Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej notatki Spis treści 1. Odwzorowania i ich podstawowe własności........................................................................................................3 Def. Funkcja..........................................................................................................................................................................................3 Def. Iniekcja..........................................................................................................................................................................................3 Def. Suriekcja........................................................................................................................................................................................3 Def. Bijekcja..........................................................................................................................................................................................3 Def. Funkcje monotoniczne...................................................................................................................................................................3 Def. Ograniczoność funkcji...................................................................................................................................................................3 Def. Parzystość funkcji..........................................................................................................................................................................3 Def. Nieparzystość funkcji....................................................................................................................................................................3 Def. Okresowość funkcji.......................................................................................................................................................................4 Def. Składanie funkcji (superpozycja)..................................................................................................................................................4 Odwracanie funkcji................................................................................................................................................................................4 Def. Obraz i przeciwobraz poprzez funkcję..........................................................................................................................................4 2. Aksjomatyka zbioru liczb rzeczywistych. Ograniczone i nieograniczone podzbiory liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów. Aksjomatyka ciągłości...................................................................................................................4 Aksjomatyka definicja liczb rzeczywistych..........................................................................................................................................4 Ograniczone i nieograniczone podzbiory zbioru liczb rzeczywistych..................................................................................................5 Kresy zbiorów........................................................................................................................................................................................5 3. Zasada Archimedesa i zasada minimum oraz wnioski z nich wypływające.......................................................5 Zasada Archimedesa (nieograniczoność zbioru liczb naturalnych).......................................................................................................5 Zasada minimum dla liczb naturalnych.................................................................................................................................................5 Zasada minimum dla liczb całkowitych.................................................................................................................................................5 4. Granica ciągu w R. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Warunki konieczne i wystarczające zbieżności ciągów. Przykłady....................................................................................................................................................5 Def. Granica ciągu w R.........................................................................................................................................................................5 Warunek konieczny zbieżności ciągu....................................................................................................................................................5 Warunek wystarczający zbieżności ciągu..............................................................................................................................................5 Ciągi rozbieżne do nieskończoności......................................................................................................................................................6 5. Granica ciągu a struktura porządkowa i algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie o trzech ciągach.....................................................................................................................................................................6 Zbieżność ciągów a struktura algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych...............................................................................................6 Zbieżność ciągów a struktura porządkowa liczb rzeczywistych............................................................................................................6 Twierdzenie o trzech ciągach.................................................................................................................................................................6 6. Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu. Twierdzenie Bolzano Weierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni R................................................................................6 Def. Punkt skupienia..............................................................................................................................................................................6 Def. Podciąg..........................................................................................................................................................................................7 Twierdzenie BolzanoWeierstrassa........................................................................................................................................................7 Def. Warunek Cauchy'ego.....................................................................................................................................................................7 Zupełność przestrzeni R........................................................................................................................................................................7 7. Zbieżność i rozbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych i zespolonych. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów...................................................................................................................................7 Warunek konieczny zbieżności szeregów..............................................................................................................................................7 Kryteria zbieżności szeregu...................................................................................................................................................................7 8. Zbieżność szeregów potęgowych. Twierdzenie CauchyHadamarda. Definicje funkcji wykładniczych i trygonometrycznych za pomocą szeregów potęgowych..........................................................................................8 Twierdzenie CauchyHadamarda...........................................................................................................................................................8 Definicja funkcji wykładniczych i trygonometrycznych ......................................................................................................................8 9. Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zerojedynkowa, euklidesowa w Rn. Kule w przestrzeniach metrycznych i ich postać w różnych metrykach. Zbiory otwarte i domknięte........................................................9 Def. Przestrzeni metrycznej...................................................................................................................................................................9 Metryki..................................................................................................................................................................................................9 Def. Kula................................................................................................................................................................................................9 Def. Zbiór otwarty.................................................................................................................................................................................9 Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 1

