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Mat3 calculo integral
 

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    Mat3 calculo integral Mat3 calculo integral Document Transcript

    • ´CAPITULO 3 ´CALCULO INTEGRAL1. ´ INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO • Concepto de area ´ • Integraci´ n de funciones trigonom´ tricas o e • Sumas de Riemann • Integrales irracionales • Integral definida • Area de la regi´ n entre dos curvas o • Propiedades de la integral definida • Volumen de un s´ lido de revoluci´ n o o • Integral indefinida • Longitud de arco de una curva • Propiedades de la integral indefinida • Area de una superficie de revoluci´ n o • Teorema Fundamental del C´ lculo Integral a • Integral impropia • Integraci´ n por cambio de variable o • Regla del punto medio • Integraci´ n por partes o • Regla del trapecio • Integraci´ n de funciones racionales o • Regla de Simpson2. ´ CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPITULO ´2.1. El problema del area ´En esta secci´ n partimos de la base que el concepto de area es bien conocido. Esto no significa que el alumno odeba tener una idea precisa y formal de dicho concepto, si no m´ s bien que todos poseemos una idea intuitiva que ano necesita aclaraci´ n. o o a a ´El tipo de regi´ n m´ s simple con el que nos podemos encontrar es un rect´ ngulo, cuya area se define como o o ´el producto de su base por su altura. A partir de esta definici´ n podemos obtener las f´ rmulas para el area deregiones m´ s complicadas: tri´ ngulos, paralelogramos, pol´gonos regulares, etc. El gran problema se plantea a a ı ´cuando se intenta calcular el area de regiones m´ s generales que las poligonales. aLos primeros matem´ ticos que intentaron resolver el problema de una forma seria fueron los griegos, utilizando el am´ todo de “exhauci´ n”. Este m´ todo, atribuido a Arqu´medes, consiste en encajar la regi´ n entre dos pol´gonos, e o e ı o ı ´uno inscrito y otro circunscrito. Si la diferencia entre las areas de los dos pol´gonos es peque˜ a, entonces podemos ı n ´ ´ ´aproximar el area de la regi´ n por cualquier n´ mero comprendido entre el area del pol´gono inscrito y el area del o u ıpol´gono circunscrito. ıEl m´ todo que emplearemos aqu´ es parecido. Se trata de aproximar la regi´ n por una uni´ n de rect´ ngulos de tal e ı o o a
    • 62 ´ MATEM ATICAS ´ ´forma que el area de la regi´ n se aproxime por la suma de las areas de los rect´ ngulos. o a2.2. La integral definida2.2.1. El sumatorio ´Como hemos indicado anteriormente, el area de una regi´ n se va a obtener como una suma (posiblemente infinita) o ´de areas de rect´ ngulos. Para facilitar la escritura y comprensi´ n de tal proceso, vamos a introducir una notaci´ n. a o oLa suma de n t´ rminos a1 , a2 , . . . , an se denota por e n ai = a1 + a2 + · · · + an , i=1donde i se llama ´ndice de la suma, ai el i-´ simo t´ rmino de la suma y los l´mites inferior y superior de la ı e e ısuma son 1 y n, respectivamente. Estos l´mites deben ser constantes con respecto al ´ndice de la suma y la unica ı ı ´restricci´ n es que el l´mite superior debe ser cualquier entero superior (o igual) al l´mite inferior. o ı ıEl sumatorio posee las siguientes propiedades: n n (1) kai = k ai , donde k es una constante que no depende del ´ndice de la suma. ı i=1 i=1 n n n (2) [ai ± bi ] = ai ± bi i=1 i=1 i=1Por ejemplo, algunas f´ rmulas de suma importantes son las siguientes: o n (1) c = cn. i=1 n n(n + 1) (2) i= . i=1 2 n n(n + 1)(2n + 1) (3) i2 = . i=1 6 n n2 (n + 1)2 (4) i3 = . i=1 42.2.2. Sumas de RiemannConsideremos una funci´ n f definida en el intervalo cerrado [a, b]. Una partici´ n P de dicho intervalo es un o oconjunto de n´ meros {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } tales que u a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.
    • ´C ALCULO INTEGRAL 63Si ∆xi es la anchura del i-´ simo subintervalo [xi−1 , xi ], es decir, ∆xi = xi − xi−1 , entonces se define la norma ede P, y se denota por ||P ||, como la longitud del subintervalo m´ s grande. En otras palabras, a ||P || = max {∆xi } = max{∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn }. 1 i nSi ci es cualquier punto del subintervalo i-´ simo, entonces la suma e n f (ci )∆xi , xi−1 ci xi , i=1se llama suma de Riemann de la funci´ n f asociada a la partici´ n P . Entre todos los posibles valores de ci , o opodemos destacar los siguientes: (1) ci = mi para todo i, donde f (mi ) es el valor m´nimo de f en el i-´ simo subintervalo. Entonces la suma de ı e Riemann n s(f, P ) = f (mi )∆xi i=1 se denomina suma inferior de f asociada a P (ver Figura 3.1). y y = f (x) ¹ x 0 a b Figura 3.1: Suma inferior de Riemann. (2) ci = Mi para todo i, donde f (Mi ) es el valor m´ ximo de f en el i-´ simo subintervalo. Entonces la suma a e de Riemann n S(f, P ) = f (Mi )∆xi i=1 se denomina suma superior de f asociada a P (ver Figura 3.2). nEs f´ cil comprobar que s(f, P ) a f (ci )∆xi S(f, P ) para cualquier partici´ n P del intervalo [a, b]. o i=1Una funci´ n f definida en [a, b] se dice integrable en [a, b] si existe el l´mite de las sumas de Riemann de f o ı(cuando la norma de P tiende a 0) y denotamos este l´mite mediante ı n b lim f (ci )∆xi = f (x)dx. ||P ||→0 a i=1
    • 64 ´ MATEM ATICAS y = f (x) y ¹ x 0 a b Figura 3.2: Suma superior de Riemann.Dicho valor se denomina integral definida de f entre a y b. a y b son los l´mites inferior y superior de integraci´ n, ı orespectivamente.No todas las funciones son integrables. Sin embargo, el siguiente resultado nos garantiza que la familia de funcio-nes integrables en un intervalo es muy grande: “Toda funci´ n continua en un intervalo cerrado [a, b] es integrable oen dicho intervalo ”. o ´La relaci´ n entre el area de una regi´ n y el concepto de integral definida queda reflejada en el siguiente resultado: o ´Si f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a, b], entonces el area de la regi´ n limitada por f , el eje x oy las l´neas verticales x = a y x = b viene dada por ı b ´ area = f (x)dx. a2.2.3. Propiedades de la integral definidaLa integral definida de una funci´ n f satisface las siguientes propiedades: o a (1) f (x)dx = 0. a a b (2) f (x)dx = − f (x)dx. b a b (3) cdx = c(b − a). a b b b (4) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx. a a a b b (5) cf (x)dx = c f (x)dx. a a
    • ´C ALCULO INTEGRAL 65 b c b (6) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c (7) Si f es no negativa en el intervalo cerrado [a, b] entonces b f (x)dx 0. a (8) Si f y g son integrables en [a, b] satisfaciendo que f (x) g(x) para todo valor de x en [a, b], entonces b b f (x)dx g(x)dx. a a (9) Si m f (x) M para todo valor de x en [a, b] entonces b m(b − a) f (x)dx M (b − a). a b b(10) f (x)dx |f (x)|dx. a a2.3. La integral indefinidaEl problema de la integraci´ n puede interpretarse como el problema dual de la derivaci´ n, y tal relaci´ n queda o o oclaramente de manifiesto en el Teorema Fundamental del C´ lculo. Antes de llegar a este teorema important´simo, a ınecesitamos introducir el concepto de primitiva (o antiderivada).Sean f y F dos funciones. Se dice que F es una primitiva (o antiderivada) de la funci´ n f si F (x) = f (x) opara todo valor posible de x.El siguiente resultado es de una importancia crucial, ya que nos garantiza que cualquier primitiva de una funci´ n opuede ser obtenida mediante la adici´ n de una constante a una primitiva conocida. Esta ser´ la base del segundo o ateorema del c´ lculo integral o Regla de Barrow. aSi F es una primitiva de f en un intervalo I , entonces G es tambi´ n una primitiva de F en el intervalo I si y s´ lo e osi G(x) = F (x) + Cpara todo valor de x, siendo C una constante.Como una notaci´ n, cualquier primitiva de la funci´ n f se indicar´ por o o a f (x)dx,y se denominar´ , gen´ ricamente, integral indefinida de f . a eComo consecuencia de lo anterior y de las propiedades de la derivaci´ n de funciones, se tienen las siguientes opropiedades: (1) 0dx = C. (2) kdx = kx + C.
