Um estudo de caso do professor de Matemática sobre o ensino de funções reais

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Monografia orientada pelo Prof. Drº Wanderley Rezende e apresentada para obtenção do grau de Especialista em Matemática na Universidade Federal Fluminense, julho de 2009.

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Um estudo de caso do professor de Matemática sobre o ensino de funções reais

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO DE ESTUDOS GERAIS INSTITUTO DE MATEMÁTICA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA PARA PROFESSORES DE ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO Andréa Vieira Thees UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O COMPORTAMENTO VARIACIONAL DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA NITERÓI 2009
  2. 2. Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
  3. 3. Andréa Vieira Thees UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O COMPORTAMENTO VARIACIONAL DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA Monografia apresentada ao Curso de Especialização em Matemática para Professores de Ensino Fundamental e Médio da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do título de Especialista em Matemática. Orientador: Prof. Dr. WANDERLEY MOURA REZENDE NITERÓI 2009
  4. 4. Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca de Pós-graduação em Matemática da UFF T375 Thees, Andréa Vieira Um estudo de caso do conhecimento do professor de matemática da educação básica sobre o comportamento variacional das funções afim e quadrática / Andréa Vieira Thees. – Niterói, RJ : [s.n.], 2009. 102 f. Orientador: Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende. Monografia (Especialização para professores de matemática dos ensinos fundamental e médio) – Universidade Federal Fluminense, 2009. 1. Função (Matemática). 2. Cálculo. 3. Matemática – educação. 4. Formação de professor. I. Título. CDD 515.25
  5. 5. Este trabalho é dedicado à memória de meu pai, Sullivan Thees, e a toda minha família, especialmente, à minha mãe Irene, às minhas filhas Bárbara e Marina, ao meu “quase” filho Gabriel e ao amor da minha vida e minha luz, Lior.
  6. 6. Agradecimentos Agradeço aos professores de Matemática e aos licenciandos presentes nos minicursos, sem os quais não seria possível realizar esta pesquisa, aos colegas, professores e coordenadores deste curso e, em particular, ao meu orientador Wanderley Rezende, por quem tenho uma profunda admiração e sincera gratidão.
  7. 7. RESUMO Com o desenvolvimento de algumas ações do projeto de pesquisa “Uma Proposta de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico de Matemática” (Rezende, 2003b), principalmente aquelas relacionadas à realização de minicursos ou oficinas junto a professores de Matemática da educação básica, percebeu- se algumas dificuldades dos professores de Matemática da educação básica na resolução de problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções reais. Isto acarretou o seguinte questionamento: Como os professores da educação básica utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática, na resolução de problemas? Mediante este fato, tira-se como meta principal deste trabalho monográfico a tarefa de mapear as dificuldades supracitadas, tomando como referência quatro grupos piloto de professores de Matemática: Grupo A – participantes do minicurso apresentado no 31º Encontro do Projeto Fundão (UFRJ/2007); Grupo B – participantes do minicurso apresentado no V Encontro Sul Fluminense de Educação Matemática (USS/2007); Grupo C – professores-alunos que ingressaram no Curso de Especialização em Matemática para Professores do Ensino Fundamental e Médio do IM-UFF em 2008; Grupo D – participantes do minicurso apresentado na Primeira Jornada de Matemática da FFP-UERJ (2008). Palavras-chave: educação matemática; função afim; função quadrática; variabilidade; formação do professor.
  8. 8. ABSTRACT With the development of some actions from the “A Proposal for Emersion of the Fundamental Ideas of Calculus on Math Basic Learning” (Rezende, 2003b) research project, mainly those related to the application of mini-courses or workshops on basic math teachers, it was noted that teachers faced difficulties in solving problems revolving around the properties and abilities related to the variation behavior of linear and quadratic functions. This led to the following question: How do teachers of the basic education use properties and skills related to variation behavior of linear and quadratic function to solve problems? In light of this, the main aim of this paper is to map the abovementioned difficulties, taking as a reference four pilot groups of math teachers: Group A – participants on the mini-course presented at the 31st Meeting of the Fundão Project (UFRJ/2007); Group B – participants on the mini-course presented at the V Sul Fluminense Mathematics Education Meeting (USS/2007); Group C – teachers/students that attended the Mathematics Specialization Course for Teachers at IM/UFF in 2008; Group D – participants of the mini-course presented at the First Mathematics Journey of the FFP/UERJ at 2008. Key-words: mathematic education; linear function; quadratic function; variability; teacher´s development.
  9. 9. SUMÁRIO Introdução ............................................................................................................... 15 Capítulo 1 - O Problema .......................................................................................... 18 1.1. Obstáculos de natureza epistemológica relacionados ao conceito de função .. 18 1.2. O Cálculo na formação do professor de Matemática ...................................... 20 1.3. Resgatando o conceito de função .................................................................. 23 1.4. Recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais ............................... 25 1.5. O estudo da variabilidade das funções nos livros didáticos ............................ 22 1.6. O imprescindível estudo da variabilidade ...................................................... 26 1.7. O professor de Matemática, o conceito de função e a pergunta da pesquisa ... 29 Capítulo 2 - Um breve estudo da evolução histórica do conceito de função .......... 33 2.1. As tábuas na Antiguidade .............................................................................. 33 2.2. A teoria das formas na Idade Média .............................................................. 34 2.3. O estudo da variabilidade da função quadrática e a contribuição de Galileu .. 36 2.3.1. Mas afinal, o que sabia Galileu? ............................................................. 36 2.3.2. A experiência de Galileu ........................................................................ 38 2.4. O período Moderno ....................................................................................... 41 Capítulo 3 - A caracterização das funções afim e quadrática ................................. 46 3.1. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função afim ................ 46 3.2. Caracterização da Função Afim .................................................................... 48 3.3. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função quadrática ....... 49 3.4. Caracterização da Função Quadrática ............................................................ 52 Capítulo 4 - Pesquisa ................................................................................................ 54 4.1. Metodologia .................................................................................................. 54 4.1.1. Pesquisa naturalista ou de campo – o estudo de caso .............................. 55 4.2. Descrição da pesquisa ................................................................................... 56 4.2.1. Sujeitos da pesquisa ............................................................................... 56 4.2.2. Descrição dos instrumentos da pesquisa ................................................. 57 4.2.2.1. Questionário informativo:................................................................... 57 4.2.2.2. Atividades propostas .......................................................................... 58
  10. 10. 4.2.2.3. Formulário de Avaliação .................................................................... 60 4.3. Resultados da pesquisa.................................................................................. 61 4.3.1. O perfil dos grupos pesquisados ............................................................. 61 4.3.2. Apresentação das categorias de análise da resolução das atividades ....... 63 4.3.2.1. Questão 1 ........................................................................................... 64 4.3.2.2. Questão 2 ........................................................................................... 68 4.3.2.3. Questão 3 ........................................................................................... 72 4.3.2.4. Questão 4 ........................................................................................... 78 4.3.3. Análise da resolução das atividades ....................................................... 81 4.3.3.1. Alguns indicadores quantitativos das resoluções ................................. 81 4.3.4. Os pontos de vista dos participantes do Grupo D.................................... 95 4.4. Conclusões parciais da pesquisa .................................................................... 97 Capítulo 5 - Considerações Gerais ......................................................................... 100 Bibliografia .............................................................................................................. 103 Apêndice .................................................................................................................. 105 Tabulação dos Dados Detalhados dos Participantes .............................................. 105 Tabulação das Resoluções das Questões pelos Participantes ................................. 106 Resolução das Atividades 1, 2, 3 e 4 ..................................................................... 113