Def. Zbiór domknięty............................................................................................................................................................................9 10. Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych. Warunek konieczny zbieżności. Zbieżność w metrykach równoważnych i nierównoważnych........................................................................................................................10 Def. Zbieżności ciągów w przestrzeniach metrycznych......................................................................................................................10 Warunek konieczny zbieżności............................................................................................................................................................10 Własność Hausdorffa...........................................................................................................................................................................10 Def. Zbieżność w metrykach równoważnych......................................................................................................................................10 11. Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych i ich podstawowe własności. Związek zwartości z zupełnością. ...............................................................................................................................................................................10 Def. Zbiory zwarte...............................................................................................................................................................................10 Zupełność przestrzeni..........................................................................................................................................................................10 12. Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych. Definicja Heinego i Cauchy'ego. Granice jednostronne. Przykłady funkcji mających i niemających granic w punkcie...............................................................................10 Def. Granica funkcji (Heinego)...........................................................................................................................................................11 Def. Granica funkcji (Cauchy'ego)......................................................................................................................................................11 13. Twierdzenia pozwalające wyznaczać granice funkcji: o trzech funkcjach; sumie, różnicy. Iloczynie i ilorazie funkcji. Przykłady..................................................................................................................................................11 Twierdzenie o trzech funkcjach............................................................................................................................................................11 Twierdzenie o granicach funkcji..........................................................................................................................................................11 14. Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych. Działania na funkcjach ciągłych. Ciągłość złożenia. Przykłady...............................................................................................................................................................11 Definicja Heinego funkcji ciągłej........................................................................................................................................................11 Definicja Cauchy'ego funkcji ciągłej...................................................................................................................................................12 Ciągłość złożenia.................................................................................................................................................................................12 Działania na funkcjach ciągłych..........................................................................................................................................................12 15. Własności funkcji ciągłych w zbiorach zwartych i zbiorach spójnych. Podstawowe twierdzenia. Ciągłość jednostajna.............................................................................................................................................................12 Spójność...............................................................................................................................................................................................12 Zwartość...............................................................................................................................................................................................12 Ciągłość jednostajna............................................................................................................................................................................12 16. Ciągłość funkcji elementarnych. Granice związane z funkcjami elementarnymi. Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie. Podstawowe przykłady........................................................................................................................13 Nieciągłość pierwszego rodzaju.........................................................................................................................................................13 Nieciągłość drugiego rodzaju.............................................................................................................................................................13 Granice związane z funkcjami elementarnymi....................................................................................................................................13 Funkcje ciągłe......................................................................................................................................................................................13 17. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej funkcji. Obliczanie pochodnych. Pochodna złożenia. Pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji elementarnych............................................................................13 Def. Pochodna funkcji.........................................................................................................................................................................13 Interpretacja geometryczna..................................................................................................................................................................13 Interpretacja fizyczna...........................................................................................................................................................................14 Podstawowe wzory (pochodna złożenia i funkcji odwrotnej)..............................................................................................................14 Pochodne funkcji elementarnych.........................................................................................................................................................14 18. Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich wypływające. Wzór Taylora i jego zastosowania...............14 Tw. Rolle'a............................................................................................................................................................................................14 Tw. Lagrange'a.....................................................................................................................................................................................14 Tw. Cauchy'ego....................................................................................................................................................................................14 Wnioski:...............................................................................................................................................................................................14 Wzór Taylora........................................................................................................................................................................................15 19. Ekstrema lokalne funkcji. Punkty przegięcia funkcji. Warunki konieczne i wystarczające. Przykłady..........15 Def. Ekstremum lokalne......................................................................................................................................................................15 Warunek konieczny ekstremum funkcji...............................................................................................................................................15 I warunek wystarczający ekstremum funkcji.......................................................................................................................................15 II warunek wystarczający ekstremum funkcji......................................................................................................................................16 Def. Funkcji wypukłej.........................................................................................................................................................................16 20. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Podstawowe metody wyznaczania całki nieoznaczonej................16 Def. Funkcja pierwotna........................................................................................................................................................................16 Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 2

1. Odwzorowania i ich podstawowe własności. Def. Funkcja Funkcją f określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy dowolne przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu ze zbioru Y. Def. Iniekcja f : D f  Y Jest iniekcją (różnowartościowa), gdy: ∀ x 1≠x 2 ⇒ f  x1 ≠ f  x 2  x1, x 2 Przykład: f  x =x Def. Suriekcja f : D f  Y Jest suriekcją („na”), gdy: ∀ ∃ y= f  x  y∈Y x∈ X Przykład: f  x =x Def. Bijekcja f : D f  Y Jest bijekcją, gdy jest iniekcją i suriekcją. Przykład: f  x =x Def. Funkcje monotoniczne Funkcja monotoniczna, to taka, która jest albo rosnąca, albo malejąca w przedziale. • f(x) jest silnie rosnąca ⇔ ∀ x 1 x 2 ⇒ f  x 1 f  x 2 , x 1, x2 ∈ D f • f(x) jest rosnąca ⇔ x ∀ D x 1 x 2 ⇒ f  x 1≤ f  x 2 , x∈ 1, 2 f • itd. Def. Ograniczoność funkcji Funkcja jest ograniczona z góry, gdy: ∃ ∀ f  x M M ∈ℝ x∈ D f Przykład: f  x =−∣x∣ Funkcja jest ograniczona z dołu, gdy: ∃ ∀ f  x m m ∈ℝ x∈ D f Przykład: f  x =x 2 Funkcja jest nieograniczona, jeśli jest nie jest ograniczona z góry i z dołu. Def. Parzystość funkcji Funkcja jest parzysta, gdy ∀ −x ∈ D f ∧ f  x= f −x   . x∈D f Przykład: f  x =x 2 Def. Nieparzystość funkcji Funkcja jest nieparzysta, gdy ∀ −x ∈ D f ∧ f  x=− f −x  . x∈D f Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 3

