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Um estudo de caso do professor de Matemática sobre o ensino de funções reais

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Monografia orientada pelo Prof. Drº Wanderley Rezende e apresentada para obtenção do grau de Especialista em Matemática na Universidade Federal Fluminense, julho de 2009.

Monografia orientada pelo Prof. Drº Wanderley Rezende e apresentada para obtenção do grau de Especialista em Matemática na Universidade Federal Fluminense, julho de 2009.

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  • 1. UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO DE ESTUDOS GERAIS INSTITUTO DE MATEMÁTICA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA PARA PROFESSORES DE ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO Andréa Vieira Thees UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O COMPORTAMENTO VARIACIONAL DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA NITERÓI 2009
  • 2. Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
  • 3. Andréa Vieira Thees UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O COMPORTAMENTO VARIACIONAL DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA Monografia apresentada ao Curso de Especialização em Matemática para Professores de Ensino Fundamental e Médio da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do título de Especialista em Matemática. Orientador: Prof. Dr. WANDERLEY MOURA REZENDE NITERÓI 2009
  • 4. Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca de Pós-graduação em Matemática da UFF T375 Thees, Andréa Vieira Um estudo de caso do conhecimento do professor de matemática da educação básica sobre o comportamento variacional das funções afim e quadrática / Andréa Vieira Thees. – Niterói, RJ : [s.n.], 2009. 102 f. Orientador: Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende. Monografia (Especialização para professores de matemática dos ensinos fundamental e médio) – Universidade Federal Fluminense, 2009. 1. Função (Matemática). 2. Cálculo. 3. Matemática – educação. 4. Formação de professor. I. Título. CDD 515.25
  • 5. Este trabalho é dedicado à memória de meu pai, Sullivan Thees, e a toda minha família, especialmente, à minha mãe Irene, às minhas filhas Bárbara e Marina, ao meu “quase” filho Gabriel e ao amor da minha vida e minha luz, Lior.
  • 6. Agradecimentos Agradeço aos professores de Matemática e aos licenciandos presentes nos minicursos, sem os quais não seria possível realizar esta pesquisa, aos colegas, professores e coordenadores deste curso e, em particular, ao meu orientador Wanderley Rezende, por quem tenho uma profunda admiração e sincera gratidão.
  • 7. RESUMO Com o desenvolvimento de algumas ações do projeto de pesquisa “Uma Proposta de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico de Matemática” (Rezende, 2003b), principalmente aquelas relacionadas à realização de minicursos ou oficinas junto a professores de Matemática da educação básica, percebeu- se algumas dificuldades dos professores de Matemática da educação básica na resolução de problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções reais. Isto acarretou o seguinte questionamento: Como os professores da educação básica utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática, na resolução de problemas? Mediante este fato, tira-se como meta principal deste trabalho monográfico a tarefa de mapear as dificuldades supracitadas, tomando como referência quatro grupos piloto de professores de Matemática: Grupo A – participantes do minicurso apresentado no 31º Encontro do Projeto Fundão (UFRJ/2007); Grupo B – participantes do minicurso apresentado no V Encontro Sul Fluminense de Educação Matemática (USS/2007); Grupo C – professores-alunos que ingressaram no Curso de Especialização em Matemática para Professores do Ensino Fundamental e Médio do IM-UFF em 2008; Grupo D – participantes do minicurso apresentado na Primeira Jornada de Matemática da FFP-UERJ (2008). Palavras-chave: educação matemática; função afim; função quadrática; variabilidade; formação do professor.
  • 8. ABSTRACT With the development of some actions from the “A Proposal for Emersion of the Fundamental Ideas of Calculus on Math Basic Learning” (Rezende, 2003b) research project, mainly those related to the application of mini-courses or workshops on basic math teachers, it was noted that teachers faced difficulties in solving problems revolving around the properties and abilities related to the variation behavior of linear and quadratic functions. This led to the following question: How do teachers of the basic education use properties and skills related to variation behavior of linear and quadratic function to solve problems? In light of this, the main aim of this paper is to map the abovementioned difficulties, taking as a reference four pilot groups of math teachers: Group A – participants on the mini-course presented at the 31st Meeting of the Fundão Project (UFRJ/2007); Group B – participants on the mini-course presented at the V Sul Fluminense Mathematics Education Meeting (USS/2007); Group C – teachers/students that attended the Mathematics Specialization Course for Teachers at IM/UFF in 2008; Group D – participants of the mini-course presented at the First Mathematics Journey of the FFP/UERJ at 2008. Key-words: mathematic education; linear function; quadratic function; variability; teacher´s development.
  • 9. SUMÁRIO Introdução ............................................................................................................... 15 Capítulo 1 - O Problema .......................................................................................... 18 1.1. Obstáculos de natureza epistemológica relacionados ao conceito de função .. 18 1.2. O Cálculo na formação do professor de Matemática ...................................... 20 1.3. Resgatando o conceito de função .................................................................. 23 1.4. Recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais ............................... 25 1.5. O estudo da variabilidade das funções nos livros didáticos ............................ 22 1.6. O imprescindível estudo da variabilidade ...................................................... 26 1.7. O professor de Matemática, o conceito de função e a pergunta da pesquisa ... 29 Capítulo 2 - Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função .......... 33 2.1. As tábuas na Antiguidade .............................................................................. 33 2.2. A teoria das formas na Idade Média .............................................................. 34 2.3. O estudo da variabilidade da função quadrática e a contribuição de Galileu .. 36 2.3.1. Mas afinal, o que sabia Galileu? ............................................................. 36 2.3.2. A experiência de Galileu ........................................................................ 38 2.4. O período Moderno ....................................................................................... 41 Capítulo 3 - A caracterização das funções afim e quadrática ................................. 46 3.1. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função afim ................ 46 3.2. Caracterização da Função Afim .................................................................... 48 3.3. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função quadrática ....... 49 3.4. Caracterização da Função Quadrática ............................................................ 52 Capítulo 4 - Pesquisa ................................................................................................ 54 4.1. Metodologia .................................................................................................. 54 4.1.1. Pesquisa naturalista ou de campo – o estudo de caso .............................. 55 4.2. Descrição da pesquisa ................................................................................... 56 4.2.1. Sujeitos da pesquisa ............................................................................... 56 4.2.2. Descrição dos instrumentos da pesquisa ................................................. 57 4.2.2.1. Questionário informativo:................................................................... 57 4.2.2.2. Atividades propostas .......................................................................... 58
  • 10. 4.2.2.3. Formulário de Avaliação .................................................................... 60 4.3. Resultados da pesquisa.................................................................................. 61 4.3.1. O perfil dos grupos pesquisados ............................................................. 61 4.3.2. Apresentação das categorias de análise da resolução das atividades ....... 63 4.3.2.1. Questão 1 ........................................................................................... 64 4.3.2.2. Questão 2 ........................................................................................... 68 4.3.2.3. Questão 3 ........................................................................................... 72 4.3.2.4. Questão 4 ........................................................................................... 78 4.3.3. Análise da resolução das atividades ....................................................... 81 4.3.3.1. Alguns indicadores quantitativos das resoluções ................................. 81 4.3.4. Os pontos de vista dos participantes do Grupo D.................................... 95 4.4. Conclusões parciais da pesquisa .................................................................... 97 Capítulo 5 - Considerações Gerais ......................................................................... 100 Bibliografia .............................................................................................................. 103 Apêndice .................................................................................................................. 105 Tabulação dos Dados Detalhados dos Participantes .............................................. 105 Tabulação das Resoluções das Questões pelos Participantes ................................. 106 Resolução das Atividades 1, 2, 3 e 4 ..................................................................... 113
  • 11. ÍNDICE DE GRÁFICOS, FIGURAS E TABELAS Gráfico 1 – Função Afim ............................................................................................28 Gráfico 2 – Função Quadrática e de y em função de x .............................................29 Gráfico 3 – Todos os grupos x todas as questões .........................................................82 Gráfico 4 – Todos os grupos x questão 1 .....................................................................83 Gráfico 5 – Todos os grupos x questão 2 .....................................................................84 Gráfico 6 – Todos os grupos x questão 3 .....................................................................85 Gráfico 7 – Todos os grupos x questão 4 .....................................................................86 Gráfico 8 – Questão 1 x Grupo ....................................................................................88 Gráfico 9 – Questão 2 x Grupo ....................................................................................90 Gráfico 10 – Questão 3 x Grupo ..................................................................................92 Gráfico 11 – Questão 4 x Grupo ..................................................................................94 Figura 1 – Representações gráficas de Oresme ............................................................34 Figura 2 – Exemplo de um gráfico de Oresme na Idade Média ....................................35 Figura 3 – Ilustração do Teorema de Merton de Oresme..............................................35 Figura 4 – Plano inclinado...........................................................................................38 Figura 5 – Detalhe do pequeno sino no plano inclinado ...............................................39 Figura 6 – Animação da demonstração experimental ...................................................39 Figura 7 – Resolução do participante 06 do grupo A ...................................................65 Figura 8 – Resolução do participante 14 do grupo D ...................................................65 Figura 9 – Resolução do participante 07 do grupo A ...................................................65 Figura 10 – Resolução do participante 09 do grupo C ..................................................66 Figura 11 – Resolução do participante 01 do grupo A .................................................66 Figura 12 – Resolução do participante 05 do grupo A .................................................67 Figura 13 – Resolução do participante 14 do grupo A .................................................67 Figura 14 – Resolução do participante 18 do grupo D .................................................67 Figura 15 – Resolução do participante 22 do grupo A .................................................69 Figura 16 – Resolução do participante 12 do grupo D .................................................70 Figura 17 – Resolução do participante 23 do grupo A .................................................70 Figura 18 – Resolução do participante 11 do grupo C ..................................................70 Figura 19 – Resolução do participante 08 do grupo A .................................................71 Figura 20 – Resolução do participante 19 do grupo D .................................................71
  • 12. Figura 21 – Resolução do participante 06 do grupo A .................................................72 Figura 22 – Resolução do participante 08 do grupo C ..................................................72 Figura 23 – Resolução do participante 22 do grupo A .................................................73 Figura 24 – Resolução do participante 13 do grupo D .................................................73 Figura 25 – Resolução do participante 02 do grupo A .................................................74 Figura 26 – Resolução do participante 14 do grupo C..................................................74 Figura 27 – Resolução do participante 05 do grupo B ..................................................75 Figura 28 – Resolução do participante 11 do grupo C..................................................75 Figura 29 – Resolução do participante 12 do grupo D .................................................76 Figura 30 – Resolução do participante 21 do grupo A .................................................76 Figura 31 – Resolução do participante 12 do grupo C ..................................................77 Figura 32 – Resolução do participante 17 do grupo A .................................................77 Figura 33 – Resolução do participante 17 do grupo D .................................................78 Figura 34 – Resolução do participante 25 do grupo A .................................................79 Figura 35 – Resolução do participante 06 do grupo C ..................................................79 Figura 36 – Resolução do participante 04 do grupo C ..................................................80 Figura 37 – Resolução do participante 01 do grupo C..................................................80 Figura 38 – Resolução do participante 03 do grupo C ..................................................80 Tabela 1 – Valores de s, ∆s e ∆2 s para ∆t = 1 segundo ...............................................40 Tabela 2 – Valores de s(t )  2t para t  1 ................................................................47 Tabela 3 - Valores de s(t )  2t para t  0,5 .............................................................47 1 2 Tabela 4 – Valores de s(t )  gt para t  1 ............................................................50 2 1 2 Tabela 5 – Valores de s(t )  gt para t  0,5 .................................................. 50 e 51 2 Tabela 6 – Todos os grupos x todas as questões ..........................................................82 Tabela 7 – Todos os grupos x questão 1 ......................................................................83 Tabela 8 – Todos os grupos x questão 2 ......................................................................84 Tabela 9 – Todos os grupos x questão 3 ......................................................................85 Tabela 10 – Todos os grupos x questão 4 ....................................................................86 Tabela 11 – Questão 1 x Grupo ...................................................................................87 Tabela 12 – Quadro percentual comparativo da questão 1 ...........................................87 Tabela 13 – Questão 2 x Grupo ...................................................................................89
  • 13. Tabela 14 – Quadro percentual comparativo da questão 2 ...........................................89 Tabela 15 – Questão 3 x Grupo ...................................................................................91 Tabela 16 – Quadro percentual comparativo da questão 3 ...........................................91 Tabela 17 – Questão 4 x Grupo ...................................................................................93 Tabela 18 – Quadro percentual comparativo da questão 4 ...........................................93
  • 14. 15 INTRODUÇÃO Resumidamente, o conceito de função levou muito tempo para ser aperfeiçoado. Contudo, apesar de ter sido explicitado apenas depois do século XVIII, algumas idéias inerentes ao conceito primitivo de função são bastante anteriores. Com origem na busca de filósofos e cientistas que tentavam explicar a realidade utilizando métodos que permitissem estudar e prever fenômenos naturais, o conceito de função, segundo Caraça (2003), apresenta duas características fundamentais: a interdependência e a fluência. Faz com que todas as coisas estejam Interdependência relacionadas uma com as outras. Fluência Faz com que tudo no mundo esteja em permanente mudança. Pesquisas na área de ensino de Cálculo têm sustentado que o conceito de função tem sido uma das principais fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem dos conceitos básicos desta disciplina. Sierpinska (1987), Cabral (1998) e Rezende (2003a) são alguns exemplos dessas pesquisas. Tal fato é um forte indicador de que o ensino de funções na educação básica não vem cumprindo bem a sua missão. Tendo como meta investigar como o tópico “Funções Reais” é abordado na educação básica, Botelho (2005) e Souza Sá (2005) elaboraram, em suas monografias, um mapeamento deste tema utilizando como fontes alguns dos principais livros didáticos nacionais. Os autores observaram, conforme nos revela Rezende, a predominância de uma abordagem algébrica e estática do conceito de função: “Fala-se, por exemplo, em injetividade ou sobrejetividade, mas não em crescimento ou decrescimento da função, ou melhor, em quanto e como cresce/decresce o valor de uma função em relação à sua variável independente. Discutem-se (caso existam) os zeros da função, mas não os seus pontos críticos, que são, em verdade, os seus pontos ótimos. A noção de função é, desse modo, estabelecida não no contexto da „variabilidade‟, mas, em termos de uma correspondência estática entre os valores das variáveis „x‟ e „y‟. O gráfico da função é, em geral, „plotado‟ através de uma tabela de valores „notáveis‟. A curvatura das curvas que compõem o gráfico da função é, em geral, induzida pelo acréscimo de mais pontos.” (Rezende, 2006)
  • 15. 16 Assim, pode-se dizer que, com base nos resultados de Botelho (2005) e Souza Sá (2005), é desse modo, em termos da correspondência (x, f(x)), que se estabelece a noção de função em alguns dos principais livros didáticos do ensino básico nacional. Dando continuidade ao projeto de pesquisa de Rezende (2003b), Botelho (2005) aprofundou o tema propondo atividades que enfatizam a variabilidade de cada uma das funções polinomiais de 1º e 2º graus. Diante da dificuldade de alguns professores, detectada durante a realização de minicursos ou oficinas, em resolver problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática, optou-se, então, por aplicar estas atividades em quatro encontros distintos com professores de Matemática, que atuam na educação básica (ensino fundamental e médio). Tira-se então como pergunta norteadora desta monografia a seguinte questão: Como os professores de Matemática da educação básica utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática na resolução de problemas? A pesquisa desta monografia engloba uma parte quantitativa, na qual os dados foram analisados estatisticamente, e uma parte qualitativa que, através do estudo de caso, busca retratar o dinamismo de uma situação numa forma muito próxima do seu acontecer natural. No caso, de que forma os professores pesquisados interpretam, raciocinam e resolvem questões onde é necessário modelar o problema e decidir qual função pode ser usada no processo de modelagem. Para realizar o relato deste trabalho, desenvolvemos o texto em cinco capítulos. Numa primeira etapa, faremos uma revisão bibliográfica em torno do tema dos referenciais teóricos que serviram como diretrizes para a condução deste trabalho. Trata-se de apresentar e discutir os resultados da pesquisa de Sierpinska (1992). Além disso, levam-se em conta as recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais a respeito do ensino das funções reais na educação básica e as questões epistemológicas abordadas por Rezende (2003a). No segundo capítulo faremos um breve estudo a respeito da evolução histórica do conceito de função. Os tópicos apresentados vão desde a Babilônia, Grécia, destacando a contribuição de Oresme, a oportuna experiência de Galileu Galilei, até a época da invenção do Cálculo. No terceiro capítulo apresentaremos a caracterização das funções reais afim e quadrática a partir do comportamento variacional destas funções. O estudo destas
  • 16. 17 variações é realizado: numericamente, através de atividades de manipulação de dados em tabelas (elaboradas com planilhas eletrônicas e/ou calculadoras); graficamente e algebricamente. No quarto capítulo, seguiremos detalhando a metodologia utilizada no transcorrer desta pesquisa, as atividades propostas e traçaremos o perfil dos sujeitos da pesquisa. Nesta etapa, também iremos explicitar de que forma foram classificadas as respostas dos participantes e apresentaremos os resultados da pesquisa através de tabelas e gráficos, seguidos de comentários e avaliações. No quinto e último capítulo responderemos a nossa pergunta, destacando o que consideramos relevante neste estudo de caso, para que o mesmo possa contribuir na formação continuada de professores da educação básica.
