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Dos ideas:
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Teorema de Vinogradov:
· Todo número impar suficientemente grande
se puede escribir como suma de tres primos.
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  1. 1. • Es la parte de las Matemáticas queEs la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y susestudia los números enteros y sus propiedadespropiedades ¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS?NÚMEROS? Matemática Antigua Matemática Actual Figuras Números Geometría Teoría de los Números
  2. 2. “La Matemática es la reina de las ciencias y la Teoría de los Números es la reina de las Matemáticas” Gauss, 1801Gauss, 1801 20042004 BiólogosBiólogos QuímicosQuímicos FísicosFísicos MatemáticosMatemáticos ¡No!¡No! ¡No!¡No!¡No!¡No! ¡No!¡No!
  3. 3. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓNNÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN Aquél divisible sólo por él mismo y por 1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ... ?? ¿Qué es un número primo?¿Qué es un número primo? EUCLIDES (c.300 a.d.C.): Infinitos “Más que cualquier cantidad de primos dada”. ?? ¿Cuántos números primos hay?¿Cuántos números primos hay?
  4. 4. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓNNÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ?? ¿Cuántos números primos hay?¿Cuántos números primos hay? ?? ¿En qué proporción?¿En qué proporción? CHEBYSHEV (1848): A la larga, la proporción se hace tan pequeña como se quiera pero decrece menos rápidamente que K/log x . EULER (1737): La infinitud se puede demostrar utilizando series infinitas. Hay más primos que cuadrados.
  5. 5. NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓNNÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN ?? ¿Se puede aproximar bien la¿Se puede aproximar bien la proporción con funcionesproporción con funciones “normales”?“normales”? 10 cifras 40 cifras 70 cifras 100 cifras < uno de cada 20 < uno de cada 90 < uno de cada 160 < uno de cada 230 Hadamard, de la Vallée-Poussin (Riemann): Proporción de primos menores que N ~ cifrasdenº302'2 1 ~ log 1 ~ log 1 2 Nt dt N N ∫
  6. 6. ζ(s)= producto sobre sus ceros (nº complejos) Función con primos = fórmula complicada con ζ ⇓ c=Re(cero más a la derecha) 0 11/2 c Prueba “buena”Prueba “buena”  Función rara= fórmula complicada con primos )log( log )( 2 NNO x dx N c N += ∫π 1 1 )1()( −− ∞ = − ∏∑ −== p s n s pnsζ Riemann }primos{#)( NN ≤=π
  7. 7. C x xx +−= ∑ρ ρ ρ ψ )( ∫∫ + − + − += NN dx xx xx x xx x dx N 2 2 2 ... log )( log )( log )( ψψ π
  8. 8. -2-4 MINI GUÍA DE LA FUNCIÓN ζ 1 Ceros en cautividad (no son peligrosos) ! Carril exclusivo para los próximos 109 ceros (RIEMANN) Al infinito No se admiten ceros ∞ 1/2 )log()log( log )( 2 NNONNO x dx N c N ++= ∫π
  9. 9. Hipótesis de Riemann (1859):Hipótesis de Riemann (1859): Todos los cerosTodos los ceros no triviales de la funciónno triviales de la función ζ están en “fila india”.están en “fila india”. ∫ N x dx N 2 log ~)(πTeorema de los números primosTeorema de los números primos El error en el teorema de los númerosEl error en el teorema de los números primos es lo menor posible (algo másprimos es lo menor posible (algo más que la raíz cuadrada de N).que la raíz cuadrada de N). HRHR
  10. 10. “A los matemáticos les es habitual pretender que las ideas de que se ocupan son de naturaleza tan refinada y espiritual que no son dominio de la fantasía, sino que deben ser comprendidas por una visión pura e intelectual de la que sólo las facultades del alma son capaces.” Hume, 1736Hume, 1736 EMPIRISMO: FILOSOFÍA “OFICIAL” DE LA CIENCIA Hume: Las ideas son impresiones debilitadas Abstracción, Matemáticas Realidad
  11. 11. Gracias a los números primos y sus propiedades se pueden hacer conexiones seguras por canales inseguros, acreditar identidades , etc. No es propaganda. Las conexiones seguras en internet funcionan así hoy (protocolos SSH, SSL, firmas electrónicas) de manera cotidiana. La mayoría de los matemáticos consideran que el valor estético de la teoría de números y de las Matemáticas en general, supera su hipotético valor utilitario. Pero ...
