Wstęp do analizy matematycznej ­ notatki
Spis treści
1. Odwzorowania i ich podstawowe własności........................................................................................................3
Def. Funkcja..........................................................................................................................................................................................3
Def. Iniekcja..........................................................................................................................................................................................3
Def. Suriekcja........................................................................................................................................................................................3
Def. Bijekcja..........................................................................................................................................................................................3
Def. Funkcje monotoniczne...................................................................................................................................................................3
Def. Ograniczoność funkcji...................................................................................................................................................................3
Def. Parzystość funkcji..........................................................................................................................................................................3
Def. Nieparzystość funkcji....................................................................................................................................................................3
Def. Okresowość funkcji.......................................................................................................................................................................4
Def. Składanie funkcji (superpozycja)..................................................................................................................................................4
Odwracanie funkcji................................................................................................................................................................................4
Def. Obraz i przeciwobraz poprzez funkcję..........................................................................................................................................4
2. Aksjomatyka zbioru liczb rzeczywistych. Ograniczone i nieograniczone podzbiory liczb rzeczywistych.
Kresy zbiorów. Aksjomatyka ciągłości...................................................................................................................4
Aksjomatyka definicja liczb rzeczywistych..........................................................................................................................................4
Ograniczone i nieograniczone podzbiory zbioru liczb rzeczywistych..................................................................................................5
Kresy zbiorów........................................................................................................................................................................................5
3. Zasada Archimedesa i zasada minimum oraz wnioski z nich wypływające.......................................................5
Zasada Archimedesa (nieograniczoność zbioru liczb naturalnych).......................................................................................................5
Zasada minimum dla liczb naturalnych.................................................................................................................................................5
Zasada minimum dla liczb całkowitych.................................................................................................................................................5
4. Granica ciągu w R. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Warunki konieczne i wystarczające zbieżności
ciągów. Przykłady....................................................................................................................................................5
Def. Granica ciągu w R.........................................................................................................................................................................5
Warunek konieczny zbieżności ciągu....................................................................................................................................................5
Warunek wystarczający zbieżności ciągu..............................................................................................................................................5
Ciągi rozbieżne do nieskończoności......................................................................................................................................................6
5. Granica ciągu a struktura porządkowa i algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie o trzech
ciągach.....................................................................................................................................................................6
Zbieżność ciągów a struktura algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych...............................................................................................6
Zbieżność ciągów a struktura porządkowa liczb rzeczywistych............................................................................................................6
Twierdzenie o trzech ciągach.................................................................................................................................................................6
6. Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu. Twierdzenie Bolzano­
Weierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni R................................................................................6
Def. Punkt skupienia..............................................................................................................................................................................6
Def. Podciąg..........................................................................................................................................................................................7
Twierdzenie Bolzano­Weierstrassa........................................................................................................................................................7
Def. Warunek Cauchy'ego.....................................................................................................................................................................7
Zupełność przestrzeni R........................................................................................................................................................................7
7. Zbieżność i rozbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych i zespolonych. Podstawowe
kryteria zbieżności szeregów...................................................................................................................................7
Warunek konieczny zbieżności szeregów..............................................................................................................................................7
Kryteria zbieżności szeregu...................................................................................................................................................................7
8. Zbieżność szeregów potęgowych. Twierdzenie Cauchy­Hadamarda. Definicje funkcji wykładniczych i
trygonometrycznych za pomocą szeregów potęgowych..........................................................................................8
Twierdzenie Cauchy­Hadamarda...........................................................................................................................................................8
Definicja funkcji wykładniczych i trygonometrycznych ......................................................................................................................8
9. Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zerojedynkowa, euklidesowa w Rn. Kule w przestrzeniach
metrycznych i ich postać w różnych metrykach. Zbiory otwarte i domknięte........................................................9
Def. Przestrzeni metrycznej...................................................................................................................................................................9
Metryki..................................................................................................................................................................................................9
Def. Kula................................................................................................................................................................................................9
Def. Zbiór otwarty.................................................................................................................................................................................9
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 1