Przykład: f  x =x 3 Def. Okresowość funkcji f : D f  Y Jest okresowa ⇔ t∃ x∈ D  x t∈ D f ∧ x−t ∈D f ∧ f  x −t= f  x = f  xt  ≠0 ∀ f Przykład: f  x =sin x Def. Składanie funkcji (superpozycja) Niech f : X Y i g :Y  Z . Ich złożeniem nazywamy funkcję h : X  Z taką że h  x =g f  x =g ° f Przykład:  f  x=2x∧g  x =x 2 ⇒ f ° g=2x 2∧g° f =4x 2  Odwracanie funkcji Jeśli f : X Y , to f −1 :Y  X nazywamy funkcją odwrotną do f. • Funkcja jest odwracalna, jeśli jest bijekcją, • f −1  y=x ⇔ f  x =y . Def. Obraz i przeciwobraz poprzez funkcję Jeśli f : X Y : • Dla A⊂X f  A:={ f  x : x∈ A } obraz poprzez funkcję, f  A∪B= f  A∪ f  B f  A∩B⊆ f  A∩ f  B f  A∖ f  B⊆ f  A ∖ B −1 • Dla B⊂Y f B := { x ∈X : f  x ∈ B } przeciwobraz poprzez funkcję. −1 −1 −1 f  A∪B= f  A∪ f  B f −1  A∩B= f −1  A∩ f −1  B −1 −1 −1 f  A∖ f B= f  A∖ B 2. Aksjomatyka zbioru liczb rzeczywistych. Ograniczone i nieograniczone podzbiory liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów. Aksjomatyka ciągłości. Aksjomatyka definicja liczb rzeczywistych ℝ ,,⋅ , :ℝ×ℝ ℝ , ⋅:ℝ×ℝ  ℝ 1. Aksjomaty ciała. 1. Łączność dodawania i mnożenia. 2. Przemienność dodawania i mnożenia. 3. Istnienie el. neutralnych dla obu działań. 4. Istnienie el. przeciwnych dla obu działań. 5. Rozdzielność mnożenia względem dodawania. 2. Aksjomaty porządku. W zbiorze ℝ określona jest relacja porządku < spełniająca warunki. 1. Dla x , y ∈ℝ zachodzi x≠ y ⇒ xy∨ xy  . 2. Przechodniość Dla x , y ∈ℝ zachodzi  xy∧ yz ⇒ xz . 3. Asymetria Dla x , y ∈ℝ zachodzi  xy ⇒¬ y x . 3. Aksjomaty związku między działaniami w ℝ , a relacją <. 1. Dla x , y , z ∈ℝ zachodzi x y ⇒ x zyz . 2. Dla x , y , z ∈ℝ zachodzi x y ⇒ xz yz . Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 4

4. Aksjomat ciągłości Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny. Ograniczone i nieograniczone podzbiory zbioru liczb rzeczywistych • A⊂ℝ Jest ograniczony z góry ⇔ M∈ℝ x ≤M , ∃ • A⊂ℝ Jest ograniczony z dołu ⇔ m∃ x ≥m . ∈ℝ Kresy zbiorów • Kres górny zbioru A (supA) to najmniejsza z liczb ograniczających ten zbiór z góry. M =supA⇔ ∀ x≤M ∧ ∀ ∃ x M − x∈ A 0 x ∈ A Tw. M =maxA⇒ M =supA , • Kres dolny zbioru A (infA) to największa z liczb ograniczających ten zbiór z dołu. m=infA⇔ ∀ x≥m∧ ∀ ∃ xm x∈ A 0 x∈ A Tw. m=minA⇒ m=infA . 3. Zasada Archimedesa i zasada minimum oraz wnioski z nich wypływające Zasada Archimedesa (nieograniczoność zbioru liczb naturalnych) ∀ ∃ M n M ∈ℝ n ∈ℕ Zasada minimum dla liczb naturalnych W każdym niepustym zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza. Zasada minimum dla liczb całkowitych Każdy niepusty i ograniczony z góry (dołu) podzbiór liczb całkowitych ma element największy (najmniejszy). 4. Granica ciągu w R. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Warunki konieczne i wystarczające zbieżności ciągów. Przykłady. Def. Granica ciągu w R Mówimy, że ciąg an ma granicę g∈R (jest zbieżny do g), co zapisujemy lim a n=g , jeśli w dowolnym n ∞ otoczeniu kołowym K  g , znajdują się prawie wszystkie elementy tego ciągu. lim a n=g ⇔ ∀ ∃ ∀ ∣a n−g∣ n∞ 0 n0 ∈ℕ n n0 Warunek konieczny zbieżności ciągu Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony. 1 Przykład: a n= n Kontrprzykład: a n=−1n Warunek wystarczający zbieżności ciągu Ciąg rosnący (malejący) i ograniczony z góry (z dołu), jest zbieżny. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 5