    • 66 ´ MATEM ATICAS (3) kf (x) = k f (x)dx. (4) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx. xn+1 (5) xn dx = + C. n+12.3.1. Primer Teorema Fundamental del C´ lculo Integral aSi f es una funci´ n continua en [a, b], entonces la funci´ n F definida por o o x F (x) = f (t)dt aes continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y satisface que F (x) = f (x).2.3.2. Segundo Teorema Fundamental del C´ lculo Integral aSi f es una funci´ n continua en [a, b] entonces o b f (x)dx = F (b) − F (a) adonde F es cualquier primitiva de f en el intervalo [a, b].2.4. M´ todos de integraci´ n e o2.4.1. Integrales de las funciones elementalesLas reglas del c´ lculo integral descritas anteriormente permiten encontrar la integral indefinida de ciertas funcio- a a a ´nes a partir de la integral indefinida de otras funciones m´ s elementales o b´ sicas. Pero en ultimo extremo, laintegral indefinida de estas funciones b´ sicas debe obtenerse a partir de la definici´ n. Para facilitar la b´ squeda de a o uintegrales indefinidas, en la Tabla 3.1 listamos algunas de las m´ s elementales; la lista no es demasiado exhaustiva ay siempre se puede recurrir a cualquiera de los libros recomendados para obtener una tabla m´ s completa. a2.4.2. Integraci´ n por cambio de variable oEl m´ todo de integraci´ n por sustituci´ n o cambio de variable se apoya en el siguiente resultado te´ rico. e o o o
    • ´C ALCULO INTEGRAL 67 xn+1 kdx = kx + C xn dx = +C n+1 1 dx = ln |x| + C ex dx = ex + C x ax ax dx = +C cos xdx = sen x + C ln a sen xdx = − cos x + C tan xdx = − ln | cos x| + C cotan xdx = ln | sen x| + C sec xdx = ln | sec x + tan x| + C cosec xdx = − ln | cosec x + cotan x| + C sec2 xdx = tan x + C cosec2 xdx = − cotan x + C sec x tan xdx = sec x + C dx x cosec x cotan xdx = − cotan x + C √ = arcsen + C a2 −x 2 a dx 1 x dx 1 |x| = arctan + C √ = arcsec +C a2 +x 2 a a x x 2 − a2 a a cosh xdx = senh x + C senh xdx = cosh x + C ´ ´ ´ Tabla 3.1: Formulas basicas de integracion.
    • 68 ´ MATEM ATICASSean f y g funciones tales que f ◦ g es una funci´ n continua en un intervalo I . Si F es una primitiva de f en I , oentonces f (g(x))g (x)dx = F (g(x)) + C.Como consecuencia de lo anterior, podemos utilizar la siguiente estrategia: (1) Escoger una sustituci´ n u = g(x) adecuada. o (2) Hallar du = g (x)dx. (3) Reescribir la integral en t´ rminos de la nueva variable u. e (4) Calcular la integral resultante en t´ rminos de u. e (5) Cambiar u por g(x) para obtener la primitiva en t´ rminos de x. e2.4.3. Integraci´ n por partes o e ´Esta t´ cnica es especialmente util cuando la funci´ n a integrar es un producto de funciones algebraicas o trascen- odentes, de tal suerte que un factor se deriva f´ cilmente y otro factor se integra sin mucha dificultad. El m´ todo se a esustenta en el siguiente resultado te´ rico: oSi u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces udv = uv − vdu.La estrategia que debe utilizarse para utilizar este m´ todo es la siguiente: e (1) Tratar de que dv sea la parte m´ s complicada del integrando que se ajusta a una f´ rmula de integraci´ n a o o b´ sica. Entonces u ser´ el resto del integrando. a a (2) Alternativamente, tratar de que u sea la parte del integrando cuya derivada es una funci´ n m´ s simple que o a u. Entonces dv ser´ el factor restante del integrando. aAlgunas de las integrales por partes m´ s comunes se ofrecen a continuaci´ n: a o (1) xn eax dx, xn sen axdx, xn cos axdx Considerar u = xn y dv = eax dx, sen axdx, cos axdx, respectivamente. (2) xn ln xdx, xn arcsen axdx, xn arctan axdx Considerar u = ln x, arcsen ax, arctan ax y dv = xn dx, respectivamente. (3) eax cos bxdx, eax sen bxdx Tomar u = cos bx, sen bx y dv = eax dx, respectivamente.
    • ´C ALCULO INTEGRAL 692.4.4. Integraci´ n de funciones racionales oLa integraci´ n de funciones racionales se apoya en la t´ cnica de la descomposici´ n en fracciones simples, cuya o e ointegraci´ n es m´ s sencilla. Sea la funci´ n racional R(x), donde o a o P (x) b0 + b1 x + · · · + bn xn R(x) = = . Q(x) a 0 + a 1 x + · · · + a m xmR es una funci´ n racional propia si el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, es decir m > on. En caso contrario, la funci´ n R se dice que es impropia. Podemos restringirnos, sin p´ rdida de generalidad, al o ecaso de funciones racionales propias, ya que de no ser as´ siempre podemos dividir el polinomio P entre Q para ıobtener S(x) R(x) = C(x) + , Q(x)donde la funci´ n racional S(x)/Q(x) ya es propia. oPara descomponer una funci´ n racional propia en fracciones simples debemos seguir los siguientes pasos: o (1) Factorizar el denominador. Hay que descomponer completamente el denominador Q(x) en factores de la forma (px + q)k y (ax2 + bx + c)k , donde ax2 + bx + c es irreducible (tiene ra´ces complejas). ı (2) Factores lineales. Por cada factor de la forma (px+q)k , la descomposici´ n en factores simples debe incluir o la siguiente suma de k fracciones simples: A1 A2 Ak + + ··· + . (px + q) (px + q)2 (px + q)k (3) Factores cuadr´ ticos. Por cada factor de la forma (ax2 + bx + c)k , la descomposici´ n en factores simples a o debe incluir la siguiente suma de k fracciones: B1 x + C 1 B2 x + C2 Bk x + Ck + + ··· + . (ax2 + bx + c) (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)kCuando el denominador tiene factores de multiplicidad mayor que uno, entonces la obtenci´ n de la integral indefi- onida puede ser muy laboriosa. En estos casos es recomendable utilizar el siguiente m´ todo, que tambi´ n es v´ lido e e aen cualquier otra situaci´ n. o2.4.4.1. M´ todo de Hermite-Ostrogradski eConsideremos la funci´ n racional R = P/Q, entonces o P (x) X(x) Y (x) dx = + dx, Q(x) Q1 (x) Q2 (x)donde Q1 (x) es el m´ ximo com´ n divisor de Q(x) y de su derivada Q (x), Q2 (x) es el cociente Q(x)/Q1 (x), a uy los polinomios X(x) e Y (x) son polinomios con coeficientes indeterminados cuyos grados son inferiores enuna unidad a los grados de Q1 (x) y Q2 (x), respectivamente. Los polinomios X e Y se calculan derivando en laigualdad anterior, de forma que se tiene P (x) X (x)Q1 (x) − Q1 (x)X(x) Y (x) = + . Q(x) Q1 (x)2 Q2 (x)
    • 70 ´ MATEM ATICAS2.4.5. Integraci´ n de funciones trigonom´ tricas o e2.4.5.1. Integrales de senos y cosenosEn este apartado vamos a resolver las integrales de la forma senm x cosn xdx,siendo m o n un entero positivo. Se deben seguir las siguientes reglas: (1) Si n = 2k + 1 es impar, n > 1, entonces se utilizan las igualdades siguientes: cosn x = cosn−1 x cos x cos2 x = 1 − sen2 x y la integral queda senm x cosn xdx = senm x(1 − sen2 x)k cos xdx = tm (1 − t2 )k dt donde la ultima igualdad se obtiene tras realizar el cambio de variable t = sen x. ´ (2) Si m = 2k + 1 es impar, m > 1, entonces se utilizan las igualdades siguientes: senm x = senm−1 x sen x sen2 x = 1 − cos2 x y la integral queda senm x cosn xdx = (1 − cos2 x)k cosn x sen xdx = − tn (1 − t2 )k dt donde la ultima igualdad se obtiene tras realizar el cambio de variable t = cos x. ´ (3) Si m y n son pares y no negativos entonces se utilizan las siguientes f´ rmulas de reducci´ n: o o 1 sen x cos x = sen 2x 2 1 sen2 x = (1 − cos 2x) 2 1 cos2 x = (1 + cos 2x) 22.4.5.2. Integrales de secantes y tangentesEn este apartado vamos a resolver las integrales de la forma secm x tann xdx,siendo m o n un entero positivo. Se deben seguir las siguientes reglas:
    • ´C ALCULO INTEGRAL 71 (1) Si m = 2k es positivo y par, entonces utilizamos la igualdad sec2 x = 1 + tan2 x y la integral queda: secm x tann xdx = (sec2 x)k−1 tann x sec2 xdx = (1 + tan2 x)k−1 tann x sec2 xdx = (1 + u2 )k−1 un du donde la ultima igualdad se obtiene mediante el cambio de variable u = tan x. (2) Si n = 2k + 1 es positivo e impar, entonces utilizamos la igualdad tan2 x = sec2 x − 1 y la integral queda: secm x tann xdx = secm−1 x(tan2 x)k sec x tan xdx = secm−1 x(sec2 x − 1)k sec x tan xdx = um−1 (u2 − 1)k du donde la ultima igualdad se obtiene mediante el cambio de variable u = sec x. (3) Si m y n son impares, se transforma un factor tan2 x en sec2 x − 1 y se aplican los casos anteriores. Si es necesario, se vuelve a aplicar esta transformaci´ n. o (4) Si n = 0 y m es impar y positivo, entonces se utiliza integraci´ n por partes: o u = secm−2 x dv = sec2 xdx (5) Si n = 0 y m es par y positivo, se utiliza el cambio de variable t = tan x y la integral queda m−2 m−2 m−2 secm xdx = (sec2 x) 2 sec2 x = (1 + tan2 x) 2 sec2 xdx = (1 + t2 ) 2 dt (6) Si no se puede aplicar ninguna de las reglas anteriores, debemos intentar convertir la integral a senos y cosenos.2.4.5.3. Cambios de variable trigonom´ tricos eLas sustituciones trigonom´ tricas se emplean en integrales donde aparacen los siguientes radicales: e a 2 − x2 , a 2 + x2 , x2 − a 2 .Los cambios que deben hacerse son los siguientes: √ √ (1) Para integrales que contienen a2 − x2 , hacer x = a sen t. Entonces a2 − x2 = a cos t. √ √ (2) Para integrales que contienen a2 + x2 , hacer x = a tan t. Entonces a2 + x2 = a sec t. √ √ (3) Para integrales que contienen x2 − a2 , hacer x = a sec t. Entonces a2 − x2 = ±a tan t. El signo + o − depende de si x > a o x < −a, respectivamente.
