0
MATEMÁTICAS 4 ESO            TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                     Javier Fernández

                        ...
MATEMÁTICAS 4 ESO                       TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                  Javier Fernández

                ...
MATEMÁTICAS 4 ESO         TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                           Javier Fernández

                     ...
MATEMÁTICAS 4 ESO                       TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS         Javier Fernández

                     4. R...
MATEMÁTICAS 4 ESO                        TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                 Javier Fernández

                ...
MATEMÁTICAS 4 ESO                     TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                       Javier Fernández

             ...
MATEMÁTICAS 4 ESO              TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                                   Javier Fernández

        ...
MATEMÁTICAS 4 ESO                TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                       Javier Fernández

                  ...
MATEMÁTICAS 4 ESO                TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                 Javier Fernández

                    9. O...
MATEMÁTICAS 4 ESO           TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS             Javier Fernández

                    10. Operacion...
MATEMÁTICAS 4 ESO                      TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                Javier Fernández

                   ...
MATEMÁTICAS 4 ESO                 TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                    Javier Fernández

                    ...
MATEMÁTICAS 4 ESO          TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS         Javier Fernández

                                   13....
MATEMÁTICAS 4 ESO            TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS        Javier Fernández

                             14. Loga...
MATEMÁTICAS 4 ESO         TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                Javier Fernández

                           15. L...
MATEMÁTICAS 4 ESO               TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                Javier Fernández

                          ...
MATEMÁTICAS 4 ESO         TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS           Javier Fernández

                          17. Operaci...
MATEMÁTICAS 4 ESO        TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS           Javier Fernández

                              18. Camb...
MATEMÁTICAS 4 ESO          TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                 Javier Fernández

                    19. Paso d...
MATEMÁTICAS 4 ESO           TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS                Javier Fernández

                     20. Paso ...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

04.02 Potencias Y Logaritmos

4,344

Published on

Published in: Education
0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
4,344
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
148
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "04.02 Potencias Y Logaritmos"

