Usos da matriz de Leslie no mundo real
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Usos da matriz de Leslie no mundo real

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matriz de Leslie estudos de casos de aplicações

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  • 1. Ecologia de PopulaçõesProf. Dr. Harold Gordon Fowlerpopecologia@hotmail.com
  • 2. ResumoDemografia classificada por estágio de cadeias deMarkov– Tempos esperados de ocupação de estágio– Variância nos tempos de ocupação de estágio– Longevidade esperada– Variância na longevidade– Taxa bruta de reprodução– Tempo de geração– Intervalos de nascimentos e outros eventos– Efeitos de período e cohort em ambientes variáveisAnalise de perturbaçãoConexão aos dadosAs coisas estão feias para Eubalaena glacialis
  • 3. Análise de SensitividadeQuanta sensível é a taxa de crescimento populacional aoselementos diferentes da matriz?Quanta sensível é a taxa do crescimento populacional as taxasvitais usadas para calcular os elementos da matriz? As respostas a essas perguntas tem importância no:: Planejamento de pesquisa futura Devemos gastar tempo e dinheiro para obter melhores estimativas da fecundidade, sobrevivência juvenil, ou sobrevivência adulta? Avaliação de opções de manejo Devemos proteger ninhos para aumentar a fecundidade, ou instalar aparelhos para excluir tartarugas nas redes de pesca de camarões para aumentar a sobrevivência adulta?
  • 4. Análise de Sensitividade Devemos proteger ninhos para aumentar a fecundidade, ou instalar aparelhos para excluir tartarugas nas redes de pesca de camarões para aumentar a sobrevivência adulta? Juvenil JuvenilOvo/filhote Sub-adulto Adulto pequeno grande
  • 5. Análise de Sensitividade Sobrevivência adulta
  • 6. Avaliação das Opções de Manejo Analise de SensitividadeComo cada taxa vital mudará com manejo?A. Como a taxa varia naturalmente?B. A taxa responderá as ações disponíveis de manejo?Qual é o custo financeiro relativo de cada ação de manejo?Cada ação de manejo pode afeitar >1 taxa vital. Por isso,é melhor considerar os efeitos totais do manejo em vezdo efeito sobre parâmetros solitários. Use simulaçõespara avaliar os cenários distintos de manejo.
  • 7. Exemplo da Conservação http://www.fs.fed.us/psw/rsl/projects/wild/lamberson1.PDF
  • 8. Exemplo da Conservação
  • 9. Exemplo da Conservação•Lack of genetic variation initially considered main threat.•More recent ideas that ecological factors moreimportant, especially cub survival (<5% at Serengeti).•Developed age-structured matrix models to evaluateimportance of different life stages to conservation.•Parameterized models using long-term data fromSerengeti Park, Tanzania.
  • 10. Leslie Matrix for cheetahs•Time interval of 6 months plus composite adult stage•Lambda was 0.956 based on mean matrix projection•Conducted sensitivity analysis of vital rates
  • 11. Sobrevivência de adultosLambda (r2 = 0.75) SobrevivênciaLambda Sobrevivência de recém nascidos e filhotes jovens (r2 = 0.025) Sobrevivência
  • 12. •A sobrevivência de adultos explica amaior parte da variação de lambda
  • 13. Papel do eigenvalor dominante Taxa de crescimento populacional assintótico Distribuição estável de estágios Distribuição de valores reprodutivos
  • 14. Exemplo: Mortalidade Sustentável da PescaUma questão importante no manejo da pesca é “Quanta pressão de pesca ou mortalidade pode ser suportada pela população?”
