Your SlideShare is downloading. ×
Rysis shmeiou
Rysis shmeiou
Rysis shmeiou
Rysis shmeiou
Rysis shmeiou
Rysis shmeiou
Rysis shmeiou
Rysis shmeiou
Rysis shmeiou
Rysis shmeiou
Rysis shmeiou
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Rysis shmeiou

272

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
272
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
5
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟ∆ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝ.ΑΘΗΝΩΝΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΜάθηµα : Ιστορία των Μαθηµατικών∆ιδάσκων : Στυλιανός ΝεγρεπόντηςΕΡΓΑΣΙΑ 5 : (Μόνο για τους µεταπτυχιακούς)«Περί της ρύσεως σηµείου και για το αν αφορά την ένυλον ή άϋλον ευθεία τουισχυρισµού του G. Morrow . πάνω στα Σχόλια εις Στοιχεία του Ευκλείδη υπό τουΠρόκλου1)Επιχειρήµατα περί ενύλου ή αύλου ευθείας.2) Πώς βλέπει ο Πρόκλος τον ορισµός της ευθείας σε σχέση µε τα τρία πρώταΕυκλείδεια αιτήµατα»Μεταπτυχιακός φοιτητής : Ιωάννης Π. ΠλατάροςΑριθµός µητρώου: 211.502 ΑΘΗΝΑ 2001
  • 2. Πρόκλος , Σχόλια στα Στοιχεία του Ευκλείδη ( 97, 6-17)Af or … ai d aÙ t¾ n kaˆ kat ¥llaj meqÒ douj, zontoƒ m ·Ú sin shme…ou lšgontej, oƒ d mšgeqoj ™f en ndiastatÒ n. ¢ll oát oj m Ð Ó roj tšleiÒ j ™stin t¾ n noÙ s…an shma…nwn tÁ j grammÁ j, Ð d shme…ou ·Ú sine„pën œoiken ¢pÕ tÁ j a„t…aj aÙ t¾ n tÁ j gennhtikÁ jdhloàn kaˆ oÙ p©san gramm¾ n ¢ll¦ t¾ n ¥ulon par-…sthsi· t aÚt hn g¦ r Øf … hsi t Õ shm st e‹on ¢m j Ø p£r- ercon, Øp£r xewj d to‹j meristo‹j a‡tion Ô n. ¹ d ·Ú sijt¾ n prÒ odon ™nde…knutai kaˆ t¾ n gÒ nimon dÚ namin,t¾ n ™pˆ p©san di£stasin fq£nousan kaˆ oÙ k ™lattou-mšnhn, t ¾n aÙt ¾n m ˜stî n san, p©si d to‹j meristo‹jt¾ n oÙ s…an parecomšnhn.Ερµηνευτική απόδοσηΟρίζουν δε την γραµµή και µε άλλους τρόπους.Άλλοι µεν λένε ροή του σηµείου, άλλοι δε, µέγεθος σε µια διάσταση1.Αλλά ο δεύτερος ορισµός µας δείχνει τέλεια την ουσία (περιεχόµενον) τηςγραµµής. Αυτός δε που λέει για την ρύσιν σηµείου, φαίνεται να την εξηγεί απότην σκοπιά της γεννητικής της αιτίας. Και είναι φανερόν, ότι δεν παριστάνει κάθεγραµµή, αλλά την άϋλον.2 ∆ιότι αυτή δίνει υπόσταση στο σηµείο , αν και αµερές1 Ο Αριστοτέλης στα Μεταφυσικά , (1020α 11-12) λέει χαρακτηριστικά:«megšqouj d tÕ m ™f εn sunecj mÁ koj, tÕ d ™pˆ dÚ o pl£toj, tÕ d n™pˆ tr…a b£qoj.»2 Σε αυτό το κοµµάτι ο G. Morrow έχει αντικαταστήσει στο αρχαίο κείµενο τηνλέξη «άϋλον» µε «ένυλον» γράφοντας σχετικά: (µετάφραση) Το κείµενοδιαβάζεται ως άϋλον, αλλά αυτό είναι ολίσθηµα. ∆ιότι η γραµµή διαγράφει τηνάµεση υλική της συνέπεια και το έχω µεταφράσει αναλόγως , όπως ο ver Eecke 2