  1. 1. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 1. Potencia de exponente natural La potencia an (a > 1), es el producto de n factores iguales a la base: an = a . a . a . ... . a (n veces) Propiedades Producto de potencias de la misma base am . an = am+n Cociente de potencias de la misma base am / an = am–n Potencia de potencia (am)n = am.n Producto de potencias del mismo exponente am . bm = (a . b)m Cociente de potencias del mismo exponente am / bm = (a / b)m
  2. 2. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 2. Potencia de exponente entero ¿Qué sentido se le puede dar a la expresión a–m? ¿Y a las expresiones a1 ó a0? Definición de pot y simp Propiedades de pot Concluimos a 5 a ·a · a · a · a a 5 5−5 0 5= =1 5 =a =a a 0=1 a a ·a · a · a · a a a 6 a · a · a· a ·a · a a 6 6−5 1 = =a =a =a a 1=a a 5 a · a ·a · a · a a5 a3 a ·a·a 1 a 3 3−5 −2 a−2= 1 = = 2 =a =a 2 a 5 a ·a · a · a · a a a 5 a •Definimos la potencia de exponente entero de la siguiente manera: a n =a · a · ...· a ; n veces, con n∈ℕ , y n0 a 1 =a ; a 0 =1 1 a −m = m ; m ∈ℕ; y con m0 a
  3. 3. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 3 Potencias de 10. Notación científica Un número en notación científica N = a,bcd... . 10n consta de: Una parte entera formada por una sola cifra: a Una parte decimal: bcd ... Una potencia de base 10 con exponente entero: 10n En esta notación el exponente n indica el orden de la magnitud. Las calculadoras muestran números en notación científica. Así el número que muestra la calculadora es: 9, 46 9, 46⋅10−3= =0, 00946 1000
  4. 4. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 4. Raíces de un número. Número de raíces Se define de la siguiente manera: Índice n b = ⇔ b = a a n radical radicando a > 0: dos raíces par a = 0: una raíz n a < 0: sin raíces cualquiera que sea a, hay exactamente una raíz impar
  5. 5. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 5. Raíces equivalentes • Dos radicales son iguales o equivalentes si tienen las mismas raíces. • Si se multiplica el índice del radical y el exponente del radicando por el mismo número el radical no varía. n n⋅k m⋅k a m = a Esta propiedad permite simplificar radicales, reducirlos a índice común y compararlos 3 a) 18 a12 =  18 : 6 12 : 6 a =  a2 12 b)  4096=  212=2 12 c) Reducir a índice común y 4 6 ordenar: 2 ,  23 ,  25 m.c.m (2, 4, 6) = 12 12 6 12 9 12  2 ,  2 ,  210 12 12 12  26  29  210
  6. 6. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 6. Potencias de exponente fraccionario 1/ 2 1/ 3 ¿Qué sentido podemos dar a las expresiones: a ; a Def de raíz Prop potencias Concluimos 1 1 1 1 1  a ·  a=a 2 2 a ⋅a =a  2 2 =a 1=a a =a 2 1 1 1 1 1 1 1    a·  a· a=a 3 3 3 3 3 a ⋅a ⋅a =a3 3 3 3 =a 1=a 3 3 a = a •Una potencia de exponente fraccionario es igual a un radical donde: • el denominador de la fracción es el índice del radial, y • el numerador de la fracción es el exponente del radicando m a =am n n
  7. 7. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 7 Propiedades de los radicales El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical que I. Raíz de un producto  a⋅b= a⋅ b n n n tiene por índice el común y por radicando el producto de los radicandos. El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical que  a a n II. Raíz de un cociente n =n b b tiene por índice el común y por radicando el cociente de los radicandos. La potencia de una raíz es otra III. Raíz de una raíz que tiene por índice el  a m =  a  n n m potencia mismo y por radicando la potencia del radicando. La raíz de un raíz es otra raíz que IV. Raíz de una raíz   a= m⋅n a m n  tiene por índice el producto de la índices y por radicando el mismo.
  8. 8. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 8. Cálculo con potencias y raíces • Las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas propiedades que las potencias de exponente entero. • Las operaciones con radicales se pueden realizar recurriendo a las potencias de exponente fraccionario. Como raíces Como potencias 1 1 1 n n n  a⋅b= a⋅ b n  a⋅b  =a ⋅bn n 1   n 1 n a a a n= a n = b nb  b 1 n b 1 1 1 1 1   a= m⋅n a m n  n m  a  =a ⋅ n m =a n⋅m
  9. 9. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 9. Operaciones con radicales: sacar e introducir factores • Sacar factores: 32 = 16⋅2 = 16 ⋅ 2 = 4⋅ 2 • Introducir factores: 2⋅ 3 7 = 3 23 ⋅7 = 3 56
  10. 10. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 10. Operaciones con radicales: suma y diferencia • Radicales equivalentes o iguales. 6  52  5−4  5=62−4  5=4  5 • Radicales reducibles o equivalentes. 3  12−2  752  27=3  22 · 3−2  52 · 32  33 · 3=3· 2  3−2· 5  32· 3  3 = = 6  3−10  36  3=6−106  3=2  3  3 24− 3000= 3 8· 3= 32  3−10  3=−7  3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
  11. 11. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 11. Producto y cociente de radicales Para multiplicar o dividir radicales se puede utilizar las propiedades de los radicales 6 23 ⋅ 6 152 = 6 23 ⋅152 = 6 1800 2 ⋅ 3 15 = 3 2 1 1 1 1 2 6 ⋅156 = (23) 6 ⋅ (152 ) 6 = (8⋅ 225) 6 = 1800 6 4 36 : 4 3 = 4 36:3 = 4 12 6:4 3 = 1 1 1 1 1 1 6 2 :34 = 36 4 :34 = (36:3) 4 = 12 4
  12. 12. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 12. Racionalización • En los cálculos a mano, a veces, conviene evitar denominadores con raíces. • El proceso de obtener como denominador un número racional se llama racionalización. • Este proceso puede ser necesario para simplificar. 3 3 3 2⋅ 2 2⋅ 22 2⋅ 2 2 2 2 3 = = = =  22  2⋅ 22  23 3 3 3 3 2 2 2 2  5 3  2  5 3  = = 5−3 =  5 3  5− 3   5− 3  5 3
  13. 13. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 13. Logaritmo El logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número. Se designa por logaN. logaN = x ⇔ ax = N •Consecuencias de la definición: • El logaritmo de 1 es 0 (en cualquier base) loga1 = x ⇔ ax = 1 ⇔ x = 0 • El logaritmo de la base es 1 logaa = x ⇔ ax = a ⇔ x = 1 • Sólo tienen logaritmo los números positivos Los logaritmos en base 10 se llaman decimales. En este caso no suele escribirse la base: log10 x = log x
  14. 14. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 14. Logaritmo de un producto Números M N MN En base 10 10x 10y 10x+y Logaritmo x y x+y log M + log N = log(MN) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
  15. 15. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 15. Logaritmo de un cociente Números M N M/N En base 10 10x 10y 10x–y Logaritmo x y x–y log M – log N = log (M/N) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.
  16. 16. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 16. Logaritmo de una potencia Números M Mn En base 10 10x (10x)n = 10 nx Logaritmo x nx log M n = n log M El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
  17. 17. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 17. Operaciones con logaritmos La expresiones numéricas en las que intervienen logaritmos se pueden reducir empleando las tres propiedades de los logaritmos y las siguientes propiedades de las operaciones aritméticas. Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa a+b=b+a Asociativa (a b) c = a (b c) Conmutativa ab=ba Distributiva a(b + c) = a b + ac •Reducción usando las propiedades de los logaritmos: • log 2 + log 3 = log (2. 3) = log 6 • log 6 – log 2 = log (6 : 2) = log 3 • 1 + log 2 = log 10 + log 2 = log (10 . 2) = log 20 • 3 – log 2 = log 1000 – log 2 = log (1000:2) = log 500 •Reducción usando también propiedades de los números: • 3 log 2 + 5 log 2 = (3 + 5) log 2 = 8 log 2 • log x3 + 2 log x = 3 log x + 2 log x = 5 log x
  18. 18. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 18. Cambio de base Conocidos los logaritmos en una base podemos utilizarlos para cálculos en otra base cualquiera. •logaN = x ⇔ ax =N Aplicando •log ax = logaritmos: log N Aplicando propiedades: •x log a = log N log N En consecuencia: x= log a Es decir: log N log a N = log a
  19. 19. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 19. Paso de expresión algebraica a logarítmica A = xyz t Tomando log A = log xyz t logaritmos: Logaritmo del log A = log (xyz) − log t cociente: Logaritmo del log A = log x + log y + log z − log t producto:
  20. 20. MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 2. POTENCIAS Y LOGARITMOS Javier Fernández 20. Paso de expresión logarítmica a algebraica log A = log x + log y − log z Logaritmo del log A = log (xy) − log z producto: Logaritmo del log A = log xy z cociente: Por la igualdad de A = xy logaritmos z
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×