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Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda

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  • 1. TRABALHO SOBRE POTÊNCIA e EQUAÇÃO DO 2º GRAU. TRABALHO DE MATEMÁTICA FEITO POR ANTONIO CARLOS CARNEIRO BARROSO ,PROFESSOR DE MATEMÁTICA GRADUADO PELA UFBA,PÓS GRADUADO EM METODÓLOGIA E DIDÁTICA DO ENSINO SUPERIOR.03/03/2009.
  • 2. CONJUNTO N: Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 , ...}
  • 3. CONJUNTO Z:
    • Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
  • 4. Z+
    • O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: - Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
  • 5. Z-
    • - Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
  • 6. Z+ e N
    • Z*+ = N* - Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-. Z*- = {... -4, -3, -2, -1} Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas . Os racionais são representados pela letra Q.
  • 7. IRRACIONAIS e REAIS
    • Conjunto dos Números Irracionais É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...) Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.
  • 8. N<Z<Q<R
  • 9. POTENCIAÇÃO:
    • Definição Potenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural). Exemplo: 32 (leia-se &quot;três elevado ao quadrado&quot;, ou &quot;três elevado à segunda potência&quot; ou ainda &quot;três elevado à dois&quot;). No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9. Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27
  • 10. PROPRIEDADES:
    • Algumas outras definições que podem ser utilizadas: a1 = a a0 = 1 Propriedades 1 - Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes: an . am = an+m 2 - Divisão de potências de bases iguais - mantenha a base e subtraia os expoentes: (an) / (am) = an-m , &quot;a&quot; diferente de zero. 3 - Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes: (am)n = am . n
  • 11. ATENÇÃO:
    • As potências abaixo NÃO são iguais: (am)n e amn na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n , e depois elevar a ao resultado da operação anterior. 4 - (a . b)n = an . bn 5 - (a/b)n = an/bn , &quot;b&quot; diferente de zero. Potenciação com números negativos Observe os exemplos abaixo: (-3)2 = 9 -32 = -9
  • 12. CUIDADO COM O SINAL:
    • sinal de negativo ( - ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado. Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo: (-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27 se tirarmos os parênteses -33 = - 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27
  • 13. POTENCIA:
    • Utilizamos a potenciação para representar uma multiplicação de fatores iguais. Por Exemplo: 4*4*4 = 64 , utilizando a potenciação podemos escrever a expressão 4*4*4, da seguinte forma 4³. A seguir mostraremos definições de potenciação e regras básicas.
  • 14. P1:
    • Propriedades da potenciação Multiplicação de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.
  • 15. P2:
    • Divisão de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.
  • 16. P3:
    • Potência de potência Multiplicação de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e multiplicar as bases”. Divisão de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e dividir as bases”.
  • 17. Q
    • Números racionais (Q) O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou periódica. Por exemplo, 3/8 é um numero racional e é o mesmo que 0,375, 1/9 é o mesmo que 0,1111... Observe que na divisão continuada do numerados p pelo denominador q , só podem ocorrer restos diferentes, daí a periodicidade.
  • 18. DEFINIÇÃO:
    • Entende-se por dízima periódica, como uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente. Exemplos: 2/7 = 0,285714285... 1/9 = 0,111111111... 4/13 = 0,307692307...
  • 19. CLASSIFICAÇÃO:
    • Dízimas periódicas simples : Quando o período aparece logo após à virgula. Exemplos: 2/3 = 0,6666666....... Período: 6 4/13 = 0,307692307.... Período: 307692 31/33 = 0,93939393.... Período: 93
  • 20. DIZÌMAS COMPOSTAS:
    • Dízimas periódicas compostas : Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica. Exemplos: 35/42 = 0,833333.... Período: 3 , Parte não periódica: 8 44/45 = 0,977777.... Período: 9 , Parte não periódica: 9 35/36 = 0,972222.... Período: 2 , Parte não periódica: 97
  • 21. PROPRIEDADES:
            • Potencias:
  • 22. ATIVIDADES:
  • 23. CONTINUAÇAO:
  • 24. EXPOÊNTE NEGATIVO:
  • 25. PRODUTO DE POTÊNCIAS:
  • 26. DIVISÃO DE POTÊNCIAS:
  • 27. POTÊNCIA DE POTÊNCIA:
  • 28. POTÊNCIAS COM EXPOÊNTES IGUAIS
  • 29. EXPOÊNTES IGUAS NA DIVISÃO:
  • 30. RADICAIS:
  • 31. RAIZ EXATA:
  • 32. EXEMPLO 2:
  • 33. VOLUME:
  • 34.  