Def. Zbiór domknięty............................................................................................................................................................................9
10. Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych. Warunek konieczny zbieżności. Zbieżność w metrykach
równoważnych i nierównoważnych........................................................................................................................10
Def. Zbieżności ciągów w przestrzeniach metrycznych......................................................................................................................10
Warunek konieczny zbieżności............................................................................................................................................................10
Własność Hausdorffa...........................................................................................................................................................................10
Def. Zbieżność w metrykach równoważnych......................................................................................................................................10
11. Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych i ich podstawowe własności. Związek zwartości z zupełnością.
...............................................................................................................................................................................10
Def. Zbiory zwarte...............................................................................................................................................................................10
Zupełność przestrzeni..........................................................................................................................................................................10
12. Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych. Definicja Heinego i Cauchy'ego. Granice jednostronne.
Przykłady funkcji mających i niemających granic w punkcie...............................................................................10
Def. Granica funkcji (Heinego)...........................................................................................................................................................11
Def. Granica funkcji (Cauchy'ego)......................................................................................................................................................11
13. Twierdzenia pozwalające wyznaczać granice funkcji: o trzech funkcjach; sumie, różnicy. Iloczynie i ilorazie
funkcji. Przykłady..................................................................................................................................................11
Twierdzenie o trzech funkcjach............................................................................................................................................................11
Twierdzenie o granicach funkcji..........................................................................................................................................................11
14. Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych. Działania na funkcjach ciągłych. Ciągłość złożenia.
Przykłady...............................................................................................................................................................11
Definicja Heinego funkcji ciągłej........................................................................................................................................................11
Definicja Cauchy'ego funkcji ciągłej...................................................................................................................................................12
Ciągłość złożenia.................................................................................................................................................................................12
Działania na funkcjach ciągłych..........................................................................................................................................................12
15. Własności funkcji ciągłych w zbiorach zwartych i zbiorach spójnych. Podstawowe twierdzenia. Ciągłość
jednostajna.............................................................................................................................................................12
Spójność...............................................................................................................................................................................................12
Zwartość...............................................................................................................................................................................................12
Ciągłość jednostajna............................................................................................................................................................................12
16. Ciągłość funkcji elementarnych. Granice związane z funkcjami elementarnymi. Rodzaje nieciągłości funkcji
w punkcie. Podstawowe przykłady........................................................................................................................13
Nieciągłość pierwszego rodzaju.........................................................................................................................................................13
Nieciągłość drugiego rodzaju.............................................................................................................................................................13
Granice związane z funkcjami elementarnymi....................................................................................................................................13
Funkcje ciągłe......................................................................................................................................................................................13
17. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej funkcji. Obliczanie pochodnych. Pochodna złożenia.
Pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji elementarnych............................................................................13
Def. Pochodna funkcji.........................................................................................................................................................................13
Interpretacja geometryczna..................................................................................................................................................................13
Interpretacja fizyczna...........................................................................................................................................................................14
Podstawowe wzory (pochodna złożenia i funkcji odwrotnej)..............................................................................................................14
Pochodne funkcji elementarnych.........................................................................................................................................................14
18. Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich wypływające. Wzór Taylora i jego zastosowania...............14
Tw. Rolle'a............................................................................................................................................................................................14
Tw. Lagrange'a.....................................................................................................................................................................................14
Tw. Cauchy'ego....................................................................................................................................................................................14
Wnioski:...............................................................................................................................................................................................14
Wzór Taylora........................................................................................................................................................................................15
19. Ekstrema lokalne funkcji. Punkty przegięcia funkcji. Warunki konieczne i wystarczające. Przykłady..........15
Def. Ekstremum lokalne......................................................................................................................................................................15
Warunek konieczny ekstremum funkcji...............................................................................................................................................15
I warunek wystarczający ekstremum funkcji.......................................................................................................................................15
II warunek wystarczający ekstremum funkcji......................................................................................................................................16
Def. Funkcji wypukłej.........................................................................................................................................................................16
20. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Podstawowe metody wyznaczania całki nieoznaczonej................16
Def. Funkcja pierwotna........................................................................................................................................................................16
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 2

1. Odwzorowania i ich podstawowe własności.
Def. Funkcja
Funkcją f określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy dowolne przyporządkowanie każdemu
elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu ze zbioru Y.
Def. Iniekcja
f : D f  Y Jest iniekcją (różnowartościowa), gdy:
∀ x 1≠x 2 ⇒ f  x1 ≠ f  x 2 
x1, x 2
Przykład: f  x =x
Def. Suriekcja
f : D f  Y Jest suriekcją („na”), gdy:
∀ ∃ y= f  x 
y∈Y x∈ X
Przykład: f  x =x
Def. Bijekcja
f : D f  Y Jest bijekcją, gdy jest iniekcją i suriekcją.
Przykład: f  x =x
Def. Funkcje monotoniczne
Funkcja monotoniczna, to taka, która jest albo rosnąca, albo malejąca w przedziale.
• f(x) jest silnie rosnąca ⇔ ∀ x 1 x 2 ⇒ f  x 1 f  x 2 ,
x 1, x2 ∈ D f
• f(x) jest rosnąca ⇔ x ∀ D x 1 x 2 ⇒ f  x 1≤ f  x 2 ,
x∈ 1, 2 f
• itd.
Def. Ograniczoność funkcji
Funkcja jest ograniczona z góry, gdy:
∃ ∀ f  x M
M ∈ℝ x∈ D f
Przykład: f  x =−∣x∣
Funkcja jest ograniczona z dołu, gdy:
∃ ∀ f  x m
m ∈ℝ x∈ D f
Przykład: f  x =x 2
Funkcja jest nieograniczona, jeśli jest nie jest ograniczona z góry i z dołu.
Def. Parzystość funkcji
Funkcja jest parzysta, gdy ∀ −x ∈ D f ∧ f  x= f −x   .
x∈D f
Przykład: f  x =x 2
Def. Nieparzystość funkcji
Funkcja jest nieparzysta, gdy ∀ −x ∈ D f ∧ f  x=− f −x  .
x∈D f
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 3

