σύστημα αξιωμάτων

607 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
607
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
18
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

σύστημα αξιωμάτων

  1. 1. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 1 Εργασία 1η (Γεωµετρίες) Εργασία 1ηΙ. Συστήµατα αξιωµάτων για την Ευκλείδεια και τις µη Ευκλείδειες Γεωµετρίες τουεπιπέδου και τα µοντέλα (υποδείγµατα των τελευταίων)ΙΙ. Σε µια χώρα υπάρχουν 5 κόµµατα : Α (-ριστερά) Σ (-οσιαλιστές) ∆(-ηµοκρατικοί)Φ(-φιλελεύθεροι και Ο(-ικολόγοι)Κατά πόσους τρόπους µπορούν να συµπράξουν προεκλογικώς τα παραπάνω κόµµατα,σχηµατίζοντας συµµαχίες των δύο κοµµάτων;Θεωρώντας ως σηµεία τα κόµµατα, και ευθείες τις συµµαχίες, λέµε ότι δύο συµµαχίεςείναι παράλληλες, αν δεν έχουν κοινό κόµµα.∆είξτε ότι: Η γεωµετρία αυτή των πολιτικών συµµαχιών, πληροί το 1ο αξίωµα τουΕυκλείδη, αλλά ως προς το 5ο δεν είναι ούτε Ευκλείδια, ούτε Ελλειπτική, ούτεΥπερβολική.Από την µορφή του 5ου αξιώµατος που πληροί (ποια;) καλείται ισχυρά ΥπερβολικήΓεωµετρία.Να παρασταθεί η Γεωµετρία αυτή στο επιπεδο.ΙΙΙ. Τι το ……«υπερβολικό» υπάρχει στην υπερβολική Γεωµετρία γενικά; ∆ηλ. γιατίκαλείται έτσι;Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησηςχ= α coshθ , y=β sinhθµε χρήση «νέων Τεχνολογιών» Η ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΠαραθέτουµε παρακάτω την αυθεντική θεµελίωση της γεωµετρίας από τον ίδιο τονΕυκλείδη , όπως αυτή γίνεται στο πρώτο βιβλίο Ι των «Στοιχείων» του.Βεβαίως, µε τα χρόνια, διαπιστώθηκαν αδυναµίες στην αξιωµατική θεµελίωση τουΕυκλείδη . Για παράδειγµα, στην Ι.1 πρόταση όπου γίνεται η κατασκευή τουισοπλεύρου τριγώνου, δεν διασφαλίζεται ότι υπάρχει η τοµή των δύο κύκλωνΒεβαίως υπέθεσε ο Ευκλείδης ότι ο κύκλος είναι συνεχής γραµµή , κάτι που δενµπορεί να θεωρηθεί προφανές.Το παρακάτω παράδειγµα είναι χαρακτηριστικό:Αν θεωρήσω τον χώρο Q2 και επιχειρήσω να κατασκευάσω ισόπλευρο τρίγωνο µε τηνΕυκλείδεια µέθοδο, ισόπλευρο τρίγωνο µε πλευρά α ∈ Q , τότε µε απλή εφαρµογή τουΠυθαγορείου θεωρήµατος οι συντεταγµένες της τρίτης κορυφής (χ,ψ)∉Q2 αφούψ ∈ ÑQ
  2. 2. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 2 Εργασία 1η (Γεωµετρίες) ∆ Α ΓΣτα σύγχρονα αξιωµατικά συστήµατα θεµελίωσης της Γεωµετρίας η τοµή των δύοκύκλων εξασφαλίζεται από τα αξιώµατα της συνέχειας και του µεταξύ.Τον 19ο αιώνα ο Pash εισήγαγε (1882) την έννοια του µεταξύ για τρία σηµεία. Τοσύστηµα αυτό βελτιώθηκε (βελτίωση σηµαίνει συρίκνωση του αριθµού µηοριζόµενων στοιχείων ή αξιωµάτων) από τον Peano (1889) υπήρξε και το σύστηµατου Pieri (1889)Τον 20ο αιώνα το σύστηµα Veblen (1904) που βελτίωνε το του Pash του Forder(1924) , Robinson( 1940) Levi (1960)κ.λπ.Την µεγάλη θέση όµως ανάµεσα σε όλα τα συστήµατα , καταλαµβάνουν τασυστήµατα των Hilbert-Ευκλείδη (1899) και Birkhoff (1932)Όµως ο Ευκλείδης παράλληλα µε τα 5 αξιώµατά του εισήγαγε και ορισµούς εννοιώνπου δεν ορίζονται αυστηρά µαθηµατικά, αλλά τρόπον τινά µε διαισθητικούς ορισµούς. Οι ορισµοί αυτοί έγιναν αντικείµενο µελέτης κι ερµηνείας. Κυρίως ονεοπλατωνικός Πρόκλος εντριφεί στους όρους (ορισµούς) και στα αξιώµατα .Τουςπαραθέτουµε από το πρωτότυπο: 1. ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΥΚΛΕΙ∆Η Όροι (Ορισµοί)1. Shme‹Òn ™stin, oá mšroj oÙqšn.2. Gramm¾ d mÁkoj ¢platšj.3. GrammÁj d pšrata shme‹a.4. EÙqe‹a gramm» ™stin, ¼tij ™x ‡sou to‹j ™f ˜autÁjshme…oij ke‹tai.5. Epif£neia dš ™stin, Ö mÁkoj kaˆ pl£toj mÒnon œcei.
  3. 3. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 3 Εργασία 1η (Γεωµετρίες) 6.Epifane…aj d pšrata gramma…. 7. Ep…pedoj ™pif£nei£ ™stin, ¼tij ™x ‡sou ta‹j ™f˜autÁj eÙqe…aij ke‹tai. 8. Ep…pedoj d gwn…a ™stˆn ¹ ™n ™pipšdJ dÚo grammîn¡ptomšnwn ¢ll»lwn kaˆ m¾ ™p eÙqe…aj keimšnwn prÕj¢ll»laj tîn grammîn kl…sij. 9. “Otan d aƒ perišcousai t¾n gwn…an grammaˆ eÙqe‹aiðsin, eÙqÚgrammoj kale‹tai ¹ gwn…a. 10.“Otan d eÙqe‹a ™p eÙqe‹an staqe‹sa t¦j ™fexÁjgwn…aj ‡saj ¢ll»laij poiÍ, Ñrq¾ ˜katšra tîn ‡swn gw-niîn ™sti, kaˆ ¹ ™festhku‹a eÙqe‹a k£qetoj kale‹tai,™f ¿n ™fšsthken.11. Amble‹a gwn…a ™stˆn ¹ me…zwn ÑrqÁj.12.Oxe‹a d ¹ ™l£sswn ÑrqÁj.13.“Oroj ™st…n, Ó tinÒj ™sti pšraj.14. ScÁm£ ™sti tÕ ØpÒ tinoj ½ tinwn Órwn periecÒmenon.15. KÚkloj ™stˆ scÁma ™p…pedon ØpÕ mi©j grammÁjperiecÒmenon [¿ kale‹tai perifšreia], prÕj ¿n ¢f ˜nÕjshme…ou tîn ™ntÕj toà sc»matoj keimšnwn p©sai aƒprosp…ptousai eÙqe‹ai [prÕj t¾n toà kÚklou peri-fšreian] ‡sai ¢ll»laij e„s…n.16. Kšntron d toà kÚklou tÕ shme‹on kale‹tai. 17. Di£metroj d toà kÚklou ™stˆn eÙqe‹£ tij di¦ toàkšntrou ºgmšnh kaˆ peratoumšnh ™f ˜k£tera t¦ mšrhØpÕ tÁj toà kÚklou perifere…aj, ¼tij kaˆ d…ca tšmnei tÕnkÚklon. 18.