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### Transcript of "Ejercicios resueltos de derivadasintegrales"

1. 1. Ejercicios de derivadas e integralesEste material puede descargarse desde http://www.uv.es/~montes/biologia/matcero.pdfDepartament d’Estad´ ıstica i Investigaci´ Operativa oUniversitat de Val`ncia e
2. 2. DerivadasReglas de derivaci´n o d Suma [f (x) + g(x)] = f (x) + g (x) dx d [kf (x)] = kf (x) dx Producto d [f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x) dx d f (x) f (x)g(x) − f (x)g (x) Cociente = dx g(x) g(x)2 d {f [g(x)]} = f [g(x)]g (x) dx Regla de la cadena d {f (g[h(x)])} = f (g[h(x)])g [h(x)]h (x) dx d k d (x ) = kxk−1 [f (x)k ] = kf (x)k−1 f (x) dx dx d √ d 1/2 1 d f (x) Potencia ( x) = (x ) = √ [ f (x)] = dx dx 2 x dx 2 f (x) d 1 d −1 1 d 1 f (x) = (x ) = − 2 =− dx x dx x dx f (x) f (x)2
3. 3. 2Reglas de derivaci´n (continuaci´n) o o d d (sin x) = cos x [sin f (x)] = cos f (x)f (x) dx dx d d Trigonom´tricas e (cos x) = − sin x [cos f (x)] = − sin f (x)f (x) dx dx d d (tan x) = 1 + tan2 x [tan f (x)] = [1 + tan2 f (x)]f (x) dx dx d 1 d f (x) (arcsin x) = √ [arcsin f (x)] = dx 1 − x2 dx 1 − f (x)2 d −1 d −f (x) Funciones de arco (arc cos x) = √ [arc cos f (x)] = dx 1 − x2 dx 1 − f (x)2 d 1 d f (x) (arctan x) = [arctan f (x)] = dx 1 + x2 dx 1 + f (x)2 d x d f (x) (e ) = ex (e ) = ef (x) f (x) dx dx Exponenciales d x d f (x) (a ) = ax ln a (a ) = af (x) ln af (x) dx dx d 1 d f (x) (ln x) = (ln f (x)) = dx x dx f (x) Logar´ ıtmicas d 1 1 d f (x) 1 (lg x) = (lg f (x)) = dx a x ln a dx a f (x) ln a
4. 4. 3Ejercicios de derivadas 1. Determinar las tangentes de los ´ngulos que forman con el eje positivo de las x las l´ a ıneas tangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´ﬁca y representar a las l´ ıneas tangentes. Soluci´n.- a) 3/4, b) 3. o 2. Determinar las tangentes de los ´ngulos que forman con el eje positivo de las x las l´ a ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´ﬁca y representar a las l´ ıneas tangentes. Soluci´n.- a) -4, b) -1. o 3. Hallar la derivada de la funci´n y = x4 + 3x2 − 6. o Soluci´n.- y = 4x3 + 6x. o 4. Hallar la derivada de la funci´n y = 6x3 − x2 . o Soluci´n.- y = 18x2 − 2x. o x5 x2 5. Hallar la derivada de la funci´n y = o a+b − a−b . 5x4 2x Soluci´n.- y = o a+b − a−b . x3 −x2 +1 6. Hallar la derivada de la funci´n y = o 5 . 3x2 −2x Soluci´n.- y = o 5 . x2 7. Hallar la derivada de la funci´n y = 2ax3 − o b + c. 2 2x Soluci´n.- y = 6ax − o b . 7 5 8. Hallar la derivada de la funci´n y = 6x 2 + 4x 2 + 2x. o 5 3 Soluci´n.- y = 21x 2 + 10x 2 + 2. o √ √ 1 9. Hallar la derivada de la funci´n y = o 3x + 3 x + x. √ 3 1 1 Soluci´n.- y = o √ 2 x + √ 3 2 − x2 . 3 x (x+1)3 10. Hallar la derivada de la funci´n y = o 3 . x2 3(x+1)2 (x−1) Soluci´n.- y = o 5 . 2x 2 √ 3 √ 11. Hallar la derivada de la funci´n y = o x2 − 2 x + 5. 1 2 √ 1 Soluci´n.- y = o 3 3x − √ . x √ 3 ax2 b √x . 12. Hallar la derivada de la funci´n y = o √3 x + √ x x − x 2 5 7 Soluci´n.- y = 5 ax 3 − 2 bx− 2 + 1 x− 6 . o 3 3 6 13. Hallar la derivada de la funci´n y = (1 + 4x3 )(1 + 2x2 ). o Soluci´n.- y = 4x(1 + 3x + 10x3 ). o 14. Hallar la derivada de la funci´n y = x(2x − 1)(3x + 2). o Soluci´n.- y = 2(9x2 + x − 1). o