  • 3. να υπάρχει. Είναι δε το σηµείο , αίτιο της υπάρξεως των πραγµάτων πουµπορούν να µεριστούν. Η δε ρύσις φανερώνει την πρόοδο και την γόνιµηδύναµη , η οποία φθάνει σε όλες τις διαστάσεις και η οποία δεν ελαττώνεται καινα παραµένει καθ΄ εαυτή η ίδια. Σε όλα δε τα µεριστά πράγµατα , παρέχει τηνουσία3.(περιεχόµενον) Πρόκλος , Σχόλια στα Στοιχεία του Ευκλείδη 179,22-180,1. oŒ t Õ m ¢pÕ shme…ou gramm¾ n on neÙ qe‹an ™pˆ shme‹on ¢gage‹n æ j prÒ ceiron lamb£neikaˆ eÙ pÒ riston. tÍ g¦r Ð malÍ ·Ú sei toà shme…ousugkinoumšnh kaˆ sumproioàsa tù mhdamoà m©llonkaˆ  tton ¢poneÚ ein e„j tÕ ›teron katant´ shme‹on.Ερµηνευτική απόδοση4Για παράδειγµα, όταν σχεδιάζουµε µια ευθεία από ένα σηµείο σε ένα άλλο, αυτόείναι κάτι που (η σκέψη µας) λαµβάνει ως προφανές και το προσπορίζεταιεύκολα. ∆ιότι (η σκέψη µας) κινουµένη µαζί µε την οµαλή ρύση του σηµείου,ακολουθούσα περισσότερο προς την µία πλευρά και λιγότερο στην άλλη , φθάνεικαι συναντά το άλλο σηµείο.Επίσης ο Β. Σπανδάγος που έχει µεταφράσει µάλλον τον G. Morrow παρά τοαρχαίο κείµενο, σε σχετική υποσηµείωση στην µετάφραση του χωρίου, µαςπληροφορεί , ότι ο Friedlein αναφέρει «άϋλον» αντί του ορθού υλική καιπροσθέτει ότι την άποψη αυτή συµµερίζοντι και οι P. Eecke και G. Morrow.3 Στην µετάφραση του αρχαίου κειµένου του Β. Σπανδάγου στα σχόλια τουΠρόκλου στα Στοιχεία του Ευκλείδη, η ουσία επιλέγεται να σηµαίνει τοπεριεχόµενο της ύλης, αφού έχει προηγηθεί η λανθασµένη ερµηνεία µε το«ένυλον» σηµείο. Κι εδώ το κείµενο στις υποσηµειώσεις της µετάφρασης,ακολουθεί πιστά τις απόψεις του βιβλίου του G. Morrow.4 Ακολουθώ τo πνεύµα της ερµηνευτικής απόδοσης του G. Morrow. 3
  • 4. Πρόκλος , Σχόλια στα Στοιχεία του Ευκλείδη (185,1-187,18)Pet. I–III. Hit»sqw ¢pÕ pantÕ j shme…ou ™pˆp©n shme‹on eÙ qe‹an gramm¾ n ¢gage‹n kaˆpeper asmšnhn eÙqe‹an kat ¦ t Õ sunecj ™peÙ qe…aj ™kbale‹n kaˆ pantˆ kšntrJ kaˆ dia- st»mati kÚ klon gr£yai. Taàta t¦ tr…a kaˆ ™narge…aj ›neka kaˆ toà por…-sasqa… ti prost£ttein ¹m‹n ™n to‹j a„t»masin ™x¢n£gkhj tacq»setai kat£ ge tÕ n Gem‹non. t Õ m g¦r n¢pÕ pantÕ j shme…ou ™pˆ p©n shme‹on eÙ qe‹an gram-m ¢gage‹n ˜ pÒm ¾n enÒn ™ i t ù ∙ n enai