  • 17. 18 Capítulo 1 - O PROBLEMA “Se tudo depende de tudo, como fixar nossa atenção num objeto particular de estudo? Temos que estudar tudo ao mesmo tempo? Mas qual é o cérebro que o pode fazer?” Bento de Jesus Caraça 1.1. Obstáculos de natureza epistemológica relacionados ao conceito de função Epistemologia é um ramo do saber que, além de se preocupar com a natureza dos objetos que compõem uma determinada área como a Matemática, por exemplo, também se interessa pelo conhecimento e pela forma como ele é processado. Segundo Bachelard (2006), o progresso do pensamento científico, em especial nas ciências que possuem um elevado grau de racionalidade como a Matemática, se fez graças à transposição de obstáculos epistemológicos. Esses obstáculos se encontram no próprio ato de conhecer fundamentado na idéia pré-concebida que, ao interpretar fatos segundo necessidades, acaba-se por bloquear o conhecimento, impedindo que se levantem problemas e criem-se hipóteses fecundas. Ainda a respeito desse fato, Bachelard (2006) comenta: “O matematismo já não é descritivo e sim formador. A ciência da realidade já não se contenta com o „como‟ fenomenológico; ela procura o „porquê‟ matemático.” Considerando a importância de discutir as dificuldades presentes na educação Matemática em geral, os obstáculos epistemológicos têm sido analisados por diferentes autores com diferentes pontos de vista. Dentro do contexto dessa monografia, cabe destacar a análise epistemológica do conceito de função elaborada por Sierpinska (1992) no artigo On understanding the notion of function. Segundo a pesquisadora: “Os estudantes têm tido problemas em fazer a ligação entre as diferentes representações de funções: fórmulas, gráficos, diagramas, descrições verbais de relações; em interpretar gráficos; em manipular símbolos relacionados com funções.”1 1 Tradução nossa
  • 18. 19 Na busca de respostas para superar as dificuldades dos alunos no que diz respeito ao tratamento, análise e manipulação das diferentes representações das funções, a autora faz algumas sugestões pedagógicas consideradas importantes para o tratamento desse conceito. Essas sugestões estão relacionadas à: a) MOTIVAÇÃO – Motivar os alunos para que eles estejam interessados em encontrar variações, regularidades entre variações e que isto os levem a compreender melhor o seu mundo. b) CONTEXTOS INTRODUTÓRIOS – Utilizar expressões analíticas primeiramente como ferramentas de modelagem de certas situações, buscando-se então modelos que representem uma situação real. c) CONTEXTOS DE DESENVOLVIMENTO – Utilizar métodos de interpolação e construção de tabelas d) DESENVOLVIMENTO DE UM NÍVEL MAIS ELABORADO DE COMPREENSÃO DAS FUNÇÕES – Os estudantes devem ser capazes de perceber, não apenas como os sujeitos de variação se modificam, mas também o que muda. e) PRÉ-REQUISITOS – Ter consciência algébrica no nível estrutural. f) REPRESENTAÇÕES – Fornecer uma grande diversidade de representações de funções, adquirindo flexibilidade nas diversas representações. g) DEFINIÇÕES – Definições informais são suficientes em nível secundário e apenas em níveis mais elevados expõe-se, por exemplo, a definição de Peano. h) DISTINÇÕES ENTRE A NOÇÃO DE FUNÇÃO E OUTRAS NOÇÕES GERAIS – Discutir as similaridades e diferenças entre as relações causal e funcional. Podemos perceber a preocupação da autora com os atos de compreensão do conceito, observando ainda os obstáculos que surgem durante tal compreensão. A partir
  • 19. 20 dessas considerações e analisando as dificuldades relativas ao conceito de função, destaca-se a seguinte opinião exposta por Sierpinska (1992): “Os estudantes devem se interessar pela variabilidade e buscar por regularidades antes que exemplos de funções bem comportadas e definições de Matemática elementar sejam introduzidas na sala de aula.” As conclusões finais apresentadas pela autora indicam que o conceito de função passa por diversas questões externas ao próprio conceito. Questões essas referentes à sua história e a forma como se trabalha com este conceito em sala de aula, além da forma como se encara (formal ou informalmente) sua definição e sua utilidade (modelagem, predição, descrição de eventos). A pesquisa aponta vantagens e desvantagens do formalismo no ensino do conceito de função e defende certas condutas conscientes à sua abordagem como, por exemplo, tratar da motivação dos alunos com relação ao estudo das funções, preocupar-se com os pré-requisitos ligados à habilidade algébrica, ou ainda, utilizar diferentes representações para as funções em busca da compreensão do seu conceito sob diferentes enfoques. A partir dessas conclusões, tem-se a nítida consciência dos obstáculos ligados à compreensão deste conceito, o que deveria ser suficiente para buscarmos formas mais adequadas de abordá-lo, melhorando assim nossa prática docente com relação ao ensino de funções na educação básica. 1.2. O Cálculo na formação do professor de Matemática O conceito de função tem sido uma das principais fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem dos conceitos básicos desta disciplina. Esta afirmação, sustentada por Cabral (1998) e Rezende (2003a), encontra-se presente em suas pesquisas na área de ensino de Cálculo. Tal fato é mais um indicador de que o ensino de funções na educação básica não vem cumprindo bem a sua missão. Como evidências desse fato, estão as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos estudantes em relação aos problemas de taxas relacionadas e de otimização. Analisando o universo de respostas dadas pelos estudantes a alguns problemas de taxas relacionadas e de otimização, Cabral (1998) aponta quatro níveis de significação: o aritmético, o algébrico, o funcional e o diferencial, identificando entre eles uma hierarquia de natureza epistemológica. Segundo a pesquisadora, em situações
  • 20. 21 problema dessa natureza, os dois primeiros níveis de significação são os mais comuns. Os alunos não conseguem definitivamente “enxergar” as quantidades variáveis envolvidas no problema nem tampouco a relação funcional entre elas: “O difícil mesmo é encontrar a função” – respondem os estudantes. Identificar o que varia e em função de que varia é, sem dúvida, o primeiro passo para a resolução desse tipo de questão. Segundo Rezende (2003a): “Grande parte das dificuldades encontradas pelos estudantes do ensino superior na disciplina Cálculo é conseqüência da falta de preparação, na educação básica, para o estudo desta matéria. Ao contrário da álgebra, da aritmética e da geometria, presentes no percurso escolar dos alunos desde as séries iniciais até o ensino médio, as idéias do Cálculo são omitidas, abordadas de forma superficial, ou evitadas na educação básica.” Dentro desse contexto, o “monopólio da representação algébrica” do conceito de função é um sinal evidente desta omissão. Em sua proposta, as idéias do Cálculo deveriam ser tratadas a partir de uma articulação entre aritmética, a geometria, a álgebra e a física. É evidente que problemas clássicos e resultados do Cálculo são evitados ou simplesmente ignorados no ensino fundamental e médio. A área do círculo, a transformação de dízimas periódicas em frações, a representação decimal dos números reais, a soma de infinitos termos de uma progressão geométrica são exemplos de tópicos do conteúdo programático de Matemática da educação básica que são tratados de forma superficial. Ao camuflar as idéias básicas do Cálculo, este passa a aparecer como uma disciplina isolada, temida pelos alunos que sequer vêem uma relação do seu aprendizado com sua formação, ou mesmo com as demais disciplinas da grade curricular. No processo histórico de construção do conhecimento matemático, o Cálculo potencializa áreas fundamentais como a geometria e a aritmética, além de ser o principal responsável pelo desenvolvimento e organização do próprio conhecimento matemático. Já no campo pedagógico, é comum ouvirmos de um professor de Matemática dos ensinos fundamental e médio o argumento de que não haveria necessidade de ter estudado Cálculo na universidade, já que não precisaria ensinar seus fundamentos aos alunos do ensino básico. Rezende (2003a) destaca esta questão ao comentar: “É, realmente, lamentável que „tal coisa‟ não seja ensinada de fato em etapas anteriores do ensino de Matemática. Não da forma como é ensinado no curso
  • 21. 22 superior, estanque e dissociado de sua função potencializadora, mas como parte integrante e fundamental para a construção das idéias Matemáticas e, por que não dizer, para a própria formação do cidadão.” No mundo de hoje, não basta perceber o crescimento/decrescimento de uma função, mas determinar precisamente o quanto esta está crescendo/decrescendo. Com o desenvolvimento das relações econômicas e sociais tornando-se estas cada vez mais complexas, faz-se necessário e urgente uma revisão e ampliação das metas da formação básica para o exercício pleno da cidadania. 1.3. Resgatando o conceito de função O conceito de função se estabelece como uma ferramenta da Matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo. Segundo Caraça (2003): “A realidade que a inteligência dos homens se esforça por compreender, o Mundo, no seu sentido mais largo, apresenta-se com duas características essenciais: 1- Interdependência. Todas as coisas estão relacionadas umas com as outras; o Mundo, toda essa realidade em que estamos mergulhados, é um organismo vivo, uno, cujos compartimentos comunicam e participam, todos, da vida uns dos outros. (...) 2- Fluência. O Mundo está em permanente evolução; todas as coisas, a todo o momento, se transformam, tudo flui, tudo devém. (...) De modo que, do extremo superior da escala, do movimento prodigioso da expansão do Universo, ao movimento, não menos prodigioso, das partículas constituintes do átomo, tudo flui, tudo devém, tudo é, a todo o momento, uma coisa nova.” Portanto, saber que a variação de uma grandeza depende da variação da outra é um aspecto importante no estudo do conceito de função. Porém, este estudo se torna incompleto do ponto de vista epistemológico, se não estudamos como ocorre esta variação, isto é, se não conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de variação.
  • 22. 23 Temos então um instrumento matemático (funções) inventado para uma melhor compreensão da realidade fluente - que tem na interdependência/fluência uma de suas características principais. Assim, para apresentar o estudo das funções de uma maneira mais verdadeira e próxima da realidade, um caminho natural seria caracterizá-las através de suas variações, estabelecendo dessa forma conexão mais óbvia entre a realidade e sua origem histórica. 1.4. Recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais Com a publicação das Orientações Curriculares para o Ensino Médio pelo Ministério da Educação, ficaram estabelecidos os princípios que orientam a metodologia de ensino e filosofia educacional, os quais vêm sendo considerados como os mais adequados. “Conforme destacam os PCNEM (2002) e os PCN+ (2002), o ensino da Matemática pode contribuir para que os alunos desenvolvam habilidades relacionadas à representação, compreensão, comunicação, investigação e, também, à contextualização sociocultural.” (Brasil, 2006, p.69) Pode-se ainda considerar, no que se refere à Matemática e seus temas correlatos, a importância dada entre a observação do mundo real e suas representações, as quais estão relacionadas a princípios e conceitos matemáticos. Os princípios norteadores destes parâmetros podem ser observados no capítulo inicial: “Em nossa sociedade, o conhecimento matemático é necessário em uma grande diversidade de situações, como apoio a outras áreas do conhecimento, como instrumento para lidar com situações da vida cotidiana ou, ainda, como forma de desenvolver habilidades de pensamento”. (Brasil, 2002, p.111) “Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua formação”. (Brasil, 2002, p.111)
  • 23. 24 As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNEM+), em seu volume de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, destacam ainda a relevância do conceito de função na atividade Matemática em nível médio, enfatizando o caráter integrador deste conceito. Citam como exemplo a relação entre trigonometria e funções no que diz respeito às funções trigonométricas e seus gráficos. Citam ainda a peculiaridade das seqüências numéricas e, em especial, das progressões aritméticas e geométricas como casos particulares de funções. Destacam também a relação existente entre a geometria analítica e as funções no que diz respeito ao estudo das propriedades dos gráficos de funções. Seguindo estas orientações, um dos aspectos que podem ser considerados no ensino da Matemática no primeiro ano do ensino médio, por exemplo, é a questão do infinito e da convergência a partir das progressões geométricas infinitas e a soma de seus termos2. A respeito disto afirma-se que: “Essas idéias foram e são essenciais para o desenvolvimento da ciência, especialmente porque permitem explorar regularidades.” (Brasil, 2002, p. 121) Ainda de acordo com os PCNEM+, o estudo das funções tem relevância fundamental pela sua interdisciplinaridade, pois a leitura e interpretação de gráficos, assim como a compreensão de certos fenômenos são vistos em outras áreas do conhecimento (física, química, biologia, geografia, etc.) a partir deste conceito. Dentro deste contexto, destacamos a seguinte afirmação: “Resumidamente, em relação às competências a serem desenvolvidas pela Matemática, a abordagem proposta para esse tema permite ao aluno usar e interpretar modelos, perceber o sentido de transformações, buscar regularidades, conhecer o desenvolvimento histórico e tecnológico de parte de nossa cultura e adquirir uma visão sistematizada de parte do conhecimento matemático”. (Brasil, 2002, p.122) Por outro lado, ferramentas como a calculadora e planilhas eletrônicas criam, a cada dia, novas facilidades abrindo outros rumos para o entendimento das variações em uma simples tabela. 2 É necessário que p < |q| < 1 para que a soma dos termos de uma PG infinita, de razão q, seja um número real.
  • 24. 25 Em resumo, podemos perceber que o conceito de função é um dos elos entre diferentes assuntos dentro da própria Matemática e que, além disso, desempenha um papel central em diversas áreas do conhecimento, visto que é uma das ferramentas para a compreensão de certos fenômenos e a representação das variações dos mesmos. “A riqueza de situações envolvendo funções permite que o ensino se estruture permeado de exemplos do cotidiano, das formas gráficas que a mídia e outras áreas do conhecimento utilizam para descrever fenômenos de dependência entre grandezas.” (Brasil, 2002, p.121) Assim, os professores devem compreender que a Matemática desempenha um papel formativo e técnico com ênfase na formação dos alunos como cidadãos plenos, capazes de pensar matematicamente quando necessário e utilizar a Matemática no seu dia-a-dia, e não só para aqueles que pretendem dar continuidade aos estudos nesta área ou em áreas afins. 1.5. O estudo da variabilidade das funções nos livros didáticos Em seu trabalho, Botelho (2005) conclui que os livros didáticos de educação básica em geral não proporcionam um estudo sobre a variação das funções polinomiais e justifica a importância desse estudo. Através da proposição de atividades sobre a maneira como variam estas funções, sinaliza como esta abordagem pode ser feita. Desse modo, o trabalho contribui para uma reflexão sobre a necessidade de inserção no ensino médio de atividades sobre a variabilidade das funções afins e quadráticas: “O mapeamento realizado mostrou uma ausência quase total, nos livros didáticos, de tópicos que analisem o comportamento destas funções sob o ponto de vista da variabilidade. Qual o motivo desta omissão? Qual a dificuldade em se tratar, no ensino médio, de assuntos como „variabilidade‟ ou „taxa de variação‟? (...) E se o problema não tiver uma fórmula ou um gráfico? De quais ferramentas dispõem o aluno para modelar o problema e decidir qual a função pode ser utilizada no processo de modelagem?” (Botelho, 2005) Por outro lado, em seu trabalho de mapeamento das funções logarítmicas e exponenciais nos livros didáticos, Sá (2005) cita a importância do desenvolvimento da física no processo de “matematização” do conceito de função e destaca que é na
  • 25. 26 compreensão em como ocorre e crescimento ou decrescimento de uma grandeza em função de outra que reside a idéia básica do conceito de função. Assim como Botelho (2005), Sá (2005) conclui que esse assunto é abordado quase sempre de forma algébrica e que o caráter variacional das funções é deixado de lado ou visto de forma muito tímida em exercícios com resolução predominantemente algébrica. Santos (2008) chamou a atenção para o fato de ser uma característica dos livros didáticos evitar ou dar pouca ênfase ao processo dinâmico da construção do conceito de função e que isso se reflete diretamente na prática pedagógica da sala de aula. Sabemos que, em geral, o livro didático é único instrumento utilizado pelo professor, norteando o planejamento das aulas, o ensino dos conteúdos e a resolução das atividades e exercícios. Usando como referência estes trabalhos, pode-se concluir que o ensino de funções não está cumprindo o papel de auxiliar o ser humano a compreender os seus problemas e os do mundo ao seu redor. A ausência da compreensão da variabilidade, entre outros aspectos já levantados anteriormente, representam um desvio de natureza epistemológica em relação ao conceito de função. Em consonância com este pensamento Cândido, em seu trabalho, afirma que: “A familiarização com a variação de grandezas, por meio da análise de seu comportamento, com a identificação de padrões e regularidades, é fundamental para que o aluno inicie processos de generalização.” (apud Botelho, 2005) Botelho (2005) propõe então atividades que possam ser apresentadas ao aluno do ensino médio as quais, paralelamente ao estudo algébrico das funções afim e quadrática, enfatizam a variabilidade de cada uma destas funções. Esta proposta está alinhada com o documento da Secretaria de Educação do Estado do Rio de Janeiro para o desenvolvimento do currículo nas unidades escolares da Rede Pública Estadual (SEE- RJ, 2004), onde figuram orientações para os professores de como “introduzir a idéia de taxa de variação” e “fazer a ligação da progressão aritmética com a função afim” para o estudo da função polinomial do 1° grau, na 1ª série do Ensino Médio. 1.6. O imprescindível estudo da variabilidade Para desenvolver este tópico, utilizaremos como referencial teórico o trabalho de pesquisa de Rezende (2003b) intitulado “Proposta de emersão das idéias básicas do
  • 26. 27 Cálculo no ensino básico de Matemática”. Para Rezende, a idéia de variação é tão básica e natural que pode (e deve) ser trabalhada na escola desde as séries iniciais. A variação da altura do pé-de-feijão plantado num chumaço de algodão (uma das primeiras experiências escolares) é percebida em geral por toda criança, assim como a variação das medidas do seu próprio corpo que “cresce” com o avançar do tempo. No entanto, para passar da percepção sensível da variação para uma compreensão mais sistêmica do processo de variação, um conceito fundamental da Matemática torna-se imprescindível: o conceito de função. Do ponto de vista histórico, Rezende (2003b) identificou que o conceito de função entrou no âmbito do conhecimento matemático por dois notáveis caminhos: o da filosofia natural (dos escolásticos) e o algébrico, da geometria analítica (de Descartes). Neste último caminho, o conceito se estabelece a partir da relação implícita entre as variáveis da equação que representa a curva. Trata-se, portanto, de uma noção estática motivada única e exclusivamente pela descrição algébrica (equação) da curva. Neste caso, a equação da curva ou mesmo a expressão analítica que define a função são dadas a priori. Já no primeiro caminho, a relação funcional era explicitada diretamente pela curva (gráfico) que era usada especificamente para indicar como uma determinada grandeza “y” variava em relação à outra grandeza “x”. Nesta representação dinâmica do conceito de função, o que motiva a construção da curva é justamente o fato de ela descrever a variação de uma grandeza em relação a outra. A expressão analítica que define a função é, neste caso, conseqüência do modo como se dá a variação entre as quantidades variáveis. O modo como as grandezas variam é que é o ponto de partida para se construir o conceito de função. Rezende (2003b) afirma que ambas as representações fizeram parte da construção do Cálculo, mas não há como negar a importância fundamental que teve a representação dinâmica do conceito de função na significação do conceito de derivada como taxa de variação instantânea. No entanto, no ensino básico de Matemática, dá-se pouca ênfase a este processo dinâmico da construção do conceito de função, conforme podemos constatar nos trabalhos de mapeamento dos livros didáticos apresentados por Sá (2005) e Botelho (2005). A idéia de função é estabelecida, segundo estas pesquisas, não no contexto da “variabilidade”, mas em termos de uma correspondência estática entre os valores das variáveis “x” e “y”. A expressão analítica que representa a regra de correspondência é dada desde o início do processo de construção. O gráfico da função é
  • 27. 28 “plotado” então com o auxílio de uma tabela de valores “notáveis”, e o traçado da curva que representa o gráfico da função é realizado por um processo indutivo. Em seguida, é estudada uma série de propriedades algébricas da função (imagem, raízes, injetividade, periodicidade, variação do sinal etc.), subordinando o seu significado ao exercício e desenvolvimento de técnicas algébricas: resolução de equações e inequações algébricas, exponenciais e trigonométricas - como se essa fosse a principal razão para se estudar funções. Para que se possa romper com essa caracterização algébrica do conceito de função, o autor pondera que será preciso construir suas significações a partir do problema fundamental da variabilidade. Isto é, caracterizar as funções reais usualmente estudadas no ensino básico a partir do estudo de suas variações. Desse modo, a função afim y  ax  b , por exemplo, é aquela cuja variação de uma variável é proporcional à variação da outra, quer dizer, y  ax , (figura 1). Ou, ainda de outro modo, que a taxa y de variação  a é constante. x Gráfico 1 – Função Afim Fonte: autor Já a função quadrática y  ax 2  bx  c pode ser caracterizada como a função cuja variação da variação da quantidade y em relação a x , para x fixo, é constante, o
  • 28. 29 que equivale dizer que a variação y é uma função afim de x , uma vez fixado o valor de x (figura 2). Gráfico 2 – Função Quadrática e de y em função de x Fonte: autor Em busca da consolidação efetiva dessas idéias, o autor propõe que as propriedades das funções afim e quadrática sejam estabelecidas a partir de situações- problemas do cotidiano ou de outras áreas do conhecimento. Ele destaca a própria história do Cálculo, onde a física aparece oferecendo condições apropriadas para emersão das idéias do Cálculo, e relembra a construção do Cálculo por Newton, através do entrelaçamento das idéias físicas, do infinitésimo e da geometria analítica. Diante disto, surge uma questão natural: será que o professor de Matemática da educação básica está preparado para realizar este estudo e caracterização das funções reais a partir do seu comportamento variacional? 1.7. O professor de Matemática, o conceito de função e a pergunta da pesquisa Para introduzir a questão de nossa pesquisa, buscamos referência nos recentes trabalhos de Rossini (2006) e Costa (2008). Costa (2008) apontou, em sua pesquisa com alunos da disciplina de Funções Reais do Curso de Especialização em Ensino da Matemática da UFRJ, as dificuldades dos mesmos com relação a esse assunto. O autor percebeu uma predominância do conceito de elemento/conjunto, no qual a função é descrita como uma relação entre dois conjuntos A e B, e também na indicação, por parte dos entrevistados, do diagrama de
  • 29. 30 setas para representar a primeira imagem referente ao conceito de função. Ele observou, baseando-se no quadro teórico proposto por R. Even3 (1990) em Subject Matter Knowledge for teaching and the case of functions, que: “...os professores não conectam os vários modos de apresentação do objeto função e, principalmente, desconhecem as limitações intrínsecas a cada um dos modos (diagrama de setas, tabelas, expressão algébrica).” (Even, 1990, apud Costa, 2008) Costa (2008) destacou ainda a dificuldade dos professores em transitar entre a representação algébrica e a representação geométrica. Na questão do entendimento matemático do conceito de função, ele verificou que alguns professores produziram definições baseadas na interdependência entre grandezas como velocidade e tempo em exemplos de movimento. O autor questionou a ausência de uma abordagem mais formal por parte dos professores participantes de sua pesquisa. Apesar dos professores terem completado o curso de funções reais, o pesquisador observou ainda algumas crenças e atitudes, tais como: toda função deve ser contínua, os procedimentos algébricos dominando a representação geométrica, a falta de análise prévia para construção de gráficos e ainda, a dificuldade de entendimento em relação aos números reais. Recorremos também, aos resultados da pesquisa de Rossini (2006). Como justificativas da pesquisa, a autora citou os limites da formação inicial dos professores, as pesquisas que mostram o preparo inadequado para trabalhar com o conceito de função em sala de aula, e ainda, a importância da formação continuada dos professores. Ela levantou aspectos como a falta de uma cultura que dê valor à leitura de documentos como, por exemplo, os tópicos sobre o ensino e aprendizagem de função encontrados nos PCN’s e considerados por muitos professores como uma leitura difícil, uma vez que pressupõe um conhecimento tanto do conteúdo específico, quanto do seu lado pedagógico. Acrescentou também que um professor de Matemática ideal deveria conhecer as “organizações Matemáticas” (os axiomas, definições, teoremas e resultados) em torno do objeto função e desenvolver as “organizações didáticas” correspondentes (quer dizer, o plano de aula, os exemplos que serão mostrados e todos os recursos que serão utilizados durante a aula); conhecer as etapas principais da 3 Even, R. (1990) Subject Matter Knowledge for Teaching and the Case of Functions. Educational Studies in Mathematics, nº 21, p. 521-544.
