Notatki do egzaminu z Algebry Liniowej

Notatki do egzaminu z Algebry Liniowej Grupy Def. Grupą nazywamy zbiór G z działaniem *, spełniający własności: 1) ∀ x∗ y∗z= x∗y∗z x , y , z∈G 2) ∃ x∀ x∗e=e∗x=x e ∈G −1 −1 3) x∈G x ∃ x∗x =x ∗x=e ∀ ∈G −1 Jeśli działanie * jest przemienne, to grupę (G,*) nazywamy abelową. Tw. Niech (G,*,e). Jeżeli a , b ∈G to: 1) ab−1=b−1∗a−1 2) a−1−1=a 3) równanie a∗x =b ma dokładnie jedno rozwiązanie 4) równanie x∗a=b ma dokładnie jedno rozwiązanie 5) element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie 6) element neutralny jest wyznaczony jednoznacznie 7) a∗b=c∗b ⇒ a=c 8) a∗b=a∗c ⇒ b=c Tw. Niech G będzie grupą i a ∈G . Jeżeli m , n∈ ℤ to: 1) a m n=am⋅a n 2) a m n=a mn 3) a m n=an m Def. ∅≠H ⊂G Nazywamy podgrupą grupy G, jeżeli  H ,⋅∣H × H , e jest grupą. Jeżeli H jest podgrupą grupy G to piszemy H<G. −1 Tw. ∅≠H jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ a⋅b ∈H a ,b ∈H Tw. Jeżeli R jest rodziną podgrupy G, to ∏R też jest podgrupą G. Def. Jeżeli A⊂G , to najmniejszą w sensie inkluzji podgrupę grupy G zawierającą A oznaczamy symbolem <A> i nazywamy grupą generowaną przez zbiór A. Tw. Niech ∅≠ A będzie podzbiorem G. Wówczas: k k 〈 A〉={ a 1 , ... , a n : a1, ... , a n ∈A∧k 1, ... , k n ∈ℤ∧n ∈ℕ} 1 n Def. Grupę G nazywamy grupą cykliczną, jeżeli istnieje a ∈G , że 〈 {a}〉=G • Wniosek: Jeśli G jest grupą cykliczną, to istnieje a ∈G , że G={an : n∈ℤ} Tw. Każda grupa cykliczna jest abelowa. Def. Rzędem grupy G nazywamy liczbę porządkową cardG i oznaczamy symbolem ∣G∣ Def. Rzędem elementu a ∈G nazywamy liczbę card 〈 {a}〉 i oznaczamy symbolem ∣a∣ Tw. Jeżeli a ∈G to ∣a∣=min {n∈ N : an =e} . Def. Niech G będzie grupą. Warstwą prawostronną (lewostronną) grupy G względem podgrupy H i elementu a nazywamy zbiór: Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 1