toà shme…ou st Úsit¾ n gramm¾ n kaˆ t¾ n eÙ qe‹an Ð mal¾ n kaˆ ¢paršgkli-ton ·Ú sin. no»santej oân tÕ shme‹on kinoÚ menon t¾ nÐ mal¾ n kaˆ ™lac…sthn k…nhsin ™pˆ q£teron shme‹onkatant»somen, kaˆ t Õ pr ît on a‡ hm gšgonen oÙdn t apoik…lon ¹mî ™pinenohkÒ twn. e„ d d¾ tÁ j eÙ qe…aj nshme…J peratoumšnhj æ saÚ twj no»saimen tÕ pšrajaÙ tÁ j kinoÚ menon t¾ n ™lac…sthn kaˆ Ð mal¾ n k…nhsin,œ ai t Õ deÚt er on a‡ hm por i sqn ¢pÕ eÙ mhc£noust t akaˆ ¡plÁ j ™pibolÁ j. e„ d aâ mšnousan mn t¾ n pe-perasmšnhn eÙ qe‹an kat¦ q£teron, ki noumšnhn dperˆ tÕ mšnon kat¦ tÕ loipÒ n, tÕ tr…ton ¨n e‡h gšnoj.kšnt r on m g¦r œstai tÕ mšnon shme‹on, di£sthma nd ¹ eÙ qe‹a. Ó sh g¦r ¨n aÛ th tugc£nV, tosoàtoœstai tÕ ¢pÒ sthma toà kšntrou prÕ j p£nta t¦ mšrhtÁ j perifere…aj. e„ dš tij ¢poro…h, pî kin»seij ™p- jeis£gomen to‹j gewmetrhto‹j ¢kin»toij oâsin, pîj dt¦ ¢merÁ kinoàmen–t aàt a g¦ r ¢dÚnat a enai pan-telî j–¢xièsomen aÙ tÕ n m¾ pant£pasin duscera…-nein memnhmšnon tî ™n ¢rcÍ proapodedeigmšnwn, æ j n 4
  • 5. ¥ra perˆ tî ™n fantas…v keimšnwn oƒ lÒ goi gr£fou- nsin ™ke‹ p£nta t¦ tÁ j diano…aj e„kÒ naj ï œcei lÒ gwn. ntÕ g¦r ¥grafon grammate‹on oátoj à n Ð teleuta‹ojnoàj kaˆ paqhtikÒ j. ¢ll oÙdn ¹m‹n Ð lÒ goj oátoj.Ð g£r toi noàj Ð t¦ e‡dh decÒ menoj ¢llacÒ qen di¦kin»sewj aÙ t¦ dšcetai. t ¾n d k…nhsin m» toi swma-tik¾ n ¢ll¦ fantastik¾ n no»swmen kaˆ t¦ ¢merÁ t¦jm swmatik¦j kin»seij kine‹sqai m¾ sugcwrî t¦j n mend aâ fantastik¦j diexÒ douj Ø pomšnein. kaˆ g¦r Ðnoàj ¢mer¾ j í kine‹tai kaˆ oÙ topikî kaˆ ¹ fan- n jt as… kat ¦ t Õ ˜ aut Áj ¢m j œcei k…nhsin „d…an· a er¹m d e„j t¦j swmatik¦j kin»seij ¢poblšpontej e‹j¢poginèskomen tî ™n to‹j ¢diast£toij kin»sewn. toà nm oân swmatikoà tÒ pou kaˆ tî œxw kin»sewn t¦ n n¢merÁ kaqareÚ ei· ki n»sewj d ¥llo edoj kaˆ tÒ poj¥lloj ™p aÙ tî qewre‹tai ta‹j kin»sesi sÚ stoicoj, n™peˆ kaˆ qšsin œcein tÕ shme‹on ™n tÍ fantas…v lšgo-men kaˆ oÙ zhtoàmen, pîj ¢m j œti dÚ natai mšnein ertÕ kinoÚ menÒ n pou kaˆ periecÒ menon Ø pÕ toà tÒ pou.t Òpoj g¦ r t în m diastatî diastatÒ j ™sti, t în d n n¢merî ¢di£statoj. ¥lla oân t¦ „d…wj tî gewme- n ntrhtî e‡dh kaˆ ¥lla t¦ ¢p ™ke…nwn Ø fist£mena, kaˆ n¥llh tî swm£twn k…nhsij, ¥llh tî ™n fantas…v n nnooumšnwn, kaˆ ¥lloj Ð tî diastatî tÒ poj, ¥lloj n nÐ tî ¢merî kaˆ cr¾ taàta dielomšnouj m¾ sugce‹n n n.mhd ™pitar£ttein tî pragm£twn t¦j oÙ s…aj. n ”Eoi ken m t în t r i în t oÚt wn a„t hm wn t Õ m ¾n £t nprî ™n e„kÒ sin ¹m‹n ™mfan…zein, Ó pwj t¦ Ô nta tonperišcetai ™n to‹j aÙ tî a„t…oij ¢merestšroij oâsi nkaˆ Ð r…zetai ¢p aÙ tî kaˆ Ó ti kaˆ prˆn Ø postÍ pan- n,tacÒ qen Ø p ™ke…nwn perie…lhptai–kaˆ g¦r ¹ eÙ qe‹a 5