Przykład: f  x =x 3
Def. Okresowość funkcji
f : D f  Y Jest okresowa ⇔ t∃ x∈ D  x t∈ D f ∧ x−t ∈D f ∧ f  x −t= f  x = f  xt 
≠0
∀
f
Przykład: f  x =sin x
Def. Składanie funkcji (superpozycja)
Niech f : X Y i g :Y  Z . Ich złożeniem nazywamy funkcję h : X  Z taką że h  x =g f  x =g ° f
Przykład:  f  x=2x∧g  x =x 2 ⇒ f ° g=2x 2∧g° f =4x 2 
Odwracanie funkcji
Jeśli f : X Y , to f −1 :Y  X nazywamy funkcją odwrotną do f.
• Funkcja jest odwracalna, jeśli jest bijekcją,
• f −1  y=x ⇔ f  x =y .
Def. Obraz i przeciwobraz poprzez funkcję
Jeśli f : X Y :
• Dla A⊂X f  A:={ f  x : x∈ A } ­ obraz poprzez funkcję,
f  A∪B= f  A∪ f  B
f  A∩B⊆ f  A∩ f  B
f  A∖ f  B⊆ f  A ∖ B
−1
• Dla B⊂Y f B := { x ∈X : f  x ∈ B } ­ przeciwobraz poprzez funkcję.
−1 −1 −1
f  A∪B= f  A∪ f  B
f −1  A∩B= f −1  A∩ f −1  B
−1 −1 −1
f  A∖ f B= f  A∖ B
2. Aksjomatyka zbioru liczb rzeczywistych. Ograniczone i nieograniczone
podzbiory liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów. Aksjomatyka ciągłości.
Aksjomatyka definicja liczb rzeczywistych
ℝ ,,⋅ , :ℝ×ℝ ℝ , ⋅:ℝ×ℝ  ℝ
1. Aksjomaty ciała.
1. Łączność dodawania i mnożenia.
2. Przemienność dodawania i mnożenia.
3. Istnienie el. neutralnych dla obu działań.
4. Istnienie el. przeciwnych dla obu działań.
5. Rozdzielność mnożenia względem dodawania.
2. Aksjomaty porządku.
W zbiorze ℝ określona jest relacja porządku < spełniająca warunki.
1. Dla x , y ∈ℝ zachodzi x≠ y ⇒ xy∨ xy  .
2. Przechodniość
Dla x , y ∈ℝ zachodzi  xy∧ yz ⇒ xz .
3. Asymetria
Dla x , y ∈ℝ zachodzi  xy ⇒¬ y x .
3. Aksjomaty związku między działaniami w ℝ , a relacją <.
1. Dla x , y , z ∈ℝ zachodzi x y ⇒ x zyz .
2. Dla x , y , z ∈ℝ zachodzi x y ⇒ xz yz .
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 4

4. Aksjomat ciągłości
Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny.
Ograniczone i nieograniczone podzbiory zbioru liczb rzeczywistych
• A⊂ℝ Jest ograniczony z góry ⇔ M∈ℝ x ≤M ,
∃
• A⊂ℝ Jest ograniczony z dołu ⇔ m∃ x ≥m .
∈ℝ
Kresy zbiorów
• Kres górny zbioru A (supA) to najmniejsza z liczb ograniczających ten zbiór z góry.
M =supA⇔ ∀ x≤M ∧ ∀ ∃ x M −
x∈ A 0 x ∈ A
Tw. M =maxA⇒ M =supA ,
• Kres dolny zbioru A (infA) to największa z liczb ograniczających ten zbiór z dołu.
m=infA⇔ ∀ x≥m∧ ∀ ∃ xm
x∈ A 0 x∈ A
Tw. m=minA⇒ m=infA .
3. Zasada Archimedesa i zasada minimum oraz wnioski z nich wypływające
Zasada Archimedesa (nieograniczoność zbioru liczb naturalnych)
∀ ∃ M n
M ∈ℝ n ∈ℕ
Zasada minimum dla liczb naturalnych
W każdym niepustym zbiorze liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza.
Zasada minimum dla liczb całkowitych
Każdy niepusty i ograniczony z góry (dołu) podzbiór liczb całkowitych ma element największy (najmniejszy).
4. Granica ciągu w R. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Warunki konieczne i
wystarczające zbieżności ciągów. Przykłady.
Def. Granica ciągu w R
Mówimy, że ciąg an ma granicę g∈R (jest zbieżny do g), co zapisujemy lim a n=g , jeśli w dowolnym
n ∞
otoczeniu kołowym K  g , znajdują się prawie wszystkie elementy tego ciągu.
lim a n=g ⇔ ∀ ∃ ∀ ∣a n−g∣
n∞ 0 n0 ∈ℕ n n0
Warunek konieczny zbieżności ciągu
Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
1
Przykład: a n=
n
Kontrprzykład: a n=−1n
Warunek wystarczający zbieżności ciągu
Ciąg rosnący (malejący) i ograniczony z góry (z dołu), jest zbieżny.
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 5