`HmikÚklion dš ™sti tÕ periecÒmenon scÁma ØpÒ tetÁj diamštrou kaˆ tÁj ¢polambanomšnhj Øp aÙtÁj peri-fere…aj. kšntron d toà ¹mikukl…ou tÕ aÙtÒ, Ö kaˆ toàkÚklou ™st…n. 19.Sc»mata eÙqÚgramm£ ™sti t¦ ØpÕ eÙqeiîn periecÒ-mena, tr…pleura mn t¦ ØpÕ triîn, tetr£pleura d t¦ØpÕ tess£rwn, polÚpleura d t¦ ØpÕ pleiÒnwn À tess£-rwn eÙqeiîn periecÒmena. 20. Tîn d tripleÚrwn schm£twn „sÒpleuron mn tr…-gwnÒn ™sti tÕ t¦j tre‹j ‡saj œcon pleur£j, „soskelj dtÕ t¦j dÚo mÒnaj ‡saj œcon pleur£j, skalhnÕn d tÕ t¦jtre‹j ¢n…souj œcon pleur£j. 21.”Eti d tîn tripleÚrwn schm£twn Ñrqogènion mntr…gwnÒn ™sti tÕ œcon Ñrq¾n gwn…an, ¢mblugènion d tÕœcon ¢mble‹an gwn…an, Ñxugènion d tÕ t¦j tre‹j Ñxe…ajœcon gwn…aj. 22. Tîn d tetrapleÚrwn schm£twn tetr£gwnon mšn™stin, Ö „sÒpleurÒn tš ™sti kaˆ Ñrqogènion, ˜terÒmhkejdš, Ö Ñrqogènion mšn, oÙk „sÒpleuron dš, ·Òmboj dš, Ö„sÒpleuron mšn, oÙk Ñrqogènion dš, ·omboeidj d tÕ t¦j
  4. 4. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 4 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)¢penant…on pleur£j te kaˆ gwn…aj ‡saj ¢ll»laij œcon,Ö oÜte „sÒpleurÒn ™stin oÜte Ñrqogènion· t¦ d par¦taàta tetr£pleura trapšzia kale…sqw.23.Par£llhlo… e„sin eÙqe‹ai, a†tinej ™n tù aÙtù ™pi-pšdJ oâsai kaˆ ™kballÒmenai e„j ¥peiron ™f ˜k£tera t¦mšrh ™pˆ mhdštera sump…ptousin ¢ll»laij. Η βάση της Γεωµετρίας θεµελιώνεται µε τα πέντε αξιώµατα-αιτήµατα , ξεχωριστή θέσηαπό τα οποία κατέχει το 5ο Αυτό, κατέστη επί αιώνες, αντικείµενο απόδειξης από ταυπόλοιπα 4 . Κι όχι µόνο αυτό, αλλά όταν η µαθηµατική κοινότητα –πολύ αργά-επείσθη ότι αυτό είναι ανεξάρτητο των άλλων, τότε ακριβώς κατέστη δυνατή ηεφαρµογή της ιδέας, του να διαφοροποιηθεί αυτό, δίνοντας άλλες Γεωµετρίες!…… ••••••••1. »sqw ¢pÕ pantÕj shme…ou ™pˆ p©n shme‹oneÙqe‹an gramm¾n ¢gage‹n.2.Kaˆ peperasmšnhn eÙqe‹an kat¦ tÕ sunecj ™p eÙ-qe…aj ™kbale‹n.3. Kaˆ pantˆ kšntrJ kaˆ diast»mati kÚklon gr£-fesqai.4.Kaˆ p£saj t¦j Ñrq¦j gwn…aj ‡saj ¢ll»laij enai.5. Kaˆ ™¦n e„j dÚo eÙqe…aj eÙqe‹a ™mp…ptousa t¦j™ntÕj kaˆ ™pˆ t¦ aÙt¦ mšrh gwn…aj dÚo Ñrqîn ™l£ssonajpoiÍ, ™kballomšnaj t¦j dÚo eÙqe…aj ™p ¥peiron sump…-ptein, ™f § mšrh e„sˆn aƒ tîn dÚo Ñrqîn ™l£ssonej. •••••• ••••••• 1.T¦ tù aÙtù ‡sa kaˆ ¢ll»loij ™stˆn ‡sa. 2.Kaˆ ™¦n ‡soij ‡sa prosteqÍ, t¦ Óla ™stˆn ‡sa. 3.Kaˆ ™¦n ¢pÕ ‡swn ‡sa ¢faireqÍ, t¦ kataleipÒmen£™stin ‡sa.4.Kaˆ t¦ ™farmÒzonta ™p ¥llhla ‡sa ¢ll»loij ™st…n.(6*).[Kaˆ ™¦n ¢n…soij ‡sa prosteqÍ, t¦ Óla ™stˆn ¥nisa. ( 7*.) Kaˆ t¦ toà aÙtoà dipl£sia ‡sa ¢ll»loij ™st…n. (8*.)Kaˆ t¦ toà aÙtoà ¹m…sh ‡sa ¢ll»loij ™st…n.] 5.Kaˆ tÕ Ólon toà mšrouj me‹zon [™stin]. ( 9*)Kaˆ dÚo eÙqe‹ai cwr…on oÙ perišcousin.Όπως όµως προείπαµε, το αξιωµατικό σύστηµα βελτιώθηκε ποιοτικά από τον D.Hilbert και είναι πλέον γνωστό µε το όρο «Σύστηµα των Ευκλείδη- Hilbert» 2. ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΥΚΛΕΙ∆Η -HILBERT
  5. 5. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 5 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)Υπάρχουν 5 οµάδες αξιωµάτων:Ι. Αξιώµατα προσπτώσεως ή συνοχήςΙΙ. Αξιώµατα διάταξηςΙΙΙ. Αξιώµατα ισοδυναµίαςΙV. Αξιώµατα παραλληλίαςV. Αξιώµατα συνέχειας.Οι µη οριζόµενες έννοιες είναι το σηµείο, γραµµή (ευθεία) επίπεδο . Υπάρχουν καιµη οριζόµενες σχέσεις, που είναι : κείται επί, είναι εντός, µεταξύ, ισοδύναµα ,παράλληλα, συνεχής • Ι. ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΤΩΣΕΩΣ Ή ΣΥΝΟΧΗΣ 1. Από κάθε δύο διάφορα σηµεία Α, Β, ∃ πάντοτε µία γραµµή α 2. Από κάθε δύο διάφορα σηµεία Α, Β, ∃ το πολύ µία γραµµή α 3. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο σηµεία επί µίας γραµµής. Υπάρχουν τουλάχιστον 3σηµεία που δεν κείνται επί µίας γραµµής 4. Από κάθε τρία σηµεία Α, Β, Γ, που δεν κείνται επί µίας γραµµής, υπάρχειακριβώς ένα επίπεδο. • ΙΙ. ΑΞΙΩΜΑΤΑ ∆ΙΑΤΑΞΗΣ 1. Αν το σηµείο Β είναι µεταξύ των σηµείων Α, Γ, τότε Α, Β, Γ είναι τρία σηµεία διάφορα επί της ιδίας ευθείας και το Β είναι επίσης µεταξύ Γ και Α . 2. Για δύο διάφορα σηµεία Α, Γ, υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο Β , επί της ΑΓ , έτσι ώστε το Γ , να είναι µεταξύ Α και Β . 3. αν Α, Β, Γ , είναι τρία σηµεία διάφορα επί της ιδίας γραµµής, τότε µόνο ένα από τα τρία σηµεία είναι µεταξύ των δύο άλλων. 4. (αξίωµα Pasch) έστω Α, Β, Γ , τρία σηµεία µη κείµενα επί της ιδίας γραµµής, και έστω m µία γραµµή στο επίπεδο (Α,Β,Γ) η οποία δεν διέρχεται από κανένα από τα Α, Β, Γ. . Τότε , αν η m , διέρχεται από σηµείο του τµήµατος ΑΒ, θα διέρχεται και από σηµείο του τµήµατος ΑΓ ή ΒΓ. • ΙΙΙ. ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΙΑΣ 1. Αν α, Β , είναι διάφορα σηµεία επί της γραµµής m, και Α` είναι ένα σηµείο µιας γραµµής m` , τότε υπάρχει ακριβώς ένα σηµείο Β` σε κάθε ηµιευθεία της m` που προέρχεται από το Α` έτσι ώστε το τµήµα Α`Β` να είναι ισοδύναµο µε το ΑΒ : ΑΒ ≅ Α`Β` 2. τα προς τρίτον ισοδύναµα τµήµατα , είναι και µεταξύ τους ισοδύναµα. 3. αν το Γ µεταξύ των Α και Β και το Γ` µεταξύ των Α` και Β` και αν ΑΓ ≅ Α`Γ` και ΓΒ ≅ Γ`Β` , τότε ΑΒ ≅ Α`Β` 4. αν ΒΑΓ είναι µια γωνία της οποίας οι πλευρές δεν κείνται σε µια γραµµή, και αν σε ένα δοθέν επίπεδο , Α`Β` είναι µια ευθεία προερχοµένη από το Α` , τότε υπάρχει ακριβώς µία Α`Γ` προς µία δοθείσα πλευρά της Α`Β` : ∠ Β`Α`Γ` ≅ ∠ ΒΑΓ .Κάθε γωνία είναι ισοδύναµη µε τον εαυτό της 5. αξίωµα (ΠΓΠ) αν δύο πλευρές και η περιεχόµενη γωνία τριγώνου είναι ισοδύναµες προς τις δύο πλευρές και την περιεχόµενη γωνία άλλου τριγώνου, τότε οι υπόλοιπες γωνίες του πρώτου τριγώνου, είναι ισοδύναµες µε τις υπόλοιπες γωνίες του δευτέρου τριγώνου. • ΙV. ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ 1. (Ευκλείδειο αίτηµα –Αξίωµα Playfair)