    • 72 ´ MATEM ATICAS2.4.5.4. Funciones racionales de senos y cosenosPara las integrales de funciones racionales en senos y cosenos existen varios cambios de variable especiales. Setrata de calcular la integral R(sen x, cos x)dx,donde R es una funci´ n racional. Los cambios apropiados son los siguientes: o (1) Si R es impar en sen x, es decir, R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x), entonces debemos hacer t = cos x. (2) Si R es impar en cos x, es decir, R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x), entonces debemos hacer t = sen x. (3) Si R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x), entonces debemos hacer t = tan x. (4) Si no se puede aplicar ninguno de los casos anteriores, entonces hacemos el cambio universal t = tan(x/2), de modo que 2t sen x = , 1 + t2 1 − t2 cos x = , 1 + t2 2dt dx = . 1 + t22.4.6. Integrales irracionalesNo siempre es posible expresar la integral de una funci´ n irracional mediante funciones elementales. En esta osecci´ n veremos algunos tipos de funciones irracionales que s´ permiten expresar su integral indefinida por medio o ıde funciones elementales.2.4.6.1. Integrales del tipo R(x, xp1 /q1 , . . . , xpk /qk )dxSe efect´ a la sustituci´ n u o x = tm ,siendo m el m´nimo com´ n m´ ltiplo de {q1 , q2 , . . . , qk }. ı u u p1 /q1 pk /qk ax + b ax + b2.4.6.2. Integrales del tipo R(x, ,..., )dx cx + d cx + dSe efect´ a la sustituci´ n u o ax + b = tm , cx + dsiendo m el m´nimo com´ n m´ ltiplo de {q1 , q2 , . . . , qk }. ı u u
    • ´C ALCULO INTEGRAL 732.4.6.3. Integrales del tipo R(x, ax2 + bx + c)dxSe efect´ an las siguientes sustituciones: u (1) Si a > 0 entonces hacemos √ ax2 + bx + c = ± ax + t, con lo que t2 − c x= √ . b − 2 at (2) Si ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β), siendo α y β las ra´ces reales, entonces hacemos ı ax2 + bx + c = (x − α)t, de modo que aβ − αt2 x= . a − t22.4.6.4. Integrales del tipo xm (a + bxn )p dxEstas integrales se conocen con el nombre de integrales binomias, y los exponentes m, n y p deben ser n´ meros uracionales. En primer lugar se realiza el cambio de variable t = xn y la integral se transforma en la siguiente 1 xm (a + bxn )p dx = tq (a + bt)p dt, n m+1donde q = − 1. La integral anterior se puede calcular expl´citamente en los siguientes casos: ı n (1) Si p es entero entonces se desarrolla el binomio (a + bt)p o (a + bt)−p , seg´ n sea p positivo o negativo, y u se obtiene una integral irracional del tipo R(x, xp1 /q1 , . . . , xpk /qk ). (2) Si p no es entero pero q s´ lo es, entonces la integral se transforma en una irracional del tipo R(t, (a+bt)r/s ). ı (3) Si p no es entero pero p + q s´, entonces la integral se transforma en una integral irracional del tipo ı r/s a + bt R t, . t2.5. Aplicaciones del c´ lculo integral a2.5.1. Area de la regi´ n entre dos curvas o ´Ya hemos visto que el area que hay bajo una curva se puede calcular utilizando la integral definida. Con muyescasas modificaciones podemos calcular el area que hay entre dos curvas. Consideremos dos funciones f y g ´
    • 74 ´ MATEM ATICASdefinidas en un intervalo [a, b] tales que f (x) g(x) para todo valor x de [a, b]. Entonces el area de la regi´ n ´ olimitada por las gr´ ficas de f y g y las l´neas rectas x = a y x = b viene dada por a ı b A= [f (x) − g(x)]dx. a ´ ´ Figura 3.3: Area de la region comprendida entre dos graficas.En general, puede ocurrir que no siempre se verifique f (x) g(x) ni lo contrario. Entonces debemos dividir elintervalo [a, b] en subintervalos donde s´ ocurra, aplicar la f´ rmula anterior en cada subintervalo y posteriormente ı osumar los resultados. En otras palabras: ´El area de la regi´ n limitada por las gr´ ficas de dos funciones f y g , y las l´neas rectas x = a y x = b viene dada o a ıpor b A= |f (x) − g(x)|dx. a2.5.2. C´ lculo de volumenes de los s´ lidos de revoluci´ n a ´ o oEn esta secci´ n vamos a calcular el volumen de un s´ lido tridimensional que aparece frecuentemente en ingenier´a o o ıy en procesos de producci´ n. Nos estamos refiriendo a los s´ lidos de revoluci´ n, los cuales se obtienen al hacer o o ogirar una regi´ n plana alrededor de una recta contenida en el mismo plano y que no corta a la regi´ n. Ejemplos de o os´ lidos de revoluci´ n son el cilindro circular recto, la esfera y el toro. o o2.5.2.1. M´ todo de discos ePara calcular el volumen de un s´ lido de revoluci´ n por el m´ todo de discos, debemos utilizar las siguientes o o ef´ rmulas: o (1) Si el eje de revoluci´ n es horizontal: o b V =π [R(x)]2 dx. a En este caso estamos suponiendo que la regi´ n plana que gira es la regi´ n limitada por la gr´ fica de R(x), o o a el eje x, y las l´neas rectas x = a y x = b. Como eje de revoluci´ n se considera el eje x. ı o
    • ´C ALCULO INTEGRAL 75 ´ ´ Figura 3.4: Metodo de discos para el calculo de volumenes. ´ (2) Si el eje de revoluci´ n es vertical: o d V =π [R(y)]2 dy. c En este caso estamos suponiendo que la regi´ n plana que gira es la regi´ n limitada por la gr´ fica de R(y), o o a el eje y, y las l´neas rectas y = c y y = d. Como eje de revoluci´ n se considera el eje y. ı o2.5.2.2. M´ todo de arandelas eSe utiliza este m´ todo cuando se trata de calcular el volumen de un s´ lido de revoluci´ n con un agujero. Este e o otipo de s´ lidos aparecen cuando la regi´ n plana que gira y el eje de revoluci´ n no est´ n juntos. Supongamos que o o o ala regi´ n plana es la regi´ n determinada por las gr´ ficas de las funciones R(x) y r(x) (con R(x) r(x)), y las o o al´neas rectas x = a y x = b. Si se gira esta regi´ n alrededor del eje x entonces el volumen del s´ lido resultante es ı o o b V =π [R(x)2 − r(x)2 ]dx. aSi la regi´ n plana es la regi´ n determinada por las gr´ ficas de las funciones R(y) y r(y) (con R(y) o o a r(y)), y las ´ ´ Figura 3.5: Metodo de arandelas para el calculo de volumenes. ´
