Loading…

Flash Player 9 (or above) is needed to view presentations.
We have detected that you do not have it on your computer. To install it, go here.

Like this document? Why not share!

Like this? Share it with your network

Share

Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej

  • 5,568 views
Uploaded on

Moje notatki do egzaminu z Analizy Matematycznej

Moje notatki do egzaminu z Analizy Matematycznej

More in: Education , Technology
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here



  • <b>[Comment posted from</b> http://piotr.szlagor.net/2009/09/w-dzisiejszym-poscie-publikuje-moje.html]
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
5,568
On Slideshare
4,996
From Embeds
572
Number of Embeds
6

Actions

Shares
Downloads
118
Comments
1
Likes
2

Embeds 572

http://piotr.szlagor.net 543
http://www.piotr.szlagor.net 24
http://webcache.googleusercontent.com 2
http://209.85.229.132 1
http://static.slidesharecdn.com 1
http://wildfire.gigya.com 1

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) Wstępu do logiki i teorii mnogości Spis treści 1. Definicja zdania w sensie logicznym. Spójniki zdaniowe. Wartość logiczna zdań złożonych..........................................2 2. Tautologia i przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń......................................................................................2 3. Reguły dowodzenia. Przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń........................................................................2 4. Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe. Przykłady..................................................................................................................3 5. Reguły zaprzeczania zdań z kwantyfikatorami. Przykłady.................................................................................................3 6. Rozdzielność kwantyfikatorów względem koniunkcji i alternatywy. Przykłady i kontrprzykłady....................................3 7. Działania na zbiorach i ich podstawowe własności............................................................................................................4 8. Definicja relacji. Podstawowe pojęcia związane z relacją: dziedzina, przeciwdziedzina, relacja odwrotna, składanie relacji. Przykłady z różnych dziedzin matematyki..................................................................................................................4 9. Różne rodzaje relacji i ich wykresy na płaszczyźnie. Przykłady i kontrprzykłady............................................................5 10. Relacje równoważnościowe. Przykłady z różnych dziedzin matematyki.........................................................................6 11. Własności klas równoważności. Iloraz zbioru przez relację równoważności. Przykłady................................................6 12. Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów indukcyjnych....7 13. Zastosowanie relacji równoważności do konstrukcji liczb całkowitych i wymiernych na bazie liczb naturalnych........7 14. Pojęcie funkcji jako relacji. Różne rodzaje funkcji: iniekcje, bijekcje, suriekcje, monotoniczne. Przykłady i kontrprzykłady.........................................................................................................................................................................8 15. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję. Składanie funkcji i funkcja odwrotna. Przykłady.........................9 16. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące. Przykłady i kontrprzykłady...................................................................10 17. Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych i liniowo uporządkowanych: najmniejsze, największe, minimalne, maksymalne. Przykłady i związki pomiędzy nimi................................................................................................................10 18. Równoliczność zbiorów. Definicja i przykłady zbiorów, które się i które nie są równoliczne......................................11 19. Zbiory przeliczalne. Definicja i podstawowe własności zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych...........................11 20. Zbiory mocy continuum. Definicja i przykłady tego typu zbiorów................................................................................11 Strona nr 1