Ciągi rozbieżne do nieskończoności lim a n=∞ ( lim a n=−∞ ), jeśli w dowolnym otoczeniu ∞ ( −∞ ) znajdują się prawie wszystkie n ∞ n∞ wyrazy ciągu an. lim a n=∞ ⇔ ∀ ∃ ∀ a n≥M n∞ M 0 n 0 ∈ℕ n ≥n0 lim a n=−∞ ⇔ ∀ ∃ ∀ an ≤M n∞ M 0 n0∈ ℕ nn0 5. Granica ciągu a struktura porządkowa i algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie o trzech ciągach. Zbieżność ciągów a struktura algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych Tw. Jeśli ciągi an i bn są zbieżne to: 1. lim a nlim b n=lim a nbn  n∞ n ∞ n ∞ 2. lim a n−lim b n=lim a n−bn  n∞ n ∞ n ∞ 3. lim a n⋅lim bn =lim  a n⋅b n  n∞ n ∞ n ∞ lim a n an  dla b n≠0 i lim b n≠0 n∞ 4. =lim  lim b n n ∞ bn n ∞ n∞ Zbieżność ciągów a struktura porządkowa liczb rzeczywistych Tw. Jeśli an i bn są ciągami zbieżnymi, to: 1. a n≤b n p.w.⇒ lim a n≤lim b nn ∞ n∞ 1 −1 1 −1 Kontrprzykład: lim ≤lim , a to wcale nie znaczy, że ≤ n∞ n n∞ n n n 2. a nb n p.w.⇒ lim a n≤lim b n n ∞ n∞ 3. lim a nlim b n ⇒ a nbn p.w. n∞ n ∞ Twierdzenie o trzech ciągach a ≤b ≤c n n n n ∞ n∞  p.w.∧lim a n=g=lim c n  ⇒ lim bn =g n ∞ 6. Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu. Twierdzenie BolzanoWeierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni R. Def. Punkt skupienia Liczbę p∈ℝ nazywamy punktem skupienia ciągu xn, jeżeli w dowolnym otoczeniu p znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu xn. Tw. Granica ciągu zbieżnego jest punktem skupienia zbioru wyrazów ciągu. Tw. Każdy punkt skupienia ciągu jest granicą pewnego podciągu tego ciągu. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 6

Def. Podciąg Podciąg to pewien ciąg utworzony z innego ciągu po usunięciu niektórych elementów. Jeśli xn będzie ciągiem i k :ℕ ℕ iniekcja, silnie rosnąca, to x k  n= x k jest podciągiem ciągu xn. n Tw. Dowolny ciąg zawiera podciąg monotoniczny Twierdzenie BolzanoWeierstrassa Ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny. Tw. Jeśli ciąg jest ograniczony i wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy, to również dany ciąg jest zbieżny do tej granicy. Def. Warunek Cauchy'ego xn jest ciągiem Cauchy'ego jeśli spełnia warunek: ∀ ∃ ∀ ∣x n −x m∣ 0 n 0 m , n∈ℕ Tw. lim x n =g ⇒WC  n∞ Zupełność przestrzeni R ℝ jest przestrzenią zupełną tzn. WC ⇒ g∈ℝ n  ∞ x n=g ∃ lim 7. Zbieżność i rozbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych i zespolonych. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów. Warunek konieczny zbieżności szeregów ∞ ∑ x n∞ ⇒ lim x n=0 n ∞ n=1 ∞ 1 1 Kontrprzykład: lim n∞ n =0 , ale ∑ n =∞ , co można wykazać z kryterium kondensacyjnego. n=1 Kryteria zbieżności szeregu 1. Kryterium porównawcze w wersji równoważnościowej: Jeśli 0≤x n≤y n to: ∞ ∞ 1. ∑ y n ∞⇒ ∑ x n∞ n=1 n=1 ∞ ∞ 2. ∑ x n=∞ ⇒ ∑ y n=∞ n=1 n=1 2. Kryterium porównawcze w wersji granicznej: yn Jeśli 0x n , 0≤y n i lim =g to: n∞ xn ∑  ∞ ∞ 1. 0g∞ ⇒ x n∞ ⇔ ∑ y n∞ n =1 n=1   ∞ ∞ 2. g=0 ⇒ ∑ x n ∞⇒ ∑ y n ∞ n=1 n=1 Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 7

