Princípios de Estatística Inferencial - I

Classificação de variáveis
Estatística descritiva
Medidas de tendência central
Moda, Média, Mediana
Medidas de posição
Média, mediana, porcentis
Medidas de dispersão
Amplitude, Desvio-médio, Variância, DP, CV
Medidas de Forma
Assimetria e Curtose

Paulo Novis Rocha Nefrologista Professor Adjunto do Depto. Medicina FMB-UFBA Professor Colaborador do PPgCS

Plano de Apresentação
Distribuições de frequências
Introdução à inferência estatística
Testes de hipóteses estatísticas
Nível de significância estatística
Tipos de erro
Intervalo de confiança

Curva Normal (Gauss)

Distribuições de Freqüências
Tabela de Freqüências
Histograma
Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008

Distribuições de Freqüências Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008

Distribuições de freqüências: Variáveis contínuas Como idade é uma variável contínua, à medida que o número de observações tende a infinito, podemos abolir os intervalos de classe, sendo cada valor de idade representado na abscissa. Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008

Age Distribution of 10,000 entrants in senior citizen roller derby
Original distribution of numbers can be viewed as an expression of the probability that any individual chosen at random from the original sample may fall in a particular category
Norman & Streiner. PDQ Statistics. 1986

Distribuições de freqüências: Variáveis discretas Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008

Tipos de Distribuições de Freqüências
Normal ou Gaussiana
Binomial
Poisson
T
F
Qui-quadrado
Hipergeométrica

Distribuições reais: Variáveis contínuas Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008

Distribuição Normal / Gaussiana Curva teórica para população infinita Abraham de Moivre / Carl Friederich Gauss

Os estatísticos utilizam distribuições probabilísticas como modelo gráfico e matemático para as distribuições de freqüências A finalidade é lançar mão das propriedades teóricas das primeiras como ferramentas para inferir os resultados obtidos em uma amostra para a população mais ampla de onde esta amostra foi retirada

Curva de Gauss (NORMAL): Propriedades Matemáticas
A área delimitada entre dois valores de X corresponde à probabilidade de obtermos valores de X entre esses dois valores
É completamente determinada por sua média e desvio-padrão
É simétrica em relação à sua média
Média = mediana = moda
Assintótica (extremos nunca tocam a abscissa)

Distribuições de freqüências Distribuições probabilísticas A área sob a curva representa uma probabilidade. Se X = idade, x 1 = 35 e x 2 = 45, por exemplo, a área sombreada corresponde à probabilidade de obtermos indivíduos com idade entre 35 e 45 anos. Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008

Cálculo de área: Figuras geométricas perfeitas Área do círculo =  . r 2

Distribuições de freqüências Distribuições probabilísticas Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008

1ª Propriedade

Probabilidade = 95% -1,96 DP +1,96 DP Exemplo: n = 311 agentes penitenciários Média idades ± DP = 40,27 ± 7,60 anos 40,27 – [1,96x(7,60)] = 40,27 – 14,896 = 25,374 40,27 + [1,96x(7,60)] = 40,27 + 14,896 = 55,166 Probabilidade dos agentes apresentarem idade entre 25 e 55 anos = 95%

2ª Propriedade
Médias iguais, DP diferentes
Médias diferentes, DP iguais
É completamente determinada por sua média e desvio-padrão Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008

Curva Normal Padrão
Valores de Z (unidades de desvio-padrão).
Todas as áreas sob a curva normal padrão já foram calculadas e colocadas sob forma de tabela (TABELA Z).
Em estatística uma grande aplicação da curva normal é para o cálculo de probabilidades durante a realização de testes estatísticos.

Exemplo: qual a área sob a curva correspondente a valores de Z menores do que 2,00? Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008

Exemplo: qual a área sob a curva correspondente a valores de Z menores do que 2,00? Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008 A área sob a curva entre - ∞ e z = 2,00 é 0,9772. Podemos então afirmar que há uma probabilidade de 97,72% de um valor qualquer de Z selecionado aleatoriamente estar entre - ∞ e 2,00.

Exemplo: n = 311 agentes penitenciários Média idade 40,27 anos com desvio padrão 7,60 anos. Qual a probabilidade de um agente penitenciário ter idade > 47 anos? - 1º passo: transformar 47 anos em um valor de Z.