5. 5. 4 15. Hallar la derivada de la funci´n y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3). o Soluci´n.- y = 6x2 − 26x + 12. o 2x4 16. Hallar la derivada de la funci´n y = o b2 −x2 . 4x3 (2b2 −x2 ) Soluci´n.- y = o (b2 −x2 )2 . a−x 17. Hallar la derivada de la funci´n y = o a+x . 2a Soluci´n.- y = − (a+x)2 . o t3 18. Hallar la derivada de la funci´n f (t) = o 1+t2 . t2 (3+t2 Soluci´n.- f (t) = o (1+t2 )2 . (s+4)2 19. Hallar la derivada de la funci´n f (s) = o s+3 . (s+2)(s+4) Soluci´n.- f (s) = o (s+3)2 . x3 +1 20. Hallar la derivada de la funci´n y = o x2 −x−2 . x4 −2x3 −6x2 −2x+1 Soluci´n.- y = o (x2 −x−2)2 . 21. Hallar la derivada de la funci´n y = (2x2 − 3)2 . o Soluci´n.- y = 8x(2x2 − 3). o 22. Hallar la derivada de la funci´n y = (x2 + a2 )5 . o Soluci´n.- y = 10x(x2 + a2 )4 . o √ 23. Hallar la derivada de la funci´n y = o x2 + a2 . Soluci´n.- y = o √ x . x2 +a2 √ 24. Hallar la derivada de la funci´n y = (a + x) a − x. o a−3x Soluci´n.- y = o √ 2 a−x . 1+x 25. Hallar la derivada de la funci´n y = o 1−x . 1 Soluci´n.- y = o √ (1−x) 1−x2 . 2x2 −1 26. Hallar la derivada de la funci´n y = o √ x 1+x2 . 1+4x2 Soluci´n.- y = o 3 . x2 (1+x2 ) 2 √ 3 27. Hallar la derivada de la funci´n y = o x2 + x + 1. 2x+1 Soluci´n.- y = √ o 3 . 3 (x2 +x+1)2 √ 28. Hallar la derivada de la funci´n y = (1 + o 3 x)3 . 2 1 Soluci´n.- y = 1 + o √ 3 x .
6. 6. 529. Hallar la derivada de la funci´n y = sin2 x. o Soluci´n.- y = sin 2x. o30. Hallar la derivada de la funci´n y = 2 sin x + cos 3x. o Soluci´n.- y = 2 cos x − 3 sin 3x. o31. Hallar la derivada de la funci´n y = tan(ax + b). o a Soluci´n.- y = o cos2 (ax+b) . sin x32. Hallar la derivada de la funci´n y = o 1+cos x . 1 Soluci´n.- y = o 1+cos x .33. Hallar la derivada de la funci´n y = sin 2x cos 3x. o Soluci´n.- y = 2 cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x. o34. Hallar la derivada de la funci´n y = cot2 5x. o Soluci´n.- y = −10 cot 5x csc2 5x. o35. Hallar la derivada de la funci´n f (t) = t sin t + cos t. o Soluci´n.- f (t) = t cos t. o36. Hallar la derivada de la funci´n f (t) = sin3 t cos t. o Soluci´n.- f (t) = sin2 t(3 cos2 t − sin2 t). o √37. Hallar la derivada de la funci´n y = a cos 2x. o Soluci´n.- y = − √sin 2x . o a cos 2x 138. Hallar la derivada de la funci´n y = o 2 tan2 x. Soluci´n.- y = tan x sec2 x. o39. Hallar la derivada de la funci´n y = ln cos x. o Soluci´n.- y = − tan x. o40. Hallar la derivada de la funci´n y = ln tan x. o 2 Soluci´n.- y = o sin 2x .41. Hallar la derivada de la funci´n y = ln sin2 x. o Soluci´n.- y = 2 cot x. o tan x−142. Hallar la derivada de la funci´n y = o sec x . Soluci´n.- y = sin x + cos x. o 1+sin x43. Hallar la derivada de la funci´n y = ln o 1−sin x . 1 Soluci´n.- y = o cos x .44. Hallar la derivada de la funci´n f (x) = sin(ln x). o cos(ln x) Soluci´n.- f (x) = o x .