  • 6. tî shme…wn Ô ntwn ™pˆ q£teron ¢pÕ qatšrou ™pi- nzeÚ gnutai kaˆ peratoàtai Ø p aÙ tî kaˆ metaxÝ aÙ tî n n¢pe…lhptai–t Õ d deÚ teron, Ó pwj t¦ Ô nta ™cÒ menatî o„ke…wn ¢rcî prÒ eisin ™pˆ p£nta t»n te prÕ j n n™ke‹na sunšceian ful£ttonta kaˆ m¾ ¢pospèmena ¢paÙ tî ¢ll¦ di¦ t¾ n ¢peirodÚ namon a„t…an p£nth n,™peigÒ mena cwre‹n, t Õ d tr…ton, Ó pwj t¦ proelqÒ ntap£lin ™pistršfetai prÕ j t¦j o„ke…aj ¢rc£j. ¹ g¦rtoà kinoumšnou perˆ tÕ mšnon strof¾ tÕ n kÚ klon¢pogennî mime‹tai t¾ n kat¦ kÚ klon ™p£nodon. saΕρµηνευτική απόδοση του χωρίου :(Μετά τα Ευκλείδεια αξιώµατα)Αυτά τα τρία, εξ αιτίας της καθαρότητας και του προστάγµατος να ποριστούµεκάτι, είναι κατά τρόπο απαραίτητο ταξινοµηµένα µεταξύ των αξιωµάτων. ,σύµφωνα µε τον Γέµινον. Ο σχεδιασµός της γραµµής από οποιοδήποτε σηµείοσε άλλο, έπεται της συλλήψεως της γραµµής ως ροής σηµείου και της ευθείας ,ως της οµοιόµορφης και χωρίς αποκλείσεις ροής του.Γιατί , αν θεωρήσουµε το σηµείο να κινείται οµοιόµορφα, στον συντοµότεροδρόµο, θα έλθουµε στο άλλο σηµείο και έτσι θα έχουµε το πρώτο αίτηµα , χωρίςκαµία σύνθετη διαδικασία σκέψεως.Και αν πάρουµε µία ευθεία γραµµή ως περιορισµένη από ένα σηµείο(δηλ. ευθ.τµήµα) και όµοια φανταστούµε το άκρο της ως κινούµενο οµοιόµορφα στονσυντοµότερο δρόµο , το δεύτερο αίτηµα θα προκύψει µε ευµήχανο τρόπο καιαπλά επιβάλλεται.Και αν σκεφθούµε ένα ευθύγραµµο τµήµα που να έχει το ένα του άκρο σταθερόκαι το άλλο του άκρο να κινείται γύρω από το σταθερό σηµείο, θα λέγουµεπαράξει το τρίτο αίτηµα. , γιατί το σταθερό σηµείο θα είναι το κέντρο και η τοευθ. τµήµα η ακτίνα και οποιοδήποτε και να είναι το µήκος αυτής της γραµµής, ,θα είναι η απόσταση ( το απόστηµα) που ξεχωρίζει το κέντρο από όλα τα σηµεία 6
  • 7. της περιφέρειας. Αν δε κάποιος απορία εκφράσει σχετικά µε το πώς µπορούµενα εισάγουµε κινήσεις στα γεωµετρικά αντικείµενα που είναι ακίνητα, και πώςκινούµε τα αµερή, (διότι αυτό είναι παντελώς αδύνατον) , θα αξιώσουµε απόαυτόν, να µην δυσανασχετεί και θα του υπενθυµίσουµε αυτό που αποδείχθηκεστην εισαγωγή για τα πράγµατα στην φαντασία. , δηλαδή, , δηλαδή ότι οι ιδέεςµας εγγράφουν