Exemplo: n = 311 agentes penitenciários Média idade 40,27 anos com desvio padrão 7,60 anos. Qual a probabilidade de um agente penitenciário ter idade > 47 anos? - 1º passo: transformar 47 anos em um valor de Z. - 47 anos equivale a 0,88 DP acima da média - 2º passo: encontrar a área entre - ∞ e z = 0,88 na tabela - área = 0,8106 - como queremos área z > 0,88, fazemos 1-0,8106 = 0,1894 Resposta: a probabilidade de um agente penitenciário selecionado aleatoriamente dessa amostra ter idade > 47 anos = 18,94%

Introdução

POPULAÇÃO ( N = 1.000) AMOSTRA ( n = 50) RESULTADO: Tempo médio de serviço = 13,73 ± 5,23 anos Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008

Inferência Estatística: definições
Processo pelo qual tiramos conclusões sobre uma população a partir de resultados observados em uma amostra aleatória
Processo pelo qual avaliamos a probabilidade de resultados observados em uma amostra aleatória terem ocorrido por variação amostral
Não se deve fazer inferência estatística ao estudar toda a população alvo
Não se deve fazer inferência estatística quando a amostragem não for aleatória

POPULAÇÃO ( N = 1.000) AMOSTRA 1 ( n = 50) RESULTADO: Tempo médio de serviço = 13,73 anos AMOSTRA 2 ( n = 50) RESULTADO: Tempo médio de serviço = 13,90 anos AMOSTRA 3 ( n = 50) RESULTADO: Tempo médio de serviço = 12,60 anos AMOSTRA 4 ( n = 50) RESULTADO: Tempo médio de serviço = 19,27 anos AMOSTRA 5 ( n = 50) RESULTADO: Tempo médio de serviço = 15,80 anos

ƒ( x ) Tempo médio de serviço

Distribuição das médias amostrais Neto, AMS. Biestatística Sem Segredos. 2008

Definições
Média aritmética das médias amostrais é igual à média aritmética da população
Desvio-padrão de resultados amostrais = erro-padrão

Teorema Central do Limite Versão Simplificada
Dada uma população qualquer de forma funcional não-normal , a distribuição das médias computadas de amostras retiradas dessa população será aproximadamente normal, quando o tamanho da amostra for grande e o desvio-padrão populacional for conhecido .

Como Fazer Inferência Estatística:
Teste de hipóteses estatísticas
Cálculo do intervalo de confiança

POPULAÇÃO ( N = 1.000) AMOSTRA ( n = 50) RESULTADO: Tempo médio de serviço = 13,73 ± 5,23 anos Tempo médio de serviço 16,5 ± 5,53 anos

Teste de Hipóteses
1 a Etapa: definição do nível de significância estatística, ou α (alfa )
Comumente... α = 0,05 (ou 5%)
Exceções: análises multivariadas (0,15 a 0,25)

ƒ( x ) Tempo médio de serviço P 2,5 P 97,5 Níveis de significância estatística 95,0% Todos os valores localizados entre estes limites de significância estatística seriam considerados como estatísticamente iguais à verdadeira média populacional Valores esperados por variação amostral Valores não esperados por variação amostral Valores não esperados por variação amostral

Teste de Hipóteses
1 a Etapa: definição do nível de significância estatística, ou α (alfa )
2 a Etapa: definição das hipóteses estatísticas

Hipóteses estatísticas
H 0 = hipótese nula
H A = hipótese alternativa
Possibilidades de formulação:
H 0 : µ = µ 0 e H A : µ ≠ µ 0 ( µ > µ 0 ou µ < µ 0 )
Teste bi-caudado
H 0 : µ  µ 0 e H A : µ < µ 0
H 0 : µ ≤ µ 0 e H A : µ > µ 0
Teste uni-caudado

Tempo médio de serviço =16,5 ± 5,53 anos
Na sua única amostra (n = 50), o tempo médio de serviço foi 13,73 anos ± 5,23 anos
HIPÓTESES ESTATÍSTICAS
H0 : µ = 16,5 e HA : µ ≠ 16,5
Teste bi-caudado
H0 : µ  16,5 e HA : µ < 16,5
H0 : µ ≤ 16,5 e HA : µ > 16,5
Teste uni-caudado