    • 76 ´ MATEM ATICASl´neas rectas y = c y y = d. y se gira esta regi´ n alrededor del eje y entonces el volumen del s´ lido resultante es ı o o d V =π [R(y)2 − r(y)2 ]dy. c2.5.2.3. M´ todo de capas eConsideremos la regi´ n plana determinada por la gr´ fica de una funci´ n f (x), y las rectas x = a, x = b e y = c. o a oEl volumen del s´ lido de revoluci´ n obtenido al girar dicha regi´ n alrededor de un eje vertical x = x0 viene dado o o opor b V = 2π p(x)h(x)dx, adonde p(x) es la distancia de x al eje de revoluci´ n y h(x) es la distancia entre c y f (x). Usualmente, el eje de orevoluci´ n es el eje y y la regi´ n est´ junto al eje x, por lo que p(x) = x y h(x) = f (x). o o a ´ ´ Figura 3.6: Metodo de capas para el calculo de volumenes. ´Si consideramos la regi´ n plana determinada por la gr´ fica de una funci´ n f (y), y las rectas y = c, y = d y x = a, o a oel volumen del s´ lido de revoluci´ n obtenido al girar dicha regi´ n alrededor de un eje horizontal y = y0 viene o o odado por d V = 2π p(y)h(y)dy, cdonde p(y) es la distancia de y al eje de revoluci´ n y h(y) es la distancia entre a y f (y). Cuando el eje de orevoluci´ n es el eje x y la regi´ n est´ junto al eje y, entonces p(y) = y y h(y) = f (y). o o a2.5.3. C´ lculo de volumenes a ´Analicemos ahora un s´ lido S cualquiera. Vamos a suponer que existe una recta, que consideraremos el eje x, oy dos planos paralelos entre s´ y perpendiculares al eje, tales que el s´ lido se encuentra entre ambos planos (de ı oecuaciones x = a y x = b). Cada plano x = x0 , a x0 b, paralelo a los anteriores y perpendicular al ejeintersecciona a S seg´ n una regi´ n (denominada secci´ n transversal) cuya area se denota por A(x0 ). Haciendo u o o ´esto para cada valor x0 en el intervalo [a, b] podemos construir una funci´ n A(x), definida en [a, b], que mide el oarea de las secciones transversales. Entonces el volumen de S viene dado por´ b V = A(x)dx. a
    • ´C ALCULO INTEGRAL 77Casos particulares de esta f´ rmula han sido obtenidos en la secci´ n anterior dedicada a los s´ lidos de revoluci´ n. o o o o2.5.4. Longitudes de curvasUn segmento de curva se dice rectificable si tiene una longitud de arco finita. El problema de determinar la lon-gitud de una curva es muy antiguo (algunas contribuciones ya fueron realizadas por los matem´ ticos C. Huygens a(1629–1695) y J. Gregory (1638–1675)) y no por ello es sencillo. Una condici´ n suficiente para que la gr´ fica de o auna funci´ n f sea rectificable entre los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) es que la derivada f sea una funci´ n continua o oen [a, b]. Se dice entonces que la funci´ n f es continuamente derivable o de clase C 1 . oEl fundamento te´ rico que nos permite obtener una f´ rmula para la longitud de arco es el siguiente. Consideremos o odos puntos xi−1 y xi en el intervalo [a, b]. Entonces por el teorema del valor medio se tiene f (xi ) − f (xi−1 ) = f (ci )(xi − xi−1 ), ci ∈ (xi−1 , xi ).Si aproximamos la longitud de arco de la curva por la longitud de una poligonal que se apoya en los puntos{(xi , f (xi ))} entonces al tomar l´mites se obtiene ı n Lb (f ) = a lim (∆xi )2 + (∆yi )2 n→∞ i=1 n 2 ∆yi = lim 1+ ∆xi n→∞ i=1 ∆xi n = lim 1 + f (ci )2 ∆xi n→∞ i=1 b = 1 + f (x)2 dx adonde ∆xi = xi − xi−1 y ∆yi = f (xi ) − f (xi−1 ).En consecuencia, obtenemos las siguientes f´ rmulas: o (1) Si la funci´ n y = f (x) representa una curva suave en el intervalo [a, b], la longitud de arco de f entre a y b o viene dada por b Lb (f ) = a 1 + f (x)2 dx. a (2) Si la funci´ n x = g(y) representa una curva suave en el intervalo [c, d], entonces la longitud de arco de g o entre c y d es d Ld (g) = c 1 + g (y)2 dy. c2.5.5. Areas de superficies de revoluci´ n oSi se gira la gr´ fica de una funci´ n continua alrededor de una recta, la superficie resultante se denomina superficie a o o ´ o o ´de revoluci´ n. Para calcular el area de una superficie de revoluci´ n se parte de la f´ rmula del area de un troncode cono circular recto y se aplica a los conos obtenidos al rectificar la curva por medio de una poligonal que seapoya en los puntos {(xi , f (xi ))}. El resultado obtenido es el siguiente.
    • 78 ´ MATEM ATICAS ´Si y = f (x) tiene derivada continua en el intervalo [a, b], entonces el area de la superficie de revoluci´ n S formada oal girar la gr´ fica de f alrededor de un eje horizontal o vertical es a b S = 2π r(x) 1 + f (x)2 dx, adonde r(x) es la distancia entre la gr´ fica de f y el eje de revoluci´ n correspondiente. a o2.6. Integrales impropiasLa definici´ n de integral definida que hemos presentado requiere que el intervalo [a, b] de integraci´ n sea finito y o oque la funci´ n f a integrar sea continua. Sin embargo, existen funciones que no cumplen estos requisitos (bien oporque el intervalo no es finito o bien porque la funci´ n f presenta alguna discontinuidad) y que, sin embargo, opueden ser integradas, en un sentido que precisaremos a continuaci´ n. o2.6.1. Intervalos infinitosCuando el intervalo de integraci´ n es infinito, se pueden presentar las siguientes posibilidades: o y y = f (x) ¹ 0 a x Figura 3.7: Integrales impropias de primera clase. (1) Si f es continua en [a, ∞), entonces ∞ b f (x)dx = lim f (x)dx. a b→∞ a (2) Si f es continua en (−∞, b], entonces b b f (x)dx = lim f (x)dx. −∞ a→−∞ a (3) Si f es continua en (−∞, ∞) = R, entonces ∞ c ∞ f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. −∞ −∞ c para cualquier n´ mero real c. u
    • ´C ALCULO INTEGRAL 79Si los l´mites existen, la integral correspondiente se dice que converge o que es convergente; en caso contrario, ıdiremos que la integral diverge o que es divergente.2.6.2. Integrandos discontinuosEn este apartado analizamos la integrales impropias que aparecen cuando existe alguna discontinuidad infinita enlos l´mites de integraci´ n o en el interior del intervalo. Se pueden presentar las siguientes posibilidades: ı o y y = f (x) ¹ 0 a c b x Figura 3.8: Integrales impropias de segunda clase. (1) Si f es continua en [a, b) y presenta una discontinuidad infinita en b, entonces b c f (x)dx = lim− f (x)dx. a c→b a (2) Si f es continua en (a, b] y presenta una discontinuidad infinita en a, entonces b b f (x)dx = lim+ f (x)dx. a c→a c (3) Si f es continua en [a, b] excepto en un punto c ∈ (a, b) donde presenta una discontinuidad infinita, entonces b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a cSi los l´mites existen, la integral correspondiente se dice que converge o que es convergente; en caso contrario, ıdiremos que la integral diverge o que es divergente.2.7. Integraci´ n num´ rica o eHay ocasiones en las que es imposible determinar expl´citamente la integral indefinida de una funci´ n, por lo ı o ´que no podemos calcular el area que hay bajo la gr´ fica de la funci´ n utilizando la Regla de Barrow. En estos a ocasos, s´ lo nos queda recurrir al c´ lculo num´ rico de dichas integrales, utilizando una t´ cnica de aproximaci´ n. o a e e oA continuaci´ n describimos algunos de los m´ todos m´ s sencillos. o e a
