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Números naturais 1

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Números naturais 1

  1. 1. A história dos números naturais e o estado do zeroO conjunto dos números naturais é o mais simples entre os conjuntos que iremosestudar. É com os números naturais que as crianças têm seu primeiro contato com amatemática. Seu surgimento se deu devido à necessidade do homem de contar seurebanho. O primeiro grande avanço na abstração foi o uso de símbolos (1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, e 9) para representar os números. Isto permitiu o desenvolvimento desistemas para o armazenamento de grandes números, tais como o sistema romano,babilônico, egípcio, entre outros.Os números naturais são os chamados números para contar. Costuma-se indicar oconjunto dos naturais com o símbolo .Outros matemáticos, principalmente os teorizadores dos números, não consideram ozero como elemento dos números naturais.Estudaremos algumas de suas propriedades.SubconjuntosVamos observar os seguintes conjuntos: (conjunto dos números pares) (conjunto dos números ímpares)O que acontece se reunirmos os elementos destes dois conjuntos? A resposta ésimples, obteremos o conjunto dos números naturais. A estes conjuntos associamosum nome. Os mesmos são chamados de subconjuntos dos naturais, pois obedecema sua regra de formação (EX.: A ={ para todo K pertencente aos naturais, tal que cadaelemento deste conjunto é do tipo 2k}) e que a reunião destes conjuntos é igual aoconjunto de formação, neste caso os números naturais.Exemplos: (conjunto dos números naturais que não contém o elemento zero) P = { para todo k pertencente aos naturais, tal que k > 3}, ou seja, P = { 4, 5, 6, 7, 8, }
  2. 2. Operações com números naturaisA primeira operação fundamental da Aritmética tem porfinalidade reunir em um só número, todas as unidades dedois ou mais números. Antes de surgir os algarismosindo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meiode tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou pormeio de ábacos.Propriedades:Adição de números naturais:Fechamento: A adição no conjunto dos números naturaisé fechada, pois a soma de dois números naturais é aindaum número natural. O fato que a operação de adição éfechada em N é conhecido na literatura do assunto como:A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.Associativa: A adição no conjunto dos números naturaisé associativa, pois na adição de três ou mais parcelas denúmeros naturais quaisquer é possível associar asparcelas de quaisquer modos, ou seja, com três númerosnaturais, somando o primeiro com o segundo e aoresultado obtido somarmos um terceiro, obteremos umresultado que é igual à soma do primeiro com a soma dosegundo e o terceiro.Elemento neutro: No conjunto dos números naturais,existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando umnúmero natural qualquer e somando com o elementoneutro (zero), o resultado será o próprio número natural.Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adiçãoé comutativa, pois a ordem das parcelas não altera asoma, ou seja, somando a primeira parcela com asegunda parcela, teremos o mesmo resultado que sesomando a segunda parcela com a primeira parcela.
  3. 3. Multiplicação de números naturais:Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto Ndos números naturais, pois realizando o produto de doisou mais números naturais, o resultado estará em N. Ofato que a operação de multiplicação é fechada em N éconhecido na literatura do assunto como: A multiplicaçãoé uma lei de composição interna no conjunto N.Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 oumais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmoso primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmospor um terceiro número natural, teremos o mesmoresultado que multiplicar o terceiro pelo produto doprimeiro pelo segundo.Elemento Neutro: No conjunto dos números naturaisexiste um elemento neutro para a multiplicação que é o 1.Comutativa: Quando multiplicamos dois númerosnaturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera oproduto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelosegundo elemento teremos o mesmo resultado quemultiplicando o segundo elemento pelo primeiroelemento.Distributiva: Multiplicando um número natural pela somade dois números naturais, é o mesmo que multiplicar ofator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar osresultados obtidos.

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