Dowód Twierdzenia (WKW) W czworokącie przekątne się połowią wtedy i tylko wtedy, gdy ten czworokąt jest równoległobokiem

Część 1. => Zgodnie z założeniami mamy następującą sytuację: Gdzie | AO |=| OC | i | BO |=| OD |

1 Korzystając z własności kątów możemy zapisać: <AOB = <COD = γ <BOC = <DOA = δ Trójkąt AOB przystaje do trójkąta COD (bkb) i trójkąt BOC przystaje do trójkąta DOA (bkb). Stąd | AB |=| CD | i | BC |=| AC |

Z faktu, że ABCD jest czworokątem mamy, że: α + β + α + β = 360 o i dalej α + β = 180 o β = 180 o - α 2

Opuśćmy wysokości z wierzchołków A i C na przedłużenia boków (odpowiednio) CD i AB . Zaznaczmy punkty przecięcia się wysokości i przedłużeń boków i opiszmy je jako E i F . 3

4 Z 2 i 3 wynika, że: <ADE = <CBF = α <EAD = <FCB = 90 o - α

5 Z 4 i z faktu, że: <ADE + <DEA = <CBF + <BFC = 90 o – α + α = 90 o Jasno wynika, że czworokąt AFCE jest prostokątem, a więc boki AB i CD są względem siebie równoległe. Po opuszczeniu wysokości z wierzchołków A i C na boki BC i AD i przeprowadzeniu analogicznego rozumowania Dojdziemy to faktu, że odcinek BC jest równoległy do AD . Czworokąt ABCD ma dwie pary boków równoległych, a więc jest równoległobokiem .

Część 2. <= Zgodnie z założeniami mamy następującą sytuację: Gdzie AB || CD i BC =|| AC

1 Korzystając z własności kątów i prostych równoległych przeciętych dowolną prostą otrzymamy: <CAB = <ACD = α <ABD = <CDB = β <AOB = <COD = γ

2 Trójkąty AOB i COD są przystające (kkk), a więc boki AO i CO oraz BO i DO są sobie równe. Przekątne się połowią. Dowód skończony