  6. 6. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 6 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)Από δοθέν σηµείο εκτός δοθείσης γραµµής, διέρχεται το πολύ µία γραµµή που δεντέµνει την δοθείσα(Το αξίωµα αυτό λέγεται και µε το δεύτερο όνοµα του Playfair διότι αυτός µελέτησετην ισοδυναµία της πρωτότυπης διατύπωσης του Ευκλείδη και της δικής του, η οποίαείναι περισσότερο γνωστή στα σύγχρονα σχολικά εγχειρίδια) • V. ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 1.(Αξίωµα Αρχιµήδους) Αν ΑΒ και Γ∆ δύο τυχόντα τµήµατα, τότε υπάρχει αριθµός ν , τέτοιος ώστε , αν τοτµήµα Γ∆ ληφθεί ν φορές επί της ηµιευθείας ΑΒ , αρχίζοντας από το Α, τότεφθάνουµε σε ένα σηµείο Ε, όπου ν Γ∆=ΑΕ και όπου το Β να είναι µεταξύ των Α καιΕ. 2. (Αξίωµα Γραµµικής Πληρότητας)Το σύστηµα των σηµείων επί µιας γραµµής µε την σχέση διάταξης και ισοδυναµίαςτης, δεν µπορεί να επεκταθεί, έτσι ώστε οι υπάρχουσες σχέσεις µεταξύ των στοιχείωντης, καθώς επίσης και οι βασικές ιδιότητες γραµµικής διάταξης και ισοδυναµίας, πουπροκύπτουν από τα αξιώµατα Ι , ΙΙΙ. V.1 να εξακολουθούν να ισχύουν.Εδώ πρέπει να παρατεθεί η εξής παρατήρηση:Τα αξιώµατα V µπορούν να αντικατασταθούν από τοαξίωµα συνέχειας του Dedekind :«Για κάθε διαµέριση των σηµείων µιας γραµµής σε δύο µη κενά σύνολα , έτσι ώστεκανένα σηµείο του ενός συνόλου να κείται µεταξύ των σηµείων του άλλου,, υπάρχεισηµείο του ενός συνόλου , το οποίο κείται µεταξύ κάθε στοιχείου του ιδίου συνόλουκαι κάθε στοιχείου του άλλου συνόλου.» 3. ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΞΙΩΜΑΤΩΝ ΤΟΥ BIRKHOFF Μη οριζόµενες έννοιες και σχέσεις: a) σηµεία, b) σύνολα σηµείων καλούµενα γραµµές, c) απόσταση d(A, B) µεταξύ δύο σηµείων A, B, ένας µη αρνητικός πραγµατικός αριθµός µε d(A, B) = d(B, A) d) γωνία ΑΟΒ τριών διατεταγµένων σηµείων A, Ο, Β (Α ≠ Ο, Β ≠ 0), ένας πραγµατικός αριθµός (mod 2π). Το σηµείο Ο καλείται κορυφή της γωνίας. Αξίωµα Ι. (του γραµµικού µέτρου) Τα σηµεία A, B, ... µιας γραµµής m µπορούννα τεθούν σε µία 1—1 αντιστοιχία µε τους πραγµατικούς αριθµούς χ, έτσι ώστε |χΒ-χΑ| =d(Α,Β),για όλα τα σηµεία Α,Β. Το αξίωµα αυτό καλείται και Αξίωµα της Αναλυτικής Γεωµετρίας, γιατίπράγµατι σ’ αυτό στηρίζεται ολόκληρη η Αναλυτική Γεωµετρία, αφού οδηγεί στηνκατασκευή συστήµατος 2 αξόνων και εποµένως ζεύγους συντεταγµένων για κάθεσηµείο του επιπέδου. Ορισµοί: Ένα σηµείο Β είναι µεταξύ των Α και C (A ≠ C) αν d(A,B) +d(B,C) =d(A,C). Τα σηµεία A, και C µαζί µε όλα τα σηµεία Β µεταξύ των Α και. Cσχηµατίζουν τµήµα AC. Η ηµιευθεία m` µε πέρας Ο ορίζεται από δύο σηµεία O, Ατης γραµµής m` (A ≠ O ), ως το σύνολο όλων των σηµείων A` της m, έτσι ώστε το Ονα µην είναι µεταξύ του Λ και Α` . Αν A, B.C είναι τρία διάφορα σηµεία, τα τρίαΤµήµατα ΑΒ, BC, CA λέµε ότι σχηµατίζουν ένα τρίγωνο ABC µε πλευρές ΑΒ, BC,CA και κορυφές A, B, C. Αν A, B, C είναι στην ίδια γραµµή, το τρίγωνο ABCκαλείται εκφυλισµένο
  7. 7. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 7 Εργασία 1η (Γεωµετρίες) Αξίωµα ΙΙ. (Αξίωµα σηµείου-γραµµής) Μία και µόνο µία γραµµή m περιέχει δύοσηµεία P, Q (Ρ ≠ Q). Αν δύο διάφορες γραµµές δεν έχουν κοινό σηµείο είναιπαράλληλες Μία γραµµή θεωρείται παράλληλη προς τον εαυτό της. Αξίωµα ΙΙΙ. (Αξίωµα του µέτρου γωνίας): Οι ηµιευθείες m,n, από κάθε σηµείο Οµπορούν να τεθούν σε µία 1—1 αντιστοιχία µε τους πραγµατικούς αριθµούς α(mod2π) έτσι ώστε αν Α ≠ Ο και Β ≠ Ο είναι σηµεία των m και n αντίστοιχα, ηδιαφορά αν-αm (mod 2π) είναι , <ΑOΒ. Ορισµοί: ∆ύο ηµιευθείες m,n από το Ο λέµε ότι σχηµατίζουν ευθεία (εκτεταµένη)γωνία, αν <mΟη = π. ∆ύο ηµιευθείες m, n από το Ο λέµε ότι σχηµατίζουν ορθήγωνία, αν <mOn = ±π /2, οπότε λέµε επίσης σ’ αυτή την περίπτωση ότι n m είναικάθετη στη n. Αξίωµα ΙV. (Αξίωµα οµοιότητας): Αν σε δύο τρίγωνα ABC και A’B’C’ και γιαµία σταθερά k>0, d(A’,B’) = k d(A,B), d(A’,C’) = kd(A,C) καθώς και τότε επίσηςd(Β’,C’)=d(Β,C) <C’B’Α’=± <CBΑ και <A’C’B’=< ± ACB. Ορισµοί: ∆ύο γεωµετρικά σχήµατα είναι όµοια αν υπάρχει 1-1 αντιστοιχίαµεταξύ των σηµείων των δύο σχηµάτων έτσι ώστε όλες οι αντίστοιχες αποστάσεις ναείναι ανάλογες και οι αντίστοιχες γωνίες να είναι ίσες, ή όλες αντίθετες η µία τηςάλλης. ∆ύο γεωµετρικά σχήµατα είναι ισοδύναµα, αν είναι όµοια µε k =1.