  ∞ ∞ 3. g=∞ ⇒ ∑ x n=∞ ⇒ ∑ y n=∞ n=1 n=1 3. Kryterium d'Alemberta x n1 Z: 0x n , lim =g n ∞ x n ∞ 1. 0≤g1 ⇒ ∑ x n ∞ n=1 ∞ 2. g1 ⇒ ∑ x n=∞ n=1 4. Kryterium Cauchy'ego n Z: 0x n , lim  x n =g n∞ ∞ 1. 0≤g1 ⇒ ∑ x n ∞ n=1 ∞ 2. g1 ⇒ ∑ x n=∞ n=1 5. Kryterium kondensacyjne Z: 0x n , x n 1 ≤x n ∞ ∞ T: ∑ x n∞ ⇔ ∑ 2n x 2 ∞ n n=1 n =1 6. Kryterium Leibnitza Z: x ≤x , lim x n =0 n 1 n n∞ ∞ T: ∑ −1n x n ∞ n=1 8. Zbieżność szeregów potęgowych. Twierdzenie CauchyHadamarda. Definicje funkcji wykładniczych i trygonometrycznych za pomocą szeregów potęgowych. ∞ Szereg potęgowy: ∑ cn zn , gdzie z , {c n }∈ℂ n=1 { } ∞ n A= z ∈ℂ: ∑ cn z ∞ n=0 r =supremum {∣z∣: z ∈ A } promień zbieżności szeregu potęgowego Twierdzenie CauchyHadamarda n Z: =lim supremum  c n n∞ 1 , 0∞ T: r=  0, ∞ ∞ ,=0 ∞ n Wniosek: ∣z∣r ⇒ ∑ c n z =∞ n =1 Definicja funkcji wykładniczych i trygonometrycznych z ∞ zn e =∑ n=1 n! Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 8

n ∞ n−1 x ln 1x =∑ −1 n=1 n 2n1 ∞ z sin z=∑ −1n n=1 2n1! ∞ z 2n cos z=∑ −1n n=1 2n ! 9. Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zerojedynkowa, euklidesowa w Rn. Kule w przestrzeniach metrycznych i ich postać w różnych metrykach. Zbiory otwarte i domknięte. Def. Przestrzeni metrycznej Niech X ≠∅ . Funkcję d : X×X  [ 0, ∞  nazywamy metryką w zbiorze X jeśli: 1. ∀ d  x , y =d  y , x  x , y∈ X 2. ∀ d  x , y =0 ⇔ y= x x , y∈ X 3. ∀ d  x , z ≤d  x , y d  y , z (nierówność trójkąta) x , y , z∈ X Def. Metryka d1 jest silniejsza od d2, jeśli jest spełniony warunek: ∀ ∃ K 1  x ,⊂K 2  x , r  x∈ X ,r 0 0 Metryki • Naturalna: d  x , y :=∣x −y∣ • Zerojedynkowa: d  x , y :=[0, x=y ∨1, x≠y ] n • Euklidesowa w ℝ ={ x 1 , x 2 ,... , x n : x l ∈ℝ∧l∈ℕ} : ∑ n Jeśli a= x 1 , x 2 ,... , x n  i b= y1 , y 2 ,... , y n , to d a , b :=  x l −y l 2 l =1 Def. Kula Załóżmy X ≠∅ , x 0 ∈X , r0 Kulą (otwartą) o środku w x0 i promieniu r w przestrzeni X nazywamy zbiór K  x 0, r ={x ∈X : d  x , x 0 r } Def. Zbiór otwarty Zbiór A⊂X jest otwarty w przestrzeni metrycznej jeśli spełnia warunek: ∀ ∃ K  x 0, r ⊂ A x0 ∈ A r0 Def. Zbiór domknięty Zbiór jest domknięty w przestrzeni metrycznej, jeśli XA jest zbiorem otwartym. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 9

10. Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych. Warunek konieczny zbieżności. Zbieżność w metrykach równoważnych i nierównoważnych. Def. Zbieżności ciągów w przestrzeniach metrycznych x n  g ⇔ ∀ ∃ ∀ d  x n , g 0 n0 nn0 Warunek konieczny zbieżności Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony Własność Hausdorffa ∀ ∃ K  g1, r 1∩K  g 2, r 2 =∅ g1, g2 ∈X r0 Def. Zbieżność w metrykach równoważnych Niech w przestrzeni X określone będą dwie metryki  i  . Mówimy, że są równoważne, jeśli dyktują tę sama zbieżność, tzn. dla dowolnego ciągu  x n n∈ ℕ i dla dowolnego x0 prawdziwa jest równoważność:  x n , x 0  0 ⇔  x n , x 0  0 11. Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych i ich podstawowe własności. Związek zwartości z zupełnością. Def. Zbiory zwarte Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną A⊂X jest zwarty ⇔ Każdy ciąg z A zawiera podciąg zbieżny do elementu z A • Przykład: Przedział domknięty i ograniczony w R jest zbiorem zwartym. Wynika to z tw. BolzanoWeierstrassa, które mówi, że istnieje podciąg x n ciągu x n , że x n  g , a więc g∈[a , b ] . k k • Kontrprzykład: Zbiór R nie jest zwarty, bo x n =n  ∞ Tw. Każdy zbiór zwarty jest domknięty. Domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zwarty. Tw. Jeśli podzbiór A⊂ℝn jest zwarty, to jest zbiorem ograniczonym. Zupełność przestrzeni Def. {x n }⊂X Jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli spełnia warunek: ∀ ∃ ∀ d  x n , x m  0 n 0 n ,m n 0 Def. Przestrzeń zupełna (X,d) jest przestrzenią zupełną, jeśli dowolny ciąg Cauchy'ego elementów tej przestrzeni jest zbieżny do elementów tej przestrzeni. Tw. Każda przestrzeń zwarta jest zupełna. Tw. Jeśli w przestrzeni metrycznej (X,d) każda kula domknięta jest zwarta, to jest to przestrzeń zupełna. 12. Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych. Definicja Heinego i Cauchy'ego. Granice jednostronne. Przykłady funkcji mających i niemających granic w punkcie. (X,Y) – przestrzenie metryczne Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 10