Ciągi rozbieżne do nieskończoności
lim a n=∞ ( lim a n=−∞ ), jeśli w dowolnym otoczeniu ∞ ( −∞ ) znajdują się prawie wszystkie
n ∞ n∞
wyrazy ciągu an.
lim a n=∞ ⇔ ∀ ∃ ∀ a n≥M
n∞ M 0 n 0 ∈ℕ n ≥n0
lim a n=−∞ ⇔ ∀ ∃ ∀ an ≤M
n∞ M 0 n0∈ ℕ nn0
5. Granica ciągu a struktura porządkowa i algebraiczna zbioru liczb
rzeczywistych. Twierdzenie o trzech ciągach.
Zbieżność ciągów a struktura algebraiczna zbioru liczb rzeczywistych
Tw. Jeśli ciągi an i bn są zbieżne to:
1. lim a nlim b n=lim a nbn 
n∞ n ∞ n ∞
2. lim a n−lim b n=lim a n−bn 
n∞ n ∞ n ∞
3. lim a n⋅lim bn =lim  a n⋅b n 
n∞ n ∞ n ∞
lim a n
an
 dla b n≠0 i lim b n≠0
n∞
4. =lim 
lim b n n ∞ bn n ∞
n∞
Zbieżność ciągów a struktura porządkowa liczb rzeczywistych
Tw. Jeśli an i bn są ciągami zbieżnymi, to:
1. a n≤b n p.w.⇒ lim a n≤lim b nn ∞ n∞
1 −1 1 −1
Kontrprzykład: lim ≤lim , a to wcale nie znaczy, że ≤
n∞ n n∞ n n n
2. a nb n p.w.⇒ lim a n≤lim b n
n ∞ n∞
3. lim a nlim b n ⇒ a nbn p.w.
n∞ n ∞
Twierdzenie o trzech ciągach
a ≤b ≤c
n n n
n ∞ n∞ 
p.w.∧lim a n=g=lim c n  ⇒ lim bn =g
n ∞
6. Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu.
Twierdzenie Bolzano­Weierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni
R.
Def. Punkt skupienia
Liczbę p∈ℝ nazywamy punktem skupienia ciągu xn, jeżeli w dowolnym otoczeniu p znajduje się
nieskończenie wiele wyrazów ciągu xn.
Tw. Granica ciągu zbieżnego jest punktem skupienia zbioru wyrazów ciągu.
Tw. Każdy punkt skupienia ciągu jest granicą pewnego podciągu tego ciągu.
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 6

Def. Podciąg
Podciąg to pewien ciąg utworzony z innego ciągu po usunięciu niektórych elementów. Jeśli xn będzie ciągiem i
k :ℕ ℕ ­ iniekcja, silnie rosnąca, to x k  n= x k jest podciągiem ciągu xn.
n
Tw. Dowolny ciąg zawiera podciąg monotoniczny
Twierdzenie Bolzano­Weierstrassa
Ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.
Tw. Jeśli ciąg jest ograniczony i wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy, to również dany ciąg
jest zbieżny do tej granicy.
Def. Warunek Cauchy'ego
xn jest ciągiem Cauchy'ego jeśli spełnia warunek:
∀ ∃ ∀ ∣x n −x m∣
0 n 0 m , n∈ℕ
Tw. lim x n =g ⇒WC 
n∞
Zupełność przestrzeni R
ℝ jest przestrzenią zupełną tzn. WC ⇒ g∈ℝ n  ∞ x n=g
∃ lim
7. Zbieżność i rozbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych i
zespolonych. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów.
Warunek konieczny zbieżności szeregów
∞
∑ x n∞ ⇒ lim x n=0
n ∞
n=1
∞
1 1
Kontrprzykład: lim
n∞ n
=0 , ale ∑ n =∞ , co można wykazać z kryterium kondensacyjnego.
n=1
Kryteria zbieżności szeregu
1.
Kryterium porównawcze w wersji równoważnościowej:
Jeśli 0≤x n≤y n to:
∞ ∞
1. ∑ y n ∞⇒ ∑ x n∞
n=1 n=1
∞ ∞
2. ∑ x n=∞ ⇒ ∑ y n=∞
n=1 n=1
2.
Kryterium porównawcze w wersji granicznej:
yn
Jeśli 0x n , 0≤y n i lim =g to:
n∞ xn
∑ 
∞ ∞
1. 0g∞ ⇒ x n∞ ⇔ ∑ y n∞
n =1 n=1
 
∞ ∞
2. g=0 ⇒ ∑ x n ∞⇒ ∑ y n ∞
n=1 n=1
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 7

