INTRODUÇÃOAplicações práticas:EngenhariaMecânicaEletricidadeAcústicaMedicinaAstronomia MúsicaNo triângulo retângulo, a trigonometria nos permite realizar facilmente cálculos como:altura de um prédio através de sua sombra distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo largura de rios, montanhasmedida do raio da Terra, distância entre a Terra e a Lua

Engenharia

Mecânica

Eletricidade

Acústica

Medicina

Astronomia

Música

altura de um prédio através de sua sombra

distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo

largura de rios, montanhas

medida do raio da Terra, distância entre a Terra e a Lua

Um pouco da história da TrigonometriaOrigem incertaProvavelmente nasceu por volta do século IV ou V a.C. com os egípcios, babilônios e gregosProblemas surgidos pela astronomia e navegaçãoSignificado da palavra Trigonometria: medida do triânguloPrincipais precursores da Trigonometria na antiguidade: Hiparcode Nicéia (por volta de 180 a 125 a.C. - pode ser considerado o pai da Trigonometria)Menelaude Alexandria (100 a.C.)Ptolomeu(séc. II d.C.)Dentre todas as obras deixadas por esses gênios a mais influente, significativa e elegante foi sem dúvida a Syntaxismathematica, uma obra composta de 13 livros escrita por Ptolomeu e que mais tarde ficou conhecida entre os árabes como o Almajesto.Quer saber mais, consulte:http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa2c.htmlhttp://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/trigonometricas/ftrigonometricas.htm

Origem incerta

Provavelmente nasceu por volta do século IV ou V a.C. com os egípcios, babilônios e gregos

Problemas surgidos pela astronomia e navegação

Significado da palavra Trigonometria: medida do triângulo

Principais precursores da Trigonometria na antiguidade:

Hiparcode Nicéia (por volta de 180 a 125 a.C. - pode ser considerado o pai da Trigonometria)

Menelaude Alexandria (100 a.C.)

Ptolomeu(séc. II d.C.)

No triângulo retângulo temos:Definições:co – cateto oposto ao ângulo αh – hipotenusaSeno = medida do cateto oposto medida da hipotenusaαEssas razões são chamadasRazões Trigonométricas!Cosseno = medida do cateto adjacente medida da hipotenusaca – cateto adjacente ao ângulo αTangente = medida do cateto oposto medida do cateto adjacente

Exercício 1:Considere o triângulo retângulo representado na figura ao lado.Determine as razões trigonométricas do ângulo x.Atenção! As razões trigonométricas são sen x, cos x e tg x.

Resolução do exercício 1:Seno = medida do cateto oposto medida da hipotenusaLogo,sen x= co= 3 = 0,6h 5Observe que,sen x = co => h.sen x = co hCosseno = medida do cateto adjacente medida da hipotenusacos x = ca = 4 = 0,8h 5cos x = ca => h.cos x = ca hTangente = medida do cateto oposto medida do cateto adjacentetg x = co = 3 = 0,75ca 4tg x = co = h.sen x => tg x = senxcah.cos x cos x

Exercício 2:A figura ao lado representa um triângulo retângulo.Determine o seno do ângulo a. Que medidas usamos para calcular o seno de um ângulo?Como podemos calcular a medida que falta?

Resolução do exercício 2:Para determinarmos o seno, precisamos da medida do cateto oposto. Usaremos o Teorema de Pitágoras para calcular esta medida.xAssim, sen a = co = 10,5 = 0,72 (aproximadamente) h 14,5

Exercício 3:Em relação a figura ao lado, que representa um triângulo retângulo, sabe-se que tg b = 2 e sen b = 0,9.Determine o cosseno do ângulo b. Qual a razão trigonométrica que determina o valor da tangente de um ângulo, sabendo o seno do ângulo?

Resolução do exercício 3:Sabemos que tg b = sen bcos bComo tg b = 2 e sen b = 0,9 podemos escrever:2 = 0,9 e resolver a equação.cos b2.cos b = 0,9cos b = 0,9 = 0,45 2Fácil, não? Mas precisa treinar...Para casa: Fazer os exercícios da página 222 do livro e TCA 38, números 1 e 2.

Vamos agora a outro exemplo. Imaginem um avião levantando vôo...

Vamos agora a um exemplo concreto. Imaginemos um avião levantando vôo...5 Km10 Km

Vamos agora a um exemplo concreto. Imaginemos um avião levantando vôo...16 Km5 Km8 Km10 Km

Vamos agora a um exemplo concreto. Imaginemos um avião levantando vôo...16 Km5 Km8 Km10 Km10 Km

Você consegue perceber alguma relação entre a distância do avião ao solo e a distância percorrida? Por semelhança de triângulos notamos que:20 Km5 Km8 Km10 Kmk é a razão de semelhança, que nesse caso é 0,5.16 Km10 Km

E entre a distância do ponto de decolagem até a sombra avião no solo e a distância percorrida? Por semelhança de triângulos notamos que:k é a razão de semelhança, que nesse caso é, aproximadamente, 0,87.20 Km5 Km8 Km10 Km16 Km10 Km

Voltando ao exemplo do avião...Será que podemos descobrir qual o ângulo do avião em relação ao solo no momento da decolagem?catetooposto aoângulo αhipotenusaα

Você consegue perceber alguma relação entre a distância do avião ao solo e a distância percorrida? Por semelhança de triângulos notamos que:20 Km5 Km8 Km10 Kmk é a razão de semelhança, que nesse caso é 0,5.16 Km10 Km