Notatki do egzaminu z Algebry Liniowej

Loading...

Flash Player 9 (or above) is needed to view presentations.
We have detected that you do not have it on your computer. To install it, go here.

0 comments

Post a comment

    Post a comment
    Embed Video
    Edit your comment Cancel

    Favorites, Groups & Events

    Notatki do egzaminu z Algebry Liniowej - Document Transcript

    1. Notatki do egzaminu z Algebry Liniowej Grupy Def. Grupą nazywamy zbiór G z działaniem *, spełniający własności: 1) ∀ x∗ y∗z= x∗y∗z x , y , z∈G 2)  ∃ x∀ x∗e=e∗x=x e ∈G −1 −1 3) x∈G x ∃ x∗x =x ∗x=e ∀ ∈G −1 Jeśli działanie * jest przemienne, to grupę (G,*) nazywamy abelową. Tw. Niech (G,*,e). Jeżeli a , b ∈G to: 1)  ab−1=b−1∗a−1 2) a−1−1=a 3) równanie a∗x =b ma dokładnie jedno rozwiązanie 4) równanie x∗a=b ma dokładnie jedno rozwiązanie 5) element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie 6) element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie 7) a∗b=c∗b ⇒ a=c 8) a∗b=a∗c ⇒ b=c Tw. Niech G będzie grupą i a ∈G . Jeżeli m , n∈ ℤ to: 1) a m n=am⋅a n 2) a m n=a mn 3) a m n=an m Def.  ∅≠H ⊂G Nazywamy podgrupą grupy G, jeżeli  H ,⋅∣H × H , e jest grupą. Jeżeli H jest  podgrupą grupy G to piszemy H<G. −1 Tw. ∅≠H  jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ a⋅b ∈H a ,b ∈H Tw. Jeżeli R jest rodziną podgrupy G, to ∏R też jest podgrupą G.  Def. Jeżeli A⊂G , to najmniejszą w sensie inkluzji podgrupę grupy G zawierającą A oznaczamy  symbolem <A>  i nazywamy grupą generowaną przez zbiór A. Tw. Niech ∅≠ A będzie podzbiorem G. Wówczas: k k 〈 A〉={ a 1 , ... , a n : a1, ... , a n ∈A∧k 1, ... , k n ∈ℤ∧n ∈ℕ} 1 n Def. Grupę G nazywamy grupą cykliczną, jeżeli istnieje a ∈G , że  〈 {a}〉=G • Wniosek: Jeśli G jest grupą cykliczną, to istnieje a ∈G , że G={an : n∈ℤ}    Tw. Każda grupa cykliczna jest abelowa. Def. Rzędem grupy G nazywamy liczbę porządkową cardG i oznaczamy symbolem ∣G∣ Def. Rzędem elementu a ∈G nazywamy liczbę card 〈 {a}〉 i oznaczamy symbolem ∣a∣ Tw. Jeżeli a ∈G to ∣a∣=min {n∈ N : an =e} . Def. Niech G będzie grupą. Warstwą prawostronną (lewostronną) grupy G względem podgrupy H i  elementu a nazywamy zbiór: Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)                                                                                            1
    2. Ha={ha∧h∈A} ( aH ={ah∧h ∈A} ) Tw. Niech G będzie grupą, H<G i a ∈G . Wówczas: 1)  ∣H∣=∣aH∣=∣Ha∣ 2)  aH ∩bH =∅∨aH=bH ( Ha∩Hb=∅∨Ha=Hb ) Def. Niech G będzie grupą i H<G. Indeksem grupy G względem podgrupy H nazywamy liczbę warstw  lewostronnych grupy G względem grupy H i oznaczamy symbolem [G:H] Tw. Lagrange'a Niech G będzie grupą i niech H<G. Wówczas: ∣G∣=∣H∣ : H ] ⋅[G • Wniosek: Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to grupa jest cykliczna. Def. Niech  G ,⋅ i  H ,∗ będą grupami. Wówczas: 1) Homomorfizmem grup G i H nazywamy takie przekształcenie, że: ∀  x⋅y = x ∗ y  x , y∈G Zbiór homomorfizmów grup G i H oznaczamy Hom(G,H). 2) Monomorfizmem nazywamy różnowartościowy homomorfizm. 3) Epimorfizmem nazywamy homomorfizm przekształcający grupę G „na” H. 4) Izomorfizmem nazywamy monomorfizm będący epimorfizmem. 5) Endomorfizmem nazywamy homomorfizm grupy G w G. Zbiór endomorfizmów grupy G oznaczamy  symbolem End(G). 