    • 80 ´ MATEM ATICAS2.7.1. Regla de las sumas inferiores y superiores bSea f una funci´ n continua en [a, b]. La regla de las sumas inferiores para aproximar o a f (x)dx viene dada por n b b−a b−a f (x)dx ≈ f (mi ) = [f (m1 ) + f (m2 ) + · · · + f (mn )], a n i=1 ndonde f (mi ) es el valor m´nimo de f en el i-´ simo subintervalo [xi−1 , xi ]. ı e bAn´ logamente, la regla de las sumas superiores para aproximar a a f (x)dx viene dada por n b b−a b−a f (x)dx ≈ f (Mi ) = [f (M1 ) + f (M2 ) + · · · + f (Mn )], a n i=1 ndonde f (Mi ) es el valor m´ ximo de f en el i-´ simo subintervalo [xi−1 , xi ]. a e2.7.2. Regla de los extremos izquierdos y derechos bSea f una funci´ n continua en [a, b]. La regla de los extremos izquierdos para aproximar a f (x)dx viene dada opor n b b−a b−a f (x)dx ≈ f (xi−1 ) = [f (x0 ) + f (x1 ) + · · · + f (xn−1 )]. a n i=1 n bAn´ logamente, la regla de los extremos derechos para aproximar a a f (x)dx viene dada por n b b−a b−a f (x)dx ≈ f (xi ) = [f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )]. a n i=1 n2.7.3. Regla del punto medio bSea f una funci´ n continua en [a, b]. La regla del punto medio para aproximar o a f (x)dx viene dada por n b b−a b−a f (x)dx ≈ f (¯i ) = x [f (¯1 ) + f (¯2 ) + · · · + f (¯n )], x x x a n i=1 ndonde xi es el punto medio del i-´ simo subintervalo [xi−1 , xi ], es decir, xi = 1 (xi−1 + xi ). ¯ e ¯ 22.7.4. Regla del trapecio bSea f una funci´ n continua en [a, b]. La regla del trapecio para aproximar o a f (x)dx viene dada por n b b−a f (xi−1 ) + f (xi ) b−a f (x)dx ≈ = [f (a) + 2f (x1 ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (b)]. a n i=1 2 2n
    • ´C ALCULO INTEGRAL 81 y y = f (x) ¹ x 0 a b ´ ´ Figura 3.9: Regla del punto medio para la integracion numerica. y y = f (x) ¹ x 0 a b ´ ´ Figura 3.10: Regla del trapecio para la integracion numerica.2.7.5. Regla de SimpsonLa regla de los trapecios se obtiene de aproximar la curva por una poligonal, con lo que la regi´ n bajo la curva o o ´se aproxima por una uni´ n de trapecios. En consecuencia, el area de dicha regi´ n se aproxima por la suma de las o´areas de los trapecios. Otra posibilidad puede ser agrupar los puntos de la partici´ n de tres en tres y aproximar la ofunci´ n por segmentos parab´ licos (en lugar de rectil´neos). Entonces la integral de la funci´ n se puede aproximar o o ı opor la integral de los segmentos parab´ licos. o bSea f una funci´ n continua en [a, b]. La regla de Simpson para aproximar o a f (x)dx viene dada por b b−a f (x)dx ≈ [f (a) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + · · · + 2f (xn−2 ) + 4f (xn−1 ) + f (b)], a 3nsiendo n un n´ mero par. u
    • 82 ´ MATEM ATICAS y y = f (x) p(x) ¹ a = x0 x1 x 0 b = x2 ´ ´ Figura 3.11: Regla de Simpson para la integracion numerica.2.7.6. Estimaci´ n de errores oCuando se trabaja con aproximaciones es importante conocer con qu´ precisi´ n estamos calculando el valor de e ola integral. Adem´ s, es posible que alg´ n m´ todo sea sensiblemente mejor que los dem´ s, si bien puede que sea a u e abajo ciertas hip´ tesis. A continuaci´ n enunciamos los errores que se cometen en las reglas de aproximaci´ n m´ s o o o ausuales. b (1) Si f tiene derivada segunda continua en [a, b], entonces el error EM cometido al aproximar a f (x)dx por la regla del punto medio es M (b − a)3 |EM | , 24n2 siendo M una cota superior para |f |, es decir, |f (x)| M para todo valor de x. b (2) Si f tiene derivada segunda continua en [a, b], entonces el error ET cometido al aproximar a f (x)dx por la regla del trapecio es M (b − a)3 |ET | , 12n2 siendo M una cota superior para |f |, es decir, |f (x)| M para todo valor de x. b (3) Si f tiene derivada cuarta continua en [a, b], entonces el error ES cometido al aproximar a f (x)dx por la regla de Simpson es M (b − a)5 |ES | , 180n4 siendo M una cota superior para |f (4) |, es decir, |f (4) (x)| M para todo valor de x. ´3. ACTIVIDADES DE APLICACION DE LOS CONOCIMIENTOSA.3.1. Hallar la integral indefinida y comprobar el resultado por derivaci´ n: o
    • ´C ALCULO INTEGRAL 83 √ 1 1 3 xdx dx √ dx x2 x x 1 x(x2 + 3)dx (x3/2 + 2x + 1)dx dx (2x)3 1 (x3 + 2)dx (x2 − 2x + 3)dx dx 2x3 √ 1 √ 3 √4 x+ √ dx x2 dx ( x3 + 1)dx 2 x x3 − 3x2 + 3x − 1 x4 − 1 (x2 − 2x + 1)2 dx dx dx x2 − 2x + 1 √ − 12 x x(x + 1) (2x − 1)2 (3x + 1)dx (x2 − 1)(x + 1)dx dx x5/3 √ √ x4 (x2 − 1)3 dx x5 x−4/3 (x3 − 1)dx 3(4x − 2)2 dx 3 3A.3.2. Hallar la integral indefinida y comprobar el resultado por derivaci´ n: o 1 1 1 dx dx dx x3 x4 4x2 2 2 x +x+1 x +1 (2x + x−1/2 )dx √ dx dx x x2 t2 + 2 (x + 1)(3x − 2)dx (2t2 − 1)2 dt dt t2 √ (1 − 2y + 3y 3 )dy y 2 ydy (1 + 3t)t2 dtA.3.3. Hallar la integral indefinida y comprobar el resultado por derivaci´ n: o 2(1 + 2x)4 dx x 9 − x2 dx x2 (x3 − 1)4 dx 3 x2 4x 5x 1 − x2 dx dx √ dx (1 + x3 )2 16 − x2 3 x+1 1 1 1 dx 1+ dt √ dx (x2 + 2x − 3)2 t t2 2x x2 + 3x + 7 2 √ √ dx t2 t − dt (9 − y) ydy x tA.3.4. Calcular las siguientes integrales indefinidas por el m´ todo del cambio de variable: e √ √ x2 − 1 x x + 2dx x2 1 − xdx √ dx 2x − 1 −x x √ dx √ dx x(x2 + 1)3 dx (x + 1) − x + 1 2x + 1 1 1 √ √ dx √ √ dx (x − 1) 2 − xdx 2x + 1 x(1 + x)2 √ √ 3 x x − 3dx x 3 x + 1dx x 4 + x2 dxA.3.5. Calcular las siguientes integrales:
    • 84 ´ MATEM ATICAS 3 e−2x dx (x2 − 1)2x −3x+1 dx e1−x dx e−x 2 e3/x dx xeax dx dx (1 + e−x )2 x2 √ ex + e−x e−x (1 + e−x )2 dx ex 1 − ex dx √ dx ex + e−x 5 − ex 2 dx (ex − e−x )2 dx (3 − x)e(x−3) dx e2xA.3.6. Calcular las siguientes integrales: 1 1 x dx dx dx x+1 3 − 2x x2 + 1 x2 − 4 ln x (1 + ln x)2 dx dx dx x 2x x 2 2 x −2 1 x + 2x + 3 dx √ dx dx x+1 x+1 x3 + 3x2 + 9x √ 1 1 x dx √ dx √ dx x2/3 (1 + x1/3 ) 1+ x x−3A.3.7. Calcular las siguientes integrales: √ x x(x − 2) √ dx dx 3x dx 1−x x (x − 1)3 2 e−x 2x dx x5x dx dx √ 1 + e−x 1− x 1 √ dx √ dx 4−x dx 1+ x 1 + 2x 2 ex − e−x (ln x)2 (3 − x)7(x−3) dx dx dx ex + e−x xA.3.8. Calcular las siguientes integrales trigonom´ tricas: e 2 cos xdx 3x2 sen x3 dx sec2 3xdx √ sec2 x tan2 xdx (cosec x + sen x) cosec xdx √ dx x sen x sen2 3x cos 3xdx 4 cos2 4x sen 4xdx dx cos2 x sec2 x √ dx tan xdx sec xdx tan xA.3.9. Calcular las siguientes integrales trigonom´ tricas: e (2 sen x + 3 cos x)dx (t2 − sen t)dt (1 − cosec t cotan t)dt (sec2 θ − sen θ)dθ sen(2x)dx x cos(x2 )dx x cosec2 x sec2 dx dx cotan2 xdx 2 cotan3 x tan4 x sec2 xdx cotan πxdx cosec 2xdx
    • ´C ALCULO INTEGRAL 85A.3.10. Calcular las siguientes integrales trigonom´ tricas: e sec2 x sec x tan x dx dx (sen 2x + cos 2x)2 dx tan x sec x − 1 1 − cos θ dθ ex cos ex dx (cosec 2θ − cotan 2θ)2 dθ θ − sen θ cos t dt e−x tan e−x dx sen 2x cos 2xdx 1 + sen tA.3.11. Calcular las siguientes integrales de las funciones trigonom´ tricas inversas: e 1 1 1 √ dx dx √ dx 4 − x2 2 + 9x2 e2x − 1 x+2 3x2 − 2 1 √ dx dx dx 4 − x2 x2 + 4 x2 − 4x − 7 1 1 x 2 − 8x + 10 dx dx √ dx 2x 3x − x2 x 2−1 1 1 1 dx dx √ dx 1 − 9x2 1 + 4x2 x 4x2 − 1A.3.12. Calcular las siguientes integrales: x3 1 1 dx dx √ dt x2 +1 1 − (x + 1)2 1 − t4 arctan x arcsen x x dx √ dx √ dx 1 + x2 1 − x2 1 − x2 ex 1 1 √ dx 2 − 6x + 18 dx √ dx 1 − e2x x x(1 + x) sen x 1 2x dx dx dx 1 + cos2 x x2 − 2x + 2 x2 + 6x + 13A.3.13. Calcular las siguientes integrales: 1 x+2 2x − 3 √ dx √ dx √ dx −x2 − 4x −x2 − 4x √4x − x 2 x 1 x−1 4 + 2x2 + 2 dx √ dx dx x −16x 2 + 16x − 3 x √ 1 1 et − 3dt √ dx dx (x − 1) x2 − 2x x2 + 6x + 13A.3.14. Calcular las siguientes integrales de funciones hiperb´ licas: o cosh x senh(1 − 2x)dx cosh2 (x − 1) senh(x − 1)dx dx senh x x2 cosech(1/x) cotanh(1/x) x cosech2 dx dx senh2 xdx 2 x2 1 2 x √ √ dx √ dx dx x 1+x 1 − 4x2 x4 + 1 1 1 1 √ dx dx dx 1 + e2x 1 − 4x − 2x2 25 − x2A.3.15. Calcular las siguientes integrales:
    • 86 ´ MATEM ATICAS 1 (3x − 2)4 dx (−2x + 5)3/2 dx v+ dv (3v − 1)3 t2 − 3 x2 ex dt dx dx −t3 + 9t + 1 x−1 1 + ex (1 + et )2 t sen2 tdt cos xesen x dx dt et 2 1 sec 3x tan 3xdx dx dx e−x +1 1 − cos xA.3.16. Calcular las siguientes integrales: 2t − 1 3 1 dt dt √ dx t2 + 4 t2+1 x x2 − 4 −1 t sec2 x dt √ dt dx 1 − (2t − 1)2 1 − t4 4 + tan2 x 3 tan(2/t) 1 dt (1 + 2x2 )2 dx x 1+ dx t2 x 3 4 (1 + ex )2 dx √ dx 2 + 4x + 65 dx 6x − x2 4xA.3.17. Calcular las siguientes integrales: 2 xe2x dx xex dx xe−2x dx x3 ex dx x3 ln xdx t ln(t + 1)dt 2 (ln x) xe2x (ln x)2 dx dx dx x (2x + 1)2 √ x2 (x2 − 1)ex dx x x − 1dx √ dx 2 + 3xA.3.18. Calcular las siguientes integrales: cos3 x sen xdx sen5 2x cos 2xdx sen5 x cos2 xdx cos2 3xdx sen4 πxdx sen2 x cos2 xdx x sen2 xdx x2 sen2 xdx sec 3xdx sec4 5xdx sec3 πxdx tan3 (1 − x)dxA.3.19. Calcular las siguientes integrales: tan5 (x/4)dx sec2 x tan xdx tan2 x sec2 xdx sec5 πx tan πxdx sec6 4x tan 4xdx sec3 x tan xdx tan3 3x sec 3xdx cotan3 2xdx cosec4 θdθ cotan2 t dt sen 3x cos 2xdx sen θ sen 3θdθ cosec t
    • ´C ALCULO INTEGRAL 87A.3.20. Calcular las siguientes integrales: 1 1 dx x x + x2 dx dx (25 − x2 )3/2 (1 + x2 )2 x 1 √ dx 16 − 4x2 dx √ dx x 2+9 x 2−9 √ t2 1 − x2 1 dt dx √ dx (1 − t2 )3/2 x4 x 4x2 + 9 x x2 2 + 3)3/2 dx e2x 1 + e2x dx √ dx (x 2x − x2A.3.21. Calcular las siguientes integrales: 1 3 5−x dx dx dx x2 − 5x + 6 x2 + x − 2 2x2 + x − 1 2 2 4 x + 12x + 12 4x + 2x − 1 x dx dx dx x3 − 4x x3 + x2 (x − 1)3 3x x2 − 1 x2 dx dx dx x2 − 6x + 9 x3 + x x4 − 2x2 − 8 2 2 x x +x+2 x +5 4−1 dx dx dx 16x (x2 + 2)2 x 3 − 2x2 + 4x − 8A.3.22. Calcular las siguientes integrales: 5x2 + 20x + 6 5x2 + 20x + 6 2x3 − 4x − 8 dx dx dx x3 + 2x2 + x x3 + 2x2 + x (x2 − x)(x2 + 4) 8x3 + 13x x2 3x + 4 dx dx dx (x2 + 2)2 (x1 + 1)2 x 3 − 2x − 4 6x2 − 3x + 14 x(2x − 9) x3 − 6x2 + x − 4 3 − 2x2 + 4x − 8 dx dx dx x x3 − 6x2 + 12x − 8 1 − x4A.3.23. Hallar el area comprendida entre la curva y = 6x − x2 y el eje OX. ´ √A.3.24. Hacer un esquema de la regi´ n acotada superiormente por la curva y = o x e inferiormente por la curva x y = , y determinar su area. ´ 4A.3.25. Hallar el area de la regi´ n comprendida entre las curvas y = x2 e y = x1/3 para x ∈ [−1, 1]. ´ o 1 dy 1A.3.26. Una curva que pasa por el punto (4, ) posee una pendiente variable de =− √ √ . 3 dx 2 x(1 + x)2 a) Hallar la ecuaci´ n de la curva. o b) Representar gr´ ficamente la curva. a c) Calcular el area bajo la curva en el intervalo [0, 1]. ´ 1 1A.3.27. Hallar el area de la regi´ n comprendida entre las curvas y = ´ o ey= 3 x2 − x x −x a) en el intervalo [2, 3]. b) a la derecha de x = 3.A.3.28. Calcular el area de la regi´ n S comprendida entre la curva de ecuaci´ n y = x2 e−x y el eje OX. ´ o oA.3.29. Hallar la constante a para que el area encerrada por a(x2 − y 2 ) + x3 = 0 sea igual a 120 unidades ´ cuadradas.
    • 88 ´ MATEM ATICASA.3.30. El plano de un tri´ ngulo m´ vil permanece perpendicular a un di´ metro fijo de radio a; la base del tri´ ngulo a o a a es una cuerda del c´rculo y su v´ rtice opuesto est´ en una recta paralela al di´ metro fijo y a distancia h del ı e a a plano del c´rculo. Hallar el volumen del s´ lido engendrado por el movimiento de este tri´ ngulo desde un ı o a extremo al otro del di´ metro. aA.3.31. La base de un s´ lido es la regi´ n compredida entre la curva y = sen x y las rectas x = 0, x = π/2 o o e y = 0. Las secciones planas del s´ lido perpendicular al eje OX son tri´ ngulos equil´ teros. Hallar el o a a volumen del s´ lido. oA.3.32. Un le˜ ador arranca una cu˜ a de un arbol cil´ndrico de radio a. Su primer corte es paralelo al suelo y llega n n ´ ı hasta el eje del cilindro. El segundo corte forma un angulo α con el primero y lo intersecta en su di´ metro. ´ a Calcular el volumen de la cu˜ a. Indicaci´ n: Situar el eje OX de forma que las secciones transversales n o ´ perpendiculares a el sean rect´ ngulos. aA.3.33. Calcular el volumen del s´ lido generado al girar respecto del eje OY la regi´ n limitada por las par´ bolas o o a y = x2 y 8x = y 2 .A.3.34. Calcular el volumen del s´ lido generado al girar el tri´ ngulo equil´ tero de v´ rtices (0, 0), (2a, 0) y √ o a a e (a, a 3) alrededor del eje OX.A.3.35. La figura limitada por la hipocicloide x2/3 + y 2/3 = α2/3 y el eje OX gira alrededor de dicho eje. Hallar el volumen del cuerpo de revoluci´ n engendrado. o a xA.3.36. Dada la curva de ecuaci´ n y = o ln , a > 0, calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje x a OX la regi´ n limitada por dicha curva y las rectas x = a y x = a/2. oA.3.37. Sea el volumen de revoluci´ n engendrado por f (x) = x(x − a), a > 0, al girar alrededor del eje OX, o entre las rectas x = 0 y x = c, con c > a. Hallar c para que dicho volumen sea igual al volumen del cono engendrado por el tri´ ngulo de v´ rtices (0, 0), (c, 0) y (c, f (c)) al girar alrededor del eje OX. a eA.3.38. Hallar el volumen del s´ lido engendrado al girar alrededor de la recta de ecuaci´ n x = 2, la regi´ n o o o limitada por la curva y = x2 , el eje OX y la recta x = 2.A.3.39. Calcular la longitud del arco de la curva y 2 = x3 , a) entre los puntos (0, 0) y (4, 8). 4 b) entre dicha curva y la recta x = . 3 √ √A.3.40. Calcular la longitud del arco de la curva f (x) = ln x desde el punto x = 3 hasta x = 8. ex + 1A.3.41. Calcular la longitud de la curva y = ln entre los valores x1 = a y x2 = b. ex − 1A.3.42. Calcular la longitud del arco de la involuta de un c´rculo ı x = a(cos t + t sen t) y = a(sen t − t cos t) desde t = 0 hasta t = 2π.A.3.43. Calcular la longitud de arco de la curva  t6  x=   6   t4    y =2− 4 entre los puntos de intersecci´ n de dicha curva con los ejes coordenados. oA.3.44. Hallar la longitud de la primera espira de la espiral de Arqu´medes ρ = aϕ. ı