ƒ( x ) Tempo médio de serviço P 2,5 P 97,5 µ 0 95,0% H A : µ < 16,5 será testado nesta cauda H A : µ > 16,5 será testado nesta cauda 16,5

Teste de Hipóteses
1 a Etapa: definição do nível de significância estatística ( α )
3 a Etapa: cálculo do valor de z (que expressa, em números de EP, o desvio da média amostral em relação à média esperada na população)
4 a Etapa: utilizar o valor de z na tabela de áreas sob a curva normal padrão para encontrar o valor de p
5 a Etapa: Comparar o valor de p ao valor de α ou comparar o valor de z aos valores críticos de z

Distribuição NORMAL Padrão Média = ZERO DP = EP = 1 µ = 0 - ∞ + ∞ σ = 1 Z

Cálculo do valor de z
Cálculo do quanto a média da amostra estudada se afasta da média esperada para a população
Dividimos pelo EP que seria esperado caso tivéssemos estudado numerosas amostras

No nosso exemplo...

Teste de Hipóteses

Valor-p
p = 0,0002 ou p = 0,02%
Considerando as duas caudas, p = 0,04%

Teste de Hipóteses

Comparação do valor-p com o α
α = 0,05
p = 0,04
p < α = estatisticamente significante (hipótese nula rejeitada)

Comparação dos valores de z com os valores críticos de z
Valores observados de z: -3,55 e + 3,55
Valores críticos de z = - 1,96 e + 1,96
Como – 3,55 < - 1,96 e +3,55 > + 1,96, os valores observados de z ultrapassam os valores críticos de z = estatisticamente significante (hipótese nula rejeitada)

Teste de Hipóteses

Conclusões sobre Teste de Hipóteses
Estatísticamente significante
= Rejeição da hipótese nula
= Aceitação da hipótese alternativa
= Verdadeira média pode ser considerada estatisticamente diferente do valor populacional estabelecido na hipótese nula
= Variação amostral provavelmente não explica a diferença encontrada
Estatísticamente insignificante
= Aceitação da hipótese nula
= Rejeição da hipótese alternativa
= Verdadeira média não pode ser considerada estatisticamente diferente do valor populacional estabelecido na hipótese nula
= Variação amostral provavelmente explica a diferença encontrada

CONCLUSÃO DO TESTE REALIDADE SOBRE H 0 É VERDADEIRA É FALSA Aceitação de H 0 (“não-significante”) Conclusão correta Erro tipo II β (0,20) Falso negativo Rejeição de H 0 (“significante”) Erro tipo I α (0,05) Falso positivo Conclusão correta (poder)

Sobre ALFA e BETA
Ideal: ambos o mais próximo de ZERO possível
α e β são antagônicos: quando um sobe, o outro desce
Necessário achar um equilíbrio
Sensibilidade, especificidade, curvas ROC
Erro tipo I – probabilidade mais freqüentemente admitida é 5% (alfa) – MAIS GRAVE
Erro tipo II – probabilidade mais freqüentemente admitida é 20% (beta) – MENOS GRAVE
(1- β ) = Poder (80%)

Teste de Hipóteses

Variáveis determinantes da significância estatística
A magnitude da diferença observada entre as médias
Desvio padrão
Tamanho amostral
Relationship of Sample Size and Mean Values to Achieve Statistical Significance PDQ Statistics. Norman & Streiner, 1986. Sample Size Reader Mean Population Mean p 4 110.0 100.0 0.05 25 104.0 100.0 0.05 64 102.5 100.0 0.05 100 102.0 100.0 0.05 400 101.0 100.0 0.05 2500 100.4 100.0 0.05 10000 100.2 100.0 0.05

De uma média

Intervalo de Confiança de uma Média

Intervalo de Confiança de uma média
Intervalo que inclui os valores médios que poderiam ser aceitos como verdadeira média populacional ( µ )
Os valores dentro do intervalo são valores possíveis para µ , enquanto os fora do intervalo não são.
A média amostral x = 13,73 é uma estimativa pontual de µ
IC 95%: P {1,96 < z < 1,96} = 0,95
Estimativa intervalar de µ

No nosso exemplo...
Valores populacionais: 16,50 ± 5,53
Valores amostrais (n = 50): 13,73 ± 5,23

Intervalo de Confiança

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