f : A Y , A⊂X x 0 jest pkt.skupienia A ⇔ ∃ x n≠x 0 ∧lim x n =x 0 {x n∈ A } n ∞ Def. Granica funkcji (Heinego) (X,Y) – przestrzenie metryczne f : A Y , x 0 ∈ A' Funkcja f ma granicę w x0, co zapisujemy lim f  x =g , gdy: x x 0 ∀ {x n ∈ A} n ∞  x n≠x 0∧lim x n=x 0 ⇒ lim f  x n=g n ∞ Def. Granica funkcji (Cauchy'ego) (X,Y) – przestrzenie metryczne f : A Y , x 0 ∈ A lub   lim f  x =g ⇔ ∀ ∃ ∀ x ∈S  x 0, ⇒ f  x ∈K g ,  x x 0 0 0 x ∈ A lim f  x =g ⇔  ∀ ∃ ∀ ∣x−x ∣ ⇒∣ f  x −g∣ 0 x x 0 0 0 x ∈ A 13. Twierdzenia pozwalające wyznaczać granice funkcji: o trzech funkcjach; sumie, różnicy. Iloczynie i ilorazie funkcji. Przykłady Twierdzenie o trzech funkcjach Niech  X , d  przestrzeń metryczna, A⊂X , f , g , h : A  ℝ , x 0 ∈ A' . Jeżeli ∃ ∀ f  x ≤g x≤h x to lim f  x = lim g  x =lim h x . r 0 x∈ S  x 0, r  x x 0 x  x0 x x 0 Twierdzenie o granicach funkcji Niech  X , d  przestrzeń metryczna, A⊂X , f , g : A ℝ , x 0 ∈ A' oraz istnieją lim f  x  i x x 0 lim g  x . Wówczas: x x 0 • lim  f ±g x =lim f  x ±lim g  x  x x 0 x  x0 x x 0 • lim  fg  x= lim f  x ⋅lim g x  x x 0 x  x0 x  x0 lim f  x f x x • lim   x= 0 dla lim g  x≠0∧g  x ≠0 x x 0 g lim g  x x x 0 x x 0 14. Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych. Działania na funkcjach ciągłych. Ciągłość złożenia. Przykłady. Definicja Heinego funkcji ciągłej Niech  X , d  przestrzeń metryczna, A⊂X , f : A Y , x 0 ∈ A Funkcja jest ciągła ⇔ ∀ lim x n =x 0 ⇒ lim f  x n = f  x 0 {x n }⊂A n  ∞ n ∞ Tw. f jest ciągła ⇔ ∀ f −1 U ∈ x U ∈ y Def. f : X Y spełnia warunek Libschitza ⇔ ∃ ∀ dy  f  x  , f  y ≤L⋅dx  x , y  L0 x , y∈ X Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 11

Tw. f spełnia warunek Libschitza ⇒ f jest ciągła w X Definicja Cauchy'ego funkcji ciągłej Funkcja jest ciągła w punkcie x ⇔ ∀ ∃ ∀ ∣x−y∣ ⇒∣ f  x− f  y ∣ 0 0 y∈ A Przykład: f  x =x jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. Kontrprzykład: f  x =sgn x nie jest ciągła w 0. Ciągłość złożenia  lim f  x =x 0 ∧g jest ciągła ⇒ lim g [ f  x]=g  x 0  x  x0 x  x0 • Wniosek: Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą Działania na funkcjach ciągłych • suma, różnica funkcji ciągłych jest ciągła w x0, • iloczyn funkcji ciągłych jest ciągła w x0, • iloraz funkcji ciągłych jest ciągła w x0, 15. Własności funkcji ciągłych w zbiorach zwartych i zbiorach spójnych. Podstawowe twierdzenia. Ciągłość jednostajna. Spójność Def. Niech  X , d  przestrzeń metryczna. A , B⊂X Są rozgraniczone ⇔ A∩  =∅=  ∩BB A Def. C⊂X Jest spójny, jeżeli nie jest sumą zbiorów rozgraniczonych. • Przykład: 0,1 , bo dla n ∈0,1 0, n∪ n ,1≠0,1 • Kontrprzykład: A= 0,1∪2,3 jest sumą zbiorów rozgraniczonych Tw. X jest spójna ⇔ nie jest sumą dwóch zbiorów otwartych (domkniętych) i rozłącznych. • Przykład: ℝ Tw. Niech f : X Y będzie funkcją ciągłą i X – przestrzenią spójną. Wtedy f  X  jest przestrzenią spójną. Tw. Jeśli  X , d  jest przestrzenią metryczną, spójną i f : X ℝ jest ciągła, to f  X  jest przedziałem. Zwartość Tw. Niech f : X  Y będzie funkcją ciągłą, X – przestrzenią metryczną i A⊂X zwarty. Wtedy f  A jest zwarty. • Wniosek: A⊂ℝn , Y – przestrzenią metryczną i f : A Y ciągła to f  A jest zwarty. Własność Darboux funkcji ciągłej f :[a , b] ℝ ciągła Jeśli  f a ≤ f b∧y ∈[ f a , f b ] ∨ f a≥ f  b∧y ∈[ f b , f a] to istnieje c ∈[a , b]: f c =y Tw. Weierstrassa A⊂X zwarty i f : A ℝ ciągła ⇒ f ma w A ekstrema globalne ∃ ∀ f  x ≤ f  x 0  x0 ∈ A x ∈ A ∃ ∀ f  x ≥ f  x 0  x0 ∈ A x ∈ A Tw. Jeśli f :[a , b] jest ciągła i różnowartościowa, to f jest silnie monotoniczna. Ciągłość jednostajna Funkcja jest ciągła w całej dziedzinie ⇔ ∀ ∃ ∀ ∀ ∣x−x 0∣ ⇒∣ f  x − f  x 0 ∣ 0 0 x∈ D x 0 ∈D Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 12