Ha={ha∧h∈A} ( aH ={ah∧h ∈A} ) Tw. Niech G będzie grupą, H<G i a ∈G . Wówczas: 1) ∣H∣=∣aH∣=∣Ha∣ 2) aH ∩bH =∅∨aH=bH ( Ha∩Hb=∅∨Ha=Hb ) Def. Niech G będzie grupą i H<G. Indeksem grupy G względem podgrupy H nazywamy liczbę warstw lewostronnych grupy G względem grupy H i oznaczamy symbolem [G:H] Tw. Lagrange'a Niech G będzie grupą i niech H<G. Wówczas: ∣G∣=∣H∣ : H ] ⋅[G • Wniosek: Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to grupa jest cykliczna. Def. Niech G ,⋅ i  H ,∗ będą grupami. Wówczas: 1) Homomorfizmem grup G i H nazywamy takie przekształcenie, że: ∀  x⋅y = x ∗ y  x , y∈G Zbiór homomorfizmów grup G i H oznaczamy Hom(G,H). 2) Monomorfizmem nazywamy różnowartościowy homomorfizm. 3) Epimorfizmem nazywamy homomorfizm przekształcający grupę G „na” H. 4) Izomorfizmem nazywamy monomorfizm będący epimorfizmem. 5) Endomorfizmem nazywamy homomorfizm grupy G w G. Zbiór endomorfizmów grupy G oznaczamy symbolem End(G). 6) Automorfizmem nazywamy endomorfizm będący izomorfizmem. Zbiór automorfizmów grupy G oznaczamy symbolem Aut(G). Def. Grupy G i H są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm :G  H . Grupy izomorficzne oznaczamy: G≃H . Tw. Niech G,H i L będą grupami. Wówczas: 1) G≃G 2) G≃L ⇔ L≃G 3) G≃L∧L≃H ⇔ G≃H Def. Niech :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Jądrem homomorfizmu  nazywamy zbiór Ker :={x ∈G : x =e} (e jest elementem neutralnym w grupie H). Def. Niech :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Obrazem homomorfizmu  nazywamy zbiór Img :={ x : x ∈G}={y∈ H : x∈G y= x } ∃ Tw. Niech :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Wówczas: 1) Ker G 2) Img H Tw. Niech G będzie grupą, H<G i a ∈G . Wówczas następujące warunki są równoważne: 1) aH =Ha 2) aHa−1=H −1 3) ∀ aha ∈ H h ∈H Def. Niech G będzie grupą i H<G. Podgrupę H nazywamy dzielnikiem naturalnym G, jeżeli aH=Ha zachodzi dla każdego a ∈G i oznaczamy H◁G. Tw. Niech :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H. Wówczas Ker  ◁ G . Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 2

Def. Niech G będzie grupą i H◁G. W zbiorze G/H wprowadzamy działanie mnożenia warstw: aH ⋅ bH = ab⋅H  Tw. Zbiór G/H z działaniem mnożenia jest grupą. Tw. Zasadnicze twierdzenie teorii grup Jeżeli :G  H będzie homomorfizmem grupy G i H, to G/ Ker ≃G • Wniosek: Każda grupa cykliczna jest izomorficzna z ℤ ,  lub ℤ n , n  dla pewnego n ∈ℕ Def. Niech G będzie grupą i a ∈G Zbiór C a :={x ∈G :ax =xa} nazywamy zbiorem elementów przemiennych z elementem a. Zbiór C g :={a∈G : ∀ ax =xa} nazywamy centrum grupy. x ∈G Tw. Niech G będzie grupą 1) Cg◁G 2) C g=G ⇔ grupa jest abelowa Def. Niech G będzie grupą i x , y ∈G . Komutatorem elementów x i y nazywamy element: [ x , y]:=x −1 y−1 xy Kumutant grupy nazywamy zbiór: K G =〈{[x , y]: x , y ∈G}〉 Tw. Niech G będzie grupą. Wówczas: 1) Kg◁G 2) G jest abelowa ⇔ K g ={e} 3) Grupa ilorazowa G/Kg jest abelowa 4) H◁G i G/H jest grupą abelową, to Kg<H Tw. Niech G1,⋅1, e1  , ... ,G n ,⋅n , e n  będą grupami. Wówczas zbiór G1×...×Gn z działaniem ⋅:G1 ×...×G n×G1×...×Gn  G 1×...×G n  danym wzorem a 1, ... a n ×b1, ... b n := a1⋅1 b1, ... a n⋅n bn  jest grupą. Def. Grupę G1 z działaniem określonym powyżej nazywamy grupą produktową lub sumą prostą. Tw. Podstawowe twierdzenie grup abelowych Każda grupa abelowa generowana przez skończenie wiele elementów jest grupą produktową grup cyklicznych. Def. Niech X ≠∅ . f : X  X Jest permutacją zbioru X jeśli f jest różnowartościowa i „na”. Zbiór permutacji zbioru X oznaczamy S(X) S  X ={ f : X  X : f jest bijekcją} Tw. Zbiór S(X) z działaniem składania funkcji jest grupą. Tw. Jeżeli cardX=cardY, to S  X ≃S Y  Def. Jeżeli n ∈ℕ , to symbolem Sn oznaczamy zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,...,n}. Tw. Dla każdego n ∈ℕ mamy: 1) ∣S n∣=n ! 2) Sn jest abelowa ⇔ n∈{1,2 } Def. Permutację G∈S n nazywamy permutacją cykliczną (kcyklem), jeżeli istnieje takie Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 3