 
∞ ∞
3. g=∞ ⇒ ∑ x n=∞ ⇒ ∑ y n=∞
n=1 n=1
3.
Kryterium d'Alemberta
x n1
Z: 0x n , lim =g
n ∞ x n
∞
1. 0≤g1 ⇒ ∑ x n ∞
n=1
∞
2. g1 ⇒ ∑ x n=∞
n=1
4.
Kryterium Cauchy'ego
n
Z: 0x n , lim  x n =g
n∞
∞
1. 0≤g1 ⇒ ∑ x n ∞
n=1
∞
2. g1 ⇒ ∑ x n=∞
n=1
5.
Kryterium kondensacyjne
Z: 0x n , x n 1 ≤x n
∞ ∞
T: ∑ x n∞ ⇔ ∑ 2n x 2 ∞ n
n=1 n =1
6.
Kryterium Leibnitza
Z: x ≤x , lim x n =0
n 1 n n∞
∞
T: ∑ −1n x n ∞
n=1
8. Zbieżność szeregów potęgowych. Twierdzenie Cauchy­Hadamarda. Definicje
funkcji wykładniczych i trygonometrycznych za pomocą szeregów potęgowych.
∞
Szereg potęgowy: ∑ cn zn , gdzie z , {c n }∈ℂ
n=1
{ }
∞
n
A= z ∈ℂ: ∑ cn z ∞
n=0
r =supremum {∣z∣: z ∈ A } ­ promień zbieżności szeregu potęgowego
Twierdzenie Cauchy­Hadamarda
n
Z: =lim supremum  c n
n∞
1
, 0∞
T: r= 
0, ∞
∞ ,=0
∞
n
Wniosek: ∣z∣r ⇒ ∑ c n z =∞
n =1
Definicja funkcji wykładniczych i trygonometrycznych
z
∞
zn
e =∑
n=1 n!
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 8

n
∞
n−1 x
ln 1x =∑ −1
n=1 n
2n1
∞
z
sin z=∑ −1n
n=1 2n1!
∞
z 2n
cos z=∑ −1n
n=1 2n !
9. Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zerojedynkowa, euklidesowa
w Rn. Kule w przestrzeniach metrycznych i ich postać w różnych metrykach.
Zbiory otwarte i domknięte.
Def. Przestrzeni metrycznej
Niech X ≠∅ . Funkcję d : X×X  [ 0, ∞  nazywamy metryką w zbiorze X jeśli:
1. ∀ d  x , y =d  y , x 
x , y∈ X
2. ∀ d  x , y =0 ⇔ y= x
x , y∈ X
3. ∀ d  x , z ≤d  x , y d  y , z (nierówność trójkąta)
x , y , z∈ X
Def. Metryka d1 jest silniejsza od d2, jeśli jest spełniony warunek:
∀ ∃ K 1  x ,⊂K 2  x , r 
x∈ X ,r 0 0
Metryki
• Naturalna: d  x , y :=∣x −y∣
• Zerojedynkowa: d  x , y :=[0, x=y ∨1, x≠y ]
n
• Euklidesowa w ℝ ={ x 1 , x 2 ,... , x n : x l ∈ℝ∧l∈ℕ} :
∑
n
Jeśli a= x 1 , x 2 ,... , x n  i b= y1 , y 2 ,... , y n , to d a , b :=  x l −y l 2
l =1
Def. Kula
Załóżmy X ≠∅ , x 0 ∈X , r0
Kulą (otwartą) o środku w x0 i promieniu r w przestrzeni X nazywamy zbiór
K  x 0, r ={x ∈X : d  x , x 0 r }
Def. Zbiór otwarty
Zbiór A⊂X jest otwarty w przestrzeni metrycznej jeśli spełnia warunek:
∀ ∃ K  x 0, r ⊂ A
x0 ∈ A r0
Def. Zbiór domknięty
Zbiór jest domknięty w przestrzeni metrycznej, jeśli XA jest zbiorem otwartym.
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 9

10. Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych. Warunek konieczny
zbieżności. Zbieżność w metrykach równoważnych i nierównoważnych.
Def. Zbieżności ciągów w przestrzeniach metrycznych
x n  g ⇔ ∀ ∃ ∀ d  x n , g
0 n0 nn0
Warunek konieczny zbieżności
Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony
Własność Hausdorffa
∀ ∃ K  g1, r 1∩K  g 2, r 2 =∅
g1, g2 ∈X r0
Def. Zbieżność w metrykach równoważnych
Niech w przestrzeni X określone będą dwie metryki  i  . Mówimy, że są równoważne, jeśli dyktują tę
sama zbieżność, tzn. dla dowolnego ciągu  x n n∈ ℕ i dla dowolnego x0 prawdziwa jest równoważność:
 x n , x 0  0 ⇔  x n , x 0  0
11. Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych i ich podstawowe własności.
Związek zwartości z zupełnością.
Def. Zbiory zwarte
Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną
A⊂X jest zwarty ⇔ Każdy ciąg z A zawiera podciąg zbieżny do elementu z A
• Przykład:
Przedział domknięty i ograniczony w R jest zbiorem zwartym. Wynika to z tw. Bolzano­Weierstrassa,
które mówi, że istnieje podciąg x n ciągu x n , że x n  g , a więc g∈[a , b ] .
k k
• Kontrprzykład:
Zbiór R nie jest zwarty, bo x n =n  ∞
Tw. Każdy zbiór zwarty jest domknięty. Domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zwarty.
Tw. Jeśli podzbiór A⊂ℝn jest zwarty, to jest zbiorem ograniczonym.
Zupełność przestrzeni
Def. {x n }⊂X Jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli spełnia warunek:
∀ ∃ ∀ d  x n , x m 
0 n 0 n ,m n 0
Def. Przestrzeń zupełna
(X,d) jest przestrzenią zupełną, jeśli dowolny ciąg Cauchy'ego elementów tej przestrzeni jest zbieżny do
elementów tej przestrzeni.
Tw. Każda przestrzeń zwarta jest zupełna.
Tw. Jeśli w przestrzeni metrycznej (X,d) każda kula domknięta jest zwarta, to jest to przestrzeń zupełna.
12. Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych. Definicja Heinego i
Cauchy'ego. Granice jednostronne. Przykłady funkcji mających i niemających
granic w punkcie.
(X,Y) – przestrzenie metryczne
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 10