εδώ (στην φαντασία) τις εικόνες όλων των πραγµάτων για ταοποία η αντίληψη έχει ιδέα και ότι αυτή η άγραφη πινακίδα, είναι η κατώτερηµορφή του νου , ή «παθητική» . η δήλωση αυτή όµως δεν διώχνει την δεναπαλείφει τις δυσκολίες µας, γιατί ο νους που λαµβάνει αυτές τις µορφές απόαλλού τις λαµβάνει µέσω της κινήσεως. Αλλά ας σκεφθούµε αυτή την κίνηση, όχιως κίνηση σώµατος, αλλά ως φανταστική. Και ας µην παραδεχθούµε ότι ταπράγµατα χωρίς µέρη κινούνται µε τρόπους σωµάτων, αλλά περισσότερο ναπαραδεχθούµε ότι υπόκεινται στους τρόπους της φαντασίας. Γιατί και ονούς(σκέψη) , αν και χωρίς µέρη, κινείται αλλά όχι στον χώρο. Και η φαντασίαέχει το δικό της είδος κινήσεως το οποίο ανταποκρίνεται στο γεγονός, ότι η ίδιαείναι χωρίς µέρη.Τα χωρίς µέρη πράγµατα, δεν έχουν υλικό διάστηµα και εξωτερικές κινήσεις,αλλά ένα άλλο είδος κινήσεως, και άλλο τόπο(διάστηµα) που είναισύστοιχος(προσιδιάζει) µε την κίνησή τους και που µπορεί να διακριθεί σε αυτά.Λέµε ότι το σηµείο έχει θέση στην φαντασία και δεν ρωτάµε πως κάτι µπορεί ναπαραµείνει χωρίς µέρη και όµως να κινείται κάπου και να περιέχεται από τοδιάστηµα . Ο τόπος των διαστατών είναι διαστατός και τωναδιαστάτων(=αµερών) αδιάστατος .Συνεπώς οι µορφές που είναι χαρακτηριστικές σε γεωµετρικά αντικείµενα, είναιαρκετά διαφορετικές , από τα πράγµατα των οποίων η ύπαρξη προέρχεται απόαυτά. Η κίνηση των σωµάτων είναι αρκετά διαφορετική από την κίνηση τωναντικειµένων που περιλαµβάνει η φαντασία. Αυτά πρέπει να τα κρατήσουµεχωριστά , να µην τα συγχέουµε και να µην ανακατεύουµε τις φύσεις τωνπραγµάτων.Φαίνεται ότι από αυτά τα τρία αιτήµατα, το πρώτο εκφράζει µε µια εικόνα το πώςυπαρκτά πράγµατα περιέχονται µεταξύ των πιο αµερών αιτίων τους και 7
  • 8. περιορίζονται από αυτά. Και ακόµα περιλαµβάνονται σε αυτά σε όλες τις µορφέςπρίν ακόµη έλθουν σε ύπαρξη. Η ευθεία γραµµή για παράδειγµα, συνδέει ήδηυπάρχοντα σηµεία µεταξύ τους, περιορίζεται από αυτά και περιλαµβάνεταιµεταξύ αυτών. Τα δεύτερο αίτηµα δείχνει πως τα πράγµατα µπορούν νακρατιούνται σταθερά στις δικές τους πηγές και ακόµα να βγαίνουν έξω προς άλλαπράγµατα διατηρώντας την συνέχεια και τις αρχές τους και δεν ξεχωρίζονται απόαυτές. Αλλά πάντα οδηγηµένα από την παντοδύναµη αιτία, µέσα σε αυτά ναπροχωρούν. Και το τρίτο αίτηµα δείχνει ότι οτιδήποτε πάει µπροστά , γυρίζειπάλι στο δικό του σηµείο εκκινήσεως , διότι η περιστροφή του κινουµένου µέρουςτου ευθ. τµήµατος γύρω από το σταθερό του πέρας, µιµείται την κυκλικήεπιστροφή.