6) Automorfizmem nazywamy endomorfizm będący izomorfizmem. Zbiór automorfizmów grupy G  oznaczamy symbolem Aut(G). Def. Grupy G i H są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm :G  H . Grupy izomorficzne  oznaczamy: G≃H . Tw. Niech G,H i L będą grupami. Wówczas: 1) G≃G 2) G≃L ⇔ L≃G 3) G≃L∧L≃H ⇔ G≃H Def. Niech  :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Jądrem homomorfizmu   nazywamy  zbiór  Ker :={x ∈G : x =e} (e jest elementem neutralnym w grupie H). Def. Niech  :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Obrazem homomorfizmu    nazywamy zbiór  Img :={ x : x ∈G}={y∈ H : x∈G y= x } ∃ Tw.  Niech  :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Wówczas: 1) Ker G 2) Img H Tw. Niech G będzie grupą, H<G i a ∈G  . Wówczas następujące warunki są równoważne: 1) aH =Ha 2) aHa−1=H −1 3) ∀ aha ∈ H h ∈H Def. Niech G będzie grupą i H<G. Podgrupę H nazywamy dzielnikiem naturalnym G, jeżeli aH=Ha  zachodzi dla każdego a ∈G i oznaczamy H◁G. Tw. Niech  :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Wówczas Ker  ◁ G . Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)                                                                                            2
    3. Def. Niech G będzie grupą i H◁G. W zbiorze G/H wprowadzamy działanie mnożenia warstw: aH ⋅ bH = ab⋅H  Tw. Zbiór G/H z działaniem mnożenia jest grupą. Tw. Zasadnicze twierdzenie teorii grup Jeżeli  :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H, to G/ Ker ≃G • Wniosek: Każda grupa cykliczna jest izomorficzna z  ℤ ,  lub ℤ n , n  dla pewnego  n ∈ℕ Def. Niech G będzie grupą i a ∈G Zbiór C a :={x ∈G :ax =xa} nazywamy zbiorem elementów przemiennych z elementem a. Zbiór C g :={a∈G : ∀ ax =xa} nazywamy centrum grupy. x ∈G Tw. Niech G będzie grupą 1)  Cg◁G 2)  C g=G ⇔  grupa jest abelowa Def. Niech G będzie grupą i x , y ∈G .  Komutatorem elementów x i y nazywamy element: [ x , y]:=x −1 y−1 xy Kumutant grupy nazywamy zbiór: K G =〈{[x , y]: x , y ∈G}〉 Tw. Niech G będzie grupą. Wówczas: 1)  Kg◁G 2)  G jest abelowa ⇔ K g ={e} 3) Grupa ilorazowa G/Kg jest abelowa 4) H◁G i G/H jest grupą abelową, to Kg<H Tw. Niech G1,⋅1, e1  , ... ,G n ,⋅n , e n  będą grupami. Wówczas zbiór G1×...×Gn z działaniem ⋅:G1 ×...×G n×G1×...×Gn  G 1×...×G n  danym wzorem a 1, ... a n ×b1, ... b n := a1⋅1 b1, ... a n⋅n bn  jest grupą. Def. Grupę G1 z działaniem określonym powyżej nazywamy grupą produktową lub sumą prostą. Tw. Podstawowe twierdzenie grup abelowych Każda grupa abelowa generowana przez skończenie wiele elementów jest grupą produktową grup  cyklicznych. Def. Niech X ≠∅ . f : X  X Jest permutacją zbioru X jeśli f jest różnowartościowa i „na”. Zbiór permutacji zbioru X oznaczamy S(X) S  X ={ f : X  X : f jest bijekcją} Tw. Zbiór S(X) z działaniem składania funkcji jest grupą. Tw. Jeżeli cardX=cardY, to S  X ≃S Y  Def. Jeżeli n ∈ℕ , to symbolem Sn oznaczamy zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,...,n}. Tw. Dla każdego n ∈ℕ mamy: 1) ∣S n∣=n ! 2) Sn jest abelowa ⇔ n∈{1,2 } Def. Permutację G∈S n nazywamy permutacją cykliczną (k­cyklem), jeżeli istnieje takie Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)                                                                                            3