Στο σύστηµα αυτό του Βirkhoff στηρίχθηκαν τόσο το σύστηµα αξιωµάτων SMSG, όσοκαι το βελτιωµένο σύστηµα SMSG . 4. ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΞΙΩΜΑΤΩΝ SMSG:Μή οριζόµενες έννοιες: σηµείο, γραµµή, επίπεδο. Αξίωµα 1: ∆οθέντων δύο διαφόρων σηµείων, υπάρχει ακριβώς µία γραµµή πουπεριέχει και τα δύο. Αξίωµα 2: (Αξίωµα απόστασης): Σε Κάθε ζεύγος δύο διάφορων σηµείωναντιστοιχεί ακριβώς ένας θετικός αριθµός. Αξίωµα 3: (Αξίωµα του κανόνα): Τα σηµεία µιας γραµµής µπορούν ν’αντιστοιχηθούν στους πραγµατικούς αριθµούς, έτσι ώστε:α) σε κάθε σηµείο της γραµµής ν’ αντιστοιχεί ακριβώς ένας πραγµατικός αριθµόςβ) σε κάθε πραγµατικό αριθµό ν’ αντιστοιχεί ακριβώς ένα σηµείο της γραµµήςγ) η απόσταση µεταξύ δύο σηµείων είναι η απόλυτη τιµή της διαφοράς των αντιστοίχων αριθµών. Αξίωµα 4: (Αξίωµα τοποθέτησης κανόνα). ∆οθέντων δύο σηµείων Ρ και Qµιας γραµµής, το σύστηµα συντεταγµένων µπορεί να εκλεγεί έτσι ώστε ησυντεταγµένη του Ρ να είναι µηδέν και η συντεταγµένη του Q να είναι θετική. Αξίωµα 5: α) Κάθε επίπεδο περιέχει τουλάχιστον τρία µη συγγραµµικά σηµεία. β) Ο χώρος περιέχει τουλάχιστον τέσσερα µη συνεπίπεδα σηµεία. Αξίωµα 6: Αν δύο σηµεία κείνται σ’ ένα επίπεδο, τότε η γραµµή που περιέχει αυτάτα σηµεία κείται στο ίδιο επίπεδο. Αξίωµα 7: Κάθε τρία σηµεία κείνται σ’ ένα τουλάχιστον επίπεδο και κάθε τρία µησυγγραµµικά σηµεία κείνται ακριβώς σ’ ένα επίπεδο. Πιο σύντοµα, κάθε τρία σηµείαείναι συνεπίπεδα και κάθε τρία µη συγγραµµικά σηµεία ορίζουν ένα επίπεδο. Αξίωµα 8: Αν δύο διάφορα επίπεδα τέµνονται, τότε η τοµή τους είναι µία γραµµή. Αξίωµα 9: (Αξίωµα χωρισµοί επιπέδου). ∆οθείσας µιας γραµµής και ενός επιπέδουπου την περιέχει, τα σηµεία του επιπέδου που δεν κείνται επί της γραµµήςσχηµατίζουν δύο σύνολα έτσι ώστεα) καθένα από τα σύνολα να είναι κυρτόβ) αν το Ρ ανήκει στο ένα σύνολο και το Q στο άλλο, τότε το τµήµα ΡQ τέµνει τη γραµµή.
  8. 8. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 8 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)Αξίωµα 10: (Αξίωµα χωρισµού του χώρου). Τα σηµεία του χώρου που δεν κείνται σ’ένα δεδοµένο επίπεδο σχηµατίζουν δύο σύνολα έτσι ώστεα) καθένα από τα σύνολα να είναι κυρτόβ) αν το Ρ ανήκει στο ένα σύνολο και το Q στο άλλο, τότε το τµήµα EQ τέµνει το επίπεδο.Αξίωµα 11: (Αξίωµα µέτρησης γωνίας). Σε κάθε γωνία BAC αντιστοιχεί έναςπραγµατικός αριθµός m µεταξύ 0 και 180.Αξίωµα 12: (Αξίωµα κατασκευής γωνίας). Έστω ΑΒ µία ηµιευθεία στην ακµή τουηµιεπιπέδου Η. Για κάθε αριθµό τ µεταξύ 0 και 180, υπάρχει ακριβώς µία ηµιευθείαΑΡ µε Ρ στο H, έτσι ώστε m<PAB = τ. Αξίωµα 13: (Αξίωµα πρόσθεσης γωνιών). Αν D είναι ένα σηµείο στο εσωτερικότης <BAC, τότε (για τις γωνίες) mΒΑC = mBAD + mDAC. Αξίωµα 14: (Αξίωµα παραπληρώµατος). Αν δύο γωνίες σχηµατίζουν έναγραµµικό ζεύγος, τότε είναι παραπληρωµατικές. Αξίωµα 15: (Αξίωµα ΠΓΠ). ∆οθείσας µιας αντιστοιχίας µεταξύ δύο τριγώνων(ήµεταξύ ενός τριγώνου και του εαυτού του), εάν δύο πλευρές και η περιεχόµενη γωνίατου πρώτου τριγώνου είναι ισοδύναµες προς τα αντίστοιχα µέρη του δεύτερουτριγώνου, τότε η αντιστοιχία είναι µία ισοδυναµία. Αξίωµα 16: (Αξίωµα παραλλήλων). Από ένα δεδοµένο εξωτερικό σηµείο υπάρχειτο πολύ µία γραµµή παράλληλη προς µία δεδοµένη γραµµή. Αξίωµα 17: Σε κάθε πολυγωνικό χωρίο αντιστοιχεί ένας µοναδικός θετικόςαριθµός καλούµενος το εµβαδόν. Αξίωµα 18: Αν δύο τρίγωνα είναι ισοδύναµα, τότε τα τριγωνικά χωρία έχουν Τοίδιο εµβαδόν. Αξίωµα 19: Έστω ότι το χωρίο R είναι η ένωση δύο χωρίων R1 και R2. ‘Έστω ότιτα R1 και R2 τέµνονται το πολύ σ’ ένα πεπερασµένο αριθµό τµηµάτων και σηµείων.Τότε το εµβαδόν του R είναι το άθροισµα των εµβαδών των R1 και R2. Αξίωµα 20: Το εµβαδόν ενός ορθογωνίου είναι το γινόµενο του µήκους της βάσηςτου και του µήκους του ύψους του. Αξίωµα 21: 0 όγκος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι το γινόµενο τουµήκους του ύψους και του εµβαδού της βάσης. Αξίωµα 22: (Αρχή του Cavalieri) ∆οθέντων δύο στερεών και ενός επιπέδου, ανγια κάθε επίπεδο που τέµνει τα στερεά και είναι παράλληλο προς το δεδοµένοεπίπεδο οι δύο τοµές έχουν ίσα εµβαδά, τότε τα δύο στερεά έχουν τον ίδιο όγκο.5. ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΞΙΩΜΑΤΩΝ SMSG: (αφορά την Γεωµετρία του χώρου): Αξίωµα 1: α) Κάθε γραµµή περιέχει τουλάχιστον δύο διάφορα σηµεία. β) Κάθε επίπεδο περιέχει τουλάχιστον τρία µη συγγραµµικά σηµεία. γ) Ο χώρος περιέχει τουλάχιστον τέσσερα µη συνεπίπεδα σηµεία, ταοποία ανά τρία δεν είναι συγγραµµικά. Αξίωµα 2: Για κάθε δύο διάφορα σηµεία στο χώρο, υπάρχει ακριβώς µία γραµµήπου περιέχει και τα δύο. Αξίωµα 3: Για κάθε τρία µη συγγραµµικά σηµεία, υπάρχει ακριβώς ένα επίπεδοπου τα περιέχει. Αξίωµα 4: Αν δύο διάφορα σηµεία κείνται σ’ ένα επίπεδο, τότε η γραµµή που ταπεριέχει κείται στο επίπεδο.