Επιχειρήµατα υπέρ της αύλου ευθείαςΗ επέµβαση που έκανε ο G. Morrow στο αρχαίο κείµενο , οµοιάζει αψυχολόγητηκαι αυτό θα προσπαθήσουµε να καταδείξουµε επικαλούµενοι κάποιαεπιχειρήµατα: Ο Αριστοτέλης στα µετά τα φυσικά Β΄( 102a 4-8 ) αναφερόµενος στο οντολογικό πρόβληµα της ουσίας των γεωµετρικών αντικειµένων, αναφέρει. : «¢ll¦ m¾ n tÒ ge sî  tton oÙ s…a tÁ j ™pifane…aj, kaˆ aÛ th ma tÁ j grammÁ j, kaˆ aÛ th tÁ j mon£doj kaˆ tÁ j stigmÁ j· toÚ toij g¦r éristai tÕ sî kaˆ t¦ m ¥neu sèmatoj ™ndšcesqai doke‹ enai tÕ d sî ma, n ma ¥neu toÚ twn ¢dÚ naton» ∆ηλαδή: , Αλλά και το σώµα είναι λιγότερο ουσία από την επιφάνεια, και η επιφάνεια λιγότερο ουσία από την γραµµή και η γραµµή λιγότερο ουσία από από την µονάδα και το σηµείο, αφού από όλα αυτά ορίζεται το σώµα. Αυτά µεν φαίνεται ότι είναι δυνατόν να υπάρξουν χωρίς σώµα. Το σώµα δε, είναι αδύνατον να υπάρξει χωρίς αυτά. Λίγο πιο κάτω ο Αριστοτέλης (Μετά τα φυσικά Β΄102a 13- 20 ) λέει :«¢ll¦ m¾ n e„ toàto m Ð mologe‹tai, Ó ti m©llon oÙ s…a t¦ m»kh tî swm£twn n nkaˆ aƒ stigma…, taàta d m¾ Ð rî po…wn ¨n een swm£twn (™n g¦r to‹j mena„sqhto‹j ¢dÚ naton enai), oÙ k ¨n e‡h oÙ s…a oÙ dem…a. œti d fa…netai taàtap£nta diairšseij Ô nta toà sèmatoj, tÕ m e„j pl£toj tÕ d e„j b£qoj tÕ d e„j nmÁ koj» 8
  • 9. ∆ηλαδή, αν δεχόµαστε τα µήκη των σωµάτων και τα σηµεία είναιπερισσότερο ουσίες από τα σηµεία ότι περισσότερο ουσίες από τα ίδια τασώµατα, και παρ΄ όλα αυτά δεν βλέπουµε σε τι είδους σώµατα µπορούν ναανήκουν (διότι αποκλείεται να ανήκουν σε αισθητά σώµατα) τότε δεν υπάρχεικαµία ουσία. Επί πλέον όλα αυτά είναι διαιρέσεις σώµατος σε πλάτος σεβάθος ή σε µήκος.Οι παραπάνω απόψεις του Αριστοτέλους περισσότερο περιπλέκουν τοπρόβληµα , αν και υπάρχει µια ξεκάθαρη θέση του, ότι δηλαδή , ταΓεωµετρικά αντικείµενα κατ΄ ουδένα τρόπο έχουν υλική υπόσταση (πέρα απότο πρόβληµα της οντολογίας τους) Αυτό φαίνεται να ρίχνει ένα φως , αφούκαι ο Πρόκλος καλώς γνώριζε το έργο του Αριστοτέλη. Πρέπει λοιπόν ναδεχθούµε –καθώς Αριστοτέλης έφα, - ότι δεν υφίσταται υλική γραµµή. «Τα µεριστά» πράγµατα που αναφέρονται στο κείµενο του Πρόκλου, είναι σαφώς γεωµετρικά αντικείµενα , όπως ευθ. τµήµατα, ευθείες, γραµµές , επίπεδα, γωνίες , τα οποία προφανώς και δεν έχουν υλική υπόσταση. Αν δεχόµαστε υλική