  • 35. RADICAIS:
  • 36. RADICAIS:
  • 37. EQUAÇÃO 2º GRAU:
    • Mostraremos na seqüência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
    • O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.
  • 38. SEJA A EQUAÇÃO:
    • a x² + b x + c = 0
    • com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
    • x² + (b/a) x + c/a = 0
    • Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:
    • x² + (b/a) x = -c/a
    • Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter
  • 39. DEDUÇÃO:
    • x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²
    • Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:
    • [x+(b/2a)] 2 = (b² - 4ac) / 4a²
  • 40. OBSERVE:
    • Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:
    • x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]
    • ou
    • x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]
  • 41. CONCLUSÃO:
    • A FORMULA:
  • 42.
    • x² - 5 x + 6 = 0
    • Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
    • Escrever o discriminante D = b²-4ac.
    • Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1
    • Escrever a fórmula de Bhaskara:
    • Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:
    • x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3 x&quot; = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2
  • 43. VEJA:
  • 44. veja
    • Essa equação é da forma ax2 + bx + c = 0 e é chamada de equação do 2º grau.
    • Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0. Veja os exemplos:
    • l Na equação 2x2 - 4x + 5 = 0, os coeficientes são:
    • a = 2, b = - 4 e c = 5
    • l Na equação x2 + 5x = 0, os coeficientes são:
    • a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o termo independente de x)
    • l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são:
    • a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o termo do 1º grau em x)
  • 45. Incompleta:
    • l Na equação 4x2 = 0, os coeficientes são:
    • a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois termos)
    • A equação que encontramos no problema inicial é uma equação completa, pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um ou dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos como resolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. As equações completas serão estudadas na próxima aula.
  • 46. OBS:
    • Você se lembra de que, quando definimos equação do 2º grau, escrevemos
    • que a é diferente de zero. O que aconteceria se a fosse igual a zero? Vamos substituir a por zero na equação ax2 + bx + c = 0. A equação ficará assim:
    • 0 . x + bx + c = 0
    • bx + c = 0 ® equação do 1º grau.
    • Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não pode ser zero pois, anulando esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau.
  • 47. RESOLVENDO:
    • Resolução de uma equação
    • Já vimos, quando estudamos equações do 1º grau, que resolver uma equação é encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeira quando substituímos x por esse valor.
    • No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes para uma equação.
  • 48. EXEMPLO 1:
    • EXEMPLO 1
    • a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da
    • equação.
    • A equação é: x2 + 6x - 16 = 0
    • Substituindo x por 2, temos:
    • 2.2 + 6 . 2 - 16 = 0
    • 4 + 12 - 16 = 0
    • 16- 16 = 0 ® sentença verdadeira
    • Logo, x = 2 é uma solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.
  • 49. VERIFIQUE:
    • b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução.
    • Substituindo x por 1, temos:
    • 1.2 + 6 . 1 - 16 = 0
    • 1 + 6 - 16 = 0
    • 7- 16 = 0 ® sentença falsa
    • Logo, x = 1 não é solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.
  • 50. EXEMPLO 2:
    • EXEMPLO 2
    • Resolver a equação 3x2 - 27 = 0
    • 3x2 = 27 x2 = 27 3
    • x2 = 9
    • x = x = ± 9 ® x = + 3
    • As soluções da equação são +3 e -3.
  • 51. 2º CASO:
    • Equações do 2º grau em que c = 0 (equações do tipo ax2 + bx = 0)
    • Observe que essa equação possui dois termos em x. Nesse caso, podemos fator ar ax2 + bx, colocando x em evidência:
    • x (ax + b) = 0
    • Obtivemos um produto de dois fatores que deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser nulo:
    • x = 0
    • ì
    • Se x (ax + b) = 0, então ou
    • î
    • ax + b = 0 ® ax = -b
    • x = -b
    • a
    • As soluções da equação são x1 = 0 e x2 = -b
    • a
  • 52. EXEMPLO:
    • Resolver a equação 3x2 - 15x = 0.
    • x (3x - 15) = 0 x = 0
    • ou
    • 3x - 15 = 0
    • 15
    • 3x = 15 ® x =
    • 3
    • ® x = 5
    • As soluções são x1 = 0 e x2 = 5.
  • 53.  
  • 54.