7. 7. 6 45. Hallar la derivada de la funci´n f (x) = tan(ln x). o sec2 (ln x) Soluci´n.- f (x) = o x . 46. Hallar la derivada de la funci´n f (x) = sin(cos x). o Soluci´n.- f (x) = − sin x cos(cos x). o 1+x 47. Hallar la derivada de la funci´n y = ln 1−x . o 2 Soluci´n.- y = o 1−x2 . 48. Hallar la derivada de la funci´n y = log3 (x2 − sin x). o 2x−cos x Soluci´n.- y = o (x2 −sin x) ln 3 . 2 1+x 49. Hallar la derivada de la funci´n y = ln 1−x2 . o 4x Soluci´n.- y = o 1−x4 . 50. Hallar la derivada de la funci´n y = ln(x2 + x). o 2x+1 Soluci´n.- y = o x2 +x . 51. Hallar la derivada de la funci´n y = ln(x3 − 2x + 5). o 3x2 −2 Soluci´n.- y = o x3 −2x+5 . 52. Hallar la derivada de la funci´n y = x ln x. o Soluci´n.- y = ln x + 1. o 53. Hallar la derivada de la funci´n y = ln3 x. o 3 ln2 x Soluci´n.- y = o x . √ 54. Hallar la derivada de la funci´n y = ln(x + o 1 + x2 ). Soluci´n.- y = o √ 1 . 1+x2 55. Hallar la derivada de la funci´n y = ln(ln x). o 1 Soluci´n.- y = o x ln x . 56. Hallar la derivada de la funci´n y = e(4x+5) . o Soluci´n.- y = 4e(4x+5) . o 2 57. Hallar la derivada de la funci´n y = ax . o 2 Soluci´n.- y = 2xax ln a. o 2 58. Hallar la derivada de la funci´n y = 7(x o +2x) . 2 (x +2x) Soluci´n.- y = 2(x + 1)7 o ln 7. 59. Hallar la derivada de la funci´n y = ex (1 − x2 ). o Soluci´n.- y = ex (1 − 2x − x2 ). o ex −1 60. Hallar la derivada de la funci´n y = o ex +1 . 2ex Soluci´n.- y = o (ex +1)2 .
8. 8. 761. Hallar la derivada de la funci´n y = esin x . o Soluci´n.- y = esin x cos x. o62. Hallar la derivada de la funci´n y = atan nx . o Soluci´n.- y = natan nx sec2 nx ln a. o63. Hallar la derivada de la funci´n y = ecos x sin x. o Soluci´n.- y = ecos x (cos x − sin2 x). o64. Hallar la derivada de la funci´n y = ex ln(sin x). o Soluci´n.- y = ex (cot x + ln(sin x)). o 165. Hallar la derivada de la funci´n y = x x . o 1 1−ln x Soluci´n.- y = x x o x2 .66. Hallar la derivada de la funci´n y = xln x . o Soluci´n.- y = xln x−1 ln x2 . o67. Hallar la derivada de la funci´n y = xx . o Soluci´n.- y = xx (1 + ln x). o x68. Hallar la derivada de la funci´n y = ex . o x Soluci´n.- y = ex (1 + ln x)xx . o
9. 9. 8
10. 10. IntegralesTabla de integrales inmediatas xp+1 f (x)p+1 xp dx = +C (p = −1) f (x)p f (x)dx = +C (p = −1) p+1 p+1 1 f (x) dx = ln |x| + C dx = ln |f (x)| + C x f (x) sin xdx = − cos x + C f (x) sin f (x)dx = − cos f (x) + C cos xdx = sin x + C f (x) cos f (x)dx = sin f (x) + C 1 f (x) dx = tan x + C dx = tan f (x) + C cos2 x cos2 f (x) 1 f (x) dx = − cot x + C dx = − cot f (x) + C sin2 x sin2 f (x) 1 f (x) dx = arctan x + C dx = arctan f (x) + C 1 + x2 1 + f (x)2 1 f (x) √ dx = arcsin x + C dx = arcsin f (x) + C 1 − x2 1 − f (x)2
11. 11. 10Tabla de integrales inmediatas (continuaci´n) o −1 −f (x) √ dx = arc cos x + C dx = arc cos f (x) + C 1 − x2 1 − f (x)2 ex dx = ex + C f (x)ef (x) dx = ef (x) + C ax af (x) ax dx = +C f (x)af (x) dx = +C ln a ln aEjercicios de integrales indeﬁnidas 1. Calcular la integral x5 dx. x6 Soluci´n.- o + C. 6 √ 2. Calcular la integral (x + x)dx. √ x2 2x x Soluci´n.- o + + C. 2 3 √ 3 x x 3. Calcular la integral √ − dx. x 4 √ 1 √ Soluci´n.- 6 x − x2 x + C. o 10 x2 4. Calcular la integral √ dx. x 2 2√ Soluci´n.- o x x + C. 5 1 4 5. Calcular la integral + √ + 2 dx. x2 x x 1 8 Soluci´n.- − o − √ + 2x + C. x x 1 6. Calcular la integral √ dx. 4 x 4√ 3 4 Soluci´n.- o x + C. 3