    • ´C ALCULO INTEGRAL 89A.3.45. Hallar la longitud de la espiral logar´tmica ρ = emϕ entre cierto punto (ρo , ϕo ) y un punto m´ vil (ρ, ϕ). ı oA.3.46. Calcular el area de la superficie generada por la curva y = ln x desde x = 1 hasta x = 5, al girar ´ alrededor del eje x = 0.A.3.47. Hallar el area de la superficie engendrada al girar alrededor del eje OX el contorno cerrado formado por ´ las curvas x = y 2 e y = x2 . x3A.3.48. Calcular el area de la superficie generada al girar alrededor del eje OX la curva y = ´ entre los puntos 3 de abcisas x = −2 y x = 2.A.3.49. Usar las reglas del trapecio y de Simpson para aproximar las siguientes integrales. Comparar las aproxi- maciones con los valores reales. 2 0.1 a) ln xdx b) x1/3 dx 1 0 π/3 0.4 c) (sen x)2 dx d) e3x cos 2xdx 0 0.2 π/4 3π/4 e) tan xdx f) cot xdx 0 π/2A.3.50. Usar los valores de abajo para encontrar una aproximaci´ n a la integral o 1.5 ex dx 1.1 usando los m´ todos siguientes: e a) la regla del trapecio con x0 = 1.1 y x1 = 1.5; b) la regla de Simpson con x0 = 1.1, x1 = 1.3 y x2 = 1.5. exp(1.1) = 3.0042 exp(1.3) = 3.6693 exp(1.5) = 4.48174. ´ ´ ACTIVIDADES PRACTICAS DEL CAPITULO4.1. Introducci´ n oLa pr´ ctica se va a realizar con el programa de c´ lculo matem´ tico DERIVE for Windows, versi´ n 4.05, de Soft a a a oWarehouse. DERIVE for Windows permite realizar c´ lculos y manipulaciones matem´ ticas de car´ cter general, a a alo cual significa que realiza muchas cosas de forma aceptable aunque no tiene la potencia de otros programasespec´ficos. No obstante, DERIVE for Windows permite realizar todos los c´ lculos que un usuario medio puede ı anecesitar.En esta pr´ ctica nos vamos a centrar en el c´ lculo integral en una variable. Veremos c´ mo calcular integrales a a oinmediatas y utilizando los distintos m´ todos de integraci´ n: por cambio de variable, por partes, exponenciales y e ologar´tmicas, trigonom´ tricas, racionales y binomias. Finalizaremos la pr´ ctica analizando algunas aplicaciones ı e a a a ´del c´ lculo integral al c´ lculo de longitudes, areas y vol´ menes. uAntes de comenzar la pr´ ctica ser´ conveniente que recordemos brevemente la ‘botonera’ de DERIVE for Win- a adows (ver Figura 3.12), ya que simplifica enormemente la introducci´ n de datos y la realizaci´ n de c´ lculos. Los o o abotones permiten realizar las siguientes tareas (de izquierda a derecha): New (abrir una nueva hoja de trabajo),Open (abrir una hoja de trabajo existente), Save (guardar la sesi´ n de trabajo), Print (imprimir la sesi´ n de tra- o o o ´bajo), Remove (eliminar la expresi´ n marcada), Unremove (recuperar la ultima expresi´ n eliminada), Renumber o
    • 90 ´ MATEM ATICAS(renumerar las expresiones), Author expression (introducir una expresi´ n sencilla), Author vector (introdu- ocir un vector), Author matrix (introducir una matriz), Simplify (simplificar), Approximate (calcular un valoraproximado), Solve (resolver algebraicamente o num´ ricamente una expresi´ n), Substitute for variables e o(realizar una sustituci´ n), Calculate limit (calcular un l´mite), Calculate derivative (calcular una deriva- o ıda), Calculate integral (calcular una integral), Calculate sum (calcular una suma), Calculate product(calcular un producto), 2D-plot window (realizar un gr´ fico bidimensional) y 3D-plot window (realizar un agr´ fico tridimensional). aFigura 3.12: El uso de la ‘botonera’ de DERIVE for Windows nos puede simplificar mucho el trabajo. Otro elemento interesante es la existencia de ‘teclas calientes’ que nos permiten evitar los menus, con lo que se gana ´ en rapidez.4.2. Ejemplos de ilustraci´ n oDERIVE for Windows calcula sin ayuda la mayor´a de integrales: polin´ micas, trigonom´ tricas y racionales. ı o eCuando la integral no es sencilla, o bien cuando DERIVE for Windows no sabe qu´ hacer, podemos ayudarle de evarias formas: transformando el integrando en otro m´ s f´ cil de integrar o indic´ ndole el m´ todo de integraci´ n a a a e o ´que debe utilizar. En este ultimo caso, el programa nos proporciona una serie de utilidades que pueden sercargadas mediante las opciones File|Load|Math o File|Load|Util. Para escribir los integrandos podemosutilizar todas las funciones que entiende DERIVE for Windows, las cuales se presentan en la siguiente tabla. Funci´ n o Teclear Funci´ n o Teclear Funci´ n o Teclear √ x x SQRT(x) e EXP(x) ln(x) LN(x) logb (x) LOG(x,b) sen(x) SIN(x) cos(x) COS(x) tan(x) TAN(x) cotan(x) COT(x) sec(x) SEC(x) cosec(x) CSC(x) arctan(x) ATAN(x) arccot(x) ACOT(x) arcsen(x) ASIN(x) arcos(x) ACOS(x) arcsec(x) ASEC(x) arcosec(x) ACSC(x) senh(x) SINH(x) cosh(x) COSH(x) tanh(x) TANH(x) cotanh(x) COTH(x) sech(x) SECH(x) cosech(x) CSCH(x) arcsenh(x) ASINH(x) arcosh(x) ACOSH(x) arctanh(x) ATANH(x) arccoth(x) ACOTH(x) arcsech(x) ASECH(x) arcosech(x) ACSCH(x)Calcular (4x2 − 2x + 7)dxIntroducimos la expresi´ n 4x^2-2x+7 y seleccionamos Calculus|Integrate con la opci´ n variable igual a x, o opor defecto (ver Figura 3.13). El programa est´ preparado para calcular integrales indefinidas (por defecto) y adefinidas. En el primer caso, el programa admite una constante de integraci´ n (por defecto, 0). Para obtener la osoluci´ n debemos pulsar la tecla Simplify y resultar´ : o a 4 3 x − x2 + 7x 3
    • ´C ALCULO INTEGRAL 91 Figura 3.13: Ventana del programa que nos permite calcular integrales de funciones. 3x + 5Calcular dx x3 − x2 − x + 1Escribimos la expresi´ n (3x+5)/(x^3-x^2-x+1) y procedemos exactamente igual que en el ejemplo anterior. oEl resultado obtenido es LN(x-1) LN(x+1) 4 − + − 2 2 x-1 πCalcular 0 cos(x)dxSeleccionamos Author y tecleamos COS(x). A continuaci´ n elegimos Calculus|Integrate con las opciones ox (variable), π (l´mite superior) y 0 (l´mite inferior). El resultado obtenido (si estamos trabajando con precisi´ n ı ı oexacta) es 0.Calcula el area bajo la curva y = cosh(x) entre −2 y 2 ´Siguiendo los pasos anteriores, introducimos la expresi´ n COSH(x) y a continuaci´ n seleccionamos en el men´ o o uCalculus|Integrate con las opciones x (variable), 2 (l´mite superior) y -2 (l´mite inferior). El resultado ı ıobtenido es e2 − e−2 .Cuando la integral no es tan sencilla y el programa no consigue integrar la funci´ n debemos ayudarle indic´ ndole o acu´ l de los m´ todos de integraci´ n debe utilizar. En los siguientes ejemplos mostramos algunos casos t´picos. a e o ıPara poder utilizar la integraci´ n por sustituci´ n o por partes debemos de cargar la utilidad MISC.MTH, seg´ n se o o uha explicado anteriormente. ex + 1Calcular dx ex − 4 + 4e−xEsta integral la podemos calcular siguiendo los mismos pasos que en los ejemplos anteriores. Sin embargo, aqu´ ıla vamos a calcular mediante un cambio de variable. Consideremos el cambio t = t(x) = ex , entonces la manerade indic´ rselo a DERIVE for Windows es mediante la orden INT SUBST. Concretamente deber´amos teclear a ı