  • 2. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 1. Definicja zdania w sensie logicznym. Spójniki zdaniowe. Wartość logiczna zdań złożonych. Zdanie w sensie logicznym – zdanie oznajmujące, któremu w jednoznaczny sposób można przypisać ocenę prawdy lub fałszu. Spójniki zdaniowe: • ¬ p - negacja („nie”), • p∧q – koniunkcja („i”), • p∨q – alternatywa („lub”), • p ⇒ q - implikacja („Jeżeli … to …”), • p ⇔ q - równoważność („… wtedy i tylko wtedy, gdy ...”). Wartość logiczna zdań złożonych zależy jedynie od podstawowych zdań składowych. 2. Tautologia i przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń. Tautologia (prawo rachunku zdań) - taki układ zdania złożonego, który jest zawsze prawdziwy, bez względu na wartość logiczną zdań składowych. Przykłady: • ¬¬ p ⇔ p , • ¬ p ⇒ q⇔ p∧¬q , •  p ⇒ q∧q ⇒ r ⇔ p ⇒ r  . 3. Reguły dowodzenia. Przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń. Reguła dowodzenia – elementarne ogniwo rozumowań dedukcyjnych. p1, p 2, ... , pn Każda reguła dowodzenia jest tautologią. ⇔ p1∧ p2∧...∧ p n ⇒q q Przykłady: • p , p⇒q , q • p ⇒ q , q ⇒r , p⇒r • ¬q⇒¬ p , p⇒q • ¬ p⇒q∧¬q  . p Strona nr 2
  • 3. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 4. Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe. Przykłady. Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce na oznaczenie zwrotów „dla każdego”, „istnieje” i im podobnych. Funkcja zdaniowa – wyrażenie zawierające zmienne wolne, która w wyniku związania się z kwantyfikatorami staje się zdaniem. Przykład: a ∀ 0 ∃N ∀ n N ∣ n−g∣ 5. Reguły zaprzeczania zdań z kwantyfikatorami. Przykłady. ¬ ∀  x    x  ⇔ ∃  x  ¬  x   ¬∃  x    x  ⇔ ∀  x  ¬  x   Przykład: ¬ ∀n ∈ℕ 1n4  ⇔ ∃ n∈ℕ 1n≤4  6. Rozdzielność kwantyfikatorów względem koniunkcji i alternatywy. Przykłady i kontrprzykłady. 1. ∀ x∈ X  x ∧ x ⇔ ∀ x ∈ X  x ∧∀ x∈ X  x  2. ∀ x∈ X  x ∨∀ x ∈ X  x  ⇒ ∀ x ∈ X  x ∨ x  3. ∃x∈ X  x ∧  x ⇒ ∃x ∈ X  x ∧∃ x∈ X  x  4. ∃x∈ X  x ∨  x ⇔ ∃x∈ X  x ∨∃ x∈ X   x   Przykład: ∀ x∈ ℤ x 0∨∀ x ∈ℤ x≤0  ⇒∀ x∈ ℤ  x0∨ x≤0 Kontrprzykład: ∀ x∈ℤ  x0∨x ≤0⇒ ∀ x∈ ℤ x 0∨∀ x ∈ℤ x≤0  Strona nr 3
  • 4. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 7. Działania na zbiorach i ich podstawowe własności. A⊂ B⇔ ∀ x  x ∈ A⇒ x ∈ B  A= B⇔ A⊂ B∧B⊂ A A∩ B=B∩ A A∪ B=B∪ A  A∩B∩C = A∩ B∩C  A∩ B∪C = A∩B∪ A∩C  Działania uogólnione: ∑i ∈ I Ai ={x :∃i ∈ I x ∈ Ai } suma uogólniona ∏i ∈ I A i= {x :∀ i∈ I x ∈ A i } iloczyn uogólniony X ∖ ∑ i∈ I Ai ⇔ ∏i ∈ I  X ∖ Ai  X ∖ ∏i ∈ I A i ⇔ ∑i ∈ I  X ∖ Ai  8. Definicja relacji. Podstawowe pojęcia związane z relacją: dziedzina, przeciwdziedzina, relacja odwrotna, składanie relacji. Przykłady z różnych dziedzin matematyki. Relacja – zależność pomiędzy dwoma bądź większą ilością elementów D R={x ∈X :∃ y∈Y  x , y ∈R } Dziedzina relacji −1 D R ={ y ∈Y :∃ x∈ X  x , y ∈ R } Przeciwdziedzina relacji −1 R ={ y , x : x , y∈ R} Relacja odwrotna S ° R={ x , z :∃ y∈ X  x , y ∈ R∧ y , z ∈ S } Złożenie relacji Przykłady: • xRy ⇔ y=2x , • ASB⇔ A∩B≠∅ Strona nr 4
  • 5. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 9. Różne rodzaje relacji i ich wykresy na płaszczyźnie. Przykłady i kontrprzykłady. • R jest zwrotna w X ⇔∀ x∈ X xRx • R jest symetryczna w X ⇔∀ x , y∈ X xRy ⇒ yRx • R jest przechodnia w X ⇔∀ x , y , z ∈ X  xRy∧ yRz ⇒ xRz • R jest antysymetryczna w X ⇔∀ x , y∈ X  xRy∧ yRx ⇒ x = y • R jest spójna w X ⇔∀ x , y∈ X xRy∨ yRx • R jest asymetryczna w X ⇔∀ x , y∈ X xRy ⇒ ¬ yRx  • R jest przeciwzwrotna w X ⇔∀ x∈ X ¬ xRx  Przykładowe wykresy relacji: Relacja zwrotna Relacja Relacja symetryczna przechodnia Relacja Relacja spójna Relacja Antysymetryczna asymetryczna Relacja przeciwzwrotna R jest relacją: – równoważnościową, gdy jest zwrotna, symetryczna, przechodnia, – porządkującą, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia, – liniowo porządkującą gdy jest relacją porządkującą i jest spójna. Strona nr 5
