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MatemáTica   Matrizes [TaíS Andrade]
 

MatemáTica Matrizes [TaíS Andrade]

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    MatemáTica   Matrizes [TaíS Andrade] MatemáTica Matrizes [TaíS Andrade] Document Transcript

    • i Em um observatório meteorológico, um cientista foi incumbido de 1 2 3 4 registrar, de hora em hora, a temperatura de uma região durante os j 1 18 15 19 17 quatro primeiros dias do mês de junho. Depois de realizado o 2 17 16 18 17 trabalho, o meteorologista apresentou um relatório com a seguinte 3 16 18 20 17 tabela: 4 16 17 20 19 5 17 19 19 20 6 18 19 17 20 Na qual cada elemento da linha i e coluna j é a temperatura, em graus 7 18 19 17 20 Celsius, da região na hora i do dia j. 8 19 20 21 19 9 20 21 23 21 10 20 22 21 22 Note a simplicidade dessa tabela. Se quisermos, por exemplo, basear 11 21 21 22 23 qual foi a temperatura às 9h do dia 3 de junho, basta olharmos para a 12 23 21 20 23 intersecção da linha 9 com a coluna 3 e encontraremos os 23°C. 13 22 20 21 22 14 22 21 22 20 15 21 23 21 21 16 20 21 20 19 17 20 21 21 20 Tabelas como estas são denominadas matrizes. Vamos formalizar 18 19 20 21 20 uma estrutura algébrica para as matrizes, ou seja, definiremos 19 18 19 22 21 igualdade e operações com elas. 20 19 20 22 20 21 18 19 20 19 22 17 18 19 18 23 17 18 18 17 24 17 18 16 15 Chama-se matriz do tipo mn (lê-se “m por n”) toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas || ||. Exemplos: 9 4 Matriz A do tipo 3x2 a) A3 x 2 = 5 6 1 -3
    • 5 -4 b) B2x2 = Matriz b do tipo 2x2 3 -6 c) C 1x3 = || 4 -1 5 || Matriz C do tipo 1x3 CONVENÇÃO Indicamos por aij o elemento posicionado na linha i e coluna j de uma matriz A. Exemplo: 9 4 Na matriz A3x2 = 5 6 , temos que: 1 -3 • O numero 9 esta posicionado na linha 1 e coluna 1; indica-se esse elemento por a11, ou seja, a11, = 9; • O 4 esta posicionado a linha 1 e coluna 2; indica-se esse elemento por a12, ou seja, a12 = 4; • O 5 esta posicionado na linha 2 e coluna 1; indica-se esse elemento por a21, ou seja, a21 = 5. Analogamente temos a22 = 6, a31 = 1 e a32 = -3. ]
    • Podemos representar genericamente uma matriz a do tipo m x n na seguinte maneira: a11 a12 a13 .... a1nComo esta representação é Am x n = a21 a22 a23 .... a2nmuito extensa, vamos    convencionar uma forma     abreviada. Essa matriz pode     ser representada,  a21 a21 a21 a21 simplesmente, por A=(aij)m x n ou, quando não houver possibilidade de confusão quanto ao tipo da matriz, por A=(aij). MATRIZ QUADRADA Matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplos: 1 0 3 a) A 3 x 3 = 0 -1 4 É uma matriz quadrada de ordem 3. 6 8 -3 3 6 b) B2x2 = 4 0 É uma matriz quadrada de ordem 2 c) C2x2 = ( 8 ) é uma matriz quadrada de ordem 1.
    • Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais que i=j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária. Exemplo: Diagonal Secundária a11 a 32 a13 A= a21 a 32 a23 a31 a32 a33 Diagonal primária Observe: • Na diagonal principal os elementos aij possuem i = a11, a22 e a33 • Na diagonal secundária os elementos aij são tais i + j = 3 + 1 ( em que 3 é a ordem n, que indica por In, a matriz A): a31, a22 e a13 MATRIZ IDENTIDADE Chama-se matriz identidade de ordem n, que indica por In, a matriz: 1, se i = j In =( aij)n x 1 tal que aij = 0, se i = j Note, pela definição que:
    • • A matriz identidade de ordem 1 é I1 = ( 1 ); • Toda matriz identidade de ordem maior do que 1 Todos os elementos da diagonal principais a todos os demais elementos iguais á zero. Exemplos: 1 0 0 1 0 a) I2 = b) I2 = 0 1 0 0 1 0 0 1 Chama-se transposta da matriz A = =( aij)mx n que indica por A1, a matriz: At =( bji)n x m tal que b ji = a ji i , j, 1≤i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n Ou seja, cada coluna i de A1 é, ordenamente, igual a limha i de A. Exemplos: 2 3 2 5 8 A3 x 2 = 5 0 A3 x 2 = 3 0 6 8 6 Dadas duas matrizes do mesmo tipo, A = ( aij)m x n e B = ( aij)m x n, dizemos que A = B se, e somente se, todo elemento de A igual ao seu correspondente em B.
    • Em símbolos; A = B  a rs = b rs r, s ≤r ≤ m e 1 ≤ s n Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatro primeiros dias de Janeiro, foram obtidos os seguintes resultados: 2 3 1 5 3 0 2 3 A= B= 1 2 5 3 4 2 5 3 Sendo que: • A matriz descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo 2 no dia 3; • A matriz B descreve o desempenha da loja B, de modo que cada elemento bij é o numero de unidades vendidas do modelo i no dia j. Como representaríamos, matrialmente, a quantidade vendida desses dois modelos, nas duas lojas, nos primeiros quatro dias de Janeiro? Basta construir uma matriz C2 x 3, na qual cada elemento C ij seja igual à soma de seus correspondentes nas matrizes A e B, ou seja: 2+3 3+0 1+2 5+3 C= = 1+4 2+2 5+4 3+5
    • 5 3 3 8 A matriz denominada “matriz = soma de A e B”. 5 4 9 8 Definição: A soma de duas matrizes do mesmo tipo A=( aij ) m x n e B = (b ij ) que se indica por A + B, é a matriz C =(c ij ) m x n tal que: c ij = aij + b ij , i, j, 1≤i≤m e 1≤j ≤ n m outras palavras, cada elemento da matriz C é igual à soma de seus correspondentes em A e B. Definição: O produto de um número k por uma matriz A= ( aij ) m x n , que se indica por kA, é a matriz B= ( bij ) m x n tal que: bij = Ka ij, i, j, 1≤ j ≤ n Ou seja, cada elemento da matriz b é igual ao produto de seu correspondente em a, pelo número k.
    • Exemplo: 2 -5 8 -20 4 3 0 = 12 0 1 6 4 24 No exemplo introdutório do item 6 (Adição de matrizes), se quisermos uma matriz que represente o desempenho da loja A em relação à loja B, basta subtrairmos de cada elemento da matriz A o seu correspondente em B obtendo: D= 2–3 3–0 1–2 5–3 1–4 2–2 5–4 3-5 -1 3 -1 2 = -3 0 1 -2
    • Assim por exemplo: • O elemento A11 = -1 nos diz que a loja vendeu uma unidade a menos do modelo 1, no dia 1, do que a loja B; • O elemento a14 = 2 nos diz que a loja A vendeu duas unidades a mais do modelo 1, no dia 4, do que a loja B. Definição A diferença de duas matrizes do mesmo tipo A e B, nessa ordem, que se indica por A-B, é a matriz A + ( -B): A–B=A+(-B) Em palavras mais simples a diferença A – B, é igual à soma de A com a oposta do B. Exemplo: 8 5 6 2 4 6 _ 3 6 = 9 -2 12 -9 8 5 -6 -2 2 3 = 4 6 + -3 -6 = 1 0 9 -2 -12 9 -3 7
    • Texto retirado do site Cola da Web www.coladaweb.com Milhares de trabalhos escolares prontos