  12. 12. ¿Es posible transmitir públicamente sin¿Es posible transmitir públicamente sin comprometer la seguridad?comprometer la seguridad? ¿Se puede jugar a las cartas por¿Se puede jugar a las cartas por correo o por teléfono?correo o por teléfono? (I. Stewart) A Bna lanca ...
  13. 13. ¿Cómo construir “candados” con los primos?¿Cómo construir “candados” con los primos? Cosas fáciles (conCosas fáciles (con ordenador):ordenador):· Multiplicar dos primos grandes · Calcular el resto r de ab al dividir por p Cosas difíciles (incluso con ordenador):Cosas difíciles (incluso con ordenador): · Factorizar · Tomar “logaritmos”: hallar b a partir de a, r y p · RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1978) · Diffie-Hellman (1976)
  14. 14. La aritmética del relojLa aritmética del reloj 2=14=122 8=20=-4 Suma 11+4=3 Resta 2-3=-1=11 Multiplicación 7·7=1 División 2·algo=5, no existe 5/2. Notación: )12(ba ≡ Significa que a y b son la misma hora )( pba ≡ Lo mismo para un reloj con p (primo) números
  15. 15. La aritmética del reloj (primo)La aritmética del reloj (primo) · En los relojes primos se puede dividir, salvo por 0. · Siempre hay horas “generadoras”: multiplicadas por sí mismas dan todas las horas no nulas. ),5(12),5(32),5(42),5(22 4321 ≡≡≡≡ p=3 )3(28 ≡ )5(111≡ p=5 · (China, comienzos de nuestra era) 2·2· p veces ·2 son siempre las 2 en un reloj primo. · (Fermat, siglo XVII) a · a · p veces · a son siempre las a en un reloj primo.
  16. 16. a p=primo grande (cientos de cifras), g= generador gb ga b Clave=gab Clave=gab x Cx Cx x x= mensaje (p) Ana Blanca ¿ ga , gb gab ?
  17. 17. 9 10 NÚMEROS + ANÁLISIS ¿Cómo contar con ondas?¿Cómo contar con ondas? ¿Cuántos enteros hay entre 0’8 y 10’3? 1 32 10 ..... ∑ondas enrollar analizar Método mejor
  18. 18. Ejemplo no trivial: nnd dedivisoresdenº)( = ∑= ++= N n NOCNNNnd 1 315'0 )(log)( ∑∑∑ ∑ == = = ondas]}/,1[intervaloelen{#)( 1 1 N n N a aNbnd abn = 14423221,6?)(¿ 1 =+++++=∑= Nnd N n
  19. 19. Tambor rectangular: Tambor hiperbólico (no euclídeo): Tambor circular, esférico: Ondas de Maass (formas modulares) Un muestrario de ondasUn muestrario de ondas },{# 222222 Nbapdcba ≤+=−−+ pNp /)1(8~ +
  20. 20. Contar bien estudiar interferencias Dos ideas: · Con ondas de frecuencia n no se pueden apreciar objetos de tamaño menor que 1/n. (P. Incertidumbre) · Estadísticamente, las ondas “independientes” no tienen resonancia.
  21. 21. Teorema de Vinogradov: · Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos. ∑≤ = Np pxS )2cos( π Tiene “resonancias” en y en otros valores, que podemos estudiar, e interferencias destructivas en el resto. 0=x
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