Didáctica de la Matemática

1. Universidad Central del Ecuador
Problemas Abiertos
Integrantes:
Bianca Palacios
Jerry Reyes
Pedro Menéndez

2. Problemas Abiertos y los estudiantes
Convertir un problema de matemática de tipo cerrado a uno de tipo abierto
significa reformular la estructura del mismo de forma tal que el problema pase de
tener una sola respuesta correcta a tener varias. En la solución de estos
problemas, los estudiantes trabajan intensamente con interés y motivación,
disfrutando el placer de comprobar de que en un instante, se puede producir la
iluminación que compense el esfuerzo realizado.
Para los problemas abiertos los estudiantes deben acotar, reformular, plantear
objetivos de aprendizaje, etc. como punto de partida, en vez de comenzar
directamente con determinados cálculos numéricos a partir de datos que
aparecen en el enunciado.

3. Los problemas abiertos exigen al estudiante una actitud diferente, una
participación activa y un deseo de indagar y encontrar su solución para la
construcción de su propio conocimiento, puesto que, al no tener una solución
inmediata, trascienden la esfera del conocimiento en ese momento; no se limitan
a un determinado juego de datos numéricos, sino que contemplan ciertos
parámetros en función de los cuales puedan producirse situaciones
cualitativamente diferentes.
Adicionalmente, los problemas abiertos describen objetos y fenómenos de la
realidad, lo cual constituye una vía para poner al estudiante en relación con
situaciones del quehacer cotidiano y potencian el desarrollo de un conjunto de
rasgos y cualidades de la personalidad, reflejados en la voluntad, los sentimientos
y emociones, así como el pensamiento lógico y científico – teórico de los mismos.

4. Al mismo tiempo, en los problemas abiertos el estudiante necesita ir más allá de la
información recibida, utilizándola de manera distinta y/o modificando los
significados atribuidos a los elementos del ejercicio. Ahora los recursos lógicos
resultan insuficientes y se precisa de creatividad, lográndose mayor interacción en
el aula, mejoran el diálogo e intercambio entre los protagónicos del proceso de
enseñanza – aprendizaje y hacen sentir menos el rigor de la evaluación a los
estudiantes.
La resolución de problemas abiertos requiere un compromiso por parte de los
estudiantes por cuanto tienen que generarles interés; deben concebirse con un
grado de dificultad acorde al nivel; deben suscitar la necesidad de informarse, de
discutir, de evaluar la información que se posee entre los integrantes del grupo y
generan la oportunidad de reflexionar sobre lo que se está aprendiendo.

5. Problemas abiertos en clases
• En las clases tradicionales, rara vez se da a los estudiantes la posibilidad de participación en la
búsqueda de alternativas para resolver problemas abiertos, se resuelven ejercicios y problemas
rutinarios que en general, no propician el diálogo, ni la argumentación y por tanto, no se genera
producción ni circulación de conocimiento para el aprendizaje.
• En la resolución de problemas rutinarios tradicionalmente el docente selecciona las variables
significativas, cierra el enunciado con datos necesarios y suficientes para resolverlo, proporciona
palabras “claves” que encasillan la solución en determinados “capítulos” o “temas del programa
de disciplina” y explica “con toda claridad” el algoritmo o la “estrategia de solución”, de modo
que los estudiantes puedan aprenderla y repetirla ante “situaciones idénticas”. Es la conocida
práctica del “problema tipo”.
• La elaboración de los problemas abiertos por parte del profesor y el colectivo debe orientarse
hacia el mundo de significaciones de los estudiantes8, hacia su zona de desarrollo próximo, es
decir, la situación inicial del problema debe estar concebida para el nivel actual de este, pero la
situación final, lo buscado, junto con el proceso de resolución, que es desconocido por
naturaleza, deben generar verdaderos conflictos cognitivos y como consecuencia, un aprendizaje
significativo de los estudiantes, así como el enriquecimiento de su mundo de significaciones.

6. Finalmente se debe puntualizar, que el uso de los problemas abiertos tiene que
estar al alcance de los estudiantes, se deben orientar en correspondencia con
los intereses, necesidades y posibilidades de estos, vinculados a su campo de
acción profesional, donde se incluyan acciones teóricas y prácticas de carácter
interdisciplinarias.
La resolución de problemas abiertos es una actividad que ayuda al desarrollo de
la creatividad y al aprendizaje significativo. Sin embargo, el uso de los problemas
abiertos, así como las distintas alternativas para la resolución de problemas
alcanzan su éxito, sólo en la adecuada combinación e instrumentación de estos,
en correspondencia con el nivel de preparación de los estudiantes y el estudio
profundo.

7. Problemas No Resueltos (Abiertos)

8. En ciencia y matemáticas, un problema no resuelto o problema abierto, es
un problema que puede ser formulado con mucha precisión, y todavía no ha
sido resuelto (ya que no hay solución conocida para él). Ejemplos notables
de grandes problemas matemáticos que han sido resueltos y cerrados por los
investigadores en el siglo XX, son el último teorema de Fermat y el teorema
de los cuatro colores.
Existen importantes problemas no resueltos en muchos campos, tales como
la ciencia computacional teórica, la física y las matemáticas. Uno de los
problemas abiertos más importantes en bioquímica es cómo predecir la
estructura de una proteína desde su secuencia, este es el llamado problema
de la predicción de la estructura de las proteínas.
Es común en las escuelas de postgrado señalar los problemas no resueltos a
los estudiantes. Los estudiantes de posgrado, así como los miembros de la
facultad a menudo se involucran en la investigación para resolver dichos
problemas.

9. Problemas No Resueltos De La Matemática
Se ha dado en llamar problemas no resueltos de la matemática a una
serie de enunciados o conjeturas matemáticas sobre los que existe una
fuerte evidencia empírica de ser ciertos, pero de los que no se conoce
una demostración matemática rigurosa. Existen diversas listas de
problemas abiertos, entre ellos los problemas del milenio o los
problemas de Hilbert (en la actualidad solo una parte de los mismos
siguen siendo problemas no resueltos, habiendo sido resueltos la
mayoría).

10. Problemas Del Milenio
Los siete problemas del milenio han sido elegidos por una institución privada
de Cambridge, Massachusetts (EE. UU.), el Instituto Clay de Matemáticas,
cuya resolución sería premiada, según anunció el Clay Mathematics Institute
en el año 2000, con la suma de un millón de dólares por cada uno.
La lista es la siguiente:
P versus NP.
Conjetura de Hodge.
La hipótesis de Riemann.
Existencia de Yang-Mills y del salto de masa.
Existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes.
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
La conjetura de Poincaré (resuelta).

11.  P versus NP
Consiste en decidir si la inclusión entre las clases de complejidad P y NP es estricta.
Las matemáticas actuales no poseen la suficiente capacidad para poder distinguir problemas de tipo P y NP, para
los cuales es necesario desarrollar algoritmos bastante complejos. El problema en sí reside en que existen
problemas que no pueden resolverse en tiempo polinomial en una máquina determinista, es decir, no son
abarcables. La aritmética actual tiene límites a la hora de realizar algunos cálculos que ni los ordenadores más
potentes pueden realizar en un tiempo "razonable", es decir, del orden de las n^2 o n^3 operaciones. Sin
embargo el carácter exponencial de algunos problemas hace que actualmente su tratamiento sea inviable.
Se piensa que estos problemas podrían estar relacionados con el teorema de incompletitud de Gödel. Según
parece, ciertos enunciados matemáticos, entre los que se incluyen los que se refieren a cotas inferiores de
tiempo de cifrado, no se pueden demostrar dentro del marco de la aritmética de Peano, que es la forma
estándar de la aritmética.
Un ejemplo sería: si queremos determinar todas las formas posibles de asignar 70 personas a 70 trabajos
diferentes de forma que todas las personas tengan un trabajo y ninguna plaza quede vacante, no sería difícil
(para quien posea una mínima base matemática) establecer la solución: 70! (setenta factorial). Sin embargo, el
cálculo de este número sería equivalente a un número del orden de 10 elevado a la centésima potencia, lo que
significa que ni en la edad del universo podría resolverse computacionalmente este problema.
Hoy en día el estudio de este problema se plantea como la resolución o búsqueda de los límites en la
computación.

12.  La conjetura de Hodge
La conjetura de Hodge dice que para variedad algebraicas proyectivas, los ciclos de Hodge son una
combinación lineal racional de ciclos algebraicos.
 La conjetura de Poincaré
Este es el único problema que ha sido resuelto. En topología, la esfera (o cascarón esférico) se
caracteriza por ser la única superficie compacta simplemente conexa. La conjetura de Poincaré
establece que esta afirmación es también válida para esferas tridimensionales.
En marzo de 2002, un matemático inglés, Martin Dunwoody, de la Universidad de Southampton,
afirmaba haber resuelto este problema, pero luego se encontró un error.
El problema había sido resuelto en los casos de n > 3 por algunos matemáticos, Michael Freedman,
Steven Smale, E. C. Zeeman, se mantenía inaccesible, curiosamente, para n = 3.
Finalmente, el matemático ruso Grigori Perelmán dio con la solución, anunciada en 2002 y dada a
conocer en 2006. La resolución de la hipótesis de Poincaré hizo que a Grigori Perelmán le fuera
concedida en el XXV Congreso Internacional de Matemáticos la Medalla Fields, considerada el mayor
honor al que puede aspirar un matemático, premio el cual rechazó debido a que no quería
convertirse en una "mascota" para el mundo de las matemáticas.

13.  La hipótesis de Riemann
La hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real
de 1/2.
 Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
En Física, la teoría cuántica de Yang-Mills describe partículas con masa positiva que poseen ondas clásicas que
viajan a la velocidad de la luz. Este es el salto de masa. El problema es establecer la existencia de la teoría de
Yang-Mills y un salto de masa.
 Las ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los líquidos y gases. Si bien éstas fueron formuladas
en el siglo XIX, todavía no se conocen todas sus implicaciones, principalmente debido a la no linealidad de las
ecuaciones y los múltiples términos acoplados. El problema consiste en progresar hacia una teoría matemática
mejor sobre la dinámica de fluidos. El enunciado del problema es demostrar si a partir de unas condiciones
iniciales de fluido laminar la solución del flujo para todos los instantes de tiempo es también un flujo laminar.
El matemático kazajo Mujtarbay Otelbáyev afirma haber encontrado la solución al problema.
 La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata sobre un cierto tipo de ecuación que define curvas elípticas sobre
los racionales. La conjetura dice que existe una forma sencilla de saber si esas ecuaciones tienen un número
finito o infinito de soluciones racionales.

14. Conjetura de Goldbach
Christian Goldbach (1742)

15. En teoría de números, la conjetura de Goldbach es uno de los problemas
abiertos más antiguos en matemáticas. A veces se le califica del
problema más difícil en la historia de esta ciencia. Concretamente, G.H.
Hardy en 1921 en su famoso discurso pronunciado en la Sociedad
Matemática de Copenhage comentó que probablemente la conjetura
de Goldbach no es sólo uno de los problemas no resueltos más difíciles
de la teoría de números, sino de todas las matemáticas.

16. Todo número par mayor que 2 puede escribirse como
suma de dos números primos.
Christian Goldbach (1742)

17. Esta conjetura había sido conocida por Descartes. La
siguiente afirmación es equivalente a la anterior y es
la que se conjeturó originalmente en una carta de
Goldbach a Euler en 1742:
Todo número entero mayor que 5 se puede escribir
como suma de tres números primos.

18. Esta conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números y
ha sido comprobada por ordenadores para todos los números pares
menores que 1018.
Cuanto mayor sea el número entero par, se hace más probable que
pueda ser escrito como suma de dos números primos.

19. Sabemos que todo número par puede escribirse de forma mínima como
suma de a lo más seis números primos. Como consecuencia de un
trabajo de Vinográdov, todo número par lo bastante grande puede
escribirse como suma de a lo más cuatro números primos. Además,
Vinográdov demostró que casi todos los números pares pueden
escribirse como suma de dos números primos. En 1966, Chen Jing-run
mostró que todo número par lo bastante grande puede escribirse como
suma de un primo y un número que tiene a lo más dos factores primos.

20. Goldbach formuló dos conjeturas relacionadas entre sí sobre la suma
de números primos: la conjetura 'fuerte' de Goldbach y la conjetura
'débil' de Goldbach

21. En teoría de números, la conjetura débil de Goldbach afirma que:
Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres
números primos.

22. Se puede emplear el mismo número primo más de una vez en esta suma.
Demostrada por el peruano Harald Helfgott, esta conjetura recibe el
nombre de “débil” porque la conjetura fuerte de Goldbach sobre la suma
de dos números primos, si se demuestra, demostraría automáticamente
la conjetura débil de Goldbach.
Esto es así porque si cada número par mayor que 4 es la suma de dos
primos impares, se puede añadir tres a los números pares mayores que 4
para producir los números impares mayores que 7.

23. Algunos expresan la conjetura como:
Todo número impar mayor que 7 puede expresarse
como suma de tres números primos impares.
Esta versión excluye la solución 7 = 2+2+3, ya que
requiere el número 2, el único número primo par.

24. Dos trabajos publicados en los años 2012 y 2013 por el matemático
peruano afincado en Francia Harald Helfgott, que reivindican la mejora
de las estimaciones de los arcos mayores y menores, se consideran
suficientes para demostrar incondicionalmente la conjetura débil de
Goldbach. De este modo la conjetura queda demostrada después de
271 años.[