  11. 11. ÍNDICE DE GRÁFICOS, FIGURAS E TABELAS Gráfico 1 – Função Afim ............................................................................................28 Gráfico 2 – Função Quadrática e de y em função de x .............................................29 Gráfico 3 – Todos os grupos x todas as questões .........................................................82 Gráfico 4 – Todos os grupos x questão 1 .....................................................................83 Gráfico 5 – Todos os grupos x questão 2 .....................................................................84 Gráfico 6 – Todos os grupos x questão 3 .....................................................................85 Gráfico 7 – Todos os grupos x questão 4 .....................................................................86 Gráfico 8 – Questão 1 x Grupo ....................................................................................88 Gráfico 9 – Questão 2 x Grupo ....................................................................................90 Gráfico 10 – Questão 3 x Grupo ..................................................................................92 Gráfico 11 – Questão 4 x Grupo ..................................................................................94 Figura 1 – Representações gráficas de Oresme ............................................................34 Figura 2 – Exemplo de um gráfico de Oresme na Idade Média ....................................35 Figura 3 – Ilustração do Teorema de Merton de Oresme..............................................35 Figura 4 – Plano inclinado...........................................................................................38 Figura 5 – Detalhe do pequeno sino no plano inclinado ...............................................39 Figura 6 – Animação da demonstração experimental ...................................................39 Figura 7 – Resolução do participante 06 do grupo A ...................................................65 Figura 8 – Resolução do participante 14 do grupo D ...................................................65 Figura 9 – Resolução do participante 07 do grupo A ...................................................65 Figura 10 – Resolução do participante 09 do grupo C ..................................................66 Figura 11 – Resolução do participante 01 do grupo A .................................................66 Figura 12 – Resolução do participante 05 do grupo A .................................................67 Figura 13 – Resolução do participante 14 do grupo A .................................................67 Figura 14 – Resolução do participante 18 do grupo D .................................................67 Figura 15 – Resolução do participante 22 do grupo A .................................................69 Figura 16 – Resolução do participante 12 do grupo D .................................................70 Figura 17 – Resolução do participante 23 do grupo A .................................................70 Figura 18 – Resolução do participante 11 do grupo C ..................................................70 Figura 19 – Resolução do participante 08 do grupo A .................................................71 Figura 20 – Resolução do participante 19 do grupo D .................................................71
  12. 12. Figura 21 – Resolução do participante 06 do grupo A .................................................72 Figura 22 – Resolução do participante 08 do grupo C ..................................................72 Figura 23 – Resolução do participante 22 do grupo A .................................................73 Figura 24 – Resolução do participante 13 do grupo D .................................................73 Figura 25 – Resolução do participante 02 do grupo A .................................................74 Figura 26 – Resolução do participante 14 do grupo C..................................................74 Figura 27 – Resolução do participante 05 do grupo B ..................................................75 Figura 28 – Resolução do participante 11 do grupo C..................................................75 Figura 29 – Resolução do participante 12 do grupo D .................................................76 Figura 30 – Resolução do participante 21 do grupo A .................................................76 Figura 31 – Resolução do participante 12 do grupo C ..................................................77 Figura 32 – Resolução do participante 17 do grupo A .................................................77 Figura 33 – Resolução do participante 17 do grupo D .................................................78 Figura 34 – Resolução do participante 25 do grupo A .................................................79 Figura 35 – Resolução do participante 06 do grupo C ..................................................79 Figura 36 – Resolução do participante 04 do grupo C ..................................................80 Figura 37 – Resolução do participante 01 do grupo C..................................................80 Figura 38 – Resolução do participante 03 do grupo C ..................................................80 Tabela 1 – Valores de s, ∆s e ∆2 s para ∆t = 1 segundo ...............................................40 Tabela 2 – Valores de s(t )  2t para t  1 ................................................................47 Tabela 3 - Valores de s(t )  2t para t  0,5 .............................................................47 1 2 Tabela 4 – Valores de s(t )  gt para t  1 ............................................................50 2 1 2 Tabela 5 – Valores de s(t )  gt para t  0,5 .................................................. 50 e 51 2 Tabela 6 – Todos os grupos x todas as questões ..........................................................82 Tabela 7 – Todos os grupos x questão 1 ......................................................................83 Tabela 8 – Todos os grupos x questão 2 ......................................................................84 Tabela 9 – Todos os grupos x questão 3 ......................................................................85 Tabela 10 – Todos os grupos x questão 4 ....................................................................86 Tabela 11 – Questão 1 x Grupo ...................................................................................87 Tabela 12 – Quadro percentual comparativo da questão 1 ...........................................87 Tabela 13 – Questão 2 x Grupo ...................................................................................89
  13. 13. Tabela 14 – Quadro percentual comparativo da questão 2 ...........................................89 Tabela 15 – Questão 3 x Grupo ...................................................................................91 Tabela 16 – Quadro percentual comparativo da questão 3 ...........................................91 Tabela 17 – Questão 4 x Grupo ...................................................................................93 Tabela 18 – Quadro percentual comparativo da questão 4 ...........................................93
  14. 14. 15 INTRODUÇÃO Resumidamente, o conceito de função levou muito tempo para ser aperfeiçoado. Contudo, apesar de ter sido explicitado apenas depois do século XVIII, algumas idéias inerentes ao conceito primitivo de função são bastante anteriores. Com origem na busca de filósofos e cientistas que tentavam explicar a realidade utilizando métodos que permitissem estudar e prever fenômenos naturais, o conceito de função, segundo Caraça (2003), apresenta duas características fundamentais: a interdependência e a fluência. Faz com que todas as coisas estejam Interdependência relacionadas uma com as outras. Fluência Faz com que tudo no mundo esteja em permanente mudança. Pesquisas na área de ensino de Cálculo têm sustentado que o conceito de função tem sido uma das principais fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem dos conceitos básicos desta disciplina. Sierpinska (1987), Cabral (1998) e Rezende (2003a) são alguns exemplos dessas pesquisas. Tal fato é um forte indicador de que o ensino de funções na educação básica não vem cumprindo bem a sua missão. Tendo como meta investigar como o tópico “Funções Reais” é abordado na educação básica, Botelho (2005) e Souza Sá (2005) elaboraram, em suas monografias, um mapeamento deste tema utilizando como fontes alguns dos principais livros didáticos nacionais. Os autores observaram, conforme nos revela Rezende, a predominância de uma abordagem algébrica e estática do conceito de função: “Fala-se, por exemplo, em injetividade ou sobrejetividade, mas não em crescimento ou decrescimento da função, ou melhor, em quanto e como cresce/decresce o valor de uma função em relação à sua variável independente. Discutem-se (caso existam) os zeros da função, mas não os seus pontos críticos, que são, em verdade, os seus pontos ótimos. A noção de função é, desse modo, estabelecida não no contexto da „variabilidade‟, mas, em termos de uma correspondência estática entre os valores das variáveis „x‟ e „y‟. O gráfico da função é, em geral, „plotado‟ através de uma tabela de valores „notáveis‟. A curvatura das curvas que compõem o gráfico da função é, em geral, induzida pelo acréscimo de mais pontos.” (Rezende, 2006)
  15. 15. 16 Assim, pode-se dizer que, com base nos resultados de Botelho (2005) e Souza Sá (2005), é desse modo, em termos da correspondência (x, f(x)), que se estabelece a noção de função em alguns dos principais livros didáticos do ensino básico nacional. Dando continuidade ao projeto de pesquisa de Rezende (2003b), Botelho (2005) aprofundou o tema propondo atividades que enfatizam a variabilidade de cada uma das funções polinomiais de 1º e 2º graus. Diante da dificuldade de alguns professores, detectada durante a realização de minicursos ou oficinas, em resolver problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática, optou-se, então, por aplicar estas atividades em quatro encontros distintos com professores de Matemática, que atuam na educação básica (ensino fundamental e médio). Tira-se então como pergunta norteadora desta monografia a seguinte questão: Como os professores de Matemática da educação básica utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática na resolução de problemas? A pesquisa desta monografia engloba uma parte quantitativa, na qual os dados foram analisados estatisticamente, e uma parte qualitativa que, através do estudo de caso, busca retratar o dinamismo de uma situação numa forma muito próxima do seu acontecer natural. No caso, de que forma os professores pesquisados interpretam, raciocinam e resolvem questões onde é necessário modelar o problema e decidir qual função pode ser usada no processo de modelagem. Para realizar o relato deste trabalho, desenvolvemos o texto em cinco capítulos. Numa primeira etapa, faremos uma revisão bibliográfica em torno do tema dos referenciais teóricos que serviram como diretrizes para a condução deste trabalho. Trata-se de apresentar e discutir os resultados da pesquisa de Sierpinska (1992). Além disso, levam-se em conta as recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais a respeito do ensino das funções reais na educação básica e as questões epistemológicas abordadas por Rezende (2003a). No segundo capítulo faremos um breve estudo a respeito da evolução histórica do conceito de função. Os tópicos apresentados vão desde a Babilônia, Grécia, destacando a contribuição de Oresme, a oportuna experiência de Galileu Galilei, até a época da invenção do Cálculo. No terceiro capítulo apresentaremos a caracterização das funções reais afim e quadrática a partir do comportamento variacional destas funções. O estudo destas
  16. 16. 17 variações é realizado: numericamente, através de atividades de manipulação de dados em tabelas (elaboradas com planilhas eletrônicas e/ou calculadoras); graficamente e algebricamente. No quarto capítulo, seguiremos detalhando a metodologia utilizada no transcorrer desta pesquisa, as atividades propostas e traçaremos o perfil dos sujeitos da pesquisa. Nesta etapa, também iremos explicitar de que forma foram classificadas as respostas dos participantes e apresentaremos os resultados da pesquisa através de tabelas e gráficos, seguidos de comentários e avaliações. No quinto e último capítulo responderemos a nossa pergunta, destacando o que consideramos relevante neste estudo de caso, para que o mesmo possa contribuir na formação continuada de professores da educação básica.