Tw. Jeżeli funkcja spełnia warunek Lipschitza, to jest jednostajnie ciągła. 16. Ciągłość funkcji elementarnych. Granice związane z funkcjami elementarnymi. Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie. Podstawowe przykłady. Nieciągłość pierwszego rodzaju Funkcja ma nieciągłość pierwszego rodzaju jeżeli istnieje skończona granica prawostronna i lewostronna tej funkcji. Nieciągłość nazywamy usuwalną, jeżeli te granice są sobie równe. • Przykład: f  x =sgn x Nieciągłość drugiego rodzaju Funkcja ma nieciągłość drugiego rodzaju jeżeli nie istnieje przynajmniej jedna z granic prawostronna lub lewostronna. 1 • Przykład: f  x = x Granice związane z funkcjami elementarnymi sin x arcsin x tan x lim =1 lim =1 lim =1 x x 0 x x x 0 x x x 0 x 1 a x −1 ln 1x  lim 1x  =e x lim =ln a lim =1 x x 0 x x 0 x x x 0 x Funkcje ciągłe • wymierne, • wykładnicze i logarytmiczne, • trygonometryczne, • pierwiastkowe 17. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej funkcji. Obliczanie pochodnych. Pochodna złożenia. Pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji elementarnych. Def. Pochodna funkcji Niech U⊂ℝ będzie przedziałem otwartym i f :U ℝ . Jeśli dla pewnego x 0 ∈U istnieje skończona granica ilorazu różnicowego f  x − f  x 0  f  x 0 h− f  x 0  lim =lim x x 0 x−x 0 h 0 h to mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0 z kolei punkt x0 nazywamy punktem różniczkowalności funkcji f. Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji w x0 i oznaczamy symbolem f'(x0). Funkcja różniczkowalna w 0 oznacza, że jest w tym punkcie ciągła x Interpretacja geometryczna Różniczkowalność f w x0 oznacza, że funkcja posiada styczną do wykresu w tym punkcie, nierównoległej do osi OY. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 13

Pochodną funkcji na przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji. Interpretacja fizyczna s  tt 0 −s t 0  lim =v t 0  Jest to pochodna ilorazu w t0 i jest ona prędkością chwilową v tego ciała w t0 . t 0 t Podstawowe wzory (pochodna złożenia i funkcji odwrotnej) f f ' g − fg ' f'  f ±g ' = f '± g '  '= ln f  '= g g2 f a a −1  fg ' = f ' g fg '  fgh'= f ' gh fg ' h fgh '  f '=af ⋅f ' 1  f  g  ' = f '  g ⋅g '  f −1 ' = g' Pochodne funkcji elementarnych 1  x a ' =ax a−1 sin x' =cos  x  arcsin  x  '=  1−x 2 −1 a x ' =a x⋅lna  cos  x ' =−sin  x  arccos x  '=  1−x 2 1 1 x e '=e x tan  x ' = arctan  x ' = cos2  x 1x 2 1 1 −1 log a  x'= cot  x' = 2 arccot  x  '= x⋅ln a  sin  x  1 x 2 1 ln  x'= x 18. Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich wypływające. Wzór Taylora i jego zastosowania. Tw. Rolle'a Jeżeli f :[a.b] ℝ jest ciągła i różniczkowalna w (a,b) i f(a)=f(b), to ∃ f '  x 0 =0 . x0 ∈ a , b Tw. Lagrange'a f  b− f a Jeżeli f :[a.b] ℝ jest ciągła i różniczkowalna w (a,b), to ∃ f ' = ∈ a ,b  b−a Tw. Cauchy'ego f '  x 0  f b− f  a Jeżeli f :[a.b] ℝ jest ciągła i różniczkowalna w (a,b), to ∃ = x0 ∈ a , b g '  x 0  g b−g a Wnioski: • f '  x ≥0 ⇒ f jest rosnąca, • f '  x ≤0 ⇒ f jest malejąca, • f '  x =0 ⇒ f jest stała. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 14