  • 15. Exemplo: Mortalidade Sustentável da PescaN0 F0 F1 F2 F3 …. Fs N0N1 S0 0 0 0 …. 0 N1N2 0 S1 0 0 …. 0 N2 =N3 0 0 S2 0 …. 0 N3…. …. ….Ns 0 0 0 0 Ss-1 0 Ns
  • 16. Exemplo:Mortalidade Sustentável da PescaS= e -(M+F)Recrutamento de serra, significaque um peixe de idade x não temexposição a mortalidade da pescaou fica completamente vulnerável
  • 17. Exemplo:Mortalidade Sustentável da Pesca Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Freqüência Ano 7 Ano 8 Ano 9 Ano 10 Tamanho populacional
  • 18. Exemplo:Mortalidade Sustentável da Pesca Ano 1 - 2 Ano 2 - 3 Ano 3 - 4 Ano 4 -5 Freqüência Ano 5 - 6 Ano 6- 7 Ano 7 - 8 Ano 8 - 9 Ano 9 - 10 Taxa de crescimento populacional
  • 19. Exemplo:Mortalidade Sustentável da Pesca Ano 10 - 20 Ano 10 - 30 Ano 10 - 40 Freqüência Ano 10 - 50 Ano 10 - 60 Ano 10 - 70 Ano 10 - 150 Taxa de crescimento populacional
  • 20. Exemplo: Mortalidade Sustentável da Pesca Idade de entrada Nível deTaxa de aumento (lambda) manutenção Atual Mortalidade Instantânea pela Pesca
  • 21. Crescimento populacional da Tartaruga-da-AmazôniaIntrodução;Modelo matemático;Estudo qualitativo do sistema;Resultados;Conclusões.ttp://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/tartaruga. pdf
  • 22. Modelo matemático: esquema do ciclo de vida
  • 23. Crescimento populacional da Tartaruga-da-Amazônia N0 ( t+ 1 ) =  . N10( t ) N1 ( t+ 1 ) = 0 . N0 ( t ) N2 ( t+ 1 ) = 1 . N1 ( t ) N3 ( t+ 1 ) = 2 . N2 ( t ) N4 ( t+ 1 ) = 3 . N3 ( t ) N5 ( t+ 1 ) = 4 . N4 ( t ) N6 ( t+ 1 ) = 5 . N5 ( t ) N7 ( t+ 1 ) = 6 . N6 ( t ) N8 ( t+ 1 ) = 7 . N7 ( t ) N9 ( t+ 1 ) = 8 . N8 ( t ) N10 ( t+ 1 ) = 9 . N9 ( t ) + (1 -  ) . N10(t)onde,  é a mortalidade de adultos, ou seja, o nosso sistema de equações é dado por: Ni (t+1) = i-1 . Ni-1 (t)
  • 24. Crescimento populacional da Tartaruga-da-Amazônia    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  N0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  N0      N1  N1   0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0   N2    N2    0 0  0 0 0 0 0 0 0 0  N  N3   2   3 N   0 0 0  0 0 0 0 0 0 0  N4  4   3   N5   0 0 0 0  0 0 0 0 0 0   N5 N   N6  4  0  6   0 0 0 0 5 0 0 0 0 0   N7   0  N7     N  0 0 0 0 0 0 0 0 0 N8   6  0   8 N9  0 0 0 0 0 0  0 0 0  7  N9    0  N  N10  (t 1) 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0     10  t    0 0 0 0 0 0 0 0 0  1-    9  N( t+1) = A N(t) N = [N0, N1, ..., N10] => N(t) = At N(0)
  • 25. Crescimento populacional da Tartaruga-da-AmazôniaAssumimos a razão sexual como sendo 1/2;Cada fêmea desova cerca de 90 ovos a cada estação ( = 90);Do total de ovos, apenas 81,6% sobrevivem, então do total de ovos apenas 40,8% serão fêmeas que emergirão (0 = 0,408);Há uma estimativa de que 5% dos filhotes que nascem conseguem sobreviver até um ano de vida (1 = 0,05);Desses, apenas 1% chega a fase reprodutiva, que acontece após os 9 anos de idade, ou seja, 2 3 4 5 6 7 8 9  0,01A partir daí, tem-se uma mortalidade de cerca de 95%, (1 -  = 0,05). P() = -11 + 0,0510 + 0,01836   0,745296820391
  • 26. Crescimento populacional da Tartaruga-da-AmazôniaO valor obtido para a cota de Kojima (  0,745296820391 < 1) para os parâmetros bióticos, a espécie Podochnemis expansa será extinta.No entanto, se pelo menos 20% dos filhotes nascidos completarem o primeiro ano de vida e, desses, outros 20% venham a atingir a idade reprodutiva, obtemos  = 1,05 ( > 1), o que nos leva a concluir que a espécie poderá ser preservada.Nesse sentido, a adoção de políticas de proteção, dará condições de preservar a espécie, caso contrário, a extinção será inevitável.