    4. {a1, a2, ... , an }∈{1,2 , ... , n } , że:  a1 =a 2 , a 2 =a 3 ,... , a k =a 1 oraz  a=a dla a ∈{a , ... , n}∖ {a 1, ... , a n } Tw. Każdą  permutację można przedstawić jako złożenie permutacji cyklicznych. Tw. Cayleya Każda grupa G jest podgrupą grupy pewnych permutacji Pierścienie Def. Niech  ,⋅  będą działaniami na zbiorze A. Trójkę  A ,  ,⋅ nazywamy strukturą  dwudziałaniową. Def. Niech  A ,  ,⋅ będzie strukturą dwudziałaniową. Mówimy, że ⋅ jest rozdzielne względem +,  jeżeli dla wszelkich x , y , z ∈ A  mamy: x⋅ yz= xyxz i  yz⋅x =yxzx Def.   A ,  ,⋅ Jest pierścieniem, jeżeli: 1)  A ,  jest grupą (abelową) 2) Działanie ⋅ jest łączne 3) Działanie ⋅ jest rozdzielne względem + 4) Jeżeli  ⋅ ma element neutralny, to pierścień nazywamy pierścieniem z jednością. 5) Jeżeli  ⋅ jest przemienne, to pierścień A jest przemienny. Def.  a≠∅ Pierścienia  A ,  ,⋅  nazywamy lewostronnym dzielnikiem zera, jeżeli dla b≠∅ zachodz a⋅b=0 . Analogicznie z prawostronnym dzielnikiem zera. Tw. Niech P ,  ,⋅  będzie pierścieniem bez dzielników zera. Wówczas dla wszelkich dla wszelkich x ∈P ∖ {0 }∧y , z ∈ P 1) xy=xz ⇒ y=z 2) yx=zx ⇒ y=z Def. Element a pierścienia P ,  ,⋅ z jednością nazywamy odwracalnym, jeżeli istnieje taki element  a ∈ P , że aa =a a=e −1 −1 −1 Zbiór elementów odwracalnych tego pierścienia oznaczamy P*. Tw. Jeżeli P ,  ,⋅ jest pierścieniem z jednością, to zbiór wszystkich elementów odwracalnych P∗ ,⋅ jest grupą. Def. Niech P ,  ,⋅ będzie pierścieniem. Podzbiór L⊂P nazywamy podpierścieniem pierścienia P,  jeżeli  L , ∣L×L ,⋅∣L ×L  jest pierścieniem. Tw. Niepusty podzbiór L pierścienia P ,  ,⋅ jest podpierścieniem, gdy ∀  a−b∈L∧a⋅b∈L a ,b ∈L Tw. Jeżeli R jest niepustą rodziną podpierścieni P ,  ,⋅ , to jej przekrój też jest podpierścieniem P. Def. Niech A będzie podzbiorem pierścienia P. Najmniejszy podpierścień pierścienia P zawierający  wszystkie elementy zbioru A nazywamy podpierścieniem generowanym przez grupę A i oznaczamy  go symbolem [A]. Tw. Jeżeli A jest podzbiorem pierścienia P to: n kj n lq [ A]={∑ ∏ a ij −∑ ∏ b pq : aij , b pq ∈A∧n , m , k , j∈ℕ0 } i=1 j=1 p=1 q =1 Def. Niech P ,  ,⋅ i  R , × ,∗ będą pierścieniami. Odwzorowanie : P  R nazywamy  Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)                                                                                            4
    5. homomorfizmem, jeżeli  xy = x× y  i  x⋅y= x ∗ y . Monomorfizmem, jeżeli  jest różnowartościowym homomorfizmem. Epimorfizmem, jeżeli P =R i  jest homomorfizmem. Izomorfizmem, jeżeli   jest monomorfizmem i epimorfizmem. Endomorfizmem, jeżeli  jest homomorfizmem i P=R Automorfizmem, jeżeli  jest izomorfizmem i P=R. Def. Pierścienie P i R są izomorficzne (piszemy P≃ R ) jeżeli istnieje izomorfizm : P  R . Tw. Niech P,R,L będą pierścieniami. Wówczas: 1) P≃P 2) P≃ R⇒ R≃P 3)  P≃R∧R≃L⇒ P≃L Przykład: Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością e. Rozważmy zbiór Pℕ Pℕ ={ a0, a1, a 2, ...:a 0, a 1, a 2, ...∈ P} W zbiorze P wprowadzamy działania dodawania i mnożenia 1) a 0, a 1, a2, ...b 0, b1, b 2, ...= a0 b 0 , a 1b 1 , a 2a2 ,... k 2) a 0, a 1, a2, ...⋅ b0, b1, b 2, ...=c 0 , c 1 , c 2 , ... , gdzie c n=∑ a i bk−i , k ∈ℕ  i =0 Zbiór z działaniami dodawania i mnożenia jest pierścieniem przemiennym z jednością (e,0,0,...). Połóżmy X := 0, e ,0 ,0 ,...∈P ℕ . Wówczas  X n=0, ...,0 , e ,0 ,...∈P ℕ , gdzie e poprzedza n zer. ∞ n Ustalmy =a 0, a 1, ... . Wówczas dostaniemy, że =∑ a n ,0 , ... X . Przyjmując oznaczenie,  n=0 ∞ n a n := an ,0 ,...  