Wzór Taylora Niech f ∈C n −1 [ x 0, x 0 h ] dla h>0, oraz f jest nkrotnie różniczkowalna w  x 0, x 0 h . Wtedy istnieje ∈0,1 , że f  x0  h f  x0  h2 f  x 0 h n −1 f n  x 0  h hn f  x 0 h= f  x 0    1! 2!  n−1 ! n! • Przykładowe zastosowanie: 1 Obliczmy przybliżoną wartość cos   . Najpierw policzmy ∣R n h ∣ 10 R n h ∣= ∣ f n  x 0 h h n∣≤ h n ≤  0,1n ∣ n! n! n! 4 10 Dla n=4: ∣R 4 h ∣= ≤10−5 24 f '  0 h f ' ' 0 h 2 f ' ' ' 0 h3 cos h ≈ f 0   1 2! 3! cos x 0=1 cos x '=sin x ⇒ cos ' 0=sin 0=0 cos x ' '=−cos x ⇒ cos ' ' 0=−cos 0=−1 cos x ' ' ' =−sin x ⇒ cos ' ' ' 0=−sin 0=0 Więc: h2 cos h ≈1− Wówczas: 2! 1 2   1 10 1 1 1 cos  ≈1− =1− ⋅ =1− =0,995 10 2! 100 2 200 19. Ekstrema lokalne funkcji. Punkty przegięcia funkcji. Warunki konieczne i wystarczające. Przykłady. Def. Ekstremum lokalne f : I  ℝ , I ⊂ℝ , x 0 ∈ I n t I f ma w x0 maksimum (minimum) lokalne jeśli jest spełniony warunek ∃ ∀ f  x ≤ f  x 0  ( ∃ ∀ f  x ≥ f  x 0  ) r 0 x∈ x 0, r  r 0 x∈ x 0, r  f ma w x0 maksimum (minimum) globalne ∀ f  x ≤ f  x 0  ( ∀ f  x ≥ f  x 0  ) x∈I x∈I Warunek konieczny ekstremum funkcji f ma ekstremum lokalne ⇒ f '  x=0 • Kontrrzykład: f  x =x 3 I warunek wystarczający ekstremum funkcji f : I ℝ , I ⊂ℝ , x 0 ∈ I n t I  ∃ [ x 0 −r x ⇒ f '  x ≤0∧ x 0 r x ⇒ f '  x ≥0] ⇒ f ma minimum lokalne w x0  r0 maksimum analogicznie Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 15

II warunek wystarczający ekstremum funkcji f : I ℝ Różniczkowalna x2 w otoczeniu x0, I ⊂ℝ , x 0 ∈ I n t I , f '  x 0 =0 , f'' jest ciągła w x0 i f ' '  x 0 ⇒ f ma maksimum lokalne w x0 f ' '  x 0 ⇒ f ma minimum lokalne w x0 Def. Funkcji wypukłej f :a , b ℝ 2x różniczkowalna f jest wypukła w (a,b) ⇒ ∀ ∀ f  x  f  x 0  f '  x 0  x −x 0  x 0∈ a , b  x∈a , b ∖{x 0} f jest wklęsła w (a,b) ⇒ ∀ ∀ f  x  f  x 0  f '  x 0  x −x 0  x 0∈ a , b  x∈a , b ∖{x 0} x0 jest punktem przegięcia dla f. Tw. f :a , b ℝ 2x różniczkowalna f ' '  x 0 ⇒ f jest wypukła f ' '  x 0 ⇒ f jest wklęsła 20. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Podstawowe metody wyznaczania całki nieoznaczonej. Def. Funkcja pierwotna Załóżmy: f : I  ℝ i I ⊂ℝ przedział otwarty. Każdą funkcję F : I  ℝ różniczkowalną w przedziale i spełniającą warunek, że: F '  x = f  x  , x ∈I nazywamy funkcją pierwotną funkcji f lub całką nieoznaczoną, funkcji f i oznaczamy symbolem ∫ f  x  dx . ∫ f  x  dx={ FC : F jest pierwotna dla f } . Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 16

http://piotr.szlagor.net	147
http://www.piotr.szlagor.net	13
http://webcache.googleusercontent.com	1

Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej

by Piotr Szlagor on Jun 07, 2009

Accessibility

Categories

Tags

Upload Details

Usage Rights

3 Embeds 161

Statistics

Notatki do egzaminu z Wstepu do Analizy Matematycznej — Document Transcript