Funções Reais - Minicurso 31º Encontro Projeto Fundão

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Minicurso - Funções Reais: o Caminho Histórico e o Descaminho Didático apresentado no 31º Encontro do Projeto Fundão

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  • Andréa, sobre o curso, poderia investigar as variações das funções para intervalos bem pequenos(próximos de zero), mostrar que a taxa de variação,ou seja, a inclinação da reta tangente se aproxima da taxa de variação da curva e explorar o seu significado. Mostrar que entre dois pontos distantes tudo pode acontecer, porém, entre dois tão próximos, quase nada. A variação só será constante se for considerado intervalos regulares da variável independente, isto é, constante. Caso contrário, só a taxa de variação indicará que se trata de um modelo afim, quadrático etc. Já comecei o meu trabalho valorando as variações e estou aplicando os seus exercícios. Preciso que me mande as soluções com as tabelas prá que eu faça comparações. Obrigado. prof. Luiz Marcos
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Funções Reais - Minicurso 31º Encontro Projeto Fundão

  1. 1. Funções Reais: o Caminho Histórico e o Descaminho Didático Wanderley Moura Rezende e Andréa Thees Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática – UFF [email_address] , [email_address] , [email_address]
  2. 2. Introdução <ul><li>Caraça (1989): o conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo. </li></ul><ul><li>Rezende (2006): Saber que a variação de uma grandeza depende da variação da outra é um aspecto importante no estudo do conceito de função, mas que se torna incompleto do ponto de vista epistemológico, se não estudamos como ocorre esta variação, isto é, se não conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de variação. </li></ul><ul><li>Reflexão sobre o ensino de funções reais na educação básica, tendo como referência o seu caminho histórico de construção e os descaminhos de natureza pedagógica e epistemológica - (Rezende, 2003b), Botelho (2005) e Souza Sá (2005). </li></ul>
  3. 3. A Origem Histórica <ul><li>Conceito de função // conceito de variável </li></ul><ul><li>O uso de símbolos na matemática: </li></ul><ul><ul><li>álgebra desenvolvida na Grécia por Diofanto (200/214-284/298); álgebra hindu. </li></ul></ul><ul><li>Primeiro rompimento com o pensamento aristotélico: </li></ul><ul><ul><li>Roger Bacon (1214-1294) e Guilherme de Ockham (1300-1349): ciência experimental - as verdades científicas deveriam, necessariamente, ser obtidas através da experiência. </li></ul></ul>
  4. 4. <ul><li>Representação duplamente significativa: </li></ul><ul><ul><li>por um lado mostra duas grandezas relacionadas entre si, variando ao mesmo tempo, e por outro lado ilustra esta variação através de um gráfico . </li></ul></ul><ul><li>O conceito de função se estabelece, implicitamente, por meio da curva (uma reta) ... </li></ul>Filósofos escolásticos - “matematização” do conceito de função
  5. 5. <ul><li>O rompimento definitivo Galileu (1564-1642) </li></ul>(...) o espaço percorrido por um corpo em queda livre é diretamente proporcional ao quadrado do tempo levado para percorrer este espaço.
  6. 6. <ul><li>Viète (1540-1603) - fez uso, em seus trabalhos de </li></ul><ul><ul><li>“ uma vogal, para representar uma quantidade suposta desconhecida ou indeterminada e uma consoante para representar uma grandeza ou números supostos conhecidos ou dados” </li></ul></ul><ul><ul><li>surge então o conceito de variável </li></ul></ul><ul><li>Descartes (1596-1650) e Fermat (1601-1665), e depois Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716) </li></ul><ul><ul><li>estudo de curvas </li></ul></ul><ul><li>O conceito de função “evoluiu” </li></ul><ul><ul><li>(...) sai, gradativamente, do âmbito do Cálculo, enquanto relação entre quantidades variáveis, para o âmbito da Teoria dos Conjuntos, como uma operação especial entre conjuntos (início do século XX). </li></ul></ul>
  7. 7. Descaminhos Pedagógicos: Alguns Indicadores <ul><li>Sierpinska (1987), Cabral (1998) e Rezende (2003a) </li></ul><ul><ul><li>fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem dos conceitos básicos do Cálculo. </li></ul></ul><ul><li>Problemas de taxas relacionadas e de otimização. </li></ul><ul><li>Cabral (1998) </li></ul><ul><ul><li>quatro níveis de significação: o aritmético, o algébrico, o funcional e o diferencial, identificando entre eles uma hierarquia de natureza epistemológica </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Os dois primeiros níveis de significação são os mais comuns </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>“ O difícil mesmo é encontrar a função” </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Relação intrínseca entre o terceiro e o quarto nível </li></ul></ul></ul>
