Notatki do egzaminu z Algebry Liniowej
Grupy
Def. Grupą nazywamy zbiór G z działaniem *, spełniający własności:
1) ∀ x∗ y∗z= x∗y∗z
x , y , z∈G
2) ∃ x∀ x∗e=e∗x=x
e ∈G
−1 −1
3) x∈G x ∃ x∗x =x ∗x=e
∀
∈G
−1
Jeśli działanie * jest przemienne, to grupę (G,*) nazywamy abelową.
Tw. Niech (G,*,e). Jeżeli a , b ∈G to:
1) ab−1=b−1∗a−1
2) a−1−1=a
3) równanie a∗x =b ma dokładnie jedno rozwiązanie
4) równanie x∗a=b ma dokładnie jedno rozwiązanie
5) element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie
6) element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie
7) a∗b=c∗b ⇒ a=c
8) a∗b=a∗c ⇒ b=c
Tw. Niech G będzie grupą i a ∈G . Jeżeli m , n∈ ℤ to:
1) a m n=am⋅a n
2) a m n=a mn
3) a m n=an m
Def. ∅≠H ⊂G Nazywamy podgrupą grupy G, jeżeli  H ,⋅∣H × H , e jest grupą. Jeżeli H jest
podgrupą grupy G to piszemy H<G.
−1
Tw. ∅≠H jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ a⋅b ∈H
a ,b ∈H
Tw. Jeżeli R jest rodziną podgrupy G, to ∏R też jest podgrupą G.
Def. Jeżeli A⊂G , to najmniejszą w sensie inkluzji podgrupę grupy G zawierającą A oznaczamy
symbolem <A> i nazywamy grupą generowaną przez zbiór A.
Tw. Niech ∅≠ A będzie podzbiorem G. Wówczas:
k k
〈 A〉={ a 1 , ... , a n : a1, ... , a n ∈A∧k 1, ... , k n ∈ℤ∧n ∈ℕ}
1 n
Def. Grupę G nazywamy grupą cykliczną, jeżeli istnieje a ∈G , że 〈 {a}〉=G
• Wniosek: Jeśli G jest grupą cykliczną, to istnieje a ∈G , że G={an : n∈ℤ}
Tw. Każda grupa cykliczna jest abelowa.
Def. Rzędem grupy G nazywamy liczbę porządkową cardG i oznaczamy symbolem ∣G∣
Def. Rzędem elementu a ∈G nazywamy liczbę card 〈 {a}〉 i oznaczamy symbolem ∣a∣
Tw. Jeżeli a ∈G to ∣a∣=min {n∈ N : an =e} .
Def. Niech G będzie grupą. Warstwą prawostronną (lewostronną) grupy G względem podgrupy H i
elementu a nazywamy zbiór:
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 1

Ha={ha∧h∈A} ( aH ={ah∧h ∈A} )
Tw. Niech G będzie grupą, H<G i a ∈G . Wówczas:
1) ∣H∣=∣aH∣=∣Ha∣
2) aH ∩bH =∅∨aH=bH ( Ha∩Hb=∅∨Ha=Hb )
Def. Niech G będzie grupą i H<G. Indeksem grupy G względem podgrupy H nazywamy liczbę warstw
lewostronnych grupy G względem grupy H i oznaczamy symbolem [G:H]
Tw. Lagrange'a
Niech G będzie grupą i niech H<G. Wówczas:
∣G∣=∣H∣ : H ]
⋅[G
• Wniosek: Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to grupa jest cykliczna.
Def. Niech G ,⋅ i  H ,∗ będą grupami. Wówczas:
1) Homomorfizmem grup G i H nazywamy takie przekształcenie, że:
∀  x⋅y = x ∗ y 
x , y∈G
Zbiór homomorfizmów grup G i H oznaczamy Hom(G,H).
2) Monomorfizmem nazywamy różnowartościowy homomorfizm.
3) Epimorfizmem nazywamy homomorfizm przekształcający grupę G „na” H.
4) Izomorfizmem nazywamy monomorfizm będący epimorfizmem.