  17. 17. 18 Capítulo 1 - O PROBLEMA “Se tudo depende de tudo, como fixar nossa atenção num objeto particular de estudo? Temos que estudar tudo ao mesmo tempo? Mas qual é o cérebro que o pode fazer?” Bento de Jesus Caraça 1.1. Obstáculos de natureza epistemológica relacionados ao conceito de função Epistemologia é um ramo do saber que, além de se preocupar com a natureza dos objetos que compõem uma determinada área como a Matemática, por exemplo, também se interessa pelo conhecimento e pela forma como ele é processado. Segundo Bachelard (2006), o progresso do pensamento científico, em especial nas ciências que possuem um elevado grau de racionalidade como a Matemática, se fez graças à transposição de obstáculos epistemológicos. Esses obstáculos se encontram no próprio ato de conhecer fundamentado na idéia pré-concebida que, ao interpretar fatos segundo necessidades, acaba-se por bloquear o conhecimento, impedindo que se levantem problemas e criem-se hipóteses fecundas. Ainda a respeito desse fato, Bachelard (2006) comenta: “O matematismo já não é descritivo e sim formador. A ciência da realidade já não se contenta com o „como‟ fenomenológico; ela procura o „porquê‟ matemático.” Considerando a importância de discutir as dificuldades presentes na educação Matemática em geral, os obstáculos epistemológicos têm sido analisados por diferentes autores com diferentes pontos de vista. Dentro do contexto dessa monografia, cabe destacar a análise epistemológica do conceito de função elaborada por Sierpinska (1992) no artigo On understanding the notion of function. Segundo a pesquisadora: “Os estudantes têm tido problemas em fazer a ligação entre as diferentes representações de funções: fórmulas, gráficos, diagramas, descrições verbais de relações; em interpretar gráficos; em manipular símbolos relacionados com funções.”1 1 Tradução nossa
  18. 18. 19 Na busca de respostas para superar as dificuldades dos alunos no que diz respeito ao tratamento, análise e manipulação das diferentes representações das funções, a autora faz algumas sugestões pedagógicas consideradas importantes para o tratamento desse conceito. Essas sugestões estão relacionadas à: a) MOTIVAÇÃO – Motivar os alunos para que eles estejam interessados em encontrar variações, regularidades entre variações e que isto os levem a compreender melhor o seu mundo. b) CONTEXTOS INTRODUTÓRIOS – Utilizar expressões analíticas primeiramente como ferramentas de modelagem de certas situações, buscando-se então modelos que representem uma situação real. c) CONTEXTOS DE DESENVOLVIMENTO – Utilizar métodos de interpolação e construção de tabelas d) DESENVOLVIMENTO DE UM NÍVEL MAIS ELABORADO DE COMPREENSÃO DAS FUNÇÕES – Os estudantes devem ser capazes de perceber, não apenas como os sujeitos de variação se modificam, mas também o que muda. e) PRÉ-REQUISITOS – Ter consciência algébrica no nível estrutural. f) REPRESENTAÇÕES – Fornecer uma grande diversidade de representações de funções, adquirindo flexibilidade nas diversas representações. g) DEFINIÇÕES – Definições informais são suficientes em nível secundário e apenas em níveis mais elevados expõe-se, por exemplo, a definição de Peano. h) DISTINÇÕES ENTRE A NOÇÃO DE FUNÇÃO E OUTRAS NOÇÕES GERAIS – Discutir as similaridades e diferenças entre as relações causal e funcional. Podemos perceber a preocupação da autora com os atos de compreensão do conceito, observando ainda os obstáculos que surgem durante tal compreensão. A partir
  19. 19. 20 dessas considerações e analisando as dificuldades relativas ao conceito de função, destaca-se a seguinte opinião exposta por Sierpinska (1992): “Os estudantes devem se interessar pela variabilidade e buscar por regularidades antes que exemplos de funções bem comportadas e definições de Matemática elementar sejam introduzidas na sala de aula.” As conclusões finais apresentadas pela autora indicam que o conceito de função passa por diversas questões externas ao próprio conceito. Questões essas referentes à sua história e a forma como se trabalha com este conceito em sala de aula, além da forma como se encara (formal ou informalmente) sua definição e sua utilidade (modelagem, predição, descrição de eventos). A pesquisa aponta vantagens e desvantagens do formalismo no ensino do conceito de função e defende certas condutas conscientes à sua abordagem como, por exemplo, tratar da motivação dos alunos com relação ao estudo das funções, preocupar-se com os pré-requisitos ligados à habilidade algébrica, ou ainda, utilizar diferentes representações para as funções em busca da compreensão do seu conceito sob diferentes enfoques. A partir dessas conclusões, tem-se a nítida consciência dos obstáculos ligados à compreensão deste conceito, o que deveria ser suficiente para buscarmos formas mais adequadas de abordá-lo, melhorando assim nossa prática docente com relação ao ensino de funções na educação básica. 1.2. O Cálculo na formação do professor de Matemática O conceito de função tem sido uma das principais fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem dos conceitos básicos desta disciplina. Esta afirmação, sustentada por Cabral (1998) e Rezende (2003a), encontra-se presente em suas pesquisas na área de ensino de Cálculo. Tal fato é mais um indicador de que o ensino de funções na educação básica não vem cumprindo bem a sua missão. Como evidências desse fato, estão as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos estudantes em relação aos problemas de taxas relacionadas e de otimização. Analisando o universo de respostas dadas pelos estudantes a alguns problemas de taxas relacionadas e de otimização, Cabral (1998) aponta quatro níveis de significação: o aritmético, o algébrico, o funcional e o diferencial, identificando entre eles uma hierarquia de natureza epistemológica. Segundo a pesquisadora, em situações
  20. 20. 21 problema dessa natureza, os dois primeiros níveis de significação são os mais comuns. Os alunos não conseguem definitivamente “enxergar” as quantidades variáveis envolvidas no problema nem tampouco a relação funcional entre elas: “O difícil mesmo é encontrar a função” – respondem os estudantes. Identificar o que varia e em função de que varia é, sem dúvida, o primeiro passo para a resolução desse tipo de questão. Segundo Rezende (2003a): “Grande parte das dificuldades encontradas pelos estudantes do ensino superior na disciplina Cálculo é conseqüência da falta de preparação, na educação básica, para o estudo desta matéria. Ao contrário da álgebra, da aritmética e da geometria, presentes no percurso escolar dos alunos desde as séries iniciais até o ensino médio, as idéias do Cálculo são omitidas, abordadas de forma superficial, ou evitadas na educação básica.” Dentro desse contexto, o “monopólio da representação algébrica” do conceito de função é um sinal evidente desta omissão. Em sua proposta, as idéias do Cálculo deveriam ser tratadas a partir de uma articulação entre aritmética, a geometria, a álgebra e a física. É evidente que problemas clássicos e resultados do Cálculo são evitados ou simplesmente ignorados no ensino fundamental e médio. A área do círculo, a transformação de dízimas periódicas em frações, a representação decimal dos números reais, a soma de infinitos termos de uma progressão geométrica são exemplos de tópicos do conteúdo programático de Matemática da educação básica que são tratados de forma superficial. Ao camuflar as idéias básicas do Cálculo, este passa a aparecer como uma disciplina isolada, temida pelos alunos que sequer vêem uma relação do seu aprendizado com sua formação, ou mesmo com as demais disciplinas da grade curricular. No processo histórico de construção do conhecimento matemático, o Cálculo potencializa áreas fundamentais como a geometria e a aritmética, além de ser o principal responsável pelo desenvolvimento e organização do próprio conhecimento matemático. Já no campo pedagógico, é comum ouvirmos de um professor de Matemática dos ensinos fundamental e médio o argumento de que não haveria necessidade de ter estudado Cálculo na universidade, já que não precisaria ensinar seus fundamentos aos alunos do ensino básico. Rezende (2003a) destaca esta questão ao comentar: “É, realmente, lamentável que „tal coisa‟ não seja ensinada de fato em etapas anteriores do ensino de Matemática. Não da forma como é ensinado no curso
  21. 21. 22 superior, estanque e dissociado de sua função potencializadora, mas como parte integrante e fundamental para a construção das idéias Matemáticas e, por que não dizer, para a própria formação do cidadão.” No mundo de hoje, não basta perceber o crescimento/decrescimento de uma função, mas determinar precisamente o quanto esta está crescendo/decrescendo. Com o desenvolvimento das relações econômicas e sociais tornando-se estas cada vez mais complexas, faz-se necessário e urgente uma revisão e ampliação das metas da formação básica para o exercício pleno da cidadania. 1.3. Resgatando o conceito de função O conceito de função se estabelece como uma ferramenta da Matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo. Segundo Caraça (2003): “A realidade que a inteligência dos homens se esforça por compreender, o Mundo, no seu sentido mais largo, apresenta-se com duas características essenciais: 1- Interdependência. Todas as coisas estão relacionadas umas com as outras; o Mundo, toda essa realidade em que estamos mergulhados, é um organismo vivo, uno, cujos compartimentos comunicam e participam, todos, da vida uns dos outros. (...) 2- Fluência. O Mundo está em permanente evolução; todas as coisas, a todo o momento, se transformam, tudo flui, tudo devém. (...) De modo que, do extremo superior da escala, do movimento prodigioso da expansão do Universo, ao movimento, não menos prodigioso, das partículas constituintes do átomo, tudo flui, tudo devém, tudo é, a todo o momento, uma coisa nova.” Portanto, saber que a variação de uma grandeza depende da variação da outra é um aspecto importante no estudo do conceito de função. Porém, este estudo se torna incompleto do ponto de vista epistemológico, se não estudamos como ocorre esta variação, isto é, se não conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de variação.