  • 30. 31 história do conceito de função; conhecer os obstáculos envolvidos na construção do conceito; conhecer as sugestões didáticas sobre funções, variáveis, proporção, utilização de tabelas, fórmulas e gráficos; e, por fim, conhecer as tendências em Educação Matemática. A leitura de teses, dissertações e trabalhos publicados em revistas especializadas na investigação preliminar da autora, permitiu que fossem encontrados muitos pontos em comum nas dificuldades de alunos e professores. A revisão da literatura foi dividida em três categorias distintas: pesquisas com alunos, com professores e com professores e alunos. Todas as pesquisas examinadas pela autora contém valiosas contribuições para a compreensão das dificuldades dos sujeitos nelas envolvidos, mas destacamos uma em especial, de autoria de Zuffi4 (1999), cujo objetivo era detectar modos de utilização da “simbologia” e da “lógica” envolvidas na “linguagem Matemática do professor”, a fim de levantar alguns fatores que pudessem estar influenciando as dificuldades dos alunos para a compreensão do conceito de função. No final, o resultado da pesquisa aponta para o empobrecimento da linguagem do professor em sala de aula. Rossini (2006) endossa a pesquisa de Zuffi (1999) e vai além: “Acreditamos que o quadro seria mais desolador, se ao invés de ter investigado professores provenientes de uma licenciatura plena, a pesquisadora tivesse optado por investigar professores provenientes de licenciaturas curtas, ou de outros cursos superiores, com apenas uma complementação pedagógica para ensinar Matemática.” (Rossini, 2006) Diante dessa realidade, nos apresentada de forma tão transparente pelos pesquisadores, consideramos que provavelmente esses professores, com essa concepção de ensino, formarão alunos limitados nessa mesma concepção. Por sua vez, alguns desses alunos poderão escolher a carreira do magistério e o ciclo recomeçaria. Constatamos a importância das observações de Costa (2008) e Rossini (2006) em suas pesquisas, pois além da preocupação para com o processo de aquisição do conhecimento ser o mais completo possível, apresentaram ferramentas essenciais para a verificação do conhecimento do professor de Matemática sobre o conceito de função. 4 ZUFFI, E. M. O tema “funções” e a linguagem Matemática de professores do Ensino Médio – por uma aprendizagem de significados. 1999. Tese de Doutorado em Didática – Ensino de Ciências e Matemáticas, Faculdade de Educação, USP, São Paulo, 1999.
  • 31. 32 Por outro lado, ainda existem pontos que merecem estudos mais apurados e que não foram aqui abordados, como a dificuldade dos professores em tratar, no ensino médio, de assuntos como “variabilidade” ou “taxa de variação”. Sendo assim, trazemos a questão crucial sugerida por Botelho (2005) e que aponta o caminho desta pesquisa: “Poderíamos ainda, a título de reflexão, perguntar se nós, docentes do ensino médio, trazemos estes conhecimentos consolidados em nossa bagagem didática para que possamos transmiti-los aos alunos de forma segura.” Esse trabalho tem como meta principal, desenvolver estudos a respeito do conhecimento do professor da educação básica sobre o conceito de função e na resolução de problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática.
  • 32. 33 Capítulo 2 - UM BREVE ESTUDO DA EVOLUÇÃO HISTÓRICA DO CONCEITO DE FUNÇÃO Ao se fazer um relato cronológico do desenvolvimento de algum conceito matemático surge a questão de por onde começar, pois em muitos casos é impossível determinar quanto é preciso recuar no tempo para alcançar suas origens. Este estudo fundamenta-se nos trabalhos de Eves (2004), Boyer (1999) e Baron (1985). 2.1. As tábuas na Antiguidade Segundo Eves (2004), os matemáticos babilônios, em torno de 2000 a C, utilizaram largamente as tabelas sexagenais de quadrados e raízes quadradas, de cubos e raízes cúbicas, assim como outras tabelas. Tábuas de funções foram empregadas na astronomia babilônica para observar os movimentos do Sol, da Lua e dos planetas e tornaram-se os fundamentos matemáticos de todo o desenvolvimento posterior da astronomia. A partir da fundação da primeira escola filosófica grega por Tales de Mileto por volta de 600 a.C. é que a forma de explicar fenômenos naturais baseada em mitos começou a mudar. Com argumentos mais racionais, Platão (427-347 a.C.) acreditava que conhecimento obtido apenas através da física não era muito útil, pois as coisas materiais mudavam com o tempo, ao contrário das leis Matemáticas que são a essência da realidade por serem imutáveis. Mais tarde, ao longo da época da Alexandria, usando teoremas de geometria e regras de interpolação, os astrônomos confeccionaram tábuas equivalentes às tabelas de senos, que foram colocadas em uso pelos hindus alguns séculos mais tarde. Mesmo considerando o conhecimento daquela época acerca de coordenadas de corpos celestes que mudavam periodicamente ou das cordas de comprimentos diferentes em correspondência a arcos de comprimentos diferentes, não havia, segundo Boyer (1999), nenhuma idéia geral de funcionalidade, dependência entre quantidades ou números sob alguma forma de gráficos, ou de tabelas, ou mesmo qualquer descrição verbal que explicitasse uma dependência. O autor acrescenta ainda que os gregos examinaram os problemas de movimento, de continuidade e de infinito, mas que seu pensamento ficou distante da
  • 33. 34 concepção cinemática de uma quantidade fluente, característica do cálculo infinitesimal dos séculos XVII, XVIII e XIX. Com a ascensão da cultura árabe, após o declínio das antigas civilizações, os métodos de tabulação foram aperfeiçoados levando ao aumento do número de “funções” utilizadas, como as trigonométricas, mas isso não acarretou novos desenvolvimentos relativos ao conceito de função. 2.2. A teoria das formas na Idade Média Aristóteles era discípulo de Platão e estudava as mudanças físicas de forma qualitativa. Este tipo de abordagem influenciaria a evolução da ciência por muito tempo, fazendo com que o conceito de função nascesse a partir do momento em que o movimento passasse a ser descrito de forma quantitativa. Até o século XIII, o pensamento aristotélico impregnou as Universidades da Europa apesar dos questionamentos de Roger Bacon (1214-1294) e Guilherme de Ockham (1300-1382), que defendiam que verdades científicas devem ser obtidas através da experiência. A representação mais significativa do conceito de função foi apresentada pelo Bispo Nicolau de Oresme (1323-1382), na Universidade de Paris. Para Baron (1985), Oresme foi a primeira pessoa que utilizou as coordenadas para representar a velocidade em função do tempo. Ao estudar o movimento uniforme e o movimento uniformemente acelerado, Oresme representou graficamente a velocidade em função do tempo. Figura 1 – Representações gráficas de Oresme Fonte: Curso de História da Matemática – Origens e Desenvolvimento do Cálculo Para traçar o gráfico da velocidade de um corpo que se move com aceleração constante em função do tempo, Oresme representou pontos, instantes de tempo (ou longitudes) e, para cada instante, traçou, perpendicularmente à reta de longitudes, um segmento de reta vertical (latitude) cujo comprimento representava a velocidade naquele instante. As extremidades desses segmentos estão alinhadas e formam, como se observa
  • 34. 35 na figura 2, o segmento de reta que descreve a variação da velocidade em função do tempo. Figura 2 – Exemplo de um gráfico de Oresme na Idade Média Fonte: Curso de História da Matemática – Origens e Desenvolvimento do Cálculo Os termos longitudes e latitudes são usados por Oresme para designar o que chamamos, na linguagem Matemática atual, de abscissa e ordenada. Assim, nessa teoria, uma função pode ser definida ou por meio de uma descrição verbal de sua propriedade ou por meio de um gráfico. A teoria da latitude das formas, conforme nos revela Baron (1985), alcançou um grande renome durante o século XV e na primeira metade do século XVI, em particular na Inglaterra, na França, na Itália e na Espanha. Para ilustrar esse fato, exibiremos um resultado demonstrado por Oresme por meio dessa teoria da latitude das formas. Naquela época, uma aceleração constante era uma abstração teórica, pois não havia clareza de que isto poderia ocorrer no mundo físico, como por exemplo, na queda dos corpos. Oresme fez a demonstração desse resultado determinando a velocidade média de um movimento uniformemente acelerado (Teorema de Merton) e provou sua validade através de um gráfico semelhante ao mostrado na figura 3. Figura 3 – Ilustração do Teorema de Merton de Oresme Fonte: Curso de História da Matemática – Origens e Desenvolvimento do Cálculo
  • 35. 36 Observemos que os desenhos esboçados por Oresme representam gráficos de funções afins da velocidade em relação ao tempo. As idéias de Oresme trouxeram contribuições importantes à representação geométrica, no que se refere à utilização pela primeira vez de técnicas gráficas para representar toda espécie de movimento. Apesar de não terem sido inventadas por Oresme, essas técnicas gráficas foram substancialmente desenvolvidas por ele e, através delas, os conceitos de movimento foram efetivamente relacionados em bases intuitivas com a ordenada, a abscissa, o gradiente de curvas (ou retas) e o espaço que os contém. 2.3. O estudo da variabilidade da função quadrática e a contribuição de Galileu Numerosas investigações têm mostrado como o conceito de função é de grande relevância no estudo da álgebra e fundamental para a aprendizagem do cálculo. Da mesma forma, o papel da história da Matemática tem se destacado como uma ferramenta de reflexão docente na hora de abordar e apresentar situações didáticas, já que permite identificar obstáculos e procedimentos na construção de conceitos. Para o estudo da variabilidade da função quadrática utilizando a modelagem como ferramenta didática, é necessária uma indagação histórica que permita evidenciar obstáculos, oportunidades e situações que revelem “concepções quadráticas”. Segundo o trabalho de investigação de Jhony Alexánder Villa Ochoa (2006): “A figura de Galileu Galilei (1564-1642) é relevante nesta construção e permitirá mostrar seu pensamento matemático no momento em que iniciou seus estudos, em particular o estudo do movimento como tal.” 2.3.1. Mas afinal, o que sabia Galileu? Supomos que os saberes acumulados em seu tempo estavam à disposição para a elaboração do novo conhecimento que, neste caso, tem haver com modelagem de fenômenos de variação, em particular da cinemática. Sendo assim, pode-se afirmar que a partir do mesmo conhecimento que possuía Galileu, tanto é possível realizar um estudo do movimento, como da função quadrática. Mesmo que esta não fosse reconhecida explicitamente por Galileu, seu pensamento sugeria sua aceitação como tal.
  • 36. 37 Através de uma breve revisão da história da Matemática é possível saber que seus conhecimentos correspondiam a conteúdos como pensamento dedutivo, geometria euclidiana, sucessões e progressões aritméticas, seções cônicas, álgebra geométrica e aproximações gráficas de movimento de Oresme. Estes procedimentos, segundo Ochoa (2006), eram conhecidos no tempo de Galileu e bastante evidenciados em sua obra, uns com maior ênfase que outros, mas todos sendo necessários. São eles: a) O pensamento dedutivo, através da lógica, possibilita a criação de sistemas da mesma forma que se submete conhecimentos para validação, os quais se consolidam como verdade (os Elementos de Euclides são o exemplo do modelo de raciocínio que matemáticos e culturas posteriores adotaram). b) A geometria euclidiana com seu caráter dedutivo em relação às noções quadráticas encontradas em os Elementos, permite a representação de segmentos através de quantidades multiplicadas, o que demanda uma interpretação a partir das áreas. c) As sucessões e progressões aritméticas permitem categorizar os números e estabelecer suas leis de formação a partir das variações das quantidades, viabilizando a descrição do comportamento variacional do movimento. d) A consolidação do conceito de movimento por Galileu, estabelecendo a ruptura da concepção de parábola como figura, que passa a ser considerada como resultado do comportamento de algumas variáveis. e) O manuseio de uma álgebra sincopada, a partir da generalização da geometria e da contribuição dos árabes, com a tradução dos trabalhos gregos e da formalização sistemática da álgebra. f) As aproximações gráficas de movimento de Oresme (que vimos na parte anterior desta monografia), cujo objetivo era representar mediante uma figura geométrica, a interdependência de quantidades contínuas e análogas.
  • 37. 38 Assim, conforme nos revela Ochoa (2006), esses eram os conhecimentos disponíveis para Galileu empreender sua explicação acerca dos fenômenos do movimento, apresentando uma nova forma de concebê-los e representá-los para um mundo no qual havia uma demanda por um novo conhecimento. Esta foi sua grande contribuição, a relação da física com a Matemática e, a partir desse vínculo, a modelagem Matemática. 2.3.2. A experiência de Galileu Embora não existam documentos comprovando que Galileu tenha realizado este experimento específico, recorremos ao site do Institute and Museum of The History of Science5 para ilustrar a demonstração experimental da Lei dos Corpos em Queda Livre. Ao que tudo indica, Galileu realizou inicialmente a experiência num plano inclinado, para depois deduzir o que acontecia quando o plano fosse “vertical” ao solo. Vamos então à experiência com o plano inclinado. Figura 4 – Plano inclinado Fonte: Institute and Museum of The History of Science 5 (http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/esim.asp?c=404013)
  • 38. 39 Figura 5 – Detalhe do pequeno sino no plano inclinado Fonte: Institute and Museum of The History of Science O plano inclinado da figura 4, com cinco pequenos sinos (figura 5) e um pêndulo, foi concebido para a realização de um experimento que consiste em lançar uma pequena bola do início do plano, ao mesmo tempo em que o pêndulo é inicializado. Em cada uma das oscilações completas do pêndulo, a bola atinge um dos pequenos sinos colocados ao longo do plano inclinado distantes um do outro segundo a sequência finita de números ímpares (1, 3, 5, 7 e 9). Figura 6 – Animação da demonstração experimental Fonte: Institute and Museum of The History of Science O experimento não só torna possível medir o aumento da distância percorrida pela bola, em intervalos de tempo iguais a partir de uma posição inicial de repouso,
  • 39. 40 como prevê a aceleração constante durante o seu movimento, graças aos sinos colocados em posições estratégicas durante o percurso da bola no plano inclinado. Para interpretar os dados fornecidos por Galileu, podemos recorrer a uma tabela que nos forneça as medidas da posição de um objeto em queda livre. Uma vez escolhido o intervalo de tempo t (neste caso t  1 )6, a medida da posição do objeto no instante inicial (quando t  0 ), a medida da posição do objeto nos instantes t  1 , t  2 , t  3 , t  4 e t  5 , e a variação da posição do objeto s (deslocamento), podemos calcular e analisar a variação do deslocamento do objeto, conforme o exemplo a seguir: t  1 Tempo Posição Deslocamento (t) (s) ( s ) 0 0 s  st 1  st 1 1= s(0) +1 1 2 4 = s(1) +3 3 3 9 = s(2) + 5 5 4 16 = s(3) + 7 7 5 25 = s(4) + 9 9 Tabela 1 – Valores de s, ∆ e ∆2 para ∆ = 1 No Movimento Uniformemente Variado (MUV), v(t )  at  b é a velocidade do ponto no instante t . No caso da queda livre de um corpo, a aceleração a é a aceleração da gravidade, normalmente indicada pela letra g . Nosso conhecimento da função quadrática permite obter uma descrição completa do movimento uniformemente variado. As aplicações práticas relacionadas à questão da variabilidade são fundamentais para a compreensão do conceito de função. Segundo Rezende (2003), ao introduzir os processos dinâmicos de interpretação do conceito de função, estamos contribuindo para a formação de um cidadão mais apto a entender as variações que ocorrem no mundo ao seu redor. 6 t e t em unidade de tempo.
  • 40. 41 2.4. O período Moderno Mesmo exercendo um papel notável para o desenvolvimento da noção geral de função, as idéias dos filósofos das escolas de Oxford e Paris, também conhecidos como escolásticos, não se mantém dominante e um novo caminho para a construção do conceito de função surge no século XVII. O crescimento dos cálculos matemáticos como os progressos alcançados na trigonometria, a introdução do conceito de logaritmos e a extensão do conceito de número, associados à criação da álgebra simbólica por François Viète, tiveram papel decisivo para o desenvolvimento posterior da teoria das funções. Porém, a introdução de números e símbolos somada ao aperfeiçoamento por outros matemáticos na álgebra simbólica de Viète, não foram suficientes para fazer avançar o conceito de função. Entretanto, Eves (2004) nos oferece uma análise histórica importante do começo do século XVII, em relação às invenções de novos instrumentos científicos ligados à física e que trouxeram precisão às experimentações e mensurações das medidas quantitativas de calor, pressão, velocidade. Com isso, as leis quantitativas da natureza adquiriram cada vez mais força, estabelecendo relações funcionais entre valores numéricos e quantidades físicas. Ainda assim as funções só eram abordadas através dos métodos antigos: por descrição verbal, por tabela ou por gráfico. O autor afirma que J. Burgi estabeleceu sua tabela de logaritmos, publicada em 1620, partindo da relação conhecida por Arquimedes, entre a progressão geométrica das potências de uma quantidade e a progressão aritmética dos expoentes, usando o processo de interpolação, que o levou a compreender intuitivamente que essa relação devia ser contínua. Por outro lado, John Napier, cujos trabalhos sobre logaritmo foram publicados em 1614 num trabalho intitulado “Mirifici logarithmorum canonis descriptio”, partiu da comparação de dois movimentos retilíneos contínuos. Após a criação dos logaritmos, o método analítico para introduzir as funções por meio de fórmulas e equações começou a se destacar através dos trabalhos de Pierre Fermat e René Descartes que, independente um do outro, aplicaram a nova álgebra à geometria, abrindo uma nova era em Matemática. Fermat, por exemplo, escreveu equações de uma reta e as equações de algumas curvas do segundo grau utilizando as notações de Viète e um sistema de coordenadas. Descartes introduziu essa idéia mais detalhadamente na sua célebre obra chamada La Géométrie, de 1637. Pela primeira vez e de maneira absolutamente clara, surge a idéia de que uma equação em x e y é usada
  • 41. 42 para representar uma dependência entre quantidades variáveis de forma que seja possível o cálculo dos valores de uma delas em correspondência aos valores dados pela outra. A introdução de funções sob a forma de equações teve o efeito de uma revolução que estendeu-se aos outros ramos da Matemática e deu origem ao estudo do cálculo, em particular ao cálculo infinitesimal. As perspectivas sobre as aplicações das séries aos problemas denominados “impossíveis” fizeram com que Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz se dedicassem ao estudo do tema da moda, série de potências e assim, contribuíssem com a evolução do conceito de função. Os dois matemáticos representam, com efeito, os dois pilares fundamentais do desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal. A primeira definição de uma função como expressão analítica aparece, no entanto, um pouco depois do surgimento dos cálculos de Newton e Leibniz. Tal fato acontece em um artigo de Johann Bernoulli, que costumava se corresponder com Leibniz, publicado nas memórias da Academia Real de Ciências de Paris em 1718 sob o título traduzido “Considerações sobre o que se tem, até o presente momento, sobre soluções de problemas de isoperímetros”, encontrado no trabalho de Youschkevicht7 (1981): “Chama-se função de uma grandeza variável uma quantidade composta de alguma maneira que seja desta grandeza variável e de constantes.” O desenvolvimento essencial do conceito de função é devido a Leonhard Euler, discípulo de J. Bernoulli. Segundo Boyer (1999), Euler foi o construtor da notação mais bem sucedida em todos os tempos e devemos a ele a notação f (x) para uma função em x . Para formular uma definição que englobasse todas as classes conhecidas de relações, Euler se volta para a noção geral de relação entre quantidades variáveis. Segundo Youschkevicht (1981), no prefácio de sua Institutiones calculi differentialis, publicada em 1755, Euler define função da seguinte maneira: “Se certas quantidades dependem de outras quantidades de tal maneira que se as outras mudam, essas quantidades também mudam, então se tem o hábito de nomear essas quantidades funções das últimas; essa denominação tem o mais amplo entendimento e contém em si mesma todas as maneiras pelas quais uma quantidade pode ser determinada por outras. Se, por consequência, x designa 7 YOUSCHKEVICHT, A. P. Le concept de fonction jusqu’au milieu du XIX e siècle. In: Fragments d´histories des Mathématiques, Brochure A.P.M. E. P., n.41, p.7 – 67, 1981.