υπόσταση για την ευθεία, τότε θα είχαµε και υλική επιφάνεια και υλική γωνία και –τέλος- υλικά γεωµετρικά σχήµατα, αφού σύµφωνα και µε τον Πρόκλο, τα ανώτερης διάστασης γεωµετρικά αντικείµενα έχουν ως µέρη γ. αντικείµενα κατώτερης διάστασης. Είναι λοιπόν εύλογο να υποθέσουµε ότι η υλική υπόσταση των δοµικών στοιχείων προσδίδει υλική υπόσταση και στα παράγωγα . Όταν λοιπόν δεχθούµε ‘ότι το σηµείον είναι µη υλικό , µη υλικά θα είναι και όλα τα παράγωγα αυτού. Κι αυτό δεν έχει να κάνει µε την υπόλοιπη οντολογική υπόσταση του σηµείου . Προφανώς οιονεί έννοια «υλική ευθεία» ουδαµού αναφέρεται, αν και ο G. Morrow χρησιµοποιεί τον όρο, ως παράγωγο της ρύσεως σηµείου . Φαίνεται όµως να κάνει –όπως θα έλεγε κι ο Αριστοτέλης- «λήψη του ζητουµένου» Ο Πρόκλος δεν έχει κανένα πρόβληµα µε τον ορισµό του σηµείου από τον Ευκλείδη ως οντότητας που δεν έχει µέρος . Συνεπώς , πώς θα µπορούσε µια οντότητα που δεν έχει µέρος , να έχει υλική υπόσταση; Οι απόψεις του ∆ηµοκρίτου περί του έσχατου ορίου της ύλης , προφανώς(µπορούµε να εικάσουµε βασίµως) ήταν γνωστές στον Πρόκλο . Μάλιστα η οντολογική φύση του ατόµου σηµαίνει το µη επ΄ άπειρον διαιρετόν των υλικών πραγµάτων . Ο ∆ηµόκριτος ήταν σαφής 9
  • 10. λέγοντας το έσχατο όριο της ύλης άτοµο (= α στερητικό + τοµή) Η οντολογική φύση όµως του σηµείου επιτρέπει την επ΄ άπειρον διαίρεση λ.χ. ενός ευθυγράµµου τµήµατος , πράγµα που αυτοµάτως αποκλείει την υλική υπόσταση του σηµείου. Ο Πρόκλος (179,22-180,1) λέει ότι ότι όταν σχεδιάζουµε µια γραµµή , αυτό η σκέψη µας το προσλαµβάνει εύληπτα . ∆ιότι (η σκέψη µας ) ακολουθώντας την οµαλή ρύση του σηµείου , και προχωρώντας χωρίς παρέκκλιση πιο πολύ στο ένα µέρος από ό,τι στο άλλο, φθάνει στο άλλο σηµείο. Είναι προφανές , ότι ο Πρόκλος οµιλεί για µια πραγµατική ρύση πέννας ή µολυβδίδος ή κιµωλίας σε άβακα ή άλλη επιφάνεια την οποία ακολουθεί η σκέψη µας βλέποντας την ροή –τροχιά της γραφικής ύλης . Λέει ο Πρόκλος στο τρίτο προαναφερόµενο χωρίο, ότι «™peˆ kaˆ qšsin j er œcein tÕ shme‹on ™n tÍ fantas…v lšgomen kaˆ oÙ zhtoàmen, pî ¢m j œti dÚ natai mšnein tÕ kinoÚ menÒ n» Κατά την γνώµη µας αυτό παραπέµπει ευθέως στην φανταστική –και άρα άυλον - θεώρηση της ρύσης του σηµείου.