LÓGICA MATEMÁTICAPriscila Valdiviezopmvaldiviezo@utpl.edu.ec

FUNDAMENTOS DE LÓGICAIntroducción a la LógicaEs la que determina si un razonamiento es válido o no.Algunos precursores de la lógica pudieron verificar que esta ciencia casi expresada en su totalidad en palabras no hacía posible una fácil aplicación sobre temas matemáticos cuyo procedimiento y desarrollo se quería comprobar, por lo que se introdujo símbolos que representan las definiciones y reglas dadas por la lógica, creándose por consiguiente la lógica simbólica, llamada lógica matemática

FUNDAMENTOS DE LÓGICALa lógica matemática usa lenguajes formales definidos artificialmente para formular enunciados acerca del mundo al que se refieran en un momento dado nuestros razonamientos, es por ello que en la actualidad también se la conoce como la lógica formal o matemática.

Lógica ProposicionalLógica Proposicional – SintaxisEstudia los enunciados como un todo y sus relaciones con otros enunciados.Proposición es aquel enunciado que afirma o niega algo y que puede ser verdadero (V) o falso (F).sólo tiene dos categorías de clasificación: las proposiciones verdaderas y las proposiciones falsas.

Lógica ProposicionalEjemplosNo son proposiciones, los enunciados donde no es posible determinar el valor de verdad, es decir si son verdaderos o falsos.Ejemplo:¿Cómo estás?- ¡Dios mío!

Lógica ProposicionalEl lenguaje formal de la lógica de proposiciones resulta de un análisis lógico simple del lenguaje natural, basado en la distinción entre dos clases de enunciados o proposiciones: Simples o Compuestos

Lógica Proposicional

Lógica ProposicionalConjunto de símbolos con los que trabaja el lenguaje de la lógica proposicional.símbolos utilizados para representar los enunciados, las principales conectivas lógicas que se utilizan para construir enunciados compuestos y la jerarquía de las mismas

Lógica ProposicionalJerarquía de conectivas.En términos formales la negación de p, deberá ser ( ¬ p), así como la conjunción de p y q sería (p ^ q). Con el uso de paréntesis evitamos la ambigüedad, por ejemplo ¬p ^ q podría significar dos cosas distintasPor un lado podría significar: (( ¬ p) ^ q) O también: ( ¬ (p ^ q)).En la práctica para no usar tantos paréntesis se considera que el operador ¬ tiene jerarquía sobre ^, v, ->, ↔. Es decir va desde menor jerarquía hasta el de mayor. Así: ¬ p ^ q significa (( ¬ p)^ q)

Lógica ProposicionalEn algunos casos se considera ^, v tienen mayor jerarquía que ↔ por lo que:p ↔ q v r sería (p ↔ (q v r)) y también que ^ tiene prioridad sobre v, por lo que:p ^ q v r sería (p ^ q) v r

Lógica ProposicionalEjemplo:Considerando la jerarquía entre conectivas, la fórmula ¬p v q -> p ^ r, se reconocería como:Ejercicio:Representar la fórmulamedianteutilizandosímbolos de agrupación/puntuación

Lógica ProposicionalConectivas LógicasAquellas partículas de enlace del lenguaje natural que permiten unir enunciados simples.Éstas tienen un significado en el lenguaje de la lógica proposicional, y los enunciados un valor de verdad.Cinco conectivas principales utilizadas para la construcción de nuevas proposiciones.

Lógica ProposicionalEjemplo:Ejercicio:Simbolice cada una de las proposiciones señaladas en el ejemplo

Lógica ProposicionalValor de verdad de la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.Para formar expresiones compuestas necesitamos conectivos lógicos, empezaremos por un conectivo unitario; esto es, se aplica a una proposición sola.

Lógica ProposicionalLa NegaciónLa operación unitaria de negación, ¨”no es cierto que” se representa por “¬” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad

Lógica Proposicional

Lógica ProposicionalConjunciónLa conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q.

Lógica ProposicionalLa conjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente.Ejemplo, si tenemos el enunciado: La función es creciente y está definida para los números positivos.Simoblizamos como p ^ q, donde:p: la función es crecienteq: la función esta definida para los números positivos

Lógica ProposicionalEjemplo 2:El número es divisible entre 3 y está representado en base 2.p: el número es divisible por 3q: el número está representado en base 2p ^ qPara que la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.

Lógica ProposicionalDisyunciónLa disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación “p v q”, y tiene la siguiente tabla:

Lógica ProposicionalBasta con que una de las proposiciones sea verdadera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.Ejemplo:El libro se le entregará a Juan o el libro se le entregará a Luis.Simbolizando: p v q

Lógica ProposicionalCondicionalLa condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p -> q.

Lógica ProposicionalEl único caso que resulta falso es cuando el primero es verdadero y el segundo falso.Ejemplo: Si llueve entonces hay nubesp:llueveq: hay nubep -> q

Lógica ProposicionalBicondicionalLa bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q.

Lógica ProposicionalConstrucción de Tablas de VerdadSi P y Q son proposiciones atómicas unidas con conectivas lógicas de la siguiente manera: ¬p v qPasos:Como se está trabajando con dos variables, entonces se tendrán filas en la tabla de verdad, que son a la vez las combinaciones de los valores de verdad de las variables.Procedemos a dibujar la tabla separando hacia la izquierda las variables que intervienen, como tienen que dar 4 filas, la primera proposición tendrá dos valores de verdad con “V” y dos con “F”, y la proposición “q” tendrá intercalado los valores de verdad de la siguiente manera:

Lógica ProposicionalHallar las tablas de Verdad de:a) [¬P ^ Q] -> [ P v ¬ Q]b) [ P v ( Q ^ R)] ↔ [( P v Q) ^ (P v R)]