12. 12. 11 7. Calcular la integral e5x dx. 1 Soluci´n.- e5x + C. o 5 8. Calcular la integral cos 5xdx. sin 5x Soluci´n.- o + C. 5 9. Calcular la integral sin axdx. cos ax Soluci´n.- − o + C. a ln x10. Calcular la integral dx. x 1 2 Soluci´n.- o ln x + C. 2 111. Calcular la integral dx. sin2 3x cot 3x Soluci´n.- − o + C. 3 112. Calcular la integral dx. cos2 7x tan 7x Soluci´n.- o + C. 7 113. Calcular la integral dx. 3x − 7 1 Soluci´n.- o ln |3x − 7| + C. 3 114. Calcular la integral dx. 1−x Soluci´n.- − ln |1 − x| + C. o 115. Calcular la integral dx. 5 − 2x 1 Soluci´n.- − ln |5 − 2x| + C. o 216. Calcular la integral tan 2xdx. 1 Soluci´n.- − ln | cos 2x| + C. o 217. Calcular la integral sin2 x cos xdx. sin3 x Soluci´n.- o + C. 318. Calcular la integral cos3 x sin xdx. cos4 x Soluci´n.- − o + C. 4
13. 13. 12 √ 19. Calcular la integral x x2 + 1dx. 1 Soluci´n.- o (x2 + 1)3 + C. 3 x 20. Calcular la integral √ dx. 2x2 + 3 1 Soluci´n.- o 2x2 + 3 + C. 2 cos x 21. Calcular la integral dx. sin2 x 1 Soluci´n.- − o + C. sin x sin x 22. Calcular la integral dx. cos3 x 1 Soluci´n.- o + C. 2 cos2 x tan x 23. Calcular la integral dx. cos2 x tan2 x Soluci´n.- o + C. 2 cot x 24. Calcular la integral dx. sin2 x cot2 x Soluci´n.- − o + C. 2 ln(x + 1) 25. Calcular la integral dx. x+1 ln2 (x + 1) Soluci´n.- o + C. 2 cos x 26. Calcular la integral √ dx. 2 sin x + 1 √ Soluci´n.- 2 sin x + 1 + C. o sin 2x 27. Calcular la integral dx. (1 + cos 2x)2 1 Soluci´n.- o + C. 2(1 + cos 2x) sin 2x 28. Calcular la integral dx. 1 + sin2 x Soluci´n.- 2 1 + sin2 x + C. o √ tan x + 1 29. Calcular la integral dx. cos2 x 2 Soluci´n.- o (tan x + 1)3 + C. 3
14. 14. 13 ln2 x30. Calcular la integral dx. x ln3 x Soluci´n.- o + C. 3 arcsin x31. Calcular la integral √ dx. 1 − x2 arcsin2 x Soluci´n.- o + C. 2 x32. Calcular la integral dx. x2 + 1 1 Soluci´n.- ln(x2 + 1) + C. o 2 x+133. Calcular la integral dx. x2 + 2x + 3 1 Soluci´n.- o ln(x2 + 2x + 3) + C. 234. Calcular la integral e2x dx. 1 Soluci´n.- e2x + C. o 2 x35. Calcular la integral e 2 dx. x Soluci´n.- 2e 2 + C. o36. Calcular la integral esin x cos xdx. Soluci´n.- esin x + C. o37. Calcular la integral 3x ex dx. 3x e x Soluci´n.- o + C. ln 3 + 138. Calcular la integral e−3x dx. 1 Soluci´n.- − e−3x + C. o 3 239. Calcular la integral ex +4x+3 (x + 2)dx. 1 2 Soluci´n.- ex +4x+3 + C. o 2 140. Calcular la integral dx. 1 + 2x2 1 √ Soluci´n.- √ arctan( 2x) + C. o 2 141. Calcular la integral √ dx. 1 − 3x2 1 √ Soluci´n.- √ arcsin( 3x) + C. o 3
15. 15. 14 1 42. Calcular la integral √ dx. 9 − x2 x Soluci´n.- arcsin o + C. 3 1 43. Calcular la integral dx. 4 + x2 1 x Soluci´n.- arctan + C. o 2 2