  22. 22. 23 Temos então um instrumento matemático (funções) inventado para uma melhor compreensão da realidade fluente - que tem na interdependência/fluência uma de suas características principais. Assim, para apresentar o estudo das funções de uma maneira mais verdadeira e próxima da realidade, um caminho natural seria caracterizá-las através de suas variações, estabelecendo dessa forma conexão mais óbvia entre a realidade e sua origem histórica. 1.4. Recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais Com a publicação das Orientações Curriculares para o Ensino Médio pelo Ministério da Educação, ficaram estabelecidos os princípios que orientam a metodologia de ensino e filosofia educacional, os quais vêm sendo considerados como os mais adequados. “Conforme destacam os PCNEM (2002) e os PCN+ (2002), o ensino da Matemática pode contribuir para que os alunos desenvolvam habilidades relacionadas à representação, compreensão, comunicação, investigação e, também, à contextualização sociocultural.” (Brasil, 2006, p.69) Pode-se ainda considerar, no que se refere à Matemática e seus temas correlatos, a importância dada entre a observação do mundo real e suas representações, as quais estão relacionadas a princípios e conceitos matemáticos. Os princípios norteadores destes parâmetros podem ser observados no capítulo inicial: “Em nossa sociedade, o conhecimento matemático é necessário em uma grande diversidade de situações, como apoio a outras áreas do conhecimento, como instrumento para lidar com situações da vida cotidiana ou, ainda, como forma de desenvolver habilidades de pensamento”. (Brasil, 2002, p.111) “Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua formação”. (Brasil, 2002, p.111)
  23. 23. 24 As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNEM+), em seu volume de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, destacam ainda a relevância do conceito de função na atividade Matemática em nível médio, enfatizando o caráter integrador deste conceito. Citam como exemplo a relação entre trigonometria e funções no que diz respeito às funções trigonométricas e seus gráficos. Citam ainda a peculiaridade das seqüências numéricas e, em especial, das progressões aritméticas e geométricas como casos particulares de funções. Destacam também a relação existente entre a geometria analítica e as funções no que diz respeito ao estudo das propriedades dos gráficos de funções. Seguindo estas orientações, um dos aspectos que podem ser considerados no ensino da Matemática no primeiro ano do ensino médio, por exemplo, é a questão do infinito e da convergência a partir das progressões geométricas infinitas e a soma de seus termos2. A respeito disto afirma-se que: “Essas idéias foram e são essenciais para o desenvolvimento da ciência, especialmente porque permitem explorar regularidades.” (Brasil, 2002, p. 121) Ainda de acordo com os PCNEM+, o estudo das funções tem relevância fundamental pela sua interdisciplinaridade, pois a leitura e interpretação de gráficos, assim como a compreensão de certos fenômenos são vistos em outras áreas do conhecimento (física, química, biologia, geografia, etc.) a partir deste conceito. Dentro deste contexto, destacamos a seguinte afirmação: “Resumidamente, em relação às competências a serem desenvolvidas pela Matemática, a abordagem proposta para esse tema permite ao aluno usar e interpretar modelos, perceber o sentido de transformações, buscar regularidades, conhecer o desenvolvimento histórico e tecnológico de parte de nossa cultura e adquirir uma visão sistematizada de parte do conhecimento matemático”. (Brasil, 2002, p.122) Por outro lado, ferramentas como a calculadora e planilhas eletrônicas criam, a cada dia, novas facilidades abrindo outros rumos para o entendimento das variações em uma simples tabela. 2 É necessário que p < |q| < 1 para que a soma dos termos de uma PG infinita, de razão q, seja um número real.
  24. 24. 25 Em resumo, podemos perceber que o conceito de função é um dos elos entre diferentes assuntos dentro da própria Matemática e que, além disso, desempenha um papel central em diversas áreas do conhecimento, visto que é uma das ferramentas para a compreensão de certos fenômenos e a representação das variações dos mesmos. “A riqueza de situações envolvendo funções permite que o ensino se estruture permeado de exemplos do cotidiano, das formas gráficas que a mídia e outras áreas do conhecimento utilizam para descrever fenômenos de dependência entre grandezas.” (Brasil, 2002, p.121) Assim, os professores devem compreender que a Matemática desempenha um papel formativo e técnico com ênfase na formação dos alunos como cidadãos plenos, capazes de pensar matematicamente quando necessário e utilizar a Matemática no seu dia-a-dia, e não só para aqueles que pretendem dar continuidade aos estudos nesta área ou em áreas afins. 1.5. O estudo da variabilidade das funções nos livros didáticos Em seu trabalho, Botelho (2005) conclui que os livros didáticos de educação básica em geral não proporcionam um estudo sobre a variação das funções polinomiais e justifica a importância desse estudo. Através da proposição de atividades sobre a maneira como variam estas funções, sinaliza como esta abordagem pode ser feita. Desse modo, o trabalho contribui para uma reflexão sobre a necessidade de inserção no ensino médio de atividades sobre a variabilidade das funções afins e quadráticas: “O mapeamento realizado mostrou uma ausência quase total, nos livros didáticos, de tópicos que analisem o comportamento destas funções sob o ponto de vista da variabilidade. Qual o motivo desta omissão? Qual a dificuldade em se tratar, no ensino médio, de assuntos como „variabilidade‟ ou „taxa de variação‟? (...) E se o problema não tiver uma fórmula ou um gráfico? De quais ferramentas dispõem o aluno para modelar o problema e decidir qual a função pode ser utilizada no processo de modelagem?” (Botelho, 2005) Por outro lado, em seu trabalho de mapeamento das funções logarítmicas e exponenciais nos livros didáticos, Sá (2005) cita a importância do desenvolvimento da física no processo de “matematização” do conceito de função e destaca que é na
  25. 25. 26 compreensão em como ocorre e crescimento ou decrescimento de uma grandeza em função de outra que reside a idéia básica do conceito de função. Assim como Botelho (2005), Sá (2005) conclui que esse assunto é abordado quase sempre de forma algébrica e que o caráter variacional das funções é deixado de lado ou visto de forma muito tímida em exercícios com resolução predominantemente algébrica. Santos (2008) chamou a atenção para o fato de ser uma característica dos livros didáticos evitar ou dar pouca ênfase ao processo dinâmico da construção do conceito de função e que isso se reflete diretamente na prática pedagógica da sala de aula. Sabemos que, em geral, o livro didático é único instrumento utilizado pelo professor, norteando o planejamento das aulas, o ensino dos conteúdos e a resolução das atividades e exercícios. Usando como referência estes trabalhos, pode-se concluir que o ensino de funções não está cumprindo o papel de auxiliar o ser humano a compreender os seus problemas e os do mundo ao seu redor. A ausência da compreensão da variabilidade, entre outros aspectos já levantados anteriormente, representam um desvio de natureza epistemológica em relação ao conceito de função. Em consonância com este pensamento Cândido, em seu trabalho, afirma que: “A familiarização com a variação de grandezas, por meio da análise de seu comportamento, com a identificação de padrões e regularidades, é fundamental para que o aluno inicie processos de generalização.” (apud Botelho, 2005) Botelho (2005) propõe então atividades que possam ser apresentadas ao aluno do ensino médio as quais, paralelamente ao estudo algébrico das funções afim e quadrática, enfatizam a variabilidade de cada uma destas funções. Esta proposta está alinhada com o documento da Secretaria de Educação do Estado do Rio de Janeiro para o desenvolvimento do currículo nas unidades escolares da Rede Pública Estadual (SEE- RJ, 2004), onde figuram orientações para os professores de como “introduzir a idéia de taxa de variação” e “fazer a ligação da progressão aritmética com a função afim” para o estudo da função polinomial do 1° grau, na 1ª série do Ensino Médio. 1.6. O imprescindível estudo da variabilidade Para desenvolver este tópico, utilizaremos como referencial teórico o trabalho de pesquisa de Rezende (2003b) intitulado “Proposta de emersão das idéias básicas do
  26. 26. 27 Cálculo no ensino básico de Matemática”. Para Rezende, a idéia de variação é tão básica e natural que pode (e deve) ser trabalhada na escola desde as séries iniciais. A variação da altura do pé-de-feijão plantado num chumaço de algodão (uma das primeiras experiências escolares) é percebida em geral por toda criança, assim como a variação das medidas do seu próprio corpo que “cresce” com o avançar do tempo. No entanto, para passar da percepção sensível da variação para uma compreensão mais sistêmica do processo de variação, um conceito fundamental da Matemática torna-se imprescindível: o conceito de função. Do ponto de vista histórico, Rezende (2003b) identificou que o conceito de função entrou no âmbito do conhecimento matemático por dois notáveis caminhos: o da filosofia natural (dos escolásticos) e o algébrico, da geometria analítica (de Descartes). Neste último caminho, o conceito se estabelece a partir da relação implícita entre as variáveis da equação que representa a curva. Trata-se, portanto, de uma noção estática motivada única e exclusivamente pela descrição algébrica (equação) da curva. Neste caso, a equação da curva ou mesmo a expressão analítica que define a função são dadas a priori. Já no primeiro caminho, a relação funcional era explicitada diretamente pela curva (gráfico) que era usada especificamente para indicar como uma determinada grandeza “y” variava em relação à outra grandeza “x”. Nesta representação dinâmica do conceito de função, o que motiva a construção da curva é justamente o fato de ela descrever a variação de uma grandeza em relação a outra. A expressão analítica que define a função é, neste caso, conseqüência do modo como se dá a variação entre as quantidades variáveis. O modo como as grandezas variam é que é o ponto de partida para se construir o conceito de função. Rezende (2003b) afirma que ambas as representações fizeram parte da construção do Cálculo, mas não há como negar a importância fundamental que teve a representação dinâmica do conceito de função na significação do conceito de derivada como taxa de variação instantânea. No entanto, no ensino básico de Matemática, dá-se pouca ênfase a este processo dinâmico da construção do conceito de função, conforme podemos constatar nos trabalhos de mapeamento dos livros didáticos apresentados por Sá (2005) e Botelho (2005). A idéia de função é estabelecida, segundo estas pesquisas, não no contexto da “variabilidade”, mas em termos de uma correspondência estática entre os valores das variáveis “x” e “y”. A expressão analítica que representa a regra de correspondência é dada desde o início do processo de construção. O gráfico da função é