  9. 9. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 9 Εργασία 1η (Γεωµετρίες) Αξίωµα 5: Αν δύο διάφορα επίπεδα έχουν µη κενή τοµή, η τοµή τους περιέχειτουλάχιστον δύο σηµεία. Αξίωµα 6: Υπάρχει µία συνάρτηση d από το καρτεσιανό γινόµενο S x S στο R(d:SXS —> R) έτσι ώστεα)Για κάθε P,Q ∈ S, d(P,Q) ≥ 0β) d(P,Q)=0 αν και µόνο αν P=Qγ) Για κάθε P, Q ∈ S, d(P, Q) = d(Q, P)δ) Για κάθε P, Q, D ∈ S, d(P, D) ≤ d(P, Q) + d(Q, D) Αξίωµα 7: (Αξίωµα κανόνα). Κάθε γραµµή έχει ένα σύστηµα συντεταγµένων. Αξίωµα 8: (Αξίωµα παραλλήλων του Ευκλείδη). Αν Ρ είναι ένα σηµείο όχι επίµιας γραµµής r, υπάρχει µία µοναδική γραµµή που περιέχει το Ρ, παράλληλη προς r. Αξίωµα 9: (Αξίωµα χωρισµού επιπέδου). Αν π είναι ένα επίπεδο και r µία γραµµήστο π, τότε π τ είναι η ένωση δύο συνόλων Η1 και Η2 έτσι ώστε α) τα Η1 και Η2 να είναι κυρτά β) Η2 ∩ Η2 =Ø γ)αν Ρ ∈ Η1 και Q ∈ Η2,τότε r ∩ PQ ≠ Ø. Αξίωµα 10: (Αξίωµα χωρισµού του χώρου). ∆οθέντος ενός επιπέδου α στο χώρο,το σύνολο των σηµείων που δεν κείνται στο α είναι η ένωση δύο συνόλωνΗ1 και Η2έτσι ώστε α) καθένα από τα σύνολα να είναι κυρτό β) Η2 ∩ Η2 =Ø γ) κάθε τµήµα που ενώνει ένα σηµείο στο ένα σύνολο µε ένα σηµείο στο άλλοτέµνει το α. Αξίωµα 11: Υπάρχει µία συνάρτηση m από το σύνολο όλων των γωνιών στουςπραγµατικούς αριθµούς έτσι ώστε για κάθε γωνία <Α, 0<m*Α <180. Αξίωµα 12: (Αξίωµα µοιρογνωµονίου) Έστω ΑΒ µία ηµιευθεία, Η ένα από τα δύοηµιεπίπεδα που ορίζονται από την ΑΒ και x ένας θετικός αριθµός έτσι ώστε 0 ≤ χ ≤ 180. Υπάρχει µία 1—1 αντιστοιχία µεταξύ του συνόλου όλων των αριθµών χκαι του συνόλου των ηµιευθειών ΑΧ που κείνται στην ένωση του Η και της ακµήςτου έτσι ώστε α) η ΑΒ ν’ αντιστοιχεί στον αριθµό 0. β) η ηµιευθεία AR η αντίθετη της ΑΒ ν’ αντιστοιχεί στον αριθµό 180 γ) αν Χ είναι στο εσωτερικό της <BAY και αν x και y είναι οι αριθµοί που αντιστοιχούν στις ΑΧ και ΑΥ, αντίστοιχα, τότε χ <y. δ) αν Χ και Υ δεν είναι συγγραµµικά µε το Α και αν χ και y είναι οι αριθµοί πουαντιστοιχούν στις ΑΧ και ΑΥ, αντίστοιχα, τότε m*XAY =|x — y| Αξίωµα 13: (Αξίωµα ΠΓΠ). Αν σε δύο τρίγωνα υπάρχει µία αντιστοιχία κατά τηνοποία δύο πλευρές και η περιεχόµενη γωνία του ενός είναι ισοδύναµες, αντίστοιχα, µετις αντίστοιχες πλευρές και την περιεχόµενη γωνία του άλλου, τότε τα τρίγωνα είναιισοδύναµα. Αξίωµα 14: (Αξίωµα εµβαδού). α) σε κάθε πολυγωνικό χωρίο R αντιστοιχεί ένας µοναδικός θετικός πραγµατικόςαριθµός καλούµενος το εµβαδόν του R και συµβολιζόµενος µε α(R). β) αν R και S είναι ισοδύναµα τρίγωνα, τότε τα τριγωνικά χωρία που ορίζονταιαπό αυτά έχουν ίσα εµβαδά γ) έστω ότι R και S είναι δύο πολυγωνικά χωρία που είναι ξένα ή έχουν κοινέςµόνο ακµές και κορυφές. Τότε α(R ∪ S) = a(R) + a(S).
  10. 10. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 10 Εργασία 1η (Γεωµετρίες) δ) Το εµβαδόν ενός ορθογωνίου είναι το γινόµενο του µήκους της βάσης του καιτου µήκους του ύψους του. Αξίωµα 15: α) σε κάθε στερεό αντιστοιχεί ένας µοναδικός θετικός πραγµατικόςαριθµός καλούµενος ο όγκος του. β) ο όγκος ενός ορθού παραλληλεπιπέδου είναι ίσος προς το γινόµενοτων τριών διαστάσεών του. γ) ο όγκος ενός στερεού είναι το άθροισµα των όγκων τουπεπερασµένου αριθµού στερεών χωρίς κοινά εσωτερικά σηµεία από τα οποίααποτελείται. Αξίωµα 16: (Αρχή του Cavalieri) Αν δύο στερεά µπορούν να βρίσκονται έτσιώστε οι τοµές τους µε κάθε επίπεδο παράλληλο προς σταθερό επίπεδο, να είναιισοδύναµες, τότε τα δύο στερεά είναι ισοδύναµα. 6. ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΞΙΩΜΑΤΩΝ ΤΟΥ CHOQUETΈνα επίπεδο είναι ένα σύνολο Π. του οποίου θεωρούµε ένα σύνολο D υποσυνόλωντου που καλούνται ευθείες. •. •••••••• ••••••••••• Αξίωµα Ia: Για κάθε ζεύγος (x, y) διαφόρων σηµείων του H, υπάρχει µία καιµόνο µία ευθεία που περιέχει τα χ και y.Αξίωµα Ib: Για κάθε ευθεία D και για κάθε σηµείο x, διέρχεται από το x µία και µόνοµία παράλληλη ευθεία. •. •••••••• •••••••• Αξίωµα ΙΙα: Με κάθε ευθεία D συνυπάρχουν δύο δοµές ολικής διάταξης,αντίθετες η µία στην άλλη. Αξίωµα ΙΙb: Για κάθε ζεύγος (A, B) παραλλήλων ευθειών και για όλα τα σηµείαa, b, a`,b` τέτοια ώστε a, a’ ∈ Α και δ, δ’ ∈ B, κάθε παράλληλη προς αυτές τιςευθείες που συναντά το [a, b], συναντά επίσης το [a’, b’]. ΙΙΙ. Αξιώµατα συσχετισµένης δοµής Αξίωµα ΠΙ α: Με το επίπεδο Π, υπάρχει και µία απεικόνιση d του Πx Π στο R+ καλούµενη απόσταση και τέτοια ώστε:1. d(y,x)=d(x,y) για όλα τα χ,y ∈ Π2. Για κάθε προσανατολισµένη ευθεία D, κάθε χ ∈ D και κάθε αριθµό l ≥0 υπάρχει στην D ένα µοναδικό σηµείο y τέτοιο ώστε x ≤ y και d(x, y) = 1.3. χ ∈ [α,b] ⇒ d(α,χ)+d(χ, b) =d(α, b) Αξίωµα ΙΙΙb: Για κάθε ζεύγος παραλλήλων ευθειών (Α,Β) Και για όλα τα σηµείαa,b,a’,b’ τέτοια ώστε α,α’ ∈ Α και b, b’ ∈ B, η παράλληλη προς τις ευθείες αυτές πουδιέρχεται από το µέσο του (a, b), διέρχεται επίσης από το µέσο του (α’,δ’). ΙV Αξιώµατα µετρικής δοµής Αξίωµα IVa: (καθετότητας) Η καθετότητα (συµβ. ⊥ ) είναι µία διµελής σχέση στο σύνολο D των ευθειών του Π τέτοια ώστε1. Α ⊥ Β ⇔ Β ⊥ Α2. Α ⊥ Β => Α και Β δεν είναι παράλληλες.3. Για κάθε ευθεία A, υπάρχει µία τουλάχιστον ευθεία B, τέτοια ώστε Α ⊥ Β.4. Για κάθε ζεύγος (Α, B) τέτοιο ώστε A ⊥ B, έχουµε την ισοδυναµία Β //B’ ⇔ Α ⊥ Β’ Αξίωµα IVb: (συµµετρίας) Για κάθε ζεύγος (Α1‚Α2) ηµιευθειών της ίδιας αρχής Οέχουµε C(Α1,Α2)=C(Α2,Α1),όπου: c(Α1 , A2) συµβολίζει το βαθµωτό k τέτοιο ώστε οφ(χ) = κΟχ, ∀χ ∈ D , φ είναιη προβολή ορθογώνια στην D1, Οφ(x) και Ox τα αλγεβρικά µέτρα των(Ο, ψ(χ)) και