{a1, a2, ... , an }∈{1,2 , ... , n } , że:  a1 =a 2 , a 2 =a 3 ,... , a k =a 1 oraz  a=a dla a ∈{a , ... , n}∖ {a 1, ... , a n } Tw. Każdą permutację można przedstawić jako złożenie permutacji cyklicznych. Tw. Cayleya Każda grupa G jest podgrupą grupy pewnych permutacji Pierścienie Def. Niech  ,⋅ będą działaniami na zbiorze A. Trójkę  A ,  ,⋅ nazywamy strukturą dwudziałaniową. Def. Niech  A ,  ,⋅ będzie strukturą dwudziałaniową. Mówimy, że ⋅ jest rozdzielne względem +, jeżeli dla wszelkich x , y , z ∈ A mamy: x⋅ yz= xyxz i  yz⋅x =yxzx Def.  A ,  ,⋅ Jest pierścieniem, jeżeli: 1)  A ,  jest grupą (abelową) 2) Działanie ⋅ jest łączne 3) Działanie ⋅ jest rozdzielne względem + 4) Jeżeli ⋅ ma element neutralny, to pierścień nazywamy pierścieniem z jednością. 5) Jeżeli ⋅ jest przemienne, to pierścień A jest przemienny. Def. a≠∅ Pierścienia  A ,  ,⋅ nazywamy lewostronnym dzielnikiem zera, jeżeli dla b≠∅ zachodz a⋅b=0 . Analogicznie z prawostronnym dzielnikiem zera. Tw. Niech P ,  ,⋅ będzie pierścieniem bez dzielników zera. Wówczas dla wszelkich dla wszelkich x ∈P ∖ {0 }∧y , z ∈ P 1) xy=xz ⇒ y=z 2) yx=zx ⇒ y=z Def. Element a pierścienia P ,  ,⋅ z jednością nazywamy odwracalnym, jeżeli istnieje taki element a ∈ P , że aa =a a=e −1 −1 −1 Zbiór elementów odwracalnych tego pierścienia oznaczamy P*. Tw. Jeżeli P ,  ,⋅ jest pierścieniem z jednością, to zbiór wszystkich elementów odwracalnych P∗ ,⋅ jest grupą. Def. Niech P ,  ,⋅ będzie pierścieniem. Podzbiór L⊂P nazywamy podpierścieniem pierścienia P, jeżeli  L , ∣L×L ,⋅∣L ×L  jest pierścieniem. Tw. Niepusty podzbiór L pierścienia P ,  ,⋅ jest podpierścieniem, gdy ∀  a−b∈L∧a⋅b∈L a ,b ∈L Tw. Jeżeli R jest niepustą rodziną podpierścieni P ,  ,⋅ , to jej przekrój też jest podpierścieniem P. Def. Niech A będzie podzbiorem pierścienia P. Najmniejszy podpierścień pierścienia P zawierający wszystkie elementy zbioru A nazywamy podpierścieniem generowanym przez grupę A i oznaczamy go symbolem [A]. Tw. Jeżeli A jest podzbiorem pierścienia P to: n kj n lq [ A]={∑ ∏ a ij −∑ ∏ b pq : aij , b pq ∈A∧n , m , k , j∈ℕ0 } i=1 j=1 p=1 q =1 Def. Niech P ,  ,⋅ i  R , × ,∗ będą pierścieniami. Odwzorowanie : P  R nazywamy Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 4