  27. 27. 28 “plotado” então com o auxílio de uma tabela de valores “notáveis”, e o traçado da curva que representa o gráfico da função é realizado por um processo indutivo. Em seguida, é estudada uma série de propriedades algébricas da função (imagem, raízes, injetividade, periodicidade, variação do sinal etc.), subordinando o seu significado ao exercício e desenvolvimento de técnicas algébricas: resolução de equações e inequações algébricas, exponenciais e trigonométricas - como se essa fosse a principal razão para se estudar funções. Para que se possa romper com essa caracterização algébrica do conceito de função, o autor pondera que será preciso construir suas significações a partir do problema fundamental da variabilidade. Isto é, caracterizar as funções reais usualmente estudadas no ensino básico a partir do estudo de suas variações. Desse modo, a função afim y  ax  b , por exemplo, é aquela cuja variação de uma variável é proporcional à variação da outra, quer dizer, y  ax , (figura 1). Ou, ainda de outro modo, que a taxa y de variação  a é constante. x Gráfico 1 – Função Afim Fonte: autor Já a função quadrática y  ax 2  bx  c pode ser caracterizada como a função cuja variação da variação da quantidade y em relação a x , para x fixo, é constante, o
  28. 28. 29 que equivale dizer que a variação y é uma função afim de x , uma vez fixado o valor de x (figura 2). Gráfico 2 – Função Quadrática e de y em função de x Fonte: autor Em busca da consolidação efetiva dessas idéias, o autor propõe que as propriedades das funções afim e quadrática sejam estabelecidas a partir de situações- problemas do cotidiano ou de outras áreas do conhecimento. Ele destaca a própria história do Cálculo, onde a física aparece oferecendo condições apropriadas para emersão das idéias do Cálculo, e relembra a construção do Cálculo por Newton, através do entrelaçamento das idéias físicas, do infinitésimo e da geometria analítica. Diante disto, surge uma questão natural: será que o professor de Matemática da educação básica está preparado para realizar este estudo e caracterização das funções reais a partir do seu comportamento variacional? 1.7. O professor de Matemática, o conceito de função e a pergunta da pesquisa Para introduzir a questão de nossa pesquisa, buscamos referência nos recentes trabalhos de Rossini (2006) e Costa (2008). Costa (2008) apontou, em sua pesquisa com alunos da disciplina de Funções Reais do Curso de Especialização em Ensino da Matemática da UFRJ, as dificuldades dos mesmos com relação a esse assunto. O autor percebeu uma predominância do conceito de elemento/conjunto, no qual a função é descrita como uma relação entre dois conjuntos A e B, e também na indicação, por parte dos entrevistados, do diagrama de
  29. 29. 30 setas para representar a primeira imagem referente ao conceito de função. Ele observou, baseando-se no quadro teórico proposto por R. Even3 (1990) em Subject Matter Knowledge for teaching and the case of functions, que: “...os professores não conectam os vários modos de apresentação do objeto função e, principalmente, desconhecem as limitações intrínsecas a cada um dos modos (diagrama de setas, tabelas, expressão algébrica).” (Even, 1990, apud Costa, 2008) Costa (2008) destacou ainda a dificuldade dos professores em transitar entre a representação algébrica e a representação geométrica. Na questão do entendimento matemático do conceito de função, ele verificou que alguns professores produziram definições baseadas na interdependência entre grandezas como velocidade e tempo em exemplos de movimento. O autor questionou a ausência de uma abordagem mais formal por parte dos professores participantes de sua pesquisa. Apesar dos professores terem completado o curso de funções reais, o pesquisador observou ainda algumas crenças e atitudes, tais como: toda função deve ser contínua, os procedimentos algébricos dominando a representação geométrica, a falta de análise prévia para construção de gráficos e ainda, a dificuldade de entendimento em relação aos números reais. Recorremos também, aos resultados da pesquisa de Rossini (2006). Como justificativas da pesquisa, a autora citou os limites da formação inicial dos professores, as pesquisas que mostram o preparo inadequado para trabalhar com o conceito de função em sala de aula, e ainda, a importância da formação continuada dos professores. Ela levantou aspectos como a falta de uma cultura que dê valor à leitura de documentos como, por exemplo, os tópicos sobre o ensino e aprendizagem de função encontrados nos PCN’s e considerados por muitos professores como uma leitura difícil, uma vez que pressupõe um conhecimento tanto do conteúdo específico, quanto do seu lado pedagógico. Acrescentou também que um professor de Matemática ideal deveria conhecer as “organizações Matemáticas” (os axiomas, definições, teoremas e resultados) em torno do objeto função e desenvolver as “organizações didáticas” correspondentes (quer dizer, o plano de aula, os exemplos que serão mostrados e todos os recursos que serão utilizados durante a aula); conhecer as etapas principais da 3 Even, R. (1990) Subject Matter Knowledge for Teaching and the Case of Functions. Educational Studies in Mathematics, nº 21, p. 521-544.
  30. 30. 31 história do conceito de função; conhecer os obstáculos envolvidos na construção do conceito; conhecer as sugestões didáticas sobre funções, variáveis, proporção, utilização de tabelas, fórmulas e gráficos; e, por fim, conhecer as tendências em Educação Matemática. A leitura de teses, dissertações e trabalhos publicados em revistas especializadas na investigação preliminar da autora, permitiu que fossem encontrados muitos pontos em comum nas dificuldades de alunos e professores. A revisão da literatura foi dividida em três categorias distintas: pesquisas com alunos, com professores e com professores e alunos. Todas as pesquisas examinadas pela autora contém valiosas contribuições para a compreensão das dificuldades dos sujeitos nelas envolvidos, mas destacamos uma em especial, de autoria de Zuffi4 (1999), cujo objetivo era detectar modos de utilização da “simbologia” e da “lógica” envolvidas na “linguagem Matemática do professor”, a fim de levantar alguns fatores que pudessem estar influenciando as dificuldades dos alunos para a compreensão do conceito de função. No final, o resultado da pesquisa aponta para o empobrecimento da linguagem do professor em sala de aula. Rossini (2006) endossa a pesquisa de Zuffi (1999) e vai além: “Acreditamos que o quadro seria mais desolador, se ao invés de ter investigado professores provenientes de uma licenciatura plena, a pesquisadora tivesse optado por investigar professores provenientes de licenciaturas curtas, ou de outros cursos superiores, com apenas uma complementação pedagógica para ensinar Matemática.” (Rossini, 2006) Diante dessa realidade, nos apresentada de forma tão transparente pelos pesquisadores, consideramos que provavelmente esses professores, com essa concepção de ensino, formarão alunos limitados nessa mesma concepção. Por sua vez, alguns desses alunos poderão escolher a carreira do magistério e o ciclo recomeçaria. Constatamos a importância das observações de Costa (2008) e Rossini (2006) em suas pesquisas, pois além da preocupação para com o processo de aquisição do conhecimento ser o mais completo possível, apresentaram ferramentas essenciais para a verificação do conhecimento do professor de Matemática sobre o conceito de função. 4 ZUFFI, E. M. O tema “funções” e a linguagem Matemática de professores do Ensino Médio – por uma aprendizagem de significados. 1999. Tese de Doutorado em Didática – Ensino de Ciências e Matemáticas, Faculdade de Educação, USP, São Paulo, 1999.
  31. 31. 32 Por outro lado, ainda existem pontos que merecem estudos mais apurados e que não foram aqui abordados, como a dificuldade dos professores em tratar, no ensino médio, de assuntos como “variabilidade” ou “taxa de variação”. Sendo assim, trazemos a questão crucial sugerida por Botelho (2005) e que aponta o caminho desta pesquisa: “Poderíamos ainda, a título de reflexão, perguntar se nós, docentes do ensino médio, trazemos estes conhecimentos consolidados em nossa bagagem didática para que possamos transmiti-los aos alunos de forma segura.” Esse trabalho tem como meta principal, desenvolver estudos a respeito do conhecimento do professor da educação básica sobre o conceito de função e na resolução de problemas que envolvem propriedades e habilidades relacionadas ao comportamento variacional das funções afim e quadrática.