  • 42. 43 uma quantidade variável, então todas as outras quantidades que dependem de x, não importando qual a maneira, ou que são determinadas por x, são chamadas de função de x.” Assim como Euler, Lagrange não tinha dúvidas em considerar toda função da análise Matemática como podendo ser representada por uma série de termos proporcionais às potências reais da variável independente. É comum em Matemática, surgirem discussões a respeito de uma determinada teoria, e como não podia deixar de ser, as discussões sobre o conceito de função ocorreram do século XVIII envolvendo Euler e Lagrange, além de Jean Lê Rond D’Alambert, Daniel Bernoulli (filho de Johann), Gaspard Monge, Pierre Simon Laplace e Jean Batiste Joseph Fourier. Discussões a parte, guiados ou não por considerações físicas e uma profunda intuição matemática, esta controvérsia foi muito importante para o progresso da física matemática e para o desenvolvimento metodológico dos fundamentos da análise matemática. As idéias de Euler foram analisadas corretamente por Condorcet no seu manuscrito “Tratado de cálculo integral”, no qual utiliza pela primeira vez a expressão “função analítica”, o qual foi lido por muitos matemáticos em Paris. Entre eles Sylvester François Lacroix, que propõe em seu “Tratado de cálculo diferencial e integral”, publicado em 1797 a seguinte definição, citada por Youschkevicht (1981): “Toda quantidade cujo valor depende de uma ou várias outras quantidades, diz- se função dessas últimas, quer se conheça quer se ignore por quais operações se deve passar para voltar à primeira.” A relação entre os conceitos de função e continuidade aparecem explicitamente nos trabalhos de Euler quando este define “variação contínua”. Entretanto, a relação entre estes dois conceitos ficará mais clara e precisa no trabalho de Augustin-Louis Cauchy. Um ponto que deve ser notado na obra de Cauchy (1823) é a definição de função contínua, encontrada no trabalho de Monna8 (1972): “Quando uma função f (x) admite um único valor para todos os valores de x compreendidos entre dois limites dados, a diferença f ( x  i)  f ( x) sempre 8 Monna, A F. The concept of function in the 19th and 20th centuries, in particular with regard to the discussions between Baire, Borel and Lebesque. Arch. for Hist. of Exact Sciences, v. 9, p. 57-84, 1972.
  • 43. 44 sendo uma quantidade infinitamente pequena, diz-se que f (x) é função contínua da variável x entre os limites dados.” Outro matemático francês que dá contribuições essenciais para o desenvolvimento do conceito de função foi Jean Baptiste Joseph Fourier. Segundo Youschkevicht (1981), a principal contribuição de Fourier, foi a definição da série que leva seu nome e que fornece uma generalização quanto aos tipos de funções que podem ser estudadas: “Em geral, a função f (x) representa uma seqüência de valores ou ordenadas onde cada uma é arbitrária.” Depois da definição de Fourier, que sustenta que essas ordenadas podem não estar sujeitas a uma lei comum, foram publicadas outras, muito mais extensas, atribuídas a Nicolai Ivanovich Lobachevsky e a Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Essas definições são praticamente idênticas e evidenciam a possibilidade de generalização das funções contínuas e descontínuas. Apesar dos conceitos de conjunto e de número real ainda não terem sido estabelecidos, a definição de Dirichlet está próxima do ponto de vista moderno. Finalmente, ao concluir o estudo do século XIX, Eves (2004) apresenta a contribuição dada por Hermann Hankel, pela definição geral que foi incluída nos cursos de análise Matemática no final do século XIX e início do século XX: “Diz-se que y é função de x se para cada valor de x, em um certo intervalo, corresponde um valor bem definido de y, sem que isso exija que y seja definido em todo o intervalo pela mesma lei em função de x, nem mesmo que y seja definido por uma expressão Matemática explícita de x.” As diferentes considerações quanto ao tipo de comportamento das funções e as relações funcionais são características de diferentes épocas e diferentes gerações de matemáticos. Os conceitos de função são adequados para as suas épocas e supostamente tão gerais quanto o conceito atual. Por essa razão, Euler, Lacroix, Fourier e Dirichlet não imaginaram funções como aquelas que seriam introduzidas mais tarde, na época de Georg Cantor, René Baire, Emile Borel e Henri Leon Lebesgue. Após contornar o complexo obstáculo de sua representação analítica, a classe das funções ampliou-se,
  • 44. 45 mais funções foram descobertas e tornou-se necessário estudar as diferentes classes de funções (contínuas, diferenciáveis, descontínuas em determinados pontos, etc.). O final do século XIX e início do século XX são marcados pelo desenvolvimento do conceito de função ligado à teoria dos conjuntos, à lógica Matemática e por discussões presentes nos trabalhos de Baire, Borel e Lebesgue e Cantor. A teoria dos conjuntos desenvolvida por este último começa a ser aceita e introduzida gradativamente na Matemática. Cantor introduz a noção de produto cartesiano E  F de dois conjuntos quaisquer, ligando a noção de aplicação f : E  F a um subconjunto de E  F , formada pelos pares ( x, f ( x)) para todos os elementos x de E . Avançando no estudo da evolução da idéia de função, Eves (2004) enfatiza a contribuição de Richard Dedekind, que apresenta em 1888 uma concepção geral de função ou de aplicação fazendo uso, a exemplo de como fez Cantor, da Teoria dos Conjuntos. Em 1935, um grupo de jovens matemáticos franceses funda a Associação Bourbaki a fim de organizar toda a Matemática conhecida até então. Em seu primeiro livro da coleção Théorie des ensembles (fascicule de résultats), publicado em 1939, encontra-se a seguinte definição de função que, segundo Monna (1972), remove todas as dúvidas sobre o que é uma “verdadeira” função: “Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entre uma variável x de E e uma variável y de F chama-se relação funcional em x , ou relação funcional de E em F , se, qualquer que seja x  E , existe um elemento y de F , e somente um, que esteja na relação considerada com x . Dá-se o nome de „função‟ à operação que associa a todo elemento x  E o elemento y de F que se encontra na relação dada com x ; diz-se que y é o valor da função para o elemento x , e que a função está „determinada‟ pela relação funcional considerada. Duas relações funcionais „equivalentes‟ determinam a mesma função.” (Bourbaki, 1939, p.6 apud Monna, 1972, p. 82) Assim, pode-se dizer que desde a Antiguidade até a revolução estruturalista do grupo Bourbaki, emergiram maneiras diferentes de perceber o objeto matemático função, de utilizar ou enfatizar suas propriedades.
  • 45. 46 Capítulo 3 - A CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA Neste capítulo pretendemos dar significado ao estudo efetivo das funções reais afim e quadrática do ponto de vista de sua variabilidade. Esta proposta encontra-se diretamente relacionada ao projeto de pesquisa de Rezende (2003b) que estabelece uma “Proposta de Emersão das Idéias Básicas do Cálculo no Ensino Básico de Matemática”. O autor considera imprescindível ao educando dominar as técnicas que permitirão interpretar o mundo que o cerca ao completar o ensino básico. A abordagem a ser apresentada foi inspirada historicamente nos estudos de cinemática realizados, em sua origem, pelos escolásticos e por Galileu. 3.1. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função afim Considerando uma função real f e x um ponto interior de seu domínio, admitindo x como um incremento da variável x , chamamos de variação de f (ou simplesmente, a variação de y em relação ao incremento x por y  f ( x  x)  f ( x) . Definimos então a taxa de variação relativa ou acréscimo y f ( x2 )  f ( x1 ) relativo da função pela razão  , onde x1 e x 2 pertencem ao domínio x x2  x1 de f . Tendo visto a definição acima podemos, inicialmente, para efeito de ilustração, apresentar para os alunos uma atividade relacionada ao movimento uniforme onde um objeto se desloca sempre no mesmo sentido e, além disso, em tempos iguais, percorre espaços iguais. Considere, por exemplo, a função s : R  R , definida por s(t )  2t , onde t é o tempo em horas e s(t ) é o espaço percorrido, podemos sugerir a construção de uma tabela de valores para esta função que nos revele também os valores de s e s / t , em intervalos de tempo iguais no domínio da função. Este processo de “discretização” é útil para a análise, em geral, do comportamento variacional das funções.
  • 46. 47 Para t  1 (intervalos de 1 hora), teremos: t (em horas) s(t )  2t s  s(t  1)  s(t ) s / t 0 0 1 2 2 2 2 4 2 2 3 6 2 2 Tabela 2 – Valores de s(t )  2t para t  1 Escolhendo outro intervalo de tempo, por exemplo, t  0,5 (intervalos de 30 minutos), a tabela 2 recalculada nos forneceria os seguintes resultados: t (em minutos) s(t )  2t s  s(t  0,5)  s(t ) s / t 0 0 0,5 1 1 2 1 2 1 2 1,5 3 1 2 Tabela 3 - Valores de s(t )  2t para t  0,5 A repetição da atividade acima para outros intervalos de tempo permitirá que o aluno seja capaz de perceber que a variação de s é proporcional à variação de t, ou de outro modo, que a taxa de variação s / t é constante, como pode ser verificado na 4ª coluna das tabelas 2 e 3. A verificação definitiva desta propriedade deverá ser feita por meio da álgebra. Vejamos: s s(t  t )  s(t ) 2(t  t )  2t   2 t t t Para que o aluno “se convença” que esta propriedade “vale para qualquer função afim s(t )  at  b ”, devemos repetir a construção da tabela para outros exemplos. E após a vivência dessas experiências, usar a álgebra para verificar, de forma mais geral (para uma função afim arbitrária e qualquer t escolhido) a validade do que foi observado.
  • 47. 48 s s(t  t )  s(t ) a(t  t )  b  at  b   a t t t Isto significa que s(t  t )  s(t ) , espaço percorrido no intervalo de tempo t a partir da posição s(t ) , depende apenas de t , mas não de t . 3.2. Caracterização da Função Afim Isto posto, podemos perceber que a função do tipo afim tem a seguinte característica:  A taxa de variação s / t é constante Diante disso, surge naturalmente a seguinte questão: Será que uma função s , satisfazendo à propriedade acima pode ser considerada do tipo afim? O teorema a seguir nos fornece efetivamente uma caracterização da função afim. Teorema: Seja f :  →  uma função monótona injetiva. Se o acréscimo f ( x  h)  f ( x)   (h) depender apenas de h , mas não de x , então f é uma função afim. A hipótese de que f ( x  h)  f ( x) não depende de x se exprime, às vezes, como “a acréscimos iguais de x correspondem acréscimos iguais para f (x) ”. Outra maneira de exprimir esta hipótese consiste em dizer que “os acréscimos sofridos por f (x) são proporcionais aos acréscimos dados a x ”. As demonstrações serão omitidas aqui, mas o leitor curioso poderá encontrá-las em (Lima, 1996).
  • 48. 49 3.3. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função quadrática Analogamente ao que se fez para a função afim, podemos pensar em introduzir a caracterização da função quadrática para os alunos a partir de um exemplo simples que enfoque o seu caráter variacional. A partir dos dados fornecidos por um objeto em movimento uniformemente variável, podemos construir tabelas com a ajuda de uma planilha eletrônica (ou mesmo com a ajuda de uma simples calculadora), de modo a perceber como as funções quadráticas se comportam e, sendo assim, buscar características intrínsecas a ela. Ressaltamos que, para esta atividade não se tornar monótona para os alunos, seria mais adequado utilizar uma planilha eletrônica. Na ausência deste recurso, sugerimos reduzir a quantidade de linhas das tabelas, evitando assim que o foco da atividade seja desviado pelo uso intensivo da calculadora. Voltemos então, ao experimento de Galileu descrito no item 2.3.2 do Capítulo 2, 1 2 considerando s(t )  gt , onde g  9,8 m/s2. 2 A tabela 4 a seguir, nos fornece os valores da posição s(t ) (em metros) na 2ª coluna, no instante inicial t  0 e no instante 0  t até o instante 10 , uma vez escolhido o intervalo de tempo t  1 (variável livre). Na 3ª coluna da tabela, aparecem os valores do deslocamento ou variação da posição s , definida por s  s(t  t )  s(t ) , em cada intervalo de tempo. Na 4ª coluna da tabela, aparecem os valores da variação do deslocamento, isto é (s) 9, ou como podemos definir, simplesmente, a variação segunda de s , 2 s  s(t  t )  s(t ) , em cada intervalo de tempo. Na 5ª coluna da tabela, aparecem então a variação terceira da posição 3 s , definida por 3 s  2 s(t  t )  2 s(t ) , em cada intervalo de tempo. 9 (s)  (s(t  t )  s(t ))  s(t  t )  s(t )  2 s
  • 49. 50 t (em segundos) s (em metros) s  s(t  t )  s(t ) 2 s  s(t  t )  s(t ) 3 s 0 0 1 4,9 4,9 2 19,6 14,7 9,8 3 44,1 24,5 9,8 0 4 78,4 34,3 9,8 0 5 122,5 44,1 9,8 0 6 176,4 53,9 9,8 0 7 240,1 63,7 9,8 0 8 313,6 73,5 9,8 0 9 396,9 83,3 9,8 0 10 490 93,1 9,8 0 1 2 Tabela 4 – Valores de s(t )  gt para t  1 2 Por simples observação, podemos notar que a sequência de valores s é uma progressão aritmética de razão 9,8. As colunas 3ª e 4ª da tabela 4 formam, respectivamente, sequências constantes 2 s  9,8 e 3 s  0 . Observado isto, podemos sugerir a escolha de outro valor para t , por exemplo, t  0,5 e, refazendo os cálculos, chegaríamos aos seguintes resultados da tabela 5 a seguir. t (em segundos) s (em metros) s  s(t  t )  s(t ) 2 s  s(t  t )  s(t ) 3 s 0 0 0,5 1,225 1,225 1 4,9 3,675 2,45 1,5 11,025 6,125 2,45 0
  • 50. 51 2 19,6 8,575 2,45 0 2,5 30,625 11,025 2,45 0 3 44,1 13,475 2,45 0 3,5 60,025 15,925 2,45 0 4 78,4 18,375 2,45 0 4,5 99,225 20,825 2,45 0 5 122,5 23,275 2,45 0 1 2 Tabela 5 – Valores de s(t )  gt para t  0,5 2 Novamente, percebe-se que a tabela 5 mantém padrões similares aos da tabela 4. Neste caso, a sequência de valores s é uma progressão aritmética de razão 2,45. As colunas 3ª e 4ª da tabela 5 formam sequências constantes 2 s  2,45 e 3 s  0 . A atividade deverá ser repetida, quantas vezes forem necessárias, até que o aluno perceba que, para qualquer intervalo de tempo t fixado, e qualquer função quadrática s , a sequência de valores s sempre será uma progressão aritmética com 2 s constante e 3 s  0 . Ao perceber estas propriedades, o aluno é levado a estabelecer conjecturas a respeito do comportamento variacional das funções quadráticas. Cabe ressaltar que as conjecturas construídas por meio das atividades propostas podem e devem ser verificadas algebricamente. De fato, considerando st ,t t   s(t  t )  s(t ) e substituindo em s(t )  at 2  bt  c , temos:    st ,t  t   a(t  t 2 )  b(t  t )  c  at 2  bt  c    st ,t  t   a t 2  2(t )t  (t ) 2  bt  b(t )  c  at 2  bt  c st ,t  t   at 2  2a(t )t  a(t ) 2  bt  b(t )  c  at 2  bt  c st ,t  t   2a(t )t  a (t ) 2  b(t ) Como t está fixado,   2a(t ) e   a(t ) 2  b(t ) são constantes.
  • 51. 52 Re-escrevendo st ,t  t  obtemos st ,t t   t   . Observemos ainda que ao calcularmos 2 st ,t  t  , obtemos: 2 st ,t t   s(t  t )  s(t )   (t  t )    t    t Tal fato implica que 2 st ,t  t  é constante em relação a t . É imediato o fato de 3 st ,t  t   0 . 3.4. Caracterização da Função Quadrática Após as atividades introdutórias, a caracterização da função do tipo quadrática pode ser realizada de maneira equivalente à que foi feita para a função afim. Vimos na seção anterior que a função do tipo quadrática possui as seguintes características:  a sequência de valores s  s(t  t )  s(t ) é uma progressão aritmética  a razão desta progressão aritmética é constante e não-nula Será que uma função s(t ) pode ser considerada do tipo quadrática se satisfizer às características acima? A resposta para esta questão está no teorema que caracteriza a função quadrática. Teorema: Seja f :  →  uma função contínua tal que, para todo h  R fixado, o acréscimo f ( x  h)  f ( x) é uma função afim de x . Então f é uma função quadrática. A hipótese significa que, para todo hR e todo xR tem-se f ( x  h)  f ( x)  x   , onde  e  não dependem de x , mas certamente podem depender de h . Ou seja, f ( x  h)  f ( x)   (h) x   (h) . Tendo em vista o teorema de caracterização da função quadrática e sua recíproca, uma função quadrática transforma toda progressão aritmética numa progressão aritmética de segunda ordem e, inversamente, toda função contínua f :  →  que tem esta propriedade é uma função quadrática. Portanto, uma função
  • 52. 53 contínua f :  →  é quadrática se, e somente se, transforma toda progressão aritmética x1 , x2 , x3 ,... numa progressão aritmética de segunda ordem y1 , y 2 , y3 ,... onde f ( x1 )  y1 , f ( x2 )  y 2 , f ( x3 )  y3 , etc. Como destacamos no início deste capítulo, não é do escopo desta monografia demonstrar os resultados e teoremas citados. Nem é objetivo deste trabalho incentivar o professor a realizar tal procedimento em sala de aula com seus alunos. Concordamos com Rezende (2008), ao acreditar que certos fatos podem e devem ser ignorados em determinados níveis de ensino. O rigor é uma função da maturidade matemática e cognitiva do aluno. A noção intuitiva de continuidade pode estar associada, por exemplo, à alegoria de Euler, isto é, “uma função é contínua se podemos desenhar o seu gráfico sem tirar o lápis do papel”. Essa noção intuitiva, apesar de imprecisa, é legítima do ponto de vista histórico e faz parte, sem dúvida, do discurso docente de um curso inicial de Cálculo. Qual o problema então de usarmos essa metáfora no Ensino Médio?