  8. 8. Caminho natural para o estudo das funções reais seria caracterizá-las conforme a maneira que variam... Mas, será que este caminho é seguido na educação básica? <ul><li>Botelho (2005) e Souza Sá (2005): </li></ul><ul><ul><li>Predominância da representação algébrica </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>injetividade/sobrejetividade x crescimento/decrescimento, ou quanto e como cresce/decresce </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>zeros da função x pontos críticos da função </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Ausência de tópicos que analisem o comportamento da variabilidade e de exercícios de modelagem </li></ul></ul><ul><ul><li>Gráfico - “plotado” através de uma tabela de valores “notáveis” </li></ul></ul><ul><ul><li>Correspondência estática entre os valores das variáveis “x” e “y” </li></ul></ul>
  9. 9. 1G - Bianchini GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO INEQUAÇÕES CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DEFINIÇÃO ESTUDO DO SINAL ZERO DA FUNÇÃO TABELA DE VALORES ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO
  10. 10. 1G – Dante ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO
  11. 11. 2G - Machado DEFINIÇÃO CONCAVIDADE PONTO DE MÁXIMO E PONTO DE MÍNIMO GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO IMAGEM CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO TABELA DE VALORES VÉRTICE VALOR MÁXIMO E VALOR MINIMO RAÍZES E SINAIS DA FUNÇÃO INEQUAÇÕES EQUAÇÃO DO 2° GRAU DOMÍNIO ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO
  12. 12. 2G - Dante Equação do 2° grau Imagem da Função COORDENADAS DO Vértice Valores Máximo e Mínimo Inequações Abertura da parábola INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE Tabela de valores Taxa de variação Gráfico no Plano Cartesiano Definição Concavidade EIXO DE SIMETRIA SINAL DA FUNÇÃO ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO
  13. 13. EXP - Smole SITUAÇÕES PROBLEMA DEFINIÇÃO PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TABELA DE VALORES GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE INEQUAÇÃO EXPONENCIAL PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL EQUAÇÃO EXPONENCIAL ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO
  14. 14. EXP - Dante DEFINIÇÃO TABELA DE VALORES DOMÍNIO E IMAGEM FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE INEQUAÇÃO EXPONENCIAL INJETIVIDADE EQUAÇÃO EXPONENCIAL PROBLEMA INTRODUTÓRIO PROPRIEDADES DA POTÊNCIA GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO
  15. 15. LOG - Smole OPERADOR LOGARITMO PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA TABELA DE VALORES FUNÇÃO INVERSA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL EQUAÇÃO LOGARITMICA EQUAÇÃO EXPONENCIAL DEFINIÇÃO ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO
  16. 16. LOG - Iezzi DEFINIÇÃO GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO EQUAÇÃO LOGARÍTMICA INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS OPERADOR LOGARITMO FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE PROPRIEDADES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA ÁLGEBRA GEOMETRIA CÁLCULO
  17. 17. Algumas Considerações <ul><li>Qual o motivo desta omissão? </li></ul><ul><li>Qual a dificuldade em se tratar, no ensino médio, de assuntos como “variabilidade” ou “taxa de variação”? </li></ul><ul><li>Precisamos recuperar os “escolásticos”... </li></ul>
  18. 18. Atividades do Minicurso <ul><li>Resolver as questões 1, 3, 4 e 5 </li></ul><ul><li>Preencher o formulário </li></ul><ul><li>Não é necessário identificação </li></ul><ul><li>Duração: 30 minutos </li></ul><ul><li>Quem terminar, pode resolver as questões 2 e 6 </li></ul>
  19. 19. Algumas Propriedades Preliminares
  20. 20. Resolução Comentada <ul><li>1) A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem que passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou a ser observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia? </li></ul>70 1 160 130 100 40 Espaço (km) 4 3 2 0 Tempo (horas)
  21. 23. s é uma função afim do tipo s(t) = at +b <ul><li>Substituindo, temos: </li></ul><ul><li>40 = s(0) = a.0 + b = b -> b = 40 </li></ul><ul><li>70 = s(1) = a.1 + b -> a = 70 – b = 70 – 40 = 30 </li></ul><ul><li>Logo, s(t) = 30t + 40 </li></ul><ul><li>Como estamos procuramos s(120), basta substituir: </li></ul><ul><li>120 = 30.t + 40 -> t = 8/3 </li></ul><ul><li>Ou seja, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia depois de 2h e 40min. </li></ul>
  22. 24. <ul><li>2) Um estudante anotou a posição de um móvel ao longo do tempo e obteve a seguinte tabela: </li></ul>Calcular a posição do móvel nos instantes 5 s e 35 s. 81 20 125 30 45 10 237 177 17 Posição (cm) 50 40 0 Tempo (s)
  23. 28. s é uma função quadrática do tipo s(t) = at 2 +bt + c Substituindo, temos: Resolvendo o sistema, temos: Logo,
  24. 29. Como queremos a posição do móvel nos instantes 5s e 35s, basta achar s(5) e s(35): Ou seja, a posição do móvel no instante 5s era 30cm e no instante 35s era 150cm.