  32. 32. 33 Capítulo 2 - UM BREVE ESTUDO DA EVOLUÇÃO HISTÓRICA DO CONCEITO DE FUNÇÃO Ao se fazer um relato cronológico do desenvolvimento de algum conceito matemático surge a questão de por onde começar, pois em muitos casos é impossível determinar quanto é preciso recuar no tempo para alcançar suas origens. Este estudo fundamenta-se nos trabalhos de Eves (2004), Boyer (1999) e Baron (1985). 2.1. As tábuas na Antiguidade Segundo Eves (2004), os matemáticos babilônios, em torno de 2000 a C, utilizaram largamente as tabelas sexagenais de quadrados e raízes quadradas, de cubos e raízes cúbicas, assim como outras tabelas. Tábuas de funções foram empregadas na astronomia babilônica para observar os movimentos do Sol, da Lua e dos planetas e tornaram-se os fundamentos matemáticos de todo o desenvolvimento posterior da astronomia. A partir da fundação da primeira escola filosófica grega por Tales de Mileto por volta de 600 a.C. é que a forma de explicar fenômenos naturais baseada em mitos começou a mudar. Com argumentos mais racionais, Platão (427-347 a.C.) acreditava que conhecimento obtido apenas através da física não era muito útil, pois as coisas materiais mudavam com o tempo, ao contrário das leis Matemáticas que são a essência da realidade por serem imutáveis. Mais tarde, ao longo da época da Alexandria, usando teoremas de geometria e regras de interpolação, os astrônomos confeccionaram tábuas equivalentes às tabelas de senos, que foram colocadas em uso pelos hindus alguns séculos mais tarde. Mesmo considerando o conhecimento daquela época acerca de coordenadas de corpos celestes que mudavam periodicamente ou das cordas de comprimentos diferentes em correspondência a arcos de comprimentos diferentes, não havia, segundo Boyer (1999), nenhuma idéia geral de funcionalidade, dependência entre quantidades ou números sob alguma forma de gráficos, ou de tabelas, ou mesmo qualquer descrição verbal que explicitasse uma dependência. O autor acrescenta ainda que os gregos examinaram os problemas de movimento, de continuidade e de infinito, mas que seu pensamento ficou distante da
  33. 33. 34 concepção cinemática de uma quantidade fluente, característica do cálculo infinitesimal dos séculos XVII, XVIII e XIX. Com a ascensão da cultura árabe, após o declínio das antigas civilizações, os métodos de tabulação foram aperfeiçoados levando ao aumento do número de “funções” utilizadas, como as trigonométricas, mas isso não acarretou novos desenvolvimentos relativos ao conceito de função. 2.2. A teoria das formas na Idade Média Aristóteles era discípulo de Platão e estudava as mudanças físicas de forma qualitativa. Este tipo de abordagem influenciaria a evolução da ciência por muito tempo, fazendo com que o conceito de função nascesse a partir do momento em que o movimento passasse a ser descrito de forma quantitativa. Até o século XIII, o pensamento aristotélico impregnou as Universidades da Europa apesar dos questionamentos de Roger Bacon (1214-1294) e Guilherme de Ockham (1300-1382), que defendiam que verdades científicas devem ser obtidas através da experiência. A representação mais significativa do conceito de função foi apresentada pelo Bispo Nicolau de Oresme (1323-1382), na Universidade de Paris. Para Baron (1985), Oresme foi a primeira pessoa que utilizou as coordenadas para representar a velocidade em função do tempo. Ao estudar o movimento uniforme e o movimento uniformemente acelerado, Oresme representou graficamente a velocidade em função do tempo. Figura 1 – Representações gráficas de Oresme Fonte: Curso de História da Matemática – Origens e Desenvolvimento do Cálculo Para traçar o gráfico da velocidade de um corpo que se move com aceleração constante em função do tempo, Oresme representou pontos, instantes de tempo (ou longitudes) e, para cada instante, traçou, perpendicularmente à reta de longitudes, um segmento de reta vertical (latitude) cujo comprimento representava a velocidade naquele instante. As extremidades desses segmentos estão alinhadas e formam, como se observa
  34. 34. 35 na figura 2, o segmento de reta que descreve a variação da velocidade em função do tempo. Figura 2 – Exemplo de um gráfico de Oresme na Idade Média Fonte: Curso de História da Matemática – Origens e Desenvolvimento do Cálculo Os termos longitudes e latitudes são usados por Oresme para designar o que chamamos, na linguagem Matemática atual, de abscissa e ordenada. Assim, nessa teoria, uma função pode ser definida ou por meio de uma descrição verbal de sua propriedade ou por meio de um gráfico. A teoria da latitude das formas, conforme nos revela Baron (1985), alcançou um grande renome durante o século XV e na primeira metade do século XVI, em particular na Inglaterra, na França, na Itália e na Espanha. Para ilustrar esse fato, exibiremos um resultado demonstrado por Oresme por meio dessa teoria da latitude das formas. Naquela época, uma aceleração constante era uma abstração teórica, pois não havia clareza de que isto poderia ocorrer no mundo físico, como por exemplo, na queda dos corpos. Oresme fez a demonstração desse resultado determinando a velocidade média de um movimento uniformemente acelerado (Teorema de Merton) e provou sua validade através de um gráfico semelhante ao mostrado na figura 3. Figura 3 – Ilustração do Teorema de Merton de Oresme Fonte: Curso de História da Matemática – Origens e Desenvolvimento do Cálculo
  35. 35. 36 Observemos que os desenhos esboçados por Oresme representam gráficos de funções afins da velocidade em relação ao tempo. As idéias de Oresme trouxeram contribuições importantes à representação geométrica, no que se refere à utilização pela primeira vez de técnicas gráficas para representar toda espécie de movimento. Apesar de não terem sido inventadas por Oresme, essas técnicas gráficas foram substancialmente desenvolvidas por ele e, através delas, os conceitos de movimento foram efetivamente relacionados em bases intuitivas com a ordenada, a abscissa, o gradiente de curvas (ou retas) e o espaço que os contém. 2.3. O estudo da variabilidade da função quadrática e a contribuição de Galileu Numerosas investigações têm mostrado como o conceito de função é de grande relevância no estudo da álgebra e fundamental para a aprendizagem do cálculo. Da mesma forma, o papel da história da Matemática tem se destacado como uma ferramenta de reflexão docente na hora de abordar e apresentar situações didáticas, já que permite identificar obstáculos e procedimentos na construção de conceitos. Para o estudo da variabilidade da função quadrática utilizando a modelagem como ferramenta didática, é necessária uma indagação histórica que permita evidenciar obstáculos, oportunidades e situações que revelem “concepções quadráticas”. Segundo o trabalho de investigação de Jhony Alexánder Villa Ochoa (2006): “A figura de Galileu Galilei (1564-1642) é relevante nesta construção e permitirá mostrar seu pensamento matemático no momento em que iniciou seus estudos, em particular o estudo do movimento como tal.” 2.3.1. Mas afinal, o que sabia Galileu? Supomos que os saberes acumulados em seu tempo estavam à disposição para a elaboração do novo conhecimento que, neste caso, tem haver com modelagem de fenômenos de variação, em particular da cinemática. Sendo assim, pode-se afirmar que a partir do mesmo conhecimento que possuía Galileu, tanto é possível realizar um estudo do movimento, como da função quadrática. Mesmo que esta não fosse reconhecida explicitamente por Galileu, seu pensamento sugeria sua aceitação como tal.
  36. 36. 37 Através de uma breve revisão da história da Matemática é possível saber que seus conhecimentos correspondiam a conteúdos como pensamento dedutivo, geometria euclidiana, sucessões e progressões aritméticas, seções cônicas, álgebra geométrica e aproximações gráficas de movimento de Oresme. Estes procedimentos, segundo Ochoa (2006), eram conhecidos no tempo de Galileu e bastante evidenciados em sua obra, uns com maior ênfase que outros, mas todos sendo necessários. São eles: a) O pensamento dedutivo, através da lógica, possibilita a criação de sistemas da mesma forma que se submete conhecimentos para validação, os quais se consolidam como verdade (os Elementos de Euclides são o exemplo do modelo de raciocínio que matemáticos e culturas posteriores adotaram). b) A geometria euclidiana com seu caráter dedutivo em relação às noções quadráticas encontradas em os Elementos, permite a representação de segmentos através de quantidades multiplicadas, o que demanda uma interpretação a partir das áreas. c) As sucessões e progressões aritméticas permitem categorizar os números e estabelecer suas leis de formação a partir das variações das quantidades, viabilizando a descrição do comportamento variacional do movimento. d) A consolidação do conceito de movimento por Galileu, estabelecendo a ruptura da concepção de parábola como figura, que passa a ser considerada como resultado do comportamento de algumas variáveis. e) O manuseio de uma álgebra sincopada, a partir da generalização da geometria e da contribuição dos árabes, com a tradução dos trabalhos gregos e da formalização sistemática da álgebra. f) As aproximações gráficas de movimento de Oresme (que vimos na parte anterior desta monografia), cujo objetivo era representar mediante uma figura geométrica, a interdependência de quantidades contínuas e análogas.
  37. 37. 38 Assim, conforme nos revela Ochoa (2006), esses eram os conhecimentos disponíveis para Galileu empreender sua explicação acerca dos fenômenos do movimento, apresentando uma nova forma de concebê-los e representá-los para um mundo no qual havia uma demanda por um novo conhecimento. Esta foi sua grande contribuição, a relação da física com a Matemática e, a partir desse vínculo, a modelagem Matemática. 2.3.2. A experiência de Galileu Embora não existam documentos comprovando que Galileu tenha realizado este experimento específico, recorremos ao site do Institute and Museum of The History of Science5 para ilustrar a demonstração experimental da Lei dos Corpos em Queda Livre. Ao que tudo indica, Galileu realizou inicialmente a experiência num plano inclinado, para depois deduzir o que acontecia quando o plano fosse “vertical” ao solo. Vamos então à experiência com o plano inclinado. Figura 4 – Plano inclinado Fonte: Institute and Museum of The History of Science 5 (http://brunelleschi.imss.fi.it/museum/esim.asp?c=404013)
  38. 38. 39 Figura 5 – Detalhe do pequeno sino no plano inclinado Fonte: Institute and Museum of The History of Science O plano inclinado da figura 4, com cinco pequenos sinos (figura 5) e um pêndulo, foi concebido para a realização de um experimento que consiste em lançar uma pequena bola do início do plano, ao mesmo tempo em que o pêndulo é inicializado. Em cada uma das oscilações completas do pêndulo, a bola atinge um dos pequenos sinos colocados ao longo do plano inclinado distantes um do outro segundo a sequência finita de números ímpares (1, 3, 5, 7 e 9). Figura 6 – Animação da demonstração experimental Fonte: Institute and Museum of The History of Science O experimento não só torna possível medir o aumento da distância percorrida pela bola, em intervalos de tempo iguais a partir de uma posição inicial de repouso,
  39. 39. 40 como prevê a aceleração constante durante o seu movimento, graças aos sinos colocados em posições estratégicas durante o percurso da bola no plano inclinado. Para interpretar os dados fornecidos por Galileu, podemos recorrer a uma tabela que nos forneça as medidas da posição de um objeto em queda livre. Uma vez escolhido o intervalo de tempo t (neste caso t  1 )6, a medida da posição do objeto no instante inicial (quando t  0 ), a medida da posição do objeto nos instantes t  1 , t  2 , t  3 , t  4 e t  5 , e a variação da posição do objeto s (deslocamento), podemos calcular e analisar a variação do deslocamento do objeto, conforme o exemplo a seguir: t  1 Tempo Posição Deslocamento (t) (s) ( s ) 0 0 s  st 1  st 1 1= s(0) +1 1 2 4 = s(1) +3 3 3 9 = s(2) + 5 5 4 16 = s(3) + 7 7 5 25 = s(4) + 9 9 Tabela 1 – Valores de s, ∆ e ∆2 para ∆ = 1 No Movimento Uniformemente Variado (MUV), v(t )  at  b é a velocidade do ponto no instante t . No caso da queda livre de um corpo, a aceleração a é a aceleração da gravidade, normalmente indicada pela letra g . Nosso conhecimento da função quadrática permite obter uma descrição completa do movimento uniformemente variado. As aplicações práticas relacionadas à questão da variabilidade são fundamentais para a compreensão do conceito de função. Segundo Rezende (2003), ao introduzir os processos dinâmicos de interpretação do conceito de função, estamos contribuindo para a formação de um cidadão mais apto a entender as variações que ocorrem no mundo ao seu redor. 6 t e t em unidade de tempo.