  • 53. 54 Capítulo 4 - A PESQUISA “O professor é aquele que faz brotar duas idéias onde antes só havia uma.” Elbert Hubbard “Um professor que tenta ensinar sem inspirar em seus alunos a vontade de aprender, fala para o vazio.” Horace Mann 4.1. Metodologia Neste capítulo apresentaremos os procedimentos metodológicos que foram observados com o objetivo de realizarmos um estudo de caso do conhecimento do professor de Matemática da educação básica sobre o comportamento variacional das funções afim e quadrática. O problema foi levantado a partir do desenvolvimento de algumas ações do projeto de pesquisa “Uma Proposta de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico de Matemática” (Rezende, 2003b), principalmente durante a realização de minicursos ou oficinas junto a professores de Matemática da educação básica, quando se percebeu algumas dificuldades dos professores de Matemática da educação básica na resolução de problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática. Após a fase em que se configurou o problema, foi dado início à fase de formulação das hipóteses e de questões investigativas. Optou-se então pelo estudo de caso, através da seleção de questões a serem resolvidas pelos sujeitos da pesquisa na forma de atividades. A pesquisa foi desenvolvida com enfoque qualitativo, levando em consideração que a escolha do instrumento para coleta de dados deveria estar de acordo com a natureza do problema. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2006): “Considerando a educação matemática como uma prática social, o trabalho de campo torna-se uma opção importante, pois fornece elementos que nos permitem compreendê-la e, então, transformá-la.” A coleta de dados foi projetada para atender às posteriores análises quantitativas e qualitativas das respostas dos professores.
  • 54. 55 4.1.1. Pesquisa naturalista ou de campo – o estudo de caso Uma vez delineado e definido o objeto de estudo, a próxima fase consiste na construção e desenvolvimento de modos de investigar esse objeto. A denominação “pesquisa naturalista ou de campo” significa que os estudos são coletados diretamente no “campo”, sendo a modalidade de investigação na qual a coleta de dados é realizada diretamente no local em que o problema ou o fenômeno acontece e pode se dar por amostragem, entrevista, observação participante, pesquisa-ação, aplicação de questionário, teste, atividades, entre outros. Um tipo especial de pesquisa de campo é o estudo de caso. Ele é recomendável para a construção de hipóteses, para confirmação ou reformulação do problema e, sobretudo, quando se quer estudar algo singular, que tenha um valor em si mesmo, buscando encontrar algo de universal no particular. Fiorentini e Lorenzato (2006) complementam a questão ao afirmar que: “O estudo de caso busca retratar a realidade de forma profunda e mais completa possível, enfatizando a interpretação ou a análise do objeto no contexto em que ele se encontra, mas não permite a manipulação das variáveis e não favorece a generalização.” O caso pode ser, por exemplo, um grupo de professores de Matemática da educação básica com algumas dificuldades na resolução de problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática. O contexto desta monografia tende a seguir uma abordagem qualitativa, embora isso não signifique abandonar algumas quantificações necessárias, que podem ajudar a análise de algumas questões. Assim, elaborou-se um questionário com questões fechadas, pois são mais fáceis de serem respondidas, compiladas e tratadas estatisticamente, com o objetivo de caracterizar e descrever os sujeitos da pesquisa, através de informações como ser aluno ou professor, lecionar em escola pública ou privada e os níveis de ensino em que leciona. A abordagem qualitativa da pesquisa, apresentada através da análise das resoluções das atividades propostas aos professores, favorece a confirmação ou reformulação do problema e permite propor os próximos passos.
  • 55. 56 4.2. Descrição da pesquisa Esta pesquisa tem como objetivo investigar sobre o conhecimento de um grupo de professores em relação ao comportamento variacional das funções reais afim e quadrática. Para isto foram selecionadas algumas atividades para serem aplicadas em quatro momentos distintos. Passemos então a descrição dos sujeitos e dos instrumentos utilizados nesta pesquisa. 4.2.1. Sujeitos da pesquisa A pesquisa apresentada nesta monografia foi desenvolvida durante os anos de 2007 e 2008, e aplicada em momentos distintos em quatro grupos de professores e licenciandos em Matemática, dos quais três deles foram constituídos durante os minicursos ministrados em parceria com o Prof. Wanderley Rezende, nos seguintes encontros de educação Matemática: 31º Encontro Fundão - Junho / 2007 Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) Minicurso: Funções Reais: o Caminho Histórico e o Descaminho Didático 5º Encontro Sul Fluminense de Educação Matemática (5º ESFEM) - Outubro / 2007 Universidade Severino Sombra (USS) Minicurso: Uma Proposta Alternativa para o Ensino de Funções na Educação Básica 1ª Jornada de Matemática (1ª JORMAT) - Maio / 2008 Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ) Faculdade de Formação de Professores (FFP) Minicurso: Dos Escolásticos às Novas Tecnologias: uma Contribuição para o Ensino de Funções Reais na Educação Básica O terceiro grupo ao qual a pesquisa foi aplicada era formado por alunos da turma de Especialização Matemática para Professores do Ensino Fundamental e Médio da Universidade Federal Fluminense que ingressaram no curso em Março de 2008.
  • 56. 57 A escolha destes grupos justifica-se pelo fato destes sujeitos serem profissionais selecionados e/ou compromissados com a sua formação. O fato de eles estarem participando, de uma forma ou de outra, de atividades que visam à melhoria da sua prática docente ou deles estarem fazendo um curso de Especialização em uma instituição pública federal de qualidade, justificam a nossa seleção e nos dá a segurança de que fizemos uma escolha acertada. 4.2.2. Descrição dos instrumentos da pesquisa Para caracterizar e descrever os sujeitos da pesquisa foi elaborado e aplicado um questionário fechado, o qual também serviu para obter informações relativas à situação profissional de cada um dos participantes. Optou-se pelo desenvolvimento de atividades propostas com o intuito de verificar, através da observação e análise das respostas dos sujeitos pesquisados, se os professores da educação básica estão preparados para realizar o estudo e caracterização das funções polinomiais a partir do seu comportamento variacional. O questionário informativo e as atividades propostas foram submetidos aos sujeitos da pesquisa durante os encontros descritos no item 4.2.1. Para os sujeitos da pesquisa que participaram do último grupo, elaboramos também um formulário de avaliação que permitisse aos participantes expressar sua opinião em relação às atividades propostas, à sequência didática apresentada e ao conteúdo didático-pedagógico do minicurso ministrado na 1ª Jornada de Matemática – UERJ/FFP. Algumas destas respostas e avaliações serão transcritas mais tarde. 4.2.2.1. Questionário informativo Em cada encontro, foi aplicado um questionário informativo para qualificar os participantes de acordo com as perguntas abaixo. Estes dados foram tabulados e encontram-se no Anexo.
  • 57. 58 Responda, por favor (não precisa de identificação): Aluno Professor Escola que leciona: Pública Privada Ensino: Fundamental I 1º 2º 3º 4º 5º Fundamental II 6º 7º 8º 9º Médio 1º 2º 3º Superior Graduação Pós-graduação 4.2.2.2. Atividades propostas Os problemas apresentados a seguir foram propostos para serem resolvidos pelos participantes em até uma hora. Foi permitido o uso da calculadora e, em um dos grupos pesquisados, a calculadora foi substituída por um computador com planilha eletrônica. O objetivo principal desta pesquisa é investigar quais as estratégias e ferramentas utilizadas pelos participantes para descobrir a lei de formação da função a partir dos dados de um problema. Atividade 1 – Fonte: Botelho (2005) – página 46 A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem em movimento uniforme que passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou a ser observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia? Tempo ( horas) 0 1 2 3 4 Espaço (km) 40 70 100 130 160
  • 58. 59 Atividade 2 (Adaptada) – Fonte: Botelho (2005) – página 49 Um estudante anotou a posição de um móvel em movimento uniformemente variável ao longo do tempo e obteve a seguinte tabela: Tempo (s) 0 10 20 30 40 50 Posição (cm) 17 45 81 125 177 237 Calcular a posição do móvel nos instantes 5s e 35s. Atividade 3 – Fonte: Lima (2001) – página 103 Uma escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte: °C °N 18° 0° 43° 100° Em que temperatura ferve a água na escala N ? Atividade 4 (Adaptado) – Fonte: Lima (2001) – página 150 Uma pessoa possui um gravador de vídeo dotado de um contador que registra o número de voltas dadas pelo carretel da direita. A fita, de 6 horas de duração, está parcialmente gravada. O contador indica 1750 ao final do trecho gravado e 1900 ao final da fita. Medindo o tempo de gravação correspondente às primeiras 100, 200, 300 e 400 voltas, foram encontrados os dados abaixo: Volta Tempo (s) 100 555 200 1176 Quanto tempo resta de gravação na fita? 300 1863 400 2616 As resoluções das quatro atividades propostas podem ser visualizadas no final deste trabalho, no anexo.
  • 59. 60 4.2.2.3. Formulário de Avaliação O formulário de avaliação foi o instrumento de pesquisa aplicado no último encontro com o objetivo de levantar as idéias e opiniões dos participantes em relação ao minicurso apresentado. Com esta finalidade, foram elaboradas as nove seguintes questões: 1) A idéia proposta para o estudo das funções polinomiais foi compreendida? (a) Totalmente (b) Parcialmente (c) Não foi compreendida 2) Você acha que o estudo proposto é relevante para a formação do aluno da educação básica? (a) Sim (b) Parcialmente (c) Não 3) Explicite os motivos da sua resposta para a questão 2. 4) Caso você tenha oportunidade, você implementaria esta sequência didática para desenvolver o estudo da variação das funções polinomiais? (a) Sim (b) Parcialmente (c) Não 5) Explicite os motivos da sua resposta para a questão 4. 6) Você acredita que o “aluno mediano” tenha capacidade de assimilar o conteúdo apresentado para o estudo da variação das funções polinomiais? (a) Sim (b) Parcialmente (c) Não 7) Justifique a sua resposta para o item 6. 8) O minicurso acrescentou alguma coisa na sua formação? (a) Sim (b) Parcialmente (c) Não 9) Explicite os motivos da sua resposta para a questão 8, enumerando os elementos que foram agregados à sua formação.
  • 60. 61 4.3. Resultados da pesquisa Para apresentar sucinta e claramente os resultados da pesquisa, as informações contidas no questionário informativo e as respostas dos sujeitos da pesquisa para as atividades propostas foram classificadas estatisticamente e organizadas em categorias. Para facilitar a compreensão desta investigação, recorremos ao uso das legendas a seguir: Grupos pesquisados Grupo A 31º Encontro Fundão – UFRJ Grupo B 5º Encontro Sul Fluminense de Ed. Matemática (5º ESFEM) – USS Grupo C Turma de Especialização Matemática para Professores do Ensino Fundamental e Médio da Universidade Federal Fluminense – UFF Grupo D 1ª Jornada de Matemática (1ª JORMAT) – FFP/UERJ 4.3.1. O perfil dos grupos pesquisados Os sujeitos desta pesquisa estão distribuídos nos grupos A com 25 participantes, B com 10 participantes, C com 14 participantes e D com 19 participantes, totalizando 68 participantes. Deste total, 25 são alunos de graduação ou pós-graduação em Matemática e não atuam como professor e o restante, 43 participantes, atuam como professores. Inicialmente cabe ressaltar que no grupos A, B e C temos uma maioria de participantes que atua como professores, mas a situação se inverte no grupo D, no qual a maioria, 75% dos participantes, não leciona, conforme observado a seguir: Não atua como Atua como Grupo Participante professor Professor Grupo A 25 4 21 Grupo B 10 4 6 Grupo C 14 3 11 Grupo D 19 14 5 Total 68 25 43 Dos 43 participantes que atuam como professores de Matemática, detectamos dois participantes do grupo D formados em Pedagogia e que atuam exclusivamente como professores de 2º e 3º ano do Ensino Fundamental I. Como esta pesquisa tem seu
  • 61. 62 foco na formação profissional do professor de Matemática, iremos desconsiderar esses dois sujeitos que estão capacitados a lecionar apenas no Ensino Fundamental I. Chegamos assim a um total de 66 participantes, sendo que 25 não atuam como professor e 41 atuam como professor, ou seja, o equivalente a 38% e 62% respectivamente. Destes sujeitos da pesquisa que atuam como professor, 30 trabalham em escolas públicas, 22 em escolas privadas e 11 em ambas, conforme o quadro abaixo: Escola que leciona Grupo Professor Pública Privada Grupo A 21 15 10 Grupo B 6 5 4 Grupo C 11 7 6 Grupo D 3 3 2 Total 41 30 22 A grande maioria dos 41 participantes lecionam em mais de uma turma e em segmentos distintos, como notamos ao tabular as respostas do questionário informativo: Ensino Fund. II Médio Grad. Pós Grupo Participante Professor 6º 7º 8º 9º 1º 2º 3º Grupo A 25 21 9 8 9 8 11 12 12 2 0 Grupo B 10 6 4 4 3 5 4 4 4 3 1 Grupo C 14 11 6 5 7 4 5 6 3 3 1 Grupo D 17 3 0 0 1 1 1 1 1 2 1 Total 66 41 19 17 20 18 21 23 20 10 3 Este nível de detalhamento do perfil dos grupos pesquisados não acrescenta informações relevantes, como também não interfere nos resultados da pesquisa, cujo foco é realizar um estudo de caso do conhecimento do professor de Matemática da educação básica sobre o comportamento variacional das funções afim e quadrática. Desta forma, optamos por classificar as respostas dos participantes em relação ao segmento de ensino que atuam. Foram considerados aqueles que atuam apenas no ensino fundamental II (6º, 7º, 8º e 9º) e aqueles que atuam inclusive no ensino médio, graduação ou pós-graduação.
  • 62. 63 Ensino Grupo Professor Fundamental II Médio, Graduação ou Pós Grupo A 21 4 17 Grupo B 6 1 5 Grupo C 11 3 8 Grupo D 3 0 3 Total 41 8 33 Com esta classificação podemos observar que, dos 41 participantes que atuam como professores de Matemática, 80% atua no ensino médio, graduação ou pós- graduação e que 20% atua exclusivamente no ensino fundamental II. 4.3.2. Apresentação das categorias de análise da resolução das atividades Estudos sobre divergências entre corretores em provas dissertativas de Matemática levaram-nos a buscar uma situação ideal de correção e de análise das resoluções das atividades apresentadas pelos participantes desta pesquisa. Em seu artigo, Moretti (2008) indica as vantagens da prática da multicorreção de provas: “Pensamos que a explicação das divergências entre corretores é um pré- requisito necessário para visar o objetivo da uniformização.” A partir do reconhecimento desta situação, realizamos primeiramente um estudo comparativo das resoluções por questão. Tanto as respostas corretas quanto as respostas incorretas, foram classificadas visando uniformizar as resoluções dos sujeitos da pesquisa. Após o levantamento das similaridades encontradas nas resoluções de cada questão, utilizamos as legendas Cn e In para classificar, respectivamente, as diversas resoluções corretas e incorretas. Algumas respostas não estavam nem corretas, nem incorretas, por isso não puderam ser classificadas de acordo com as categorias descritas acima. São questões que não foram resolvidas, deixadas literalmente “em branco” (EB); questões não finalizadas (NF) que, apesar de iniciadas, não foram terminadas, impossibilitando sua classificação em corretas ou incorretas; e, finalmente, questões com resolução incongruente (RI), que são questões resolvidas ou não, mas cuja resolução está incompatível com o enunciado.
  • 63. 64 Em resumo, as respostas foram classificadas segundo a legenda a seguir: Classificação Descrição Cn Corretas In Incorretas EB Em branco NF Não finalizadas RI Resolução incongruente Passemos então a análise dos resultados obtidos por questão, as quais foram transcritas novamente com o intuito de facilitar a verificação dos seus enunciados. 4.3.2.1. Questão 1 A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem em movimento uniforme que passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou a ser observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia? Tempo (horas) 0 1 2 3 4 Espaço (km) 40 70 100 130 160 Resposta: O trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia após 2 horas e 40 minutos da viagem. Nesta questão foram identificados quatro tipos de resoluções corretas (C1, C2, C3 e C4), dois tipos de resoluções incorretas (I1 e I2), resoluções em branco (EB), resoluções não finalizadas (NF) e resoluções incongruentes (RI). A seguir, apresentaremos um exemplo para cada categoria de resposta encontrada para esta questão. Correta do tipo 1 (C1) s Neste tipo de resolução, o participante utilizou a relação  30 . t
  • 64. 65 Figura 7 – Resolução do participante 06 do grupo A Correta do tipo 2 (C2) O participante utilizou a divisão do tempo em partes proporcionais a ∆, na resolução classificada como tipo 2. Figura 8 – Resolução do participante 14 do grupo D Correta do tipo 3 (C3) Aqui, observamos o uso da regra de três entre ∆ e ∆ Figura 9 – Resolução do participante 07 do grupo A
  • 65. 66 Correta do tipo 4 (C4) Aqui, o participante encontrou a função afim correspondente = + , ou ainda, = 0 + e calculou o tempo percorrido. Figura 10 – Resolução do participante 09 do grupo C Incorreta do tipo 1 (I1) vt Neste tipo de resolução incorreta, o participante usou a expressão . 2 Figura 11 – Resolução do participante 01 do grupo A
  • 66. 67 Incorreta do tipo 2 (I2) O participante usou = , isto é, o espaço (s) proporcional ao tempo (t). Figura 12 – Resolução do participante 05 do grupo A Não finalizada (NF) Figura 13 – Resolução do participante 14 do grupo A Resolução incongruente (RI) Apresentamos um exemplo que não deixam dúvida em relação a este tipo de classificação. Figura 14 – Resolução do participante 18 do grupo D
  • 67. 68 4.3.2.2. Questão 2 Um estudante anotou a posição de um móvel em movimento uniformemente variável ao longo do tempo e obteve a seguinte tabela: Tempo (s) 0 10 20 30 40 50 Posição (cm) 17 45 81 125 177 237 Calcular a posição do móvel nos instantes 5s e 35s. Resposta: No instante 5s a posição do móvel é 30 cm e no instante 35s, é 150 cm Nesta questão foi identificada um tipo de resolução correta (C1), quatro tipos de resoluções incorretas (I1, I2, I3 e I4), resoluções em branco (EB), resoluções não finalizadas (NF) e resoluções incongruentes (RI). Passemos agora à ilustração das categorias de respostas desta questão.
  • 68. 69 Correta do tipo 1 (C1) O participante utilizou os dados da tabela para encontrar a lei de formação da função quadrática = 2 + + e calcular a posição do móvel nos instantes 5s e 35s. Figura 15 – Resolução do participante 22 do grupo A
  • 69. 70 Incorreta do tipo 1 (I1) O participante utilizou regra de três simples entre s e t . Figura 16 – Resolução do participante 12 do grupo D Incorreta do tipo 2 (I2) 2 Neste tipo de resolução incorreta, o participante utilizou a equação = 0 + 0 + , 2 com = 0,8 / 2 . Figura 17 – Resolução do participante 23 do grupo A Incorreta do tipo 3 (I3) O participante faz uso de uma função linear do tipo = + para modelar o problema. Figura 18 – Resolução do participante 11 do grupo C
  • 70. 71 Mesmo tipo de resolução incorreta em outro exemplo: Figura 19 – Resolução do participante 08 do grupo A Incorreta do tipo 4 (I4) Resolução incorreta, na qual o participante calculou s a partir da velocidade média no intervalo. Figura 20 – Resolução do participante 19 do grupo D
  • 71. 72 Não finalizada (NF) Figura 21 – Resolução do participante 06 do grupo A Resolução incongruente (RI) Não existem elementos suficientes para classificar a resolução em um dos tipos de incorreta. Figura 22 – Resolução do participante 08 do grupo C 4.3.2.3. Questão 3 Uma escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte: °C °N 18° 0° 43° 100° Em que temperatura ferve a água na escala N? Resposta: A água ferve a uma temperatura de 328º N.
