Tema 16 Funciones Potenciales, Polinomicas Y Racionales

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  • 1.
    • Las funciones de la forma y = mx + b se llaman lineales. Su gráfica es una recta.
    • m es la pendiente de la recta.
    • n es la ordenada para x = 0, y se llama ordenada en el origen.
    • (0, 3)
    y = 3x +2 1. Función lineal MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
  • 2.
    • Las funciones de la forma y = ax 2 + bx + c con a  0 se llaman cuadráticas.
    • Su gráfica es una parábola.
    • Las coordenadas del vértice V(x, y) de la parábola se obtiene del siguiente modo:
    • La abscisa es la solución de 2ax + b = 0
    • La ordenada se obtiene hallando la imagen en la parábola de la abcisa.
    y = x 2 – 2x – 3 x = 1 y = – 4
    • V(1, – 4)
    Eje de simetría 2. Función cuadrática MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
  • 3.
    • La parábola y = x 2 + k se obtiene al trasladar la parábola y = x 2 , k unidades en
    • vertical.
    • Si k > 0, se traslada la parábola hacia arriba.
    • Si k < 0, se traslada la parábola hacia abajo.
    x 2 + 3 x 2 – 5 3.1 Representación de una parábola por traslación (I) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
  • 4.
    • La parábola y = (x + h) 2 se obtiene al trasladar la parábola y = x 2 , h unidades
    • horizontalmente.
    • Si h > 0, se traslada la parábola hacia la izquierda h unidades.
    • Si h < 0, se traslada la parábola hacia la derecha h unidades.
    (x – 3) 2 (x + 2) 2 3.2 Representación de una parábola por traslación (II) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
  • 5. La parábola y = (x + h) 2 + k se obtiene al trasladar la parábola y = x 2 , h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente, de manera que el vértice se sitúa en el punto V(–h, k). (x – 3) 2 (x –3 ) 2 +2 3.3 Representación de una parábola por traslación (II) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
  • 6. 4. Función de proporcionalidad inversa MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
    • Las funciones de la forma se llamen funciones de proporcionalidad
    • inversa.
    • Su gráfica se llama hipérbola, y cada una de las partes de la que consta, ramas.
    • Es simétrica respecto del origen, que es el centro de la hipérbola.
    • Es continua en todos los puntos, salvo en 0, que no pertenece al dominio.
  • 7. Algunas funciones racionales son las siguientes: 5. Funciones racionales MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández Son funciones de la forma , donde p(x) y q(x) son polinomios, con q(x)  0. El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valores de x que anulan al denominador.
  • 8. La función puede cortar a la asíntota horizontal 6. Asíntotas horizontales MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández Una función y = f(x) tiene una asíntota horizontal y = h si existe alguno de los límites o bien
  • 9. La recta x = 0 es asíntota vertical. Las rectas x = 1, x = –2, x = 3 son asíntotas verticales. 7. Asíntotas verticales MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández Una función y = f(x) tiene una asíntota vertical x = k si existe alguno de los límites:
  • 10. 8. Asíntotas oblicuas MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández Una función y = f(x) tiene una asíntota oblicua y = mx + n si se verifica que:
  • 11. Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(x)+2 Trasladamos la gráfica de y = f(x) dos unidades hacia arriba
    • Si la función y = f(x) pasa por el punto (x 0 ,y 0 ) entonces la función y = f(x)+a
    • pasa por el punto (x 0 , y 0 + a).
    • La gráfica de y = f(x) + a se obtiene trasladando a unidades hacia arriba
    • (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0).
    9. Traslación vertical de funciones MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
  • 12. Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(x+2) Trasladamos la gráfica de y = f(x) dos unidades a la izquierda
    • Si la función y = f(x) pasa por el punto (x 0 , y 0 ) entonces la función y = f(x+a)
    • pasa por el punto (x 0 – a, y 0 ).
    • La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la izquierda
    • (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0).
    10. Traslación horizontal de funciones MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
  • 13. Una traslación horizontal y una traslación vertical implican una única traslación oblicua. Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = 2 + f(x+2) Trasladamos la gráfica de y = f(x) dos unidades a la izquierda y dos unidades hacia arriba 11. Traslación oblicua de funciones MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
  • 14.
    • Si la función y = f(x) pasa por el punto (x 0 , y 0 ) entonces y = f(ax) pasa por el
    • punto (x 0 /a, y 0 ).
    • Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Se observa que x 0 /a disminuye.
    Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(2x) Se contrae la gráfica horizontalmente a la mitad 12. Contracción horizontal MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
  • 15. Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(x/2) Se dilata la gráfica horizontalmente al doble
    • Si la función y = f(x) pasa por el punto (x 0 , y 0 ) entonces y = f(ax) pasa por el
    • punto (x 0 /a, y 0 ).
    • Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata horizontalmente. Observa que x 0 /a aumenta.
    13. Dilatación horizontal MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
  • 16. Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = 0.5 . f(x) Se contrae la gráfica verticalmente a la mitad
    • Si y = f(x) pasa por (x 0 , y 0 ) entonces y = af(x) pasa por (x 0 , ay 0 ).
    • Por ello para 0<a<1 esta transformación contrae verticalmente la gráfica de
    • la función.
    14. Contracción vertical MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández
  • 17. Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = 2f(x) Se dilata la gráfica verticalmente al doble
    • Si y = f(x) pasa por (x 0 , y 0 ) entonces y = af(x) pasa por (x 0 , ay 0 ).
    • Por ello para a > 1 esta transformación dilata verticalmente la gráfica.
    15. Dilatación vertical MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 16. FUNCIÓN POLINOMICA Y RACIONAL Javier Fernández