  40. 40. 41 2.4. O período Moderno Mesmo exercendo um papel notável para o desenvolvimento da noção geral de função, as idéias dos filósofos das escolas de Oxford e Paris, também conhecidos como escolásticos, não se mantém dominante e um novo caminho para a construção do conceito de função surge no século XVII. O crescimento dos cálculos matemáticos como os progressos alcançados na trigonometria, a introdução do conceito de logaritmos e a extensão do conceito de número, associados à criação da álgebra simbólica por François Viète, tiveram papel decisivo para o desenvolvimento posterior da teoria das funções. Porém, a introdução de números e símbolos somada ao aperfeiçoamento por outros matemáticos na álgebra simbólica de Viète, não foram suficientes para fazer avançar o conceito de função. Entretanto, Eves (2004) nos oferece uma análise histórica importante do começo do século XVII, em relação às invenções de novos instrumentos científicos ligados à física e que trouxeram precisão às experimentações e mensurações das medidas quantitativas de calor, pressão, velocidade. Com isso, as leis quantitativas da natureza adquiriram cada vez mais força, estabelecendo relações funcionais entre valores numéricos e quantidades físicas. Ainda assim as funções só eram abordadas através dos métodos antigos: por descrição verbal, por tabela ou por gráfico. O autor afirma que J. Burgi estabeleceu sua tabela de logaritmos, publicada em 1620, partindo da relação conhecida por Arquimedes, entre a progressão geométrica das potências de uma quantidade e a progressão aritmética dos expoentes, usando o processo de interpolação, que o levou a compreender intuitivamente que essa relação devia ser contínua. Por outro lado, John Napier, cujos trabalhos sobre logaritmo foram publicados em 1614 num trabalho intitulado “Mirifici logarithmorum canonis descriptio”, partiu da comparação de dois movimentos retilíneos contínuos. Após a criação dos logaritmos, o método analítico para introduzir as funções por meio de fórmulas e equações começou a se destacar através dos trabalhos de Pierre Fermat e René Descartes que, independente um do outro, aplicaram a nova álgebra à geometria, abrindo uma nova era em Matemática. Fermat, por exemplo, escreveu equações de uma reta e as equações de algumas curvas do segundo grau utilizando as notações de Viète e um sistema de coordenadas. Descartes introduziu essa idéia mais detalhadamente na sua célebre obra chamada La Géométrie, de 1637. Pela primeira vez e de maneira absolutamente clara, surge a idéia de que uma equação em x e y é usada
  41. 41. 42 para representar uma dependência entre quantidades variáveis de forma que seja possível o cálculo dos valores de uma delas em correspondência aos valores dados pela outra. A introdução de funções sob a forma de equações teve o efeito de uma revolução que estendeu-se aos outros ramos da Matemática e deu origem ao estudo do cálculo, em particular ao cálculo infinitesimal. As perspectivas sobre as aplicações das séries aos problemas denominados “impossíveis” fizeram com que Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz se dedicassem ao estudo do tema da moda, série de potências e assim, contribuíssem com a evolução do conceito de função. Os dois matemáticos representam, com efeito, os dois pilares fundamentais do desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal. A primeira definição de uma função como expressão analítica aparece, no entanto, um pouco depois do surgimento dos cálculos de Newton e Leibniz. Tal fato acontece em um artigo de Johann Bernoulli, que costumava se corresponder com Leibniz, publicado nas memórias da Academia Real de Ciências de Paris em 1718 sob o título traduzido “Considerações sobre o que se tem, até o presente momento, sobre soluções de problemas de isoperímetros”, encontrado no trabalho de Youschkevicht7 (1981): “Chama-se função de uma grandeza variável uma quantidade composta de alguma maneira que seja desta grandeza variável e de constantes.” O desenvolvimento essencial do conceito de função é devido a Leonhard Euler, discípulo de J. Bernoulli. Segundo Boyer (1999), Euler foi o construtor da notação mais bem sucedida em todos os tempos e devemos a ele a notação f (x) para uma função em x . Para formular uma definição que englobasse todas as classes conhecidas de relações, Euler se volta para a noção geral de relação entre quantidades variáveis. Segundo Youschkevicht (1981), no prefácio de sua Institutiones calculi differentialis, publicada em 1755, Euler define função da seguinte maneira: “Se certas quantidades dependem de outras quantidades de tal maneira que se as outras mudam, essas quantidades também mudam, então se tem o hábito de nomear essas quantidades funções das últimas; essa denominação tem o mais amplo entendimento e contém em si mesma todas as maneiras pelas quais uma quantidade pode ser determinada por outras. Se, por consequência, x designa 7 YOUSCHKEVICHT, A. P. Le concept de fonction jusqu’au milieu du XIX e siècle. In: Fragments d´histories des Mathématiques, Brochure A.P.M. E. P., n.41, p.7 – 67, 1981.
  42. 42. 43 uma quantidade variável, então todas as outras quantidades que dependem de x, não importando qual a maneira, ou que são determinadas por x, são chamadas de função de x.” Assim como Euler, Lagrange não tinha dúvidas em considerar toda função da análise Matemática como podendo ser representada por uma série de termos proporcionais às potências reais da variável independente. É comum em Matemática, surgirem discussões a respeito de uma determinada teoria, e como não podia deixar de ser, as discussões sobre o conceito de função ocorreram do século XVIII envolvendo Euler e Lagrange, além de Jean Lê Rond D’Alambert, Daniel Bernoulli (filho de Johann), Gaspard Monge, Pierre Simon Laplace e Jean Batiste Joseph Fourier. Discussões a parte, guiados ou não por considerações físicas e uma profunda intuição matemática, esta controvérsia foi muito importante para o progresso da física matemática e para o desenvolvimento metodológico dos fundamentos da análise matemática. As idéias de Euler foram analisadas corretamente por Condorcet no seu manuscrito “Tratado de cálculo integral”, no qual utiliza pela primeira vez a expressão “função analítica”, o qual foi lido por muitos matemáticos em Paris. Entre eles Sylvester François Lacroix, que propõe em seu “Tratado de cálculo diferencial e integral”, publicado em 1797 a seguinte definição, citada por Youschkevicht (1981): “Toda quantidade cujo valor depende de uma ou várias outras quantidades, diz- se função dessas últimas, quer se conheça quer se ignore por quais operações se deve passar para voltar à primeira.” A relação entre os conceitos de função e continuidade aparecem explicitamente nos trabalhos de Euler quando este define “variação contínua”. Entretanto, a relação entre estes dois conceitos ficará mais clara e precisa no trabalho de Augustin-Louis Cauchy. Um ponto que deve ser notado na obra de Cauchy (1823) é a definição de função contínua, encontrada no trabalho de Monna8 (1972): “Quando uma função f (x) admite um único valor para todos os valores de x compreendidos entre dois limites dados, a diferença f ( x  i)  f ( x) sempre 8 Monna, A F. The concept of function in the 19th and 20th centuries, in particular with regard to the discussions between Baire, Borel and Lebesque. Arch. for Hist. of Exact Sciences, v. 9, p. 57-84, 1972.
  43. 43. 44 sendo uma quantidade infinitamente pequena, diz-se que f (x) é função contínua da variável x entre os limites dados.” Outro matemático francês que dá contribuições essenciais para o desenvolvimento do conceito de função foi Jean Baptiste Joseph Fourier. Segundo Youschkevicht (1981), a principal contribuição de Fourier, foi a definição da série que leva seu nome e que fornece uma generalização quanto aos tipos de funções que podem ser estudadas: “Em geral, a função f (x) representa uma seqüência de valores ou ordenadas onde cada uma é arbitrária.” Depois da definição de Fourier, que sustenta que essas ordenadas podem não estar sujeitas a uma lei comum, foram publicadas outras, muito mais extensas, atribuídas a Nicolai Ivanovich Lobachevsky e a Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Essas definições são praticamente idênticas e evidenciam a possibilidade de generalização das funções contínuas e descontínuas. Apesar dos conceitos de conjunto e de número real ainda não terem sido estabelecidos, a definição de Dirichlet está próxima do ponto de vista moderno. Finalmente, ao concluir o estudo do século XIX, Eves (2004) apresenta a contribuição dada por Hermann Hankel, pela definição geral que foi incluída nos cursos de análise Matemática no final do século XIX e início do século XX: “Diz-se que y é função de x se para cada valor de x, em um certo intervalo, corresponde um valor bem definido de y, sem que isso exija que y seja definido em todo o intervalo pela mesma lei em função de x, nem mesmo que y seja definido por uma expressão Matemática explícita de x.” As diferentes considerações quanto ao tipo de comportamento das funções e as relações funcionais são características de diferentes épocas e diferentes gerações de matemáticos. Os conceitos de função são adequados para as suas épocas e supostamente tão gerais quanto o conceito atual. Por essa razão, Euler, Lacroix, Fourier e Dirichlet não imaginaram funções como aquelas que seriam introduzidas mais tarde, na época de Georg Cantor, René Baire, Emile Borel e Henri Leon Lebesgue. Após contornar o complexo obstáculo de sua representação analítica, a classe das funções ampliou-se,
  44. 44. 45 mais funções foram descobertas e tornou-se necessário estudar as diferentes classes de funções (contínuas, diferenciáveis, descontínuas em determinados pontos, etc.). O final do século XIX e início do século XX são marcados pelo desenvolvimento do conceito de função ligado à teoria dos conjuntos, à lógica Matemática e por discussões presentes nos trabalhos de Baire, Borel e Lebesgue e Cantor. A teoria dos conjuntos desenvolvida por este último começa a ser aceita e introduzida gradativamente na Matemática. Cantor introduz a noção de produto cartesiano E  F de dois conjuntos quaisquer, ligando a noção de aplicação f : E  F a um subconjunto de E  F , formada pelos pares ( x, f ( x)) para todos os elementos x de E . Avançando no estudo da evolução da idéia de função, Eves (2004) enfatiza a contribuição de Richard Dedekind, que apresenta em 1888 uma concepção geral de função ou de aplicação fazendo uso, a exemplo de como fez Cantor, da Teoria dos Conjuntos. Em 1935, um grupo de jovens matemáticos franceses funda a Associação Bourbaki a fim de organizar toda a Matemática conhecida até então. Em seu primeiro livro da coleção Théorie des ensembles (fascicule de résultats), publicado em 1939, encontra-se a seguinte definição de função que, segundo Monna (1972), remove todas as dúvidas sobre o que é uma “verdadeira” função: “Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entre uma variável x de E e uma variável y de F chama-se relação funcional em x , ou relação funcional de E em F , se, qualquer que seja x  E , existe um elemento y de F , e somente um, que esteja na relação considerada com x . Dá-se o nome de „função‟ à operação que associa a todo elemento x  E o elemento y de F que se encontra na relação dada com x ; diz-se que y é o valor da função para o elemento x , e que a função está „determinada‟ pela relação funcional considerada. Duas relações funcionais „equivalentes‟ determinam a mesma função.” (Bourbaki, 1939, p.6 apud Monna, 1972, p. 82) Assim, pode-se dizer que desde a Antiguidade até a revolução estruturalista do grupo Bourbaki, emergiram maneiras diferentes de perceber o objeto matemático função, de utilizar ou enfatizar suas propriedades.