f : A Y , A⊂X
x 0 jest pkt.skupienia A ⇔ ∃ x n≠x 0 ∧lim x n =x 0
{x n∈ A } n ∞
Def. Granica funkcji (Heinego)
(X,Y) – przestrzenie metryczne
f : A Y , x 0 ∈ A'
Funkcja f ma granicę w x0, co zapisujemy lim f  x =g , gdy:
x x 0
∀
{x n ∈ A} n ∞ 
x n≠x 0∧lim x n=x 0 ⇒ lim f  x n=g
n ∞
Def. Granica funkcji (Cauchy'ego)
(X,Y) – przestrzenie metryczne
f : A Y , x 0 ∈ A
lub
 
lim f  x =g ⇔ ∀ ∃ ∀ x ∈S  x 0, ⇒ f  x ∈K g , 
x x 0 0 0 x ∈ A
lim f  x =g ⇔  ∀ ∃ ∀ ∣x−x ∣ ⇒∣ f  x −g∣ 0
x x 0 0 0 x ∈ A
13. Twierdzenia pozwalające wyznaczać granice funkcji: o trzech funkcjach;
sumie, różnicy. Iloczynie i ilorazie funkcji. Przykłady
Twierdzenie o trzech funkcjach
Niech  X , d  ­ przestrzeń metryczna, A⊂X , f , g , h : A  ℝ , x 0 ∈ A' . Jeżeli
∃ ∀ f  x ≤g x≤h x to lim f  x = lim g  x =lim h x .
r 0 x∈ S  x 0, r  x x 0 x  x0 x x 0
Twierdzenie o granicach funkcji
Niech  X , d  ­ przestrzeń metryczna, A⊂X , f , g : A ℝ , x 0 ∈ A' oraz istnieją lim f  x  i
x x 0
lim g  x . Wówczas:
x x 0
• lim  f ±g x =lim f  x ±lim g  x 
x x 0 x  x0 x x 0
• lim  fg  x= lim f  x ⋅lim g x 
x x 0 x  x0 x  x0
lim f  x
f x x
• lim   x= 0
dla lim g  x≠0∧g  x ≠0
x x 0 g lim g  x x x 0
x x 0
14. Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych. Działania na funkcjach
ciągłych. Ciągłość złożenia. Przykłady.
Definicja Heinego funkcji ciągłej
Niech  X , d  ­ przestrzeń metryczna, A⊂X , f : A Y , x 0 ∈ A
Funkcja jest ciągła ⇔ ∀ lim x n =x 0 ⇒ lim f  x n = f  x 0
{x n }⊂A n  ∞ n ∞
Tw. f jest ciągła ⇔ ∀ f −1 U ∈ x
U ∈ y
Def. f : X Y spełnia warunek Libschitza ⇔ ∃ ∀ dy  f  x  , f  y ≤L⋅dx  x , y 
L0 x , y∈ X
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 11