  • 72. 73 Nesta questão foram identificadas dois tipos de resoluções corretas (C1 e C2), sete tipos de resoluções incorretas (I1, I2, I3, I4, I5, I6 e I7), resoluções em branco (EB), resoluções não finalizadas (NF) e resoluções incongruentes (RI). Correta do tipo 1 (C1) O participante utilizou a função = + para encontrar o resultado da questão. Figura 23 – Resolução do participante 22 do grupo A Correta do tipo 2 (C2) As questões deste tipo foram resolvidas através de regra de três entre C e N . Figura 24 – Resolução do participante 13 do grupo D
  • 73. 74 Incorreta do tipo 1 (I1) O participante tentou calcular os vértices da parábola ( , ). Figura 25 – Resolução do participante 02 do grupo A Incorreta do tipo 2 (I2) Nesta resolução incorreta observamos que o participante utilizou a regra de três, mas com valores não correspondentes. Figura 26 – Resolução do participante 14 do grupo C
  • 74. 75 Incorreta do tipo 3 (I3) O participante utilizou a regra de três entre as temperaturas em ºC e em ºN. Figura 27 – Resolução do participante 05 do grupo B Incorreta do tipo 4 (I4) ( y 2  x2 ) O participante utilizou m  ( y1  x1 ) Figura 28 – Resolução do participante 11 do grupo C
  • 75. 76 Incorreta do tipo 5 (I5)  x  x0  x0 O participante utilizou   y  y1  y1 Figura 29 – Resolução do participante 12 do grupo D Incorreta do tipo 6 (I6)  y 2  y1  y O participante utilizou  x2  x1  x Figura 30 – Resolução do participante 21 do grupo A
  • 76. 77 Incorreta do tipo 7 (I7) O participante utiliza a função = + , encontra o valor de a corretamente, mas erra no cálculo de ( = −72). Figura 31 – Resolução do participante 12 do grupo C Não finalizada (NF) Figura 32 – Resolução do participante 17 do grupo A
  • 77. 78 Resolução incongruente (RI) Resposta incorreta com informações insuficientes para ser classificada. Figura 33 – Resolução do participante 17 do grupo D 4.3.2.4. Questão 4 Uma pessoa possui um gravador de vídeo dotado de um contador que registra o número de voltas dadas pelo carretel da direita. A fita, de 6 horas de duração, está parcialmente gravada. O contador indica 1750 ao final do trecho gravado e 1900 ao final da fita. Medindo o tempo de gravação correspondente às primeiras 100, 200, 300 e 400 voltas, foram encontrados os dados abaixo: Volta Tempo (s) 100 555 200 1176 Quanto tempo resta de gravação na fita? 300 1863 400 2616 Resposta: Restam 39 minutos e 31 segundos de tempo de gravação na fita. Nesta questão não foi identificado nenhum tipo de resolução correta e foram identificadas três tipos de resoluções incorretas (I1, I2 e I3), resoluções em branco (EB), resoluções não finalizadas (NF) e resoluções incongruentes (RI). Incorreta do tipo 1 (I1) O participante considerou uma equação do tipo t (n)  an  b onde n é o número de voltas e t é o tempo correspondente.
  • 78. 79 Figura 34 – Resolução do participante 25 do grupo A Incorreta do tipo 2 (I2) O participante utilizou de maneira incorreta uma regra de três simples entre n e t . Figura 35 – Resolução do participante 06 do grupo C
  • 79. 80 Incorreta do tipo 3 (I3) Resolução em que o participante utilizou uma regra de três simples entre n e t. Figura 36 – Resolução do participante 04 do grupo C Não finalizada (NF) Figura 37 – Resolução do participante 01 do grupo C Resolução incongruente (RI) A resposta do participante não possui dados suficientes para ser classificada ou está incompatível com a questão. Figura 38 – Resolução do participante 03 do grupo C
  • 80. 81 4.3.3. Análise da resolução das atividades Os resultados obtidos com a pesquisa desta monografia apresentam-se tratados estatisticamente, através de tabelas e gráficos circulares, organizados de acordo com a classificação descrita anteriormente e exemplificada no item acima. Para cada grupamento de dados, corresponde um breve levantamento percentual dos resultados. Com base nestas informações quantitativas, realizaremos uma análise buscando aprofundar os resultados e responder a pergunta desta monografia. 4.3.3.1. Alguns indicadores quantitativos das resoluções Para que os resultados obtidos na pesquisa pudessem ser observados de forma organizada, optamos por apresentar tabelas e gráficos, lado a lado, de modo a fornecer ao leitor uma interpretação mais rápida e objetiva. As legendas referentes aos setores dos gráficos foram dispensadas, pois nas tabelas estão todas as informações necessárias para a sua leitura e compreensão. Iniciaremos a apresentação dos resultados com uma análise geral, constituída de todos os grupos (A, B, C e D) e todas as questões (1, 2, 3 e 4) reunidas. Neste tipo de análise as categorias de resposta não podem estar classificadas em Cn e In pelo fato de cada questão (1, 2, 3 e 4) apresentar uma variedade de tipos de respostas corretas ou incorretas que não estão relacionadas entre si. Por exemplo, uma resposta do tipo C1 relativa à questão 1 nada tem a ver com uma resposta do tipo C1 relativa à questão 2. Sendo assim, o que consideramos ser uma categoria de respostas resumida engloba as respostas classificadas como corretas, incorretas, em branco (EB), não finalizadas (NF) e resoluções incongruentes (RI).
  • 81. 82 Todos os Grupos x Todas as Questões x Categoria de Resposta Resumida Respostas Qtde. Corretas 83 Incorretas 113 Em branco (EB) 51 Não finalizadas (NF) 8 Resoluções incongruentes (RI) 9 Total geral 264 Tabela 6 – Todos os grupos x todas as questões Gráfico 3 – Todos os grupos x todas as questões A partir da observação dos dados da tabela e do gráfico, as repostas incorretas (43%) em conjunto com as respostas em branco (19%), com as não finalizadas (3%) e com as resoluções incongruentes (3%), perfazem uma quantidade significativa de 181 respostas, que equivalem a 68% do total, em comparação as 83 respostas corretas, que correspondem a 32%. Contudo, percebemos que este comportamento não é comum a todas as questões. Sendo assim, apresentaremos os dados estatísticos das quatro questões separadamente, mantendo os participantes ainda agrupados e classificando as respostas quanto ao tipo de resolução.
  • 82. 83 Todos os Grupos x Questão 1 x Categoria de Respostas Classificadas Nesta organização de dados, podemos verificar as respostas corretas, incorretas, em branco, não finalizadas e as resoluções incongruentes apresentadas pelos participantes da pesquisa para solucionar a questão 1 (descobrir depois de quanto tempo, um trem em movimento uniforme, passa pelo quilômetro 120 da ferrovia) e compará-las através do gráfico com percentuais. QUESTÃO 1 Respostas Qtde. Corretas do tipo 1 (C1) 6 Corretas do tipo 2 (C2) 22 Corretas do tipo 3 (C3) 5 Corretas do tipo 4 (C4) 18 Subtotal Corretas 51 Incorretas do tipo 1 (I1) 3 Incorretas do tipo 2 (I2) 8 Subtotal Incorretas 11 Em branco (EB) 2 Não finalizadas (NF) 1 Resoluções incongruentes (RI) 1 Total geral 66 Tabela 7 – Todos os grupos x questão 1 Gráfico 4 – Todos os grupos x questão 1 Percebemos, na tabela acima, que 51 participantes resolveram corretamente a questão 1, o equivalente a cerca de 77%, e que apenas 11 resoluções foram classificadas como incorretas, ou seja, 17%.
  • 83. 84 Todos os Grupos x Questão 2 x Categoria de Respostas Classificadas Prosseguindo com o levantamento de dados, analisaremos as respostas dos participantes para a questão 2 (calcular a posição de um móvel em movimento uniformemente variado em dois instantes distintos) através da tabela e do gráfico seguintes. QUESTÃO 2 Respostas Qtde. Corretas do tipo 1 (C1) 1 Subtotal Corretas 1 Incorretas do tipo 1 (I1) 36 Incorretas do tipo 2 (I2) 8 Incorretas do tipo 3 (I3) 4 Incorretas do tipo 4 (I4) 1 Subtotal Incorretas 49 Em branco (EB) 11 Não finalizadas (NF) 4 Resoluções incongruentes (RI) 1 Total geral 66 Tabela 8 – Todos os grupos x questão 2 Gráfico 5 – Todos os grupos x questão 2 Na tabela chama atenção o fato de apenas um participante ter resolvido corretamente a questão 2, enquanto que os 65 (98,5%) participantes restantes, resolveram incorretamente (74%), deixaram a questão em branco (17%), não finalizaram a resolução (6%) ou apresentaram resolução incongruente (2%). Cabe observar que as questões 1 e 2, embora inseridas no mesmo contexto (cinemática), são modeladas por funções de tipos diferentes (função afim e quadrática) e apresentaram resultados diferentes. O fato de 55% das resoluções incorretas serem do tipo 1, na qual o participante utilizou regra de três simples entre ∆ e ∆, também merece um questionamento detalhado que será feita adiante.
  • 84. 85 Todos os Grupos x Questão 3 x Categoria de Respostas Classificadas Nesta questão (determinar em que temperatura a água ferve na escala N), daremos continuidade ao levantamento estatístico através da tabela e do gráfico apresentados abaixo. QUESTÃO 3 Respostas Qtde. Corretas do tipo 1 (C1) 5 Corretas do tipo 2 (C2) 26 Subtotal Corretas 31 Incorretas do tipo 1 (I1) 1 Incorretas do tipo 2 (I2) 4 Incorretas do tipo 3 (I3) 12 Incorretas do tipo 4 (I4) 2 Incorretas do tipo 5 (I5) 1 Incorretas do tipo 6 (I6) 2 Incorretas do tipo 7 (I7) 2 Subtotal Incorretas 24 Em branco (EB) 9 Não finalizadas (NF) 1 Resoluções incongruentes (RI) 1 Total geral 66 Gráfico 6 – Todos os grupos x questão 3 Tabela 9 – Todos os grupos x questão 3 Existem duas informações que merecem ser destacadas na questão 3. Primeiro, a variedade de tipos de resolução incorreta (de I1 até I7), com destaque para as incorretas do tipo 3, na qual 12 participantes utilizaram a regra de três direta entre as variáveis ºC e ºN em vez de usarem a regra de três entre as variações das variáveis (modelo afim, não linear). Este tipo de erro teve uma incidência de 50% em relação às resoluções incorretas. Em segundo, a quantidade de resoluções corretas (47%) está próxima da quantidade de resoluções incorretas, em branco, não finalizadas e incongruentes (53%). Uma sucinta comparação entre as resoluções apresentadas pelos participantes para as questões 1 e 3, ambas modeladas pela função afim mas com respostas tão discrepantes, leva-nos a questionar se foi a mudança do contexto (cinemática para termodinâmica) que interferiu neste resultado.
  • 85. 86 Todos os Grupos x Questão 4 x Categoria de Respostas Classificadas Para finalizar, apresentaremos os resultados relativos à questão 4 (encontrar o tempo restante de gravação numa fita de vídeo) coletados na pesquisa deste trabalho. QUESTÃO 4 Respostas Qtde. Incorretas do tipo 1 (I1) 5 Incorretas do tipo 2 (I2) 21 Incorretas do tipo 3 (I3) 3 Subtotal Incorretas 29 Em branco (EB) 29 Não finalizadas (NF) 2 Resoluções incongruentes (RI) 6 Total geral 66 Tabela 10 – Todos os grupos x questão 4 Gráfico 7 – Todos os grupos x questão 4 Na distribuição acima, um ponto importante a ser realçado é que nenhum participante apresentou uma solução correta para a questão. Também podemos destacar que o subtotal de 29 participantes com resoluções incorretas para a questão (44%) empatou com a quantidade de participantes que deixou a questão em branco (44%), totalizando uma considerável maioria de 88%. Das respostas incorretas, destacamos que 73% eram de resoluções do tipo 2, no qual o participante utilizou uma regra de três simples entre ∆ (variação do número de voltas) e ∆ (variação do tempo). Cabe destacar ainda que os outros dois tipos de resoluções incorretas utilizam propriedades da função afim ou linear. Após analisarmos os dados acima referentes às quatro tabelas e aos quatro gráficos elaborados com todos os participantes, surge uma indagação sobre as características de cada grupo separadamente. Para responder a este questionamento, os resultados apresentados pelos grupos pesquisados (Grupo A – Fundão, Grupo B – USS/Vassouras, Grupo C – FFP/UERJ e Grupo D – Especialização/UFF) em relação a cada uma das questões serão analisados de forma comparativa.
  • 86. 87 Por Grupo x Questão 1 x Categoria de Respostas Classificadas Dando sequência aos estudos estatísticos, apresentamos as tabelas detalhadas com os resultados da questão 1 (descobrir depois de quanto tempo, um trem em movimento uniforme, passa pelo quilômetro 120 da ferrovia). QUESTÃO 1 Resposta/Qtde. Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D Corretas do tipo 1 (C1) 5 0 1 0 Corretas do tipo 2 (C2) 5 4 3 10 Corretas do tipo 3 (C3) 5 0 0 0 Corretas do tipo 4 (C4) 5 4 7 2 Subtotal Corretas 20 8 11 12 Incorretas do tipo 1 (I1) 2 0 0 1 Incorretas do tipo 2 (I2) 1 2 3 2 Subtotal Incorretas 3 2 3 3 Em branco (EB) 1 0 0 1 Não finalizadas (NF) 1 0 0 0 Resoluções incongruentes (RI) 0 0 0 1 Total geral 25 10 14 17 Tabela 11 – Questão 1 x Grupo Pela tabela acima, percebe-se que existem algumas variações pontuais em relação à classificação detalhada das respostas dos participantes dos grupos A, B, C e D. No entanto, percebe-se uma aproximação nos resultados, quando efetuamos os cálculos percentuais considerando as categorias de respostas resumidas (corretas, incorretas, em branco, não finalizadas e incongruentes), como veremos na tabela a seguir. Grupo Grupo Grupo Grupo Questão 1 % % % % Total % A B C D Corretas 20 80% 8 80% 11 79% 12 71% 51 77% Incorretas 3 12% 2 20% 3 21% 3 18% 11 17% Em branco (EB) 1 4% 0 0% 0 0% 1 6% 2 3% Não finalizadas (NF) 1 4% 0 0% 0 0% 0 0% 1 2% Resol.incongruentes (RI) 0 0% 0 0% 0 0% 1 6% 1 2% Total geral 25 100% 10 100% 14 100% 17 100% 66 100% Tabela 12 – Quadro percentual comparativo da questão 1
  • 87. 88 A seguir apresentamos os resultados em forma de gráfico. Grupo A EB NF Grupo B I2 4% 4% C1 4% 20% I2 I1 20% C2 8% 40% C2 C4 20% C3 20% 20% C4 40% C1 RI Grupo C Grupo D 7% 6% EB 6% I2 21% C2 I2 22% I1 12% 6% C2 59% C4 C4 50% 11% Gráfico 8 – Questão 1 x Grupo Como notamos, as resoluções corretas variam entre 70% e 80% nos quatro grupos pesquisados, com maior ocorrência das resoluções corretas do tipo 4 (utilização da função afim) no grupo C (50%), e as corretas do tipo 2 (divisão do tempo em partes proporcionais) no grupo D (59%). Apenas no grupo A foram encontradas resolução do tipo 3 (regra de três entre ∆ e ∆).
  • 88. 89 Por Grupo x Questão 2 x Categoria de Respostas Classificadas Continuaremos, a seguir, com os resultados relativos à questão 2 (calcular a posição de um móvel em movimento uniformemente variado em dois instantes distintos) e suas respectivas tabelas. QUESTÃO 2 Resposta/Qtde. Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D Corretas do tipo 1 (C1) 1 0 0 0 Subtotal Corretas 1 0 0 0 Incorretas do tipo 1 (I1) 15 4 5 12 Incorretas do tipo 2 (I2) 4 2 2 0 Incorretas do tipo 3 (I3) 2 0 2 0 Incorretas do tipo 4 (I4) 0 0 0 1 Subtotal Incorretas 21 6 9 13 Em branco (EB) 1 4 3 3 Não finalizadas (NF) 2 0 1 1 Resoluções incongruentes (RI) 0 0 1 0 Total geral 25 10 14 17 Tabela 13 – Questão 2 x Grupo Cabe destacar aqui que existe uma única resolução correta, a qual pertence a um dos participantes do grupo A, e nenhuma resolução correta nos grupos B, C e D. Grupo Grupo Grupo Grupo Questão 2 % % % % Total % A B C D Corretas 1 4% 0 0% 0 0% 0 0% 1 2% Incorretas 21 84% 6 60% 9 64% 13 76% 49 74% Em branco (EB) 1 4% 4 40% 3 21% 3 18% 11 17% Não finalizadas (NF) 2 8% 0 0% 1 7% 1 6% 4 6% Resol.incongruentes (RI) 0 0% 0 0% 1 7% 0 0% 1 2% Total geral 25 100% 10 100% 14 100% 17 100% 66 100% Tabela 14 – Quadro percentual comparativo da questão 2
  • 89. 90 Observaremos, a seguir, os gráficos percentuais com seus resultados detalhados. Grupo A EB NF Grupo B C1 4% 8% 4% I3 8% EB I1 40% 40% I2 I1 16% 60% I2 20% Grupo C RI Grupo D NF NF 7% 6% 7% EB I1 18% EB 36% 22% I4 I1 6% 70% I2 I3 14% 14% Gráfico 9 – Questão 2 x Grupo Nota-se uma predominância da resolução incorreta do tipo 1 (regra de três simples entre ∆ e ∆), principalmente no grupo A (60%) e no grupo D (70%) e um alto índice de questões em branco nos grupos B (40%), C (22%) e D (18%).
  • 90. 91 Por Grupo x Questão 3 x Categoria de Respostas Classificadas Verificaremos agora os resultados estatísticos da questão 3 (determinar em que temperatura a água ferve na escala N), a partir das tabelas abaixo. QUESTÃO 3 Resposta/Qtde. Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D Corretas do tipo 1 (C1) 3 2 0 0 Corretas do tipo 2 (C2) 12 2 5 7 Subtotal Corretas 15 4 5 7 Incorretas do tipo 1 (I1) 1 0 0 0 Incorretas do tipo 2 (I2) 0 0 1 3 Incorretas do tipo 3 (I3) 0 4 4 4 Incorretas do tipo 4 (I4) 0 0 1 1 Incorretas do tipo 5 (I5) 1 0 0 0 Incorretas do tipo 6 (I6) 2 0 0 0 Incorretas do tipo 7 (I7) 1 0 1 0 Subtotal Incorretas 5 4 7 8 Em branco (EB) 4 2 2 1 Não finalizadas (NF) 1 0 0 0 Resoluções incongruentes (RI) 0 0 0 1 Total geral 25 10 14 17 Tabela 15 – Questão 3 x Grupo Na tabela 16 pode-se verificar que o Grupo A apresentou maior percentual de respostas corretas para essa questão. Quase não há ocorrências de resoluções não finalizadas ou incongruentes. Grupo Grupo Grupo Grupo Questão 3 % % % % Total % A B C D Corretas 15 60% 4 40% 5 36% 7 41% 31 47% Incorretas 5 20% 4 40% 7 50% 8 47% 24 36% Em branco (EB) 4 16% 2 20% 2 14% 1 6% 9 14% Não finalizadas (NF) 1 4% 0 0% 0 0% 0 0% 1 2% Resol.incongruentes (RI) 0 0% 0 0% 0 0% 1 6% 1 2% Total geral 25 100% 10 100% 14 100% 17 100% 66 100% Tabela 16 – Quadro percentual comparativo da questão 3
  • 91. 92 Os gráficos percentuais abaixo mostram alguns detalhes que devem ser destacados, como faremos adiante. Grupo A NF C1 Grupo B EB 4% EB C1 12% 16% 20% 20% I7 4% I6 C2 8% C2 20% 48% I5 I3 4% I1 40% 4% Grupo C EB Grupo D EB RI 14% 6% 6% I4 I7 6% 7% C2 I4 36% C2 7% 41% I3 23% I3 I2 I2 29% 18% 7% Gráfico 10 – Questão 3 x Grupo Percebemos que existe uma predominância das resoluções corretas do tipo 2 (regra de três entre ∆ e ∆) entre os participantes dos 4 grupos pesquisados. Assim como de incorretas do tipo 3 (regra de três entre e ) entre os participantes dos grupos B, C e D.