  25. 30. <ul><li>3) Uma escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte: </li></ul>Em que temperatura a água ferve na escala N? 100º 43º 0º 18º º N º C
  26. 32. t é uma função afim do tipo t(c) = ac +b <ul><li>Como estamos procuramos t(c) quando c = 100º C, basta substituir: </li></ul>Substituindo, temos: Logo, Ou seja, na escala N , a água ferve a 328º.
  27. 33. <ul><li>4) Uma pessoa possui um gravador de vídeo dotado de um contador que registra o número de voltas dadas pelo carretel da direita. A fita, de seis horas de duração, está parcialmente gravada. O contador indica 1750 ao final do trecho gravado e 1900 ao final da fita. Medindo o tempo de gravação correspondente às primeiras 100, 200, 300 e 400 voltas, foram encontrados os dados ao lado: </li></ul>Quanto tempo de gravação resta na fita? 2616 400 1863 300 1176 200 555 100 Tempo (t) Volta (n)
  28. 37. t é uma função quadrática do tipo t(n) = an 2 +bn + c Substituindo, temos: Resolvendo o sistema, temos:
  29. 38. Logo, Vamos encontrar agora o f(x) quando o contador marca o final do trecho gravado, ou seja: O tempo de gravação que ainda resta na fita é a diferença entre o tempo total da fita (6h = 6h.60min = 360min = 360min.60s = 21.600s) e o tempo de gravação (19.241,25s): 21.600s - 19.241,25s = 2.358,75s ou seja, 39min e 31s
  30. 39. <ul><li>5) Um ônibus de 48 lugares foi alugado para uma excursão. O preço por passageiro é de R$ 30,00 reais acrescido de uma taxa de 1 real por lugar vazio no ônibus. Determinar uma função que relacione o número de lugares vazios com a rentabilidade do dono do Ônibus. </li></ul>
  31. 40. <ul><li>6) (UERJ-2002) O movimento uniformemente acelerado de um objeto pode ser representado pela seguinte progressão aritmética: </li></ul><ul><li>7 11 15 19 23 27... </li></ul><ul><li>Estes números representam os deslocamentos, em metros, realizados pelo objeto, a cada segundo. Determine a função horária que descreve a posição deste objeto. (adaptado) </li></ul>
  32. 41. Referências <ul><li>BOTELHO, L.M.L. (2005) Funções Polinomiais na Educação Básica: Uma Proposta. Monografia de Pós-gradução. UFF, Niterói. </li></ul><ul><li>BOYER, C. B. História da Matemática. (1991) 2a edição. Edgard Blücher, São Paulo, tradução de Elza Gomide de título original, Edgard Blucher, S. Paulo, 1974. </li></ul><ul><li>BOYER, C. B. (1949) The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover Publications Inc., New York. </li></ul><ul><li>CABRAL, T. C. B. (1998) Contribuições da Psicanálise à Educação Matemática: A Lógica da Intervenção nos Processos de Aprendizagem. Tese de Doutorado. USP, São Paulo. </li></ul><ul><li>CARAÇA, B. de J. (1989) Conceitos Fundamentais da Matemática. 9a edição. Livraria Sá da Costa Editora, Lisboa. </li></ul><ul><li>LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P., WAGNER, E. & MORGADO, A.C. (2001) A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. v. 1. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro </li></ul>
  33. 42. <ul><li>KLINE, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, v.1. Oxford University Press, de Oxford, Inglaterra.. </li></ul><ul><li>REZENDE, W. M. (2003a) O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese de Doutorado. USP, São Paulo. </li></ul><ul><li>REZENDE, W. M. (2003b) Uma Proposta Didática de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico. Projeto de Pesquisa. UFF, Niterói. </li></ul><ul><li>RÜTHING, D. (1984) Some Definitions of The Concept of Function from Joh. Bernoulli to N. Bourbaki. The Mathematical Intelligencer, v. 6, (4), 72-77. </li></ul><ul><li>SIERPINSKA, A. (1987) Humanities Students and Epistemological Obstacles Related to Limits. Educational Studies in Mathematics, 18. </li></ul><ul><li>SOUZA SÁ, S. L. de (2005) Um Mapeamento do Ensino de Funções Exponenciais e Logarítmicas no Ensino Básico. Monografia de Pós-gradução. UFF, Niterói. </li></ul>
  34. 43. Cronograma do Minicurso <ul><li>Recepção inscritos – 14:00h às 14:15h </li></ul><ul><li>Apresentação – 14:15h às 14:45h </li></ul><ul><li>Atividades propostas – 14:45h às 15:15h </li></ul><ul><li>Modelagem – 15:15h às 16:15h </li></ul><ul><li>Intervalo – 16:15h às 16:30h </li></ul><ul><li>Resolução Comentada - 16:30h às 17:00h </li></ul><ul><li>Opção extra – 17:00h às 17:15h </li></ul><ul><li>Avaliação final – 17:15h às 17:30h </li></ul>

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