  11. 11. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 11 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)(Ο, x) και D1 , D2 οι προσανατολισµένες ευθείες που περιέχουν τις Α1 και Α2,αντίστοιχα, έτσι ώστε Α1 ≥ 0, Α2 ≥ 0. (k είναι ουσιαστικά το συνηµίτονο της γωνίας). Τα αξιώµατα αυτά οδηγούν στον ορισµό της norm.1 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑH υπερβολική γεωµετρία, οικοδοµείται επίσης στην βάση του συστήµατοςαξιωµάτων Ευκλείδη – Hilbert, όπου όµως το 50 αξίωµα του Ευκλείδη, έχειαντικατασταθεί από το υπερβολικό αξίωµα:΄΄Υπάρχει µια ευθεία ε και ένα σηµείο Α εκτός αυτής, έτσι ώστε από το Α ναδιέρχονται δύο τουλάχιστον παράλληλες προς την ευθεία ε΄΄. Επιπλέον, αποδεικνύεται ό,τι αν ισχύει το υπερβολικό αξίωµα, τότε ισχύει και τογενικευµένο υπερβολικό αξίωµα:΄΄Για κάθε σηµείο Α εκτός ευθείας ε, υπάρχουν άπειρες ευθείες παράλληλες προς τηνε΄΄.Το κοινό µέρος αξιωµάτων της Ευκλείδειας και της υπερβολικής γεωµετρίας,λέµε ότι αποτελεί την ουδέτερη γεωµετρία.Ένα µοντέλο για την υλοποίηση της υπερβολικής γεωµετρίας το οποίο οφείλεταιστους Liouville, Beltrami και Poincare, είναι το εξής:Σε ένα Ευκλείδειο επίπεδο εφοδιασµένο µε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένωνΟxy, ορίζουµε: • υπερβολικό επίπεδο, -συµβολικά ΄΄ Υ-επίπεδο΄΄- το σύνολο τωνσηµείων {M(x,y) / y >0}. • Υ-ευθείες, ορίζουµε τις ηµιευθείες και τα ηµικύκλια, που είναι κάθετα στον άξονα x′x και περιέχονται στο Υ-επίπεδο. • Υ-σηµείο, ορίζουµε κάθε σύνηθες Ευκλείδειο σηµείο του Υ-επιπέδου.Τέλος: • Παράλληλες λέγονται δύο Υ-ευθείες, οι οποίες δεν έχουν κοινό σηµείο. Πράγµατι όπως φαίνεται και από τo ακόλουθo σχήµα: Από το σηµείο Α που δεν ανήκει στην Y-ευθεία ε1, διέρχονται τρεις Y-ευθείες παράλληλες προς την ε1.Ένα δεύτερο µοντέλο της υπερβολικής γεωµετρίας (το οποίο οφείλεται στον Klein),είναι το εξής: ΠΡΟΤΥΠΟ KLEIN 1 Ο Ι. Αραχωβίτης προτείνει τον όρο µέγεθος από το énorme που σηµαίνειυπερµεγέθης. Έτσι, ο χώρος µε norm θα καλείται µεγεθικός χώρος) καθώς καιτου εσωτερικού γινοµένου.
  12. 12. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 12 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)Σε ένα Ευκλείδειο επίπεδο, θεωρούµε κύκλο (Ο,R).Τότε ως: • Υπερβολικό επίπεδο, θεωρούµε τα εσωτερικά σηµεία του κύκλου. • Υπερβολικές ευθείες, θεωρούµε τις χορδές του κύκλου χωρίς τα άκρα τους • Υπερβολικό σηµείο, θεωρούµε κάθε σύνηθες Ευκλείδειο σηµείο του υπερβολικού επιπέδου. • Παράλληλες λέγονται δύο ευθείες, οι οποίες δεν έχουν κοινό σηµείο.Και στο µοντέλο αυτό, µπορούµε να δείξουµε ότι ισχύουν τα αξιώµατα της ουδέτερηςγεωµετρίας και επιπλέον ισχύει το υπερβολικό αξίωµα.Πράγµατι όπως προκύπτει από το παραπάνω σχήµα, από το σηµείο Μ που δεν ανήκειστην ευθεία ΑΒ, διέρχονται δύο υπερβολικές ευθείες ε2 και ε1 οι οποίες είναιπαράλληλες προς την ΑΒΈνα πράγµα που έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον , είναι στο κατά πόσον οι «ευθείες» τουµοντέλου αυτού είναι άπειρα επεκτεινόµενες. Αυτό πραγµατοποιείται µέσω µιαςιδιότυπης µετρικής , της ΓΑ * ∆ΒD(Γ, ∆)=λ*|ln (Γ∆, ΑΒ)|=λ|ln | , λ>0 (1) ΓΒ * ∆Αόπου έχω πάρει τους διπλούς λόγους τεσσάρων σηµείων (συζυγή αρµονικά)Από τον τύπο (1) προκύπτει, ότι όταν Γ Α , τότε στον (1) τα υπόλοιπα µήκη θαείναι θετικά , το µήκος του ΓΑ θα τείνει στο 0 και ο λογάριθµος του αριθµητικούλόγου στο -∞ , η απόσταση στο +∞ .
  13. 13. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 13 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)Έτσι υλοποιείται και απαίτηση για «άπειρες» ευθείες!Με χρήση του παραπάνω προτύπου , µπορεί να υλοποιηθεί η υπερβολική Γεωµετρίακαι σε ένα άλλο πρότυπο , του Poincore ,, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: ΠΡΟΤΥΠΟ POINCAREΕικόνα 1Στο πρότυπο του Klein , κάνουµε στερογραφική προβολή. Η στερεογραφικήπροβολή , διατηρεί το επίπεδο Α,Β,Γ και τις γωνίες. Έτσι, όπως φαίνεται και από τοσχήµα, έχουµε πάλι ως «επίπεδο» έναν ανοικτό δίσκο και ως «ευθείες» τις προβολέςτων ευθειών του δίσκου του Κlein , οι οποίες θα είναι είτε διάµετροι του κύκλου, είτετόξα, κάθετα στον κύκλο. Και σε αυτό το πρότυπο , έχουµε περισσότερες παράλληλεςαπό ένα σηµείο εκτός ευθείας προς ευθεία , ενώ έχουµε και «οριακές παραλλήλους!» Γωνία (ABC) = 8,8° Γωνία (BCA) = 15,3° Γωνία (CAB) = 29,4° ∆ίσκος Άθροισµα γωνιών τριγώνου = 53,4° B Ο δίσκος του Πουανκαρέ αποτελεί µοντέλο για την υπερβολική γεωµετρία. Στο µοντέλο αυτό, µια ευθεία γραµµή που περνά από δύο σηµεία, ορίζεται ως τόξο C που περνά από τα δύο σηµεία και είναι κάθετο στον κύκλο. ξτε µε το υπερβολικό τρίγωνο για να ανακαλύψετε τι ισχύει για τις γωνίες. Πόσο µεγάλο και πόσο µικρό µπορεί να γίνει το A άθροισµα των γωνιών ενός υπερβολικού τριγώνου; Bill Finzer, 3/95, µε πολλή βοήθεια από τον Mike AlexanderΕικόνα 2. Ένα υπερβολικό τρίγωνο πάνω στο πρότυπο του Poincare
