é retângulo e é também losango.
  • 17.  Área de superfícies planas ▬ Define-se com área de superfícies planas a um número racional absoluto tal que:  As superfícies equivalentes esta associado a áreas iguais.  A soma de superfícies esta associada a uma área que é igual à soma das áreas das superfícies parcelas.  Uma superfície esta contida ou é igual à outra se, e somente se, a área for menor ou igual à área da superfície que conterá a outra. Área das principais figuras panas:  Área do retângulo ▬ A área de um retângulo é consequência direta dos seguintes teoremas:  Se duas superfícies retangulares possuírem congruentes as bases (ou as alturas), então a razão entre as areias será igual à razão entre as alturas (ou bases).  Se duas superfícies retangulares possuem medias distintas (ou iguais), então a razão entre as áreas será igual ao produto das razões entre as alturas com a razão entre as bases.  Obs.: Caso base seja igual à altura temos a área do quadrado  Área de um triângulo ▬ A área associada à superfície triangular é igual à metade do produto entre sua base e sua altura.  Área de um losango ▬ A área associada a uma superfície em formato de losango é igual ao produto entre suas diagonais.  Área de um trapézio: A área de um trapézio é igual à metade do produto da sua altura pela soma de suas diagonais. Monômio ▬ É toda expressão matemática constituída do produto da parte literal pelo coeficiente. Coeficiente do latim coefficere é Polinômio ▬ São uma expressão formada pó somas e o fator multiplicativo de um subtrações de vários monômios. termo.  Soma (ou subtração) de polinômios ▬ É realizada quando as partes literais adicionadas são Parte literal constitui no semelhantes. produto entre variáveis  Produto de polinômios ▬ É realizado quando as distintas, onde cada variável partes literais multiplicadas são semelhantes. possui expoentes iguais ou distintos. Sistema de euqações do primeiro grau ▬ É a relação entre n equações do 1ª grau com n variáveis cada. Onde Em uma divisão temos que o a solução do mesmo é dada pelos valores quociente é 26 e o resto é 3. correspondentes a cada variável, de tal forma a tornar Sabendo que a soma do todas as euqações verdadeiras concomitantemente. dividendo, do divisor, do  Método da adição quociente e do resto é 86  Método da substituição determine:  Método da comparação A – A diferença entre o
  • 18. dividendo e o divisor. P Q B – O produto entre o divisor e o 3 26 dividendo. Elementos do triângulo retângulo ▬ conscideremos um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento A perpendicular ao lado , com D em  → hipotenusa (medida a) c h b m n  → cateto (medida b) B a=n+m C  → cateto (medida c)  → Projeção do cateto sobre a hipotenusa (medida m)  → Projeção do cateto sobre a hipotenusa (medida n)  →altura relativa à hipotenusa (medida h) Relações métricas – Trata-se de uma importante c h b aplicação de semelhança de triângulos. m n  Da semelhança segue que: B a=n+m C  Da semelhança segue que: Para refletir Você observou que as relações (i) e (iii) são as mesmas,  Da semelhança segue que: apenas mudam do lado esquerdo para o lado direito do triângulo ABC? Ambas podem  Somando (i) e (iii) temos: ser generalizadas como: + ▬ Teorema de Pitágoras ▬▬  Seno: É a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.  Cosseno: É a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.  Tangente: É a razão entre o cateto oposto e o cateto ▬ Relações fundamentais ▬▬ adjacente.  Cotangente: É o inverso da tangente.  Secante: É o inverso do cosseno.  Cossecante: É o inverso do seno
  • 19.  Números irracionais ▬ Como vimos há números decimais que podem ser escritos na forma fracionária ▬ é um número com numerador inteiro e denominador inteiro (diferente irracional? ▬▬▬ de zero). Mas há também números decimais que não admitem essa representação: são os decimais infinitos e Vamos supor que é um não periódicos . Esses números são chamados de número racional, ou seja, ode números irracionais. ser escrito como a razão entre dois números inteiros e vamos  supor que esta fração é  irredutível, donde teremos:  Espiral de Teodoro ▬ Utilizando a relação de pitágoras, podemos representar alguns desses números em uma reta numérica. . Donde teremos que é par, logo P é par e pode ser escrito como , donde Temos: . Portanto, será par, logo Q será par. Como P é par e Q será par, teremos que a razão entre P e Q será redutível o que é absurdo, pois supomos que era irredutível, logo é um número irracional. (obs.: construir com os alunos a espiral. LEITURA ▬ a crise dos irracionais) Conjunto dos números reais ▬ Da reunião do conjunto dos números raconais com o conjunto dos números irraconais obtemos o conjunto dos números reais.  São válidas todas as propriedades vistas para os demais gropos (ou conjuntos) numéricoas.  O conjunto dos números reais é fehado para todas as operações, exeto para a radiciação. ▬ Resumo ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ O diagrama a seguir relaciona os conjuntos (ou grupos) numéricos estudados até aqui: