Dowód Twierdzenia (WKW) W czworokącie kąty przy dowolnym boku dopełniają się do 180 o wtedy i tylko wtedy, gdy ten czworokąt jest równoległobokiem

Część 1. => Zgodnie z założeniami mamy następującą sytuację: <DAB = <BCD = α <ABC = <CDA = β = 180 o - α

Opuśćmy wysokości z wierzchołków A i C na przedłużenia boków (odpowiednio) CD i AB . Zaznaczmy punkty przecięcia się wysokości i przedłużeń boków i opiszmy je jako E i F . 1

3 Z 1 i założeń wynika, że: <ADE = <CBF = α <EAD = <FCB = 90 o - α

4 Z 4 i z faktu, że: <ADE + <DEA = <CBF + <BFC = 90 o – α + α = 90 o Jasno wynika, że czworokąt AFCE jest prostokątem, a więc boki AB i CD są względem siebie równoległe. Po opuszczeniu wysokości z wierzchołków A i C na boki BC i AD i przeprowadzeniu analogicznego rozumowania Dojdziemy to faktu, że odcinek BC jest równoległy do AD . Czworokąt ABCD ma dwie pary boków równoległych, a więc jest równoległobokiem .

Część 2. <= Zgodnie z założeniami mamy następującą sytuację: Gdzie AB || CD i BC =|| AC

1 Korzystając z własności trójkąta, kątów i prostych równoległych przeciętych dowolną prostą otrzymamy: <DAB = <BCD = α <ABD = <CDB = β <BDA = <DBC = γ Dowód skończony I dalej: α + β + γ = 180 o α = 180 o - ( β + γ)