  • 6. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 10. Relacje równoważnościowe. Przykłady z różnych dziedzin matematyki. R jest relacją równoważnościową, gdy jest zwrotna, symetryczna, przechodnia, Przykłady: • xRy ⇔∣ ∣ ∣y∣ , x= • A SB ⇔ A=B . 11. Własności klas równoważności. Iloraz zbioru przez relację równoważności. Przykłady. [ x ] - klasa równoważności elementu x względem relacji R [ x ]={ y ∈ X : xRy } (zbiór wszystkich elementów zbioru X równoważnych z x) Gdy R jest relacją równoważnościową to: • ∀ x∈ X [ x ]≠∅ , • ∑x∈ X [ x ]= X , • ∀ x , y∈ X [ x ]∧[ y ]≠∅ ⇔[x ]=[ y ]⇔ xRy X /R={[x ]: x ∈ X } - iloraz zbioru przez klasę równoważności R (dowolnemu podziałowi zbioru odpowiada pewna relacja równoważności). Przykłady: • Kierunek na płaszczyźnie. Weźmy lRm ⇔l∥m - relacja równoległości prostych na płaszczyźnie. [l]={ p :l∥ p } - zbiór prostych równoległych do l (kierunek). Kierunkiem na płaszczyźnie określamy klasę równoważności tej prostej względem relacji równoległości. • Wektor swobodny. Weźmy     - relacja równości wektorów. AB S CD ⇔ AB= CD [ AB]= CD : AB=CD }  {  - zbiór wektorów równych wektorowi  AB Wektorem swobodnym na płaszczyźnie nazywamy klasę równoważności ustalonego wektora względem relacji równości wektorów. Strona nr 6
  • 7. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 12. Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów indukcyjnych. Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych: ℕ - zbiór liczb naturalnych. 1. 0 jest liczbą naturalną. 2. ' : ℕℕ ( n ' =n1 ). 3. 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej. 4. ∀ n∈ℕ ∖{0}∃m∈ℕ m'=n . 5. ∀ m ,n ∈ℕ  m'=n ' ⇒ m=n  6.  A⊂ℕ∧0∈ A∧∀ n∈ℕ n∈ A ⇒n ' ∈ A⇒ A=ℕ Zasada indukcji matematycznej:  A⊂ℕ∧k 0 ∈ A∧ ∀n≥k n∈ A ⇒n1∈ A ⇒ A=ℕ 0 Przykłady: n n12n1 • 122 2...n 2= , 6 • 10∣3 4n2 . 13. Zastosowanie relacji równoważności do konstrukcji liczb całkowitych i wymiernych na bazie liczb naturalnych. Zbiór liczb całkowitych konstruujemy jako przestrzeń ilorazową relacji równoważności określonej na zbiorze par liczb naturalnych, zdefiniowanej następująco: a , b R c , d ⇔ad =bc ,gdzie a , b , c , d ∈ℕ (liczbę całkowitą można skonstruować jako zbiór wszystkich par liczb naturalnych, które dałyby ten sam wynik przy odejmowaniu). Przykłady: Liczbę 2 można skonstruować jako zbiór {2,0 , 3,1 , 4,2 , } Liczbę -3 można skonstruować jako zbiór {1,4  , 2,5 ,3,6 , } Zbiór liczb wymiernych konstruujemy jako przestrzeń ilorazową relacji równoważności określonej na zbiorze par liczb całkowitych, zdefiniowanej następująco:  p , r  R q , s ⇔ p⋅s=r⋅q , gdzie p ,q ∈ℤ∧r , s ∈ℤ ∖ {0 } (liczby wymierne można skonstruować jako zbiór wszystkich takich par, gdzie pierwszy element pary jest liczbą całkowitą, a drugi niezerową liczbą całkowitą). Przykłady: 1 Liczbę można skonstruować jako zbiór { ,−1,−2 , 1,2 ,2,4 , } 2 Strona nr 7
  • 8. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 14. Pojęcie funkcji jako relacji. Różne rodzaje funkcji: iniekcje, bijekcje, suriekcje, monotoniczne. Przykłady i kontrprzykłady. Definicja funkcji: Relacja f ⊂ X ×Y jest funkcją jeżeli: 1. D f = X . 2. D−1⊂Y f 3. ∀ x , y ∧ x , y   xfy1 ∧ xfy2 ⇒ y 1= y 2 1 2 xfy= f  x  Funkcja jest iniekcją, gdy ∀ x 1, x2 ∈ X  f  x 1 = f  x 2 ⇒  x 1= x 2  . Przykład: f  x =x Kontrprzykład: f  x =∣x∣ Funkcja jest suriekcją, gdy ∀ y∈ Y ∃x∈ X f  x = y . Przykład: f  x =x 2 , gdy f :ℝ  [ 0,∞  Kontrprzykład: f  x =x 2 , gdy f :ℝ ℝ Funkcja jest bijekcją, gdy jest iniekcją i suriekcją. Funkcja jest monotoniczna, gdy jest rosnąca lub malejąca. Strona nr 8