homomorfizmem, jeżeli  xy = x× y  i  x⋅y= x ∗ y . Monomorfizmem, jeżeli  jest różnowartościowym homomorfizmem. Epimorfizmem, jeżeli P =R i  jest homomorfizmem. Izomorfizmem, jeżeli  jest monomorfizmem i epimorfizmem. Endomorfizmem, jeżeli  jest homomorfizmem i P=R Automorfizmem, jeżeli  jest izomorfizmem i P=R. Def. Pierścienie P i R są izomorficzne (piszemy P≃ R ) jeżeli istnieje izomorfizm : P  R . Tw. Niech P,R,L będą pierścieniami. Wówczas: 1) P≃P 2) P≃ R⇒ R≃P 3)  P≃R∧R≃L⇒ P≃L Przykład: Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością e. Rozważmy zbiór Pℕ Pℕ ={ a0, a1, a 2, ...:a 0, a 1, a 2, ...∈ P} W zbiorze P wprowadzamy działania dodawania i mnożenia 1) a 0, a 1, a2, ...b 0, b1, b 2, ...= a0 b 0 , a 1b 1 , a 2a2 ,... k 2) a 0, a 1, a2, ...⋅ b0, b1, b 2, ...=c 0 , c 1 , c 2 , ... , gdzie c n=∑ a i bk−i , k ∈ℕ  i =0 Zbiór z działaniami dodawania i mnożenia jest pierścieniem przemiennym z jednością (e,0,0,...). Połóżmy X := 0, e ,0 ,0 ,...∈P ℕ . Wówczas X n=0, ...,0 , e ,0 ,...∈P ℕ , gdzie e poprzedza n zer. ∞ n Ustalmy =a 0, a 1, ... . Wówczas dostaniemy, że =∑ a n ,0 , ... X . Przyjmując oznaczenie, n=0 ∞ n a n := an ,0 ,... dostaniemy, że =∑ an X . n=0 Zbior Pℕ z działaniami dodawania i mnożenia nazywamy pierścieniem wielomianów formalnych i oznaczamy P[[x]] Def. Niech P będzie pierścieniem. Niepusty podzbiór I pierścienia P nazywamy ideałem, jeżeli: 1) ∀ a−b ∈I a ,b ∈I 2) a ∈I∀ P  ax ∈I ∧xa∈I  ∧x∈ Ideał pierścienia P oznaczamy I◁P Def. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością. Ideał I pierścienia P nazywamy ideałem głównym, jeżeli istnieje element a ∈P , że I =aP . Tw. Przekrój niepustej rodziny ideałów pierścienia P jest ideałem tego pierścienia. Def. Niech A będzie niepustym podzbiorem pierścienia. Najmniejszym w sensie inkluzji ideałem pierścienia P zawierającym wszystkie elementy zbioru A nazywamy ideałem generowanym przez A i oznaczamy (A). Tw. Niech A będzie niepustym podzbiorem pierścienia P. Wówczas n  A={∑ x i ai y i : a1 ,... , a n ∈ A∧x 1 ,... , x n , y 1 , ... , y n ∈P , n ∈ℕ} i=1 Def. Niech I będzie ideałem pierścienia P. Mówimy, że element a ∈P przystaje do elementu b∈ P modulo I i piszemy a=b (mod I) jeżeli a−b∈P . Relację przystawania modulo I nazywamy kongruencją. Tw. Załóżmy, że I jest ideałem pierścienia P i liczby a , b , c , d ∈P . Wówczas: Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 5