Πώς βλέπει ο Πρόκλος τον ορισµό της ευθείας ως ρύσεως σηµείου, σεσχέση µε τα τρία πρώτα Ευκλείδεια αιτήµατα. Η πρώτη ενδιαφέρουσα παρατήρηση που κάνει ο Πρόκλος σε σχέση µε τον ορισµό της ρύσεως σηµείου , είναι ότι ο σχεδιασµός µιας γραµµής από οποιοδήποτε σηµείο σε οποιαδήποτε σηµείο, έπεται της συλλήψεως της γραµµής ως ρύσεως σηµείου. Θεωρεί δε µάλιστα την θεώρηση της ρύσεως ως υποβοηθητική για την καλύτερη σύλληψη του νοήµατος του πρώτου αιτήµατος55 , kaˆ tÕ prî a‡thma gšgonen oÙ dn poik…lon ¹mî ™pinenohkÒ twn ton n 10
  • 11. Επίσης προσαρµόζει την ρύσιν σηµείου και στο δεύτερο αίτηµα, λέγοντας , ότι αν πάρουµε µια γραµµή που είναι περιορισµένη από ένα άκρο σηµείο και φανταστούµε αυτό το άκρο να προεκτείνεται προς το άκρο κατά τον συντοµότερο δρόµο , τότε θα πάρουµε το δεύτερο αίτηµα µε καλό µηχανικό6 τρόπο. 7 Εξετάζει επίσης ο Πρόκλος και την ρύσιν του σηµείου ως δηµιουργούντος περιφέρεια κύκλου. 8Με την παραπάνω θεώρηση ο Πρόκλος, µας υποδεικνύει µε ενάργεια, το πώς τατρία κατασκευαστικά αιτήµατα του Ευκλείδη, νοούµενα µε την βοήθεια τηςρύσεως σηµείου , ουσιαστικά δίνουν και τις ίδιες τις κατασκευές (µε την βοήθειατης –φανταστικής- ρύσεως σηµείου.)Πρέπει επίσης να σχολιασθεί το γεγονός ότι ο Πρόκλος χρησιµοποιεί ταυτόχροναµε την ρύσιν του σηµείου και τον Αρχιµήδειο ορισµό της ευθείας περί«ελαχίστης αποστάσεως» µεταξύ δύο σηµείων, πράγµα που προϋποτίθεταιώστε η φαντασίας µας να συλλάβει την έννοια της ρύσεως.Για την διαφαινόµενη αντίφαση και εύλογη ένσταση που θα µπορούσε ναεκφράσει κάποιος λέγοντας για το τι νόηµα θα µπορούσε να είχε η κίνησηαµερούς οντότητας όπως το σηµείο, δίνει την απάντηση ότι σε αυτό ότι τα αµερήυπόκεινται στους τρόπους της φαντασίας9 . Αυτό θα µπορούσε δε να συνιστάκαι επιπρόσθετο επιχείρηµα περί του αύλου χαρακτήρα της ρύσεως σηµείου καιπαράγογα της ευθείας.6 ο Μηχανικός τρόπος εννοιολογικά πάντα προϋποθέτει κίνηση.7 «æ saÚ twj no»saimen tÕ pšraj aÙ tÁ j kinoÚ menon t¾ n ™lac…sthn kaˆ Ð mal¾ nk…nhsin, œstai tÕ deÚ teron a‡thma por i sqn ¢pÕ eÙ mhc£nou kaˆ ¡plÁ j ™pibolÁ j»8 «e„ d aâ mšnousan m t¾ n peperasmšnhn eÙ qe‹an kat¦ q£teron, kinoumšnhn d nperˆ tÕ mšnon kat¦ tÕ loipÒ n, tÕ tr…ton ¨n e‡h gšnoj. kšntron m g¦r œstai tÕ nmšnon shme‹on, di£sthma d ¹ eÙ qe‹a. Ó sh g¦r ¨n aÛ th tugc£nV, tosoàtoœstai tÕ ¢pÒ sthma toà kšntrou prÕ j p£nta t¦ mšrh tÁ j perifere…aj»9 «t¾ n d k…nhsin m» toi swmatik¾ n ¢ll¦ fantastik¾ n no»swmen kaˆ t¦ ¢merÁt¦j m swmatik¦j kin»seij kine‹sqai m¾ sugcwrî t¦j d aâ fantastik¦j n mendiexÒ douj Ø pomšnein» 11

×