  • 92. 93 Por Grupo x Questão 4 x Categoria de Respostas Classificadas Para finalizar, apresentaremos os resultados detalhados da questão 4 (encontrar o tempo restante de gravação numa fita de vídeo). QUESTÃO 4 Resposta/Qtde. Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D Incorretas do tipo 1 (I1) 2 0 2 1 Incorretas do tipo 2 (I2) 7 3 1 10 Incorretas do tipo 3 (I3) 0 0 3 0 Subtotal Incorretas 9 3 6 11 Em branco (EB) 13 7 4 5 Não finalizadas (NF) 1 0 1 0 Resoluções incongruentes (RI) 2 0 3 1 Total geral 25 10 14 17 Tabela 17 – Questão 4 x Grupo A ausência de resoluções corretas torna evidente a dificuldade dos participantes em encontrar o tipo de função que serve para modelar o problema e desta forma resolver a questão. Destacamos também a quantidade de participantes no grupo B (70%) e no grupo A (52%) que deixaram a resolução da questão em branco, ou seja, nem tentaram encontrar uma solução. Grupo Grupo Grupo Grupo Questão 4 % % % % Total % A B C D Corretas 0 0% 0 0% 0 0% 0 0% 0 0% Incorretas 9 36% 3 30% 6 43% 11 65% 29 44% Em branco (EB) 13 52% 7 70% 4 29% 5 29% 29 44% Não finalizadas (NF) 1 4% 0 0% 1 7% 0 0% 2 3% Resol.incongruentes (RI) 2 8% 0 0% 3 21% 1 6% 6 9% Total geral 25 100% 10 100% 14 100% 17 100% 66 100% Tabela 18 – Quadro percentual comparativo da questão 4
  • 93. 94 Para finalizar a análise estatística dos resultados desta pesquisa, seguem os gráficos percentuais das resoluções da questão 4. Grupo A RI I1 Grupo B 8% 8% NF 4% I2 I2 30% 28% EB EB 70% 52% Grupo C I1 Grupo D RI I1 14% 6% 6% I2 RI 7% 21% EB NF 29% 7% I2 I3 59% EB 29% 22% Gráfico 11 – Questão 4 x Grupo Nesta questão, prevalece a resolução incorreta do tipo 2 (regra de três simples entre ∆ e ∆) nos grupos A, B e D, enquanto no grupo C a prevalência é da resolução incorreta do tipo 3 (regra de três simples entre e ). De qualquer forma, cabe destacar que todas as resoluções incorretas classificadas utilizam propriedades da função afim para modelar o problema. Diante disso, podemos levantar duas questões interessantes: por que existe uma maior incidência de uso da função afim na resolução de problemas? Por que os resultados das questões modeladas por uma função afim foram melhores que os resultados das questões modeladas por uma função quadrática?
  • 94. 95 4.3.4. Os pontos de vista dos participantes do Grupo D Conforme citamos no final do item 4.2 (descrição da pesquisa), para os 17 sujeitos que participaram do grupo D (composto de 3 participantes que atuam no ensino médio, graduação ou pós-graduação e 14 que são alunos da graduação em Matemática) elaboramos um formulário de avaliação com o objetivo de levantar as idéias e opiniões dos participantes em relação às atividades propostas, à sequência didática apresentada e ao conteúdo didático-pedagógico do minicurso apresentado na 1ª Jornada de Matemática – UERJ/FFP. Neste minicurso, após a revisão histórica do conceito de função, da resolução das questões da pesquisa propriamente dita e da apresentação teórica, os participantes tiveram a oportunidade de acompanhar a resolução comentada das questões propostas e, para finalizar, responderam ao formulário. Todos os participantes compreenderam a idéia proposta para o estudo das funções polinomiais (53% totalmente e 47% parcialmente) e consideraram relevante o estudo proposto para a formação do aluno da educação básica. Entre os motivos explicitados, destacamos os seguintes comentários10: “A dificuldade dos alunos em funções sem dar sua lei de formação é enorme.” “Ajudaria o aluno a ser mais crítico e participativo.” “Porque esse tipo de ensino vai fazer com que o aluno chegue a suas próprias conclusões, ou seja, não apenas meras definições e decorebas.” “Mostra a função de uma forma diferente, sem ser aquela situação estática, só gráfico.” Ao serem questionados se, caso tivessem oportunidade, implementariam esta sequência didática para desenvolver o estudo da variação das funções polinomiais, 82% dos participantes afirmaram que sim, com ênfase para as justificativas abaixo: “Por ser uma boa ferramenta para o estudo de função.” “Pois ela é de fácil compreensão e mais concreta, menos abstrata.” Dos participantes, 18% afirmaram que implementariam esta sequência didática parcialmente, justificando sua resposta com os seguintes argumentos: “Apresentarei outras maneiras também.” 10 A transcrição foi feita diretamente do formulário do participante, sem revisão ortográfica.
  • 95. 96 “Acredito que em alguns momentos seria um pouco confuso, mas acho que será válido.” “Porque exige um contexto de variáveis complexas (realidade, aspectos epistemológicos, motivacional, didáticos, etc.).” Não houve respostas negativas para esta pergunta. Sobre a capacidade do “aluno mediano” assimilar o conteúdo apresentado para o estudo da variação das funções polinomiais, também obtivemos 82% de participantes respondendo sim, e citamos alguns dos principais motivos: “Porque não usa nada além que é ensinado no ensino médio.” “Pois basta que o aluno organize (talvez esta seja a parte mais difícil) as informações que lhe são dadas, e daí é só resolver o sistema e pronto.” “Sim. Já é mais que comprovado que a utilização de novas abordagens no ensino de Matemática contribui muito para o aluno.” Os motivos dos 18% dos participantes, que consideraram parcial a capacidade do “aluno mediano” de assimilar o conteúdo apresentado no estudo da variação das funções polinomiais, foram os seguintes: “Depende da disposição do aluno e do tempo disponível para o professor.” “Depende daquilo que interpreto como aluno mediano. Depende da realidade em que a sala de aula se apresenta – professor x aluno x escola.” “Pois, muitos alunos ainda obtêm muitas dificuldades em relação às funções.” Nesta pergunta também não houve respostas negativas. Com exceção de um participante que alegou “não conhecer essa sequência didática para desenvolver esse estudo” respondendo que o minicurso acrescentou parcialmente alguma coisa na sua formação, todos os outros participantes responderam afirmativamente à pergunta, e explicitaram os motivos da sua resposta, enumerando os elementos que foram agregados à sua formação. Os que merecem maior destaque são: “A questão da ordem da PA ter influência no grau da função.” “Novos métodos para interpretação das funções.” “Muitos conhecimentos que até então nunca tinha ouvido falar.” “Agregou pois vi que, mesmo com problemas elementares, ainda errei a questão por falta de atenção e conhecimento suficiente.”
  • 96. 97 “Acrescentou bastante, pois estou cursando licenciatura em Matemática e acho completamente importante que os alunos compreendam o ensino como uma coisa muito importante para suas vidas. Esse minicurso ajudou para que todos nós possamos tentar passar o ensino de função de maneira mais simples, mais fácil.” Percebe-se claramente, o interesse do grupo por novos métodos de ensino, que particularmente não estão sendo aprendidos no curso de licenciatura em Matemática. Os participantes desse grupo, em sua maioria estudantes da graduação em Matemática, anseiam por técnicas que os ajudem a ensinar o conceito de função de forma mais simples e concreta, com menos definições e decorebas. O problema detectado durante a pesquisa refere-se exatamente ao conhecimento daquele que, daqui a alguns anos ou meses, estará frente a uma turma ensinando, em particular, funções. Será que este futuro professor possui o conhecimento e as ferramentas necessárias para o ensino deste tópico em particular? 4.4. Conclusões parciais da pesquisa Os aspectos considerados relevantes para as conclusões parciais deste trabalho envolveram o conhecimento dos professores participantes em relação ao comportamento variacional das funções afim e quadrática. Buscamos examinar as respostas dadas pelos participantes não apenas verificando se o participante acertou ou não a questão. Interessou-nos analisar, especialmente, de que forma ele chegou a um determinado resultado. As informações que obtivemos a partir do tratamento estatístico, realizado através de tabelas e gráficos organizados anteriormente, refletiram uma tendência de usar propriedades da função afim para resolver problemas tipicamente modelados pela função quadrática. É evidente que a maioria dos participantes sente-se mais confortável em resolver questões que envolvem a função afim, como no caso da questão 1, na qual um trem movimenta-se em movimento uniforme. Nesta questão, 77% das resoluções estavam corretas, sendo que 33% dos participantes dividiram o tempo em partes proporcionais (resolução correta do tipo 1), 27% encontraram a função afim correspondente = + , ou fazendo = 0 + (resolução correta do tipo 2),
  • 97. 98 s 9% utilizaram a relação  30 (resolução correta do tipo 3) e 8% usaram a regra de 3 t entre s e t (resolução correta do tipo 4). Contudo, na questão 3, onde pedia-se para encontrar a temperatura em que a água ferve a partir dos dados de uma tabela, e na qual esperava-se que o participante percebesse que a função afim deveria ser utilizada para caracterizar o problema, o percentual de respostas corretas encontrado foi de 47%, ou seja, menos da metade dos participantes. Um dos indicadores para este percentual contra os 77% de acertos da questão 1, pode ser a associação com a cinemática que uma questão sobre movimento uniforme acarreta, com alguns participantes usando a s  s0  vt em suas resoluções. Já na questão 3, que faz uso do contexto termodinâmico, os participantes não conheciam uma fórmula pré-estabelecida que ajude na sua resolução. Percebemos que, mesmo quando se trata da função afim, se o contexto da questão apresentada for menos familiar, a dificuldade em reconhecer tal função como modelo para resolver o problema aumenta. Ainda verificando as questões modeladas por funções afins, vale destacar que na questão 1 foram classificadas 23% das resoluções como incorretas, incompletas, incongruentes ou em branco, um índice bastante alto considerando o tipo de problema do enunciado (movimento uniforme). Dentre aqueles que resolveram incorretamente, vt um fato nos chamou atenção: 5% fizeram s  e 12% fizeram s  vt . Isto é, ambas 2 usavam o fato de o espaço ser proporcional ao tempo, uma propriedade da função linear que não se aplica à resolução do problema (que pode ser modelado por uma função afim não-linear). Os resultados da questão 3 são ainda mais relevante para nossa pesquisa pois mais da metade das resoluções estão incorretas, incompletas, incongruentes ou em branco (53%). Apesar de utilizarem a regra de três nas soluções, os participantes ora utilizavam valores não correspondentes, ora erravam na escolha de N , que é a variação da temperatura em Nova Iguaçu e de C , que é a variação da temperatura em graus Celsius. Outro aspecto que podemos observar nas respostas dos participantes foi o uso do padrão linear para resolução das questões que envolviam o comportamento variacional da função quadrática.
  • 98. 99 Na questão 2, por exemplo, temos um móvel em movimento uniformemente variado e pede-se sua posição em momentos distintos dos fornecidos na tabela que acompanha a questão. Para resolver a questão, 62% dos participantes “linearizaram” a função sendo que 55% utilizaram a regra de 3 simples entre s e t (resolução incorreta do tipo 1), 6% reconheceram uma função linear do tipo = + (resolução incorreta do tipo 2) . Constatamos ainda que 25% dos participantes deixaram a questão em branco, não finalizaram ou apresentaram uma resolução incongruente. Convenhamos que este é um índice alarmante, ainda mais tratando-se de uma questão de movimento uniformemente variado, explorado exaustivamente na física. O comportamento variacional da função quadrática é tão estranho aos professores que apenas um participante resolveu corretamente a questão. Cabe ressaltar que esta atividade continha uma referência ao movimento uniformemente variado e que o participante utilizou diretamente a expressão = 2 + + . Essa dificuldade fica ainda mais evidente ao analisarmos as repostas relativas à questão 4, na qual busca-se descobrir o tempo restante de gravação em uma fita de vídeo a partir das informações fornecidas no enunciado da questão. Nenhum participante, seja professor de Matemática ou licenciando em Matemática, esboçou uma resolução correta. Pelo contrário, observamos mais uma vez a “linearização” da função quadrática por 44% dos participantes: desses, 8% consideraram uma equação do tipo t (n)  an  b (onde n é o número de voltas e t é o tempo correspondente), 32% utilizaram de maneira incorreta uma regra de 3 simples entre n e t e 4% aplicaram uma regra de 3 simples entre n e t. Além disso, foi igualmente preocupante constatar que o percentual de participantes que sequer esboçou uma tentativa de resolução deixando a questão em branco (44%), acrescentado dos participantes que não finalizaram a questão (3%) e dos que apresentaram uma resolução incongruente (9%), totalizaram 56%, ou seja, mais da metade dos participantes. Com esta análise detalhada das resoluções, acreditamos ter atingido o objetivo deste capítulo que era o de apresentar, com objetividade e transparência, de que forma os participantes dos quatro grupos formados por professores da educação básica (em particular do ensino médio) e envolvidos nesta pesquisa resolvem questões onde o conhecimento do comportamento variacional das funções afim e quadrática se faz necessário.
  • 99. 100 Capítulo 5 - CONSIDERAÇÕES GERAIS As considerações gerais deste trabalho pretendem retomar aspectos relevantes da pesquisa como: fundamentação teórica, revisão histórica, caracterização das funções reais afim e quadrática, metodologia e realização da pesquisa. Buscamos nesta pesquisa refletir sobre o conceito de função tendo como referência os apontamentos de Sierpinska (1992), as questões epistemológicas abordadas por Cabral (1998) e Rezende (2003a), o mapeamento dos livros didáticos de Botelho (2005) e Souza Sá (2005) e as recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais. Recorremos também às observações de Caraça (2003) e de Rezende (2003b). Segundo estas fontes, pôde-se perceber o quanto o tema variabilidade é imprescindível para o estudo do conceito de função. A noção de interdependência e a noção de fluência (variabilidade) constituem efetivamente o núcleo semântico deste conceito fundamental do ensino de Matemática. Para abordar questões relacionadas à formação do professor, nos baseamos nos trabalhos de Costa (2008) e Rossini (2006). Ambos os autores apontaram sobre o preparo inadequado dos professores para trabalhar o conceito de função em sala de aula. Costa (2008) observou, por exemplo, a ausência de uma abordagem mais formal a respeito do conceito de função por parte dos professores pesquisados. Recorremos aos trabalhos de Eves (2004), Boyer (1999), Baron (1985) e Caraça (2003) para realizar uma revisão histórica, na qual o conceito de função se estabelece como um instrumento para quantificar e qualificar como uma grandeza varia em relação à outra. Ao resgatar os questionamentos dos escolásticos e de Galileu, abrimos caminho para a utilização de formas alternativas na caracterização do comportamento variacional das funções afim e quadrática sem a necessidade das ferramentas usuais consolidadas (o conceito de derivada) do Cálculo Diferencial. Sob a influência de Fiorentini e Lorenzato (2006) optamos pelo estudo de caso. Os sujeitos da pesquisa foram caracterizados mediante um questionário quantitativo, e contamos também com a participação individual na resolução de atividades propostas. Foram realizados quatro encontros distintos com um total de 68 participantes, entre professores e graduandos em Matemática, durante os anos de 2007 e 2008. Destes 68 participantes, 2 foram dispensados por apresentarem um perfil muito diferente do objetivo proposto neste trabalho.
  • 100. 101 Com atenção na correção e classificação das atividades, foi realizada a tabulação e o tratamento estatístico dos dados para fornecer ao leitor uma interpretação rápida e objetiva. De acordo com as conclusões parciais da pesquisa, ficou evidente que a maioria dos participantes sente-se mais confortável em resolver questões que envolvem a função afim. Como modelo, porém, isto não significa um domínio completo do assunto, pelo contrário: a transferência ingênua de propriedades do modelo matemático linear (o valor da variável y é proporcional ao valor da variável x) para a resolução de problemas que envolvem funções afins não lineares (isto é, f (x) = ax + b, com b  0) pôde ser observado com bastante frequência. Outro aspecto observado é que basta que se afaste do contexto da cinemática, para que ocorra com mais frequência estas incorreções. No que diz respeito à função quadrática, pôde-se perceber um total estranhamento dos professores em relação às propriedades relacionadas ao seu comportamento variacional. Das duas questões que envolviam função quadrática como modelo, apenas um participante resolveu corretamente uma delas e nenhum participante, resolveu corretamente a outra. O uso de modelos lineares ou afins para resolver problemas que são (ou deveriam ser) modelados por funções quadráticas foi o tipo de erro mais comum. Estes resultados sinalizaram uma tendência, da grande maioria dos participantes, de enxergar um “mundo linear” através do seu caráter estático (algébrico), ao invés de procurar observar o caráter dinâmico (cálculo), que está implícito em quase tudo que conhecemos. Cabe ressaltar aqui os pontos de vista do grupo D, único a responder o formulário de avaliação. É importante lembrar que esse grupo era formado em sua grande maioria, por estudantes da graduação. Neste contexto, era de se esperar um resultado um pouco superior, já que os participantes encontravam-se inseridos no meio acadêmico (mais próximos do Cálculo!). Porém, o que percebemos foi um enorme fracasso nos resultados obtidos. Por outro lado, as justificativas dos futuros professores que participaram desta pesquisa deixam transparecer a insegurança e a percepção da necessidade urgente de estar mais bem preparado para lecionar o tópico em questão. A partir destas colocações e das considerações anteriores, pode-se dizer que tentamos alertar que os cursos de graduação em Matemática, apesar das cadeiras de Cálculo, não estão cumprindo seu papel de preparar o professor para o ensino de funções reais conforme seu caráter variacional. Conforme as Orientações Educacionais
  • 101. 102 Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNEM+), os formadores de professores deveriam modificar suas práticas para o ensino e a aprendizagem de função reais, em particular das funções afim e quadrática, tratando de destacar as características fundamentais da variabilidade e do movimento, que conduzem a problemas relacionados ao Cálculo. Mas, este panorama está bem distante da realidade. Uma opção plausível seria investir na formação continuada de professores, através de cursos e oficinas presenciais ou à distância. Os recursos computacionais disponíveis atualmente visam ampliar as possibilidades com novas formas de conhecimento e troca de experiências. Por exemplo, as questões matemáticas propostas aos sujeitos desta pesquisa podem ser adaptadas para atividades interativas com esta finalidade. Não basta que os órgãos governamentais indiquem que o estudo da variabilidade das funções afins e quadráticas deve integrar o currículo do ensino médio e os textos didáticos, conforme preza as orientações do PCNEM+. É preciso qualificar o professor. Para finalizar, esperamos com este trabalho ter contribuído para uma reflexão sobre a necessidade de orientar o professor do ensino básico, em particular do ensino médio, na medida em que este é o agente transformador, é aquele que faz acontecer ou não na sala de aula. Desse modo, acreditamos num ensino de Matemática comprometido com a formação de um cidadão consciente de seu papel num mundo cada vez mais complexo. E nesse sentido, saber como as “coisas” variam representa uma contribuição relevante que a nossa disciplina da Matemática pode dar.