5) Endomorfizmem nazywamy homomorfizm grupy G w G. Zbiór endomorfizmów grupy G oznaczamy
symbolem End(G).
6) Automorfizmem nazywamy endomorfizm będący izomorfizmem. Zbiór automorfizmów grupy G
oznaczamy symbolem Aut(G).
Def. Grupy G i H są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm :G  H . Grupy izomorficzne
oznaczamy: G≃H .
Tw. Niech G,H i L będą grupami. Wówczas:
1) G≃G
2) G≃L ⇔ L≃G
3) G≃L∧L≃H ⇔ G≃H
Def. Niech :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Jądrem homomorfizmu  nazywamy
zbiór Ker :={x ∈G : x =e} (e jest elementem neutralnym w grupie H).
Def. Niech :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Obrazem homomorfizmu 
nazywamy zbiór Img :={ x : x ∈G}={y∈ H : x∈G y= x }
∃
Tw. Niech :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Wówczas:
1) Ker G
2) Img H
Tw. Niech G będzie grupą, H<G i a ∈G . Wówczas następujące warunki są równoważne:
1) aH =Ha
2) aHa−1=H
−1
3) ∀ aha ∈ H
h ∈H
Def. Niech G będzie grupą i H<G. Podgrupę H nazywamy dzielnikiem naturalnym G, jeżeli aH=Ha
zachodzi dla każdego a ∈G i oznaczamy H◁G.
Tw. Niech :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Wówczas Ker  ◁ G .
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 2

Def. Niech G będzie grupą i H◁G. W zbiorze G/H wprowadzamy działanie mnożenia warstw:
aH ⋅ bH = ab⋅H

Tw. Zbiór G/H z działaniem mnożenia jest grupą.
Tw. Zasadnicze twierdzenie teorii grup
Jeżeli :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H, to G/ Ker ≃G
• Wniosek: Każda grupa cykliczna jest izomorficzna z ℤ ,  lub ℤ n , n  dla pewnego
n ∈ℕ
Def. Niech G będzie grupą i a ∈G
Zbiór C a :={x ∈G :ax =xa} nazywamy zbiorem elementów przemiennych z elementem a.
Zbiór C g :={a∈G : ∀ ax =xa} nazywamy centrum grupy.
x ∈G
Tw. Niech G będzie grupą
1) Cg◁G
2) C g=G ⇔ grupa jest abelowa
Def. Niech G będzie grupą i x , y ∈G .
Komutatorem elementów x i y nazywamy element:
[ x , y]:=x −1 y−1 xy
Kumutant grupy nazywamy zbiór:
K G =〈{[x , y]: x , y ∈G}〉
Tw. Niech G będzie grupą. Wówczas:
1) Kg◁G
2) G jest abelowa ⇔ K g ={e}
3) Grupa ilorazowa G/Kg jest abelowa
4) H◁G i G/H jest grupą abelową, to Kg<H
Tw. Niech G1,⋅1, e1  , ... ,G n ,⋅n , e n  będą grupami. Wówczas zbiór G1×...×Gn z działaniem
⋅:G1 ×...×G n×G1×...×Gn  G 1×...×G n  danym wzorem
a 1, ... a n ×b1, ... b n := a1⋅1 b1, ... a n⋅n bn  jest grupą.
Def. Grupę G1 z działaniem określonym powyżej nazywamy grupą produktową lub sumą prostą.
Tw. Podstawowe twierdzenie grup abelowych
Każda grupa abelowa generowana przez skończenie wiele elementów jest grupą produktową grup
cyklicznych.
Def. Niech X ≠∅ . f : X  X Jest permutacją zbioru X jeśli f jest różnowartościowa i „na”.
Zbiór permutacji zbioru X oznaczamy S(X)
S  X ={ f : X  X : f jest bijekcją}
Tw. Zbiór S(X) z działaniem składania funkcji jest grupą.
Tw. Jeżeli cardX=cardY, to S  X ≃S Y 
Def. Jeżeli n ∈ℕ , to symbolem Sn oznaczamy zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,...,n}.
Tw. Dla każdego n ∈ℕ mamy:
1) ∣S n∣=n !