  14. 14. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 14 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΗ ελλειπτική γεωµετρία (η οποία σχετίζεται µε την σφαιρική γεωµετρία),θεµελιώνεται µε την βοήθεια των εξής αξιωµάτων:Ι. Αξιώµατα της ΄΄σύµπτωσης΄΄I1: Για οποιαδήποτε σηµεία Α και Β, δεν υπάρχει παραπάνω από µια ευθεία που ταπεριέχει.I2: Kάθε ευθεία, περιέχει τουλάχιστον δύο σηµεία. Υπάρχουν τουλάχιστον τρία µησυνευθειακά σηµεία.I3: Για κάθε τριάδα µη συνευθειακών σηµείων, υπάρχει πάντοτε επίπεδο που ταπεριέχει. Κάθε επίπεδο περιέχει ένα τουλάχιστον σηµείο.Ι4: Για κάθε τριάδα µη συνευθειακών σηµείων, υπάρχει το πολύ ένα επίπεδο πουτα περιέχει.I5: Αν δύο σηµεία Α, Β µιας ευθείας ανήκουν στο επίπεδο α, τότε και όλη ηευθεία που ορίζεται από τα Α και Β περιέχεται στο επίπεδο α. I6: ∆ύο επίπεδα α, β που έχουν κοινό σηµείο Α, έχουν ένα τουλάχιστον επιπλέονκοινό σηµείο Β. Ι7: Yπάρχουν τέσσερα τουλάχιστον σηµεία, µη κείµενα στο ίδιο επίπεδο.Στο σηµείο αυτό οφείλουµε να αναφέρουµε τα εξής:Ενώ από τα αξιώµατα της σύµπτωσης της ελλειπτικής γεωµετρίας παραλείπεται τοαξίωµα ΄΄Για κάθε δύο σηµεία υπάρχει ακριβώς µια ευθεία που τα περιέχει΄΄, (αφούαπό δύο αντιδιαµετρικά σηµεία στην επιφάνεια µιας σφαίρας διέρχονται άπειροιµέγιστοι κύκλοι), ο F. Klein θεωρώντας ως σηµείο στην επιφάνεια µιας σφαίρας έναζεύγος αντιδιαµετρικών σηµείων, εµπλούτισε τα αξιώµατα της σύµπτωσης και µε τοπαραπάνω αξίωµα.II.Aξιώµατα χωρισµούΣτην ελλειπτική γεωµετρία, δεν ισχύουν τα αξιώµατα της διάταξης της ουδέτερηςγεωµετρίας, αλλά µια οµάδα ΄΄αξιωµάτων χωρισµού΄΄.Συγκεκριµένα, αν Α, Β, Γ, ∆ είναι διακεκριµένα συνευθειακά σηµεία, µε το σύµβολο(Α, Β / Γ, ∆) εννοούµε ότι τα σηµεία Α, Β ΄΄χωρίζουν΄΄ τα σηµεία Γ,∆, όπου η έννοιατου χωρισµού, ορίζεται από τα εξής αξιώµατα:ΙΙ1: Aν (Α, Β / Γ, ∆) τότε (Γ, ∆ /Α, Β) και (Β, Α / Γ, ∆)ΙΙ2: Aν (Α, Β / Γ, ∆) τότε δεν ισχύει (Α, Γ / Β, ∆)ΙΙ3: Aν τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ είναι διακεκριµένα και συνευθειακά, τότε ισχύει (Α, Β / Γ, ∆) ή (Α, Γ / Β, ∆) ή (Α, ∆ / Γ, ∆)ΙΙ4: Αν τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά και διακεκριµένα, τότε υπάρχει ένα σηµείο ∆, τέτοιο ώστε (Α, Β / Γ, ∆)ΙΙ5: Για οποιαδήποτε 5 διακεκριµένα συνευθειακά σηµεία Α,Β, Γ, ∆, Ε, αν ισχύει (Α, Β / ∆, Ε), τότε (Α, Β / Γ, ∆) ή (Α, Β / Γ, ∆)Στο σηµείο αυτό, εισάγουµε την έννοια της ΄΄προοπτικής΄΄, η οποία είναιπροαπαιτούµενη για το επόµενο αξίωµα χωρισµού.
  15. 15. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 15 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)Έστω ε1 και ε2 δύο τυχαίες ευθείες και Α ένα σηµείο που δεν ανήκει στις ε1 και ε2. ΑνΒ είναι τυχαίο σηµείο της ε1, τότε η ευθεία ΑΒ τέµνει την ε2 σε ένα µοναδικό σηµείοΓ. Η παραπάνω διαδικασία, ορίζει µια ΄΄1-1΄΄ απεικόνιση των σηµείων της ε1 στην ε2. Ηαπεικόνιση αυτή, λέγεται ΄΄προοπτική µε κέντρο το Α, από την ε1 στην ε2΄΄ .Τότεισχύει και το ακόλουθο αξίωµα χωρισµού:II6: Αν ε1 είναι µια ευθεία που διέρχεται από τα διακεκριµένα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ όπου( Α, Β / Γ, ∆ ) και Α′, Β′, Γ′, ∆′ οι εικόνες των Α, Β, Γ, ∆ αντίστοιχα σε µια ευθεία ε2µέσω µιας προοπτικής, τότε ισχύει ότι ( Α′, Β′ / Γ′, ∆′ ).III.Αξιώµατα συµφωνίαςΕπιπλέον, ισχύουν για την ελλειπτική γεωµετρία, τα ΄΄αξιώµατα συµφωνίας΄΄ τηςουδέτερης γεωµετρίας: III1: Αν Α, Β είναι σηµεία µιας ευθείας ε1 και Α′ είναι σηµείο της ευθείας ε2, τότε σε κάθε ηµιευθεία Αχ της ε1 , υπάρχει σηµείο Β′ , τέτοιο ώστε ΑΒ = Α′Β′ . III2: ∆ύο ευθύγραµµα τµήµατα ίσα προς τρίτο, είναι και µεταξύ τους ίσα. III3: Έστω ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ, ΒΓ της ίδιας ευθείας ε, έχουν µόνο ένα κοινό σηµείο το Β . Έστω επίσης ότι τα τµήµατα Α′Β′, Β′Γ′ της ίδιας ή µιας άλλης ευθείας ε1 , έχουν µόνο ένα κοινό σηµείο το Β′ . Αν ΑΒ = Α′Β′ και ΒΓ = Β′Γ′ , τότε και ΑΓ = Α′Γ′ . III4: Έστω γωνία ∠( η,θ ) του επιπέδου ε και µια ηµιευθεία η ′ από το σηµείο Ο του ίδιου ή διαφορετικού επιπέδου. Τότε υπάρχει µια µόνο ηµιευθεία θ σε κάθε ηµιεπίπεδο εκατέρωθεν της η ′ , έτσι ώστε ∠( η,θ ) = ∠( η ′,θ ′ ).Κάθε γωνία είναι ίση µε τον εαυτό της. III5: Aν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α′Β′Γ′ ισχύουν ΑΒ = Α′Β′ , ΑΓ = Α′Γ′ , ∠ ΒΑΓ = ∠ Β′Α′Γ′ , τότε ισχύει ότι ∠ ΑΒΓ = ∠ Α′Β′Γ′ .IV.Καθώς και το ΄΄ελλειπτικό αξίωµα΄΄:∆εν υπάρχουν δύο ευθείες παράλληλες µεταξύ τους.Με την βοήθεια των παραπάνω αξιωµάτων, ένα µοντέλο υλοποίησης της ελλειπτικήςγεωµετρίας είναι το εξής: • Ελλειπτικό επίπεδο, ορίζουµε την επιφάνεια µιας σφαίρας. • Ελλειπτικό σηµείο, ορίζουµε ένα ζεύγος αντιδιαµετρικών σηµείων πάνω στο ελλειπτικό επίπεδο. • Ελλειπτική ευθεία, ορίζουµε τον µέγιστο κύκλο της σφαίρας που διέρχεται από δύο διακεκριµένα ελλειπτικά σηµεία.Πιο συγκεκριµένα, έχω το παρακάτω σχήµα , στο οποίο:
  16. 16. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 16 Εργασία 1η (Γεωµετρίες) • Ελ-επίπεδο είναι η επιφάνεια της σφαίρας Ο • Ελ-σηµείο είναι κάθε ζεύγος αντιδιαµετρικών σηµείων της Ο • Ελ-ευθεία είναι κάθε µέγιστος κύκλος του ΟΤο ζεύγος (Ν, S) καθώς και το ζεύγος (Α,Β) είναι Ελ-σηµεία. Τα δύο αυτά σηµεία,ορίζουν την ελ-ευθεία (Ν, S) (Α, Β) , δηλαδή τον µέγιστο κύκλο ΑΝΒS της σφαίραςΟΑπόσταση δύο ελ- σηµείων ορίζεται ως το πιο µικρό τόξο από τα δύο τόξα πουορίζουν τα δύο ελ- σηµεία.. έτσι η µέγιστη δυνατή απόσταση δυο ελ-σηµείων είναιπ/2 , αν θέσω την ακτίνα του κύκλου ίση µε την µονάδα.Επί παραδείγµατι, στο σχήµα έχω τα δύο σηµεία (Μ,Μ’) , (Ρ,Ρ’) . Το πιο µικρό απότα τόξα µε άκρα τα σηµεία Μ, Ρ, του µέγιστου κύκλου που ορίζεται από τα σηµείααυτά.Με κάποιο τρόπο αποδεικνύεται ακόµη (Με σφαιρική Γεωµετρία) ότι το άθροισµατων γωνιών ενός ελ-τριγώνου είναι πάνω από 180ο .
