Dependencia lineal e independencia

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Dependencia lineal e independencia

  1. 1. Definición 4.1 Un conjunto de funciones f1(x), f2(x),…fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo si existen constantes c1, c2, … cn no todas cero, tales que c1f1(x), c2f2(x),…cnfn(x) = 0 para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.
  2. 2. Ejemplo 1 Dependencia f1(x) = cos2 x f2(x) = sen2 x f3(x) = sec2 x f4(x) = tan2 x c1, c2, c4 = 1 c3 = -1 c1cos2 x + c2 sen2 x + c3 sec2 x + c4 tan2 x = 0 1cos2 x + 1sen2 x = 1 1tan2 x + 1 = sec2 x •-1 sec2 x + sec2 x = 0  0 = 0 •sec2 x = tan2 x + cos2 x + sen2 x Un conjunto de funciones f1(x), f2(x),…fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo si por lo menos una función se puede expresar como una función lineal de las funciones restantes.
  3. 3. Ejemplo 2 Dependencia f1(x) = + 5 f2(x) = + 5x f3(x) = x -1 f4(x) = x2 c1 = 1 c2 = 1 c3 = 5 c4 = 0 c2f2(x) = c1f1(x) + c3f3(x) + c4f4(x) 1( + 5x) = 1( + 5) + 5(x - 1) + 0(x2 ) + 5x = + 5 + 5x – 5 + 5x = + 5x Es linealmente dependiente porque f2 puede escribirse como una combinación lineal de f1, f3, f4.
  4. 4. Ejercicio 1 Dependencia f1(x) = x f2(x) = x2 f3(x) = 4x - 3x2 1f3(x) = 4f1(x) - 3f2(x) 1(4x - 3x2 ) = 4(x) – 3(x2 ) 4x - 3x2 = 4x – 3x2 c1 = 4 c2 = 3 c3 = 1
  5. 5. Ejemplos Independencia f1(x) = x f2(x) = |x| f1(x) = 1 + x f2(x) = x f3(x) = x2
  6. 6. Gracias

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