Trigonometria e ângulos na circunferência

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Trigonometria e ângulos na circunferência

  1. 1. Trigonometria noTriângulo Retângulo
  2. 2. Relacionando lados e ângulos• A trigonometria tem sua origem, portanto, na necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo. B  a hipotenusa BC = a  o cateto AC = b a  o cateto AB = c c  A = 90º C A b  B + C = 90º
  3. 3. Relacionando lados e ângulos B  a a2 = b2 + c2c ⍺ C A b cateto oposto a ⍺ csen ⍺ = = hipotenusa a cateto adjacente a ⍺ bcos ⍺ = = hipotenusa a
  4. 4. Relacionando lados e ângulos B  a a2 = b2 + c2 c ⍺ C A b cateto oposto a ⍺ c tg ⍺ = = cateto adjacente a ⍺ b os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas doângulo ⍺.
  5. 5. Exemplos• O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B. A Teorema de Pitágoras 12 16 BC2 = AB2 + AC2 C B x2 = 162 + 122 20 x2 = 256 + 144 x2 = 400 x = 20
  6. 6. Exemplos• O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. A 12 16 C B 20 cateto oposto a B 12 3 sen B = = = = 0,6 hipotenusa 20 5 cateto adjac. a B 16 4 cos B = = = = 0,8 hipotenusa 20 5
  7. 7. Exemplos• O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. A 12 16 C B 20 cateto oposto a B 12 3 tg B = = = = 0,75 cateto adjac. a B 16 4
  8. 8. Exemplos• Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm. y x + y = 90º 16 5 cm x ⇒ x ≈ 40º 6 cm 6 tg y = = 1,2 ⇒ y ≈ 50º 5
  9. 9. Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
  10. 10. Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º. 30º 45º 60º sen ½ √2/2 √3/2 cos √3/2 √2/2 ½ tg √3/3 1 √3
  11. 11. Exemplos• A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y. 16 x 30º y x sen 30º = ⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm 12 y cos 30º = ⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm 12
  12. 12. Exemplos• Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z. C y x 60º 30º B A z D 2 cm
  13. 13. Identidadestrigonométricas
  14. 14. Identidades trigonométricas• Ferramentas de grande aplicabilidade sendo utilizadas para:  Obter uma razão trigonométrica, para um dado ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido.  Simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.
  15. 15. Identidades trigonométricas• A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. C b 2 + c 2 = a2 (: a2)  a b2 c2 a2 + = b a2 a2 a2 ⍺ b 2 c 2 B A + =1 c a a 2 2 sen ⍺ + cos ⍺ =1 ⇒ sen2 x + cos2 x = 1
  16. 16. Identidades trigonométricas• A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. C  a sen x b tg x = cos x ⍺ B A c sen ⍺ b/a b a b = = . = = tg ⍺ cos ⍺ c/a a c c
  17. 17. Identidades trigonométricas• A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. C  a cos x b cotg x = sen x ⍺ B A c cos ⍺ c/a c a c = = . = = cotg ⍺ sen ⍺ b/a a b b
  18. 18. Ângulos e arcos na circunferência
  19. 19. Circunferência A BP r r r C r O r r E D
  20. 20. Elementos A A B O O BCorda AB Diâmetro AB
  21. 21. Elementos B Arco ABArco BA A
  22. 22. Arcos e ângulos A≡B A≡Barco completo arco nulo
  23. 23. Arcos e ângulos Arco AB B A OArco BA Arco de meia volta
  24. 24. Arco e ângulo central C B  m(AB) = ⍺  O   m(CD) = D   m(EF) =  A E F
  25. 25. O grau como unidade de medida 100o 90o 80o 110o 70o 120o 60o 130o 50o 140o 40o 150o 30o 160o 20o 170o 10o 180o 0o 190o 350o 200o 340o 210o 330o 220o 320o 230o 310o 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o
  26. 26. O grau como unidade de medida 100o 90o 80o 110o 70o 120o 60o 130o 50o 140o 40o 150o 30o 160o 20o 170o 10o 180o 0o 190o 350o 200o 340o 210o 330o 220o 320o 230o 310o 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o
  27. 27. O grau como unidade de medida 100o 90o 80o 110o 70o 120o 60o 130o 50o 140o 40o 150o 30o 160o 20o 170o 10o 180o 1o 0o 190o 350o 200o 340o 210o 330o 220o 1 320o 1º = 230o 310o 360 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o
  28. 28. Exemplos• Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a circunferência em seis arcos congruentes. Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE e dos ângulos centrais correspondentes. C B 360º AB = = 60º 6  CE = 2 . 60º = 120º D  A O ⍺ = 60º e  = 120º E F
  29. 29. Exemplos• A circunferência da figura tem 12 m de raio. Supondo que o arco AB mede 2 m, calcular em graus, a medida do arco e do ângulo central correspondente. Arco Arco (em graus) (em metros) A 360º 24 m O  2 m ⍺ 2 m B 360 . 2 C = 2r ⍺= = 30º C = 2..12 24 C = 24
  30. 30. O radiano como unidade de medida B R Comprimento do arco (AB) = R R ⇓  AO R m(AB) = 1 radiano ⇓  = m(AB) = 1 rad
  31. 31. Exemplo Comprimento do arco (AB) = 1,5 RB 1,5R ⇓ m(AB) = 1,5 radR  ⇓ A O R  = m(AB) = 1,5 rad comprimento  = m(AB) = R
  32. 32. Arco completo comprimento = R A≡B 2R O R = R  = 2 rad
  33. 33. Exemplos A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB. A comprimento = R 10,8 cm O 10,8 cm = = 1,2 rad B 9 cm
  34. 34. Exemplos O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB. ângulo comprimento A 360º 2 R O 30º x 30º B 2 .4.30 2 x= = ≈ 2, 1 cm 360 3
  35. 35. Exemplos Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência. A comprimento R 40 cm = R  O 40 cm 5= R R B 5R = 40 ⇒ R = 8 cm
  36. 36. Arcos especiais Represen- Medida em Medida em tação graus radianos Arco completo 360º 2 O Arco de meia- 180º  volta OArco de ¼ de volta O 90º /2 Arco nulo 0o 0 O
  37. 37. Transformando unidadesAs medidas de um arco em graus e radianos sãoproporcionais. Por isso podemos transformar umaunidade em outra por uma regra de três. 180º correspondem a  rad
  38. 38. Exemplos Transformar 72º em radianos. 180º  rad 72º x 72 .  2 x= = rad 180 5
  39. 39. Exemplos 5 Exprimir rad em graus. 4  rad equivale a 180º. 5. 5.180 x= = = 225º 4 4

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