2) Sn jest abelowa ⇔ n∈{1,2 }
Def. Permutację G∈S n nazywamy permutacją cykliczną (k­cyklem), jeżeli istnieje takie
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 3

{a1, a2, ... , an }∈{1,2 , ... , n } , że:  a1 =a 2 , a 2 =a 3 ,... , a k =a 1 oraz  a=a dla
a ∈{a , ... , n}∖ {a 1, ... , a n }
Tw. Każdą permutację można przedstawić jako złożenie permutacji cyklicznych.
Tw. Cayleya
Każda grupa G jest podgrupą grupy pewnych permutacji
Pierścienie
Def. Niech  ,⋅ będą działaniami na zbiorze A. Trójkę  A ,  ,⋅ nazywamy strukturą
dwudziałaniową.
Def. Niech  A ,  ,⋅ będzie strukturą dwudziałaniową. Mówimy, że ⋅ jest rozdzielne względem +,
jeżeli dla wszelkich x , y , z ∈ A mamy:
x⋅ yz= xyxz i  yz⋅x =yxzx
Def.  A ,  ,⋅ Jest pierścieniem, jeżeli:
1)  A ,  jest grupą (abelową)
2) Działanie ⋅ jest łączne
3) Działanie ⋅ jest rozdzielne względem +
4) Jeżeli ⋅ ma element neutralny, to pierścień nazywamy pierścieniem z jednością.
5) Jeżeli ⋅ jest przemienne, to pierścień A jest przemienny.
Def. a≠∅ Pierścienia  A ,  ,⋅ nazywamy lewostronnym dzielnikiem zera, jeżeli dla b≠∅
zachodz a⋅b=0 . Analogicznie z prawostronnym dzielnikiem zera.
Tw. Niech P ,  ,⋅ będzie pierścieniem bez dzielników zera. Wówczas dla wszelkich dla wszelkich
x ∈P ∖ {0 }∧y , z ∈ P
1) xy=xz ⇒ y=z
2) yx=zx ⇒ y=z
Def. Element a pierścienia P ,  ,⋅ z jednością nazywamy odwracalnym, jeżeli istnieje taki element
a ∈ P , że aa =a a=e
−1 −1 −1
Zbiór elementów odwracalnych tego pierścienia oznaczamy P*.
Tw. Jeżeli P ,  ,⋅ jest pierścieniem z jednością, to zbiór wszystkich elementów odwracalnych
P∗ ,⋅ jest grupą.
Def. Niech P ,  ,⋅ będzie pierścieniem. Podzbiór L⊂P nazywamy podpierścieniem pierścienia P,
jeżeli  L , ∣L×L ,⋅∣L ×L  jest pierścieniem.
Tw. Niepusty podzbiór L pierścienia P ,  ,⋅ jest podpierścieniem, gdy ∀  a−b∈L∧a⋅b∈L
a ,b ∈L
Tw. Jeżeli R jest niepustą rodziną podpierścieni P ,  ,⋅ , to jej przekrój też jest podpierścieniem P.
Def. Niech A będzie podzbiorem pierścienia P. Najmniejszy podpierścień pierścienia P zawierający
wszystkie elementy zbioru A nazywamy podpierścieniem generowanym przez grupę A i oznaczamy
go symbolem [A].
Tw. Jeżeli A jest podzbiorem pierścienia P to:
n kj n lq
[ A]={∑ ∏ a ij −∑ ∏ b pq : aij , b pq ∈A∧n , m , k , j∈ℕ0 }
i=1 j=1 p=1 q =1
Def. Niech P ,  ,⋅ i  R , × ,∗ będą pierścieniami. Odwzorowanie : P  R nazywamy
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 4

homomorfizmem, jeżeli  xy = x× y  i  x⋅y= x ∗ y .
Monomorfizmem, jeżeli  jest różnowartościowym homomorfizmem.
Epimorfizmem, jeżeli P =R i  jest homomorfizmem.
Izomorfizmem, jeżeli  jest monomorfizmem i epimorfizmem.
Endomorfizmem, jeżeli  jest homomorfizmem i P=R
Automorfizmem, jeżeli  jest izomorfizmem i P=R.