Tw. f spełnia warunek Libschitza ⇒ f jest ciągła w X
Definicja Cauchy'ego funkcji ciągłej
Funkcja jest ciągła w punkcie x ⇔ ∀ ∃ ∀ ∣x−y∣ ⇒∣ f  x− f  y ∣
0 0 y∈ A
Przykład: f  x =x jest ciągła w każdym punkcie dziedziny.
Kontrprzykład: f  x =sgn x nie jest ciągła w 0.
Ciągłość złożenia
 lim f  x =x 0 ∧g jest ciągła ⇒ lim g [ f  x]=g  x 0 
x  x0 x  x0
• Wniosek: Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą
Działania na funkcjach ciągłych
• suma, różnica funkcji ciągłych jest ciągła w x0,
• iloczyn funkcji ciągłych jest ciągła w x0,
• iloraz funkcji ciągłych jest ciągła w x0,
15. Własności funkcji ciągłych w zbiorach zwartych i zbiorach spójnych.
Podstawowe twierdzenia. Ciągłość jednostajna.
Spójność
Def. Niech  X , d  ­ przestrzeń metryczna. A , B⊂X Są rozgraniczone ⇔ A∩  =∅=  ∩BB A
Def. C⊂X Jest spójny, jeżeli nie jest sumą zbiorów rozgraniczonych.
• Przykład: 0,1 , bo dla n ∈0,1 0, n∪ n ,1≠0,1
• Kontrprzykład: A= 0,1∪2,3 jest sumą zbiorów rozgraniczonych
Tw. X jest spójna ⇔ nie jest sumą dwóch zbiorów otwartych (domkniętych) i rozłącznych.
• Przykład: ℝ
Tw. Niech f : X Y będzie funkcją ciągłą i X – przestrzenią spójną. Wtedy f  X  jest przestrzenią spójną.
Tw. Jeśli  X , d  jest przestrzenią metryczną, spójną i f : X ℝ jest ciągła, to f  X  jest przedziałem.
Zwartość
Tw. Niech f : X  Y będzie funkcją ciągłą, X – przestrzenią metryczną i A⊂X ­ zwarty. Wtedy f  A
jest zwarty.
• Wniosek: A⊂ℝn , Y – przestrzenią metryczną i f : A Y ­ ciągła to f  A jest zwarty.
Własność Darboux funkcji ciągłej
f :[a , b] ℝ ciągła
Jeśli  f a ≤ f b∧y ∈[ f a , f b ] ∨ f a≥ f  b∧y ∈[ f b , f a] to istnieje c ∈[a , b]: f c =y
Tw. Weierstrassa
A⊂X ­ zwarty i f : A ℝ ­ ciągła ⇒ f ma w A ekstrema globalne
∃ ∀ f  x ≤ f  x 0 
x0 ∈ A x ∈ A
∃ ∀ f  x ≥ f  x 0 
x0 ∈ A x ∈ A
Tw. Jeśli f :[a , b] jest ciągła i różnowartościowa, to f jest silnie monotoniczna.
Ciągłość jednostajna
Funkcja jest ciągła w całej dziedzinie ⇔ ∀ ∃ ∀ ∀ ∣x−x 0∣ ⇒∣ f  x − f  x 0 ∣
0 0 x∈ D x 0 ∈D
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 12

Tw. Jeżeli funkcja spełnia warunek Lipschitza, to jest jednostajnie ciągła.
16. Ciągłość funkcji elementarnych. Granice związane z funkcjami
elementarnymi. Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie. Podstawowe przykłady.
Nieciągłość pierwszego rodzaju
Funkcja ma nieciągłość pierwszego rodzaju jeżeli istnieje skończona granica prawostronna i lewostronna tej
funkcji. Nieciągłość nazywamy usuwalną, jeżeli te granice są sobie równe.
• Przykład: f  x =sgn x
Nieciągłość drugiego rodzaju
Funkcja ma nieciągłość drugiego rodzaju jeżeli nie istnieje przynajmniej jedna z granic prawostronna lub
lewostronna.
1
• Przykład: f  x =
x
Granice związane z funkcjami elementarnymi
sin x arcsin x tan x
lim =1 lim =1 lim =1
x x 0 x x x 0 x x x 0 x
1
a x −1 ln 1x 
lim 1x  =e x
lim =ln a lim =1
x x 0 x x 0 x x x 0 x
Funkcje ciągłe
• wymierne,
• wykładnicze i logarytmiczne,
• trygonometryczne,
• pierwiastkowe
17. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej funkcji. Obliczanie
pochodnych. Pochodna złożenia. Pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji
elementarnych.
Def. Pochodna funkcji
Niech U⊂ℝ będzie przedziałem otwartym i f :U ℝ . Jeśli dla pewnego x 0 ∈U istnieje skończona
granica ilorazu różnicowego
f  x − f  x 0  f  x 0 h− f  x 0 
lim =lim
x x 0
x−x 0 h 0 h
to mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0 z kolei punkt x0 nazywamy punktem różniczkowalności
funkcji f.
Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji w x0 i oznaczamy symbolem f'(x0).
Funkcja różniczkowalna w 0 oznacza, że jest w tym punkcie ciągła
x
Interpretacja geometryczna
Różniczkowalność f w x0 oznacza, że funkcja posiada styczną do wykresu w tym punkcie, nierównoległej do
osi OY.
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 13

Pochodną funkcji na przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji.
Interpretacja fizyczna
s  tt 0 −s t 0 
lim =v t 0  Jest to pochodna ilorazu w t0 i jest ona prędkością chwilową v tego ciała w t0 .
t 0 t
Podstawowe wzory (pochodna złożenia i funkcji odwrotnej)
f f ' g − fg ' f'
 f ±g ' = f '± g '  '= ln f  '=
g g2 f
a a −1
 fg ' = f ' g fg '  fgh'= f ' gh fg ' h fgh '  f '=af ⋅f '
1
 f  g  ' = f '  g ⋅g '  f −1 ' =
g'
Pochodne funkcji elementarnych
1
 x a ' =ax a−1 sin x' =cos  x  arcsin  x  '=
 1−x 2
−1
a x ' =a x⋅lna  cos  x ' =−sin  x  arccos x  '=
 1−x 2
1 1
x
e '=e
x tan  x ' = arctan  x ' =
cos2  x 1x 2
1 1 −1
log a  x'= cot  x' = 2
arccot  x  '=
x⋅ln a  sin  x  1 x 2
1
ln  x'=
x
18. Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich wypływające. Wzór Taylora i
jego zastosowania.
Tw. Rolle'a
Jeżeli f :[a.b] ℝ jest ciągła i różniczkowalna w (a,b) i f(a)=f(b), to ∃ f '  x 0 =0 .
x0 ∈ a , b
Tw. Lagrange'a
f  b− f a
Jeżeli f :[a.b] ℝ jest ciągła i różniczkowalna w (a,b), to ∃ f ' =
∈ a ,b  b−a
Tw. Cauchy'ego
f '  x 0  f b− f  a
Jeżeli f :[a.b] ℝ jest ciągła i różniczkowalna w (a,b), to ∃ =
x0 ∈ a , b g '  x 0  g b−g a
Wnioski:
• f '  x ≥0 ⇒ f jest rosnąca,
• f '  x ≤0 ⇒ f jest malejąca,
• f '  x =0 ⇒ f jest stała.
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 14