  • 9. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 15. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję. Składanie funkcji i funkcja odwrotna. Przykłady. Obraz zbioru przez funkcję to zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja przyjmuje dla argumentów branych z danego zbioru. f : X Y A⊂ X f  A= { f  x : x ∈A } f  A∩B⊂ f  A∩ f  B f  A∪B= f  A∪ f  B f  A∖ f  B ⊂ f  A ∖ B Przeciwobraz zbioru poprzez funkcję to zbiór tych elementów z dziedziny funkcji, które funkcja przeprowadza na elementy danego zbioru. f : X Y B⊂Y f −1  B={x ∈ D f : f  x ∈ B } f −1  A∩ B= f −1  A∩ f −1  B f −1  A∪ B= f −1  A∪ f −1  B f −1  A ∖ B= f −1  A ∖ f −1  B  Funkcja odwrotna: Funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej. Funkcja jest odwracalna, gdy jest bijekcją (iniekcją i suriekcją). −1 f  x :Y  X Złożenie funkcji:  f : X Y ∧g :Y  Z ⇒ f ° g : X  Z   f ° g  x = f  g  x  Przykład: f  x =2x1 g  x =x 2 • 2 2  f ° g  x = f  g  x = f  x =2x 1  g ° f  x =g  f  x =g 2x1= 2x12=4x 24x1 Strona nr 9
  • 10. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 16. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące. Przykłady i kontrprzykłady. Relacja jest porządkująca, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Przykład: • xRy ⇔ x ≤ y , •  x 1, y 2 S  x 2, y 2 ⇔ [  x 1≤ x 2 ∧ y 1≤ y 2  ] . Kontrprzykład: • xRy ⇔ x  y , •  x 1, y 2 S  x 2, y 2 ⇔ [  x 1 x 2 ∧ y 1 y 2  ] . Relacja jest liniowo porządkująca, gdy jest relacją porządkująca i jest spójna. Przykład: •  x 1, y 2T  x 2, y 2 ⇔ x 1x 2∨[ x 1=x 2∧ y 1≤ y 2  ] . Kontrprzykład: •  x 1, y 2T  x 2, y 2 ⇔ x 1x 2 . 17. Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych i liniowo uporządkowanych: najmniejsze, największe, minimalne, maksymalne. Przykłady i związki pomiędzy nimi. Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych: R⊂ A× A • x 0∈ A jest największy w A ⇔∀ x∈ A xRx 0 , • x 0∈ A jest najmniejszy w A ⇔∀ x∈ A x 0 Rx , • x 0∈ A jest elementem maksymalnym w A ⇔∀ x∈ A x 0 Rx ⇒ x 0 =x , • x 0∈ A jest elementem minimalnym w A ⇔∀ x∈ A xRx 0 ⇒ x 0 =x . Związki pomiędzy elementami specjalnymi: 1. W zbiorze uporządkowanym każdy element największy (najmniejszy) jest elementem maksymalnym (minimalnym). 2. W zbiorze uporządkowanym może istnieć co najwyżej jeden element największy (najmniejszy). 3. Gdy w zbiorze liniowo uporządkowanym element x 0 jest maksymalny (minimalny), to jest największy (najmniejszy) . Przykład: • A= {1,2 ,3 , ...,7 } xRy ⇔ x ≤ y element największy (i zarazem maksymalny) to x 0=7 , bo ∀ x∈ A x ≤7 . element najmniejszy (i zarazem minimalny) to x 0=1 , bo ∀ x∈ A 1≤ x . Strona nr 10
  • 11. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 18. Równoliczność zbiorów. Definicja i przykłady zbiorów, które się i które nie są równoliczne. Zbiory A i B są równoliczne (co zapisujemy jako A~B), jeśli istnieje f : A  B bijekcja. Relacja równoliczności jest jest równoważnościowa. Przykład zbiorów równolicznych: A= {a1, a 2, a 3, ... , a n } B={b 1, b2, b 3, ... , bn } Przykład zbiorów nierównolicznych: A= {a1, a 2, a 3, ... , a n } B={b 1, b2, b 3, ... , bm } dla m≠n  - moc zbioru A (ilość elementów w zbiorze) A  =  ⇔ A~B A B  =ℵ 0 ⇔ A~ℕ (Istnieje A f :ℕ A ) 19. Zbiory przeliczalne. Definicja i podstawowe własności zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych. Zbiór jest przeliczalny, jeśli jest skończony lub A~ℕ Zbiór przeliczalny to taki zbiór, którego elementy można ponumerować liczbami naturalnymi. Jeszcze inaczej: elementy zbioru przeliczalnego można ustawić w ciąg – "wypisać je po kolei". Własności zbiorów przeliczalnych: • podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny. • suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. • iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Przykłady: • 2ℕ , • ℤ . 20. Zbiory mocy continuum. Definicja i przykłady tego typu zbiorów. Zbiór X jest mocy continuum, jeśli X jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.  =C ⇔ A~ℝ (Istnieje A f :ℝ A ) Przykład: •  −  2, 2 ( f  x =arctan  x  ). Strona nr 11