  45. 45. 46 Capítulo 3 - A CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA Neste capítulo pretendemos dar significado ao estudo efetivo das funções reais afim e quadrática do ponto de vista de sua variabilidade. Esta proposta encontra-se diretamente relacionada ao projeto de pesquisa de Rezende (2003b) que estabelece uma “Proposta de Emersão das Idéias Básicas do Cálculo no Ensino Básico de Matemática”. O autor considera imprescindível ao educando dominar as técnicas que permitirão interpretar o mundo que o cerca ao completar o ensino básico. A abordagem a ser apresentada foi inspirada historicamente nos estudos de cinemática realizados, em sua origem, pelos escolásticos e por Galileu. 3.1. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função afim Considerando uma função real f e x um ponto interior de seu domínio, admitindo x como um incremento da variável x , chamamos de variação de f (ou simplesmente, a variação de y em relação ao incremento x por y  f ( x  x)  f ( x) . Definimos então a taxa de variação relativa ou acréscimo y f ( x2 )  f ( x1 ) relativo da função pela razão  , onde x1 e x 2 pertencem ao domínio x x2  x1 de f . Tendo visto a definição acima podemos, inicialmente, para efeito de ilustração, apresentar para os alunos uma atividade relacionada ao movimento uniforme onde um objeto se desloca sempre no mesmo sentido e, além disso, em tempos iguais, percorre espaços iguais. Considere, por exemplo, a função s : R  R , definida por s(t )  2t , onde t é o tempo em horas e s(t ) é o espaço percorrido, podemos sugerir a construção de uma tabela de valores para esta função que nos revele também os valores de s e s / t , em intervalos de tempo iguais no domínio da função. Este processo de “discretização” é útil para a análise, em geral, do comportamento variacional das funções.
  46. 46. 47 Para t  1 (intervalos de 1 hora), teremos: t (em horas) s(t )  2t s  s(t  1)  s(t ) s / t 0 0 1 2 2 2 2 4 2 2 3 6 2 2 Tabela 2 – Valores de s(t )  2t para t  1 Escolhendo outro intervalo de tempo, por exemplo, t  0,5 (intervalos de 30 minutos), a tabela 2 recalculada nos forneceria os seguintes resultados: t (em minutos) s(t )  2t s  s(t  0,5)  s(t ) s / t 0 0 0,5 1 1 2 1 2 1 2 1,5 3 1 2 Tabela 3 - Valores de s(t )  2t para t  0,5 A repetição da atividade acima para outros intervalos de tempo permitirá que o aluno seja capaz de perceber que a variação de s é proporcional à variação de t, ou de outro modo, que a taxa de variação s / t é constante, como pode ser verificado na 4ª coluna das tabelas 2 e 3. A verificação definitiva desta propriedade deverá ser feita por meio da álgebra. Vejamos: s s(t  t )  s(t ) 2(t  t )  2t   2 t t t Para que o aluno “se convença” que esta propriedade “vale para qualquer função afim s(t )  at  b ”, devemos repetir a construção da tabela para outros exemplos. E após a vivência dessas experiências, usar a álgebra para verificar, de forma mais geral (para uma função afim arbitrária e qualquer t escolhido) a validade do que foi observado.
  47. 47. 48 s s(t  t )  s(t ) a(t  t )  b  at  b   a t t t Isto significa que s(t  t )  s(t ) , espaço percorrido no intervalo de tempo t a partir da posição s(t ) , depende apenas de t , mas não de t . 3.2. Caracterização da Função Afim Isto posto, podemos perceber que a função do tipo afim tem a seguinte característica:  A taxa de variação s / t é constante Diante disso, surge naturalmente a seguinte questão: Será que uma função s , satisfazendo à propriedade acima pode ser considerada do tipo afim? O teorema a seguir nos fornece efetivamente uma caracterização da função afim. Teorema: Seja f :  →  uma função monótona injetiva. Se o acréscimo f ( x  h)  f ( x)   (h) depender apenas de h , mas não de x , então f é uma função afim. A hipótese de que f ( x  h)  f ( x) não depende de x se exprime, às vezes, como “a acréscimos iguais de x correspondem acréscimos iguais para f (x) ”. Outra maneira de exprimir esta hipótese consiste em dizer que “os acréscimos sofridos por f (x) são proporcionais aos acréscimos dados a x ”. As demonstrações serão omitidas aqui, mas o leitor curioso poderá encontrá-las em (Lima, 1996).
  48. 48. 49 3.3. Atividades introdutórias para o estudo da variação da função quadrática Analogamente ao que se fez para a função afim, podemos pensar em introduzir a caracterização da função quadrática para os alunos a partir de um exemplo simples que enfoque o seu caráter variacional. A partir dos dados fornecidos por um objeto em movimento uniformemente variável, podemos construir tabelas com a ajuda de uma planilha eletrônica (ou mesmo com a ajuda de uma simples calculadora), de modo a perceber como as funções quadráticas se comportam e, sendo assim, buscar características intrínsecas a ela. Ressaltamos que, para esta atividade não se tornar monótona para os alunos, seria mais adequado utilizar uma planilha eletrônica. Na ausência deste recurso, sugerimos reduzir a quantidade de linhas das tabelas, evitando assim que o foco da atividade seja desviado pelo uso intensivo da calculadora. Voltemos então, ao experimento de Galileu descrito no item 2.3.2 do Capítulo 2, 1 2 considerando s(t )  gt , onde g  9,8 m/s2. 2 A tabela 4 a seguir, nos fornece os valores da posição s(t ) (em metros) na 2ª coluna, no instante inicial t  0 e no instante 0  t até o instante 10 , uma vez escolhido o intervalo de tempo t  1 (variável livre). Na 3ª coluna da tabela, aparecem os valores do deslocamento ou variação da posição s , definida por s  s(t  t )  s(t ) , em cada intervalo de tempo. Na 4ª coluna da tabela, aparecem os valores da variação do deslocamento, isto é (s) 9, ou como podemos definir, simplesmente, a variação segunda de s , 2 s  s(t  t )  s(t ) , em cada intervalo de tempo. Na 5ª coluna da tabela, aparecem então a variação terceira da posição 3 s , definida por 3 s  2 s(t  t )  2 s(t ) , em cada intervalo de tempo. 9 (s)  (s(t  t )  s(t ))  s(t  t )  s(t )  2 s
  49. 49. 50 t (em segundos) s (em metros) s  s(t  t )  s(t ) 2 s  s(t  t )  s(t ) 3 s 0 0 1 4,9 4,9 2 19,6 14,7 9,8 3 44,1 24,5 9,8 0 4 78,4 34,3 9,8 0 5 122,5 44,1 9,8 0 6 176,4 53,9 9,8 0 7 240,1 63,7 9,8 0 8 313,6 73,5 9,8 0 9 396,9 83,3 9,8 0 10 490 93,1 9,8 0 1 2 Tabela 4 – Valores de s(t )  gt para t  1 2 Por simples observação, podemos notar que a sequência de valores s é uma progressão aritmética de razão 9,8. As colunas 3ª e 4ª da tabela 4 formam, respectivamente, sequências constantes 2 s  9,8 e 3 s  0 . Observado isto, podemos sugerir a escolha de outro valor para t , por exemplo, t  0,5 e, refazendo os cálculos, chegaríamos aos seguintes resultados da tabela 5 a seguir. t (em segundos) s (em metros) s  s(t  t )  s(t ) 2 s  s(t  t )  s(t ) 3 s 0 0 0,5 1,225 1,225 1 4,9 3,675 2,45 1,5 11,025 6,125 2,45 0

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