La teoría de los números estudia las propiedades de los números enteros. Se explora la naturaleza de los números primos, incluyendo su distribución y cantidad, y cómo se pueden usar propiedades como los logaritmos y factores primos para cifrar información de forma segura. Un problema central sin resolver es la hipótesis de Riemann sobre la ubicación de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann.

2. • Es la parte de las Matemáticas queEs la parte de las Matemáticas que
estudia los números enteros y susestudia los números enteros y sus
propiedadespropiedades
¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS
NÚMEROS?NÚMEROS?
Matemática
Antigua
Matemática
Actual
Figuras
Números
Geometría
Teoría de
los Números

3. “La Matemática es la reina de las
ciencias y la Teoría de los
Números es la reina de las
Matemáticas”
Gauss, 1801Gauss, 1801
20042004
BiólogosBiólogos QuímicosQuímicos FísicosFísicos MatemáticosMatemáticos
¡No!¡No! ¡No!¡No!¡No!¡No! ¡No!¡No!

4. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓNNÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN
Aquél divisible sólo por él mismo y por 1
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...
?? ¿Qué es un número primo?¿Qué es un número primo?
EUCLIDES (c.300 a.d.C.):
Infinitos
“Más que cualquier cantidad de primos
dada”.
?? ¿Cuántos números primos hay?¿Cuántos números primos hay?

5. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓNNÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN
?? ¿Cuántos números primos hay?¿Cuántos números primos hay?
?? ¿En qué proporción?¿En qué proporción?
CHEBYSHEV (1848): A la larga, la
proporción se hace tan pequeña como
se quiera pero decrece menos
rápidamente que K/log x .
EULER (1737): La infinitud se
puede demostrar utilizando
series infinitas. Hay más primos
que cuadrados.

6. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓNNÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN
?? ¿Se puede aproximar bien la¿Se puede aproximar bien la
proporción con funcionesproporción con funciones
“normales”?“normales”?
10 cifras
40 cifras
70 cifras
100 cifras
< uno de cada 20
< uno de cada 90
< uno de cada 160
< uno de cada 230
Hadamard, de la Vallée-Poussin (Riemann):
Proporción de primos menores que N ~
cifrasdenº302'2
1
~
log
1
~
log
1
2
Nt
dt
N
N
∫

7. ζ(s)= producto sobre sus ceros (nº complejos)
Función con primos = fórmula complicada con ζ
⇓
c=Re(cero más a la derecha)
0 11/2
c
Prueba “buena”Prueba “buena”

Función rara= fórmula complicada con primos
)log(
log
)(
2
NNO
x
dx
N c
N
+= ∫π
1
1
)1()(
−−
∞
=
−
∏∑ −==
p
s
n
s
pnsζ
Riemann
}primos{#)( NN ≤=π

8. C
x
xx +−= ∑ρ
ρ
ρ
ψ )(
∫∫ +
−
+
−
+=
NN
dx
xx
xx
x
xx
x
dx
N
2
2
2
...
log
)(
log
)(
log
)(
ψψ
π

9. -2-4
MINI GUÍA DE LA FUNCIÓN ζ
1
Ceros en cautividad
(no son peligrosos)
!
Carril exclusivo
para los próximos
109
ceros
(RIEMANN)
Al infinito
No se admiten
ceros
∞
1/2
)log()log(
log
)(
2
NNONNO
x
dx
N c
N
++= ∫π

10. Hipótesis de Riemann (1859):Hipótesis de Riemann (1859): Todos los cerosTodos los ceros
no triviales de la funciónno triviales de la función ζ están en “fila india”.están en “fila india”.
∫
N
x
dx
N
2
log
~)(πTeorema de los números primosTeorema de los números primos
El error en el teorema de los númerosEl error en el teorema de los números
primos es lo menor posible (algo másprimos es lo menor posible (algo más
que la raíz cuadrada de N).que la raíz cuadrada de N).
HRHR

11. “A los matemáticos les es habitual pretender que las
ideas de que se ocupan son de naturaleza tan refinada y
espiritual que no son dominio de la fantasía, sino que
deben ser comprendidas por una visión pura e
intelectual de la que sólo las facultades del alma son
capaces.”
Hume, 1736Hume, 1736
EMPIRISMO: FILOSOFÍA “OFICIAL” DE LA CIENCIA
Hume: Las ideas son
impresiones
debilitadas
Abstracción,
Matemáticas
Realidad