  • 27. Exemplo de Eubalaena glacialis
  • 28. Ciclo vital classificado por estágio Eubalaena glacialisfilhote imatura matura mãe Pós-mãe
  • 29. Eubalaena glacialis Fêmea Fêmea Fêmea matura comfilhote imatura matura recém nascido (mãer)
  • 30. Eubalaena glacialis 1=filhote 2=imaturo 3=matura 4=mãe 5=independente 6=morto
  • 31. Em perigo N < 300 indivíduos Recuperação mínima desde alimentação 1935 Pegos por barcosreprodução Capturas em redes de pesca
  • 32. Exemplo de Eubalaena glacialisMortalidade e feridos sérios devido a atividade pesqueira2030: morreu em outubre de 1999 1014 “Staccato” morreu em abril de 1999 pegoPego em rede por barco
  • 33. Eubalaena glacialisReproduzirantes demorrer Morrer antes de reproduzir Ciclo de vida modificado
  • 34. Estimativa dos Parâmetros Catalogo de identificação fotográfica Analise de marcação e recaptura de vários estágios Estimativas da verosimilidade máxima
  • 35. Estimativa dos Parâmetros
  • 36. Estimativa dos Parâmetros Taxa de Probabilidades de reprodução (s x s) transição (s x s)Probabilidades demortalidade (1 x s) Probabilidades de absorção (a x s)
  • 37. ResultadosDados de 1980 a 1998Serie de modelos estatísticosEvidencia da tendência de declínio nasobrevivência de mães, e da taxa denatalidadeTaxa de crescimento populacional declinou aníveis negativos Fujiwara e Caswell 2001 Caswell e Fujiwara 2004
  • 38. Analise dentro do ciclo vitalPartição de dados em transições ereproduçãoReconhece que a morte está presentecomo um estado absorventeO ciclo vital descreve a dinâmica deestados transientes de uma cadeiaMarkoviana absorvente
  • 39. 1=filhote2=imaturo3=maturo4=mãe5=independente6=morto
  • 40. Eubalaena glacialisMatriz fundamentalProporciona os tempos a absorção de cadaestágio começando em cada intervalo, ou sejapara cada cohort
  • 41. Eubalaena glacialisMatriz fundamental E(número de eventos reprodutivos)
  • 42. Eubalaena glacialisTempos de ocupação por estágios Número de vezes no estágioMatriz fundamentalMomentos secundáriosonde O produto HadamardVariância
  • 43. Eubalaena glacialis
  • 44. Cálculos da matrizMagnus e Neudecker 1988, Nel 1980
  • 45. Modelo invariante com o tempoMatriz de transição entre os estados transientes
  • 46. Eubalaena glacialisVariação temporal Projeta as condições para cada ano como se fossem constantes = valores dos períodosE os valores por cohort?