dostaniemy, że =∑ an X . n=0 Zbior Pℕ  z działaniami dodawania i mnożenia nazywamy pierścieniem wielomianów formalnych i  oznaczamy P[[x]] Def. Niech P będzie pierścieniem. Niepusty podzbiór I pierścienia P nazywamy ideałem, jeżeli: 1) ∀ a−b ∈I a ,b ∈I 2) a ∈I∀ P  ax ∈I ∧xa∈I  ∧x∈ Ideał pierścienia P oznaczamy  I◁P Def. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością. Ideał I pierścienia P nazywamy ideałem  głównym, jeżeli istnieje element a ∈P , że I =aP . Tw. Przekrój niepustej rodziny ideałów pierścienia P jest ideałem tego pierścienia. Def. Niech A będzie niepustym podzbiorem pierścienia. Najmniejszym w sensie inkluzji ideałem  pierścienia P zawierającym wszystkie elementy zbioru A nazywamy ideałem generowanym przez A i  oznaczamy (A). Tw. Niech A będzie niepustym podzbiorem pierścienia P. Wówczas  n  A={∑ x i ai y i : a1 ,... , a n ∈ A∧x 1 ,... , x n , y 1 , ... , y n ∈P , n ∈ℕ} i=1 Def. Niech I będzie ideałem pierścienia P. Mówimy, że element a ∈P przystaje do elementu  b∈ P modulo I i piszemy a=b (mod I) jeżeli  a−b∈P . Relację przystawania modulo I nazywamy kongruencją. Tw. Załóżmy, że I jest ideałem pierścienia P i liczby a , b , c , d ∈P . Wówczas: Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)                                                                                            5
    6. a) a=a mod I  b) a=b mod I ⇒ b=a mod I  c) a=b mod I ∧b=c mod I ⇒ a=c mod I  d) a=b mod I ∧c=d mod I ⇒ ac=bd  mod I  ⇒ac=bd  mod I  • Wniosek: Jeżeli I jest ideałem pierścienia P, to relacja kongruencji jest relacją  równoważnościową, a jej klasy abstrakcji są postaci: aI :={ab :b ∈I } , gdzie a ∈P i nazywamy je warstwami pierścienia P. Def. Niech I będzie ideałem pierścienia P. W zbiorze P/ I wprowadzamy działania dodawania + i  mnożenia * wzorami: aI  bI :=ab I aI ∗ bI :=ab  I Tw. Zbiór P/ I z działaniami +,* określonymi w definicji powyżej jest pierścieniem. Def. Niech P i L będą pierścieniami i niech : P  L będzie homomorfizmem. Jądrem homomorfizmu  nazywamy zbiór: −1 Ker ={x ∈P :  x =0}= {0 } Tw. Zasadnicze twierdzenie o homomorfizmie pierścieni Niech P i R będą pierścieniami i niech : P  L będzie epimorfizmem. Wówczas: a) Ker  jest ideałem. b) P/ Ker ≈ L Def. Ideał I pierścienia P nazywamy ideałem pierwszym, jeśli I ≠P oraz ∀  ab∈I ⇒ a∈I ∨b ∈I   a ,b ∈P Tw. Niech I ≠P będzie ideałem pierścienia P. Wówczas I jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy,  gdy pierścień ilorazowy nie zawiera dzielników zera. Def. Ideał I pierścienia P nazywamy właściwym, jeżeli {0}≠I ≠P . Def. Ideał I pierścienia P nazywamy maksymalnym, jeżeli jest ideałem właściwym, oraz nie zawiera się  w różnym od samego siebie ideale właściwym pierścienia P. Def. Pierścień przemienny z jednością zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy ciałem, jeżeli P∗=P /{0 } . Tw. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy jest ciałem, gdy nie  zawiera ideałów właściwych. Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością. Jeżeli P zawiera ideał właściwy, to zawiera  też ideał maksymalny. • Wniosek: Niech P będzie pierścieniem przemiennym i P/ P∗≠{0 } . Wówczas P/ P∗=∑ { I : I jest ideałem maksymalnym w P }   Def. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy całkowitym,  jeżeli nie zawiera dzielników zera. Def. Pierścień przemienny z jednością zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy lokalnym,  jeżeli zawiera on dokładnie jeden ideał maksymalny. Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym jednocześnie zawierającym co najmniej dwa elementy.  Wówczas: a) Pierścień jest lokalny. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)                                                                                            6