a) a=a mod I  b) a=b mod I ⇒ b=a mod I  c) a=b mod I ∧b=c mod I ⇒ a=c mod I  d) a=b mod I ∧c=d mod I ⇒ ac=bd  mod I  ⇒ac=bd  mod I  • Wniosek: Jeżeli I jest ideałem pierścienia P, to relacja kongruencji jest relacją równoważnościową, a jej klasy abstrakcji są postaci: aI :={ab :b ∈I } , gdzie a ∈P i nazywamy je warstwami pierścienia P. Def. Niech I będzie ideałem pierścienia P. W zbiorze P/ I wprowadzamy działania dodawania + i mnożenia * wzorami: aI  bI :=ab I aI ∗ bI :=ab  I Tw. Zbiór P/ I z działaniami +,* określonymi w definicji powyżej jest pierścieniem. Def. Niech P i L będą pierścieniami i niech : P  L będzie homomorfizmem. Jądrem homomorfizmu  nazywamy zbiór: −1 Ker ={x ∈P :  x =0}= {0 } Tw. Zasadnicze twierdzenie o homomorfizmie pierścieni Niech P i R będą pierścieniami i niech : P  L będzie epimorfizmem. Wówczas: a) Ker  jest ideałem. b) P/ Ker ≈ L Def. Ideał I pierścienia P nazywamy ideałem pierwszym, jeśli I ≠P oraz ∀  ab∈I ⇒ a∈I ∨b ∈I   a ,b ∈P Tw. Niech I ≠P będzie ideałem pierścienia P. Wówczas I jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy nie zawiera dzielników zera. Def. Ideał I pierścienia P nazywamy właściwym, jeżeli {0}≠I ≠P . Def. Ideał I pierścienia P nazywamy maksymalnym, jeżeli jest ideałem właściwym, oraz nie zawiera się w różnym od samego siebie ideale właściwym pierścienia P. Def. Pierścień przemienny z jednością zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy ciałem, jeżeli P∗=P /{0 } . Tw. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy jest ciałem, gdy nie zawiera ideałów właściwych. Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością. Jeżeli P zawiera ideał właściwy, to zawiera też ideał maksymalny. • Wniosek: Niech P będzie pierścieniem przemiennym i P/ P∗≠{0 } . Wówczas P/ P∗=∑ { I : I jest ideałem maksymalnym w P } Def. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy całkowitym, jeżeli nie zawiera dzielników zera. Def. Pierścień przemienny z jednością zawierający co najmniej dwa elementy nazywamy lokalnym, jeżeli zawiera on dokładnie jeden ideał maksymalny. Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym jednocześnie zawierającym co najmniej dwa elementy. Wówczas: a) Pierścień jest lokalny. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 6

b) P/ P∗ jest ideałem pierścienia P. c) Istnieje taki ideał maksymalny I, że eI ∈P∗ Konstrukcja pierścienia ułamków Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością i niech S ⊂P/{0} będzie zbiorem, że e∈S , S⋅S⊂S i S nie ma dzielników zera. W zbiorze P×S wprowadzamy relację równoważności wzorem: a , b~c , d  :⇔ ad =bc Symbolem S −1⋅P oznaczamy zbiór wszystkich klas abstrakcji [a , b] relacji ~. W zbiorze S −1⋅P wprowadzamy działania +, ⠂wzorami: [a , b][b , c]=[ad bc , bd ] [a , b]⋅[ b , c ]=[ac , bd ] a Odtąd: [a , b]= b Tw. Skonstruowany wcześniej zbiór S −1⋅P z wprowadzonymi działaniami jest pierścieniem przemiennym z jednością. [0, e] element neutralny dodawania [e , e] element neutralny mnożenia −[ a , b]=[−a , b] element przeciwny • Wniosek: Każdy pierścień całkowity, że P/ P∗≠{0 } jest podpierścieniem pewnego pierścienia lokalnego • Wniosek: Każdy pierścień całkowity jest podpierścieniem pewnego ciała (to ciało jest nazywane ciałem ułamków prostych pierścienia całkowitego). Def. Pierścień przemienny z jednością, zawierający co najmniej dwa elementy, nazywamy netherowskim, gdy każdy niepusty zbiór ideałów pierścienia P zawiera ideał maksymalny w sensie inkluzji. Tw. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jednością, zawierającym co najmniej dwa elementy. Wówczas następujące warunki są równoważne: 1) P jest netherowski. 2) Jeżeli Pn jest wstępującym, ciągłym ideałem pierścienia P, to istnieje takie n 0 ∈ℕ , że I n =I n dla 0 n≥n0 3) Każdy ideał I w pierścieniu P ma skończony zbiór generatorów. Tw. Załóżmy, że P jest pierścieniem przemiennym z jednością, zawierającym co najmniej dwa elementy. Wówczas I jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy P/ I jest ciałem • Wniosek: W każdym pierścieniu przemiennym z jednością, który zawiera co najmniej dwa elementy, ideały maksymalne są ideałami właściwymi. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net) 7

http://piotr.szlagor.net	22
http://www.piotr.szlagor.net	5
http://209.85.135.132	1

Notatki do egzaminu z Algebry Liniowej

by Piotr Szlagor on May 31, 2009

Accessibility

Categories

Tags

Upload Details

Usage Rights

3 Embeds 28

Statistics

Notatki do egzaminu z Algebry Liniowej — Document Transcript