Def. Pierścienie P i R są izomorficzne (piszemy P≃ R ) jeżeli istnieje izomorfizm : P  R .
Tw. Niech P,R,L będą pierścieniami. Wówczas:
1) P≃P
2) P≃ R⇒ R≃P
3)  P≃R∧R≃L⇒ P≃L
Przykład:
Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością e. Rozważmy zbiór Pℕ
Pℕ ={ a0, a1, a 2, ...:a 0, a 1, a 2, ...∈ P} W zbiorze P wprowadzamy działania dodawania i mnożenia
1) a 0, a 1, a2, ...b 0, b1, b 2, ...= a0 b 0 , a 1b 1 , a 2a2 ,...
k
2) a 0, a 1, a2, ...⋅ b0, b1, b 2, ...=c 0 , c 1 , c 2 , ... , gdzie c n=∑ a i bk−i , k ∈ℕ

i =0
Zbiór z działaniami dodawania i mnożenia jest pierścieniem przemiennym z jednością (e,0,0,...).
Połóżmy X := 0, e ,0 ,0 ,...∈P ℕ . Wówczas X n=0, ...,0 , e ,0 ,...∈P ℕ , gdzie e poprzedza n zer.
∞
n
Ustalmy =a 0, a 1, ... . Wówczas dostaniemy, że =∑ a n ,0 , ... X . Przyjmując oznaczenie,
n=0
∞
n
a n := an ,0 ,... dostaniemy, że =∑ an X .
n=0
Zbior Pℕ z działaniami dodawania i mnożenia nazywamy pierścieniem wielomianów formalnych i
oznaczamy P[[x]]
Def. Niech P będzie pierścieniem. Niepusty podzbiór I pierścienia P nazywamy ideałem, jeżeli:
1) ∀ a−b ∈I
a ,b ∈I
2) a ∈I∀ P  ax ∈I ∧xa∈I 
∧x∈
Ideał pierścienia P oznaczamy I◁P
Def. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością. Ideał I pierścienia P nazywamy ideałem
głównym, jeżeli istnieje element a ∈P , że I =aP .
Tw. Przekrój niepustej rodziny ideałów pierścienia P jest ideałem tego pierścienia.
Def. Niech A będzie niepustym podzbiorem pierścienia. Najmniejszym w sensie inkluzji ideałem
pierścienia P zawierającym wszystkie elementy zbioru A nazywamy ideałem generowanym przez A i
oznaczamy (A).
Tw. Niech A będzie niepustym podzbiorem pierścienia P. Wówczas
n
 A={∑ x i ai y i : a1 ,... , a n ∈ A∧x 1 ,... , x n , y 1 , ... , y n ∈P , n ∈ℕ}
i=1
Def. Niech I będzie ideałem pierścienia P. Mówimy, że element a ∈P przystaje do elementu b∈ P
modulo I i piszemy a=b (mod I) jeżeli a−b∈P .
Relację przystawania modulo I nazywamy kongruencją.
Tw. Załóżmy, że I jest ideałem pierścienia P i liczby a , b , c , d ∈P . Wówczas:
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 5

a) a=a mod I 
b) a=b mod I ⇒ b=a mod I 
c) a=b mod I ∧b=c mod I ⇒ a=c mod I 
d) a=b mod I ∧c=d mod I ⇒ ac=bd  mod I  ⇒ac=bd  mod I 
• Wniosek: Jeżeli I jest ideałem pierścienia P, to relacja kongruencji jest relacją
równoważnościową, a jej klasy abstrakcji są postaci:
aI :={ab :b ∈I } , gdzie a ∈P i nazywamy je warstwami pierścienia P.
Def. Niech I będzie ideałem pierścienia P. W zbiorze P/ I wprowadzamy działania dodawania + i
mnożenia * wzorami:
aI  bI :=ab I
aI ∗ bI :=ab  I
Tw. Zbiór P/ I z działaniami +,* określonymi w definicji powyżej jest pierścieniem.