16. 16. 15Integraci´n por partes o Recordemos la f´rmula de la deriva del producto de funciones o d [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x), dxque expresada bajo forma de diferencial da lugar a d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)].De donde se obtiene, u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)].Integrando ahora ambos miembros tendremos u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) − v(x)d[u(x)],que se escribe tambi´n en forma abreviada, e udv = uv − vdu. (1)Esta expresi´n es conocida como la f´rmula de la integraci´n por partes y es de gran utilidad o o opara la resoluci´n de integrales. Se aplica a la resoluci´n de las integrales udv a partir de o ola integral vdu que se supone m´s sencilla. La aplicaci´n de (1) exige primero identiﬁcar a oadecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemploEjemplo 1 Si queremos calcular la integral x3 ln xdx,observemos que la integral de x3 es inmediata y que la derivada de ln x es tambi´n muy sencilla. eAs´ si asignamos ı, u = ln x y dv = x3 dx,tendremos dx x4 du = y v= + C1 , x 4si integramos ahora x4 x3 ln xdx = ln x d + C1 4 x4 x4 dx = + C1 ln x − + C1 4 4 x x4 x3 C1 = + C1 ln x − + dx 4 4 x x4 x4 = ln x − + C. 4 16Observemos que la primera constante de integraci´n C1 se cancela de la respuesta ﬁnal (C1 ln x− oC1 ln x). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´ctica, nunca aincluimos una constante de integraci´n en v(x), simplemente tomaremos para v(x) cualquier oprimitiva de dv(x).
17. 17. 16Algunos tipos de integrales que se resuelven por partes xn ex dx u = xn dv = ex dx xn sin xdx u = xn dv = sin xdx xn cos xdx u = xn dv = cos xdx xn ln xdx u = ln x dv = xn dx arctan xdx u = arctan x dv = dx arcsin xdx u = arcsin x dv = dx ln xdx u = ln x dv = dxEjercicios de integraci´n por partes o 1. Calcular la integral xex dx. Soluci´n.- xex − ex + C. o 2. Calcular la integral ln xdx. Soluci´n.- x ln x − x + C. o 3. Calcular la integral x2 e3x dx. x2 2x 2 Soluci´n.- e3x o − + + C. 3 9 27 4. Calcular la integral x3 e−x dx. Soluci´n.- −e−x x3 + 3x2 + 6x + 6 + C. o 5. Calcular la integral x sin xdx. Soluci´n.- −x cos x + sin x + C. o 6. Calcular la integral x2 cos 2xdx. x2 sin 2x x cos 2x 1 Soluci´n.- o + − sin 2x + C. 2 2 4 7. Calcular la integral ex sin xdx. −ex cos x + ex sin x Soluci´n.- o + C. 2 3 8. Calcular la integral x5 ex dx. 3 ex Soluci´n.- o (x3 − 1) + C. 3
18. 18. 17Ejercicios de integrales deﬁnidas y c´lculo de ´reas a a 1 1. Calcular la integral deﬁnida 0 x4 dx. 1 Soluci´n.- . o 5 1 x 2. Calcular la integral deﬁnida 0 e dx. Soluci´n.- e − 1. o π 3. Calcular la integral deﬁnida 2 0 sin xdx. Soluci´n.- 1. o 1 1 4. Calcular la integral deﬁnida 0 dx. 1 + x2 π Soluci´n.- o . 4 5. Hallar el ´rea de la ﬁgura comprendida entre la curva y = 4 − x2 y el eje X. a 2 Soluci´n.- 10 . o 3 6. Hallar el ´rea de la ﬁgura comprendida entre las curvas y 2 = 9x e y = 3x. a 1 Soluci´n.- . o 2 7. Hallar el ´rea de la ﬁgura limitada por la hip´rbola equil´tera xy = a2 , el eje X y las a e a rectas x = a y x = 2a. Soluci´n.- a2 ln 2. o