    • 92 ´ MATEM ATICAS INT SUBST((#e^x+1)/(#e^x-4+4#e^(-x)),x,LN(x))y obtendr´amos como resultado el valor de ı 3 + LN(ex − 2) 2 − exEn general, si deseamos integrar la funci´ n f (x) mediante el cambio de variable x = g(t), debemos escribir o INT SUBST(f(x),x,g(x))Calcular la integral (5x2 − 3)43x+1 dxEl programa DERIVE for Windows puede calcular la integral anterior, cuyo resultado es 10x2 2 10x 5 26x − − + . 3LN(2) LN(2) 9LN(2)2 27LN(2)3Sin embargo, las integrales de este tipo se suelen resolver por partes, ya que la funci´ n que deseamos integrar se odescompone como un producto de dos funciones, una que se deriva f´ cilmente (5x2 − 3) y otra que se integra af´ cilmente (43x+1 ). Por este motivo, vamos a ilustrar como indicarle a DERIVE for Windows que utilice deri- avaci´ n por partes. Una vez cargado el fichero MISC.MTH tecleamos INT PARTS(u(x),v(x),x), donde u(x) y ov(x) son las partes que se derivan e integran f´ cilmente, respectivamente. En nuestro ejemplo, debemos teclear aINT PARTS(5x^2-3,4^(3x+1),x).Una de las caracter´sticas de DERIVE for Windows es su capacidad de calcular integrales que requieren el ıc´ mputo de otras integrales previas. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, en la integraci´ n por reducci´ n que se o o oaplica a integrales con exponentes enteros grandes. Durante el proceso se encuentra una parte integrada y unaparte sin integrar en la que aparece la misma integral inicial pero con valores de estos exponentes disminuidos. ´En los ejemplos que siguen aplicamos la integral al c´ lculo de longitudes, areas y volumenes. aUn cable el´ ctrico cuelga entre dos torres de la misma altura que est´ n separadas 80 metros. El cable adopta la e aposici´ n de una catenaria cuya ecuaci´ n es y = 100 cosh(x/100). Calcula la longitud del cable entre las dos o otorres.Cuando tenemos una curva y = f (x), la longitud de la curva entre los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) es la integral b 1 + f (x)2 dx. aEn nuestro caso, la derivada es f (x) = sinh(x/100) por lo que la longitud ser´ la integral a 40 1 + sinh(x/100)2 dx, −40cuyo valor es 82.1506. Si cargamos la utilidad INT APPS.MTH entonces DERIVE for Windows pone a nuestradisposici´ n la funci´ n ARC LENGTH, con lo que podr´amos haber calculado la longitud de la catenaria con s´ lo o o ı oescribir ARC LENGTH(100 COSH(x/100),x,-40,40).
    • ´C ALCULO INTEGRAL 93Calcular el area de la regi´ n limitada por las curvas f (x) = 2 − x2 y g(x) = x ´ oEn primer lugar debemos hallar los puntos de corte, para lo que planteamos la ecuaci´ n 2-x^2=x que resolvemos ocon ayuda de la opci´ n Solve para obtener x = −2 y x = 1. Entonces el area se calcula con la funci´ n siguiente: o ´ o o ´AREA(x,-2,1,y,x,2-x^2) cuyo resultado es 4.5. En general, la sintaxis de la funci´ n area es AREA(x,a,b,y,f(x),g(x)),donde a y b son las abcisas de los puntos de corte y se supone que la funci´ n g es mayor o igual que la funci´ n f . o oCalcular el area de la superficie del paraboloide z = 2 − x2 − y 2 que est´ sobre la regi´ n cuadrada limitada por ´ a o−1 x 1 y −1 y 1Para el c´ lculo de areas de superficies, DERIVE for Windows dispone de la funci´ n SURFACE AREA, cuya sintaxis a ´ oes la siguiente: SURFACE AREA(f(x,y),x,x 1,x 2,y,y 1,y 2),donde z = f (x, y) es la superficie y el recinto es el rect´ ngulo [x1 , x2 ] × [y1 , y2 ]. En nuestro caso, basta con aescribir SURFACE AREA(2-x^2-y^2,x,-1,1,y,-1,1) para obtener como resultado el valor de 7.44625.Calcular el volumen de la semiesfera de radio 1Dada una funci´ n z = f (x, y) definida en un recinto (rectangular o no), podemos calcular el volumen que hay oentre el recinto y la superficie z = f (x, y) definida sobre el. Para ello debemos utilizar la funci´ n VOLUME, cuya ´ osintaxis es VOLUME(x,a 1,a 2,y,b 1(x),b 2(x),z,c 1(x,y),c 2(x,y)),donde se supone que a1 x a2 , b1 (x) y b2 (x), c1 (x, y) z c2 (x, y). Por tanto, el volumen de lasemiesfera es VOLUME(x,-1,1,y,-SQRT(1-x^2),SQRT(1-x^2),z,0,SQRT(1-x^2-y^2))cuyo resultado es 2.09439 (en precisi´ n aproximada) o 2π/3 (en precisi´ n exacta). o o4.3. Ejercicios de aplicaci´ n oA continuaci´ n se enuncian unos ejercicios sobre c´ lculo integral de funciones reales de una variable. Si el alumno o aencuentra alguna dificultad debe revisar detenidamente los ejemplos anteriores.
    • 94 ´ MATEM ATICAS −12 a) Calcular la integral √ dx. x2 4 − x2 sec2 t b) Calcular la integral dx. tan t(tan t − 1) x1/4 c) Calcular la integral dx. 1 + x1/2 x4 + 2x2 + x + 1 d) Calcular la integral dx. (x2 + 1)3 1 e) Calcular la integral √ √ dx. x(1 − cos x) x f) Calcular la integral dx. 1 + e−2 g) Calcular el area de la regi´ n comprendida entre las gr´ ficas de f (x) = 3x3 − x2 − 10x y g(x) = −x2 + 2x. ´ o a h) Calcular el volumen del s´ lido generado al girar la regi´ n limitada por f (x) = 2 − x2 y g(x) = 1 en torno o o a la recta y = 1. i) Calcular el volumen del s´ lido generado al girar la regi´ n acotada por las gr´ ficas y = x2 + 1, y = 0, x = 0 o o a y x = 1 en torno al eje y.4.4. Bibliograf´a ıC. Paulogorr´ n y C. P´ rez. C´ lculo matem´ tico con DERIVE para PC, Ed. RA-MA, 1a Ed., 1994. o e a a ´ ´5. BIBLIOGRAFIA DEL CAPITULOR.E. LARSON, R.P. HOSTETLER y B.H. EDWARDS Calculo y Geometr´a Anal´tica, 5a ed., vol. 1. McGraw- ı ı Hill, Madrid, 1995. Cap´tulos 5, 6 y 9. ıJ. STEWART C´ lculo, 2a ed. Grupo Editorial Iberoam´ rica, M´ xico, 1994. Cap´tulos 4, 5, 7, y secciones 8.2 y a e e ı 8.3. ´6. PREGUNTAS DE EVALUACIONE.3.1. Calcular las siguientes integrales indefinidas √ ln(x2 + x + 1) 4 − x2 dx dx. x2 xE.3.2. Calcular el volumen del s´ lido de revoluci´ n generado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por o o la curva y = ex sen(3x) entre x = 0 y x = π/3.
    • ´C ALCULO INTEGRAL 95E.3.3. Calcular la siguiente integral indefinida √ 16 − x2 dx. x3E.3.4. Calcular el area del recinto limitado por la curva y = ex senx y por las rectas y = 0, x = 0 y x = π. ´E.3.5. Un tanque est´ situado sobre una colina de 120 metros de altura. Lanza un proyectil que sigue una trayec- a toria dada por y(x) = −0 05x2 + x + 120, donde x e y se miden en metros, como muestra la siguiente figura. y 120 0 ¹ x 0 ¿Cu´ l es la distancia recorrida por el proyectil durante su trayecto hasta impactar en el suelo? aE.3.6. Calcular la siguiente integral: 3x + 4 dx x3 − 2x − 4E.3.7. Un objeto volante sale del origen y asciende por el eje y. Al mismo tiempo un perseguidor parte del punto (1, 0) y se dirige en todo momento hacia el con velocidad doble que la suya. La ecuaci´ n de la trayectoria ´ o del perseguidor es 1 y = (x3/2 − 3x1/2 + 2) 3 ¿Cu´ nta distancia ha recorrido el objeto volante en el instante de ser capturado? ¿Y cu´ l ha sido la distancia a a recorrida por el perseguidor?E.3.8. Resolver la integral indefinida siguiente: 2x3 − 4x − 8 dx. x4 − x3 + 4x2 − 4xE.3.9. Resolver la integral indefinida siguiente: dx . (x3 − 1)2
    • 96 ´ MATEM ATICAS ANOTACIONES .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... ....................................................................................................