  • 47. Eubalaena glacialisVariância de tempos de ocupação de estado
  • 48. Eubalaena glacialisDesvio padrão dos tempos de ocupação de estado
  • 49. Eubalaena glacialisCoeficiente da variação nos tempos de ocupação de estado
  • 50. Eubalaena glacialisProbabilidade de absorção P[estado absorvente i/ começo de estagio transiente j)
  • 51. Eubalaena glacialisCadeia condicionalMatriz fundamental da cadeia condicional
  • 52. Eubalaena glacialisSensitividade da Matriz Fundamental
  • 53. Eubalaena glacialisSensitividade da matriz fundamental
  • 54. 70 Eubalaena glacialis período cohort 60Esperança da vida 50 40 30 20 10 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 Ano
  • 55. Eubalaena glacialisSensitividade da Esperança da Vida
  • 56. Eubalaena glacialisSensitividade da Esperança da Vida ao nascer
  • 57. Eubalaena glacialisVariância da Longevidade
  • 58. Eubalaena glacialisSensitividade da variância da longevidade ao nascer
  • 59. Eubalaena glacialisSensitividade do Número de Eventos Reprodutivos
  • 60. Eubalaena glacialisVariância nos tempos de ocupação de estado
  • 61. Eubalaena glacialisSensitividade da Variância do Número de Eventos Reprodutivos
  • 62. Eubalaena glacialisLongevidade Tempo a morte
  • 63. Eubalaena glacialisTaxa reprodutiva bruta Produção reprodutiva vital Eigenvalor dominanteSensitividade da taxa reprodutiva. W e v são os eigenvetores de FN;
  • 64. Eubalaena glacialis O intervalo de nascimentosIntervalo entre nascimentosDetermina a taxa de natalidadeVaria no tempoResponde ao ambienteEspecialmente importante para espécies queproduz poucos filhotesUm caso especial do “problema de timing”Calculo usas maquinaria de tempos deabsorção, mas condicionais
  • 65. Filhote da Cachalote 18 16 14Ocupação esperada (anos) 12 10 8 6 4 2 0 filhote imatura matura maternidade Pós-maternidade
  • 66. Filhote de CachaloteCV do tempo da ocupação de estágio 1.5 1 0.5 0 filhote imatura matura maternidade Pós-maternidade
  • 67. Cachalote 40 35 30Esperança da vida (anos) 25 20 15 10 5 0 filhote imatura matura maternidade Pós-maternidade
  • 68. Cachalote 1.4 1.2CV da esperança da vida 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 filhote matura matura maternidade Pós-maternidade Estágio
  • 69. Cachalote 12 10Tempo médio a reprodução (anos) 8 6 4 2 0 filhote imaturo maturo mãe independente Estágio de começo
  • 70. Eubalaena glacialisTaxa reprodutiva brutaSensitividade da taxa da reprodução bruta
  • 71. Eubalaena glacialisTempo de geração de cohort Idade dos pais da prole nascida a um cohortNo modelo classificado por estágio
  • 72. Eubalaena glacialisSensitividade do tempo de geração
  • 73. Eubalaena glacialisTempo de Geração anosSensitividade do Tempo de Geração
  • 74. Eubalaena glacialis Variação TemporalAs taxas vitais da cachalotemudaram entre 1980 e 1998
  • 75. 0.96 Eubalaena glacialis tendência Melhor modelo 0.94Sobrevivência de filhotes 0.92 0.9 0.88 0.86 0.84 0.82 1980 1984 1988 1992 1996 Ano
  • 76. 1 Eubalaena glacialis Tendência temporal Melhor modelo 0.95Sobrevivência Materna 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 1980 1984 1988 1992 1996 Ano
  • 77. 0.5 Eubalaena glacialis Tendência temporal Melhor modelo 0.45Probabilidade de nascer 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 1980 1984 1988 1992 1996 Ano
  • 78. Eubalaena glacialis 70 período 60Esperança da vida 50 40 30 20 10 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 Ano
  • 79. Análise de Perturbação Mudanças ambientais naturais Impactos humanos Ações de manejo Mudança evolutivaSe y é igual a qualquer valor calculado de P,q é igual a qualquer parâmetro que afeita P.Então e
  • 80. Derivado de Y respeito a XRegra de cadeiaDiferenciais e derivadosProdutos de Kronecker e o operador de vec
  • 81. Eubalaena glacialis E a matriz de permutação de vec
  • 82. Eubalaena glacialisA matrizVariação temporal
  • 83. ReferenciasCrooks et al. 1998. New insights on cheetah conservation through demographic modeling. Conservation Biology 12:889-895.Deborah T.Crouse, L.B. Crowder, e H. Caswell. 1987. A stage-based population Model for Loggerhead Sea Turtles and implications for conservation. Ecology, 68 (5), 1412 1423.Rolland, H. Lamberson, H, McKelvey, R. e Voss C. 1992. A Dynamic Analysis of Northern Spotted Owl Viability in a Fragmented Forest Landscape*. Conservation Biology, 6