12. Gracias a los números primos y sus propiedades
se pueden hacer conexiones seguras por canales
inseguros, acreditar identidades , etc.
No es propaganda. Las conexiones seguras en
internet funcionan así hoy (protocolos SSH, SSL,
firmas electrónicas) de manera cotidiana.
La mayoría de los matemáticos consideran
que el valor estético de la teoría de números
y de las Matemáticas en general, supera su
hipotético valor utilitario.
Pero ...

13. ¿Es posible transmitir públicamente sin¿Es posible transmitir públicamente sin
comprometer la seguridad?comprometer la seguridad?
¿Se puede jugar a las cartas por¿Se puede jugar a las cartas por
correo o por teléfono?correo o por teléfono? (I. Stewart)
A Bna lanca
...

14. ¿Cómo construir “candados” con los primos?¿Cómo construir “candados” con los primos?
Cosas fáciles (conCosas fáciles (con
ordenador):ordenador):· Multiplicar dos primos grandes
· Calcular el resto r de ab
al dividir por p
Cosas difíciles (incluso con ordenador):Cosas difíciles (incluso con ordenador):
· Factorizar
· Tomar “logaritmos”: hallar b a partir de a, r y p
· RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1978)
· Diffie-Hellman (1976)

15. La aritmética del relojLa aritmética del reloj
2=14=122 8=20=-4
Suma
11+4=3
Resta
2-3=-1=11
Multiplicación
7·7=1
División 2·algo=5, no existe 5/2.
Notación:
)12(ba ≡ Significa que a y b son la misma hora
)( pba ≡ Lo mismo para un reloj con p (primo)
números

16. La aritmética del reloj (primo)La aritmética del reloj (primo)
· En los relojes primos se puede dividir, salvo por 0.
· Siempre hay horas “generadoras”: multiplicadas
por sí mismas dan todas las horas no nulas.
),5(12),5(32),5(42),5(22 4321
≡≡≡≡
p=3
)3(28 ≡ )5(111≡
p=5
· (China, comienzos de nuestra era) 2·2· p veces
·2
son siempre las 2 en un reloj primo.
· (Fermat, siglo XVII) a · a · p veces
· a
son siempre las a en un reloj primo.

17. a
p=primo grande (cientos de cifras), g= generador
gb
ga
b
Clave=gab
Clave=gab
x Cx Cx x
x= mensaje
(p)
Ana Blanca
¿ ga
, gb
gab
?

18. 9
10
NÚMEROS + ANÁLISIS
¿Cómo contar con ondas?¿Cómo contar con ondas?
¿Cuántos enteros hay entre 0’8 y 10’3?
1 32 10
.....
∑ondas
enrollar
analizar
Método mejor

19. Ejemplo no trivial:
nnd dedivisoresdenº)( =
∑=
++=
N
n
NOCNNNnd
1
315'0
)(log)(
∑∑∑ ∑ ==
= =
ondas]}/,1[intervaloelen{#)(
1 1
N
n
N
a
aNbnd
abn =
14423221,6?)(¿
1
=+++++=∑=
Nnd
N
n

20. Tambor rectangular:
Tambor hiperbólico (no euclídeo):
Tambor circular, esférico:
Ondas de Maass (formas modulares)
Un muestrario de ondasUn muestrario de ondas
},{# 222222
Nbapdcba ≤+=−−+
pNp /)1(8~ +

21. Contar bien estudiar interferencias
Dos ideas:
· Con ondas de frecuencia n no se pueden apreciar
objetos de tamaño menor que 1/n. (P. Incertidumbre)
· Estadísticamente, las ondas “independientes” no
tienen resonancia.

22. Teorema de Vinogradov:
· Todo número impar suficientemente grande
se puede escribir como suma de tres primos.
∑≤
=
Np
pxS )2cos( π
Tiene “resonancias” en y en otros valores,
que podemos estudiar, e interferencias destructivas
en el resto.
0=x