Wzór Taylora
Niech f ∈C n −1 [ x 0, x 0 h ] dla h>0, oraz f jest n­krotnie różniczkowalna w  x 0, x 0 h . Wtedy istnieje
∈0,1 , że
f  x0  h f  x0  h2 f  x 0 h n −1 f n  x 0  h hn
f  x 0 h= f  x 0   
1! 2!  n−1 ! n!
• Przykładowe zastosowanie:
1
Obliczmy przybliżoną wartość cos   . Najpierw policzmy ∣R n h ∣
10
R n h ∣=
∣ f n  x 0 h h n∣≤ h n ≤  0,1n
∣
n! n! n!
4
10
Dla n=4: ∣R 4 h ∣= ≤10−5
24
f '  0 h f ' ' 0 h 2 f ' ' ' 0 h3
cos h ≈ f 0  
1 2! 3!
cos x 0=1
cos x '=sin x ⇒ cos ' 0=sin 0=0
cos x ' '=−cos x ⇒ cos ' ' 0=−cos 0=−1
cos x ' ' ' =−sin x ⇒ cos ' ' ' 0=−sin 0=0
Więc:
h2
cos h ≈1− Wówczas:
2!
1 2
 
1 10 1 1 1
cos  ≈1− =1− ⋅ =1− =0,995
10 2! 100 2 200
19. Ekstrema lokalne funkcji. Punkty przegięcia funkcji. Warunki konieczne i
wystarczające. Przykłady.
Def. Ekstremum lokalne
f : I  ℝ , I ⊂ℝ , x 0 ∈ I n t I
f ma w x0 maksimum (minimum) lokalne jeśli jest spełniony warunek
∃ ∀ f  x ≤ f  x 0  ( ∃ ∀ f  x ≥ f  x 0  )
r 0 x∈ x 0, r  r 0 x∈ x 0, r 
f ma w x0 maksimum (minimum) globalne ∀ f  x ≤ f  x 0  ( ∀ f  x ≥ f  x 0  )
x∈I x∈I
Warunek konieczny ekstremum funkcji
f ma ekstremum lokalne ⇒ f '  x=0
• Kontrrzykład: f  x =x 3
I warunek wystarczający ekstremum funkcji
f : I ℝ , I ⊂ℝ , x 0 ∈ I n t I
 ∃ [ x 0 −r x ⇒ f '  x ≤0∧ x 0 r x ⇒ f '  x ≥0] ⇒ f ma minimum lokalne w x0

r0
maksimum analogicznie
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 15

II warunek wystarczający ekstremum funkcji
f : I ℝ Różniczkowalna x2 w otoczeniu x0, I ⊂ℝ , x 0 ∈ I n t I , f '  x 0 =0 , f'' jest ciągła w x0 i
f ' '  x 0 ⇒ f ma maksimum lokalne w x0
f ' '  x 0 ⇒ f ma minimum lokalne w x0
Def. Funkcji wypukłej
f :a , b ℝ 2x różniczkowalna
f jest wypukła w (a,b) ⇒ ∀ ∀ f  x  f  x 0  f '  x 0  x −x 0 
x 0∈ a , b  x∈a , b ∖{x 0}
f jest wklęsła w (a,b) ⇒ ∀ ∀ f  x  f  x 0  f '  x 0  x −x 0 
x 0∈ a , b  x∈a , b ∖{x 0}
x0 jest punktem przegięcia dla f.
Tw. f :a , b ℝ 2x różniczkowalna
f ' '  x 0 ⇒ f jest wypukła
f ' '  x 0 ⇒ f jest wklęsła
20. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Podstawowe metody wyznaczania
całki nieoznaczonej.
Def. Funkcja pierwotna
Załóżmy: f : I  ℝ i I ⊂ℝ ­ przedział otwarty. Każdą funkcję F : I  ℝ różniczkowalną w przedziale i
spełniającą warunek, że:
F '  x = f  x  , x ∈I
nazywamy funkcją pierwotną funkcji f lub całką nieoznaczoną, funkcji f i oznaczamy symbolem ∫ f  x  dx .
∫ f  x  dx={ FC : F jest pierwotna dla f }
.
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 16