Def. Niech P i L będą pierścieniami i niech : P  L będzie homomorfizmem. Jądrem homomorfizmu
 nazywamy zbiór:
−1
Ker ={x ∈P :  x =0}= {0 }
Tw. Zasadnicze twierdzenie o homomorfizmie pierścieni
Niech P i R będą pierścieniami i niech : P  L będzie epimorfizmem. Wówczas:
a) Ker  jest ideałem.
b) P/ Ker ≈ L
Def. Ideał I pierścienia P nazywamy ideałem pierwszym, jeśli I ≠P oraz
∀  ab∈I ⇒ a∈I ∨b ∈I  
a ,b ∈P
Tw. Niech I ≠P będzie ideałem pierścienia P. Wówczas I jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy,
gdy pierścień ilorazowy nie zawiera dzielników zera.
Def. Ideał I pierścienia P nazywamy właściwym, jeżeli {0}≠I ≠P .
Def. Ideał I pierścienia P nazywamy maksymalnym, jeżeli jest ideałem właściwym, oraz nie zawiera się
w różnym od samego siebie ideale właściwym pierścienia P.
Def. Pierścień przemienny z jednością zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy ciałem, jeżeli
P∗=P /{0 } .
Tw. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy jest ciałem, gdy nie
zawiera ideałów właściwych.
Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością. Jeżeli P zawiera ideał właściwy, to zawiera
też ideał maksymalny.
• Wniosek: Niech P będzie pierścieniem przemiennym i P/ P∗≠{0 } . Wówczas
P/ P∗=∑ { I : I jest ideałem maksymalnym w P }
Def. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy całkowitym,
jeżeli nie zawiera dzielników zera.
Def. Pierścień przemienny z jednością zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy lokalnym,
jeżeli zawiera on dokładnie jeden ideał maksymalny.
Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym jednocześnie zawierającym co najmniej dwa elementy.
Wówczas:
a) Pierścień jest lokalny.
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 6

b) P/ P∗ jest ideałem pierścienia P.
c) Istnieje taki ideał maksymalny I, że eI ∈P∗
Konstrukcja pierścienia ułamków
Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością i niech S ⊂P/{0} będzie zbiorem, że e∈S ,
S⋅S⊂S i S nie ma dzielników zera.
W zbiorze P×S wprowadzamy relację równoważności wzorem:
a , b~c , d  :⇔ ad =bc
Symbolem S −1⋅P oznaczamy zbiór wszystkich klas abstrakcji [a , b] relacji ~.
W zbiorze S −1⋅P wprowadzamy działania +, ⠂wzorami:
[a , b][b , c]=[ad bc , bd ]
[a , b]⋅[ b , c ]=[ac , bd ]
a
Odtąd: [a , b]=
b
Tw. Skonstruowany wcześniej zbiór S −1⋅P z wprowadzonymi działaniami jest pierścieniem
przemiennym z jednością.
[0, e] ­ element neutralny dodawania
[e , e] ­ element neutralny mnożenia
−[ a , b]=[−a , b] ­ element przeciwny
• Wniosek: Każdy pierścień całkowity, że P/ P∗≠{0 } jest podpierścieniem pewnego pierścienia
lokalnego
• Wniosek: Każdy pierścień całkowity jest podpierścieniem pewnego ciała (to ciało jest nazywane
ciałem ułamków prostych pierścienia całkowitego).
Def. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy, nazywamy
netherowskim, gdy każdy niepusty zbiór ideałów pierścienia P zawiera ideał maksymalny w sensie
inkluzji.
Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością, zawierającym co najmniej dwa elementy.
Wówczas następujące warunki są równoważne:
1) P jest netherowski.
2) Jeżeli Pn jest wstępującym, ciągłym ideałem pierścienia P, to istnieje takie n 0 ∈ℕ , że I n =I n dla 0
n≥n0
3) Każdy ideał I w pierścieniu P ma skończony zbiór generatorów.
Tw. Załóżmy, że P jest pierścieniem przemiennym z jednością, zawierającym co najmniej dwa elementy.
Wówczas I jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy P/ I jest ciałem
• Wniosek: W każdym pierścieniu przemiennym z jednością, który zawiera co najmniej dwa
elementy, ideały maksymalne są ideałami właściwymi.
Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 7