  17. 17. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 17 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)Το παραπάνω πρότυπο ελλειπτικής Γεωµετρίας του επιπέδου που υλοποιείται στηνσφαίρα, είναι η οµάδα των µετασχηµατισµών που αφήνει αναλλοίωτα τα µήκη και τιςγωνίες , είναι η οµάδα των στροφών της σφαίρας περί το κέντρο της .Σήµερα είναι πλήρως διαµορφωµένη η ν-διάστατη ελλειπτική Γεωµετρία τουRiemann (v ≥ 2) .Με την εργασία του ο Riemann, το 1854, έθεσε τις βάσεις για την θεµελίωσηολόκληρης κλάσης Γεωµετριών που έκτοτε φέρουν το όνοµά του (Ρηµάννειες)
  18. 18. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 18 Εργασία 1η (Γεωµετρίες) Σ Α ΦΟ ∆ΙΙ. Επειδή κάθε κόµµα µπορεί να σχηµατίσει πολιτική συµµαχία µε κάθε άλλο από ταυπόλοιπα , µεταφραζόµενο αυτό σε γεωµετρική γλώσσα, σηµαίνει ότι «από κάθεσηµείο, άγεται προς κάθε άλλο µία ευθεία» ∆ηλ. ισχύει το 1ο αξίωµα του Ευκλείδη. 5Η Γεωµετρία αυτή είναι πεπερασµένη , αφού έχει 5 σηµεία και   =10 ευθείες.   2 • Η γεωµετρία αυτή δεν µπορεί να είναι Ελλειπτική, διότι αν ήταν, δεν θα υπήρχαν ευθείες παράλληλες µεταξύ τους. Όµως , σύµφωνα µε τον ορισµό της, υπάρχουν λ.χ. οι ευθείες ΑΣ και ΦΟ που εξ ορισµού είναι παράλληλες. • ∆εν είναι υπερβολική, διότι µε το πεπερασµένο των ευθειών δεν είναι δυνατόν να εκπληρούται ο όρος των απείρων παραλλήλων από ένα σηµείο προς ευθεία. • Επίσης η Γεωµετρία αυτή δεν είναι Ευκλείδεια, διότι θα έπρεπε να ισχύει το 5ο αίτηµα , πράγµα που δεν είναι αληθές, καθ’ όσον υπάρχει σηµείο , λ.χ. το Α και ευθεία λ.χ. η ∆Φ από το οποίο άγονται δύο διαφορετικές παράλληλες προς αυτήν, λ.χ. οι ΑΣ και ΑΟ. Αυτές οι ευθείες είναι διαφορετικές, διότι αν συνέπιπταν, τότε ΑΣ ≡ ΑΟ ⇔ Σ ≡ Οάτοπο!
  19. 19. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 19 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)Η µορφή του 5ου αξιώµατος που εκπληρούται, µας επιτρέπει να κατατάξουµε τηνπαρούσα γεωµετρία στην ισχυρά Υπερβολική Γεωµετρία , αφού από κάθε σηµείο ,προς πάσαν άλλην ευθεία που δεν ανήκει σ’ αυτή , άγονται ακριβώς δύο παράλληλεςΑπόδειξη: Έστω τα σηµεία Χ, Υ , Ζ που ανήκουν στο G={Α, Σ, Φ, ∆, Ο} µεΧ ≠ Υ ≠ Ζ ≠ Χ . έχω την ευθεία ΧΥ και το σηµείο Ζ εκτός αυτής . Τότε επειδήυπάρχουν άλλα δύο ακριβώς διαφορετικά σηµεία από τα Χ,Υ, Ζ , (έστω τα Κ,Λ ∈G)τότε θα ορίζονται ακριβώς δύο διαφορετικές παράλληλες προς την ΧΥ που θαδιέρχονται από το Ζ , οι ΖΚ και ΖΛ .Αυτό συµβαίνει για κάθε σηµείο εκτός ευθείας , άρα οµιλώ για ισχυρά ΥπερβολικήΓεωµετρίαΙΙΙ. Το «υπερβολικόν» της ……Υπερβολικής ΓεωµετρίαςΈχοµε: • Στην Ευκλείδειο την ύπαρξη µίας και µόνης παραλλήλου από σηµείου εκτός αυτής και προς αυτήν. • Στην Ελλειπτική την απουσία παραλλήλων από σηµείο εκτός ευθείας και προς αυτήν. • Στην Υπερβολική την ύπαρξη απείρων διαφορετικών παραλλήλων από σηµείο εκτός ευθείας και προς αυτήν. Εποµένως ως πρακτικό κανόνα µνηµονικό διάκρισης των Γεωµετριών θα µπορούσαµε να θεσπίσουµε την αντιστοίχιση της ετυµολογικής καταγωγής της λέξης που χαρακτηρίζει την Γεωµετρία µε την ύπαρξη , απουσία ή πληθώρα παραλλήλων από σηµείο εκτός ευθείας και προς αυτήν! Γραφική παράσταση του συνόλου µε παραµετρικές εξισώσεις χ = α cosh θ και ψ = β sinh θ (1)Με αντικατάσταση των εξ ορισµού ίσων προς το υπερβολικό ηµίτονο καισυνηµίτονο, έχοµε: ex + e−x ex − e−x χ=α και ψ = β (2) 2 2Η (2) µπορεί να ειδωθεί και ως σύστηµα δύο εξισώσεων , από τα οποίες µπορεί ναγίνει απαλοιφή του ex και e-x, ως εξής:
  20. 20. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 20 Εργασία 1η (Γεωµετρίες) 2  e x + e −x  2  e x − e −x χ2 = α    και ψ =  β 2   ⇒   2   2  2 e 2x + e − 2 x + 2e x e − x 2 e 2x + e − 2 x − 2e x e − xχ2 =α και ψ = β 2 ⇒ 4 4 2 e 2x + e − 2 x + 2e 0 2 e 2x + e − 2 x − 2e 0χ2 =α και ψ = β 2 ⇒ 4 4 2 e + e −2x 1  2 e + e −2x 1  2x 2xχ2 =α   +  και ψ = β  2 − ⇒  4 2    4 2 χ2  e2x + e−2x 1  ψ2  e2x + e−2x 1  = +  και 2 =  −  ⇒ (αφ. καταµέλη)α2  4 2 β   4 2χ2 ψ2 1  1  − 2 = −  ⇒α β 2 2 2χ2 ψ2 − 2 = 1 η οποία είναια β 2εξίσωση υπερβολ ς ή 1επίσης από τις (2) , θέτοντας ex=t >0 ⇒ e-x= >0 και εξ αυτού έχω µια άλλη tπαραµετρική µορφή της παραβολής , την 1 1 t+ t−χ=α t και ψ = β t ⇒ 2 2 (3) α  1 β  1χ =  t +  και ψ =  t −  2 t 2 tΕπίσης µε χρήση του προγράµµατος Graphmath , λαµβάνω τα παρακάτω:
  21. 21. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 21 Εργασία 1η (Γεωµετρίες) χ2 ψ2Η σχεδίαση της οικογένειας καµπυλών − = 1 για β=1 (και για α=1 και µε α2 β2βήµα 1 έως 5) χ2 ψ2Η σχεδίαση της ίδιας οικογένειας καµπυλών − = 1 , αλλά για β=3 α2 β2
  22. 22. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 22 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)Η ίδια οικογένεια των πέντε υπερβολών για β =20άλλες τέσσερις υπερβολές , µε β=1 , αλλά από α=1 µε βήµα 10 έως 40
  23. 23. Γιάννης Πλατάρος Σελίδα 23 Εργασία 1η (Γεωµετρίες)

×