LóGica MatemáTica

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Presentación de lógica de proposiciones para la materia de fndamentos informátcios

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LóGica MatemáTica

  1. 1. LÓGICA MATEMÁTICA<br />Priscila Valdiviezo<br />pmvaldiviezo@utpl.edu.ec<br />
  2. 2. FUNDAMENTOS DE LÓGICA<br />Introducción a la Lógica<br />Es la que determina si un razonamiento es válido o no.<br />Algunos precursores de la lógica pudieron verificar que esta ciencia casi expresada en su totalidad en palabras no hacía posible una fácil aplicación sobre temas matemáticos cuyo procedimiento y desarrollo se quería comprobar, por lo que se introdujo símbolos que representan las definiciones y reglas dadas por la lógica, creándose por consiguiente la lógica simbólica, llamada lógica matemática<br />
  3. 3. FUNDAMENTOS DE LÓGICA<br />La lógica matemática usa lenguajes formales definidos artificialmente para formular enunciados acerca del mundo al que se refieran en un momento dado nuestros razonamientos, es por ello que en la actualidad también se la conoce como la lógica formal o matemática.<br />
  4. 4. Lógica Proposicional<br />Lógica Proposicional – Sintaxis<br />Estudia los enunciados como un todo y sus relaciones con otros enunciados.<br />Proposición es aquel enunciado que afirma o niega algo y que puede ser verdadero (V) o falso (F).<br />sólo tiene dos categorías de clasificación: las proposiciones verdaderas y las proposiciones falsas. <br />
  5. 5. Lógica Proposicional<br />Ejemplos<br />No son proposiciones, los enunciados donde no es posible determinar el valor de verdad, es decir si son verdaderos o falsos.<br />Ejemplo:<br />¿Cómo estás?<br />- ¡Dios mío!<br />
  6. 6. Lógica Proposicional<br />El lenguaje formal de la lógica de proposiciones resulta de un análisis lógico simple del lenguaje natural, basado en la distinción entre dos clases de enunciados o proposiciones: Simples o Compuestos<br />
  7. 7. Lógica Proposicional<br />
  8. 8. Lógica Proposicional<br />Conjunto de símbolos con los que trabaja el lenguaje de la lógica proposicional.<br />símbolos utilizados para representar los enunciados, las principales conectivas lógicas que se utilizan para construir enunciados compuestos y la jerarquía de las mismas<br />
  9. 9. Lógica Proposicional<br />Jerarquía de conectivas.<br />En términos formales la negación de p, deberá ser ( ¬ p), así como la conjunción de p y q sería (p ^ q). <br />Con el uso de paréntesis evitamos la ambigüedad, por ejemplo ¬p ^ q podría significar dos cosas distintas<br />Por un lado podría significar: (( ¬ p) ^ q) O también: ( ¬ (p ^ q)).<br />En la práctica para no usar tantos paréntesis se considera que el operador ¬ tiene jerarquía sobre ^, v, ->, ↔. Es decir va desde menor jerarquía hasta el de mayor.<br /> Así: ¬ p ^ q significa (( ¬ p)^ q)<br />
  10. 10. Lógica Proposicional<br />En algunos casos se considera ^, v tienen mayor jerarquía que ↔ por lo que:<br />p ↔ q v r sería (p ↔ (q v r)) y también que ^ tiene prioridad sobre v, por lo que:<br />p ^ q v r sería (p ^ q) v r<br />
  11. 11. Lógica Proposicional<br />Ejemplo:<br />Considerando la jerarquía entre conectivas, la fórmula ¬p v q -> p ^ r, se reconocería como:<br />Ejercicio:<br />Representar la fórmulamedianteutilizandosímbolos de agrupación/puntuación<br />
  12. 12. Lógica Proposicional<br />Conectivas Lógicas<br />Aquellas partículas de enlace del lenguaje natural que permiten unir enunciados simples.<br />Éstas tienen un significado en el lenguaje de la lógica proposicional, y los enunciados un valor de verdad.<br />Cinco conectivas principales utilizadas para la construcción de nuevas proposiciones.<br />
  13. 13.
  14. 14. Lógica Proposicional<br />Ejemplo:<br />Ejercicio:<br />Simbolice cada una de las proposiciones señaladas en el ejemplo<br />
  15. 15. Lógica Proposicional<br />Valor de verdad de la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.<br />Para formar expresiones compuestas necesitamos conectivos lógicos, empezaremos<br /> por un conectivo unitario; esto es, se aplica a una proposición sola.<br />
  16. 16. Lógica Proposicional<br />La Negación<br />La operación unitaria de negación, ¨”no es cierto que” se representa por “¬” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad<br />
  17. 17. Lógica Proposicional<br />
  18. 18. Lógica Proposicional<br />Conjunción<br />La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q.<br />
  19. 19. Lógica Proposicional<br />La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente.<br />Ejemplo, si tenemos el enunciado:<br /> La función es creciente y está definida para los números positivos.<br />Simoblizamos como p ^ q, donde:<br />p: la función es creciente<br />q: la función esta definida para los números positivos<br />
  20. 20. Lógica Proposicional<br />Ejemplo 2:<br />El número es divisible entre 3 y está representado en base 2.<br />p: el número es divisible por 3<br />q: el número está representado en base 2<br />p ^ q<br />Para que la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.<br />
  21. 21. Lógica Proposicional<br />Disyunción<br />La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación “p v q”, y tiene la siguiente tabla:<br />
  22. 22. Lógica Proposicional<br />Basta con que una de las proposiciones sea verdadera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.<br />Ejemplo:<br />El libro se le entregará a Juan o el libro se le entregará a Luis.<br />Simbolizando: p v q<br />
  23. 23. Lógica Proposicional<br />Condicional<br />La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p -> q.<br />
  24. 24. Lógica Proposicional<br />El único caso que resulta falso es cuando el primero es verdadero y el segundo falso.<br />Ejemplo:<br /> Si llueve entonces hay nubes<br />p:llueve<br />q: hay nube<br />p -> q<br />
  25. 25. Lógica Proposicional<br />Bicondicional<br />La bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q.<br />
  26. 26. Lógica Proposicional<br />Construcción de Tablas de Verdad<br />Si P y Q son proposiciones atómicas unidas con conectivas lógicas de la siguiente manera: ¬p v q<br />Pasos:<br />Como se está trabajando con dos variables, entonces se tendrán filas en la tabla de verdad, que son a la vez las combinaciones de los valores de verdad de las variables.<br />Procedemos a dibujar la tabla separando hacia la izquierda las variables que intervienen, como tienen que dar 4 filas, la primera proposición tendrá dos valores de verdad con “V” y dos con “F”, y la proposición “q” tendrá intercalado los valores de verdad de la siguiente manera:<br />
  27. 27. Lógica Proposicional<br />Hallar las tablas de Verdad de:<br />a) [¬P ^ Q] -> [ P v ¬ Q]<br />b) [ P v ( Q ^ R)] ↔ [( P v Q) ^ (P v R)]<br />

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