Dowód Twierdzenia Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i równy połowie jego długości .

Założenia i teza Weźmy dowolny trójkąt ABC . Zaznaczmy środki boków BC i AC i oznaczamy je jako A 1 i B 1 . Pokażemy, że: AB || A 1 B 1 |AB| = 2|A 1 B 1 |

AB || A 1 B 1

|AB| = 2|A 1 B 1 |

Dowód: AB || A 1 B 1 Połączmy odcinkami punkty A 1 , B 1 i C 1 . Korzystając z odpowiednich własności trójkątów przystających i podobnych możemy oznaczyć kąty w trójkątach jak na poniższym rysunku. Zaznaczmy środek odcinka AB i opiszmy go jako C 1

Dowód: AB || A 1 B 1 Proste e i d przecięte prostą B 1 C 1 tworzą identyczne kąty naprzemianległe, a więc prosta e jest równoległa do prostej d . Udowodniliśmy, że AB || A 1 B 1

Dowód: |AB| = 2|A 1 B 1 | Z twierdzenia Talesa mamy następującą równość: Wiemy, że A 1 jest środkiem odcinka BC, więc: Ostatecznie: Analogicznie z pozostałymi bokami Udowodniliśmy, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równy połowie długości trzeciego boku