    7. b) P/ P∗ jest ideałem pierścienia P. c) Istnieje taki ideał maksymalny I, że  eI ∈P∗ Konstrukcja pierścienia ułamków Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością i niech S ⊂P/{0} będzie zbiorem, że e∈S , S⋅S⊂S i S nie ma dzielników zera. W zbiorze  P×S wprowadzamy relację równoważności wzorem: a , b~c , d  :⇔ ad =bc Symbolem  S −1⋅P oznaczamy zbiór wszystkich klas abstrakcji [a , b] relacji ~. W zbiorze S −1⋅P wprowadzamy działania +, ⠂wzorami: [a , b][b , c]=[ad bc , bd ] [a , b]⋅[ b , c ]=[ac , bd ] a Odtąd:  [a , b]= b Tw. Skonstruowany wcześniej zbiór S −1⋅P z wprowadzonymi działaniami jest pierścieniem  przemiennym z jednością. [0, e] ­ element neutralny dodawania [e , e] ­ element neutralny mnożenia −[ a , b]=[−a , b] ­ element przeciwny • Wniosek: Każdy pierścień całkowity, że P/ P∗≠{0 } jest podpierścieniem pewnego pierścienia  lokalnego • Wniosek: Każdy pierścień całkowity jest podpierścieniem pewnego ciała (to ciało jest nazywane  ciałem ułamków prostych pierścienia całkowitego). Def. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy, nazywamy  netherowskim, gdy każdy niepusty zbiór ideałów pierścienia P zawiera ideał maksymalny w sensie  inkluzji. Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością, zawierającym co najmniej dwa elementy.  Wówczas następujące warunki są równoważne: 1) P jest netherowski. 2) Jeżeli Pn jest wstępującym, ciągłym ideałem pierścienia P, to istnieje takie n 0 ∈ℕ , że I n =I n dla 0 n≥n0    3) Każdy ideał I w pierścieniu P ma skończony zbiór generatorów. Tw. Załóżmy, że P jest pierścieniem przemiennym z jednością, zawierającym co najmniej dwa elementy.  Wówczas I jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy P/ I jest ciałem • Wniosek: W każdym pierścieniu przemiennym z jednością, który zawiera co najmniej dwa  elementy, ideały maksymalne są ideałami właściwymi. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)                                                                                            7

    + Piotr SzlagorPiotr Szlagor, 8 months ago

    custom

    376 views, 0 favs, 1 embeds more stats

    Moje notatki do egazminu z Algebry Liniowej,

    More info about this document

    © All Rights Reserved

    • Total Views 376
      • 366 on SlideShare
      • 10 from embeds
    • Comments 0
    • Favorites 0
    • Downloads 17
    Most viewed embeds
    • 10 views on http://piotr.szlagor.net

    more

    All embeds
    • 10 views on http://piotr.szlagor.net

    less

    Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
    Flag as inappropriate

    Select your reason for flagging this document as inappropriate. If needed, use the feedback form to let us know more details.

    Cancel
    File a copyright complaint
    Having problems? Go to our helpdesk?

    Categories