  • 102. 103 Bibliografia Ávila, G. S. S., Análise Matemática para Licenciatura. 2ª Edição. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 2005. Bachelard, G., A Formação do Espírito Científico. Tradução: Estela dos Santos Abreu. Rio de Janeiro: Contraponto Editora, 2006. Baron, M. E. H. J. M. Bos (1985) History of Mathematics: origins and development of the calculus, The Open University. Tradução do Professor José Raimundo Braga Coelho, Rudolf Maier e Mª José M. M. Mendes. Brasília: Editora Universidade de Brasília. Botelho, L. M. L., Funções Polinomiais na Educação Básica: Uma Proposta. Monografia de Pós-gradução. Niterói: UFF, 2005. Boyer, C.B., História da Matemática. 2ª Edição. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 1996. Brasil, Ministério da Educação, Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNEM+. 2002. Disponível em: http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_actio n=co_obra=5457. Acesso em: 06 jul 2009. _________________________, Orientações Curriculares para o Ensino Médio, Volume 2. 2006. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_contentview=articleid=135 58Itemid=859. Acesso em: 06 jul 2009. 2006. Cabral, T. C. B., Contribuições da Psicanálise à Educação Matemática: A Lógica da Intervenção nos Processos de Aprendizagem. Tese de Doutorado. São Paulo: USP, 1998. Caraça, B. de J., Conceitos Fundamentais da Matemática. 5a edição. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora, 2003. Costa, C. B. J., O Conhecimento do Professor de Matemática sobre o Conceito de Função. Dissertação de Mestrado. Rio de Janeiro: UFRJ, 2008. Dante, L. R. Matemática Contexto Aplicações – Volume 1. 3ª Edição. São Paulo: Editora Ática, 2004. D’Ambrosio, U. (2004) Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática – Prefácio. Coleção “Tendências em Educação Matemática”. São Paulo, SP: Editora Autêntica. Eves, H. Introdução à História da Matemática. 2a reimpressão. Tradução de Higyno H. Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004. Fiorentine D. Lorenzato S., Investigação em Educação Matemática. Campinas: SP. Autores Associados, 2006. Lima, E.L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. Morgado, A. C., A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. Volume 1. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.
  • 103. 104 Moretti, M. T (2008) Estudo sobre divergências entre corretores em provas dissertativas de Matemática. Educação Matemática em Revista. SBEM, Nº 24. Recife: UFPE. Ochoa, J. A. V. Mesa, Y. M. (2006) La Importancia de Galileo en la Construcción Histórica del Concepto de Función Cuadrática. Colômbia: Universidad de Antioquia. Rezende, W. M., O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese de Doutorado. São Paulo: USP, 2003a. _____________ Uma Proposta Didática de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico. Projeto de Pesquisa. Niterói: UFF, 2003b. _____________ (2006) Ensino de Funções Reais: Caminhos e Descaminhos. IIIº Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro. _____________ (2008) Galileu e as Novas Tecnologias no Estudo das Funções Reais no Ensino Básico. IVº Colóquio sobre História e Tecnologia no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro. Rossini, R., Saberes Docentes sobre o tema Função: uma Investigação das Praxeologias. Tese de Doutorado em Educação Matemática. São Paulo: PUC, 2006. Santos, F. L. M., Uma Proposta Alternativa para o Ensino de Funções Exponenciais e Logarítmicas na Educação Básica. Monografia de Pós-gradução. Niterói: UFF, 2008. Sierpinska, A. (1992) On understanding the notion of function. In: Dubinsky, E. Harel, G. (eds.), The concept of function: Aspects of Epistemology and Pedagogy. MAA Notes and Report Series. USA. Souza Sá, S. L. de, Um Mapeamento do Ensino de Funções Exponenciais e Logarítmicas no Ensino Básico. Monografia de Pós-gradução. Niterói: UFF, 2005. Internet Institute and Museum of The History of Science. Inclined plane. Foto: http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/esim.asp?c=404013 (último acesso em 25/05/2009)
  • 104. 105 APÊNDICE Tabulação dos Dados Detalhados dos Participantes Ensino Escola que leciona Fund. I Fund. II Médio Grad. Pós Aluno, não leciona ou não Grupo Participantes respondeu Professor Pública Privada 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 1º 2º 3º Grupo A 25 4 21 15 10 - - - - - 9 8 9 7 10 12 12 3 - Grupo B 10 4 6 5 4 - - - - - 4 4 3 5 4 4 4 3 1 Grupo C 14 3 11 7 6 - - - - - 6 5 7 4 5 6 3 3 1 Grupo D 19 14 5 4 1 - 1 1 - - - - 1 1 1 1 1 2 1 Total 68 25 43 32 22 - 1 1 - - 19 17 20 17 20 23 20 11 3
  • 105. 106 Tabulação das Resoluções das Questões pelosParticipantes Grupo Participante Questão Resposta Correta EB Incorreta RI NF Grupo A P01A 1 I1 1 Grupo A P01A 2 I1 1 Grupo A P01A 3 EB 1 Grupo A P01A 4 EB 1 Grupo A P02A 1 I1 1 Grupo A P02A 2 I1 1 Grupo A P02A 3 I1 1 Grupo A P02A 4 EB 1 Grupo A P03A 1 C1 1 Grupo A P03A 2 I2 1 Grupo A P03A 3 C2 1 Grupo A P03A 4 I1 1 Grupo A P04A 1 C2 1 Grupo A P04A 2 I3 1 Grupo A P04A 3 EB 1 Grupo A P04A 4 RI 1 Grupo A P05A 1 I2 1 Grupo A P05A 2 I1 1 Grupo A P05A 3 I6 1 Grupo A P05A 4 EB 1 Grupo A P06A 1 C1 1 Grupo A P06A 2 NF 1 Grupo A P06A 3 C2 1 Grupo A P06A 4 EB 1 Grupo A P07A 1 C3 1 Grupo A P07A 2 I1 1 Grupo A P07A 3 C2 1 Grupo A P07A 4 I2 1 Grupo A P08A 1 C4 1 Grupo A P08A 2 I3 1 Grupo A P08A 3 C2 1 Grupo A P08A 4 EB 1 Grupo A P09A 1 C4 1 Grupo A P09A 2 I1 1 Grupo A P09A 3 C2 1 Grupo A P09A 4 I2 1 Grupo A P10A 1 C4 1 Grupo A P10A 2 I1 1 Grupo A P10A 3 C2 1 Grupo A P10A 4 I2 1 Grupo A P11A 1 C4 1
  • 106. 107 Grupo Participante Questão Resposta Correta EB Incorreta RI NF Grupo A P11A 2 I1 1 Grupo A P11A 3 EB 1 Grupo A P11A 4 EB 1 Grupo A P12A 1 C2 1 Grupo A P12A 2 I1 1 Grupo A P12A 3 EB 1 Grupo A P12A 4 EB 1 Grupo A P13A 1 C4 1 Grupo A P13A 2 EB 1 Grupo A P13A 3 C1 1 Grupo A P13A 4 EB 1 Grupo A P14A 1 NF 1 Grupo A P14A 2 I1 1 Grupo A P14A 3 C2 1 Grupo A P14A 4 I2 1 Grupo A P15A 1 C1 1 Grupo A P15A 2 I1 1 Grupo A P15A 3 I7 1 Grupo A P15A 4 EB 1 Grupo A P16A 1 C3 1 Grupo A P16A 2 I1 1 Grupo A P16A 3 NF 1 Grupo A P16A 4 I2 1 Grupo A P17A 1 C1 1 Grupo A P17A 2 NF 1 Grupo A P17A 3 I5 1 Grupo A P17A 4 EB 1 Grupo A P18A 1 C3 1 Grupo A P18A 2 I1 1 Grupo A P18A 3 C2 1 Grupo A P18A 4 RI 1 Grupo A P19A 1 C2 1 Grupo A P19A 2 I1 1 Grupo A P19A 3 C2 1 Grupo A P19A 4 EB 1 Grupo A P20A 1 C1 1 Grupo A P20A 2 I1 1 Grupo A P20A 3 C2 1 Grupo A P20A 4 EB 1 Grupo A P21A 1 C2 1 Grupo A P21A 2 I1 1 Grupo A P21A 3 I6 1 Grupo A P21A 4 I2 1
  • 107. 108 Grupo Participante Questão Resposta Correta EB Incorreta RI NF Grupo A P22A 1 C2 1 Grupo A P22A 2 C1 1 Grupo A P22A 3 C1 1 Grupo A P22A 4 NF 1 Grupo A P23A 1 EB 1 Grupo A P23A 2 I2 1 Grupo A P23A 3 C2 1 Grupo A P23A 4 EB 1 Grupo A P24A 1 C3 1 Grupo A P24A 2 I2 1 Grupo A P24A 3 C2 1 Grupo A P24A 4 I2 1 Grupo A P25A 1 C3 1 Grupo A P25A 2 I2 1 Grupo A P25A 3 C2 1 Grupo A P25A 4 I1 1 Grupo B P01B 1 I2 1 Grupo B P01B 2 EB 1 Grupo B P01B 3 EB 1 Grupo B P01B 4 EB 1 Grupo B P02B 1 C2 1 Grupo B P02B 2 EB 1 Grupo B P02B 3 EB 1 Grupo B P02B 4 EB 1 Grupo B P03B 1 C4 1 Grupo B P03B 2 EB 1 Grupo B P03B 3 C1 1 Grupo B P03B 4 EB 1 Grupo B P04B 1 C4 1 Grupo B P04B 2 EB 1 Grupo B P04B 3 C1 1 Grupo B P04B 4 EB 1 Grupo B P05B 1 I2 1 Grupo B P05B 2 I1 1 Grupo B P05B 3 I3 1 Grupo B P05B 4 EB 1 Grupo B P06B 1 C4 1 Grupo B P06B 2 I1 1 Grupo B P06B 3 C2 1 Grupo B P06B 4 EB 1 Grupo B P07B 1 C2 1 Grupo B P07B 2 I2 1 Grupo B P07B 3 C2 1
  • 108. 109 Grupo Participante Questão Resposta Correta EB Incorreta RI NF Grupo B P07B 4 I2 1 Grupo B P08B 1 C4 1 Grupo B P08B 2 I2 1 Grupo B P08B 3 I3 1 Grupo B P08B 4 I2 1 Grupo B P09B 1 C2 1 Grupo B P09B 2 I1 1 Grupo B P09B 3 I3 1 Grupo B P09B 4 I2 1 Grupo B P10B 1 C2 1 Grupo B P10B 2 I1 1 Grupo B P10B 3 I3 1 Grupo B P10B 4 EB 1 Grupo C P01C 1 C4 1 Grupo C P01C 2 NF 1 Grupo C P01C 3 C2 1 Grupo C P01C 4 NF 1 Grupo C P02C 1 C1 1 Grupo C P02C 2 I2 1 Grupo C P02C 3 C2 1 Grupo C P02C 4 EB 1 Grupo C P03C 1 C2 1 Grupo C P03C 2 EB 1 Grupo C P03C 3 I3 1 Grupo C P03C 4 RI 1 Grupo C P04C 1 C4 1 Grupo C P04C 2 EB 1 Grupo C P04C 3 C2 1 Grupo C P04C 4 I3 1 Grupo C P05C 1 C4 1 Grupo C P05C 2 I2 1 Grupo C P05C 3 C2 1 Grupo C P05C 4 RI 1 Grupo C P06C 1 C2 1 Grupo C P06C 2 I1 1 Grupo C P06C 3 C2 1 Grupo C P06C 4 I2 1 Grupo C P07C 1 C4 1 Grupo C P07C 2 I3 1 Grupo C P07C 3 I3 1 Grupo C P07C 4 I1 1 Grupo C P08C 1 C2 1 Grupo C P08C 2 RI 1
  • 109. 110 Grupo Participante Questão Resposta Correta EB Incorreta RI NF Grupo C P08C 3 I3 1 Grupo C P08C 4 EB 1 Grupo C P09C 1 C4 1 Grupo C P09C 2 EB 1 Grupo C P09C 3 EB 1 Grupo C P09C 4 EB 1 Grupo C P10C 1 I2 1 Grupo C P10C 2 I1 1 Grupo C P10C 3 I3 1 Grupo C P10C 4 RI 1 Grupo C P11C 1 C4 1 Grupo C P11C 2 I3 1 Grupo C P11C 3 I4 1 Grupo C P11C 4 I3 1 Grupo C P12C 1 C4 1 Grupo C P12C 2 I1 1 Grupo C P12C 3 I7 1 Grupo C P12C 4 I3 1 Grupo C P13C 1 I2 1 Grupo C P13C 2 I1 1 Grupo C P13C 3 EB 1 Grupo C P13C 4 I1 1 Grupo C P14C 1 I2 1 Grupo C P14C 2 I1 1 Grupo C P14C 3 I2 1 Grupo C P14C 4 EB 1 Grupo D P01D 1 C2 1 Grupo D P01D 2 I1 1 Grupo D P01D 3 I3 1 Grupo D P01D 4 I2 1 Grupo D P02D 1 C2 1 Grupo D P02D 2 I1 1 Grupo D P02D 3 C2 1 Grupo D P02D 4 I2 1 Grupo D P03D 1 C2 1 Grupo D P03D 2 I1 1 Grupo D P03D 3 C2 1 Grupo D P03D 4 I2 1 Grupo D P04D 1 C2 1 Grupo D P04D 2 I1 1 Grupo D P04D 3 I2 1 Grupo D P04D 4 I2 1 Grupo D P05D 1 I2 1
  • 110. 111 Grupo Participante Questão Resposta Correta EB Incorreta RI NF Grupo D P05D 2 I1 1 Grupo D P05D 3 I2 1 Grupo D P05D 4 I2 1 Grupo D P06D 1 I2 1 Grupo D P06D 2 I1 1 Grupo D P06D 3 I2 1 Grupo D P06D 4 I3 1 Grupo D P07D 1 C4 1 Grupo D P07D 2 I1 1 Grupo D P07D 3 C2 1 Grupo D P07D 4 I2 1 Grupo D P09D 1 C2 1 Grupo D P09D 2 I1 1 Grupo D P09D 3 C2 1 Grupo D P09D 4 I1 1 Grupo D P10D 1 C2 1 Grupo D P10D 2 I1 1 Grupo D P10D 3 I3 1 Grupo D P10D 4 I2 1 Grupo D P12D 1 C2 1 Grupo D P12D 2 I1 1 Grupo D P12D 3 I4 1 Grupo D P12D 4 EB 1 Grupo D P13D 1 C2 1 Grupo D P13D 2 EB 1 Grupo D P13D 3 C2 1 Grupo D P13D 4 EB 1 Grupo D P14D 1 C2 1 Grupo D P14D 2 NF 1 Grupo D P14D 3 C2 1 Grupo D P14D 4 EB 1 Grupo D P15D 1 I1 1 Grupo D P15D 2 I1 1 Grupo D P15D 3 I3 1 Grupo D P15D 4 I2 1 Grupo D P16D 1 C2 1 Grupo D P16D 2 I1 1 Grupo D P16D 3 I3 1 Grupo D P16D 4 RI 1 Grupo D P17D 1 EB 1 Grupo D P17D 2 EB 1 Grupo D P17D 3 RI 1 Grupo D P17D 4 I2 1
  • 111. 112 Grupo Participante Questão Resposta Correta EB Incorreta RI NF Grupo D P18D 1 RI 1 Grupo D P18D 2 EB 1 Grupo D P18D 3 EB 1 Grupo D P18D 4 EB 1 Grupo D P19D 1 C4 1 Grupo D P19D 2 I4 1 Grupo D P19D 3 C2 1 Grupo D P19D 4 EB 1
  • 112. 113 Resolução das Atividades Atividade 1 – Fonte: Botelho (2005) A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem em movimento uniforme que passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou a ser observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia? Tempo ( horas) 0 1 2 3 4 Espaço (km) 40 70 100 130 160 s é uma função afim do tipo s(t) = at +b Substituindo, temos: 40 = s(0) = a.0 + b = b → b = 40 70 = s(1) = a.1 + b → a = 70 – b = 70 – 40 = 30 Logo, s(t) = 30t + 40 Como estamos procuramos s(120), basta substituir: 120 = 30.t + 40 → t = 8/3 Ou seja, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia depois de 2h e 40min Resposta: 2 h e 40 min ou 2,66… h
  • 113. 114 Atividade 2 (Adaptada) – Fonte: Botelho (2005) Um estudante anotou a posição de um móvel em movimento uniformemente variável ao longo do tempo e obteve a seguinte tabela: Tempo (s) 0 10 20 30 40 50 Posição (cm) 17 45 81 125 177 237 Calcular a posição do móvel nos instantes 5s e 35s. s é uma função quadrática do tipo s(t) = at 2 +bt + c Substituindo, temos: 17  s(0)  a.0 2  b.0  c  c  c  17 45  s(10)  a.102  b.10  c  100a  10b  17  100a  10b  17  45   81  s(20)  a.20  b.20  c  400a  20b  17 400a  20b  17  81 2  Resolvendo o sistema, temos:  200a  20b  34  90  400a  20b  17  81 200a  17  9 8 1 1 12 a   400  20b  17  81  b  200 25 25 5 2 Logo, s(t )   t   12t  17   5 5 Como queremos a posição do móvel nos instantes 5s e 35s, basta achar s(5) e s(35): 2  5  12.5 s(5)      17  1  12  17  30 5 5 2  35  12.35 s(35)      17  49  84  17  150  5 5 Ou seja, a posição do móvel no instante 5s era 30 cm e no instante 35s era 150 cm. Resposta: 30 cm e 150 cm
  • 114. 115 Atividade 3 – Fonte: Lima (2001) – página 103 Uma escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte: °C °N 18° 0° Em que temperatura ferve a água na escala N ? 43° 100° t é uma função afim do tipo t(c) = ac +b Substituindo, temos: t (c)  a.c  b 0  a.18  b 18a  b  0    25a  100  a  4  b  72 100  a.43  b  43a  b  100 Logo, t (c)  4c  72 Como estamos procuramos t(c) quando c = 100º C, basta substituir: t (c)  4.100  72  400  72  328 Ou seja, na escala N, a água ferve a 328º. Resposta: 328º N
  • 115. 116 Atividade 4 (Adaptada) – Fonte: Lima (2001) – página 150 Uma pessoa possui um gravador de vídeo dotado de um contador que registra o número de voltas dadas pelo carretel da direita. A fita, de 6 horas de duração, está parcialmente gravada. O contador indica 1750 ao final do trecho gravado e 1900 ao final da fita. Medindo o tempo de gravação correspondente às primeiras 100, 200, 300 e 400 voltas, foram encontrados os dados abaixo: Volta Tempo (s) 100 555 200 1176 Quanto tempo resta de gravação na fita? 300 1863 400 2616 t é uma função quadrática do tipo t(n) = an2 +bn + c Substituindo, temos: t (100)  a.100 2  b.100  c  555  10000a  100b  c  555   t (200)  a.200 2  b.200  c  1176  40000a  200b  c  1176 t (300)  a.3002  b.300  c  1863  90000a  300b  c  1863   Resolvendo o sistema, temos: 10000a  100b  c  555 I   40000a  200b  c  1176 II   de ( I ), temos que c  555  10000a  100b 90000a  300b  c  1863 III   Logo, substituindo em (II) e (III), temos : 40000a  200b  555  10000a  100b  1176 30000a  100b  621 30000a  100b  621    90000a  300b  555  10000a  100b  1863 80000a  200b  1308  40000a  100b  654 33 33 522  10000a  33  a   30000.  100b  621  100b  621  99  b  10000 10000 100 33 522 c  555  10000.  100. c0 10000 100 Logo, t (n)  0,0033n 2  5,22n
  • 116. 117 Vamos encontrar agora o f(x) quando o contador marca o final do trecho gravado, ou seja: t (1750)  0,0033.17502  5,22.1750  10.106,25  9.135  19.241,25 O tempo de gravação que ainda resta na fita é a diferença entre o tempo total da fita (6h = 6h.60min = 360min = 360min.60s = 21.600s) e o tempo de gravação (19.241,25s): 21.600s - 19.241,25s = 2.358,75s, ou seja, 39min e 31segundos. Resposta: 2.358,73 s ou 39min e 31s

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